Oude cijfers en moderne cryptosystemen

Transcriptie

1 Oude cijfers en moderne cryptosystemen SuperTU/esday Eindhoven 11 februari, 2010 Henk van Tilborg Technische Universiteit Eindhoven 1 Het Caesar systeem Julius Caesar ( BC), die Romeinse keizer was en door Brutus en Cassius is doodgestoken, gebruikte de volgende vercijfermethode: Verplaats iedere letter in het alfabet cyclisch over k plaatsen. Met k = 1 gaat de a naar de b, de b naar de c,, en de z weer naar de a. Dus met k = 7 krijg je de volgende vercijfering van het woord cleopatra: cleopatra ô +1 dmfpqbusb ô +1 engqrcvtc ô +1 fohrsdwud ô +1 gpistexve ô +1 hqjtufywf ô +1

2 2 SuperTUesday.nb irkuvgzxg ô +1 jslvwhayh Zo'n optelling kun je ook met een tabel uitvoeren. 0 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 1 b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a 2 c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b 3 d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c 4 e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d 5 f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e 6 g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f 7 h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g 8 i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h 9 j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i 10 k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j 11 l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k 12 m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l 13 n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m 14 o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n 15 p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o 16 q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p 17 r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q 18 s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r 19 t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s 20 u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t 21 v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u 22 w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v 23 x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w 24 y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x 25 z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y De Vigenère Tabel Voor het vercijferen op een computer maak je gebruik van een zogenaamde klokberekening, waarbij op de klok de getallen 0, 1,, 25 staan. Je ziet dan a als 0, b als 1, enzevoort, dus z als 25. Bijvoorbeeld c + 7 levert dan = 9, wat dus j is. Evenzo levert x + 7 de letter e, want = 30 en dat is gelijk aan 4 op deze klok.

3 SuperTUesday.nb 3 a 0 Het alfabet op een klok met 26 cijfers. In de wiskunde noemen we klokrekenen modulo rekenen. Hier zijn we modulo 26 aan het optellen. Rekenen modulo 26 houdt in dat we alleen werken met de getallen 0, 1,, 25. Als je bij je berekeningen antwoorden krijgt die buiten de verzameling 0, 1, 2,, 24, 25 liggen, moet je bij het antwoord net zolang 26 erbij tellen of ervan aftrekken tot het antwoord weer in 0, 1,, 25 zit. We schrijven in plaats van = om in de gaten te houden dat we aan het klokrekenen zijn. Op het einde van de regel schrijven we "(mod 26)" om de modulus (in dit geval 26) te onthouden. Dus: mod 26, want 30 en 4 zijn hetzelfde modulo 26, In Mathematica gebruiken we de functie Mod hiervoor:

4 4 SuperTUesday.nb Mod 20 10, 26 4 Een andere manier om hetzelfde te zeggen is dat mod 26 omdat 30 en 4 een veelvoud van 26 verschillen. Op de cirkel zijn ze hetzelfde. Nog een andere manier om hetzelfde te zeggen, is dat je van elke berekening het antwoord deelt door 26 en dat je de rest neemt. Om het Caesar cijfer op de computer uit te voeren hebben we nog een truc nodig om letters naar cijfers te transformeren. De internationale ASCII code kan hierbij helpen. a heeft de waarde 97, b de waarde 98,, en z de waarde 122. Als we er 97 van aftrekken krijgen we a Æ 0, b Æ 1,, z Æ 25. ToCharacterCode "cleopatra" 99, 108, 101, 111, 112, 97, 116, 114, 97 ToCharacterCode "cleopatra" 97 2, 11, 4, 14, 15, 0, 19, 17, 0 Je moet nu de sleutel erbij optellen, uiteraard modulo 26. Mod ToCharacterCode "cleopatra" 97 7, 26 9, 18, 11, 21, 22, 7, 0, 24, 7 Daarna moet je van de cijfers weer teruggaan naar de letters. Hieronder kun je zien hoe je in Mathematica deze stappen in één commando verpakt. Dit commando krijgt de naam "CaesarCijfer" en je kunt er een willekeurige tekst mee vercijferen. CaesarCijfer klaretekst_, sleutel_ : FromCharacterCode Mod ToCharacterCode klaretekst 97 sleutel, Voorbeeld:

