WISKUNDE A/C VWO - GYMNASIUM BOEK I

Transcriptie

1 WISKUNDE A/C VWO - GYMNASIUM BOEK I

2 VWO GYMNASIUM WISKUNDE A/C BOEK I MathPlus is een digitale wiskundemethode gebaseerd op de open content van Math4all. In het colofon staan de namen van de betrokken auteurs. Eerste druk MALMBERG s-hertogenbosch

3 2 Voorwoord MathPlus is een digitale wiskundemethode gebaseerd op de open content van Math4all. Dit boek is afgeleid van de digitale methode. Niet alle onderdelen van de methode zijn in het boek overgenomen. Digitaal zijn er namelijk meer mogelijkheden dan op papier. Zo biedt de digitale methode leerroutes op basis van jouw individuele resultaten. Als onderdelen uitsluitend digitaal zijn aangeboden, kun je dat zien aan het icoontje: Elk hoofdstuk is als volgt opgebouwd: Instaptoets De Instaptoets kun je uitsluitend digitaal maken. In de instaptoets komt vereiste voorkennis aan bod, die in voorgaande hoofdstukken of leerjaren is behandeld. De Instaptoets bestaat uit gesloten vragen. Nadat je de toets hebt afgerond, geeft het systeem aan wat je al weet en waar je nog eens aandacht aan kunt besteden. Vervolgens kun je Uitleg of Voorbeeldopgaven raadplegen waarin die stof nog eens wordt herhaald. Context In het boek zijn altijd twee contexten opgenomen. Dit zijn voorbeelden uit de praktijk waarbij wiskunde een belangrijke rol speelt. Als je de stof van een hoofdstuk goed beheerst, zou je de opgave bij de contexten moeten kunnen maken. Paragraaf Iedere paragraaf begint met leerdoelen waarin is aangegeven wat je gaat doen. Na de leerdoelen volgen UITLEG waarin de stof wordt uitgelegd en VOORBEELDEN waarin voorbeeldopgaven zijn uitgewerkt. De opgaven die bij uitleg en voorbeeld horen, herken je aan het blauwe balkje. OPGAVE 0.12 In THEORIE wordt de stof nog eens samengevat. Het is een veralgemenisering van de informatie bij uitleg. Je kunt tonen dat je de stof beheerst via de opgaven bij VERWERKEN. Die opgaven hebben een niveauaanduiding: is makkelijk, is het niveau wat je moet behalen en is een moeilijke opgave. OPGAVE 0.11 Als je de opgaven digitaal maakt, houdt de methode jouw scores bij. Zo zie je precies wat je allemaal goed en fout hebt gedaan. Soms moet je zelf aangeven of je een opgave goed had of niet. De vragen met een sterretje ( ) en die met twee sterren ( ) hebben bovendien een herkansingsopgave: een soortgelijke opgave om het nog eens te proberen als je de eerste opgave fout maakte.

4 3 Bij sommige opgaven kun je gebruikmaken van werkbladen. Dat staat in de tekst zo vermeld: WERK- BLAD. Je krijgt die werkbladen van je docent of print ze zelf (thuis). Ook heb je bij bepaalde hoofdstukken externe bestanden nodig. Dat zie je aan BESTAND. In de digitale methode kun je direct doorklikken naar zo n bestand. Werk je met het boek, dan ontvang je die bestanden van je docent. Bij sommige opgaven zie je dit symbool: zijn meestal moeilijke opgaven.. Dat zijn opgaven ontleend aan de wiskundeolympiade. Dit Testen Ieder hoofdstuk wordt afgesloten met toetsopgaven in de Voorbeeld eindtoets. Via een aantal opgaven kun je nagaan of je de stof van het hoofdstuk voldoende beheerst. Ook hier gaat MathPlus digitaal net een stapje verder: op basis van jouw resultaten in verwerken krijg je een set toetsopgaven die voor jou persoonlijk is samengesteld. Automatisch nakijken met AlgebraKIT In het digitale product kijkt de computer jouw uitwerkingen automatisch na. Je kunt hints opvragen en per tussenstap geeft het systeem aan of je het goed of fout hebt gedaan. Veel succes met MathPlus! De auteurs

5 4 Inhoud 1 Functies en grafieken Werken met formules 1 Formules gebruiken Formules herschrijven Formules en de grafische rekenmachine 23 4 Vergelijkingen Ongelijkheden Voorbeeld eindtoets Functies en grafieken Exponentiële functies 1 Exponentiële groei Reële exponenten Exponenten en machten Exponentiële functies Meer exponentiële functies Voorbeeld eindtoets Functies en grafieken Functies en grafieken 1 Het begrip functie Domein en bereik Lineaire en kwadratische functies Karakteristieken Transformaties Voorbeeld eindtoets Differentiaalrekening 4 Veranderingen 1 Veranderingen in grafieken Veranderingen per stap Differentiequotiënt Differentiaalquotiënt Hellingsgrafiek Voorbeeld eindtoets Register

6 Functies en grafieken Werken met formules Instaptoets Vergelijkingen Formules gebruiken Ongelijkheden Formules herschrijven Voorbeeld eindtoets Formules en+ de + grafische rekenmachine

7 6 DOMEIN Functies en grafieken Brug CONTEXT 1 Nederland is een land met veel water en heeft daarom ook veel bruggen. Deze kunnen in verschillende vormen voorkomen. Zo komen in Nederland veel plaatbruggen voor om kleine afstanden te overbruggen. Een plaatbrug bestaat uit een platte plaat die vaak is gemaakt van gewapend beton. Daar bovenop wordt het wegdek aangelegd. Deze bruggen zijn bedoeld om verkeer snel over een niet erg breed riviertje of een smal kanaal te kunnen brengen. het wegdek in meters en l de lengte van de overspanning in meters. Uit veiligheidsoverwegingen mag de zakking niet meer bedragen dan 1 mm per 10 m overspanning. Bereken de maximale lengte van de brug zodat de maximale zakking niet wordt overschreden. OPGAVE De overheid wil een nieuwe plaatbrug bouwen. Het wegdek van de brug moet 30 cm dik worden. Hoe lang de overspanning van de brug kan worden hangt af van de dikte van het wegdek. De constructeur heeft de volgende formule bepaald voor de zakking van het middelste punt van de overspanning afhankelijk van de dikte van het wegdek en de lengte van de overspanning. (Deze is gebaseerd op formules afkomstig uit de natuurkunde en de studie van materiaaleigenschappen). w = 10-9 (4+20h)u 4 h 3 Hierin stelt w de zakking in meters voor, h de dikte van

8 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 7 CONTEXT 2 Webwinkel De laatste jaren wordt online winkelen steeds populairder. Je kunt op elk moment de producten bekijken en vanuit je luie stoel bestellen. Vaak bieden webwinkels een aantrekkelijke prijs. Meestal worden producten de volgende dag al bezorgd. Om het bezorgproces soepel te laten verlopen, hebben webwinkels grote distributiecentra in het land. Veel van de producten zijn daar opgeslagen. Zodra jouw bestelling binnenkomt, worden de gewenste producten uit het magazijn gehaald en verpakt in een doos. Vervolgens worden rond middernacht alle dozen door de postbezorger opgehaald om verspreid te worden over het hele land. Hiervoor heeft het postbedrijf meerdere sorteercentra om de pakjes op de juiste plek te krijgen. Bij de sorteercentra komt de postbezorger de pakjes in de ochtend ophalen om deze gedurende de dag bij jou thuis af te leveren. OPGAVE Een webwinkel ontwerpt een nieuwe doos waarvoor een stuk karton van 1 1, 5 meter wordt gebruikt. De doos bestaat uit een grondvlak, vier zijvlakken en twee flappen om de bovenkant af te sluiten. De doos wordt gevouwen volgens de overzichtstekening, waarbij het gearceerde gedeelte de flappen voor de bovenkant voorstelt en h de variabele hoogte van de doos is. Bereken voor welke waarde van h de inhoud van de doos 80 dm 3 is.

9 8 DOMEIN Functies en grafieken 1.1 Formules gebruiken In deze paragraaf leer je: verschillende soorten formules herkennen: formules die een verband weergeven tussen variabelen, formules in de vorm van een vergelijking die je kunt oplossen en formules als rekenregel; bij een formule die het verband tussen twee variabelen beschrijft de grafiek tekenen; onderscheid maken tussen grootheden en eenheden. UITLEG De oppervlakte van een rechthoek kun je uitrekenen door de lengte en de breedte met elkaar te vermenigvuldigen. Deze zin kun je inkorten tot A = l b, als je de oppervlakte van de rechthoek voorstelt door de variabele A, de lengte door de variabele l en de breedte door de variabele b. Zo n ingekorte zin heet een formule. Formules zijn overzichtelijker dan zinnen, maar je moet onthouden wat de variabelen voorstellen. Lengte en breedte zijn grootheden waarbij een eenheid (bijvoorbeeld centimeter) hoort. In formules schrijf je alleen variabelen, geen eenheden. Bij toepassingen moet je wel zorgen dat de eenheden kloppen: als lengte en breedte in meter zijn, dan is de oppervlakte in vierkante meter. Een formule is een gelijkheid als er een isgelijkteken in voorkomt. Een formule met meerdere variabelen zoals a = 2t 2 + 6t beschrijft een verband, in dit geval tussen de variabelen a en t. Bij een verband kun je een tabel en een grafiek maken: t a Vul je in het verband voor a een getal in, bijvoorbeeld 56, dan is er nog maar één variabele over. Het verband is dan veranderd in de vergelijking 2t 2 + 6t = 56. Die vergelijking geeft informatie over de onbekende t. In de tabel zie je dat een oplossing voor deze vergelijking t = 4 is. Een rekenregel is een formule die waar is voor iedere waarde van de variabele(n) die er in voorkomen. De formule 2t (t + 3) = 2t 2 +6t is een rekenregel want dit is waar voor elke waarde van de variabele (t).

10 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 9 OPGAVE 1.1 OPGAVE 1.2 Bekijk de uitleg en beantwoord de vragen. a Noem drie verschillende eenheden bij de grootheid tijd. b Noem een mogelijke grootheid bij de eenheid cm 3. c Leg uit wanneer je bij een formule een grafiek kunt maken. d Laat zien dat de formule 2t (t + 3) = 2t 2 +6t uit de uitleg geldt voor elke waarde van t door de haakjes uit te werken. Geef van de formules aan of het een verband tussen twee variabelen is of niet. a H = 20 g 3 b H + 20 = 70 c x + y = 4 THEORIE Een formule is een wiskundige uitdrukking met een of meer variabelen. Vaak heeft een formule ook een isgelijkteken. De formule (x + 3)(x + 4) = x 2 + 7x + 12 geldt voor elke waarde van x en heet daarom een rekenregel. De formule 2t + 40 = 300 heeft maar één variabele en geeft informatie over de onbekende t. Deze vergelijking heeft als oplossing t = 130, want = 300. De formule A = z 2 is een vergelijking met twee variabelen en beschrijft een verband tussen de variabelen A en z. Je kunt er een tabel bij maken en een grafiek bij tekenen. z A In de praktijk beschrijven formules vaak het verband tussen grootheden. Die grootheden worden voorgesteld door een variabele. De naam van de variabele lijkt vaak op de naam van de grootheid. Bij zo n grootheid hoort weer een afgesproken eenheid waarin hij kan worden gemeten. Voorbeeld 1 Een tuinman heeft voor 30 m 2 graszoden gekocht. Daarmee kan hij verschillende rechthoekige grasveldjes leggen. Tussen de lengte en breedte (in meter) van deze veldjes bestaat dan het verband: lengte breedte = 30 Bij deze formule kun je een tabel maken en een grafiek tekenen. Je begint met een tabel en een "leeg" assenstelsel. Het kan verstandig zijn om eerst de tabel

11 10 DOMEIN Functies en grafieken helemaal in te vullen en daarna pas het assenstelsel te tekenen, omdat je dan geschikte stapgroottes kunt bepalen voor de assen. Als lengte = 1 dan is 1 breedte = 30. Dus breedte = 30. Dit noteer je in de tabel. In het assenstelsel komt het punt (1, 30). Als lengte = 2 dan is 2 breedte = 30. Dus breedte = 30 2 = 15. Dit noteer je in de tabel. In het assenstelsel komt het punt (2, 15). Zo vul je de tabel verder in. De bijbehorende punten komen in het assenstelsel. Ten slotte teken je een vloeiende grafiek door de getekende punten. lengte breedte , OPGAVE 1.3 Gebruik de formule: oppervlakte (rechthoek) = lengte breedte. a Stel dat gegeven is: lengte = 6 meter. Vul dit in de formule in. Geef de formule die hierdoor ontstaat. b Stel dat gegeven is: oppervlakte = 12 m 2. Schrijf op wat de formule dan wordt. c Van een rechthoek is bekend dat het een vierkant is. Schrijf de formule op die voor deze rechthoek het verband tussen oppervlakte en lengte beschrijft. De grafieken horen bij de formules uit de vragen a, b of c. grafiek I grafiek II grafiek III d Neem de grafieken over. Schrijf bij elke grafiek de juiste formule, zet de juiste variabelen bij de assen en maak er een goede schaalverdeling bij.

12 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 11 OPGAVE 1.4 Voor het gebruik van elektriciteit betaal je een vast bedrag per jaar en een bedrag per kwh (kilowattuur) verbruik. De totale jaarlijkse kosten hangen daarom af van het aantal kwh dat er wordt verbruikt. Die totale kosten kun je omrekenen naar gemiddelde totale kosten (euro per kwh). Er geldt: K = 0, u. In de formule is a het verbruik van elektriciteit in kwh en K de gemiddelde totale kosten per kwh (in euro). a Hoeveel bedraagt het vaste bedrag per jaar? b Teken een grafiek van K afhankelijk van a. c Voor welke waarde van a bedragen de gemiddelde totale kosten per kwh 16 eurocent? Voorbeeld 2 Een aannemer krijgt voor een opdracht een vast bedrag van de opdrachtgever. De aannemer maakt gebruik van de winstformule W = t, waarbij W de winst in euro is en t de tijd in dagen die aan het project besteed wordt om het af te krijgen. Bekijk de bijbehorende grafiek. Hoe lees je uit de grafiek af bij welke t er geen winst en geen verlies wordt gemaakt? Antwoord Als W = 0 wordt er geen verlies en geen winst gemaakt. Je moet dus het snijpunt van de grafiek met de horizontale as hebben. Je ziet dat bij t 6, 5 de winst 0 is. Dus als het bedrijf ongeveer 6, 5 dag kwijt is aan het project, dan maakt het geen winst en geen verlies. OPGAVE 1.5 Bereken na hoeveel dagen de aannemer uit het voorbeeld geen winst en geen verlies maakt. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig. OPGAVE 1.6 Een bedrijf krijgt , 00 voor het uitvoeren van een project. Voor elke dag dat ze aan het project werken neemt het bedrag dat ze als winst kunnen boeken af met 4000, 00. a Stel een winstformule op voor dit project. Gebruik de variabele W voor de winst en de variabele t voor het aantal dagen dat aan het project gewerkt wordt. b Teken de grafiek bij de formule die je bij a hebt gevonden. c Als het bedrijf van tevoren wist dat het project meer dan tien dagen aan tijd zou kosten, was het dan verstandig geweest om het project aan te nemen? d Bij hoeveel dagen maakt het bedrijf geen winst en geen verlies?

13 12 DOMEIN Functies en grafieken Voorbeeld 3 Wat is het verschil tussen de volgende formules? K = 2a 3b 5x + 4 = 2x + 10 (x + 2)(x + 3) = x 2 + 5x + 6 Antwoord K = 2a 3b is een verband tussen drie variabelen: K, a en b. 5x + 4 = 2x + 10 is een vergelijking die je kunt oplossen. De oplossing is: x = 2. (x + 2)(x + 3) = x 2 + 5x + 6 is een rekenregel. Dit wordt duidelijk als je de haakjes wegwerkt: (x + 2)(x + 3) = x 2 + 3x + 2x + 6 = x 2 + 5x + 6. OPGAVE 1.7 In het voorbeeld zie je de formule K = 2a 3b. a Neem a = 4 en teken de grafiek. b Neem nu b = - 1 en teken de grafiek. OPGAVE 1.8 VERWERKEN Geef van de formules aan wat ze beschrijven: een verband tussen variabelen, een rekenregel of een vergelijking die je kunt oplossen. a 3 (2x + y) = 6x + 3y A een verband B een rekenregel C een vergelijking b 2x 4 = x + 5 A een verband B een rekenregel C een vergelijking c y = 2x A een verband B een rekenregel C een vergelijking d R = p q A een verband B een rekenregel C een vergelijking OPGAVE 1.9 Een boot staat aan de top van een vlakke helling en wordt met een constante snelheid te water gelaten. De hoogte h (in centimeter) van de onderkant van de boot boven het water wordt gegeven door de formule h = t, waarbij t de tijd in minuten is. Het laagste punt van de helling ligt onder water. a Teken de grafiek bij de formule. b Na hoeveel tijd (in seconden nauwkeurig) raakt de onderkant van de boot net het water? c De boot ligt na 4, 5 minuten volledig in het water. Hoeveel centimeter ligt de onderkant van de boot dan onder water?

14 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 13 OPGAVE 1.10 Voor een telefoonabonnement wordt de formule K = 0, u gebruikt, waarbij a het aantal belminuten per maand is en K de totale kosten in euro per belminuut. a Wat zijn de vaste kosten en wat zijn de kosten die je voor elke gebelde minuut moet betalen? b Teken deze grafiek bij de formule. Neem een maximum van 200 belminuten. c Bij hoeveel belminuten betaal je 12 eurocent per minuut? 200 V OPGAVE 1.11 I = 10 A Een elektrische weerstand wordt aangesloten op een spanning van 200 Volt. Met behulp van een ampèremeter kun je de stroomsterkte meten. Voor deze situatie geldt de wet van Ohm: U = I R waarin U de spanning in V (Volt), I de stroomsterkte in A (Ampère) en R de weerstand in Ω (Ohm). a Bij een spanning van 200 Volt beschrijft de wet van Ohm het verband tussen I en R. Welke formule hoort daar bij? En welke eenheden horen bij deze formule? b Teken de grafiek bij deze formule. Zet R op de horizontale as. c Welke stroomsterkte wordt er gemeten als R = 15? 20Ω OPGAVE 1.12 Voor de inhoud I van een balk met hoogte 4 centimeter geldt de formule I = 4 l b, waarbij l de lengte en b de breedte van de balk is. a In welke eenheid moet I worden uitgedrukt als de lengte en breedte in centimeters zijn? b Wat zijn de grootheden in de formule? c Stel dat je een balk hebt met een inhoud van 64 cm 3. Welke formule hoort hier bij? Teken ook de grafiek bij de formule, waarbij l op de horizontale as komt. d Teken in de grafiek die je bij c hebt getekend ook de lijn b = l. Deze lijn snijdt de grafiek van b, wat betekent dit snijpunt voor de balk? OPGAVE 1.13 De Quetelet-index (QI) is een maat voor een gezond gewicht. Je berekent de QI met de formule QI = u u 2. Hierin is l je lengte in meters en G je gewicht in kilogram. Bij deze index wordt de eenheid niet vermeld. De waarde wordt in één decimaal nauwkeurig uitgerekend en gebruikt. Neem aan dat een QI van 20 tot 25 gezond is. a Bereken de QI van iemand die 180 centimeter lang is en 78 kilogram weegt. b Bij een QI van 20 kun je een grafiek maken van iemands gewicht afhankelijk van zijn lengte. Teken die grafiek. c Teken in hetzelfde assenstelsel de grafiek QI = 25. d Stel je een persoon voor van 180 centimeter lengte. Geef in je figuur aan welke gewichten voor deze persoon gezond zijn. Zet de ondergrens en de bovengrens er in de grafiek bij, in kilogram nauwkeurig.

15 14 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 1.14 Een reclamedrukbedrijf print flyers in bulkbestellingen. Hoe groter de bestelling, hoe minder je kosten per flyer bedragen. Bij dit bedrijf zijn de drukkosten als volgt bepaald: voor bestellingen van 1000 flyers of minder betaal je vaste kosten van 15,00 plus 0,01 per flyer. Bij grotere bestellingen zijn de vaste kosten 20,00, maar de prijs per flyer daalt naar 0,005. a Geef een globale schets van de grafiek van de kosten van een bestelling flyers, afhankelijk van de grootte van de bestelling. b Druk de totaalkosten van een bestelling flyers uit in de hoeveelheid te printen flyers. c Geef de uitdrukking voor de prijs per flyer, als je de totaalkosten weet.

16 HOOFDSTUK 1 Werken met formules Formules herschrijven In deze paragraaf leer je: formules herleiden; haakjes uitwerken; ontbinden in factoren; werken met breuken. UITLEG 1 Als een rechthoek met lengte l en breedte b een omtrek heeft van 12, dan geldt de vergelijking 2 l + 2 b = 12. Die vergelijking kun je schrijven als 2l + 2b = 12 en dus als l + b = 6. De vergelijking wordt er overzichtelijker van. Je kunt op deze manier vaak vergelijkingen vereenvoudigen. Door vereenvoudigen veranderen de oplossingen van de vergelijking niet. l+b = 6 kun je ook schrijven als l = 6 b. Nu heb je l uitgedrukt in b. Als je b wilt uitdrukken in l, krijg je b = 6 l. Nog steeds hebben deze vergelijkingen dezelfde oplossingen. De vergelijkingen heten dan gelijkwaardig. Als je de vergelijking 3xy + 9x = 12 zo wilt herleiden dat y is uitgedrukt in x, dan gaat dat zo: 3xy + 9x = 12 xy + 3x = 4 xy = 4 3x y = 4 3u u beide zijden /3 beide zijden - 3x beide zijden /x OPGAVE 2.1 Schrijf de formules zo eenvoudig mogelijk. a 2 x + 3 y + 4 x 6 y = 12 b 2 x y + x y = 18 c y = 4x 2 + x + 3y 7x + 2x 2 d 2xy + xy 3x = 18 OPGAVE 2.2 Herleid de formules zodat y is uitgedrukt in x. a 2x 4y = 10 b - 3x + 5 = 10 2y c 5x + 10xy = 20 d x (y + 2) = 6

17 16 DOMEIN Functies en grafieken UITLEG 2 Stel, je wilt de formule 2y 2 4x = 0 zo herleiden dat y is uitgedrukt in x. 2y 2 4x = 0 2y 2 = 4x y 2 = 2x y = ± 2x beide zijden +4x beide zijden /2 beide zijden worteltrekken Je krijgt zowel y = - 2x als y = 2x, omdat (- 2x) 2 = ( 2x) 2 = 2x. Je vindt dus y = 2x y = - 2x. Je hebt nu de variabele y uitgedrukt in x. Je ziet dat er twee mogelijkheden zijn: het teken tussen beide mogelijke formules betekent en/of. Het gaat om een verband tussen x en y waarbij de ene formule en/of de andere formule hoort. OPGAVE 2.3 Herleid de formules zodat y is uitgedrukt in x. a x = 4y 2 b x 2 + y 2 = 25 OPGAVE 2.4 In een rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras. In formulevorm: a 2 + b 2 = c 2. a b Geef twee gelijkwaardige formules. Neem a = 3x en b = 4x en druk c uit in x.

