Interactief drukvlak

Transcriptie

1 TU DELFT FACULTEIT BOUWKUNDE Interactief drukvlak Eerste mentor Andrew Borgart Tweede mentor Rudi Stouffs Student:Lonneke Tiggeler Oktober 2009

2 VOORWOORD 4 INLEIDING 5 INHOUDSOPGAVE Elliptische paraboloide (Elpar) 28 Hyperbolische paraboloide (Hypar) 29 Bereken Hx en Hy 30 Afleiden formule voor fx en fy drukvlak 32 Algemene formule voor een drukvlak 32 Verband tussen H, f en M. 33 Diana 35 GRAFISCHE METHODE BIJ TWEE-DIMENSIONALE CONSTRUCTIES. 7 Statisch (on)bepaald 9 GRAFISCHE METHODE BIJ DRIE DIMENSIONALE CONSTRUCTIES 10 Krachtsoverdracht in 3d structuren. 11 Schijfwerking en Plaatwerking. 11 Berekenen Schijfkrachten 12 Analytisch 12 Tabellen 14 Schalen 15 Membranen en Membraantheorie 16 Grafische methode 18 DRUKLIJN 19 2 dimensionaal: druklijn 20 De kabel vergelijking 20 Parabool 21 Resultaten berekening druklijn 23 DRUKVLAK 27 Resultaten 36 Resultaten berekening schijfkrachten analytisch 37 Resultaten berekening schijfkrachten mbv Tabellen 39 Resultaten elpar en hypar berekend en DIANA 44 Elpar 44 Hypar 44 Conclusies 45 Schijfkrachten: 45 Elpar en Hypar 45 Aanpassingen 46 Resultaten en conclusies van de aanpassingen 48 Elpar 48 Hypar 48 Conclusies 50 Varianten 51 2

3 Lengte 51 Hoogte 51 Resultaten 52 Elpar 52 Hypar 55 Conclusies varianten 58 Elpar 58 Hypar 58 3D INTERACTIVE THRUST LINE 59 Generative components: 59 Twee dimensionale druklijn 59 Drie dimensionale druklijn 62 DISCUSSIE EN CONCLUSIES 65 LITERATUUR 66 Internet: 67 BIJLAGE: momenten en schijfkrachten varianten (Diana) 68 Elpar 68 Hypar 83 3

4 VOORWOORD Dit verslag is geschreven in het kader van het afstuderen voor de Master Building Technology aan de Technische Universiteit van Delft. Ik wil hier mijn beide mentoren Andrew Borgart en Rudi Stouffs hartelijk bedanken voor hun prettige begeleiding. Daarnaast wil ik John Ochsendorf bedanken voor de inspirerende maanden die ik onder zijn begeleiding mocht doorbrengen op de afdeling Building Technology van het Massachuchetts Insitute of Technology in Boston. 4

5 INLEIDING Schalen zijn intrigerende vormen. Bij deze complexe geometrieen is het meestal niet mogelijk om tijdens het ontwerpen gebruik te maken van handberekeningen en/of vuistregels om het ontwerp te maken en eventueel bij te stellen. Er zijn tevens maar weinig ontwerpprogramma s die een ontwerper helpen het mechanische gedrag van complexe constructieve vormen te begrijpen: voor het berekenen van krachten, verplaatsingen en spanningen is men afhankelijk van computerprogramma s als bijvoorbeeld FEM (DIANA). Deze programma s geven kwantitatieve resultaten daarom weinig inzicht in het gedrag van de constructie. Veranderingen aanbrengen in het ontwerp in dergelijke programma s is erg arbeidsintensief. Dit is, vooral in de beginfase van het ontwerp, een nadeel. Het is belangrijk in het begin van het ontwerpproces de juiste beslissingen te nemen, omdat deze beslissingen een grote invloed hebben op de verschillende onderdelen van het ontwerp (plattegrond, constructie, installaties, etc.) Daarom is het belangrijk snel een idee te hebben van het mechanische gedrag van een constructie. figuur 1 voorbeelden van schalen 5

6 Methoden om inzicht te krijgen in het mechanisch gedrag zijn o.a. Grafische methode Rain flow analysis Thust network analysis De grafische methode is een goede methode om krachten in een constructie snel en inzichtelijk te kunnen weergeven. Met behulp van deze grafische methode wordt een 2 dimensionale druklijn geconstrueerd. Deze druklijn geeft aan hoe de belasting in de constructie wordt afgedragen aan de opleggingen. Door bij het toepassen van de grafische methode een computer te gebruiken, wordt tevens het risico van onnauwkeurigheden uitgesloten. Rain flow analysis legt een relatie tussen geometrie van een schaal en het afvloeien van de opgelegde belasting naar de oplegpunten. Daarbij wordt gebruikt gemaakt van de krommingen van de schaal. Deze methode is vooral bruikbaar gebleken bij het ontwerpen van schalen, waarbij praktisch geen buiging optreedt. Thrust network analysis legt een directe relatie tussen geometrie van een schaal en mogelijke oplossing(en) voor druklijnen onder invloed van de zwaartekracht. Dit leidt tot een beter inzicht in het mechanisch gedrag van schalen en is een middel voor het ontwerp van nieuwe vormen. Tot op heden werd de grafische methode alleen gebruikt voor 2 dimensionale problemen. In dit verslag wordt onderzocht of het mogelijk is een interactief 3d drukvlak te construeren. Daarvoor worden de volgende subdoelen/vragen gesteld en onderzocht: - Onderzoeken van de relatie tussen geometrie en mechanisch gedrag - Ontwikkelen toegankelijke methode voor ontwerpers om inzicht te krijgen in het mechanische gedrag schalen. - Construeren interactief 3d drukvlak - Vergelijken verschillende structuren met behulp van het 3d drukvlak In dit verslag worden achtereenvolgens de 2 dimensionale druklijn en het driedimensionale drukvlak behandeld. Vervolgens wordt m.b.v. het driedimensionale drukvlak verschillende structuren vergeleken en wordt het drukvlak vergeleken met een berekening in DIANA. Tot slot wordt het interactieve drukvlak beschreven. 6