5 SuperTUesday.nb 5 klaretekst "typehierjeboodschap"; sleutel 5; CaesarCijfer klaretekst, sleutel ydujmnjwojgttixhmfu Een simpele manier om het Caesar systeem te breken is alle sleutels uit te proberen. Deze methode heet in het Engels exhaustive key search. De analyse van de cijfertekst "vvrnpqiybabzi" gaat dan als volgt: elke sleutelwaarde 0, 1,, 25 trekken we van de cijfertekst af en we kijken welke sleutel een nederlandse tekst geeft. We zetten alle mogelijkheden netjes in een tabel met behulp van de Table functie. cijfertekst "vvrnpqiybabz"; Table sleutel, CaesarCijfer cijfertekst, sleutel, sleutel, 0, 25 TableForm

6 6 SuperTUesday.nb 0 vvrnpqiybabz 1 uuqmophxazay 2 ttplnogwzyzx 3 ssokmnfvyxyw 4 rrnjlmeuxwxv 5 qqmikldtwvwu 6 pplhjkcsvuvt 7 ookgijbrutus 8 nnjfhiaqtstr 9 mmieghzpsrsq 10 llhdfgyorqrp 11 kkgcefxnqpqo 12 jjfbdewmpopn 13 iieacdvlonom 14 hhdzbcuknmnl 15 ggcyabtjmlmk 16 ffbxzasilklj 17 eeawyzrhkjki 18 ddzvxyqgjijh 19 ccyuwxpfihig 20 bbxtvwoehghf 21 aawsuvndgfge 22 zzvrtumcfefd 23 yyuqstlbedec 24 xxtprskadcdb 25 wwsoqrjzcbca

7 SuperTUesday.nb 7 2 Het Vigenère systeem 2.1 Het Vigenère systeem Wikipedia: Blaise de Vigenère (Saint-Pourçain-sur-Sioule, 5 april ) was een Frans diplomaat en cryptograaf. Van zijn hand verschenen meer dan twintig werken waarvan zijn tractaat aangaande cryptografie hem de meeste roem opleverde. Men heeft naar aanleiding van dit tractaat onterecht het Vigenèrecijfer naar hem vernoemd. Het Vigenèrecijfer is in de cryptografie één van de klassieke handcijfers. Het werd uitgevonden door Giovanni Batista Belaso in 1553, maar het was door Blaise de Vigenère dat het algemeen bekend raakte, waardoor het zijn naam kreeg. Het werd echter lange tijd zelden gebruikt vanwege zijn complexiteit. Het idee van Vigenère was simpelweg om een beperkt aantal Caesar cijfers om de beurt toe te passen. Dat gebeurt dan aan de hand van een sleutelwoord. Bijvoorbeeld als het sleutelwoord "best" is, pas je de Caesar cijfers met waarde 1, 4, 18 en 19 om de beurt toe. ToCharacterCode "best" 97 1, 4, 18, 19

8 8 SuperTUesday.nb Voorbeeld: de sleutel is het woord "best" v i g e n e r e c r y p t o s y s t e e m b e s t b e s t b e s t b e s t b e s t b w m y x o i j x d v q i u s k r t x w x n Je kunt bij de vercijfering weer de Vigenère tabel gebruiken, maar ook het zgn. Vigenère wiel. Wij gebruiken de functie "tel-twee-letters-op" teltweelettersop a_, b_ : FromCharacterCode Mod ToCharacterCode a 97 ToCharacterCode b 97, en vinden de cijfertekst

9 SuperTUesday.nb 9 klaretekst "technischeuniversiteiteindhoven"; sleutel "best"; L StringLength klaretekst ; sleuteluitg StringJoin Table StringTake sleutel, Mod i 1, 4 1, i, 1, L ; cijfertekst teltweelettersop klaretekst, sleuteluitg uiuaomkviimgjzwktmlxjxwbohzhwif 2.2 Het breken van Vigenère door Kasiski (1863) Wikipedia: Majoor Friedrich Wilhelm Kasiski (Schlochau in West-Pruisen, thans Człuchów in Polen, 29 november mei 1881) was Pruisisch infanterie officier, cryptograaf en archeoloog. In 1863 publiceerde Kasiski een 95 pagina's tellend boek over cryptografie, Die Geheimschriften und die Dechiffrierkunst (Duits: Geheimschrift en de kunst der ontsleuteling). Dit werk bevat de eerste bekende procedure voor het cryptoanalyse aanvallen van polyalfabetische substitutie versleutelingen, specifiek voor Vigenèrecijfers (hoewel niet wordt uitgesloten dat Charles Babbage alreeds op de hoogte was van soortgelijke methoden). De grafsteen bij Patjitan Op een grafsteen dicht bij de stad Patjitan op het eiland Java in Indonesië (Rudy Kousbroek, NRC, 29 maart 2002),