18 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 17 THEORIE Formules kun je herleiden (of herschrijven) met rekenregels. Zo is de uitdrukking l + l + b + b te herleiden tot 2l + 2b. Als je in beide uitdrukkingen dezelfde waarden voor de variabelen b en l invult, geven ze een gelijke waarde als uitkomst. De uitdrukkingen zijn dus gelijkwaardig. Formules kunnen ook gelijkwaardig zijn. Zo zijn 2l + 2b = 60 en b = 30 l gelijkwaardig, want als je dezelfde waarden voor b respectivelijk l invult, zijn beide formules tegelijk waar of niet waar. En daarom zijn dit gelijkwaardige formules. Formules blijven gelijkwaardig als je de gewone rekenregels toepast, zoals haakjes wegwerken, ontbinden in factoren en rekenen met breuken. Ook mag je: aan beide zijden van een isgelijkteken hetzelfde optellen of aftrekken; aan beide zijden van een isgelijkteken met hetzelfde vermenigvuldigen of delen (behalve vermenigvuldigen of delen met 0); de uitdrukkingen aan beide zijden van het isgelijkteken verwisselen. Hier zie je nog een keer de rekenregels voor werken met haakjes en breuken: haakjes wegwerken (ook wel haakjes uitwerken ): a (x + y) = a x + a y (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d ontbinden in factoren: a x + a y = a (x + y) x 2 + p x + q = (x + a) (x + b) met a + b = p en a b = q (de productsommethode) breuken optellen/aftrekken: u u ± u u = u u u u ± u u u u = u u ±u u u u breuken vermenigvuldigen (ga ervan uit dat er nergens door 0 wordt gedeeld): u u u u = u u u u breuken delen u u / u u = u u u u / u u u u = u u u u of u u u u = u u u u u u u u = u u u u = u u u u

19 18 DOMEIN Functies en grafieken Voorbeeld 1 Voorbeelden van haakjes wegwerken zijn: - 2 (x y) = - 2 x - 2 y = - 2x + 2y 2x 2 (x 3 5x) = 2x 2 x 3 10x 2 x = 2x 5 10x 3 2 (x 5) = 2 x - 5 = 2 x + 5 = 7 x (x + 3)(x 5) = (x + 3)(x + - 5) = x x+x x+3-5 = x 2 2x 15 Denk na vóór je haakjes wegwerkt. Bijvoorbeeld: aan de uitdrukking (x 5) 2 zie je gemakkelijk dat die gelijk is aan 0 als x = 5. Werk je de haakjes weg, dan krijg je de uitdrukking x 2 10x + 25 en zie je dat een stuk minder snel. Pas ook goed op met de volgende berekening (waar staan de haakjes?): Goed: u +6 2 = u = 1 2 x + 3 Fout: 6 u +2 = 6 u + 3 Bij de eerste breuk moet je zowel x als 6 door 2 delen. Met een getalvoorbeeld kun je zien dat de tweede breuk niet goed is uitgewerkt. Kies je bijvoorbeeld x = 1, dan zou de uitkomst en niet = = 2 moeten zijn OPGAVE 2.5 Bekijk het voorbeeld. Werk in de uitdrukkingen de haakjes weg en schrijf zo kort mogelijk. a 3x (x 2y) b 2a (9a + 6) c 0, 5p 100p p (20p + 100) d - 5p 3 (p 2 3p 3 ) e 0, 5x (10x 3) 5x 2 f 3(u +2)+6 3 OPGAVE 2.6 Werk in de uitdrukkingen de haakjes weg en schrijf zo kort mogelijk. a (x + 2) (x + 4) b 2(b + 4)(b 2) c (l + 3)(l 3) d (5c 4) 2 Voorbeeld 2 Voorbeelden van ontbinden in factoren zijn: 2x 2 + 6xy = 2x x + 2x 3y = 2x(x + 3y) - x 2 + 4x = - x x - x 4 = - x(x 4) x 2 4x 12 = (x + 2)(x 6) (de productsommethode toepassen) 3x 4 + 9x 8 = 3x 4 (1 + 3x 4 )

20 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 19 OPGAVE 2.7 Ontbind in factoren. a 2x x b 3x 2 9x c x 2 + 5x + 4 d b 2 9b + 8 e k 2 17k + 16 OPGAVE 2.8 Ontbind in factoren. a c 3 + 2c 2 + c b p 3 p 5 c 2x 4 + 8x 10 d 3y 4 6y 5 Voorbeeld 3 Als breuken gelijknamig zijn, mag je ze bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken = u 2 u = 3 u Als je breuken met verschillende noemers wilt optellen of aftrekken, moet je ze eerst gelijknamig maken = = = u + 3 u = 4u u u + 3u u u = 3u +4u u u Breuken vereenvoudig je door teller en noemer door hetzelfde getal te delen. Hier zie je nog een paar voorbeelden (ga ervan uit dat je nooit door 0 deelt): 2 u + 5 u = 7 u 2 u 5 u = - 3 u = - 3 u 2 u 5 u = 2u u u 5u u u = 2u 5u u u 2 3u + 5 u 2 = 2u 3u u 2 = 2u +15 3u 2 2 u 1 u +3 = 2(u +3) u (u +3) 1 u u (u +3) = u +6 u (u +3) OPGAVE 2.9 Schrijf als één breuk. a c 2 u + 1 u b d 2 u + 1 u

21 20 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 2.10 Schrijf als één breuk. a 2 u + 5 u b - 3 u 8 u 2 c 1 u + 1 u +1 d 2 u 3 2u +1 Voorbeeld 4 Breuken kun je vermenigvuldigen of delen. Bij delen kun je direct gebruiken: u u / u u = u u u u. Delen door de breuk u u is gelijkwaardig met vermenigvuldigen met de breuk u u. Hier zie je een paar voorbeelden (ga ervan uit dat je nooit door 0 deelt): 2 u 5 u = 10 u 2 2 u / 5 u = 2 u u 5 = 2 u 5 u = 2 5 ; opmerking: u u = 1. 2 u / 5 u = 2u u u / 5u u u = 2u 5u of 2 u 5 u 2u 3 5 u 2 = 10u 3u 2 = 10 u 3u u = 10 3u 2u 3 / 5 u 2 = 2u 3 3u 2 / 15 3u 2 = 2 u u 5 = 2u 5u = 2u 3 15 = 2 15 a3 of 2u 3 5 u 2 = 2u 3 u 2 5 = 2u 3 15 = 2 15 a3 OPGAVE 2.11 Schrijf als één breuk. a b 2 7 / 3 10 c d 2 u 1 u 2 u / 1 u OPGAVE 2.12 Schrijf als één breuk. a 2 3u 5 2u b 2 u 1 2u c 3 5u / 2u 5 d 2 u + 1 u +1

22 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 21 OPGAVE 2.13 VERWERKEN Schrijf de formules zo eenvoudig mogelijk. a 4 x + 10 = 3 x 2 y b 2 y + 2 x x + 4 x = 6 x 2 OPGAVE 2.14 Schrijf als één breuk. a 3 u + 5 u b c 3 u 2 2 u 2 u / 3 u d 2x 1 2u e 10u 7u 5 6u OPGAVE 2.15 Druk in de formules y uit in x. Schrijf ze daarna zo eenvoudig mogelijk. a x 2y = 10 b (x + 2) y = 6 c x = 4 y 2 d x y 2 = 4 OPGAVE 2.16 a b c Herleid de formule 2(y + 3) + x = 4 zo dat y is uitgedrukt in x. Herleid de formule 2y 3(2x 5) = 11 zo dat y is uitgedrukt in x. Herleid de formule (x 3) 2 +4y +2x 2 = x +y +10 zo dat y is uitgedrukt in x. OPGAVE 2.17 Werk de haakjes weg en herleid. a - 3x(x + 2y) b - 2x (x 2 + 6x) c (t + 20)(t 5) d (x 2 + 1)(3x 2) e (a 3)(a + 3) f (x 2) 2 OPGAVE 2.18 Ontbind in factoren. a x 2 4x b - 2t t c x 2 + 5x 6 d 12 4p p 2 e q 3 + 4q 2 + 8q OPGAVE 2.19 In Nederland wordt de temperatuur in graden Celsius ( C) uitgedrukt. In sommige andere landen gebruiken ze graden Fahrenheit ( F). Met de formule T F = 1, 8T C + 32, waarbij T C de temperatuur in C is en T F de temperatuur in F, kun je uitrekenen wat de temperatuur in graden Fahrenheit is als je de temperatuur in graden Celsius weet. a Water kookt bij 100 C, hoeveel F is dit? b Als je de temperatuur in F weet kun je met een formule gemakkelijk uitrekenen hoeveel C dat is. Geef die formule door T C uit te drukken in T F.

23 22 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 2.20 Een boer heeft een rechthoekig stuk land dat twee keer zo lang is als breed. Uit het oogpunt van landschapsbeheer haalt hij aan beide lange zijden een strook van 3 meter breed af en maakt daar een smalle boswal. Verder maakt hij een bredere boswal van 10 meter breed aan één van beide korte zijden. Zijn land wordt daarmee 2690 m 2 kleiner. a Maak eerst een tekening van de situatie. Noem de oorspronkelijke breedte van het land x (in meter). Hoe groot is de oppervlakte van dit land, uitgedrukt in x? b Hoe groot is de oppervlakte van het land na de aanleg van de boswal? Geef deze oppervlakte als formule met haakjes. c Bereken door wegwerken van de haakjes hoe groot de breedte van het rechthoekige stuk land is. OPGAVE 2.21 Windmolens kunnen elektriciteit opwekken. Voor een zekere windmolen wordt dat aangegeven door de formule: P = 0, v 3 D 2. Hierin is P het (gemiddelde) vermogen in kw (kilowatt), v de (gemiddelde) windsnelheid in m/s en D de rotordiameter in meter. a Ga uit van een windmolen met een diameter van 24 meter. Bij welke windsnelheid in km/h wordt een vermogen van 26 kw opgewekt? b Ga weer uit van een vermogen van 26 kw. Welke diameter de windmolen moet hebben, kun je dan berekenen als je de snelheid van de wind weet. Stel een formule op die D uitdrukt in v. c In een bepaald gebied ligt de windsnelheid tussen de 7, 2 en de 36 km/h. Als je een (gemiddeld) vermogen van 26 kw met een windmolen wilt kunnen opwekken, tussen welke waarden kies je dan de diameter van die molen?

24 HOOFDSTUK 1 Werken met formules Formules en de grafische rekenmachine In deze paragraaf leer je: verbanden herleiden tot ze de juiste vorm hebben voor de grafische rekenmachine; grafieken maken met de grafische rekenmachine; het begrip functie; verbanden combineren. UITLEG De formule x + 2y = 12 beschrijft een verband tussen x en y. Herbij kun je een grafiek tekenen. Deze grafiek kun je ook met de grafische rekenmachine tekenen. Om hem te kunnen invoeren moet je de formule herschrijven in de vorm y =... Je zegt ook wel dat y uitgedrukt moet worden in x. x + 2y = 12 2y = 12 x y = 6 0, 5x beide zijden - x beide zijden /2 Je hebt de variabele y geschreven als functie van x. Nu kun je de formule in de grafische rekenmachine invoeren. In het PRACTICUM: BASISTECHNIEKEN GR leer je de eerste beginselen van het werken met de grafische rekenmachine. OPGAVE 3.1 Gegeven is de formule y = 0, 5x 2 x 4. a Voer de formule in op de grafische rekenmachine. b Laat de grafiek op je beeldscherm verschijnen. Bereken welke y-waarde bij x = 9 hoort.

25 24 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 3.2 Gegeven is de formule 4x + 2y = 10. a Herleid de formule tot y een functie is van x. b Teken de grafiek bij de formule met de grafische rekenmachine. OPGAVE 3.3 Gegeven zijn de twee formules 2x + y = 6 en x 2 + 2y = 12. a Herleid beide formules tot y een functie is van x. b Voer beide formules in de grafische rekenmachine in en teken met de grafische rekenmachine de grafieken. c Bepaal met de de tabel op de grafische rekenmachine de snijpunten van beide grafieken. OPGAVE 3.4 Druk in de formules y uit in x. a x y = 12 b 2x + 5y = 4 c 2(x + y) = 6 d 32x = 2y 2 THEORIE Bij een formule die het verband tussen de variabelen x en y beschrijft, noem je y een functie van x, wanneer deze formule de vorm y =... heeft. In de bijbehorende grafiek komt y dan altijd op de verticale as. In de formule y = x is y een functie van x. In de formule P = 0, 052v 3 is P een functie van v. De formule a + 2b = 6 kun je op twee manieren schrijven: a = 6 2b, met a als functie van b. b = 3 0, 5a, met b als functie van a. Formules met twee variabelen van de vorm y =... kun je in de grafische rekenmachine invoeren. Hoe je dat doet vind je in het PRACTICUM: BASISTECH- NIEKEN GR. Hier zie je bijvoorbeeld de grafiek van de functie y = 0, 052x 3. Het maken van de grafiek van een functie op de grafische rekenmachine wordt plotten genoemd.

26 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 25 Voorbeeld 1 Bij het toedienen van een medicijn wordt er een bepaalde stof in het bloed opgenomen. Voor de concentratie van het medicijn in het bloed gedurende de eerste twaalf uur na het toedienen kun je (bij benadering) de formule C = 14u u 2 +4 gebruiken. C is de concentratie in milligram per liter en t de tijd in uren na het toedienen. Plot de grafiek en bepaal na hoeveel tijd er een maximale concentratie is. Antwoord Je voert in de grafische rekenmachine de formule in als Y1=(14X)/(X^2+4) (denk om de haakjes). Welke vensterinstellingen zijn nu geschikt? Uit de gegevens volgt dat t begint bij t = 0, dus x is minimaal 0. De maximale waarde voor x volgt ook uit de gegevens, die is namelijk 12. Verder weet je dat C 0, dus y is ook minimaal 0. Als je een tabel met stapgrootte 1 maakt met de grafische rekenmachine zie je dat y maximaal 3, 5 is. Dus voor de maximale waarde van y kun je 4 kiezen. In de grafiek zie je dat er bij t = 2 een maximum is van C = 3, 5. Dus de maximale concentratie is 3, 5 mg/liter. OPGAVE 3.5 Bekijk het voorbeeld. Stel dat voor het medicijn de formule C = 8u u 2 zou gelden. Plot nu de grafiek en bepaal voor welke t de concentratie maximaal +1 is. OPGAVE 3.6 Voor een kopieerapparaat bedraagt de maandelijkse huur 250,00 waarbij nog een bedrag van 0,06 per kopie komt. Op school staat zo n apparaat speciaal voor gebruik door leerlingen. De leerlingen betalen 0,10 per kopie. a Geef een formule voor de prijs per kopie (P) als functie van het aantal kopieën (a). b Maak de grafiek van P op de grafische rekenmachine. Welke vensterinstellingen zijn geschikt? c Bij welke waarden van a maakt de school winst? Voorbeeld 2 Als je 360 meter afrastering beschikbaar hebt voor een rechthoekig veld met een oppervlakte van 0, 5 ha, dan geldt: l b = 5000 en 2l + 2b = 360 Hierin is l de lengte in meter en b de breedte in meter van de rechthoek. Zoek nu waarden voor l en b die aan beide formules voldoen. Antwoord Schrijf de formules als: l = 5000 u en l = 180 b. Voer ze in de grafische rekenmachine in als Y1=5000/X en Y2=180-X. Om een goede grafiek te krijgen, kies je verstandige grenzen van de waarden van x (de breedte) en y (de lengte).

27 26 DOMEIN Functies en grafieken Je ziet dat de grafieken twee snijpunten hebben. Om die snijpunten gaat het. Je kunt ze benaderen met de tabel van de grafische rekenmachine. Je vindt dat l 34 en b 146 of l 146 en b 34. Dus het rechthoekig veld is dan ongeveer 146 meter bij 34 meter. OPGAVE 3.7 Bekijk het voorbeeld. Stel dat je 400 meter afrastering beschikbaar hebt voor een rechthoekig stuk land van 0, 75 hectare. Wat worden dan de afmetingen van het rechthoekig stuk land? OPGAVE 3.8 Bepaal met de grafische rekenmachine het snijpunt van de grafieken x +y = 9 en y = x 3 in één decimaal nauwkeurig. Voorbeeld 3 Gegeven is de formule K = 4a +8b 12 en de formule b = 2a 3. Combineer de twee formules en druk K uit in a. Plot daarna de grafiek bij de formule. Antwoord Als je de tweede formule in de eerste formule voegt, dan krijg je K = 4a + 8(2a 3) 12 = 4a + 16a = 20a 36. Nu heb je K uitgedrukt in a en bij deze formule kun je een grafiek tekenen. OPGAVE 3.9 a b c d Gegeven zijn de formules R = 2p + 3q + 20 en q = 2p 3. Druk R uit in p. Gegeven zijn de formules K = - 2t 5v + 22 en t = - v 3. Druk K uit in v. Gegeven zijn de formules 2z = 3x 4y en z = 2x + 1. Deze twee formules kun je combineren tot de vorm y = ax + b. Welke getallen zijn a en b? Gegeven is de formule Z = 12u +18 3u. Neem Z = 2 en druk y uit in x.

28 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 27 Voorbeeld 4 Een handelaar verkoopt een bepaald product. Het aantal producten q dat hij verkoopt hangt af van de prijs p die hij vraagt voor een product. Tussen p en q bestaat het verband q = p. De opbrengst R wordt gegeven door de formule R = pq. Combineer de formules zo, dat je R uitdrukt in p. Wat moet de handelaar voor prijs vragen voor een zo n groot mogelijke opbrengst? Antwoord Omdat q = p kun je R = pq ook schrijven als R = p(240 15p). Nu heb je R uitgedrukt in p en kun je met de grafische rekenmachine een grafiek tekenen. Voer nu de formule Y1=X(240-15X) in de grafische rekenmachine in. Als vensterinstellingen kun je 0 x 16 en 0 y 1000 kiezen. Je krijgt dan de grafiek die je hier zit. Merk op dat als q > 16, dat dan q en R negatief zijn en dat kan niet. Je ziet dat er bij p = 8 een maximum is van 960. Dus de handelaar moet 8,00 vragen voor een product, dan is zijn opbrengst 960,00. OPGAVE 3.10 Bekijk het voorbeeld. Stel dat q = p zou gelden als verband tussen de prijs p en het aantal verkochte producten q. Welke prijs moet de handelaar dan vragen voor een zo n groot mogelijke opbrengst? OPGAVE 3.11 Voor de inhoud van een rechte kegel geldt: V = 1 3Gh, waarin G de oppervlakte van het grondvlak en h de hoogte in centimeter is. Dit grondvlak is een cirkel met straal r in centimeter, dus G = πr 2. a Welke formule beschrijft het verband tussen V, r en h? Voor een kegel met een inhoud van 1 liter kun je uit de formules een verband afleiden tussen r en h. b Druk r uit in h en plot de grafiek. c Bepaal de waarde van r waarvoor geldt: h = 10 cm. Benader het antwoord in twee decimalen nauwkeurig. OPGAVE 3.12 VERWERKEN Breng van de formules de grafieken in beeld. Denk om het gebruik van haakjes en de instellingen van het venster! a s = 250t 4, 9t 2 b k = 0, u c N = ,5u 2 d y = 36 x 2

29 28 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 3.13 Een bal wordt omhoog geschoten. Voor de hoogte h in meter na t seconden geldt de formule h = - 3t t + 1, 2. Plot de grafiek van h en bepaal hoe hoog de bal maximaal komt. OPGAVE 3.14 Gegeven is de formule 4xy + 2x 2 = 100. Herleid de formule naar de vorm y =... OPGAVE 3.15 Voor een kopieerapparaat bedraagt de maandelijkse huur 200,00 waarbij nog een bedrag van 4 eurocent per kopie komt. K stelt de totale kosten voor en a is het aantal kopieën dat er maandelijks (gemiddeld) wordt gemaakt. a Schrijf de formule op voor K als functie van a. b Iemand die een kopie maakt, betaalt 10 eurocent per kopie. Schrijf de formule op voor de inkomsten I als functie van a. c Hoeveel kopieën moeten er per maand worden gemaakt als 10 eurocent per kopie kostendekkend is? OPGAVE 3.16 Boer Venema zet voor zijn koeien een rechthoekig stuk weiland af. Hij heeft daarvoor nog 200 meter gaas. Omdat het weiland tegen een brede rivier aan komt te liggen hoeft hij alleen de twee breedtes en de lengte van gaas te voorzien. a Druk de lengte l van het weiland uit in de breedte b. b Druk de oppervlakte A van het weiland uit in b. c Breng met de grafische rekenmachine de grafiek bij de formule die je in b hebt gevonden in beeld. Bedenk van te voren de beste vensterinstellingen. d Voor welke waarde van b is de oppervlakte van het weiland zo groot mogelijk? OPGAVE 3.17 In een biologisch laboratorium is onderzoek gedaan naar de tijd die bij een bepaalde temperatuur nodig is om 50% van het zaad van een plant te laten ontkiemen. Proefondervindelijk werd dit verband tussen de tijd t in dagen en de temperatuur in C gevonden: t = 89 u 2. Hierin is T de temperatuur in C. a Voor welke temperaturen heeft de formule betekenis? b Plot de grafiek bij deze formule. Schrijf de instellingen van het beeldscherm op. c Bij welke temperatuur duurt het vijf dagen totdat 50% van het zaad is ontkiemd? OPGAVE 3.18 Van een vierkant stuk papier van 20 cm bij 20 cm wordt een bakje gemaakt door uit de hoeken een vierkantje weg te knippen. De randen die ontstaan worden naar boven gevouwen. Stel dat zo n geknipt vierkantje een zijde heeft van x cm. a Stel een formule op voor de breedte b van het bakje als functie van x. b Welke waarden kunnen x en b aannemen? c Maak een formule voor de inhoud I als functie van x. d Plot de grafiek van I. Let op de waarden die x kan aannemen en zorg voor een zodanige grafiek dat alle mogelijke waarden van I in beeld komen. e Bepaal voor welke waarde van x de inhoud maximaal is.

30 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 29 OPGAVE 3.19 Koolmonoxide (CO) is één van de stoffen die via de uitlaat van een auto de lucht inkomt. De hoeveelheid CO die uitgestoten wordt is afhankelijk van de temperatuur van de motor en van de rijsnelheid. Voor de CO-uitstoot een de warme motor geldt: u = 4, ,0 u. Bij een koude motor geldt: u = 6, ,5 u. Hierin is u de uitstoot in gram per kilometer en v de snelheid in kilometer per uur. a Hoe kun je aan de formules zien dat de uitstoot per kilometer afneemt als de snelheid toeneemt? b De uitstoot u van een koude motor bedroeg 14 g/km. Hoe hard reed deze auto? Iemand is geïnteresseerd in het verschil tussen de uitstoot bij een koude en bij een warme motor. Hij onderzoekt hoeveel procent de uitstoot bij een koude motor meer is dan bij een warme motor. Dat percentage hangt af van de snelheid. c Hoe groot is dat percentage bij een snelheid van 30 kilometer per uur? Er bestaan ook formules waarbij de CO-uitstoot gegeven wordt afhankelijk van de ritlengte en de rijtijd. Voor een warme benzinemotor geldt: u tot = 4, 4L + 0, 054t. Hierin is u tot de totale hoeveelheid CO in gram uitgestoten tijdens de rit, L de ritlengte in kilometers, t de rijtijd in seconden en 0, 054 is afgerond op drie decimalen. d Laat zien hoe deze formule kan ontstaan uit de eerste formule voor de COuitstoot bij een warme motor.

31 30 DOMEIN Functies en grafieken 1.4 Vergelijkingen In deze paragraaf leer je: systematisch vergelijkingen met één variabele oplossen met al bekende oplossingsmethoden; vergelijkingen oplossen met behulp van de grafische rekenmachine. UITLEG De formule 4(x + 3) = x is een voorbeeld van een vergelijking. Bij deze vergelijking kun je een getal voor x zoeken dat de vergelijking waar maakt: aan beide zijden van het isgelijkteken komt er hetzelfde uit. Dat kun je doen met de balansmethode. Je kunt bijvoorbeeld zo te werk gaan: 4(x + 3) = x 4x + 12 = x 4x = x 3x = - 18 x = - 6 linkerzijde haakjes wegwerken beide zijden - 12 beide zijden - x beide zijden /3 Je kunt dit antwoord nog controleren door aan beide zijden van de gegeven vergelijking voor x het getal - 6 in te vullen. OPGAVE 4.1 Los de vergelijkingen op met de balansmethode. a 3t 400 = 700 b 3t 400 = 700 2t c -4 x + 5 = 4x 11 OPGAVE 4.2 Los de vergelijkingen op met de balansmethode. Rond af op twee decimalen. a , 15 p = , 42 p b u 3 4 = 1 (10 5 2x)

32 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 31 THEORIE Formules zoals 2x + 3 = 10, of x 2 + 5x + 6 = 0 zijn vergelijkingen. Je kunt waarde(n) zoeken die de vergelijking kloppend maken, dat heet het oplossen van een vergelijking. Vergelijkingen kun je systematisch oplossen door herschrijven. Je gebruikt dan algebraïsche methoden, zoals: de balansmethode, waarbij je aan beide zijden van het isgelijkteken hetzelfde optelt of aftrekt; met hetzelfde vermenigvuldigt of door hetzelfde deelt (maar niet 0). de terugrekenmethode, waarbij je bewerkingen ongedaan maakt door het tegenovergestelde te doen: optellen maak je ongedaan door aftrekken (en omgekeerd); vermenigvuldigen maak je ongedaan door delen (en omgekeerd); machten maak je ongedaan door worteltrekken (en omgekeerd). ontbinden in factoren, waarbij je gebruik maakt van het feit dat een vergelijking van de vorm a b = 0 gelijkwaardig is met a = 0 b = 0. Het teken betekent dat je deze uitdrukking moet lezen als a = 0 en/of b = 0 (dus a = 0 of b = 0 of beide). Je kunt niet altijd een vergelijking via algebraïsche methoden oplossen. Dan kun je nog denken aan inklemmen: je zoekt de oplossing door verschillende waarden te proberen op een steeds kleiner zoekgebied. De grafische rekenmachine heeft daar diverse routines voor ingebouwd, zie het PRACTICUM: BASISTECHNIEKEN GR. Als er staat bereken algebraïsch of los algebraïsch op, dan moet je de opdracht stap voor stap met behulp van algebra oplossen. Inklemmen is dan bijvoorbeeld niet toegestaan. Als er staat bereken exact of los exact op, dan moet je de opdracht ook stap voor stap oplossen en mag je niet afronden. Voorbeeld 1 In de vergelijking 2(x 4) 2 = 32 komt de onbekende x maar op één plek voor. Je kunt hem oplossen met terugrekenen. Antwoord Je zoekt eerst uit hoe je heen rekent vanuit x: Vervolgens ga je terugrekenen:

33 32 DOMEIN Functies en grafieken Je vindt: x = ± en dus x = 0 x = 8. Controleer door in te vullen. OPGAVE 4.3 a b c Los de vergelijking 2 x + 3 = 4 op door terugrekenen. Probeer ook de vergelijking 3 x = 2 op te lossen met terugrekenen. Waarom is het bij wortelvergelijkingen extra belangrijk om je antwoord te controleren? OPGAVE 4.4 Los de vergelijkingen op door terugrekenen. a 3t 400 = 700 b (3t 20) 2 = 1600 c 3 p 3 = 81 d 3 2x 4 = 9 e x 4 2 = - 3 Voorbeeld 2 Los deze twee vergelijkingen op met ontbinden in factoren: x 2 5x + 6 = 0 x 2 = 2x Antwoord De eerste vergelijking kun je met de productsommethode oplossen. Je zoekt twee getallen waarvan het product +6 is en de som - 5. In de tabel zie je dat de getallen - 2 en - 3 voldoen. De eerste vergelijking gaat zo: x 2 5x + 6 = 0 (x 2)(x 3) = 0 x 2 = 0 x 3 = 0 x = 2 x = 3

34 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 33 De tweede vergelijking gaat zo: x 2 = 2x x 2 2x = 0 x(x 2) = 0 x = 0 x 2 = 0 x = 0 x = 2 OPGAVE 4.5 Los de vergelijkingen op door ontbinden in factoren. a 0, 5x 2 = 4x b k 2 + 5k 6 = 0 c 8p p 2 = 0 d x 2 = 4x OPGAVE 4.6 Los de vergelijkingen op door ontbinden in factoren. a x 2 = x + 12 b x(x 2) = 3x 6 c 2x x 32 = 0 Voorbeeld 3 Niet alle vergelijkingen kun je met de balansmethode, door terugrekenen of ontbinden in factoren systematisch oplossen. De oplossing vinden door inklemmen werkt daarentegen altijd wel. Je moet dan van tevoren een idee hebben van het gebied waarin de oplossing is te vinden. De vergelijking x + x 2 = 10 kun je bijvoorbeeld oplossen met inklemmen. Maar de rekenmachine beschikt ook over een speciale routine om snijpunten van twee grafieken te vinden. Bekijk het PRACTICUM: BASISTECHNIEKEN GR. Bepaal de snijpunten van de vergelijking x + x 2 = 10. Antwoord Eerst maak je de grafieken van y 1 = x + x 2 en y 2 = 10 op de grafische rekenmachine. Breng ze zo in beeld dat alle snijpunten zichtbaar zijn. De grafieken snijden elkaar tweemaal. De vergelijking heeft twee oplossingen.

