Kosten. Computationale Intelligentie. Een zoekprobleem met stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route. Zoeken met kosten.

Transcriptie

1 Kosten omputationale Intelligentie Zoeken met kosten Veel zoekproblemen omvatten kosten: een afstand in kilometers; een geldbedrag; een hoeveelheid tijd;... Voorbeelden van dergelijke problemen zijn: het configureren van apparatuur; het maken van roosters; het vinden van routes;... Het doel is dan om een oplossing met minimale kosten te vinden. omp. Int.: Zoeken met kosten / 0 omp. Int.: Zoeken met kosten tapkosten / 0 Een zoekprobleem met stapkosten Definitie Een zoekprobleem met stapkosten is een tupel P =(T,, D, O, c) met T,, D en O zijn als voorheen; c : O! R +. De functie c associeert met de toepassing van een operator positieve stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route eschouw een kaart met steden en wegen tussen die steden: Het probleem P is het vinden van een route van naar van minimale lengte in kilometers: de verzameling T van toestanden van P is gelijk aan de verzameling {,,,,} van steden; de verzameling van begintoestanden van P bevat alleen de toestand ; de verzameling D van doeltoestanden van P bevat alleen ; omp. Int.: Zoeken met kosten tapkosten / 0 omp. Int.: Zoeken met kosten tapkosten 4 / 0

2 Het vinden van een route vervolg Paden en kosten eschouw nogmaals de kaart met steden en wegen: de operator o van P bevat de tupels (,), (,), (,), (,), (,),...,(,); de kostenfunctie c van P is gedefinieerd als c(, ) = 4 c(, ) = 4 c(, ) = 5 c(, ) = 0 c(, ) = c(, ) = 5 Definitie Zij P =(T,, D, O, c) een zoekprobleem met stapkosten. Een pad t in T is een eindige reeks toestanden t = t,...,t n, n, zodanig dat voor elke k =,...,n er een o O is met (t k, t k+ ) o. De kosten van een willekeurige reeks t van toestanden in T zijn gelijk aan I (t) = X c(n i, n i+ ) als t een pad in T is; I (n i,n i+ )t (t) = als t geen pad in T is. omp. Int.: Zoeken met kosten tapkosten 5 / 0 omp. Int.: Zoeken met kosten Paden 6 / 0 Een oplossing Definitie Zij P =(T,, D, O, c) een zoekprobleem met stapkosten. Een oplossing van P is een pad in T van een begintoestand naar een eindtoestand. Een oplossing t van P is optimaal als voor alle oplossingen t 0 van P geldt dat (t 0 ) (t). Voorbeeld 8 D 4 5 E De oplossing,,e, is optimaal, met kosten (,, E, ) =. omp. Int.: Zoeken met kosten Oplossingen / 0 ost-based search ost-based search is een variant van dynamische breadth-first search met als verschillen: voor elke knoop op het front worden de padkosten berekend; het front wordt gesorteerd naar toenemende padkosten; de knoop met de laagste padkosten tot dan toe, wordt van het front verwijderd voor expansie. omp. Int.: Zoeken met kosten ost-based search 8 / 0

3 Een voorbeeld eschouw nogmaals ost-based search genereert de volgende zoekboom: De vier eigenschappen ls de zoekboom van een probleem met stapkosten tenminste één oplossing bevat, dan geldt: cost-based search vindt altijd een oplossing; de gevonden oplossing is optimaal; cost-based search kost exponentieel veel tijd en ruimte. ij het expanderen van een knoop is nooit een toestand opgenomen die al voorkomt op het pad van de wortel naar de knoop. omp. Int.: Zoeken met kosten ost-based search / 0 omp. Int.: Zoeken met kosten ost-based search: Eigenschappen 0 / 0 Heuristische cost-based search Een evaluatiefunctie met kosten eschouw een toestand t in een dynamische zoekboom: b Heuristische cost-based search doorzoekt de zoekruimte van een probleem met stapkosten, gestuurd door een heuristische functie: deze functie is gebaseerd op kennis van het probleem; de functie geeft voor een toestand een inschatting van de kosten die nog gemaakt moeten worden om een doeltoestand te bereiken. t d Een schatting van de kosten van het optimale pad van de begintoestand b naar een doeltoestand via toestand t is waarin f (t) =g(t)+h(t) g(t) is de kost van het pad van begintoestand b naar toestand t; h(t) is een schatting van de kosten van het optimale pad van toestand t naar een doeltoestand. omp. Int.: Zoeken met kosten Heuristische cost-based search / 0 omp. Int.: Zoeken met kosten Heuristische cost-based search / 0