7 GRAFISCHE METHODE BIJ TWEE- DIMENSIONALE CONSTRUCTIES. In dit hoofdstuk wordt het principe van de druklijn uitgelegd. De druklijn in de lijn waarlangs de belasting wordt afgedragen naar de oplegpunten van de constructie. Een ketting kan alleen trekkrachten opnemen en neemt bij belasting een ideale vorm aan waarin alleen deze trekkrachten optreden. Door deze vorm te spiegelen wordt de vorm van een boog gevonden waarin alleen drukkrachten ontstaan. Hierbij ontstaan geen dwarskrachten en buigende momenten, die bijvoorbeeld wel in een balk ontstaan. Zie ook de Sagrada Familia van Gaudi. rekening met spanningen en/of materiaaleigenschappen. Evenwicht kan zichtbaar gemaakt worden met de druklijn: In de boog geeft deze druklijn aan langs welke werklijn de belasting wordt afgedragen naar de opleggingen. De vorm van de drukboog kan worden gevonden door een krachtenveelhoek te construeren. Als een krachtenlijn kan worden gevonden die geheel binnen een boog ligt, dan is de constructie veilig. De perfecte vorm is een vorm waarbij alleen extensie krachten en geen buigspanningen optreden> De druklijn volgt dan de systeemlijn (binnen de middelste 1/3) (Block,2006) figuur 2 Sagrada Familia van Gaudi: perspectief, detail en model De grafische methode gaat uit van evenwicht en houdt geen 7

8 figuur 4: Bending moment 1: y-1 * H, Bending moment 2: y-2 * F figuur 3 (Block et al, 2006) Rechtsonder in figuur 1 is een krachtenveelhoek te zien van de krachten die op het stukje van de boog werken. Te zien is dat deze krachten evenwicht maken. De grootte van eventueel aanwezige buigende momenten is af te leiden uit de afwijking van de druklijn ten opzichte van de systeemlijn. De druklijn geeft ook informatie over het ineenstorten van een constructie. Daar waar de drukboog de rand van de constructie raakt, kan een scharnier ontstaan. Wanneer er voldoende scharnieren ontstaan, kan de constructie ineenstorten. 8

9 Statisch (on)bepaald Met behulp van de grafische methode worden verschillende mogelijke oplossingen gevonden: bij het tekenen van en druklijn zijn meerdere oplossingen mogelijk. Bij iedere oplossing hoort een bepaalde horizontale kracht. Omgekeerd kun je er dan ook van uitgaan dat wanneer je die H kracht weet, je ook weet welke druklijn van toepassing is. 9

10 GRAFISCHE METHODE BIJ DRIE DIMENSIONALE CONSTRUCTIES Tot nu toe zijn alleen de krachtenlijnen beschreven in tweedimensionale constructies. Het toepassen van de grafische methode op driedimensionale structuren is een stuk complexer. In figuur 4 is het verschil te zien in de krachtswerking tussen een boog (2d) en een schaal (3d). Boog - hoogte in x-richting blijft gelijk Schaal - hoogte in x-richting ongelijk figuur 5 krachtswerking in een boog en een schaal In dit hoofdstuk zullen allereerst twee verschillende manieren van het overbrengen van krachten n 3d structuren wordt besproken: schijfwerking en plaatwerking. Vervolgens zal aan de hand van verschillende geometrieen worden aangegeven hoe de krachtswerking in deze vormen verloopt. Tot slot wordt getoond hoe de grafische methode kan worden toegepast. - krachtswerking in 1 richting - krachtswerking in 2 richtingen 10

11 Krachtsoverdracht in 3d structuren. Schijfwerking en Plaatwerking. Een schijf is een element dat in zijn vlak belast wordt. Dit leidt tot extensie- en schuifkrachten. (Normaalspanningen) figuur 7 plaatkrachten (handleiding DIANA) figuur 6 schijfkrachten (handleiding DIANA) Een plaat wordt loodrecht op zijn vlak belast. Dit leidt tot momenten en dwarskrachten. 11

12 Berekenen Schijfkrachten De schijfkrachten kunnen op 2 manieren worden berekend: analytisch en met behulp van tabellen. Analytisch Beranek (in : Borgart, Mechanica van Spatial Structures) heeft beschreven hoe het berekenen van schijfkrachten kan helpen bij het ontwerp van een schaal. Randvoorwaarden hierbij (onafhankelijk van de vorm van de schaal): Aan alle vier de zijden van de rechthoekige plattegrond is een schotoplegging aangebracht. Dit betekent dat de schaal geen normaalspanningen kan overbrengen en dat de krachtsoverdracht van schaal op schot geheel geschied met schuifspanningen. -as en y-as zijn symmetrie assen, belasting eveneens symmetrisch Voor x= ½ l zijn beide randen zijn recht en horizontaal (symmetrie) Voor y= ½ l zijn beide randen zijn recht en horizontaal (symmetrie). Zij liggen op dezelfde hoogte als de twee andere randen. F=0 langs de randen figuur 8 spanningsfunctie F 12

13 figuur 9 schijfkrachten Nxx figuur 10 schijfkrachten Nyy Nxx en Nyy verlopen parabolisch, Nxy is 0 in de symmetrie doorsneden en verloopt in beide richtingen (x en y) lineair. Dit is spanningsbeeld dat overeenkomt met het verloop van normaal- en schuifspanningen in de overspanningsrichting bij een balk. Zie ook het verloop van normaal en schuifspanningen bij een vrij opgelegde plaat onder gelijkmatig verdeelde belasting.