35 34 DOMEIN Functies en grafieken Voor de positieve oplossing moet je zoeken tussen 2 en 3. Stel de tabel in op stappen (voor x) van 0, 1. Je ziet dat je verder moet zoeken tussen 2, 7 en 2, 8. Het zoekgebied wordt kleiner, je klemt de oplossing in. Stel vervolgens een stapgrootte van 0, 01 in en zoek tussen 2, 70 en 2, 80. Nu zie je dat de oplossing tussen 2, 70 en 2, 71 ligt, het dichtst bij 2, 70. Zo vind je op twee decimalen nauwkeurig: x 2, 70. Als een nauwkeuriger oplossing wordt verlangd, moet je nog doorzoeken tussen 2, 700 en 2, 710. Op dezelfde manier bepaal je de andere oplossing. Op twee decimalen nauwkeurig is de volledige oplossing: x 2, 70 x - 3, 70. OPGAVE 4.7 OPGAVE 4.8 Los de vergelijkingen op met de inklemmethode. Geef je oplossingen in drie decimalen nauwkeurig. a x 3 = 4 x. b 600 u = , 04a Los de vergelijkingen op met de grafische rekenmachine. Geef waar nodig benaderingen in twee decimalen nauwkeurig. a x 3 + 2x = 16 b x + x = 10 c l + 10 u = 10 d 300 u +4 = 20 OPGAVE 4.9 VERWERKEN Los de vergelijkingen algebraïsch op. a 2x 34 = - x + 2 b 5x 3(x 5) = 8 + 3x c (2x 5) 2 = 64 d x + 4 = 20 e 2x 2 = 8x f x 2 4x 32 = 0 OPGAVE 4.10 Los de vergelijking x = 8 x op door inklemmen met behulp van de grafische rekenmachine. Zoek alle oplossingen en geef benaderingen in één decimaal nauwkeurig. OPGAVE 4.11 Een bedrijf maakt gebruik van de formules R = - q q en K = 10q, hierbij is q het aantal geproduceerde producten, R de opbrengst (in ) en K de kosten (in ). a De winst W bereken je door de opbrengst te verminderen met de kosten. Geef een formule voor W. b Het bedrijf heeft 1000,00 kosten gemaakt. Wat is de winst? c Bij welke productie maakt het bedrijf geen winst en geen verlies? d Hoeveel producten kan het bedrijf het beste maken?

36 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 35 OPGAVE 4.12 OPGAVE 4.13 Bereken bij de volgende formules de waarde van de éne variabele als de andere 0 is. 2p 3q = 650 k 2 + (l + 2) 2 = 100 a = ,2u 2 1 a Bereken p als q = 0. b Bereken q als p = 0. c Bereken l als k = 0. d Bereken k als l = 0. e Bereken a als d = 0. f Bereken d als a = 0. Bekijk het bovenaanzicht van een tuin. OPGAVE 4.14 OPGAVE 4.15 De tuin bestaat uit een rechthoekig terras en een rechthoekig grasveld. Gegeven is dat het terras 12 meter bij 6 meter is en het grasveld x + 12 meter bij x meter. De totale oppervlakte van de tuin is 261 m 2. Bereken algebraïsch x. Een boer wordt door de gemeente gevraagd om een stuk land te voorzien van een boswal van 4 meter breed. Het stuk land is zuiver vierkant. Het grenst aan één kant al aan het bos, zodat er maar aan drie kanten een strook af hoeft voor de boswal. Ik houd zo maar de helft van mijn land over, verzucht de boer. Als dat waar is, hoe groot is dan de oppervlakte van het land dat de boer overhoudt? Los dit probleem op met behulp van een vergelijking. Als je in de ochtend van huis naar school fietst en in de middag terugfietst, kan de wind invloed hebben op je totale reistijd. Hoe dat zit, onderzoek je in de rest van deze opgave. Sylvia woont 10 km van school. Zij gaat altijd op de fiets naar school. We gaan ervan uit dat als er geen wind is, haar snelheid constant 20 km/h is. Haar totale reistijd is op zo n schooldag dus 1 uur. Meestal waait het echter. We veronderstellen dat Sylvia altijd wind mee heeft op de heenweg en wind tegen op de terugweg en dat de windkracht w de hele dag constant is. Dan is Sylvia s snelheid op de heenweg 20+w km/u en op de terugweg 20 w km/h. Hierbij geldt 0 w 20. Op een dag geldt w = 5. Sylvia s totale reistijd is die dag langer dan 1 uur.

37 36 DOMEIN Functies en grafieken a Bereken hoeveel minuten haar totale reistijd die dag langer is dan 1 uur. Sylvia s totale reistijd t in uren wordt gegeven door de formule: t = u 2 De formule voor t kan worden gevonden door een formule voor de reistijd voor de heenweg en een formule voor de reistijd voor de terugweg op te stellen en deze formules bij elkaar op te tellen. b Stel deze formules op en toon daarmee aan dat de bovenstaande formule voor T juist is. Op een dag is Sylvia s totale reistijd 1 uur en 20 minuten. c Bereken de waarde van w op die dag. Met de formule voor Sylvia s totale reistijd kun je zonder te rekenen beredeneren dat haar totale reistijd op een dag met wind groter is dan op een dag zonder wind. d Geef die redenering. bron: examen II

38 HOOFDSTUK 1 Werken met formules Ongelijkheden In deze paragraaf leer je: ongelijkheden systematisch oplossen. UITLEG Je ziet op veel plaatsen windmolens om elektriciteit op te wekken. Het vermogen dat zo n molen levert, hangt af van de wieklengte en van de windsnelheid v. Het vermogen van een zeker type windmolen wordt gegeven door de formule: P = 0, 052v 3. Hierin is P het (gemiddelde) vermogen in kw (kilowatt), v de (gemiddelde) windsnelheid in m/s en 0, 052 een getal dat afhangt van het type molen. Stel, je wilt weten vanaf welke windsnelheid het vermogen van de windmolen meer dan 20 kw bedraagt. Daarbij hoort de ongelijkheid: 0, 052v 3 > 20. Het oplossen van deze ongelijkheid gaat prima met de grafische rekenmachine: Je voert Y1=0.052X^3 en Y2=20 in en brengt ze goed in beeld. Je bepaalt het snijpunt van beide grafieken: (7, 27; 20). De grafische rekenmachine heeft er een speciale routine voor, zie PRACTICUM: BASIS- TECHNIEKEN GR. Je leest de oplossing van de ongelijkheid uit de figuur af: v > 7, 27. Belangrijk is nog het aantal decimalen waarop je moet afronden. Het gegeven antwoord is op twee decimalen nauwkeurig juist. Moet je echter op één decimaal nauwkeurig afronden, dan is het antwoord: v > 7, 3. Je weet dan dat je antwoord ergens boven de 7, 25 ligt. OPGAVE 5.1 In de uitleg zie je hoe de ongelijkheid 0, 052v 3 > 20 wordt opgelost. Daarbij wordt de grafische rekenmachine gebruikt. a Voer deze oplossing zelf uit. Bij een algebraïsche aanpak bereken je eerst de oplossingen van de vergelijking 0, 052v 3 = 20 met behulp van terugrekenen. b Laat zien dat je dan dezelfde oplossing vindt. c Wat is het voordeel bij deze formule van een algebraïsche aanpak?

39 38 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 5.2 Gegeven zijn de functies y 1 = 0, 01x(x 2 400) en y 2 = x. Je wilt oplossen y 1 > y 2. a Hoe moet je het venster van de grafische rekenmachine instellen om goede grafieken bij deze ongelijkheid te krijgen? Hoeveel snijpunten hebben beide grafieken? b Los nu de ongelijkheid met de grafische rekenmachine op, op twee decimalen nauwkeurig. THEORIE Een uitdrukking zoals y 1 > y 2 of y 1 < y 2 heet een ongelijkheid. Ongelijkheden los je op met behulp van grafieken. Eerst voer je beide functies in de grafische rekenmachine in. Vervolgens breng je ze goed in beeld. Alle snijpunten moeten zichtbaar zijn! Dan bereken je de coördinaten van de snijpunten. Dat kan met de grafische rekenmachine. Dat kan vaak ook door de vergelijking y 1 = y 2 algebraïsch op te lossen. En soms is dit ook veel handiger, of wordt het gewoon zo gevraagd. Vervolgens lees je de oplossing van de ongelijkheid uit de grafieken af. Let daarbij goed op de gewenste nauwkeurigheid! Voorbeeld 1 «APPLET» Los op: 60 x 2 4x. Antwoord Je bekijkt eerst de grafieken van Y1=60-X^2 en Y2=4X. Bij de meeste waarden van x zijn de functiewaarden verschillend. Alleen bij de snijpunten zijn de functiewaarden gelijk. De coördinaten van de snijpunten vind je door op te lossen: 60 x 2 = 4x. Je vindt: x = - 10 x = 6. Lees nu uit de figuur af dat de oplossing van de ongelijkheid is: - 10 x 6.

40 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 39 OPGAVE 5.3 In het voorbeeld zie je hoe je een ongelijkheid systematisch oplost met de grafische rekenmachine. Je gaat nu zelf de ongelijkheid 60 x 2 < 4x algebraïsch oplossen. a Los de vergelijking 60 x 2 = 4x algebraïsch op. b Schrijf de juiste oplossing van de ongelijkheid op. (Hij bestaat uit twee delen!) OPGAVE 5.4 Los de volgende ongelijkheden op. Rond af op twee decimalen. a 2x 2 + x < 3 b x + 5 5x 2 25 Voorbeeld 2 Een verfhandelaar heeft een mengmachine van 2000,00 gekocht. De inkoopprijs van de verf en de kosten van het mengproces komen samen op 5,00 per liter. Hij verkoopt zijn verf voor 7,25 per liter. Hij maakt winst als de opbrengst TO groter is dan de totale kosten TK. Met voorraadkosten wordt geen rekening gehouden. Bereken algebraïsch vanaf hoeveel liter verkochte verf hij winst gaat maken. Antwoord Er geldt: TK = q en TO = 7, 25q. Hierin is q de verkochte hoeveelheid liter verf. Er moet gelden dat TO > TK, dus 7, 25q > q. Met de grafische rekenmachine breng je de grafieken van TO en TK goed in beeld. (Het snijpunt moet zichtbaar zijn.) Vervolgens bereken je de coördinaten van dit snijpunt algebraïsch: 7, 25q = q geeft 2, 25q = 2000 en dus q 888, 9. In de grafiek zie je dat de handelaar winst maakt als q 889. Dus als hij 889 liter verf of meer verkoopt, maakt hij winst. OPGAVE 5.5 Een concurrent van de verfhandelaar uit het voorbeeld koopt een mengmachine van 3000,00. De inkoopprijs en de kosten van het mengproces samen is 4,00 per liter. Hij verkoopt zijn verf voor 8,25 per liter. Bereken algebraïsch vanaf hoeveel liter verkochte verf hij winst maakt.

41 40 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 5.6 Stel je voor dat je al jaren in een auto op benzine rijdt. De benzineprijs blijft echter maar stijgen en je vraagt je af of je niet beter een gastank kunt laten inbouwen en op gas kunt gaan rijden. Nu zijn je kosten per kilometer ongeveer 12, 5 eurocent aan benzine. a Stel een formule op voor de benzinekosten per jaar (B in euro) afhankelijk van het aantal gereden kilometers (a). b Een gastank kost (inclusief inbouwen) 1250,00. Je kosten per kilometer gaan omlaag, want gas kost 80 eurocent per liter en je rijdt 10 km op 1 L gas. Je wilt de gastank in één jaar terugverdienen. Stel een formule op voor de kosten in het eerste jaar dat je op gas rijdt (G), afhankelijk van het aantal kilometers (a). c Je wilt weten hoeveel kilometer je in dat jaar moet rijden om de gastank er weer uit te hebben. Welke ongelijkheid hoort daar bij? d Los deze ongelijkheid algebraïsch op met a in kilometers nauwkeurig. Voorbeeld 3 Een bedrijf gebruikt de formule N = - 2q q 2 voor de netto winst N (in duizenden euro) bij de verkoop van een bepaald product. q is het verwachte aantal verkochte producten per maand in honderdtallen. Hoeveel van deze producten worden er een bepaalde maand verkocht als de netto winst meer dan , 00 bedraagt? Antwoord Je moet de ongelijkheid - 2q q 2 > 200 oplossen. Daarvoor gebruik je de grafische rekenmachine. Voer in: Y1=-2X^3+20X^2 en Y2=200. Als venster kun je 0 x 10 bij 0 y 300 nemen. De coördinaten van de twee snijpunten kun je met de grafische rekenmachine uitrekenen. Je vindt dat bij q 4, 126 en q 8, 670 de winst 200 duizendtallen is. Dus als er vanaf 413 tot en met 866 van deze producten worden verkocht per maand is er een netto winst van meer dan , 00. OPGAVE 5.7 Bekijk het voorbeeld. Hoeveel van deze producten worden er in een bepaalde maand verkocht als de netto winst meer dan , 00 bedraagt? OPGAVE 5.8 Een bedrijf maakt gebruik van de winstformule W = - 0, 001q 3 + 2q 2 + q, waarbij W de winst in euro s is en q het aantal geproduceerde producten. a Plot de grafiek van W. Welke vensterinstellingen gebruik je? b Is het verstandig van het bedrijf om 2200 producten te maken? c Het bedrijf wil meer dan een miljoen euro winst maken. Hoeveel producten moet men dan maken?

42 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 41 OPGAVE 5.9 VERWERKEN Los de ongelijkheden algebraïsch op. a x 3 > x b x 3 80x 2x 2 OPGAVE 5.10 Los de ongelijkheid u u 2 < 0, 25 op. Rond af op één decimaal. +1 OPGAVE 5.11 Gegeven is de functie y = (x 2 4)(x 2 9). a Los algebraïsch op: y 0. b Los op: y < 36. OPGAVE 5.12 Twee kaarsen worden tegelijkertijd aangestoken. Voor kaars I geldt de formule L I = t en voor kaars II de formule L II = 30 4t. In deze formules is L de lengte van de kaars in centimers en t de tijd in uren. a Welke kaars is als eerste opgebrand? b Stel beide kaarsen worden tegelijk aangestoken. Hoelang is kaars II groter dan kaars I? OPGAVE 5.13 De afstand Utrecht-Enschede is voor een fietser 144 km. Fietser A gaat met 18 km/h van Utrecht naar Enschede. Fietser B gaat met 24 km/h van Enschede naar Utrecht. Beide fietsers starten tegelijkertijd. a Je wilt weten hoe lang fietser A dichter bij Utrecht is dan fietser B. Welke ongelijkheid hoort daar bij als t de tijd in uren is? b Los de ongelijkheid algebraïsch op. Rond af op drie decimalen nauwkeurig. c Beantwoord de vraag in minuten nauwkeurig. OPGAVE 5.14 Een bedrijf maakt gebruik van de winstformule W = - 0, 5q 3 +5q 2 +12q 10. Hierbij is q het aantal geproduceerde producten in honderdtallen en W de winst in duizenden euro s. a Bereken de winst als er 1000 producten worden geproduceerd. b Het bedrijf wil dat de winst groter is dan , 00. Is dit realistisch? c Als het bedrijf een winst wil van meer dan honderdduizend euro, hoeveel producten moet men dan produceren? d Bereken bij welke productie er een maximale winst is. OPGAVE 5.15 Twee auto s rijden op de A1, beide met een (ongeveer) constante snelheid. Bestuurder A houdt een snelheid van 110 km/h aan. Bestuurder B rijdt met 120 km/h. Als bestuurder B bij de IJsselbrug bij Deventer komt, ligt hij 24 km achter op bestuurder A. Het tijdstip waarop dat gebeurt, is t = 0. De afstand (in kilometers) tot Deventer wordt voorgesteld door a(t). a Stel bij beide auto s een lineaire functie voor a op. b Bereken na hoeveel minuten auto A door B wordt ingehaald. c Bereken algebraïsch hoe lang hun onderlinge afstand minder dan 4 km is.

43 42 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 5.16 Veel mensen beleggen in aandelen. Daarvoor geven ze een opdracht aan een zogenoemde broker. Die regelt bij een opdracht de aankoop (of de verkoop) van de door de klant gewenste aandelen. Voor het uitvoeren van een opdracht brengt de broker kosten in rekening. Broker Haag hanteert voor een opdracht een tarief volgens de formule: K = 0, 0045 w+4. Hierbij is K de kosten in euro en w de totale waarde van de aandelen in euro op het moment van aankoop of verkoop. De klant moet echter altijd ten minste 12,00 voor een opdracht betalen. Een klant koopt via Haag 150 aandelen die per stuk 19,18 kosten. Een tijd later is de waarde van deze aandelen gestegen naar 21,44 per stuk. De klant neemt het besluit alle aandelen via Haag te verkopen. Voor de berekening van zijn winst houdt de klant rekening met de kosten van aankoop en verkoop. a Bereken hoeveel winst de klant heeft behaald op de aandelen. Handelaar Van der Meulen is ook een broker. Hij hanteert als tarief: K = 0, 004 w + 7. Hierbij is K weer de kosten in euro en w de totale waarde van de aandelen in euro op het moment van aankoop of verkoop. De klant betaalt bij Van der Meulen per opdracht nooit meer dan 46,00. Als de totale waarde van de aandelen hoog genoeg is, nemen de kosten die Van der Meulen in rekening brengt, niet verder meer toe. b Bereken hoe groot de totale waarde van de aandelen dan ten minste moet zijn. Als een klant een aandelenopdracht wil plaatsen waarvan de totale waarde behoorlijk groot is, kan hij dat beter doen bij Van der Meulen dan bij Haag. Immers, bij Van der Meulen is hij nooit meer kwijt dan 46. In veel andere gevallen is Haag echter goedkoper. c Onderzoek bij welke totale aandelenwaarden de klant met zijn opdracht goedkoper uit is bij Haag dan bij Van der Meulen. bron: examen I

44 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 43 Voorbeeld eindtoets OPGAVE V1 Los de vergelijkingen algebraïsch op. Rond indien nodig af op twee decimalen nauwkeurig. a , 2q = 55 0, 3q b 2 8(x 2) = 4 + 3(4 x) c - 0, 15(x + 25) = 0 d 2 2x 4 = 10 e k 2 k = 90 f 2x x = 12 OPGAVE V2 Los de vergelijking x 2 + 2x = 20 op met behulp van de grafische rekenmachine. Geef een benadering in drie decimalen nauwkeurig. OPGAVE V3 a b Gegeven is de formule 3u 9 2 = 3u 4. Druk y uit in x. Gegeven zijn de formules K = 3a 2b + 22 en b = - a + 8. Druk K uit in a. OPGAVE V4 Vanaf een toren wordt een vuurpijl afgeschoten. De hoogte h van de vuurpijl hangt af van de tijd t dat deze onderweg is. Er geldt: h = t 5t 2. Hierin is h in meter en t in seconden gemeten. a Breng de grafiek van h in beeld op de grafische rekenmachine. b Op welke hoogte boven de begane grond werd de vuurpijl afgeschoten? Na hoeveel seconden was de vuurpijl weer op diezelfde hoogte? c Na hoeveel seconden was de vuurpijl op het hoogste punt in zijn baan? Hoeveel meter boven de begane grond was hij op dat moment? d Na hoeveel seconden kwam de vuurpijl op de grond terecht? e Kun je met deze gegevens de baan van de vuurpijl in beeld brengen? Verklaar je antwoord. OPGAVE V5 Een fabrikant wil zijn hagelslag verpakken in doosjes met een vierkante bodem. Voor een doosje gebruikt hij 800 cm 2 karton. Ga ervan uit dat een doosje precies de vorm van een balk heeft. a De hoogte van zo n doosje wordt aangegeven met h en de zijden van het grondvlak met x. Laat zien dat het verband tussen h en x beschreven wordt door de formule: 4xh + 2x 2 = 800. b De verpakkingsmachine laat een maximale hoogte van 12 centimeter toe. Bepaal de waarde van x bij h = 12 cm. Geef de benadering in mm nauwkeurig. c Herleid de formule 4xh + 2x 2 = 800 tot h een functie is van x en bereken welke h bij x = 8 hoort.

45 44 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE V6 Er wordt veel onderzoek gedaan naar het verband tussen het vermogen (het energieverbruik per seconde) en de vliegsnelheid bij vogels. Het vermogen V wordt gemeten per kg borstspier en uitgedrukt in Watt. Een onderzoek heeft uitgewezen dat de grafiek van het verband tussen de vliegsnelheid en het vermogen U-vormig is. Dat wil zeggen: vliegen met lage of hoge snelheid kost veel vermogen, terwijl vliegen met een snelheid daartussenin minder vermogen kost. In de figuur is dit verband voor valkparkieten en duiven weergegeven. Dit onderzoek toont bij valkparkieten een bij benadering kwadratisch verband aan tussen de vliegsnelheid en het vermogen. Voor valkparkieten geldt de volgende formule: V = 0, 19s 2 8, 71s + 169, 72 Hierbij is V het vermogen in Watt en s de snelheid in kilometer per uur. a Bereken met behulp van de formule bij welke snelheden in km per uur het vermogen V van een valkparkiet 120 Watt is. b Bepaal bij welke snelheid in kilometer per uur het vermogen V van een valkparkiet minimaal is. Ook bij duiven kun je een formule opstellen voor het verband tussen s en V. In de figuur kun je aflezen dat duiven bij een snelheid van 8 kilometer per uur en bij een snelheid van 34 kilometer per uur een vermogen van 150 Watt ontwikkelen. Voor duiven is het verband tussen de vliegsnelheid en het vermogen dan van de vorm: V = p (s 8)(s 34) Ook hier is V het vermogen in Watt en s de snelheid in kilometer per uur. Het is bekend dat duiven die stil in de lucht hangen (s = 0) een vermogen van 185 Watt ontwikkelen. Met dit gegeven kun je nu de constante p berekenen. c Bereken p en herschrijf de formule in de vorm V = as 2 + bc + c. Rond a, b en c indien nodig af op één decimaal. bron: examen II

46 Functies en grafieken Functies en grafieken Instaptoets Karakteristieken Het + begrip functie Transformaties Domein en+ bereik Voorbeeld eindtoets Lineaire en+ kwadratische functies

47 46 DOMEIN Functies en grafieken CONTEXT 1 Examen cijfers «APPLET» Het eindexamen Wiskunde A bestaat uit ongeveer twintig vragen die in totaal ongeveer 80 punten opleveren. Als je het examen foutloos maakt, krijg je dus 80 punten. Maak je fouten, dan krijg je minder punten. Het eraan te koppelen cijfer ligt tussen 1 en 10. Maar het aantal punten dat je kunt halen is veel hoger. Om je cijfer te berekenen, is daarom een functie nodig die het aantal punten omzet in een cijfer. Het Cito hanteert hiervoor de volgende formule: In de figuur zie je de grafieken van de verschillende functies. De kleuren corresponderen met de functievoorschriften. cijfer = behaalde punten totaal punten 9 + norm De norm is het aantal extra punten dat je krijgt voor de moeilijkheid van het examen. Het probleem bij deze functie is dat je bij een norm groter dan 1, een cijfer boven de 10 kunt halen, en bij een norm kleiner dan 1, geen 10 kunt halen. Het Cito heeft hier een oplossing voor bedacht door gebruik te maken van functies. OPGAVE Je hebt een examen waarvoor je 78 punten kunt halen, en waarvan de norm 2,1 is. Bepaal het domein en het bereik van de verschillende functies om het cijfer te berekenen.