4 met kosten Heuristische cost-based search met een evaluatiefunctie van de vorm als voorheen, met f (t) =g(t)+h(t) 0 apple h(t) apple h (t) voor alle t T, waarbij alle functies gebaseerd zijn op padkosten, heet een -algoritme voor cost-based search. Een voorbeeld eschouw nogmaals Een heuristische functie voor het probleem is h() = 0 h(n) = de minimale kosten van het bereiken van een naburige stad vanuit n Er geldt bijvoorbeeld dat h() = 4 h() = h() = omp. Int.: Zoeken met kosten Heuristische cost-based search / 0 omp. Int.: Zoeken met kosten Heuristische cost-based search 4 / 0 Een voorbeeld vervolg eschouw nogmaals en de heuristische functie als voorheen. cost-based search genereert de volgende zoekboom: h = 4 g = 0 Een monotone heuristische functie Definitie Zij P =(T,, D, O, c) een zoekprobleem met stapkosten. Een heuristische functie h heet monotoon (aka. consistent) op T als h(n i ) apple h(n j )+c(n i, n j ) voor elke n i, n j T met n j een successor van n i ; h(d) =0 voor elke d D. b h = 4 g = 4 h = 0 g = 4 h = g = 5 h = g = 6 h = 0 g = h = 0 g = h = g = c ( n i, n j ) ni nj d omp. Int.: Zoeken met kosten Heuristische cost-based search 5 / 0 omp. Int.: Zoeken met kosten Lokale geoorloofdheid 6 / 0

5 Monotonie en geoorloofdheid Een voorbeeld eschouw de zoekgraaf van een probleem met constante kosten gelijk aan en de bijbehorende heuristische functie h: eschouw een zoekprobleem P met stapkosten. Er geldt: als een heuristische functie monotoon is voor P, dan is de functie ook geoorloofd voor P; als een heuristische functie geoorloofd is voor P, dan is de functie niet noodzakelijk monotoon voor P. h(b) = 4 b h(n) = n h(n) = n h(n4) = 0 n4 h(n5) = 0 n5 h(d) = 0 d n h(n) = Voor de heuristische functie h geldt dat de functie is geoorloofd; de functie is niet monotoon : h(b) > h(n)+c(b, n). omp. Int.: Zoeken met kosten Lokale geoorloofdheid / 0 omp. Int.: Zoeken met kosten Lokale geoorloofdheid 8 / 0 Monotoon impliceert geoorloofd eschouw een pad t 0,...,t n = d in de toestandsruimte van een probleem P. eschouw een monotone heuristische functie h voor P. Dan geldt: t 0! t h(t 0 ) h(t ) apple c(t 0, t ) t! t h(t ) h(t ) apple c(t, t ) Lokale geoorloofdheid Voor een -algoritme voor cost-based search met een monotone heuristische functie geldt: Met. t n! d h(t n ) h(d) apple c(t n, d) + t 0!...! d h(t 0 ) apple P n i=0 c(t i, t i+ ) Xn c(t i, t i+ )=(t 0, d) i=0 de evaluatiewaarden f (n) van de achtereenvolgens door het algoritme geëxpandeerde toestanden n, zijn monotoon niet-dalend. als het algoritme een toestand expandeert, dan heeft het een pad met minimale kosten naar die toestand gevonden het algoritme is lokaal geoorloofd; volgt dat de functie h geoorloofd is voor P. omp. Int.: Zoeken met kosten Lokale geoorloofdheid / 0 omp. Int.: Zoeken met kosten Lokale geoorloofdheid 0 / 0