14 Voor een elpar gelden de volgende formules: Waarbij h = h x +h y = 8 h 4 formule 1 = 8 h 4 formule 2 = h formule 3 Wat betreft de grootte van de krachten Nxx en Nyy blijkt de verdeling van de totale constructiehoogte over h x en h y er niet toe te doen. Nxx en Nyy zijn evenredig met p z en met het kwadraat van de betreffende overspanning en omgekeerd evenredig met de totale constructiehoogte. Tabellen Schijfkrachten kunnen ook met behulp van tabellen worden berekend. De constante k wordt in de tabel gevondenen kan worden ingevuld in de volgende formules. = formule 4 yy= formule 5 h h y= h h formule 6

15 Schalen Schalen zijn driedimensionaal gekromde vlakken met een relatief kleine dikte. (Zo kan een koepel behandeld worden als een schaal als t/r<=0.05. ) bekend, maar de exacte afmetingen niet. Wanneer deze willekeurige krommingsom in één figuur wordt getekend met de elliptische paraboloïde figuur 12 verkregen. (de Leuw) De belasting die op de schaal werkt kan in principe of via schijfwerking, of via buigwerking of als een combinatie van beiden worden afgedragen. Optimaal voor de krachtsafdracht is zoveel mogelijk schijfwerking, maar door verschillende oorzaken (onvoldoende voorzieningen aan de randen, veranderen van de geometrie, puntlasten, bij de opleggingen) kunnen buigvervormingen ontstaan. Buigvervormingen/extensieloze vervormingen treden op als gevolg van plaatmomenten (buigende en wringende momenten). figuur 11 Krommingsom voor in de hoekpunten ondersteunde plat met vrij zwevende randen (Beranek). De krachtwerking in een schaal hangt niet alleen van de randvoorwaarden (opleggingen) af, maar ook van de vorm van het schaaloppervlak. Vlakke schalen gaan zich gedragen als platen. Voor een in de hoekpunten ondersteunde plaat met vrij zwevende randen ziet de krommingsom w (drukvlak) eruit als in figuur 6 is weergegeven. Van deze figuur is alleen de vorm figuur 12 Drukfiguur van belasting en geometrie elliptische paraboloïde in een figuur. 15

16 Membranen en Membraantheorie Een schaal, die geen trekkrachten op kan nemen, zoals een gemetselde koepel, zal zich bij benadering net zo gedragen als een membraan. Een membraan kan de belasting alleen via extensiekrachten afdragen, aangezien een dergelijke membraan geen buigstijfheid bezit. Daardoor kunnen zij hoofdzakelijk trek en druk krachten in het vlak opbouwen (schijfkrachten). Buigende en wringende momenten kunnen worden verwaarloosd. Wordt een membraan op een aantal plaatsen gefixeerd en belast dan neemt het een bepaalde vorm (kromming) aan. Deze vorm is specifiek voor het gekozen belastingsgeval en de oplegsituatie. Bij een ander belastingsgeval of een andere oplegsituatie zal het membraan een andere optimale vorm aannemen. Deze membraantheorie als verklaringsmodel voor krachtsafdracht in schalen is alleen bruikbaar wanneer uit wordt gegaan van een homogeen materiaal en een gelijkblijvende belasting. En is dus niet mogelijk bij: vrije randen (schuifkrachten) bij opleggingen waar geen vrije vervorming kan optreden, treden buigende momenten op. T/R > 0.05 Geconcentreerde belastingen Bij veranderingen in geometrie: hoofdkromming, tekenwisseling kromming, dikte (gemetselde) Koepels Bij een bolvormige gemetselde koepel, belast met een gelijkmatig verdeelde belasting verloopt de belastingsafdracht langs de meridianen. De belasting binnen twee meridianen moet binnen deze meridianen worden afgedragen. Wanneer er sprake is van een symmetrische belasting door eigen gewicht, nemen deze krachten toe van top naar basis, (Lau, 12) figuur 13 Ringkrachten die verplaatsingen uit het vlak verhinderen 16

17 (Schodek). Wanneer de druklijn in een doorsnede wordt bepaald, kan deze van de systeemlijn afwijken. Om ervoor te zorgen dat de druklijn samenvalt met de systeemlijn, moeten er corrigerende horizontale krachten worden toegevoegd aan de druklijn. Er ontstaat dan een gecorrigeerde druklijn, die de systeemlijn blijft volgen. Deze horizontale krachten moeten worden opgenomen door de ringkrachten. Dit is een verschil met lijnvormige bogen, waar bij de afwijking van de systeemlijn met de druklijn direct corrigerende buigende momenten ontstaan. Dit is de reden dat bijvoorbeeld een koepel met een opening in de top perfect stabiel kan zijn, dit in tegenstelling tot bijvoorbeeld een boog figuur 14 Systeemlijnen en druklijnen (Schodek). 17

18 Grafische methode figuur 15 drie dimensionale krachtenveelhoeken met roodomcirkeld de horizontale ringkrachten (Borgart, 2002) 18

19 DRUKLIJN In dit hoofdstuk wordt beschreven de enige oplossing voor een druklijn kan worden gevonden. Met behulp van de grafische methode zijn alle mogelijke oplossingen bij een bepaalde belasting te bekijken. Er is in de praktijk echter maar een oplossing de juiste. Bij iedere (grafische) oplossing hoort ook een bepaalde horizontale kracht H. En kun je er omgekeerd van uitgaan dat wanneer je die H kracht weet, je ook weet welke druklijn in dit specifieke geval van toepassing is. 19

20 2 dimensionaal: druklijn Om de druklijn te vinden worden de volgende stappen genomen: 1) Bereken de horizontale kracht H met behulp van de hoogte f van de boog 2) Bereken met deze H de f van de druklijn 3) Bepaal met deze f de druklijn De kabel vergelijking De kabelvergelijking, die is afgeleid uit het evenwicht van een kabelelementje, legt het verband tussen de horizontale component H van de kabelkracht, de kabelvorm z=z(x) en de verdeelde belasting q z = q z (x) H d z d x = q Om de kabel vergelijking op te kunnen lossen moet H bekend zijn. Om de juiste druklijn te kunnen berekenen, wordt daarom allereerst een formule voor de horizontale kracht H afgeleid. figuur 16 twee scharnierspant Daarvoor wordt gekeken naar een tweescharnierspant van een willekeurige vorm. Hb is hierin de statisch onbepaalde onbekende die uit een vormveranderingsvergelijking kan worden opgelost. Daarvoor wordt in B een rol gemaakt waarmee de constructie statisch bepaald is geworden. De verplaatsing van B wordt bepaald en daarna wordt berekend welke kracht Hb nodig is om de rol weer terug te duwen. 20