10 10 SuperTUesday.nb

11 SuperTUesday.nb 11 kan men de volgende tekst vinden:

12 12 SuperTUesday.nb

13 SuperTUesday.nb 13 cijfertekst "z_gjxfxfmf_dfwefdxwbujhrvwwgzebgzzzbagkbmagxbzmqhwgenfwb _vwohwxkywobml_dnnxokwwbmvxksotxkxwbmvxzdeubqfxddfmfdfalmvxocwgbdfhjxfwgzebgzzfvmjhlrntkrsklmzhblgxqhcnjxfxihwyadwgengzxbzmfmyubsmbddfwbgwxidoxoddwfrerazskqnwmbjdxfmrtihcnlnamt_vxoyaxkzdlbqwxkkwobmalehwkkzetxkk zvsztkrage swvrrrkfqpxzjm gzldvxkvwkayg lorhdzbfghfcvt gffjrticwgjnwb cxkvwzluwkdndzlsztkdexkdfntdwkqdjnduagadfmlsoxadjsfdfl" L StringLength cijfertekst z_gjxfxfmf_dfwefdxwbujhrvwwgzebgzzzbagkbmagxbzmqhwgenfwb _vwohwxkywobml_dnnxokwwbmvxksotxkxwbmvxzdeubqfxddfmfdfalmvxocwgbdfhjxfwgzebgzzfvmjhlrntkrsklmzhblgxqhcnjxfxihwyadwgengzxbzmfmyubsmbddfwbgwxidoxoddwfrerazskqnwmbjdxfmrtihcnlnamt_vxoyaxkzdlbqwxkkwobmalehwkkzetxkk zvsztkrage swvrrrkfqpxzjm gzldvxkvwkayg lorhdzbfghfcvt gffjrticwgjnwb cxkvwzluwkdndzlsztkdexkdfntdwkqdjnduagadfmlsoxadjsfdfl 403 Het idee is te zoeken naar twee identieke wat langere rijtjes letters in de cijfertekst. Hoogst waarschijnlijk komen die van twee identieke rijtjes letters in de klare tekst en werd hetzelfde stukje sleutel er op toegepast. i 4; Do If Count Characters StringTake cijfertekst, m, m i 1 Characters StringTake cijfertekst, n, n i 1, 0 i, Print m, n, StringTake cijfertekst, m, m i 1, n m, m, 1, L i, n, m 1, L i 1 4, 160, jxfx, , 127, wgze, , 128, gzeb, , 129, zebg, , 130, ebgz, 100

14 14 SuperTUesday.nb 31, 131, bgzz, , 176, xbzm, , 170, wgen, , 250, wobm, , 91, wbmv, 12 80, 92, bmvx, , 281,, , 282,, , 365, sztk, , 282,, 1 307, 351, xkvw, 44 Hieruit concluderen we dat de sleutellengte bijna zeker gelijk is aan 4. Merk op dat we zelfs twee identieke rijtjes van de lengte 8 gevonden hebben. We gaan nu de vier verschillende deelrijtjes bekijken, namelijk de letters 1, 5, 9, 13,, maar ook 2, 6, 10, 14, en 3, 7, 11, 15, en 4, 8, 12, 16,. r 4; subtext Table, i, 1, r ; Do subtext Mod i 1, r 1 subtext Mod i 1, r 1 StringTake cijfertekst, i, i, 1, L ; Do Print subtext i, i, 1, r zxmfduvzzambhn_hymnkmskmdqddmcdxzzmrrmlhxhdnbmsdgddrznjmhn _yzqkmhzk_sr rfz_dvy_hfc_jcn_vunsddddudsdd gx_ewhwbzkgmgwwxo _xwxtwxuxmaxghwbfhtkhxnxygzmubwxxwrkmxtnmxxlxolkt_ztg_wrpmzxk _ozhtftgbxzkztxnkngmxsl _ffwxjwezgazwfvwwlnwvoxvefffvwffezjnszgcfwwgzymfwodeswdrcavadwwawek_za_srqjgvwgldgvgrwwcwwdzefwjafojf jfdfbrggbbxqebokbdobkxbzbdflobjggvlklbqjiaexfbdbiofaqbfiltokbkbekx_vke_vkx_lka_rbf_fij_kldlkktqdalaf Voor de letters 1, 5, 9, 13, krijgen we de volgende letterfrequenties: Table FromCharacterCode j, Count ToCharacterCode subtext 1, j, j, 97, 122