48 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 47 CONTEXT 2 Atmosfeer De atmosfeer van de Aarde is van vitaal belang voor het leven op deze planeet. Niet alleen zorgt zij voor een constante voorziening van zuurstof voor ons lichaam, maar zij beschermt ons ook tegen kosmische straling uit het heelal. Ook zorgt zij voor een nagenoeg constante temperatuur op het aardoppervlak, wat leven mogelijk maakt. De temperatuur is echter niet overal in de atmosfeer constant. Hoe hoger je komt, hoe kouder het wordt. Denk bijvoorbeeld aan het beklimmen van een berg, of vliegen in een vliegtuig. Dit geldt echter tot een bepaalde hoogte. Vanaf 13 kilometer boven het zeeniveau begint de temperatuur opeens weer te stijgen. Dan kom je in de ozonlaag. De chemische reacties die daar plaatsvinden warmen de lucht op. Ook op andere hoogten zijn er processen die de temperatuur beïnvloeden. OPGAVE Gegeven is dat de ozonlaag begint op 13 kilometer hoogte, en eindigt op 19 kilometer. Zowel buiten als binnen de ozonlaag is het temperatuurverloop lineair. In de tabel staan temperatuurmetingen die op verschillende hoogten met een weerballon zijn gedaan. hoogte (km) temperatuur ( C) 5-10, , , , , , 5 In 2012 sprong Felix Baumgartner uit een capsule die eerst omhoog gebracht werd naar 39 kilometer hoogte door een heliumballon. Hij werd door een ruimtepak beschermd tegen de temperatuur van de buitenlucht. Bereken de maximale en de minimale temperatuur die het ruimtepak moest kunnen weerstaan. Geef je antwoord in graden nauwkeurig.

49 48 DOMEIN Functies en grafieken 2.1 Het begrip functie In deze paragraaf leer je: wat een functie en een functievoorschrift zijn; grafieken van functies tekenen/plotten; nulpunten berekenen van functies; snijpunten van grafieken met behulp van de grafische rekenmachine berekenen. UITLEG Als je geen topsporter bent, zal een gezond hart overdag ongeveer 60 tot 80 slagen per minuut maken. Dit noem je ook wel de hartslagfrequentie. Bij inspanning kan de hartslagfrequentie oplopen naar 160 tot 180 slagen. Met de volgende formule kun je iemands maximale hartslagfrequentie berekenen: R = 209 0, 75a. Hierin is R de maximale hartslag in hartslagen per minuut en a de leeftijd in jaren. Je ziet dat je maximale hartslag afhangt van je leeftijd. Om dat extra duidelijk te maken schrijf je: R(a) = 209 0, 75a. Zoiets heet een functievoorschrift en R is een functie van a. Bij elke waarde van a hoort precies één uitkomst, bijvoorbeeld bij a = 16 hoort R = 197. Dit kun je korter opschrijven als R(16) = 197. In plaats van uitkomst noem je 197 een functiewaarde. Met de grafische rekenmachine kun je bij de functie met voorschrift R(a) = 209 0, 75a een tabel en een grafiek maken. Je voert de formule dan in de grafische rekenmachine in als Y1= X. Daarna stel je de afmetingen van het venster in en maak je de grafiek. Bekijk eventueel nog eens het PRACTICUM: BASISTECHNIEKEN GR.

50 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 49 OPGAVE 1.1 In de uitleg zie je de functie R(a) = 209 0, 75a. a Bereken R(20) betekent: A Bereken de functiewaarde bij invoerwaarde a = 20. B Bereken de invoerwaarde bij functiewaarde a = 20. C Bereken de functiewaarde als R = 20. D Bereken de invoerwaarde als R = 20. b Bereken R(20). c Deze formule geldt voor jongeren tussen de 13 en de 24 jaar. Breng het deel van de grafiek van R dat daarbij hoort in beeld op de grafische rekenmachine. Welke (functie)waarden voor R horen daarbij? d Voor welke waarde van a geldt: R(a) = 0? Licht je antwoord toe. OPGAVE 1.2 Gegeven is de functie f(x) = 3x 2 + 6x. a Bereken f(- 4). b Teken de grafiek met de grafische rekenmachine en schrijf de vensterinstellingen op die je gekozen hebt. c Noem drie waarden voor x waarvan de functiewaarden negatief zijn. d Voor welke b geldt: f(b) = 24? THEORIE y is een functie van x als je bij een formule zoals y = - x 3 + 4x bij elke ingevoerde waarde van x hoogstens één waarde van y vindt. Je schrijft dan: y(x) = - x 3 + 4x. Bij een functie kun je een tabel maken en een grafiek tekenen. De invoerwaarden komen op de horizontale as. De uitkomsten zoals y(1) heten functiewaarden. y(1) = = 3 is de functiewaarde bij x = 1. Functiewaarden komen op de verticale as. Als er meerdere functies tegelijk worden gebruikt, kun je functies een naam geven. y(x) wordt dan bijvoorbeeld f(x). De functiewaarde is dan een functie van x die f heet. In praktijksituaties gebruik je vaak afkortingen die verwijzen naar de betekenis van de variabelen. Bijvoorbeeld t voor tijd, v voor snelheid. v(t) is dan de snelheid als functie van de tijd. De grafische rekenmachine werkt met alleen x voor invoerwaarden en y of f(x) voor functiewaarden. De nulpunten van een functie zijn de invoerwaarden waarbij de functiewaarde (de uitkomst dus) 0 is. Dan geldt: y(x) = 0. De nulpunten vind je in dit geval door de volgende vergelijking op te lossen: - x 3 + 4x = 0. De nulpunten van deze functie zijn x = 0, x = - 2 en x = 2. Let op: Een nulpunt is een getal (en dus geen punt met coördinaten).

51 50 DOMEIN Functies en grafieken Voorbeeld 1 Gegeven is de functie f(x) = x 2 2x 15. Bereken de functiewaarde van f als de invoerwaarde - 2 is. Bereken de nulpunten van f. Antwoord f(- 2) = (- 2) = - 7 Voor het berekenen van de nulpunten moet de vergelijking f(x) = 0 worden opgelost. Dit geeft: x 2 2x 15 = 0. Ontbinden in factoren geeft (x + 3)(x 5) = 0 en dus x = - 3 x = 5. De nulpunten zijn x = - 3 en x = 5. OPGAVE 1.3 Gegeven is de functie f(x) = 2x 2 + 4x. a Welke functiewaarde van f hoort bij een invoerwaarde van 5? b Bereken f(- 6). c Bereken de nulpunten van f. OPGAVE 1.4 Gegeven is de functie g(x) = x 2. a Bereken g(2). b Bereken g(11). c Bereken het nulpunt van g. Voorbeeld 2 Je ziet twee formules bij verbanden tussen x en y. y = x y 2 = x Verder zie je de grafieken bij deze verbanden. y = x Is y een functie van x in de formule y = x? Is y een functie van x in de formule y 2 = x? Antwoord Kies bijvoorbeeld: x = 4. Bij formule y = x vind je: y = 2. Bij formule y 2 = x vind je: y = 2 y = - 2. Bij de formule y = x vind je bij elke waarde voor x precies één waarde van y. Als x negatief is vind je geen waarden van y. Dus bij de formule y = x is y een functie van x y 2 = x Bij de formule y 2 = x vind je bij vrijwel alle x-waarden twee waarden van y. Alleen bij x = 0 vind je er maar één. Bij negatieve x-waarden vind je geen uitkomsten. Dus bij de formule y 2 = x is y geen functie van x.

52 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 51 OPGAVE 1.5 Je ziet vier grafieken. Bij welke van deze grafieken is y een functie van x? A B C D OPGAVE 1.6 Gegeven is de formule x 2 + y 2 = 100. a Geef een getallenvoorbeeld waaruit blijkt dat de gegeven formule geen functie is. b Druk y uit in x. Let op: je krijgt twee formules. c Teken beide formules met de grafische rekenmachine. Welke vorm hebben de grafieken? d Hoe kun je aan de grafieken zien dat de gegeven formule geen functie is? Voorbeeld 3 Gegeven zijn de functies f(x) = 10x 0, 1x 3 en g(x) = x Bepaal de coördinaten van de snijpunten van de grafieken. Antwoord Om de coördinaten van de snijpunten te achterhalen, moet je de vergelijking f(x) = g(x) oplossen, dus 10x 0, 1x 3 = x Je kunt dat met de grafische rekenmachine doen door beide functies in te voeren: Y1= 10X-0.1X^3 en Y2=X+10. Daarna heb je goede vensterinstellingen nodig zodat je de snijpunten goed in beeld hebt. Je kunt snel zien dat - 10 een nulpunt is van g. Omdat je in ieder geval dat nulpunt in beeld wilt hebben, kies je voor de x-waarden als venster - 15 x 15. In de tabel op de grafische rekenmachine kun je zien dat de functiewaarden liggen tussen - 50 en 50; daarom kies je voor de y-waarden als venster - 50 y 50. De drie snijpunten zijn dan goed in beeld.

53 52 DOMEIN Functies en grafieken Met de grafische rekenmachine kun je de snijpunten uitrekenen. Hoe dat gaat, zie je in het PRACTICUM: FUNCTIES EN DE GR. OPGAVE 1.7 Bereken zelf de coördinaten van de snijpunten in het voorbeeld met behulp van de grafische rekenmachine. Rond waar nodig af op twee decimalen. OPGAVE 1.8 Gegeven zijn de functies f(x) = x en g(x) = 3x. a Bepaal met de grafische rekenmachine de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g. b Bereken de coördinaten van de snijpunten ook algebraïsch. OPGAVE 1.9 Los de vergelijking x 3 5x + 2 = - x + 1 op met behulp van de grafische rekenmachine. Rond af op twee decimalen. OPGAVE 1.10 Gegeven is de functie f(x) = 2x 3 5x 2 + x. a Bereken f(- 2). b Los op: f(x) = 4. Rond af op twee decimalen. c Wat zijn de nulpunten van f? Rond indien nodig af op twee decimalen. OPGAVE 1.11 VERWERKEN Bekijk de grafiek van een formule die een verband tussen x en y weergeeft. a b Is y een functie van x? Is x een functie van y?

54 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 53 OPGAVE 1.12 Gegeven is de functie f(x) = 8 4x + x 3. a Bereken f(3). b Bereken de x -waarden waarvoor f(x) = 8. c Bij welke vensterinstellingen krijg je de nulpunten en de toppen van de grafiek van f in beeld? d Hoort bij elke waarde van x precies één waarde van y? Of kun je tegenvoorbeelden vinden? e Hoort bij elke waarde van y precies één waarde van x? Of kun je tegenvoorbeelden vinden? OPGAVE 1.13 Mika verkoopt voor een groenteboer op de markt appels. Hij krijgt daarvoor 50,00 per dag en voor elke kilo verkochte appels krijgt hij 0,15. a Stel het functievoorschrift L(a) op voor het dagloon (in ) van Mika, waarbij a het aantal kilo appels is dat Mika verkocht heeft op een dag. b Mika heeft 50 kilo appels op één dag verkocht. Wat is zijn dagloon? c Los op L(a) = 59, 75. OPGAVE 1.14 Gegeven zijn de functies f(x) = 100 x 2 en g(x) = x 2. a Bereken de nulpunten van f en geef de coördinaten van de top van de grafiek van f. b Breng de grafieken van f en g in beeld met de grafische rekenmachine. Schrijf op bij welke vensterinstellingen de nulpunten en toppen van beide functies goed zichtbaar zijn. c Bereken op twee decimalen nauwkeurig de coördinaten van de snijpunten van beide grafieken. OPGAVE 1.15 De stop van een met water gevulde wastafel wordt eruit getrokken. De hoogte h in centimer van het water wordt gegeven door de formule h = (4 0, 36t) 2. Hierbij is t de tijd in seconden met t = 0 op het moment dat de stop eruit wordt getrokken. a Hoe hoog stond het water voordat de stop eruit werd getrokken? b Plot de grafiek van h. Hoe kun je aan de grafiek zien dat het water in het begin sneller leegloopt dan aan het eind? c Hoelang duurt het leeglopen van de wastafel? Rond af op twee cijfers achter de komma. d Na hoeveel seconden is de waterhoogte 8 cm? Rond af op twee cijfers achter de komma. OPGAVE 1.16 Gegeven zijn de functies y 1 = (x 2 4)(x 2 9) en y 2 = - x 2 x + 6. a Bereken van beide functies de nulpunten. b Breng beide grafieken in beeld. Schrijf op welke vensterinstellingen je gebruikt om alle nulpunten en toppen in beeld te krijgen. c Bepaal de snijpunten van beide grafieken op twee decimalen nauwkeurig.

55 54 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 1.17 Gegeven is de functie f(x) = ax x 5 waarbij a een nog onbekend getal is. a Wat is a als f(3) = 4? b Wat is a als f(- 2) = 8? c Voor welke a geldt f(a) = 100? Rond af op twee decimalen nauwkeurig.

56 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken Domein en bereik In deze paragraaf leer je: de intervalnotatie te gebruiken om te kunnen aangeven dat waarden beperkt zijn; het begrip domein van een functie; het begrip bereik van een functie; coördinaten van toppen van grafieken berekenen met de grafische rekenmachine. UITLEG 1 Een schuin naar boven gerichte waterstraal uit een fontein vormt onder invloed van de zwaartekracht bij benadering een parabool van water. Een parabolische figuur kan beschreven worden door een kwadratisch functievoorschrift. Deze waterstraal wordt beschreven door de functie: h(x) = - 0, 15x 2 + 3x, waarbij x de afgelegde horizontale afstand in meter is en h de hoogte in meter. Het water van de fontein komt op een bepaald punt de vijver uit en zal een stuk verder weer het water in vallen. Wanneer je de functie in de grafische rekenmachine plot, zie je dat de parabolische figuur bij het punt (0, 0) boven de x-as uit komt en bij het punt (20, 0) weer onder de x-as zal komen. Dat betekent dat alleen de x-waarden vanaf 0 tot en met 20 zinvolle invoerwaarden zijn in deze situatie. Deze waarden vormen het domein (D h ) van de functie. Vanwege het beperkte domein van de functie h(x) zullen ook de uitkomsten beperkt zijn. Het interval waarbinnen alle uitkomsten liggen, heet het bereik (B h ) van de functie. Wanneer je weer naar de grafiek kijkt op de grafische rekenmachine, zie je dat het bereik loopt van y = 0 tot het maximum van de functie in de top van de parabool. Het maximum is makkelijk te vinden met de grafische rekenmachine. In het PRACTICUM: FUNCTIES MET DE GR kun je nalezen hoe dat gaat. Ga na dat voor het bereik van h geldt dat het loopt van 0 tot en met 15.

57 56 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 2.1 OPGAVE 2.2 In het voorbeeld zie je een functievoorschrift voor de boog van een waterstraal. De boog van de waterstraal van een andere fontein wordt beschreven door de functie h(x) = - 4x 2 +12x, waarbij x de afgelegde horizontale afstand in meter is en h de hoogte in meter. a Plot de grafiek en geef de vensterinstellingen. b Welke waarden kan D u aannemen? c Welke waarden kan B u aannemen? d Hoe ver spuit het water uit de fontein? e Hoe hoog komt het water? Bekijk de baan van een kogel die door een kogelstoter zo ver mogelijk wordt gestoten. De kogel komt 14 meter ver. Het hoogste punt van de baan zit 4 meter boven de grond. De baan van de kogel kan worden beschreven met de formule h(x) = - 0, 0625(x 6) waarin h de hoogte van de kogel boven de grond is en x de afstand is die het punt op de grond recht onder de kogel heeft afgelegd vanaf het moment van loslaten. a Laat zien dat de kogel inderdaad 14 meter ver komt. b Welke invoerwaarden zijn hier zinnig? c Laat zien dat het hoogste punt van de baan inderdaad 4 meter boven de grond zit. d Welke functiewaarden zijn hier zinnig? Wat is het domein van deze functie. UITLEG 2 Een interval is eigenlijk niets anders dan een aaneengesloten verzameling reële getallen, een stukje van een getallenlijn. De notatie ervan is op zich eenvoudig: je schrijft de grenswaarden (de kleinste en de grootste waarden, de kleinste eerst) van het interval op tussen twee haakjes. Er zijn alleen twee afspraken die je erbij moet onthouden. de vorm van de haakjes bepaalt of de grenswaarde nog wel bij het interval hoort of juist niet meer - de haken [ en ] geven aan dat de grenswaarden nog bij het interval horen, de haken en geven aan dat de grenswaarden niet bij het interval horen; voor intervallen die aan één kant geen grenswaarde hebben gebruik je een pijltje. Je ziet voorbeelden van intervallen met het bijbehorende deel van de getallenlijn. Je ziet in de figuur het teken. Dit teken wordt gebruikt om aan te geven dat je alle getallen van twee (of meer) afzonderlijke intervallen samen bedoelt.

58 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 57 OPGAVE 2.3 Bekijk de intervallen in het voorbeeld. Let goed op de open en gesloten rondjes en op de bijpassende vorm van de haakjes. Teken de intervallen - 2, 4], [2,, [1; 3, 5],, 0] en, 4 6,. OPGAVE 2.4 Bekijk de getekende intervallen. Schrijf ze in intervalnotatie. OPGAVE 2.5 Bekijk de grafieken van drie functies. Het domein en het bereik van de functie zijn bij de grafiek aangegeven (met de kleuren blauw en groen). a b c Schrijf het domein en bereik van functie I in intervalnotatie. Schrijf het domein en bereik van functie II in intervalnotatie. Schrijf het domein en bereik van functie III in intervalnotatie. THEORIE Alle toegestane invoerwaarden samen vormen het domein van een functie. Het domein heeft te maken met beperkingen van de invoervariabele en die kunnen worden ingegeven door de situatie, maar ook wel door de aard van de functie. Bijvoorbeeld de wortel uit een negatief getal heeft geen reële waarde en delen door 0 kan niet. Het domein van functie f wordt aangegeven door D u. Alle mogelijke functiewaarden samen vormen het bereik van een functie. Om het bereik van een functie f te kunnen bepalen heb je een goed beeld van de grafiek van f nodig. Daarbij zijn de toppen van een grafiek vaak van belang. In een top heeft de functie een maximum (grootste functiewaarde) of een minimum (kleinste functiewaarde). Hoe je die met behulp van de grafische rekenmachine kunt vinden, lees je in het PRACTICUM: FUNCTIES MET DE GR. Het bereik van functie f wordt aangegeven door B u.

59 58 DOMEIN Functies en grafieken Voor domein en bereik van een functie wordt meestal de intervalnotatie gebruikt. Een interval is een aaneengesloten verzameling reële getallen, een stukje getallenlijn dus. Alle reële getallen noteer je als R. Voorbeeld 1 Met de grafische rekenmachine kun je (een deel van) de grafiek van f(x) = x + 2 goed in beeld brengen. Geef het domein en het bereik van f. Antwoord Je weet dat de functiewaarden groter worden naarmate je een groter getal voor x kiest. Je kunt niet de wortel nemen van een negatief getal. Dus er moet gelden dat x en hieruit volgt dat x - 2. Het kleinste getal dat mogelijk is als invoerwaarde is x = - 2. Je krijgt dan als functiewaarde: f(- 2) = = 0. Hier bepaalt het functievoorschrift wat het domein en het bereik zijn: de wortel uit een negatief getal is niet reëel, dus: D u = [- 2, ; de functiewaarden zijn 0 of groter, dus: B u = [0,. De gebruikte vensterinstellingen zijn - 3 x 10 en - 2 y 5.

60 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 59 OPGAVE 2.6 Bekijk het voorbeeld. Gegeven is de functie f met f(x) = 4 x. a Welke waarden kan x aannemen? Schrijf het domein van f op. b Bereken algebraïsch de snijpunten van de grafiek van f met de assen. c Bekijk de grafiek van f. Schrijf het bereik van f op. OPGAVE 2.7 Gegeven is de functie f met f(x) = 2x + 4. Geef het domein en het bereik van f. Voorbeeld 2 Een keeper schopt de bal in de lucht. Voor de hoogte van de bal h in meter na t seconden geldt h(t) = - 3, 5t , 7t + 0, 8. Benader het domein en bereik van h in twee decimalen nauwkeurig. Antwoord De grafiek van h is een bergparabool en het domein en bereik daarvan wordt bepaald door de situatie. Je weet dat t 0. Verder snijdt de grafiek de horizontale as bij t 4, 25. Dus het domein (afgerond op twee decimalen) is [0; 4, 25]. Voor het bereik moet je de top van de grafiek bepalen. Met de grafische rekenmachine vind je dat er een maximum is van ongeveer 16, 23. Omdat de bal op de grond komt is de minimale waarde 0. Dus het bereik (afgerond op twee decimalen) is [0; 16, 23]. OPGAVE 2.8 Bekijk het voorbeeld. Wat is het domein en bereik als voor de bal geldt h(t) = - 2, 4t , 3t + 0, 5? Rond af op twee cijfers achter de komma. OPGAVE 2.9 De boog onder een brug heeft de vorm van de grafiek van h(x) = 25 x 2 (met x en h in meter). a Welke waarden voor x kun je hier invullen? b Wat zijn de maximale en de minimale waarden van h?

61 60 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 2.10 VERWERKEN Bepaal van de functies het domein en het bereik. Noteer ze als interval. (Eventuele benaderingen op twee decimalen.) a f(x) = x 2 x 6 b g(x) = x 2 (x 2)(x 3) c h(x) = x d i(x) = 2 9 2x OPGAVE 2.11 Gegeven is de functie f met f(x) = - 2(x 10) en domein [0, 40]. Bepaal het bereik van f. OPGAVE 2.12 Hangbruggen zijn bruggen die zijn opgehangen aan zware spankabels. Die spankabels hangen op hun beurt aan stalen masten of stenen torens. Hier zie je een spankabel hangen tussen twee torens die 40 meter uit elkaar staan. Er geldt: h(x) = 9 50 x Aan die spankabels hangen tuidraden waar de brug aan is opgehangen. a b c Welke waarden voor x zijn in deze situatie zinnig? Hoe lang zijn de kortste en de langste tuidraden? Er zijn twee tuidraden met een lengte van 45, 5 meter. Hoe ver hangen deze twee tuidraden van elkaar? OPGAVE 2.13 Gegeven is de functie f(x) = x 2 2x 4. a De standaardinstellingen zijn niet erg gelukkig als je de toppen van de grafiek van f wilt zien. Kies andere instellingen en bepaal de coördinaten van de toppen van de grafiek van f. b Geef D u en B u.

62 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 61 OPGAVE 2.14 Een vuurpijl wordt vanaf de grond afgeschoten. De hoogte boven de grond hangt daarna tot hij uit elkaar spat af van de tijd. Er geldt: h(t) = 40t 5t 2. Hierin is h de hoogte boven de grond in meter en t de tijd in seconden. a b c d e De vuurpijl spat na 6 seconden uit elkaar. Hoe hoog komt hij maximaal? Schrijf het domein en het bereik van deze functie op, rekening houdend met de beschreven situatie. Op welke hoogte spat de vuurpijl uit elkaar? Hoeveel seconden is de vuurpijl hoger dan 40 meter? Waarom is de getekende grafiek niet de baan van de vuurpijl? OPGAVE 2.15 Een handelaar heeft wekelijks 400 exemplaren van een bepaald product in de verkoop. Hij heeft geen concurrentie, dus de hoeveelheid q die hij verkoopt, hangt alleen af van de prijs p die hij per exemplaar vraagt. Er geldt: q = 400 0, 5p. a Geef een formule voor de opbrengst R als functie van de prijs p. b Welke waarden kan p aannemen? c Welke waarden kan R aannemen? OPGAVE 2.16 Van een rechthoekig stuk karton van 12 cm bij 20 cm kun je een bakje maken. Daarvoor teken je in iedere hoek een vierkantje. Je knipt van elk vierkantje één zijde helemaal in en plakt het doosje in elkaar zoals je in de figuren kunt zien. Als je er op dezelfde wijze een deksel bij maakt, krijg je een doosje waarvan de inhoud I wordt bepaald door de afmetingen van het vierkantje. a Noem de lengte en de breedte van het vierkantje x. Stel een formule op voor I(x). b Bepaal het domein en het bereik van I(x). Rond af op twee decimalen. c Hoe groot moet het vierkantje zijn om een maximale inhoud te krijgen?