21 Er wordt gemeten langs de boog. Op een afstand s van A is het buigend moment Ms. De totale verplaatsing van de rol ten gevolge van de belasting op de statisch bepaalde gemaakt boog is het statisch moment van het gereduceerde momentvlak. En het statisch moment vlak ten opzichte van de lijn a-b is gelijk aan oppervlakte maal de afstand van het zwaartepunt tot die lijn. worden gebruikt: H= M yds EI y ds EI formule 7 Met de gevonden waarde voor H kan vervolgens de waarde f van de druklijn worden berekend. Daarvoor wordt hier nu een fomule afgeleid. Parabool Een kabel neemt bij gelijkmatige belasting de vorm van een parabool aan. Formule voor deze parabool is als volgt: figuur 17 boog op twee scharnieren Wanneer de momentvlakken te ingewikkeld worden om te integreren, dan kan de midden ordinaat regel (een numerieke integratiemethode ) worden gebruikt. Voor de horizontale kracht H kan dan de volgende formule = formule 8 21

22 = en = formule 10 Ingevuld: = 4 formule 11 = formule 12 Bij = is =. figuur 18 parabool bij a=0.5 = 1 8 formule 13 Ingevuld geeft dit: ( 1 2 ) = ( 1 2 ) = = 8 formule 14 formule 9 22

23 Resultaten berekening druklijn f 1.00 punt x y x s q V b h I a b M M*y*ds/EI y2*ds/ei f H V 5.00 R cos a 0.93 a (rad) 0.38 a (gr) tabel 1 resultaten berekening druklijn bij f=1 23

24 figuur 19 krachtenveelhoek f=1 24

25 f 2.00 punt x y x s q V b h I a b M M' M*y*ds/EI y2*ds/ei H f , , H V R cos a a (rad) a (gr) tabel 2 resultaten berekening druklijn bij f=2

26 figuur 20 krachtenveelhoek f=2 26

27 DRUKVLAK Om tot een driedimensionaal drukvlak te komen worden de volgende stappen genomen: 1. Bereken de horizontale oplegkrachten Hx en Hy met behulp van de pijlen fx en fy van de schaal 2. Bereken met Hx en Hy de fx en fy van het drukvlak 3. Bepaal met deze fx en fy het drukvlak Dit zal achtereen volgens gebeuren voor een elliptische paraboloide (elpar) en een hyperbolische paraboloide (hypar). 27

28 Elliptische paraboloide (Elpar) De elpar is een translatieoppervlak: de elliptische paraboloide wordt opgebouwd door een parabool over een andere parabool te transleren. De krommingsmaat is in ieder punt positief. Belasting wordt afgedragen naar de bogen aan de zijden door middel van boogwerking in de twee asrichtingen. De zijbogen moeten daarom druk kunnen hebben en daarom worden verstijfd. De hoek moet krachten uit beide bogen uit beide richtingen overbrengen. (Engel) Formule voor een Elpar. h ( ) +h =z (de Leuw) figuur 21 elliptische paraboloide (elpar) formule 15 28

29 Hyperbolische paraboloide (Hypar) De hypar is eveneens een translatieoppervlak. De belasting wordt door een boogmechanisme in de ene richting (x-as) en door een hangmechanisme afgedragen naar de bogen aan de randen. De bogen aan de randen moeten daarom druk in de ene en trek in de andere richting opnemen. In de hoek moeten de resultanten van druk en trek worden opgenomen. Formule voor een Hypar h ( ) h =z (de Leuw) figuur 22: hyperbole paraboloide (hypar) formule 16 29

30 Bereken Hx en Hy Op dezelfde wijze als bij de berekening van H voor de druklijn worden nu de horizontale kracht in de x-richting (Hx)en de horizontale kracht in de y-richting (Hy) berekend. Daarbij wordt M 0 vervangen door M xx / M yy (zie plaat vergelijkingen) en y door z. Bij een boog/portaal wordt de verdeling van de krachten bepaald door de stijfheid EI. In deze formule wordt EI vervangen door de plaatstijfheid K: = 12(11 ) formule 17 Dit leidt tot de volgende formule figuur 23 Berekening Hx H x = M xx *z*ds K z 2 *ds K formule 18 30

31 Voor Hy levert dit de volgende formule op: H y = M yy *z*ds K z 2 *ds K formule 19 figuur 24 berekenen Hy 31

32 Afleiden formule voor fx en fy drukvlak Wanneer Hx en Hy bekend zijn, kan daarmee de fx en fy van het drukvlak worden berekend. Daarvoor zullen hier formules worden afgeleid. Algemene formule voor een drukvlak = + formule 20 Als Dan is = 4 formule 22 = 1 2 = 0 = Wanneer dan is Ingevuld: = 0 = 1 2 = f = 1 4 C b f = 1 4 C a formule 23 = 4 formule 24 formule 21 32

33 Verband tussen H, f en M. = 1 4 C a = 8 formule 30 formule 25 = 1 8 C = 2 formule 26 formule 31 = 1 8 = formule 27 formule 32 = 8 = 1 8 formule 28 formule 33 8 = 1 8 formule 34 formule 29 33

34 = 8 formule 35 8 formule C b = 8 formule 37 C = 2 formule 38 34

35 Diana De elpar en de hypar zin ingevoerd in DIANA. DIANA is een eindige elementen methode, waarmee onder andere de krachten en spanningen in een constructie kunnen worden berekend. Z figuur 26 invoer hypar in DIANA Z figuur 25 invoer elpar in DIANA 35