15 SuperTUesday.nb 15 a, 1, b, 2, c, 3, d, 17, e, 0, f, 3, g, 1, h, 7, i, 0, j, 2, k, 4, l, 1, m, 11, n, 7, o, 0, p, 0, q, 2, r, 5, s, 5, t, 0, u, 3, v, 3, w, 0, x, 3, y, 3, z, 9 Nu kent het Nederlands de volgende letterwaarschijnlijkheden (in procenten): a 8.0 h 5.5 o 7.6 v 1.0 b 1.5 i 7.3 p 2.0 w 1.9 c 3.1 j 0.2 q 0.1 x 0.2 d 4.0 k 0.7 r 6.1 y 1.7 e 12.5 l 4.1 s 6.5 z 0.1 f 2.3 m 2.5 t 9.3 g 2.0 n 7.0 u 2.7 Omdat we aannemen dat hier het Caesar cijfer gebruikt is, concluderen we dat zeer waarschijnlijk a Æ z en dus e Æ d is toegepast. Evenzo volgt uit Table FromCharacterCode j, Count ToCharacterCode subtext 2, j, j, 97, 122 a, 6, b, 0, c, 3, d, 5, e, 6, f, 13, g, 7, h, 0, i, 0, j, 5, k, 1, l, 2, m, 1, n, 2, o, 3, p, 0, q, 1, r, 3, s, 3, t, 0, u, 0, v, 7, w, 20, x, 2, y, 1, z, 7 dat zeer waarschijnlijk e Æ w en dus a Æ s is toegepast op de letters 2, 6, 10, 14,. Evenzo levert Table FromCharacterCode j, Count ToCharacterCode subtext 3, j, j, 97, 122 a, 1, b, 4, c, 0, d, 0, e, 1, f, 2, g, 8, h, 5, i, 0, j, 0, k, 7, l, 3, m, 7, n, 4, o, 3, p, 1, q, 0, r, 2, s, 1, t, 8, u, 2, v, 0, w, 10, x, 19, y, 1, z, 7 dat a Æ t voor de letters 3, 7, 11, 15,. Ten slotte levert

16 16 SuperTUesday.nb Table FromCharacterCode j, Count ToCharacterCode subtext 4, j, j, 97, 122 a, 5, b, 16, c, 0, d, 6, e, 4, f, 9, g, 4, h, 0, i, 4, j, 4, k, 12, l, 8, m, 0, n, 0, o, 5, p, 0, q, 4, r, 2, s, 0, t, 2, u, 0, v, 3, w, 0, x, 5, y, 0, z, 1 dat e Æ b en dus a Æ x voor de letters 4, 8, 12, 16,. trektweelettersaf a_, b_ : FromCharacterCode Mod ToCharacterCode a 97 ToCharacterCode b 97, We krijgen aldus de sleutel "zstx". sleutel "zstx"; klaretekst ""; Do klaretekst If StringTake cijfertekst, i "_", klaretekst klaretekst "_", klaretekst klaretekst trektweelettersaf StringTake cijfertekst, i, StringTake sleutel, Mod i 1, StringLength sleutel 1, i, 1, StringLength cijfertekst klaretekst a_nmyneinn_ggeliefdevrouwedjamijahgeboreninachttienhonde _ddrieenzevent_goverledendentwaalfdendecembernegentienhonderdeneenomyndjamijahmynroosvansaronhoemoetikumyneliefdeenhoogachtingbetuigendeheelewereldismydaartoetekleinzalikuooitw_derzienalsereenlevenishiernamaals gythansinh adyszyngywaart ogoedenwerdzo tvuilgegooidda omikzaldenmoei kenwegovergolgothanemenenuweerterugvindentotwederziens É Reconstructie Hieruit reconstrueren we Aan myne innig geliefde vrouwe Djamijah, geboren in achttienhonderd drie en zeventig overleden den twaalfden December negentienhonderd en een. O myn