6 Monotoon niet-dalend bewijsschets eschouw een toestand t n+ die de toestand t n opvolgt op een pad: g(t n+ )=g(t n )+c(t n, t n+ ) waaruit volgt f (t n+ ) = g(t n+ )+h(t n+ ) = g(t n )+c(t n, t n+ )+h(t n+ ) g(t n )+h(t n ) = f (t n ) omp. Int.: Zoeken met kosten Lokale geoorloofdheid / 0 Lokale geoorloofdheid bewijsschets Veronderstel dat het -zoekalgoritme een toestand s expandeert op het niet optimale pad b = m,...,m p = s. Er geldt dan dat g (s) < g(m p = s) Zij nu b = n,...,n q = s een optimaal pad van b naar s. Voor n j, n j+ op dat pad geldt dat g (n j )+h(n j ) apple g (n j+ )+h(n j+ ) Zij nu n i de toestand op dat pad met n i L (= lijst van nog te expanderen toestanden). Voor n i geldt dat g (n i )+h(n i ) apple g (s)+h(s) < g(m p = s)+h(s) en dus dat f (n i ) < f (m p = s) Het algoritme zal toestand n i voor expansie selecteren en niet toestand m p = s. Een tegenspraak volgt. omp. Int.: Zoeken met kosten Lokale geoorloofdheid / 0 m m p- b s n n q- Uitputtende depth-first search Een voorbeeld eschouw een zoekprobleem met stapkosten. ls de zoekboom tenminste één oplossing bevat, dan geldt: standaard depth-first search vindt het eerste pad van de begintoestand naar de doeltoestand; de gevonden oplossing is niet noodzakelijk optimaal; het gebruik van een heuristische functie geeft weinig sturing. Depth-first search wordt voor zoekproblemen met stapkosten daarom uitputtend toegepast. eschouw een zoekprobleem met de volgende stapkosten: 8 D 4 5 E Depth-first search genereert de volgende zoekboom: 0 4 omp. Int.: Zoeken met kosten Uitputtende depth-first search / 0 omp. Int.: Zoeken met kosten Uitputtende depth-first search 4 / 0

7 Een voorbeeld vervolg eschouw nogmaals: 8 D 4 5 E Uitputtende depth-first search genereert alle paden van naar : 0 4 D E 6 8 E 8 0 D De vier eigenschappen ls de zoekboom van een zoekprobleem met stapkosten tenminste één oplossing bevat, dan geldt: uitputtende depth-first search vindt altijd een optimale oplossing; uitputtende depth-first search kost polynomiaal veel ruimte zoals dynamische depth-first search; uitputtende depth-first search kost exponentieel veel tijd zoals cost-based search. 4 omp. Int.: Zoeken met kosten Uitputtende depth-first search 5 / 0 omp. Int.: Zoeken met kosten Uitputtende depth-first search 6 / 0 ranch-and-bound inleiding Depth-first branch-and-bound search De essentie van depth-first branch-and-bound search is: ranch-and-bound is een aanvullende techniek waarmee de zoekboom voor een zoekprobleem dynamisch gesnoeid wordt: branch-and-bound houdt de beste tot dan toe gevonden oplossing bij; als een pad ontstaat dat nooit tot een betere oplossing kan leiden, staakt branch-and-bound verdere expansie op dat pad. ranch-and-bound kan bij verschillende zoekalgoritmen worden gebruikt. procedure bb(l,best) returns best: if empty(l) then return best else t pop(l); if goal(t) then best min{c(best),c(path(b,t))} else if (best) > (path(b,t)) then L push(l,successors(t)); bb(l,best) endprocedure De procedure bb wordt aangeroepen met een stack L met initieel de begintoestand en een variabele best, en geeft een pad terug. omp. Int.: Zoeken met kosten ranch-and-bound / 0 omp. Int.: Zoeken met kosten ranch-and-bound 8 / 0

8 Een voorbeeld vervolg ranch-and-bound: heuristiek, initiële oplossing eschouw nogmaals: 8 D 4 5 E Depth-first branch-and-bound search resulteert in: 0 4 D E 6 8 E 8 0 D ranch-and-bound wordt efficiënter naarmate de initiële oplossing beter is. Of Vindt met een ander (snel) algoritme een (niet-optimale) oplossing ; tart DF met branch-and-bound met als initiële oplossing. Leidt (wiskundig) af dat er een oplossing bestaat met padkosten apple (liefst laag); tart DF met branch-and-bound en gebruik als initiële snoeigrens. 4 omp. Int.: Zoeken met kosten ranch-and-bound / 0 omp. Int.: Zoeken met kosten ranch-and-bound 0 / 0