36 Resultaten In dit hoofdstuk zullen de resultaten van de berekeningen van de schijfkrachten en van de horizontale krachten Hx en Hy van het drukvlak worden besproken en vergeleken met de uitkomsten van de berekeningen in DIANA. 36

37 Resultaten berekening schijfkrachten analytisch ELPAR Lx=Ly x y a b lx ly p hx hy nxx nyy F' F randy=b rand x=a

38 midden midden

39 Resultaten berekening schijfkrachten m.b.v. Tabellen Nxx hx hy hx/hy a b x x/a y y/b kx p Nxx

40

41 Nyy hx hy hx/hy a b x x/a y y/b ky p Nyy

42 Nxy hx hy hx/hy a b x x/a y y/b kxy p Nxy

43 E E+33 43

44 Resultaten elpar en hypar berekend en DIANA tabel 3 resultaten Elpar Elpar Analytisch DIANA V Hx Hy Hypar Analytisch DIANA V Hx Hy tabel 5 resultaten Hypar Model: HPARFFLL Element EL.M.L M Max = 369 Min = -.54E4 Model: HPARFFLL Element EL.M.L M Max = 454 Min = -.54E4 Model: HPARFFLL Element EL.M.L M Max =.138E4 Min = -.138E4 Model: ELPARFFLL Element EL.M.L M Max = 264 Min = -188 Model: ELPARFFLL Element EL.M.L M Max = 219 Min = -188 Model: ELPARFFLL Element EL.M.L M Max = 180 Min = -180 Mxx Myy Mxy Mxx Myy Mxy Model: HPARFFLL Element EL.N.L N Max = 212 Min = -354 Model: HPARFFLL Element EL.N.L N Max = 354 Min = -255 Model: HPARFFLL Element EL.N.L N Max = 117 Min = -116 Model: ELPARFFLL Element EL.N.L N Max = 69.1 Min = -302 Model: ELPARFFLL Element EL.N.L N Max = 43.2 Min = -183 Model: ELPARFFLL Element EL.N.L N Max = 217 Min = -217 Nxx Nyy Nxy tabel 4 Elpar: momenten en schijfkrachten DIANA Nxx Nyy Nxy tabel 6 Hypar: momenten en schijfkrachten DIANA 44

45 Conclusies Schijfkrachten: De met de formules berekende waarden voor Nxx, Nyy en F komen overeen met de getekende modellen. Nxx en Nyy verlopen parabolisch en zijn maximaal 3.9. Elpar en Hypar Er vindt geen schijfwerking plaats. Dit is ongunstig voor de krachtswerking. Wanneer de schijfkrachten worden berekend met behulp van de tabellen verlopen Nxx en Nyy niet parabolisch en verlopen maximaal tussen de 3.9 en 7.8. Zie figuur 27. figuur 27 verloop Nxx bij berekening mbv tabellen 45

46 Aanpassingen Een mogelijke oorzaak van het niet gebruik kunnen maken van schijfkrachten is de manier waarop de elpar en de hypar zijn opgelegd in DIANA. Daarom zijn twee types opleggingen vergeleken. figuur 29 Type 2 opgelegd op zijschotten Het schot bij type 2 is stijf in het vlak en slap loodrecht op het vlak. De krachten van de schaal op het schot moeten worden overgebracht door middel van schijfkrachten. figuur 28 Type 1: opgelegd op de 4 hoekpunten Daarnaast kan de plaats waar de horizontale krachten wordt berekend van belang zijn. Op verschillende plaatsen is de waarde van z namelijk ook verschillend. Zie figuur 5 en

47 figuur 30 waarde z Daarom zijn de horizontale krachten op verschillende plaatsen uitgerekend: bij symmetrie as bij de rand (z=0) bij het midden van lx en ly Z gemiddeld op 2/3 lengte 47

48 Resultaten en conclusies van de aanpassingen Elpar Hypar Hypar Hx Hy tabel 9 resultaten Hypar Elpar berekend DIANA Hx Hy tabel 7 resultaten elpar Model: HPARFFLLSCHOT Element EL.M.L M Max = 376 Min = -.508E4 Model: HPARFFLLSCHOT Element EL.M.L M Max =.13E4 Min = -.508E4 Model: HPARFFLLSCHOT Element EL.M.L M Max =.28E4 Min = -.28E4 Model: ELPARFFLLSCHOT Element EL.M.L M Max = 230 Min = -118 Model: ELPARFFLLSCHOT Element EL.M.L M Max = 260 Min = -98 Model: ELPARFFLLSCHOT Element EL.M.L M Max = 178 Min = -178 Z Mxx Myy Mxy Model: HPARFFLLSCHOT Element EL.N.L N Max = 23 Min = -14 Model: HPARFFLLSCHOT Element EL.N.L N Max = 15.6 Min = -23 Model: HPARFFLLSCHOT Element EL.N.L N Max = 8.78 Min = Mxx Myy Mxy Model: ELPARFFLLSCHOT Element EL.N.L N Max =.34E-1 Min = Model: ELPARFFLLSCHOT Element EL.N.L N Max = 5.05 Min = Model: ELPARFFLLSCHOT Element EL.N.L N Max = 10.5 Min = Nxx Nyy Nxy tabel 8 elpar: momenten en schijfkrachten DIANA Nxx Nyy Nxy tabel 10 hypar: momenten en schijfkrachten DIANA 48

49 In de onderstaande tabellen zijn de horizontale krachten in de x richting op de verticale as en de lengte/hoogte op de horizontale as uitgezet voor verschillende z waarden. Elpar Hx-fx bij verschillende z waardes Elpar Hx-lx bij verschillende z waardes Analyse Hx/fx symmetrie as analyse Hx/fx rand Analyse Hx/fx Midden Analyse Hx/fx 2/3 lengte Analyse Hx/fx gemiddeld DIANA type 1 DIANA type Analyse: Hx/lx symmetrie as Analyse Hx/lx bij rand Analyse Hx/lx z bij midden AnalyseHx/lx op 2/3 lengte Analyse Hx/lx z gemiddeld DIANA type 1 DIANA type 2 49