17 SuperTUesday.nb 17 g g y Djamijah, myn roos van Saron, hoe moet ik u myne liefde en hoogachting betuigen? De heele wereld is my daar toe te klein. Zal ik u ooit wederzien? Als er een leven is hiernamaals zoudt gy thans in het paradys zyn. Gy waart zoo goed en werd zoo met vuil gegooid daarom. Ik zal den moeilyken weg over Golgotha nemen en u weer terugvinden. Tot wederziens! waarbij de rode letters door ons ingevuld zijn. Kousbroek: Latere nasporingen geven aan dat haar echtgenote Marcus Jacobus van Erp Taalman-Kip heette en dat hij haar trouwde toen hij 71 was! Waar zou de combinatie "zstx" vandaan komen? Is het misschien een Caesar vercijfering? cijfertekst "zstx"; Table sleutel, CaesarCijfer cijfertekst, sleutel, sleutel, 0, 25 TableForm 0 zstx 1 yrsw 2 xqrv 3 wpqu 4 vopt 5 unos 6 tmnr 7 slmq 8 rklp 9 qjko 10 pijn 11 ohim 12 nghl 13 mfgk 14 lefj 15 kdei 16 jcdh 17 ibcg 18 habf 19 gzae 20 fyzd 21 exyc 22 dwxb 23 cvwa 24 buvz 25 atuy Het woord "pijn" lijkt erg waarschijnlijk.

18 18 SuperTUesday.nb 3 "Kop of munt" over de telefoon Alice en Bob willen over een telefoon "kop of munt" gooien, maar ze vertrouwen elkaar niet. Eerste afspraak: Alice wint als de munten van Alice en van Bob met dezelfde kant boven komen, anders wint Bob. Kop Beide munten komen met dezelfde kant omhoog Munt Beide munten komen met verschillende kant omhoog Tweede afspraak: Kop Tail een eigennaam met een even aantal letters een eigennaam met een oneven aantal etters Alice geeft het Eindhovense telefoonnummer Hierop moet Bob de uitkomst van zijn worp vertellen, bijvoorbeeld "munt". Alice geeft nu de naam "Dobbelsteen'' van oneven lengte. Bob kan dit gemakkelijk controleren. Oneven is "munt", net zoals de uitkomst van de worp van Bob, dus Alice heeft gewonnen.

19 SuperTUesday.nb 19 4 Hoe spreek je een geheime sleutel af, als je afgeluisterd wordt? 4.1 Het idee We maken gebruik van de wiskunde formule Bijvoorbeeld a m n = a m n = a n m. en = = = = = = 2 12 Stap 1 Alice kiest de geheime exponent 3 en zegt over de telefoon 8 (wat 2 3 is). Bob kiest de geheime exponent 4 en zegt over de telefoon 16 (wat 2 4 is). Stap 2 geheim openbaar Alice 3 8 Bob 4 16 Alice berekent 16 3 en vindt 4096 (want dit is = 2 12 ). Bob berekent 8 4 en vindt 4096 (want dit is = 2 12 ). Het getal 1024 is hun geheime sleutel. hoort berekent Alice Bob

20 20 SuperTUesday.nb GROOT PROBLEEM Dit getal 1024 is niet zo erg geheim, want Eve (de afluisteraar), weet dat 8 gelijk is aan 2 3. Eve kent dus het geheime getal 3 van Alice en vindt (net als Alice) het getal 1024 uit de berekening: De oplossing met modulo (klok) rekenen. We werken: - met grotere getallen - antwoorden worden gedeeld door en dan wordt alleen de rest van deze deling opgeschreven. geheim openbaar Alice rest van na deling door Bob rest van na deling door Hoe reken je de rest van na deling door uit? Niet zo: xx