63 62 DOMEIN Functies en grafieken 2.3 Lineaire en kwadratische functies In deze paragraaf leer je: werken met lineaire functies; werken met kwadratische functies. UITLEG Twee auto s rijden met een constante snelheid over dezelfde weg. A en B liggen aan deze weg 50 km van elkaar verwijderd. Auto 1 gaat van A naar B met een constante snelheid van 90 km/h en auto 2 rijdt van B naar A met een constante snelheid van 120 km/h. Beide auto s zijn op hetzelfde moment vertrokken. Als je wilt berekenen op welk tijdstip ze elkaar tegenkomen, stel je (bijvoorbeeld) de afstand tot A voor door de variabele a. Neem voor de tijd in minuten de variabele t. Omdat auto 1 met 1, 5 km per minuut rijdt, geldt: a 1 = 1, 5t. Voor auto 2 geldt: a 2 (0) = 50 en dus: a 2 = 50 2t. Bij beide formules is er een lineair verband tussen a en t: a 1 en a 2 zijn lineaire functies. Je ziet hier de beide grafieken. Het zijn rechte lijnen. De auto s komen elkaar tegen als 1, 5t = 50 2t. Als je deze vergelijking oplost, vind je t 14, 3. Dus na ongeveer 14, 3 minuten komen de auto s elkaar tegen. Vaak kun je de afgelegde afstand van een auto goed berekenen door aan te nemen dat hij voortdurend met dezelfde (gemiddelde) snelheid heeft gereden. Maar als een auto optrekt, neemt zijn (gemiddelde) snelheid tijdens het optrekken toe. De afgelegde afstand neemt dan niet lineair toe. In de grafiek zie je de afgelegde afstand van s (in meter) van een auto die vanuit stilstand optrekt, waarbij t de tijd (in seconden) is. Hier is een kwadratisch verband gekozen, waarbij de functie: s(t) = 1, 2t 2 hoort. Na 5 seconden heeft de auto 30 meter afgelegd. De gemiddelde snelheid is 6 m/s, dus ongeveer 22 km/h. Na 10 seconden heeft de auto 120 meter afgelegd. De gemiddelde snelheid is 12 m/s, dus ongeveer 44 km/h. Je ziet dat de gemiddelde snelheid lijkt toe te nemen.

64 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 63 OPGAVE 3.1 In de uitleg zie je de twee lineaire formules a 1 = 1, 5t en a 2 = 50 2t die aangeven hoeveel meter auto 1 of auto 2 van A is verwijderd na t minuten. a Na hoeveel minuten is auto 2 bij A aangekomen? b Hoe ver zijn auto 1 en auto 2 van A verwijderd na 10 minuten? c Hoe ver zijn auto 1 en auto 2 van A verwijderd na 5 minuten en 45 seconden? OPGAVE 3.2 Twee auto s rijden met een constante snelheid over dezelfde weg. Auto 1 gaat van A naar B met een constante snelheid van 90 km/h en auto 2 van B naar A met een constante snelheid van 120 km/h. a De afstand van beide auto s tot A wordt bekeken. Bekijk die afstand nu vanuit B. Schrijf de twee bijpassende formules op. b Bereken na hoeveel seconden de auto s elkaar tegenkomen. c Voor welke twee waarden van t bedraagt de onderlinge afstand van beide auto s 20 km? OPGAVE 3.3 In het tweede deel van de uitleg zie je de kwadratische formule: s = 1, 2t 2. Deze formule gaat over een vanuit stilstand optrekkende auto, waarbij s de afgelegde afstand (in meter) en t de tijd (in seconden) is. a Hoe zie je aan de grafiek dat de snelheid steeds toeneemt? b Na hoeveel seconden heeft de auto 100 meter afgelegd? c Na hoeveel seconden is de gemiddelde snelheid ongeveer 60 km/h? THEORIE «APPLET» Een verband tussen y en x van de vorm y = ax + b is een lineair verband. x en y zijn dan (veranderende) variabelen, terwijl a en b (vaste) getallen zijn. Omdat er bij elke waarde voor x niet meer dan één y-waarde hoort, is f(x) = ax + b een lineaire functie. a noem je de richtingscoëfficient; b is de functiewaarde bij x = 0. En dat is weer de y-coördinaat van het snijpunt (0, b) van de grafiek met de y-as. Lineair komt van linéaire (Frans) en linearis (Latijn) en betekent lijnvormig. De grafiek van een lineaire functie is een rechte lijn. Een ander woord voor lineaire functie is eerstegraadsfunctie. Een functie van de vorm g(x) = ax 2 +bx+c is een tweedegraadsfunctie of kwadratische functie. Als a hier een positief getal is, dan is de bijbehorende grafiek een dalparabool en als a een negatief getal is, dan is de bijbehorende grafiek een bergparabool. Opmerking: Op deze manier kun je doorgaan: h(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d is een derdegraadsfunctie, enzovoort. Er bestaan dus veel verschillende functies.

65 64 DOMEIN Functies en grafieken Voorbeeld 1 Soms gaan economen uit van een lineair verband tussen het aantal producten q dat hij verkoopt en de prijs p die hij vraagt. q is dan een lineaire functie van p. Een voorbeeld daarvan is een functie met voorschrift q = p. Welke prijzen kan de fabrikant volgens dit model vragen? En welke aantallen kan hij verkopen? Antwoord Zowel p als q moet positieve waarden hebben. Neem je p = 0, dan is q = Neem je q = 0, dan is p = 20 (vergelijking oplossen). Dit betekent dat p van 0 tot 20 kan lopen en q van 0 tot Handig om van tevoren te bedenken als je de grafiek op de grafische rekenmachine in beeld wilt brengen. OPGAVE 3.4 In het voorbeeld zie je de formule q = p van een economisch model. a Plot de grafiek van de formule. Welke vensterinstellingen gebruik je? b Hoe kun je aan de grafiek zien dat er sprake is van een lineair verband en wat is de richtingscoëfficiënt? c Bij welke prijs verkoopt hij 1500 exemplaren? OPGAVE 3.5 Voor een rit in een taxi betaal je voorrijkosten en een bedrag per gereden kilometer: voorrijkosten 3,20; per gereden kilometer 1,20. De ritprijs (R) hangt af van het aantal gereden kilometers (a). a Laat zien dat R(10) = 15, 2. b Stel een voorschrift op voor de functie R(a). c Dit is een voorbeeld van een lineaire functie. Teken de grafiek van deze functie op de grafische rekenmachine. d Waar vind je de twee getallen 3, 20 en 1, 20 in je grafiek terug? OPGAVE 3.6 Elke lineaire functie f heeft een functievoorschrift van de vorm f(x) = ax+b. Neem aan dat de grafiek door (0, 3) en (1; 3, 5) gaat. a Welke betekenis heeft a voor de grafiek van f? Welke waarde heeft a in dit geval? b Welke betekenis heeft b voor de grafiek van f? Welke waarde heeft b in dit geval? c Welke waarden voor a en b moet je nemen om als grafiek een rechte lijn door A(1, 2) en B(5, 3) te krijgen? d Hoe kun je het bijbehorende functievoorschrift afleiden uit de coördinaten van A en B?

66 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 65 Voorbeeld 2 «APPLET» Bekijk de grafiek. Je ziet de punten P(10, 210) en Q(30, 300). Stel een functievoorschrift op voor de functie waarvan de grafiek een rechte lijn is die door de punten P en Q gaat. Antwoord Er is sprake van een lineaire functie f met f(x) = ax + b. Je zoekt daarom het hellingsgetal (a) en het begingetal (b). b is de functiewaarde bij x = 0. Vergelijk de twee gegeven punten van de grafiek. Bij een toename van x met = 20 hoort een toename van y met = 90. Dus bij een toename van x met 1 hoort een toename van y met = 4, 5. Daarom is het hellingsgetal 4, 5. De functiewaarde bij 0 is niet bekend. De functie heeft een voorschrift van de vorm f(x) = 4, 5x + b. Omdat f(10) = 210 geldt: 210 = 4, b. En dit geeft b = 165. Dus het functievoorschrift is f(x) = 4, 5x OPGAVE 3.7 Bekijk in het voorbeeld hoe je het voorschrift opstelt van een lineaire functie als twee punten van de grafiek zijn gegeven. Je ziet twee grafieken van lineaire functies. Stel voor elk van deze functies een passend voorschrift op en bereken algebraisch het snijpunt van beide lijnen. OPGAVE 3.8 a b Stel een functievoorschrift op voor de functie waarvan de grafiek een rechte lijn is die door de punten P(- 2, 10) en Q(6, 82) gaat. Stel een functievoorschrift op voor de functie waarvan de grafiek een rechte lijn is die door de punten P(5, 20) en Q(15, 15) gaat. OPGAVE 3.9 Lang niet al het drinkwater wordt gebruikt om te drinken. Een gedeelte van het drinkwater wordt gebruikt voor de vaatwasmachine. Gegevens daarvan staan in de grafiek, waarbij geldt dat 1995 overeenkomt met t = 0. In deze grafiek kun je bijvoorbeeld aflezen dat er in 2001 (t = 6) gemiddeld over alle Nederlanders ongeveer 2, 4 liter water per persoon per dag wordt gebruikt voor vaatwasmachines. Het lijkt erop dat V, het waterverbruik van de vaatwasmachine in liter per persoon per dag, bij benadering lineair toeneemt. Daarom is een lijn getekend die zo goed mogelijk bij de gegevens past. De formule van de lijn is V = a t + b, waarbij t de tijd is in jaren na Bereken a en b. Gebruik getallen met één cijfer achter de komma. bron: examen 2010-II havo

67 66 DOMEIN Functies en grafieken Voorbeeld 3 Het aantal exemplaren q dat een fabrikant verkoopt, hangt af van de prijs p volgens een lineaire functie: q = p. De totale opbrengst TO bereken je met de formule: TO = p q = p ( p). TO is een kwadratische functie van p. Bij welke prijs is de opbrengst maximaal en wat is dan de maximale opbrengst? Antwoord De nulpunten van TO bereken je door de vergelijking p ( p) = 0 op te lossen. Dat levert op: p = 0 p = 20. Voor het bepalen van het maximum van TO kun je de grafiek plotten en de grafische rekenmachine het maximum laten bepalen. Je vindt dan dat er een maximum is bij p = 10. Maar je kunt dit ook als volgt beredeneren: de grafiek van TO is een parabool en dus lijnsymmetrisch. Door de vergelijking p ( p) = 0 op te lossen, vind je dat de parabool door de punten (0, 0) en (20, 0) gaat. Het maximum zit in het midden van die punten, dus bij p = 10. Voor de maximale opbrengst, vul je p = 10 in de functie TO(p) in. Je vindt TO(10) = Dus bij een prijs van 10, 00 is er een maximale opbrengst van , 00. OPGAVE 3.10 Het voorbeeld gaat over een kwadratische functie. a Laat door het uitwerken van de haakjes zien dat TO inderdaad een kwadratische functie is. b Waarom is het uitwerken van de haakjes hier niet erg nuttig? c Breng de grafiek van TO in beeld. Welke vensterinstellingen gebruik je? d Ga met de rekenmachine na dat de maximale opbrengst inderdaad bij p = 10 wordt gevonden. Hoeveel bedraagt die maximale opbrengst? OPGAVE 3.11 Gegeven is f(x) = 3x(2 5x). a Plot de grafiek en geef de vensterinstellingen. b Bereken algebraïsch de snijpunten van de grafiek van f met de x-as. c Geef de coördinaten van de top van de grafiek van f. VERWERKEN OPGAVE 3.12 a Stel een voorschrift op van de lineaire functie f waarvan de grafiek door de punten P(2, 80) en Q(8, 140) gaat. Stel een voorschrift op van de lineaire functie g waarvan de grafiek door de punten R(- 5, 15) en S(10, - 25) gaat. b OPGAVE 3.13 Gegeven is dat h een lineaire functie is en dat h(3) = 8 en h(12) = Stel het functievoorschrift op van h.

68 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 67 OPGAVE 3.14 Je ziet de grafieken van de jaarlijkse kosten van twee verschillende auto s. Auto A (groene grafiek) was duurder in de aanschaf en heeft mede daarom hogere vaste kosten per jaar, maar is per gereden kilometer iets goedkoper. Stel voor beide auto s een passende formule op voor de jaarlijkse kosten als functie van het aantal gereden kilometers. Vanaf welk aantal gereden kilometers per jaar is het voordeliger om auto A aan te schaffen? OPGAVE 3.15 Twee cilindervormige kaarsen worden tegelijkertijd aangestoken. Ze branden gelijkmatig op. Een uur na het aansteken heeft kaars I een lengte van 75 cm en is kaars II nog 71 cm lang. 3, 5 uur na het aansteken worden beide kaarsen opnieuw gemeten: kaars I is dan 62, 5 cm en kaars II is dan nog 61 cm lang. a Stel voor elk van deze kaarsen een formule op voor de lengte l in centimeter als functie van de brandtijd t in uren. b Hoeveel uur na het aansteken zijn beide kaarsen even lang? c Hoeveel uur na het aansteken verschillen ze 1 cm in lengte? OPGAVE 3.16 Tussen de prijs p en het aantal producten dat een fabrikant verkoopt bestaat het verband q = p. Bij welke prijs is de opbrengst maximaal? OPGAVE 3.17 Je ziet 15 meter kippengaas in de schuur staan en je wilt hiervan een rechthoekige kippenren maken met lengte l en breedte b. a Geef een formule voor de oppervlakte van de kippenren, uitgedrukt in l of in b. b Welke waarden kunnen l en b aannemen? c Welke waarden kan de oppervlakte aannemen? d Wat is de maximale oppervlakte van een cirkelvormige kippenren bij gebruik van 15 meter kippengaas? OPGAVE 3.18 Een bedrijf verkoopt een bepaald product. Bij een prijs van 7,00 verkoopt het bedrijf 1450 van die producten en bij een prijs van 10,00 verkopen zij er Tussen de prijs p en het aantal verkochte producten q bestaat een lineair verband. a Stel de formule op voor q als functie van p. b Bij welke prijs is de opbrengst maximaal?

69 68 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 3.19 Op aarde kun je gewichtloosheid ervaren tijdens zogenaamde paraboolvluchten met een vliegtuig. Deze vluchten worden onder andere gebruikt om astronauten te trainen. Een dergelijke paraboolvlucht verloopt als volgt. Eerst versnelt de piloot het vliegtuig, waarna het steil omhoog stuurt. Op een hoogte van 7600 meter schakelt de piloot de motoren zo ver terug dat alleen nog maar de luchtweerstand wordt overwonnen. Op dat moment begint de werkelijke paraboolvlucht en de toestand van gewichtloosheid. Zie de figuur. Het vliegtuig gaat, vanwege de hoge snelheid, eerst nog omhoog. Als de top van de paraboolbaan is bereikt, duikt het vliegtuig omlaag totdat het weer op dezelfde hoogte is als aan het begin van de paraboolvlucht. Op dat moment schakelt de piloot de motoren weer op vol vermogen en is de toestand van gewichtloosheid voorbij. De hoogte van het vliegtuig tijdens de paraboolvlucht wordt gegeven door de formule: h = - 9, 81 t 2 + 0, 38 v t Hierin is h de hoogte in meter, t de tijd in seconden en v de snelheid van het vliegtuig in km/h bij de start van de paraboolvlucht, dat is bij t = 0. Om zinvol te kunnen trainen is het belangrijk dat de toestand van gewichtloosheid minimaal 20 seconden achtereen duurt. Onderzoek bij welke snelheden v van het vliegtuig de toestand van gewichtloosheid minimaal 20 seconden duurt. bron: examen I havo

70 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken Karakteristieken In deze paragraaf leer je: wat asymptoten zijn; karakteristieken (van de grafiek) van een functie bepalen. UITLEG Voor een rit in een taxi betaal je: voorrijkosten 3,20 per gereden kilometer 1,20 De prijs P per gereden km hangt af van het aantal gereden km a. Er geldt: P = 1, ,20 u. De grafiek van deze functie heeft geen nulpunten of extremen, maar wel geldt: Als a (het aantal gereden kilometers) heel groot wordt, benaderen de functiewaarden het getal 1, 20. Met de grafische rekenmachine kun je een tabel maken en dan zie je dat hoe groter a is hoe dichter je bij 1, 20 komt. Dit betekent dat de grafiek steeds dichter bij de lijn P = 1, 20 komt te liggen, maar deze niet raakt. Deze lijn heet de horizontale asymptoot van de grafiek van P. Aan de functie zie je dat je het getal 0 niet voor a mag invullen: delen door 0 kan niet. Waarschijnlijk is daar dus ook iets bijzonders. Als a dicht bij 0 komt, worden de functiewaarden steeds groter: P(0, 1) = 33, 20; P(0, 01) = 321, 20; P(0, 001) = 3201, 20; P(0, 0001) = , 20 enzovoort. Dit betekent dat de grafiek steeds dichter bij de lijn a = 0 (de verticale as) komt te liggen. Dit is de verticale asymptoot van de grafiek van P. Als je de grafiek van de functie tekent, zorg je ervoor dat ook dit soort karakteristiek gedrag zichtbaar wordt, net als snijpunten met de assen en toppen (als ze er zijn).

71 70 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 4.1 OPGAVE 4.2 Bekijk de uitleg. Voor een taxirit van taxicentrale Bob betaal je 5,00 voorrijkosten en 1,10 per gereden kilometer a. a Stel de formule op voor de kosten K (in euro) per gereden kilometer voor deze taxirit. b Wat zijn de asymptoten van de grafiek van K? c Bij taxicentrale Alice kun je alleen maar ritten maken die langer zijn dan 2 km. Bij deze taxicentrale wordt de formule K = 1, u 2 gehanteerd. Wat zijn de asymptoten van de grafiek van deze formule? Van een bepaald type kopieerapparaat worden de kosten per kopie gegeven door K(a) = 200 u + 0, 075. Hierin is a het aantal kopieën per maand en K zijn de kosten in euro. a Bereken de kosten per kopie als er kopieën per maand met deze machine worden gemaakt. b Welke waarde benaderen de kosten per kopie als het aantal kopieën heel erg groot is? c Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van K? d Als er een bepaalde maand geen kopieën worden gemaakt, kun je niet spreken van de kosten per kopie. Het minimale aantal kopieën waarbij dit nog wel kan, is één. Hoeveel bedragen de kosten per kopie maximaal? THEORIE Bij grafieken komt regelmatig asymptotisch gedrag voor: als je ver genoeg van de oorsprong komt, gaat de grafiek steeds dichter in de buurt van een lijn lopen. Een verticale asymptoot in een grafiek kun je vaak goed in de functie herkennen: een invoerwaarde waarbij je door 0 moet delen, veroorzaakt vaak zo n asymptoot. Een horizontale asymptoot in een grafiek ontstaat als de functiewaarden een vast getal naderen naarmate de invoerwaarden heel groot of heel klein (erg negatief) worden. De functie f met voorschrift f(x) = 1 u heeft een grafiek met asymptoten. Deze grafiek heeft: als horizontale asymptoot de lijn y = 0, want voor grote en kleine (erg negatieve) waarden van x naderen de functiewaarden naar 0; als verticale asymptoot de lijn x = 0, want dit getal heeft geen functiewaarde (je kunt niet door 0 delen) en vlak in de buurt van 0 worden de functiewaarden heel groot of heel klein (erg negatief). Het domein van f zijn alle getallen behalve 0. Je schrijft dit als D u =, 0 0,. Het bereik van f zijn alle getallen behalve 0. Je schrijft dit als B u =, 0 0,.

72 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 71 Het teken betekent dat het gaat om alle getallen van de twee intervallen samen. Als je de grafiek van een functie goed in beeld hebt, zijn alle karakteristieken zichtbaar (op het gewenste domein). Dat kunnen zijn: de snijpunten met de assen; de asymptoten; de toppen. Voorbeeld 1 «APPLET» De grafiek van f(x) = u +4 u 2 Schrijf het domein en bereik van f op. heeft twee asymptoten. Welke twee? Antwoord Aangezien je niet door 0 kunt delen is er iets bijzonders als x 2 = 0 en dus als x = 2. f(2) bestaat niet, maar x-waarden vlak bij 2 kun je wel invullen: f(2, 001) = 6001 en f(2, 0001) = , enzovoort. Verder is f(1, 999) = 5999 en f(1, 9999) = De grafiek van f komt steeds dichter langs de lijn x = 2 te lopen. x = 2 is de vergelijking van de verticale asymptoot. Voor de horizontale asymptoot ga je anders te werk. Kies x-waarden als 1000, , , enzovoort. Bereken de bijbehorende functiewaarden. Doe hetzelfde met , , , enzovoort. Je ziet dan dat de functiewaarden steeds dichter in de buurt van y = 1 liggen. Hoe verder je van 0 af zit, hoe beter die benadering. De lijn y = 1 is de horizontale asymptoot van de grafiek van f. Het domein van f is:, 2 2,. Het bereik van f is:, 1 1,.

73 72 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 4.3 Je ziet de grafiek van de functie f met f(x) = 4 u +2. a Welke verticale asymptoot heeft deze grafiek? b Welk getal naderen de functiewaarden als x heel groot wordt? c Welk getal naderen de functiewaarden als x heel klein wordt? d Wat is de vergelijking van de horizontale asymptoot? e Schrijf het domein en het bereik van f op. OPGAVE 4.4 Gegeven is de functie g(x) = u 5 u +10. a Wat zijn de asymptoten van de grafiek van g? b Geef het domein en bereik van g. Voorbeeld 2 Dit is een grafiek van de functie f(x) = 4u 2 16 u Hij is gemaakt met de grafische rekenmachine met het standaardvenster. Bepaal alle karakteristieken en het bereik van f. Antwoord Op grond van dit plaatje zou je verkeerde conclusies kunnen trekken. Bijvoorbeeld dat het maximum f(0) = 0 is. En dat de grafiek een soort afgeplatte bergparabool is. Dat is niet goed. Eerst kijk je of er nulpunten en asymptoten zijn: f(x) = 0 levert op: 4u 2 16 u = 0 en dus: 4x 2 16 = 0. Er zijn daarom twee nulpunten: x = - 2 en x = 2. Je deelt door x en dus ontstaan er problemen als x = 0. Dit betekent dat x = 10 en x = - 10 misschien verticale asymptoten zijn. Door getallen dicht in de buurt van 10 dan wel - 10 in te vullen, merk je dat dit echt twee verticale asymptoten zijn. Als je grote getallen (of grote negatieve getallen) invult naderen de functiewaarden 4. Dus y = 4 is de horizontale asymptoot. Pas nu de vensterinstellingen aan en breng alle karakteristieken van de grafiek in beeld. Bij x = 10 blijkt een maximum te zitten: f(0) = 0, 16. (Laat de rekenmachine een maximum zoeken tussen bijvoorbeeld de nulpunten.) Het bereik van f lees je uit de grafiek af, rekening houdend met het maximum en de horizontale asymptoot: B u = ; 0, 16 4,.

74 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 73 OPGAVE 4.5 Gegeven is de functie f met f(x) = 2u 2 12 u a Plot de grafiek van f. Welke vensterinstellingen heb je gebruikt? b Geef de karakteristieken van f. c Geef het domein en het bereik van f. OPGAVE 4.6 Gegeven is de functie g met g(x) = 4u 1+u 2. a b c d Waarom heeft de grafiek van deze functie geen verticale asymptoot? Welk nulpunt heeft de grafiek van g? Onderzoek of de grafiek van g een horizontale asymptoot heeft. Geef het domein en het bereik van g. VERWERKEN OPGAVE 4.7 Geef het domein, het bereik en de asymptoten van de volgende functies. a b f(x) = 4 4 u g(x) = 4 u u c h(x) = u u 2 4 d k(x) = u 2 u 2 +4 OPGAVE 4.8 Gegeven is functie f met f(x) = 2u 2 +4 u Geef de karakteristieken van f. OPGAVE 4.9 Gegeven is de functie f met f(x) = - 5u 2 (u 10) 2. a b c d Bereken de nulpunten van deze functie. Welke asymptoten heeft de grafiek van deze functie? Bij welke vensterinstellingen is de grafiek van f goed in beeld met alle karakteristieken zichtbaar? Bepaal het bereik van f. OPGAVE 4.10 De toonhoogte van geluid wordt bepaald door de frequentie. Hoe hoger de frequentie, hoe kleiner de golflengte wordt. De frequentie wordt uitgedrukt in hertz (Hz) en geeft het aantal trillingen per seconde aan. Weet je de frequentie f, dan kun je de golflengte W berekenen: W = 330 u. 330 is de zogenaamde voortplantingssnelheid van de golf in meter per seconde. Een geluidsinstallatie kan geluiden van 15 Hz tot Hz produceren. a Als je [15, ] als domein kiest, welk bereik heeft W dan? b Vleermuizen kunnen soms wel geluiden met een frequentie van Hz horen. Is dit een hoog of juist laag geluid? c Welke golflengte heeft dat geluid? d Mensen kunnen geluiden onder de 20 Hz nauwelijks horen. Gaat het dan om bassen of hoge tonen? e Welke golflengte heeft zo n geluid? f Tot welke waarde nadert W als f heel groot wordt?