50 Hypar Hx-lx bij verschillende z waardes Hypar Hx-fx bij verschillende z waardes analyse symmetrie as Hxlx analyse rand Hxlx analyse midden Hxlx analyse gemiddeld Hxlx analyse 2/3 Hxlx DIANA type 1 Hxlx DIANA type 2 Hxlx Analyse symmetrie as Hxfx Analyse rand Hxfx Analyse midden Hx fx Analyse gemiddeld Hxfx Analyse 2/3 Hx fx DIANA type 1 DIANA type 2 Conclusies Bij gebruik van een schotoplegging wordt het verschil tussen de analyse en de uitkomsten van DIANA groter. Er vindt echter wel schijfwerking plaats. Dit is gunstiger voor de krachtswerking. Wanneer vevolgens z gemiddeld wordt gebruikt in de analyse wordt het verschil weer kleiner. 50

51 Varianten Vervolgens zijn analytisch en in DIANA de volgende varianten van de elpar en de hypar bekeken: Lengte Lx=Ly Lx=1.3Ly Lx=1.5Ly Lx=2Ly Hoogte Fx=fy Fx=1.3fy Fx=1.5fy Fx=2ly figuur 32 variant 2: hoogte fx figuur 31 variant 1: lengte lx langs de x-as 51

52 Resultaten Elpar z bij symmetrie as z bij rand z bij midden z op 2/3 lengte z=gemiddeld (lengte=1.77) Hx Hy Hx/ Hy Hx Hy Hx/ Hy Hx Hy Hx/Hy Hx Hy Hx/Hy Hx Hy Hx/Hy lx=ly Analytisch DIANA DIANAschot lx=1.3ly Analytisch DIANA DIANAschot lx=1.5ly Analytisch DIANA DIANAschot lx=2ly Analytisch DIANA DIANAschot fx=fy Analytisch DIANA DIANAschot

53 fx=1.3f y fx=1.5f y Analytisch DIANA DIANAschot Analytisch DIANA DIANAschot fx=2fy Analytisch DIANA DIANAschot

54 Elpar Hx en Hy Analyse Elpar Hx en Hy DIANA type Hx Analyse Hy Analyse Hx DIANA type 2 Hy DIANA type 2 Elpar Hx en Hy DIANA type Hx DIANA type 1 Hy DIANA type Elpar Hx/Hy bij z gemiddeld Analyse DIANA type 1 DIANA type 2

55 Hypar z bij symmetrie-as z=bij rand z bij midden z gemiddeld z op 2/3 lengte (z=0.45) Hx Hy Hx/ Hy Hx Hy Hx/ Hy Hx Hy Hx/ Hy Hx Hy Hx/ Hy Hx Hy Hx lx=ly Analytisch DIANA DIANAschot lx=1.3ly Analytisch DIANA DIANAschot lx=1.5ly Analytisch DIANA DIANAschot lx=2ly Analytisch DIANA DIANAschot fx=fy Analytisch DIANA DIANAschot fx=1.3f y Analytisch DIANA DIANAschot

56 fx=1.5f y Analytisch DIANA DIANAschot fx=2fy Analytisch DIANA DIANAschot

57 Hypar Hx en Hy Analyse Hypar Hx en Hy DIANA type Hx Analyse Hy Analyse Hx DIANA type 2 Hy DIANA type 2 HyparHx/Hy bij z gemiddeld Hypar Hx en Hy DIANA type Analyse DIANA type 1 DIANA type 2 Hx DIANA type 1 Hy DIANA type 1

58 Conclusies varianten Wanneer de afmetingen van de plattegrond gelijk zijn is er sprake van gelijke draagwerking. Elpar Hy blijft gelijk in analyse en neemt toe in DIANA bij toename van lengte x Overig zijn toenames en afnames gelijk gericht Krachten nemen meer toe na lx=1.5ly Hypar Hy blijft gelijk in analyse en neemt af in DIANA bij toename fx Hy neemt af bij toename lx bij DIANA type 2 en toe bij DIANA type 1 en analyse knik na fx=fy: Bij gelijke pijlen gedraagt hypar zich als plaat

59 3D INTERACTIVE THRUST LINE Generative components: Door de druklijn en het drukvlak interactief te maken kan sneller een druklijn/vlak worden aangepast en wordt de kans op fouten verminderd. Belangrijk voor de gebruikte software is vooral dat er 3d gemodelleerd kan worden en dat de software parametrisch is. In de software moet een ontwerp gemaakt kunnen worden en vervolgens moet de druklijn/vlak voor dat ontwerp kunnen worden opgeroepen. Vervolgens kan dan bekeken worden waar het ontwerp van het druklijn/vlak afwijkt en waar dus correcties/aanpassingen/aanvullingen aan het ontwerp moeten worden gemaakt. De software waarmee dit alles mogelijk is, is het programma Generative Components. Allereerst zal er een 2d druklijn worden gemaakt in een boog. Vervolgens zullen 2d druklijnen worden toegepast in een 3d geometrie. En vervolgens zal een 3d drukvlak worden gemaakt. Twee dimensionale druklijn Om een twee dimensionale druklijn te maken in Generative Components moeten de volgende stappen worden ondernomen: - Aanmaken features druklijn - Aanmaken features druklijn per vlak (xy/xz/yz) - Aanmaken nieuwe transaction file waarin ontwerp en druklijnen worden opgeroepen figuur 33 2d druklijn in Generative Components In figuur 33 is de druklijn te zien. De gelijkmatige belasting is verdeeld over krachten die aangrijpen in de intersection points (rode punten). Het is mogelijk krachten/druklijn en doorsnede 59