21 SuperTUesday.nb

22 22 SuperTUesday.nb Mod xx, Om efficiënt uit te rekenen, het antwoord te delen door en de rest te vinden, maken we gebruik van de volgende truc: = = = = = = Als je dit even volhoudt kom je op x 2 x x 2 x 2 x x x Truc 2: het resultaat van elke tussenberekening deel je door en dan ga je met de rest verder. In Mathematica doet de PowerMod functie een machtsverheffing op deze manier. Alice berekent PowerMod 2, ,

23 SuperTUesday.nb 23 Bob berekent PowerMod 2, , geheim openbaar Alice Bob Om de gemeenschappelijke sleutel te vinden berekenen ze nu: Alice berekent hoort berekent Alice Bob PowerMod , , Bob berekent PowerMod , , De gemeenschappelijke geheime sleutel is dus: É Kan Eve dit systeem niet ook gemakkelijk breken? NEE, want je kunt niet gemakkelijk bij gegeven de exponent terugvinden. Dat komt omdat je niet weet hoe vaak de deling door opging. Anders gezegd De "tegenovergestelde" operatie van machtsverheffen is het nemen van een logaritme. De gewone logaritme is een gemakkelijke functie. p 541; Plot Log x, x, 1, p

24 24 SuperTUesday.nb Maar met "delen met rest" niet. ListPlot Table Mod 2 j,p, j, j, 1, p Anoniem betalen, maar wel maar één keer! Als je met digitaal geld betaalt, zou je eigenlijk wel anoniem willen blijven. Maar de winkel of bank zou wel achter je identiteit willen komen als je hetzelfde "geld" twee keer wilt besteden.

25 SuperTUesday.nb 25 Idee 1: Om dit aan te pakken is de eigennaam over twee kastjes verborgen. Als je de inhoud van beide kastjes kent, bijv. "eikvwrt" en "pabgsan", dan kun met "teltweelettersop" die naam achterhalen. teltweelettersop "eikvwrt", "pabgsan" tilborg Idee 2: Voeg aan elke digitale munt een aantal van die bij elkaar horende kastjes toe. Hieronder zie je 6 paren kastjes. Het bovenste kastje is steeds op een willekeurige manier gevuld. Het onderste kastje wordt steeds zo gevuld dat bovenste en onderste kastje samen "tilborg" opleveren. boxes Table "", i, 1, 2, j, 1, 6 ; Do boxes 1, j FromCharacterCode Table Random Integer, 97, 97 25, 7, j, 1, 6 ; Do boxes 2, j trektweelettersaf "tilborg", boxes 1, j, j, 1, 6 boxes TableForm rrajafy nnjjwpi qgwmuhq qrsimgk rnlnzay abfvdin crlsomi gvcsscy dcppukq drttclw cvaopri thggljt Als je je geld besteed bij een winkel opent die voor elk paar kastjes OF het bovenste OF het onderste (steeds op een onvoorspelbare manier). openeen Table Random Integer, 1, 2, 6 antwoordeen Table boxes openeen j, j, j, 1, 6

26 26 SuperTUesday.nb 2, 1, 1, 1, 2, 2 crlsomi, nnjjwpi, qgwmuhq, qrsimgk, cvaopri, thggljt Op grond hiervan weet de winkelier niets. Hij verricht de transactie en stuurt deze gegevens naar de bank. Als dezelfde persoon hetzelfde geld nog een keer wil besteden, gebeurt er bij die winkel hetzelfde. opentwee Table Random Integer, 1, 2, 6 antwoordtwee Table boxes opentwee j, j, j, 1, 6 1, 2, 1, 2, 1, 1 rrajafy, gvcsscy, qgwmuhq, drttclw, rnlnzay, abfvdin De kans dat bij beide winkeliers dezelfde kastjes worden geopend is Dus met kans is er een groep waarvan zowel het bovenste als het onderste kastje open is gegaan i 2; teltweelettersop antwoordeen i, antwoordtwee i tilborg Dus met 6 groepjes wordt je identiteit al met een kans van N , bekend! Deze methode is niet erg practisch, maar laat wel zien dat dit soort dingen gerealizeerd kunnen worden.