75 74 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 4.11 In een natuurgebied zijn er herten uitgezet. Het aantal herten kan bepaald worden met de formule N = ,1u. Hierin is N het aantal herten en t het aantal jaar na het uitzetten van de herten. a Hoeveel herten zijn er uitgezet? b Welke asymptoot hoort bij de grafiek van deze formule? c Wat is de betekenis van de asymptoot in deze praktijksituatie? d Na hoeveel jaar zijn er 120 herten? OPGAVE 4.12 Voor de totale kosten ( TK ) bij de productie van een bepaald artikel geldt: TK = , 1q 2 waarin q het aantal exemplaren voorstelt. a Bereken de gemiddelde kosten per exemplaar bij een productie van 120 stuks op twee decimalen nauwkeurig. b Leg uit waarom de gemiddelde kosten het hellingsgetal zijn van de lijn door (0; 0) en (q, TK). c Stel een functie op voor de gemiddelde kosten per exemplaar (GTK ) als functie van q. d Welke asymptoot heeft de functie GTK? Schrijf het domein en het bereik van GTK op. OPGAVE 4.13 Door een technische storing in de airconditioning van een groot gebouw neemt het zuurstofgehalte in de lucht tijdelijk af. De technische staf heeft het verloop van het zuurstofgehalte beschreven met de formule: Z(t) = 200(1 10 u u ). Hierin is t de tijd in minuten gerekend vanaf het moment dat de storing begon. Verder is Z het aantal cm 3 zuurstof per liter lucht op het tijdstip t. Op t = 0 is het zuurstofgehalte normaal. a Bereken Z(0). Schets de grafiek van Z(t) voor 0 t 100. b Welke asymptoten heeft de grafiek van Z(t)? Welke betekenis hebben ze? c Op welk tijdstip is het zuurstofgehalte minimaal? d De medische staf vindt een zuurstofgehalte van 80% van het normale niveau, nog juist toelaatbaar. Bereken gedurende hoeveel minuten het zuurstofgehalte ontoelaatbaar laag is.

76 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken Transformaties In deze paragraaf leer je: grafieken verschuiven of herschalen; karakteristieken van verschoven of herschaalde grafieken van standaardfuncties bepalen. UITLEG Je ziet de grafiek van de kwadratische standaardfunctie f(x) = x 2 op de grafische rekenmachine met de standaardinstellingen. Door de functie te vermenigvuldigen met een getal of door er een getal bij op te tellen, vervorm je de grafiek van deze standaardfunctie. y = x y = (x + 2) 2 y = 2 x 2 y = (2 x) 2 Je moet vier van die vervormingen kennen: De grafiek van y = x ontstaat door van alle punten van de standaardgrafiek de y-coördinaat met 2 te verhogen. De grafiek schuift dus omhoog. De grafiek van y = (x + 2) 2 ontstaat door van alle punten van de standaardgrafiek de x-coördinaten te vervangen door de x-coördinaat van het punt dat 2 verder naar rechts ligt. De grafiek verschuift dus naar links.

77 76 DOMEIN Functies en grafieken De grafiek van y = 2 x 2 ontstaat door van alle punten van de standaardgrafiek de y-coördinaat met 2 te vermenigvuldigen. De punten van de grafiek komen daarom 2 keer zo ver van de x-as af te liggen. De grafiek van y = (2 x) 2 ontstaat door van alle punten van de standaardgrafiek de x-coördinaten te vervangen door de x-coördinaat van het punt dat 2 keer zo ver naar rechts ligt. De punten van de grafiek komen daarom een 1 2 keer zo ver van de y-as te liggen. OPGAVE 5.1 Ga uit van de standaardfunctie y 1 = x 3. De grafieken van de onderstaande functies kun je door verschuiven en/of herschalen van de grafiek van deze functie krijgen. Geef bij elk van die functies aan welke vervormingen dat zijn. a y 2 = 3 x 3 b y 3 = (x + 4) c y 4 = 5 2x 3 d y 5 = (0, 5x) THEORIE Ga uit van een functie y = f(x), de rode grafiek in de figuur. Je kunt deze grafiek vervormen. Bijvoorbeeld: De groene grafiek, y = f(x) + 2, is ontstaan door de grafiek van f 2 naar boven te verschuiven. Je noemt dat ook verschuiven in de y-richting over 2. De blauwe grafiek, y = f(x + 2), is ontstaan door de grafiek van f 2 naar links te schuiven. Je noemt dat ook verschuiven in de x-richting over - 2. Ga weer uit van een functie y = f(x) (de rode grafiek in de figuur). De groene grafiek, y = 2 f(x), is onstaan door de grafiek van f ten opzichte van de x-as met factor 2 te vermenigvuldigen. Dit noem je ook herschalen in de y-richting met factor 2. De blauwe grafiek, y = f(2 x), is ontstaan door de grafiek van f ten opzichte van de y-as met factor 1 2 te herschalen. Dit noem je ook herschalen in de x-richting met factor 1 2. Verschuivingen en herschalingen kunnen ook worden gecombineerd.

78 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 77 Voorbeeld 1 «APPLET» Gegeven is de standaardfunctie f(x) = x 2, met als top (0, 0). De grafiek van g ontstaat uit de grafiek van f door f te verschuiven in de x-richting over - 3. Het functievoorschrift van g wordt g(x) = (x + 3) 2. Let op de haakjes! De top verschuift mee en komt te liggen op (- 3, 0). De grafiek van h ontstaat door de grafiek van f(x) te verschuiven in de y-richting over -4. Het functievoorschrift wordt h(x) = x 2 4. De top verschuift weer mee en komt te liggen op (0, - 4). De grafiek van k ontstaat door de de grafiek van f 3 naar links en 4 omlaag te verschuiven. Het functievoorschrift wordt k(x) = (x + 3) 2 4. Let op de haakjes! De top verschuift weer mee en komt te liggen op (- 3, - 4). OPGAVE 5.2 Gegeven is de functie f(x) = x 3. a Plot de grafiek van f. b Schrijf het functievoorschrift van y 2 = f(x + 4) op. Plot de grafiek van y 2. Hoe ontstaat de grafiek van y 2 uit die van f? c Schrijf het functievoorschrift van y 3 = f(x) + 5 op. Plot de grafiek van y 3. Hoe ontstaat de grafiek van y 2 uit die van f? Voorbeeld 2 «APPLET» Gegeven is de standaardfunctie f(x) = x 2. De grafiek van g(x) = 2 f(x) = 2x 2 ontstaat uit de grafiek van f door herschalen in de y-richting met factor 2. Je ziet in de grafiek dat de y-coördinaat van punt B gelijk is aan 8 en dat is twee keer zo groot als de y-coördinaat van punt A. Stel dat f(x) = x 2 2x, dan geldt: g(x) = 2 f(x) = 2(x 2 2x). Je vermenigvuldigt de hele formule met 2 en je moet dus soms met haakjes werken. Eventueel kun je de haakjes daarna weer wegwerken: 2(x 2 2x) = 2x 2 4x

79 78 DOMEIN Functies en grafieken Algemeen geldt: de grafiek van g(x) = d f(x) ontstaat uit de grafiek van f door herschalen in de y-richting met factor d. De grafiek van g(x) = f(2x) = (2x) 2 ontstaat uit de grafiek van f door herschalen in de x-richting met factor 1 2. Je ziet in de grafiek bijvoorbeeld dat de x-coördinaat van punt B 1 is en dat is een 1 2 keer zo groot als de x-coördinaat van punt A. Stel dat f(x) = x 2 2x, dan geldt: g(x) = f(2x) = (2x) 2 2 2x. Let op de haakjes! Je vervangt dus elke x in de formule door 2x. Eventueel kun je daarna de haakjes weer wegwerken: (2x) 2 2 2x = 4x 2 4x. Algemeen geldt: de grafiek van g(x) = f(c x) ontstaat uit de grafiek van f door herschalen in de x-richting met factor 1 u. OPGAVE 5.3 Gegeven is de functie f(x) = x 3 a Plot de grafiek van f. b Schrijf het functievoorschrift van y 2 = f(2x) op. Plot de grafiek van y 2. Hoe ontstaat de grafiek van y 2 uit die van f? c Schrijf het functievoorschrift van y 3 = 2 f(x) op. Plot de grafiek van y 3. Hoe ontstaat de grafiek van y 2 uit die van f? OPGAVE 5.4 Gegeven is de functie f(x) = x 3 2x a Plot de grafiek van f. b Schrijf het functievoorschrift van y 2 = f(2x) op. Plot de grafiek van y 2. Hoe ontstaat de grafiek van y 2 uit die van f? c Schrijf het functievoorschrift van y 3 = 2 f(x) op. Plot de grafiek van y 3. Hoe ontstaat de grafiek van y 3 uit die van f? Voorbeeld 3 «APPLET» Door welke verschuivingen en/of herschalingen is de functie g(x) = 3 (x 7) ontstaan uit de standaardfunctie f(x) = x 2? Antwoord De grafiek van g(x) = 3 (x 7) ontstaat uit de grafiek van f door: Eerst herschalen in de y-richting met factor 3: y 2 = 3x 2 7 verschuiven in de x-richting: y 3 = 3 (x 7) 2 4 verschuiven in de y-richting: y 4 = 3 (x 7) Controleer dit met de grafische rekenmachine. De volgorde van deze herschaling en verschuivingen is belangrijk, hoewel er meerdere mogelijkheden goed zijn. Het is in ieder geval fout om eerst beide verschuivingen te doen en dan pas te herschalen. Ga dat na.

80 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 79 OPGAVE 5.5 Geef bij elk van de volgende functies aan welke verschuivingen en/of vervormingen je moet toepassen om de grafiek uit die van f te laten ontstaan. (Let op de volgorde!) a g(x) = 2 f(x) + 3 b h(x) = f(x 4) + 2 c k(x) = - f(x) + 2 d l(x) = f(3x) + 2 e m(x) = 2 f(x 1) + 4 OPGAVE 5.6 Schrijf het functievoorschrift op van g als de grafiek uit die van f ontstaat door: a herschalen in de y-richting met - 2 en dan 1 in de y-richting verschuiven; b herschalen in de x-richting met factor 2 en dan - 3 in de y-richting verschuiven; c verschuiven in de x-richting met 4 en verschuiven in de y-richting met - 2; d e herschalen in de x-richting met factor 1 2 en dan een verschuiving in de xrichting van 4; verschuiving van 4 in de x-richting, dan herschalen in de y-richting met factor 0, 5 en ten slotte verschuiving van - 2 in de y-richting. Voorbeeld 4 Als je een grafiek op de grafische rekenmachine wilt maken, dan moet je geschikte vensterinstellingen geven. Dan kan het nuttig zijn om te zien dat een bepaalde functie door verschuiven en/of herschalen kan ontstaan uit een veel eenvoudiger standaardfunctie. Zeker als je van die standaardfunctie alle karakteristieken weet. Hoe breng je de grafiek van f(x) = 200 5(x 30) 2 goed in beeld? Antwoord Je herkent dan de functie als f(x) = - 5(x 30) met als bijbehorende standaardfunctie y = x 2. Die basisfunctie heeft als grafiek een dalparabool met top (0, 0). De grafiek van f ontstaat uit die van y = x 2 door: een verschuiving van 30 ten opzichte van de y-as; een herschaling met factor - 5 ten opzichte van de x-as; een verschuiving van 200 ten opzichte van de x-as. De top van de grafiek van f is daarom (30, 200) en de grafiek is een bergparabool. De grafiek van y = x 2 is goed in beeld met venster - 10 x 10 en - 10 y 10. Op dit venster kun je ook de beschreven verschuivingen toepassen. De grafiek van f is daarom goed in beeld als 20 x 40 en - 10 y 250.

81 80 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 5.7 OPGAVE 5.8 Gegeven is de functie f(x) = 0, 25(x 5) De grafiek van deze functie kan door verschuiven en/of herschalen ontstaan uit die van de bijbehorende standaardfunctie. a Welke standaardfunctie is dat? b Welke verschuivingen en/of vervormingen moeten er dan achtereenvolgens worden toegepast? c Bepaal nu het minimum van de grafiek van de gegeven functie. Voor welke waarde van x treedt dit minimum op? De grafiek van de functie f met f(x) = (x 20) komt met de standaardinstellingen van het venster op de grafische rekenmachine niet in beeld. Leg uit hoe je door het toepassen van verschuivingen de vensterinstellingen in één keer zo kunt maken, dat die grafiek wel goed in beeld komt. OPGAVE 5.9 VERWERKEN Ga uit van de standaardfunctie f(x) = 2x 2. De grafieken van de onderstaande functies kun je door verschuiven en/of herschalen van deze standaardfunctie krijgen. Geef bij elk van die functies aan welke verschuivingen en/of herschalingen dat zijn en geef de bijbehorende formules. a y 2 = 0, 5 f(x) b y 3 = f(x 4) + 2 c y 4 = 2 f(x) d y 5 = f(3x) 4 OPGAVE 5.10 Hier zie je vijf keer het venster van de grafische rekenmachine in de basisinstellingen. Deze basisgrafiek is die van y 1 = x 3. De overige grafieken zijn door verschuiven en/of herschalen van die grafiek ontstaan. a b c d Geef bij elke functie het juiste voorschrift.

82 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 81 OPGAVE 5.11 Hier zie je de grafiek van y 1 = f(x). Neem hem over op een roosterblad. Teken de grafieken van de volgende functies. Schrijf erbij welke verschuivingen en/of herschalingen je toepast. a y 2 = f(x 2) b y 3 = - 2 f(x) c y 4 = f(x) 2 d y 5 = f(2x) 1 OPGAVE 5.12 Een weggeslingerde kogel beschrijft ten opzichte van een xy-assenstelsel de volgende baan: y = - 0, 02(x 10) Het moment van loslaten ligt op y = 2. Dit is bij x = 0. y en x zijn beide in meter uitgedrukt. a Geef geschikte vensterinstellingen zodat je de volledige baan van de kogel op de grafische rekenmachine in beeld kunt krijgen. b Bereken hoe ver deze kogelstoter met zijn kogel komt. Geef je antwoord in centimeter nauwkeurig. c Na hoeveel meter is de kogel weer even hoog als op het moment van loslaten? OPGAVE 5.13 Gegeven is de standaardfunctie f(x) = x. a De grafiek van y 1 ontstaat door op de grafiek van f een verschuiving van 2 omlaag en verschuiving van 5 naar rechts toe te passen. Geef het functievoorschrift van y 1 en het domein en bereik daarvan. b De grafiek van y 2 ontstaat door de grafiek van f eerst te herschalen met factor 2 in de y-richting, vervolgens een verschuiving van 3 in de x-richting en tot slot verschuiving van - 4 in de y-richting toe te passen. Geef het functievoorschrift van y 2 en het domein en bereik daarvan. c De grafiek van y 3 ontstaat door de grafiek van f eerst te herschalen met factor in de x-richting, vervolgens verschuiving van 2 in de x-richting toe te passen en tot slot verschuiving van 4 in de y-richting toe te passen. Geef het functievoorschrift van y 3 en het domein en bereik daarvan. OPGAVE 5.14 Gegeven is de standaardfunctie f(x) = 2x + 5. a Wat is de waarde van de richtingscoëfficient van f? b f wordt herschaald in de y-richting met factor 3. Wat wordt de richtingscoëfficient van de herschaalde functie? c d f wordt herschaald in de x-richting met factor 1 4. Wat wordt de richtingscoëfficient van de herschaalde functie? De functie f wordt herschaald in de y-richting met factor 6. Daarna wordt de ontstane functie 25 naar beneden geschoven. Ten slotte wordt de daaruit ontstane functie herschaald in de x-richting met factor 6. Geef het functievoorschrift van de nu ontstane functie in de vorm y = ax + b.

83 82 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 5.15 In een bepaald economisch model komt de winstfunctie TW = - 0, 01q 2 + 4q voor. Hierin is q het aantal verkochte exemplaren van een bepaald artikel en TW de winst in duizenden euro. Gebruik de nulpunten om het maximum van deze functie te bepalen. Beredeneer daarna welke vensterinstellingen geschikt zijn om de grafiek van TW te plotten.

84 HOOFDSTUK 2 Functies en grafieken 83 Voorbeeld eindtoets OPGAVE V1 Gegeven zijn de functies f(x) = 5x 2 (x + 20) en g(x) = 50x 2. De grafiek van f zie je hier. a Bereken algebraïsch de nulpunten van f en breng de grafiek in beeld. Pas de vensterinstellingen zo aan, dat je hetzelfde beeld krijgt als in de gegeven grafiek. Zet nu ook de grafiek van g er bij. b Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g. c Los op: f(x) < g(x). OPGAVE V2 Bereken bij deze functies eerst de nulpunten. Bepaal vervolgens het domein en het bereik. a f(x) = x 2 (x 2 400) b g(x) = 20 x 40 OPGAVE V3 Gegeven is de functie y(x) = 4 1 u 2. a b c Welke asymptoten heeft de grafiek van deze functie? Schrijf het domein en het bereik op. Los op: y 2. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig. OPGAVE V4 Gegeven is de functie f met f(x) = 0, 25(x 10) a Door welke herschalingen en/of verschuivingen kan de grafiek van f ontstaan uit die van de standaardfunctie y = x 2? b Bepaal de top en de nulpunten van de grafiek van f. c Los algebraïsch op: f(x) < 10. OPGAVE V5 In een steenkolenmijn wordt het steenkolengruis via een transportband omhooggevoerd. Het verband tussen de hoogte h (in meter) en de tijd t (in seconden) is lineair. Na 10 seconden is het gruis op een hoogte van 30 meter onder zeeniveau. Na 20 seconden is het gruis op 5 meter onder zeeniveau. Het gruis wordt uiteindelijk gestort op 22 meter boven zeeniveau. a Stel het functievoorschrift op voor h als functie van t. b Na hoeveel seconden komt het gruis boven de grond? c Geef het domein en het bereik van h in de intervalnotatie.

85 84 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE V6 Een sneeuwbal wordt van een hele lange besneeuwde helling gerold. De sneeuwbal wordt daardoor bij elke omwenteling dikker. Stel dat die sneeuwbal op het moment van loslaten een diameter van 10 cm heeft en zuiver rond is. Neem aan dat de sneeuwbal telkens zuiver rond blijft en dat bij elke omwenteling de diameter met 1 cm toeneemt. Het volume V van een bol kun je berekenen met de formule V = 4 3 π r 3 waarin r de straal van de bol is. De hoeveelheid sneeuw S waaruit de sneeuwbal bestaat, is een functie van het aantal omwentelingen a. a Stel een functievoorschrift voor S(a) op. b Breng de grafiek in beeld. Schrijf op bij welke vensterinstellingen een bij de situatie passend deel van de grafiek in beeld komt. c Na hoeveel omwentelingen heeft de sneeuwbal een volume van ongeveer 1000 dm 3?

86 Functies en grafieken Exponentiële functies Instaptoets Exponentiële functies Exponentiële groei Meer exponentiële functies Reële + + exponenten Voorbeeld eindtoets Exponenten en+ machten

87 86 DOMEIN Functies en grafieken CONTEXT 1 Bevolkingsgroei De wereldbevolking is in de vorige eeuw zeer snel toegenomen. Dit komt doordat er meer mensen geboren worden dan dat er sterven. Daar zijn verschillende oorzaken voor: met name de toegankelijkheid tot schoon drinkwater en een betere hygiëne heeft de levensverwachting in de 19e eeuw sterk doen stijgen. In de 20e eeuw zijn de voedselvoorziening en de kennis over het bestrijden van ziektes verbeterd. Door deze factoren is de levensverwachting sterk toe genomen. In 1860 was de levensverwachting in Nederland maar 37 jaar. Hoewel de meeste mensen toen rond hun zeventigste jaar stierven, was de babysterfte enorm. In de loop der tijd is de levensverwachting bij geboorte in Nederland toegenomen naar gemiddeld 81 jaar in Een betere levensverwachting heeft in het algemeen een positief effect op de bevolkingsgroei: omdat ouders de kans groot achten dat hun kinderen een goede en lange toekomst krijgen, zullen zij eerder aan kinderen beginnen en eventueel meer kinderen voortbrengen. OPGAVE In 1950 bestond de wereldbevolking uit 2,5 miljard mensen en in 2005 bestond de wereldbevolking uit 6,5 miljard personen. Neem aan dat bevolkingsgroei kan worden beschreven met een exponentiële functie. Bereken het groeipercentage in die periode op jaarbasis.

88 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 87 CONTEXT 2 Rente Wanneer je geld op de bank zet, ontvang je een vergoeding van de bank. Deze vergoeding wordt periodiek uitbetaald en heet rente. De banken betalen rente, omdat ze van jouw geld leningen en hypotheken kunnen verstrekken. Hier verdienen zij vervolgens weer aan. Want over leningen en hypotheken betaal je weer geld aan de bank, en deze rentepercentages zijn vele malen hoger dan de rente die jij over je spaargeld ontvangt. Voor de financiële crisis die in 2008 begon was het spaarrentepercentage hoog. De IJslandse bank Icesave beloofde de Nederlandse spaarders rentepercentages tot 5%, terwijl in die jaren gemiddeld 3% gebruikelijk was in Nederland. Hierdoor besloten veel Nederlandse particulieren, provincies en gemeenten geld bij Icesave te storten. Helaas ging de bank in 2008 failliet, waarbij miljoenen verloren zijn gegaan. Sindsdien zijn de rentepercentages in Nederland niet meer zo hoog: de percentages lagen in 2015 rond de 1 à 2%. rente bij beide banken wordt echter niet op jaarbasis uitbetaald. De banken betalen uit per kwartaal. Stel dat er op 1 januari 2000,00 op je spaarrekening staat. Bereken hoeveel je saldo na anderhalf jaar sparen bij IceSave meer zou hebben opgeleverd. OPGAVE Je hebt een spaarrekening tegen 1,20% rente per jaar. Wanneer je nog bij IceSave had kunnen sparen tegen 5,00% rente per jaar was dit veel gunstiger geweest. De

89 88 DOMEIN Functies en grafieken 3.1 Exponentiële groei In deze paragraaf leer je: werken met exponentiële groei en afname; bijpassende formules bij exponentiële groei opstellen; groeifactoren omrekenen naar grotere tijdseenheden; enkele rekenregels voor het werken met machten. UITLEG Bacteriën planten zich voort door tweedeling. Elke bacterie brengt twee nieuwe bacteriën voort door zich te delen. Bij een geschikte constante temperatuur kan de groei van het aantal bacteriën verlopen als in de tabel is te zien. tijd (uren) hoeveelheid bacteriën (mg) De hoeveelheid bacteriën (in milligram) wordt elk uur twee keer zo groot. Dat zie je door opeenvolgende waarden in de tabel op elkaar te delen = = = = = 2 Je moet dus steeds met factor 2 vermenigvuldigen om de volgende waarde te vinden: op tijdstip 0 heb je 6 milligram bacteriën; na 1 uur heb je 6 2 milligram bacteriën; na 2 uur heb je milligram bacteriën; na 3 uur is er = milligram bacteriën; enzovoort. De hoeveelheid bacteriën groeit exponentieel met groeifactor 2 per uur. Voor de hoeveelheid bacteriën B na t uur geldt in dit geval de formule B(t) = 6 2 u. Je ziet dat er machten worden gebruikt voor het herhaaldelijk vermenigvuldigen. In dit geval zijn het machten met grondtal 2, dit getal is de groeifactor per uur. Omdat de variabele t in de exponent zit, spreek je van exponentiële groei.

90 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 89 Met het voorbeeld van bacteriegroei en de functie B(t) kun je een aantal rekenregels voor machten afleiden. Allereerst heb je op t = 0 volgens de formule milligram bacteriën. Omdat je weet dat dit precies 6 moet zijn is: 2 0 = 1. Na 3 uur heb je en 4 uur later milligram. Dit is de hoeveelheid bacteriën na 7 uur, dus Conclusie: = 2 7. Als je machten vermenigvuldigt tel je de exponenten op. Na 7 uur heb je en 4 uur eerder milligram. Dit is de hoeveelheid bacteriën na 3 uur, dus Conclusie: = 2 3. Als je machten deelt trek je de exponenten af. De groeifactor per uur is 2. Per drie uur is die groeifactor 2 3 = 8. De hoeveelheid bacteriën na 12 uur kun je op twee manieren berekenen: of Dus moet (2 3 ) 4 = 2 12 milligram. Bij machten van machten vermenigvuldig je de exponenten. OPGAVE 1.1 Lees het verhaal van de bacteriegroei in de uitleg. a Wat versta je onder de groeifactor per uur van de hoeveelheid bacteriën? b Hoeveel procent bacteriën komt er elk uur bij? c Hoeveel milligram bacteriën heb je na 12 uur? d Hoeveel milligram bacteriën heb je na 13 uur? e Hoeveel milligram bacteriën heb je na 15 uur? OPGAVE 1.2 Schrijf als één macht, gebruik de rekenregels. a b c d (6 3 ) 6 OPGAVE 1.3 Bekijk de tabel. tijd (h) 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 bacteriën (mg) a b c Toon aan dat er sprake is van exponentiële groei. Wat is de groeifactor? Hoeveel milligram bacteriën zijn er om 17:00 uur? OPGAVE 1.4 In een stad groeit het aantal inwoners met een groeifactor van 1, 2 per jaar. In 2013 zijn er aan het einde van het jaar inwoners. a Hoeveel inwoners telt de stad eind 2014? b Hoeveel inwoners telt de stad eind 2020? c In welk jaar zijn er voor het eerst meer dan inwoners in de stad?