60 aan te passen. Wat duidelijk is te zien is dat het aantal intersection points de nauwkeurigheid van de druklijn bepaald. Dit heeft bijvoorbeeld invloed op het bepalen van de momenten, die kunnen optreden in de boog. Daarom is een nieuwe druklijn gemaakt waarin ook het aantal intersection points te bepalen is. figuur 35 druklijn met 10 intersection points figuur 34 druklijn met 5 intersection points In de onderstaande voorbeelden is te zien hoe een 2 dimensionale druklijn kan worden toegepast in een 3 dimensionale geometrie. Tevens is te zien (figuur 37 en 39) hoe een ontwerp kan worden aangepast om een betere krachtswerking te bewerkstelligen. Nadeel is dat niet bekend is welk percentage aan kracht iedere richting afdraagt en wat de interactie tussen beide richtingen is. 60

61 figuur 36 2d druklijnen in 3d geometrie I figuur 38 2d druklijnen in 3d geometrieii figuur 37 ontwerp I aangepast figuur 39 ontwerp II aangepast 61

62 Drie dimensionaal drukvlak Om het drukvlak te kunnen maken in Generative Components zijn de volgende stappen genomen: - Feature voor een elpar en een hypar maken - Feature voor een drukvlak maken met behulp van afgeleide formules - Nieuwe transaction file starten, waarin de elpar of de hypar en het drukvlak worden opgevraagd. figuur 41 elpar (grijs) met lx=ly=5, hx=hy=2 met drukvlak (groen) Model: ELPARFFLLSCHOT Element EL.S1... S2 Middle surface Max =.132E-1 Min = -.442E-1 Factor =.108E5 Model: ELPARFFLLSCHOT Gauss EL.S1... S3 Middle surface Max = -.126E-1 Min = Factor =.379E4 figuur 40 elpar met gelijke zijden en hoogtes. figuur 42 bijbehorende spanningstrajectorien 62

63 figuur 45 Hypar (grijs) Lx=ly=2.5, hx=hy=1 met drukvlak (groen) figuur 43 Elpar en drukvlak lx=2.5, ly=5 en hx=hy=2 Model: HPARFFLLSCHOT Element EL.S1... S2 Middle surface Max =.153 Min = Factor =.31E4 Factor =.894E4 figuur 44 bijbehorende spanningstrajectorien figuur 46 bijbehorende spanningstrajectorien 63

64 Model: HPARF2FSCHOT Element EL.S1... S2 Middle surface Max =.268E-1 Min = -.22 Factor =.206E4 Model: HPARF2FSCHOT Element EL.S1... S3 Middle surface Max = -.65E-4 Min = -.47 Factor = 960 figuur 48 bijbehorende spanningstrajectorien figuur 47 Hypar (grijs) lx=ly=2.5, hx=hy=2 met drukvlak (groen) 64

65 DISCUSSIE EN CONCLUSIES Het doel van dit afstudeerproject was het ontwikkelen van een toegankelijke methode voor ontwerpers om het mechanisch gedrag van complexe geometrieen inzichtelijk te maken. Daarvoor is het drukvlak ontwikkeld. Het blijkt dat de elpar en het drukvlak goed te berekenen zijn. De drukvlakken geven een goede indicatie van de krachtswerking in schalen. Zo blijkt bij de schalen opgelegd op 4 punten dat de belasting voornamelijk wordt afgedragen via buiging. Bij een oplegging op schotten wordt meer gebruik gemaakt van schijfkrachten. Wat betreft de schijfwerking in de schalen: deze kunnen het best berekend worden met behulp van de genoemde tabellen. De berekende waarden komen overeen met de waardes die werden gevonden in DIANA. Nxx en Nyy verlopen daar niet parabolisch. Met de beschreven formules kan de onderwaarde worden berekend. De hypar kan nog verder worden onderzocht in de toekomst, waarbij het drukvlak nog kan worden verfijnd. Het gebruik van een hypar in het ontwerp blijkt alleen zinnig als hx en hy sterk verschillen. Bij een hypar met gelijke pijlen kan de schaal extensieloze vervorming ondergaan. In dit geval werkt de constructie niet als een schaal maar als een plaat. (zie ook de Leuw, p 57). Daarbij kunnen (grote) buigende momenten optreden. In de toekomst kunnen nog andere vormen onderzocht worden. Uit de uitkomsten kunnen dan algemene kenmerken worden afgeleid, waardoor het drukvlak bij ieder ontwerp gebruikt zal kunnen worden. Belastingafdracht lijkt allesbepalend. Een rol in deze belastingsafdracht spelen de manier van opleggen en de z-waarde. Mogelijk speelt ook de kromming van een schaal nog een rol. Dit zou verder onderzocht kunnen worden. Wellicht dat met behulp van de Rain Flow Analysis bekeken kan worden welk percentage van de belasting naar welke kant wordt afgedragen. Daarmee kunnen dan Hx en Hy berekend worden en daarmee kan het drukvlak worden bepaald. Het 3d drukvlak lijkt een goede methode om inzicht in het mechanisch gedrag van schalen te krijgen. Het zou in de toekomst een rol kunnen spelen in het ontdekken van nieuwe vormen, het besparen van materiaal en het ontwerpen van veilige constructies. 65

66 LITERATUUR Beranek, W.J. Toegepaste mechanica. Vlakke constructiedelen, 1975 Block, P. Equilibrium systems, Studies in Masonry Structure, Thesis for Master of Science in Architecture Studies, Massachusetts Institute of Technology, June 2005 Block, P. dejong, M. Ochsendorf, J. As hangs the flexible line: Equilibrium of Masonry Arches. Nexus Network Journal. 8(2), Block, P. Ochsendorf, J. Thrust Network Analysis: a new Methodology for Three-dimensional Equilibrium. Journal of the International Association for Shell and Spatial Structures. Symposium 2007, Venice. Borgart, A. de Leuw, M., Hoogenboom, P. The relationship of form and force i (irregular) curved surfaces. Proceedings of the 5 th International Conference on Computation of Shell and Spatial Structures. June Salzburg, Austria. Borgart, A. Mechanics of spatial Structures, collegedictaat 2002 Borgart, A. Mechanics of Structures, collegedictaat Borgart, A. Baecke, W. Mechanical behaviour of Axisymmetric folded plate and shell structures Borgart, A. Tiggeler, L. Computational Structural Form Finding and Optimization of Shell Structures. Proceedings of the International Association for Shell and Spatial Structures (IASS). Symposium 2009, Valencia. De Leuw, M.W. De steilste Helling Methode: de invloed van geometrie op het spanningsverloop in willekeurig gekromde schalen. Msc Thesis, 2005 Engel, H. Tragsysteme. Verlag Gerd Hatje, 1997

67 Hartsuijker, C. Toegepaste Mechanica, deel 1: evenwicht. Academic Service, Schoonhoven, Hartsuijker, C. Toegepaste Mechanica, deel 2: spanningen, vervormingen en verplaatsingen. Academic Service, Schoonhoven, Huerta,S. Mechanics of Masonry Vaults in Historical Constructions.Lourenco, P.B., Roca, P.(eds), Guimaraes, 2001 Lau, W. Equilibrium Analysis of masonry domes. Msc thesis, June Schodek, D.L., Structures, fifth edition. Pearson Prentice Hall. New Jersey, O Dwyer, D. Funicular Analysis of Masonry Vaults. Computers and Structures 73, , Zalweski, W. Allen, E. Shaping Structures, Statics. John Wiley & Sons, Inc. New ork,1998. Internet: 67

68 BIJLAGE: momenten en schijfkrachten varianten (Diana) Elpar elpar Mxx/Nxx Myy/ Nyy Mxy/Nxy Lx=ly 4 opleggingen Model: ELPARFFLL Element EL.M.L M Max = 264 Min = -188 Model: ELPARFFLL Element EL.M.L M Max = 219 Min = Model: ELPARFFLL Element EL.M.L M Max = 180 Min =

69 Model: ELPARFFLL Element EL.N.L N Max = 69.1 Min = -302 Model: ELPARFFLL Element EL.N.L N Max = 43.2 Min = -183 Model: ELPARFFLL Element EL.N.L N Max = 217 Min = Model: ELPARFFLLSCHOT Element EL.M.L M Max = 230 Min = -118 Model: ELPARFFLLSCHOT Element EL.M.L M Max = 260 Min = -98 Model: ELPARFFLLSCHOT Element EL.M.L M Max = 178 Min = -178 schot

70 Model: ELPARFFLLSCHOT Element EL.N.L N Max =.34E-1 Min = Model: ELPARFFLLSCHOT Element EL.N.L N Max = 5.05 Min = Model: ELPARFFLLSCHOT Element EL.N.L N Max = 10.5 Min = Model: ELPARL13L Element EL.M.L M Max = 319 Min = -182 Model: ELPARL13L Element EL.M.L M Max = 235 Min = -241 Model: ELPARL13L Element EL.M.L M Max = 226 Min = -226 Lx=1.3ly 4 opleggingen

71 Model: ELPARL13L Element EL.N.L N Max = 96.9 Min = -404 Model: ELPARL13L Element EL.N.L N Max = 43.5 Min = -190 Model: ELPARL13L Element EL.N.L N Max = 255 Min = Model: ELPARL13LSCHOT Element EL.M.L M Max = 246 Min = -137 Model: ELPARL13LSCHOT Element EL.M.L M Max = 324 Min = -171 Model: ELPARL13LSCHOT Element EL.M.L M Max = 221 Min = -221 schot

72 Model: ELPARL13LSCHOT Element EL.N.L N Max =.114 Min = Model: ELPARL13LSCHOT Element EL.N.L N Max = 5.32 Min = Model: ELPARL13LSCHOT Element EL.N.L N Max = 13.3 Min = Model: ELPARL15L Element EL.M.L M Max = 172 Min = -348 Model: ELPARL15L Element EL.M.L M Max = 277 Min = -246 Model: ELPARL15L Element EL.M.L M Max = 262 Min = -263 Lx=1.5ly 4 opleggingen

73 Model: ELPARL15L Element EL.N.L N Max = 115 Min = -484 Model: ELPARL15L Element EL.N.L N Max = 44.2 Min = -194 Model: ELPARL15L Element EL.N.L N Max = 281 Min = Model: ELPARL15LSCHOT Element EL.M.L M Max = 137 Min = -250 Model: ELPARL15LSCHOT Element EL.M.L M Max = 223 Min = -374 Model: ELPARL15LSCHOT Element EL.M.L M Max = 243 Min = -243 schot 73

74 Model: ELPARL15LSCHOT Element EL.N.L N Max =.217 Min = Model: ELPARL15LSCHOT Element EL.N.L N Max = 5.34 Min = Model: ELPARL15LSCHOT Element EL.N.L N Max = 14.8 Min = Model: ELPARL2L Element EL.M.L M Max = 128 Min = -353 Model: ELPARL2L Element EL.M.L M Max = 521 Min = -224 Model: ELPARL2L Element EL.M.L M Max = 350 Min = -351 Lx=2ly

75 Model: ELPARL2L Element EL.N.L N Max = 156 Min = -720 Model: ELPARL2L Element EL.N.L N Max = 46.4 Min = -202 Model: ELPARL2L Element EL.N.L N Max = 353 Min = Model: ELPARL2LSCHOT Element EL.M.L M Max = 120 Min = -277 Model: ELPARL2LSCHOT Element EL.M.L M Max = 328 Min = -507 Model: ELPARL2LSCHOT Element EL.M.L M Max = 284 Min = -284 schot Model: ELPARL2LSCHOT Element EL.N.L N Max =.378 Min = Z Model: ELPARL2LSCHOT Element EL.N.L N Max = 5.2 Min = Model: ELPARL2LSCHOT Element EL.N.L N Max = 19.5 Min =