91 90 DOMEIN Functies en grafieken THEORIE Bij exponentiële groei moet je per tijdseenheid steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigen. Dit getal heet de groeifactor die bij die tijdseenheid hoort. Als g de groeifactor is dan geldt: g > 0. Om vast te stellen of de groei exponentieel is, deel je opeenvolgende waarden van de hoeveelheid op elkaar. Komt daar steeds hetzelfde getal uit, dan is er sprake van exponentiële groei. De hoeveelheid op t = 0 noem je de beginwaarde. Als een hoeveelheid met steeds hetzelfde percentage groeit is er sprake van exponentiële groei. Bij een groei met p procent hoort de groeifactor: g = 1 + u 100. Voor p > 0 neemt de hoeveelheid toe en is g > 1: exponentiële toename. Voor p < 0 neemt de hoeveelheid af en is 0 < g < 1: exponentiële afname. Als je de groeifactor g weet, kun je met de formule p = 100 (g 1) het groeipercentage uitrekenen. Bij exponentiële groei werk je met machten: vermenigvuldig je n keer hetzelfde getal g, dan schrijf je dat als g u. Dit is een macht. De groeifactor g heet het grondtal, n heet de exponent, waarbij n (voorlopig) een positief geheel getal is. Voor n = 0 is de afspraak: g 0 = 1. In het algemeen gelden voor een willekeurig grondtal g en willekeurige positieve gehele getallen n en m de volgende rekenregels: g u g u = g u +u u u u u = g u u (g u ) u = g u u Voorbeeld 1 Bij een groeifactor per tijdseenheid hoort een groeifactor per diezelfde tijdseenheid: Bij een groeipercentage van 12% per uur hoort een groeifactor van 1, 12 per uur. Bij een afnamepercentage van 12% per jaar hoort een groeifactor van 0, 88 per jaar.

92 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 91 Bij een groeifactor van 1, 08 per week hoort een groeipercentage van 8% per week. Bij een groeifactor van 0,92 per dag hoort een afnamepercentage van 8% per dag. OPGAVE 1.5 Geef de groeifactor van de volgende groeipercentages. a 10% toename b 100% toename c 0, 2% toename d 100% afname e 0, 1% afname f 40% afname OPGAVE 1.6 Neem de tabel over en vul in. procentuele toename per jaar , 3 groeifactor per jaar 1, 15 0, 98 3, 95 0, 01 Voorbeeld 2 Op 1 januari 2010 stond een bedrag van 3500,00 op een spaarrekening. De bank gaf op deze rekening een rente van 4% per jaar. Neem aan dat dit alles vanaf 1 januari 2010 niet verandert. Stel de formule op voor het saldo S op deze rekening afhankelijk van de tijd t in jaren vanaf 1 januari Maak een tabel met de grafische rekenmachine en bekijk hoe het saldo zich ontwikkelt. Wat is de groeifactor per drie jaar? En per vijf jaar?

93 92 DOMEIN Functies en grafieken Antwoord Bij een procentuele toename van 4% per jaar hoort een groeifactor van 1, 04. Op t = 0 was het saldo 3500,00. Een passende formule is daarom S = , 04 u. Als je deze formule invoert op de rekenmachine heb je snel een tabel. Per drie jaar is de groeifactor: 1, , 12 dus het groeipercentage is dan ongeveer 12%. Per vijf jaar is de groeifactor: 1, , 22 dus het groeipercentage is dan ongeveer 22%. OPGAVE 1.7 OPGAVE 1.8 Iemand zet op 1 januari ,00 op een bankrekening tegen 6% rente. De rente wordt jaarlijks op de bankrekening bijgeschreven. Er wordt verder geen geld op de bankrekening gestort of geld van de bankrekening gehaald. a Wat is de groeifactor per jaar van het tegoed op de bankrekening? b Hoeveel staat er op de bankrekening op 1 januari 2015? c Welke formule geldt voor het spaartegoed S uitgedrukt in t, waarin t de tijd in jaren na 1 januari 2010 is? d Hoe groot is de groeifactor per vijf jaar? Bereken ook het groeipercentage per vijf jaar. e Laat met berekeningen zien dat je op de volgende manieren het tegoed op 1 januari 2030 kunt berekenen: t = 20 invullen in de formule; het tegoed op 1 januari 2010 vijf keer vermenigvuldigen met de groeifactor per vier jaar; het tegoed op 1 januari 2010 vier keer vermenigvuldigen met de groeifactor per vijf jaar. Radioactieve stoffen hebben de eigenschap uiteen te vallen. Daarbij ontstaat (gevaarlijke) straling. Deze straling wordt in de loop van de tijd minder. Sommige radioactieve stoffen kunnen heel lang actief zijn, soms wel duizenden jaren. Van een stof is het radioactief verval per tien jaar 25%. a Manon beweert dat als deze stof in de natuur terecht komt dat er na veertig jaar niets meer van die stof over is. Kim zegt dat dit niet klopt. Wie heeft er gelijk? b Hoeveel procent van de stof is er na veertig jaar nog over? c Geef de formule waarmee je het percentage stof (P) dat overblijft berekent. Ga uit van 100% bij t = 0. Neem de tijd (t) in periodes van tien jaren. d Is het verval van de stof in tien jaar de helft van het verval in twintig jaar? Licht je antwoord toe.

94 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 93 Voorbeeld 3 Schrijf de volgende uitdrukkingen als één macht. (3 16 ) Antwoord Deze machten kun je niet berekenen met de grafische rekenmachine. Je moet hier de rekenregels van machten toepassen. (3 16 ) = = = = 3 50 Alle getallen zijn machten van twee: 4 = 2 2, 16 = 2 4 en 8 = 2 3. En dus staat hier: (2 2 ) 1000 (2 4 ) 212 (2 3 ) 812 = = = = = = OPGAVE 1.9 Bekijk het voorbeeld. Gebruik de rekenregels voor machten om de uitdrukkingen als één macht te schrijven. a 3 83 (3 40 ) 2 b (2 12 ) 24 c (3 21 ) (3 3 ) 9 d OPGAVE 1.10 VERWERKEN Neem de tabel over en vul in. p is de procentuele toename per jaar. g is de groeifactor per jaar. p , 15 g 1, 007 2, 051 0, 78 0, 07 1, 02 3, 96 OPGAVE 1.11 Schrijf als één macht. a b (2 3 ) 2 c d (5 1 ) 4 5 3

95 94 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 1.12 In een ondiep meer van 1000 km² begint riet te groeien. Op 1 januari 2014 is de oppervlakte van het met riet begroeide deel 2 km². Vanaf dat moment wordt de oppervlakte van het met riet begroeide deel gemeten. In 2017 constateert men dat de oppervlakte van het met riet begroeide deel elk jaar drie keer zo groot is geworden. Ga ervan uit dat het riet zich in hetzelfde tempo blijft uitbreiden. a Geef de formule van de met riet begroeide oppervlakte R (in km 2 ) na t jaar met t = 0 op 1 januari b Maak een tabel bij deze formule voor de eerste vijf jaar. c In welk jaar is het hele meer voor het eerst helemaal begroeid met riet? OPGAVE 1.13 Elk jaar wordt het aantal herten in een natuurgebied geteld op 1 januari. Op 1 januari 2014 worden er 5000 herten geteld. Uit tellingen is gebleken dat dit aantal met 4% per jaar daalt. a Stel een formule op voor de groei van het aantal herten vanaf het jaar b Bereken het aantal herten in het jaar c Bereken het groeipercentage per tien jaar. d In welk jaar is het aantal herten gehalveerd? OPGAVE 1.14 Schrijf als één macht. a (2 30 ) b c (2 7 ) 12 (3 16 ) d OPGAVE 1.15 Een kapitaal van , 00 wordt gedurende tien jaar belegd in aandelen. In de tabel zie je de groei van het kapitaal in de eerste zes jaar. tijd (jaren) kapitaal (euro) Onder rendement wordt hier verstaan de procentuele toename van het belegde kapitaal per jaar. a Maak duidelijk dat het kapitaal in de eerste zes jaar bij benadering exponentieel toeneemt. b Bereken voor deze periode het rendement (per jaar). c Maak een tabel van een kapitaal van , 00 dat tien jaar wordt belegd bij een rendement van 8% per jaar. d Na hoeveel jaar is dit kapitaal verdubbeld? e Iemand belegt een kapitaal van , 00 gedurende tien jaar. Stel dat hij de eerste vijf jaar een rendement van 14% per jaar behaalt en de daarop volgende vijf jaar 4% per jaar. Bereken het kapitaal K na vijf jaar en na tien jaar.

96 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 95 f Laat met een berekening zien of het de belegger meer oplevert in vergelijking met de vorige situatie als het rendement de eerste vijf jaar 4% is en de volgende vijf jaar 14%. OPGAVE 1.16 Mark en Peter zijn tweelingbroers. Toen ze 14 jaar oud waren kregen ze 5,00 zakgeld per week. Met hun vijftiende verjaardag vond de vader het slimmer om ze ieder jaar zakgeld te geven in plaats van iedere week. De vader gaf zijn kinderen twee opties: 1. Je zakgeld wordt ieder jaar verdubbeld. 2. Je zakgeld gaat ieder jaar met 100,00 omhoog! Mark koos voor optie 2. Peter voor optie 1. Onderzoek in welk jaar Mark voor het eerst meer krijgt dan Peter.

97 96 DOMEIN Functies en grafieken 3.2 Reële exponenten In deze paragraaf leer je: werken met gebroken en/of negatieve exponenten; groeifactoren omrekenen naar kleinere tijdseenheden; enkele rekenregels voor het werken met machten; exponentiële vergelijkingen met de grafische rekenmachine oplossen. UITLEG 1 Voor het aantal bacteriën B (in milligram) in een petrischaaltje na t uur geldt de formule: B = 6 2 u. t = 0 komt overeen met 12:00 uur. t = - 1 komt overeen met een uur voor 12:00 uur. tijd (uren) hoeveelheid bacteriën 1, Elk uur verdubbelt het aantal bacteriën. Als je aanneemt dat dit vóór 12:00 uur ook het geval was, dan zal er om 11:00 uur = 3 milligram bacteriën in het schaaltje hebben gezeten. Het aantal milligram bacteriën in voorgaande uren bereken je door telkens te delen door 2 (vermenigvuldigen met 1 2 ). Met het functievoorschrift B(t) = 6 2 u kun je de hoeveelheid bacteriën t uur na 12:00 uur berekenen voor positieve gehele getallen t. Wil je met deze formule ook het aantal milligram bacteriën 1 uur voor 12:00 uur kunnen berekenen, dan moet: B(- 1) = = 3. Blijkbaar moet je afspreken dat 2-1 = 1 2. Ook voor andere tijdstippen voor 12:00 uur wil je het functievoorschrift kunnen gebruiken. Dus moet gelden: op tijdstip t = - 1 (11:00 uur): = = 3 milligram; op tijdstip t = - 2 (10:00 uur): = = 1, 5 milligram; op tijdstip t = - 3 (9:00 uur): = enzovoort. = 0, 75 milligram; Je moet dus ook afspreken dat 2-2 = en 2-3 = 1 2 3, enzovoort. Je spreekt in het algemeen af dat g - u = 1 u u. Daarmee kun je met negatieve exponenten rekenen. Let op: in dat geval mag g niet 0 zijn!

98 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 97 OPGAVE 2.1 Neem de uitleg door. Kijk goed wanneer er negatieve exponenten worden gebruikt. a Wat moet je in de formule B(t) = 6 2 u invullen om het aantal milligram bacteriën om 8:00 uur te berekenen? b Bereken het aantal milligram bacteriën om 8:00 uur. OPGAVE 2.2 Van een bacterie is bekend dat de populatie groeit met 96% per minuut. Daarnaast weet je dat er om 15:00 uur 5 milligram bacteriën zijn. a Wat is de groeifactor per minuut? b Hoeveel milligram bacterieën waren er om 14:53 uur? c Stel de formule B op die hoort bij de groei van deze bacteriesoort na t minuten met t = 0 om 14:50 uur. UITLEG 2 De hoeveelheid bacteriën B (in milligram) op een petrischaaltje na t uur, kan met de formule B = 6 2 u berekend worden. t = 0 komt overeen met tijdstip 12:00 uur. Elk uur verdubbelt het aantal bacteriën, het groeit met groeifactor 2. Het aantal bacteriën groeit ook met een vaste groeifactor per half uur en bijvoorbeeld per kwartier. 1 Voor de groeifactor per half uur schrijf je Voor de groeifactor per kwartier schrijf je 2 4. Voor de groeifactor per anderhalf uur schrijf je Welk getal stelt 2 2 voor? De groeifactor per uur kun je vinden door de groeifactor per half uur twee 1 1 keer toe te passen: = ( ) = 2. Je weet dat ( 2) 2 1 = 2. Dus: 2 2 = 2. Op dezelfde manier kun je beredeneren dat voor de groeifactor per kwartier 1 geldt: 2 4 = Je spreekt in het algemeen af dat g u = u g. En daarmee kun je met gebroken exponenten rekenen. Let op: nu moet g positief zijn om altijd een reële uitkomst op te leveren. Stel bijvoorbeeld dat g = - 1, dan is (- 1) 1 2 = - 1 geen reëel getal.

99 98 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 2.3 Neem de uitleg door. Kijk goed wanneer er gebroken exponenten worden gebruikt. a Wat moet je in de formule B = 6 2 u invullen om het aantal milligram bacteriën om 14:30 uur te berekenen? b Bereken dit aantal op twee manieren, met het functievoorschrift en met behulp van de groeifactor per half uur. Rond je antwoorden af op twee decimalen. OPGAVE 2.4 Bekijk de groei van de bacteriën in de uitleg. a Hoe groot is de groeifactor per drie uur? b Hoeveel bedraagt de groeifactor per half uur? Rond je antwoord af op twee decimalen. c Hoe groot is de groeifactor per kwartier? Rond je antwoord af op twee decimalen. d Gebruik de rekenmachine om het aantal bacteriën (in milligram) te berekenen na 5 uur, na 5, 5 uur en na 5, 75 uur. Rond je antwoorden af op milligram nauwkeurig. e Laat zien dat je het aantal bacteriën na 5, 75 uur ook kunt berekenen door het aantal na vijf uur eerst te vermenigvuldigen met de groeifactor per half uur en daarna met de groeifactor per kwartier. Rond je antwoord af op milligram nauwkeurig. THEORIE Bij exponentiële groei moet je per tijdseenheid steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigen. Dit getal heet de groeifactor die bij die tijdseenheid hoort. Als g de groeifactor is dan geldt: g > 0. Om met negatieve exponenten en/of gebroken exponenten te kunnen werken, zijn de volgende afspraken nodig: negatieve exponenten: g - u = 1 u u 1 gebroken exponenten: g u = u g Deze afspraken gelden voor g > 0 en positieve gehele n. Beide afspraken passen in de rekenregels voor machten, bijvoorbeeld: g - u = g 0 u = u 0 u u = 1 u u Je hebt nu gezien dat een macht g u voor g > 0 betekenis heeft als de exponent a een positief getal, nul, een negatief getal of een gebroken getal is. In feite mag a elk reëel getal zijn. En daarom kunnen bij exponentiële groei grafieken worden getekend in de vorm van een vloeiende kromme lijn. Je ziet de grafiek van B = 6 2 u.

100 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 99 Voorbeeld 1 Het aantal leden van een vereniging neemt exponentieel toe. Hier zie je een tabel van het aantal leden vanaf het jaar jaar aantal leden Controleer dat er inderdaad sprake is van exponentiële groei. Stel ook een formule op van het aantal leden N na t jaar, met t = 0 in 2009 en bereken met die formule hoeveel leden er in 2005 waren. Antwoord , 12, je kunt controleren dat er bij de rest van de jaren het aantal leden ook steeds met een factor van ongeveer 1,12 toeneemt. Dus de groeifactor is ongeveer 1,12. Verder weet je dat het aantal leden in het jaar 2009 gelijk is aan 720. De formule is N = 720 1, 12 u. Als je wilt weten hoeveel leden er in 2005 waren vul je voor t in de formule - 4 in: 720 1, Dus er waren 458 leden in OPGAVE 2.5 In het voorbeeld gaat het over het aantal leden van een vereniging. a Hoeveel leden waren er in het jaar 2003? b Bij de oprichting had de vereniging 207 leden. In welk jaar is de vereniging opgericht? OPGAVE 2.6 Door een tekort aan banen neemt het aantal inwoners in een dorp exponentieel af. jaar aantal inwoners a Stel de formule op van het aantal inwoners N na t jaar, met t = 0 in b Uitgaande van de formule die je bij a hebt gevonden, hoeveel inwoners zullen er dan in 2018 zijn? c Uitgaande van de formule die je bij a hebt gevonden, hoeveel inwoners zouden er dan in 2005 zijn geweest? Voorbeeld 2 Een spaartegoed staat uit tegen 5% rente per jaar. De bank kan de rente per half jaar bijschrijven of maandelijks. Met welke rentepercentages moeten ze dan werken? Geef beide percentages in twee decimalen nauwkeurig.

101 100 DOMEIN Functies en grafieken Antwoord De groeifactor van het spaartegoed per jaar is 1,05. Noem de groeifactor per half jaar g. De waarde hiervan kun je op twee manieren uitrekenen: De groeifactor per jaar is 1, 05. Dus er moet gelden g g = g 2 = 1, 05, hieruit volgt g = 1, 05 1, 0247; 1 g = 1, , Het rentepercentage per half jaar is dus ongeveer 2,47%. Op dezelfde manier is de groeifactor per maand 1 1, , 0041 of 12 1, 05 1, Het renteprecentage per maand is dus ongeveer 0,41%. OPGAVE 2.7 OPGAVE 2.8 OPGAVE 2.9 Bij een bank krijg je 2,1% rente per jaar. Wat is het rentepercentage per maand, afgerond op twee decimalen? Iemand zet op 1 juli 2014 een bedrag van 7500,00 op de bank tegen een rente van 4,2% per jaar. Hoeveel bedraagt zijn kapitaal op 1 januari 2016? a Beantwoord de vraag met behulp van de groeifactor per jaar. b Beantwoord de vraag met behulp van de groeifactor per half jaar. c Beantwoord de vraag met behulp van de groeifactor per maand. Thomas Robert Malthus leefde in het begin van de negentiende eeuw. Hij dacht dat de groei van de wereldbevolking wel eens exponentieel zou kunnen zijn. In deze tabel zie je het aantal mensen op aarde in de negentiende eeuw. jaar aantal mensen (in miljoenen) a Controleer dat de groeifactor per twintig jaar in de 19 e eeuw ongeveer 1,10 is. b Wat is in drie decimalen nauwkeurig de groeifactor per jaar in de 19 e eeuw? c Stel de formule op van het aantal miljoen mensen N na t jaar met t = 0 in d Bereken met behulp van de formule die je bij c hebt gevonden het aantal mensen in het jaar 1650 en in het jaar Komt dit overeeen met de werkelijkheid? Voorbeeld 3 De ouderdom van hele oude voorwerpen wordt bepaald met de zogenaamde C14-methode. C14 is een bepaalde variant van koolstof, een stof die in levende wezens voorkomt en dus ook in mummies, oude houten en leren voorwerpen, en dergelijke. Deze variant neemt exponentieel af nadat een levend wezen is gestorven. Voor dat moment is de concentratie C14 gelijk aan die in onze atmosfeer, na die tijd wordt die concentratie kleiner. De halveringstijd van deze stof is nauwkeurig bekend, namelijk 5736 jaar.

102 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 101 Stel dat bij een bepaalde mummie de concentratie C14 is afgenomen met 40%. Er is dan dus nog 60% van de oorspronkelijke concentratie over. Hoe bereken je nu de leeftijd van die mummie? Antwoord De halveringstijd is 5736 jaar. Als g de groeifactor per jaar is geldt dus: g 5736 = 0, 5. Hieruit bereken je de groeifactor per jaar: g = , 5 0, Als t de leeftijd van de mummie is moet gelden 0, u = 0, 6. Deze exponentiële vergelijking los je op met de grafische rekenmachine. Je vindt t De mummie is ongeveer 4221 jaar oud. OPGAVE 2.10 OPGAVE 2.11 In het voorbeeld wordt de C14-methode voor het dateren van oude voorwerpen besproken. a Bereken de groeifactor per eeuw. Rond je antwoord af op drie decimalen. b Bereken met behulp hiervan de leeftijd van een oud gebruiksvoorwerp waarvan de concentratie C-14 38% is. Bij een kernsplijting is de radioactieve stof Cesium-137 vrijgekomen. De halveringstijd van deze stof is dertig jaar. a Na hoeveel jaar is de concentratie van deze stof afgenomen tot 25%? b Bereken na hoeveel jaar de concentratie 11% is. OPGAVE 2.12 VERWERKEN Het aantal inwoners van een stad wordt gegeven door de formule A = , 1 u, waarbij A het aantal inwoners op tijdstip t (in jaren) is, met t = 0 op 1 januari a Hoeveel inwoners heeft de stad op 1 januari 2025? b Hoeveel inwoners heeft de stad op 1 augustus 2025? c Hoe groot is de groeifactor per jaar? d Wat is het groeipercentage per maand? e Bereken het aantal inwoners op 1 januari in de jaren 2010 en 2005.

103 102 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 2.13 Om 9:00 uur was er 500 milligram bacteriën. Dit aantal groeit exponentieel. Je ziet een tabel met het aantal milligram bacteriën op bepaalde tijdstippen. tijd 9:00 12:00 15:00 18:00 bactieriën (mg) a b c d Bereken in drie decimalen nauwkeurig de groeifactor per uur. Stel de formule op van de hoeveelheid bacteriën N na t uur met t = 0 om 9:00 uur. Hoeveel milligram bacteriën was er om 6:00 uur? Hoe laat was er 250 milligram bacteriën? Gebruik de formule die je bij b hebt gevonden. OPGAVE 2.14 Sinds het begin van de jaartelling is de wereldbevolking steeds sneller gegroeid. Het aantal van 300 miljoen aardbewoners aan het begin van de jaartelling verdubbelde zich in vijftienhonderd jaar. In 1750 waren er 800 miljoen mensen en vijftig jaar later zelfs 1, 2 miljard. Niet langer dan 150 jaar later was het aantal mensen op aarde opnieuw verdubbeld (tot 2, 4 miljard in 1950). In 1986 telde de wereldbevolking 4, 8 miljard mensen. In 1997 waren er 1 miljard mensen meer dan in In 2000 waren er 6 miljard mensen en in 2050 zal de aarde wellicht circa 9 miljard mensen tellen. a Bereken voor de periodes , en het groeipercentage per jaar. b In welke periodes is de wereldbevolking verdubbeld? c Bereken voor deze periodes het groeipercentage per jaar. OPGAVE 2.15 Van een bepaald soort vlinders daalt het aantal exponentieel. In een zeker seizoen (t = 0) zijn er ongeveer 6000 van deze vlinders. Vier jaar later zijn er nog maar ongeveer a Bereken de groeifactor per jaar van deze soort vlinders. b Stel een formule op voor het aantal vlinders van deze soort als functie van t (in jaren). c Met hoeveel procent neemt het aantal vlinders per jaar af? d Hoeveel bedraagt de halveringstijd voor het aantal vlinders van deze soort? e Bereken na hoeveel jaar het aantal vlinders voor het eerst minder dan 1000 zal zijn. OPGAVE 2.16 Het element radium-228 is radioactief. Het vervalt tot het niet-radioactieve radium-224. Van een willekeurige hoeveelheid radium-228 wordt in twee jaar 19% omgezet in radium-224. Een laboratorium had in het jaar 2001 nog 1000 mg radium-228. a Geef een formule van R, de hoeveelheid radium-228 in mg, na t jaar met t = 0 op het moment dat er 1000 mg radium-228 aanwezig was. b Bereken hoelang het duurt (tot op een maand nauwkeurig) totdat er van de 1000 mg radium milligram omgezet is in radium-224. c Bereken hoelang het duurt voortdat de helft van de aanwezige radium-228 omgezet is in radium-224.

104 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 103 d Schat met behulp van je antwoord op c hoelang het duurt tot 750 milligram radium-228 is omgezet in radium-224. OPGAVE 2.17 OPGAVE 2.18 Door een kernexplosie is de radioactieve stof jodium-131 vrij gekomen. Doordat de fall-out (kernneerslag) op het gras is gekomen, heeft het hooi een hoog jodium-131 gehalte gekregen. Melk van koeien die met dit hooi gevoerd worden is niet meer voor consumptie geschikt. De halveringstijd van jodium-131 is acht dagen. a Na hoeveel dagen bevat het hooi nog 12,5% van de hoeveelheid jodium- 131 dat direct na de explosie aanwezig was in het hooi? b Bereken na hoeveel dagen het hooi nog 7% bevat van de hoeveelheid jodium-131 dat direct na de explosie aanwezig was in het hooi. c Metingen hebben uitgewezen dat direct na de explosie het hooi zes keer het toegestane gehalte jodium-131 bevat. Na hoeveel dagen kan het hooi weer gevoerd worden aan de koeien? Nederland is een echt spaarland. Jaarlijks worden er miljarden euro s gestort op spaarrekeningen. Er zijn verschillende soorten spaarrekeningen. In deze opgave bekijken we er drie: de groeirekening, de depositorekening en de renteklimrekening. We storten op elk van de drie spaarrekeningen een bedrag van , 00 dat voor een periode van tien jaar op de spaarrekening blijft staan. De groeirekening is de bekendste soort. Het rentepercentage op deze rekening is 3,5% per jaar. Het is een rente op rente -rekening: na een jaar wordt de rente bijgeschreven op de rekening, zodat het volgende jaar rente wordt berekend over een hoger bedrag G. Na elk jaar wordt het bedrag op de rekening dus hoger. Het bedrag G dat na t jaar op de groeirekening staat, kun je berekenen met de formule: G = , 035 u. Het bedrag op de groeirekening is na tien jaar nog niet verdubbeld. Maar als je de rekening nog langer laat doorlopen, komt er een jaar dat het bedrag op de rekening voor het eerst twee keer zo hoog is. Het bedrag is zelfs nog hoger dan , 00. a Bereken na hoeveel jaar het bedrag hoger dan , 00 is. De depositorekening is een spaarrekening met een rentepercentage van 4,0% per jaar. De rente over elk jaar is 400,00. Dat bedrag wordt steeds bijgeschreven op een aparte betaalrekening. Op de betaalrekening krijg je geen rente, zodat het bedrag op de betaalrekening lineair toeneemt. De rente van 4,0% lijkt gunstiger dan een rente van 3,5%. Toch heb je na tien jaar bij de depositorekening in totaal minder rente gekregen dan bij de groeirekening. Een bank introduceert een nieuwe depositorekening die in tien jaar evenveel rente oplevert als de groeirekening. b Bereken het rentepercentage per jaar van die nieuwe depositorekening. Geef je antwoord in één decimaal. De renteklimrekening is een soort depositorekening. Ook hier wordt jaarlijks de rente bijgeschreven op een aparte betaalrekening die geen rente oplevert. Bij de renteklimrekening wordt het rentepercentage elk jaar hoger. In deze tabel kun je aflezen welke bedragen er na t jaar sparen op de renteklimrekening R en op de betaalrekening B staan.

105 104 DOMEIN Functies en grafieken t R B t-de jaar rentepercentage 3,00 3,15 3,35 3,60 3,90 4,30 In de volgende volledige tabel staan de rentepercentages voor het t-de jaar. c Bereken het rentepercentage voor het zevende jaar. Geef je antwoord in twee decimalen. d De renteklimrekening geeft in tien jaar 4475,00 rente. Wat dit betreft is het de beste van de drie spaarrekeningen. De groeirekening is de op één na beste. Bereken het rentepercentage per jaar dat een groeirekening moet hebben om in tien jaar 4475,00 rente te geven. Geef je antwoord in twee decimalen. bron: examen II

106 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies Exponenten en machten In deze paragraaf leer je: werken met de rekenregels voor exponenten en machten; uitdrukkingen herschrijven zonder negatieve of gebroken exponenten; uitdrukkingen herschrijven als een macht van x; herleiden van formules tot de standaardvorm. UITLEG Om te kunnen berekenen, moet je de eigenschappen van machten goed beheersen. De rekenmachine laat je namelijk (zeer waarschijnlijk) in de steek. Eerst schrijf je de teller als macht van negentien: = ( ) 4 = = Dus: = = = 19 Bekijk stap voor stap welke eigenschappen er zijn gebruikt. OPGAVE 3.1 Bekijk de uitleg. a Welke eigenschap van machten is er in de eerste stap gebruikt voor het wegwerken van de wortel? b Welke eigenschap is er vervolgens gebruikt? c En welke eigenschap als laatste? OPGAVE 3.2 Bereken: (31 12 ) 3 THEORIE Voor elk positief grondtal g en voor willekeurige reële getallen a en b gelden de volgende eigenschappen van machten: g 0 = 1 g - u = 1 u u 1 g u = u g mits a > 0 en a een geheel getal u g u = u g u = ( u g) u mits a > 0 en a een geheel getal g u +u = g u g u

107 106 DOMEIN Functies en grafieken g u u = u u u u (g u ) u = g u u Bij exponentiële functies mag je ervan uitgaan dat het grondtal g positief is. Denk verder nog aan de eigenschap ( u u )u = u u u u. Voorbeeld 1 Je ziet enkele berekeningen met behulp van de eigenschappen van machten. ( 1 3 )- 4 = ( ) - 4 = (3-1 ) - 4 = 3 4 = = ( ) = ( 3 8) 2 = 2 2 = ,5 = = = = 16 4 = = (27 3 ) = ( 3 27) - 2 = 3-2 = = 1 9 OPGAVE 3.3 Bereken met behulp van de eigenschappen van machten. a 3-2 b c 4-3 d OPGAVE 3.4 Bereken met behulp van de eigenschappen van machten. a (2 2 ) - 3 (2-2 ) - 4 b c , d (2 2 ) Voorbeeld 2 Je ziet voorbeelden van het schrijven van uitdrukkingen zonder gebroken of negatieve exponenten. 2x - 3 = 2 u 3 5x = 5 x 1 1 x 3 = 5x 3 x x = 1 u = 1 1 u 1 u 2 = 1 u u

108 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 107 OPGAVE 3.5 Schrijf de machten van x zonder negatieve en/of gebroken exponenten. a x - 5 b x c 1 7 x- 2 d 3x 5,5 OPGAVE 3.6 Schrijf de machten van x zonder negatieve en/of gebroken exponenten. a 2x b 3u - 1 2u c 4x d 2x e 1 3 x- 4 f 3x Voorbeeld 3 Je ziet voorbeelden van het schrijven van uitdrukkingen als macht van x. 1 u 5 = x x 3 3 = x 5 x x = x 1 x = x 1 1 x 2 = x u 4 3 = u 4 = x u 1 u 3 OPGAVE 3.7 Schrijf als macht van x. a 1 1 u 2 b 7 x 2 c x 2 x d 1 u 2 x - 1 OPGAVE 3.8 Schrijf als macht van x. a 1 u 4 u b u u u c ( 3 x) 2 d u 3 3 u 2 3 u

109 108 DOMEIN Functies en grafieken Voorbeeld 4 Je kunt 3x x schrijven in de vorm a x u : 3x x = 3 x 1 x = 3 x 1 1 x 2 = 3x OPGAVE 3.9 Schrijf in de vorm a x u. a 3 2u b 3 4u u c (4 3 x) 2 d e 2x x 2 u 3 3 u 2 f 3x 5 (2x 3 ) 2 OPGAVE 3.10 Schrijf in de vorm a x u. a 3x 5 (2x 3 ) 2 b u 2 3u 4 u 7 c 2 u d 4x 4 x 2 Voorbeeld 5 De formule y = 0, 5 2u 1 kun je met behulp van de eigenschappen voor machten herleiden tot de standaardvorm y = b g u voor exponentiële groei. Bepaal de groeifactor g (per eenheid x) en het begingetal b. Schrijf de functie vervolgens in de standaardvorm. Antwoord Met de eigenschappen van machten vind je: y = 0, 5 2u 1 = 0, 5 2u 0, 5-1 = (0, 5 2 ) u 2 = 2 0, 25 u Dit functievoorschrift heeft de vorm van de formules voor exponentiële groei. Het begingetal b is dan 2 en de groeifactor g is 0, 25. OPGAVE 3.11 Gegeven is de formule y = 0, 5 2u +1. Deze formule beschrijft exponentiële groei. a Waarom is de groeifactor per eenheid niet gelijk aan 0, 5? b Schrijf de formule in de standaardvorm y = b g u.

110 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 109 OPGAVE 3.12 Schrijf de formules in de standaardvorm y = b g u. a y = 2 3 2u +2 b y = 5 0, 2 3u 1-2 u +3 c y = 0, 4 5 VERWERKEN OPGAVE 3.13 Schrijf als macht van x. a b 1 u 2 u 1 4 u c x x - 2 d 1 u u OPGAVE 3.14 Schrijf de machten van x zonder negatieve en/of gebroken exponenten. a x - 1 b x c 3 x 4 d x e 3x - 1,5 f x - 2,75 OPGAVE 3.15 Bereken. a (2 3 ) 2 b c (2 4 ) 8 d OPGAVE 3.16 Bereken. 17 a b ( 1 2 ) c ( 3 4 )231 ( 4 9 ) d (49 10 ) 5 1 e ( ) f 5 3 (3 5 )

111 110 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 3.17 Schrijf de volgende formules in de vorm y = a x u. a y = (2x 3 ) 4-3x 5 b y = 2u u 2 u 6 c y = 4x 2 3 x d y = 2 u u OPGAVE 3.18 Schrijf de volgende formules in de standaardvorm y = b g u. a y = 3 2 0,5u b y = 0, 5 - u +2 c d y = ( 1 3 )3 2u y = 6 2 4u 2 OPGAVE 3.19 Schrijf zonder negatieve en/of gebroken exponenten. a x b u 2 u - 4 u OPGAVE 3.20 Ieder getal kun je schrijven als een product van priemgetallen. In de wiskunde heet dit priemfactorontbinding. Enkele voorbeelden: 14 = , 27 = 3 3, 147 = , 47 = 47 1 en 200 = Zoals je bij de voorbeelden ziet moet een getal, nadat het ontbonden is, alleen nog maar bestaan uit priemgetallen. Een getal is een priemgetal als het alleen deelbaar is door 1 en door zichzelf, maar niet door een ander getal. De eerste priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, a Om te oefenen met priemfactorontbinding: Ontbind de volgende getallen: 26, 25, 144, 127, 202. b Gebruik priemfactorontbinding en de eigenschappen van machten en exponenten om de volgende breuken te herheiden: (126) 2 (3773) (5) (19 600) (1080) (1296) 4

112 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies Exponentiële functies In deze paragraaf leer je: wat een exponentiële functie is; de karakteristieken van exponentiële functies bepalen; exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden oplossen met de grafische rekenmachine; opstellen van een functievoorschrift bij een exponentieel verband tussen twee variabelen. UITLEG «APPLET» Functies van de vorm f(x) = b g u worden exponentiële functies genoemd. Voor positieve waarden van b geldt: als g > 1 is de grafiek voortdurend stijgend; als g = 1 is de grafiek constant; als 0 < g < 1 is de grafiek voortdurend dalend; er zijn geen nulpunten, f(x) wordt nooit 0, de grafiek komt wel steeds dichter bij de x-as te liggen als x steeds kleiner wordt (in het geval g > 1) of steeds groter wordt (in het geval g < 1). Dit betekent dat y = 0 een horizontale asymptoot is; er is geen minimum of maximum. Je moet dit zorgvuldiger beredeneren dan alleen op grond van een grafiek. De redenering is dat door vermenigvuldigen met een getal dat groter is dan 1 elk positief getal alleen maar groter kan worden. Als je bijvoorbeeld de functie f(x) = 1, 5 u neemt, dan is de groeifactor 1, 5 > 1. Neemt x toe, dan wordt f(x) groter. Neemt x af, dan wordt f(x) kleiner, maar nooit negatief of 0. De grafiek snijdt de x-as dus niet, maar komt er wel steeds dichter bij, daarom is de x-as een horizontale asymptoot. Een vergelijkbare redenering geldt voor g(x) = 0, 3 u. Alleen nu geldt hoe groter x is, hoe dichter de functiewaarden bij 0 komen en hoe kleiner x hoe groter de functiewaarden worden. Bedenk zelf hoe dit allemaal zit voor negatieve b. Als je de ongelijkheid f(x) > 8 moet oplossen, gebruik je de grafische rekenmachine. Eerst los je daarmee de vergelijking 1, 5 u = 8 op. Je vindt dat x 5, 13. Omdat g = 1, 5 > 1 weet je dat hoe groter x wordt, hoe groter de functiewaarden worden, dit zie je ook terug in de grafiek. Dus de oplossing op één decimaal nauwkeurig is x > 5, 1.

113 112 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 4.1 Gegeven is de exponentiële functie f(x) = 1 3 3, 5u. a b c Heeft f nulpunten? A ja B nee Welke lijn is de asymptoot van de grafiek van f? Wat voor soort stijging of daling heeft de grafiek van f? OPGAVE 4.2 Welke eigenschappen heeft een functie van de vorm f(x) = b g u als b < 0? Maak ook nu weer verschil tussen g > 1, g = 1 en 0 < g < 1. THEORIE «APPLET» De grafiek van de exponentiële functie f(x) = b g u heeft de volgende karakteristieken: De grafiek snijdt de y-as in het punt (0, b). Als b > 0 en g > 1, is de grafiek stijgend. Naar links (voor afnemende x) nadert de grafiek de x-as. Je kunt de functiewaarde zo dicht bij 0 krijgen als je wilt door x voldoende klein te nemen. De x-as is de horizontale asymptoot van de grafiek. Als b > 0 en 0 < g < 1, is de grafiek dalend. Naar rechts (voor toenemende x) nadert de grafiek naar de x-as. Als b < 0 en 0 < g < 1, is de grafiek stijgend. Naar rechts (voor toenemende x) nadert de grafiek naar de x-as. Als b < 0 en g > 1, is de grafiek dalend. Naar links (voor afnemende x) benadert de grafiek de x-as. Als g = 1 is de grafiek de horizontale lijn y = b. Voorbeeld 1 Bekijk de grafiek van de exponentiële functie f(t) = 200 0, 8 u op de grafische rekenmachine. Los de ongelijkheid f(t) > 85 op. Rond af op één decimaal.

114 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 113 Antwoord Los eerst de gelijkheid 200 0, 8 u = 85 met de grafische rekenmachine op. Je vindt t 3, 83. Omdat de groeifactor kleiner is dan 1 geldt dat hoe kleiner t hoe groter de functiewaarden worden. Dus de oplossing is t 3, 8. OPGAVE 4.3 In het voorbeeld zie je de functie f(t) = 200 0, 8 u. a Los de ongelijkheid f(t) < 50 op. Rond af op één decimaal. b Heeft de vergelijking f(t) = 0 een oplossing? OPGAVE 4.4 Los op. Rond af op twee decimalen. a 2 8 u < 40 b 1 3 4u 124 c 55 ( 1 2 )u 100 OPGAVE 4.5 Ramon zet 4500,00 op een spaarrekening. De rente van 3,2% wordt één keer per jaar op 1 januari bijgeschreven. a Stel een bijpassend functievoorschrift op voor het saldo S(t) met t in jaren na het moment waarop het startbedrag op de spaarrekening is geplaatst. Schrijf op bij welke vensterinstellingen de grafiek goed in beeld komt. b Hoelang duurt het voor het spaartegoed meer dan 5625,00 is? Voorbeeld 2 In een stedelijk gebied liggen twee middelgrote steden: A met inwoners en B met inwoners op 1 januari In A groeide het aantal inwoners de laatste jaren gemiddeld met 2,5% per jaar, in B was dat 3,1%. Na hoeveel jaren is B groter dan A als deze ontwikkeling zo doorgaat? Antwoord Dat B harder groeit dan A is duidelijk. Als A het aantal inwoners van A en B dat van B voorstelt, dan geldt: de groeifactor van A is 1, 025, die van B is 1, 031. Neem A en B in duizendtallen, en t de tijd in jaren vanaf 1 januari 2012, dan zijn de groeifuncties: A(t) = 750 1, 025 u B(t) = 620 1, 031 u De bijbehorende grafieken maak je op de grafische rekenmachine en je bepaalt het snijpunt. Ga na dat je t = 32, vindt. Conclusie: 33 jaar na 1 januari 2013 is B groter als je ervan uitgaat dat er steeds op 1 januari wordt geteld.

115 114 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 4.6 Bestudeer het voorbeeld. a Waaraan zie je dat stad B harder groeit dan stad A? b Ga na dat je voor het snijpunt van beide grafieken inderdaad t = 32, vindt. c Een derde stad C is op 1 januari 2013 kleiner dan zowel A als B. Maar deze stad groeit met 8,3% per jaar. Op 1 januari 2021 heeft C evenveel inwoners als B. In welk jaar is C even groot als A? OPGAVE 4.7 Los de ongelijkheid op. Rond af op twee decimalen , 9 u < 200 0, 8 u Voorbeeld 3 «APPLET» Een exponentiële functie heeft de vorm f(x) = b g u. De grafiek gaat door de punten A(- 2, 6) en B(4, 2). Stel het bijpassende functievoorschrift op. Rond b en g af op twee decimalen. Antwoord Bepaal eerst de groeifactor g: Als x van - 2 naar 4 gaat, wordt f(x) vermenigvuldigd met 1 3. Voor g geldt daarom g 6 = 1 3 en dus g = , 83. Nu kun je b berekenen. Uit f(4) = b 0, 83 4 = 2 volgt b 4, 21. Conclusie: f(x) 4, 21 0, 83 u. OPGAVE 4.8 Stel het voorschrift op van de exponentiële functie f(x) = b g u waarvan de grafiek van f door de punten: a (- 1, 2) en (2, 16) gaat. b (0, 625) en (4, 1) gaat. OPGAVE 4.9 Stel het voorschrift op van de exponentiële functie f(x) = b g u waarvan de grafiek door de punten (10, 200) en (14, 350) gaat. Rond g af op drie decimalen en b op gehelen. OPGAVE 4.10 VERWERKEN Los de ongelijkheden op. Rond af op twee decimalen. a 50 1, 5 u < 200 b 25 1, 8 u > 250 0, 75 u

116 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 115 OPGAVE 4.11 Op 1 januari 2010 zet persoon A 2000,00 op de bank tegen 4% rente per jaar. Persoon B zet op die dag 1500,00 op de bank tegen 6% rente per jaar. a Geef de functievoorschriften van het banktegoed a(t) van persoon A en het banktegoed b(t) van persoon B, waarbij t de tijd in jaren is na 1 januari b Maak met de grafische rekenmachine de grafieken van de functies a en b. Bij welke vensterinstellingen komen de grafieken zo in beeld dat ook het snijpunt zichtbaar is? c Vanaf welke maand van welk jaar is het banktegoed van persoon B groter dan dat van persoon A? OPGAVE 4.12 De grafiek van een exponentiële functie f(x) = b g u gaat door de punten (- 4, 2) en (3, 40). Stel een bijpassend functievoorschrift op. Rond g af op drie decimalen en b op gehelen. OPGAVE 4.13 Bekijk de grafieken van twee exponentiële functies. Geef van beide functies het functievoorschrift. OPGAVE 4.14 Een huurder betaalt een huur van 650,00 en vindt de jaarlijkse huurverhoging van 5,5% te veel. Hij herinnert zich nog dat exponentiële groei veel harder gaat dan lineaire groei. Hij stelt zijn verhuurder daarom voor om de huur elk jaar met 50,00 te verhogen. Na hoeveel jaar gaat dit de huurder voordeel opleveren? OPGAVE 4.15 In het water van een meer is verontreiniging ontdekt. Er wordt op een bepaald moment 40 mg/l (milligram per liter) van een bepaalde stof in het water aangetroffen. Gelukkig wordt deze stof op natuurlijke wijze afgebroken. De stof kan worden gemeten met een nauwkeurigheid van gehele mg/l. Het blijkt dat de concentratie exponentieel vervalt met 20% per dag. Als de concentratie onder de 1 mg/l komt, mag je zeggen dat de stof verdwenen is. Wanneer is dat het geval? Rond af op uren nauwkeurig.

117 116 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 4.16 Het Amerikaande bedrijf Intel is een zeer grote producent van computerchips. Gordon Moore was in 1968 één van de oprichters van het bedrijf. Deze opgave gaat over het aantal transistoren in een computerchip. (Een transistor is een elektronisch onderdeel van een chip.) In 1965 deed Moore daar een voorspelling over: Het aantal transistoren in een computerchip zal tussen 1965 en 1975 exponentieel groeien. Moore heeft meer dan gelijk gekregen: de voorspelling is zelfs tot het jaar 2010 uitgekomen! Zijn voorspelling is men de Wet van Moore gaan noemen. In de tabel zie je hoeveel transistoren er in de chips van Intel zitten. Ook zie je in welk jaar die chips op de markt zijn gebracht. introductiejaar naam chip aantal transistoren Pentium I Pentium IV Ivy Bridge 4, 31 miljard In de tabel zie je dat het aantal transistoren tussen 1971 en 1982 met toeneemt. a Stel dat het aantal transistoren in de jaren daarna lineair toe zou nemen met per jaar. In welk jaar zou dan het aantal van transistoren per chip zijn bereikt? Licht je antwoord toe. b In werkelijkheid is de toename dus exponentieel. Zo is in de periode van 1971 tot 2000 het aantal transistoren per chip toegenomen van 2250 tot 42 miljoen. Bereken hiermee de groeifactor per jaar in vier decimalen nauwkeurig. De Wet van Moore in formulevorm is: A = , 404 u. Hierin is A het aantal transistoren per chip en t de tijd in jaren met t = 0 in In de Ivy Bridge chip zitten volgens de tabel 4, 31 miljard transistoren. Dat aantal transistoren wijkt af van de voorspelling volgens de Wet van Moore. c Bereken hoeveel procent dit aantal afwijkt van de voorspelling volgende de formule van de Wet van Moore. d Met behulp van de formule kun je een berekening maken wanneer er 10 miljard transistoren in een computerchip zitten. Bereken in welk jaar dit volgens deze formule het geval is. bron: examen I havo A

118 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies Meer exponentiële functies In deze paragraaf leer je: werken met verschuiving en herschaling van de exponentiële functie; de karakteristieken van verschoven of herschaalde exponentiële functies bepalen; vergelijkingen en ongelijkheden van verschoven of herschaalde exponentiële functies oplossen met de GR; exponentiële vergelijkingen algebraïsch oplossen; exponentiële ongelijkheden algebraïsch oplossen. UITLEG «APPLET» De standaardfunctie van alle exponentiële functies is y = g u met g > 0. Je ziet de grafiek met g = 2. Alle functies die uit y = 2 u door herschalen of verschuiven kunnen ontstaan, zijn van de vorm y = b 2 u + d: f(x) = 3 2 u ontstaat door b = 3, g = 2 en d = 0 te nemen. De grafiek ontstaat uit die van y = 2 u door herschalen in de y-richting met factor 3 (alle y-waarden maal 3). f(x) = 3 2 u 4 ontstaat door b = 3, g = 2 en d = - 4 te nemen. De grafiek ontstaat uit die van y = 2 u door herschalen in de y-richting met factor 3 en vervolgens de grafiek - 4 eenheden in de y-richting te verschuiven (alle ywaarden min 4). f(x) = 3 2 u wordt herschreven tot f(x) = 3 2 u = 1, 5 2 u 4. f(x) ontstaat door b = 1, 5, g = 2 en d = - 4 te nemen. En de grafiek ontstaat uit die van y = 2 u door herschalen in de y-richting met factor 1, 5 en vervolgens de grafiek - 4 eenheden in de y-richting te verschuiven (alle y-waarden eerst maal 1, 5 en dan min 4).

119 118 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 5.1 Bekijk de uitleg. Het gaat daar over exponentiële functies van de vorm y = b g u + d. a Neem b = 3, g = 2 en d = 1. Welk functievoorschrift f 1 (x) krijg je? Door welke verschuiving en/of herschaling in de y-richting ontstaat de grafiek van f 1 uit die van y = 2 u? b c Neem b = 3, g = 1 2 en d = - 1. Welk functievoorschrift f 2(x) krijg je? Uit welke basisfunctie kan de grafiek van f 2 door verschuiving en/of herschaling in de y-richting ontstaan? Welke verschuiving en/of herschaling in de y-richting moet je dan toepassen? Neem b = - 10, g = 1, 5 en d = 100. Welk functievoorschrift f 3 (x) krijg je? Bij welke vensterinstellingen krijg je alle karakteristieken van de grafiek van f 3 goed in beeld? OPGAVE 5.2 Bekijk de functie met voorschrift f(x) = u 1 12 a Herschrijf het functievoorschrift tot de vorm y = b g u + d. b Uit welke basisfunctie kan de grafiek van f door verschuiving en/of herschaling van de y-as ontstaan? Welke verschuiving en/of herschaling van de y-as moet je dan toepassen? c Bereken met behulp van de grafische rekenmachine het nulpunt van de grafiek van f. d Dit nulpunt had je ook wel algebraïsch kunnen vinden. Laat zien hoe. THEORIE «APPLET» Elke exponentiële functie heeft een functievoorschrift dat kan worden geschreven in de vorm f(x) = b g u + d. Hierbij moet je soms gebruikmaken van de rekenregels voor machten. De grafiek van f is te tekenen door op die van y = g u de volgende verschuiving en herschaling in de y-richting toe te passen: herschalen in de y-richting met factor b; verschuiven in de y-richting met d eenheden. De grafiek van f nadert dan voor grote of kleine x de lijn y = d. Dit is de horizontale asymptoot. Het eventuele nulpunt vind je door b g u + d = 0 op te lossen. Vaak heb je daarvoor de rekenmachine nodig, maar in sommige situaties kun je dit ook algebraïsch oplossen. Voorbeeld 1 Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = 60 2 u 480. Breng de grafiek in beeld met de grafische rekenmachine en bepaal welke waarde f(x) nadert voor kleine waarden van x.

120 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 119 Antwoord De grafiek van f kan ontstaan uit die van y = 2 u door herschaling in de y-richting met 60; verschuiving in de y-richting over eenheden (dus naar beneden schuiven). f(x) nadert daarom voor kleine waarden van x tot De horizontale asymptoot is y = Bij een venster van - 10 x 10 bij y 500 komt de grafiek goed in beeld. OPGAVE 5.3 Gegeven is de functie f(x) = 50 3 u a Plot de grafiek van f. Welke vensterinstellingen gebruik je? b Wat is de horizontale asymptoot van de grafiek van f? OPGAVE 5.4 Bepaal zonder hulp van de grafische rekenmachine wat de horizontale asymptoot is van de grafiek van g(x) = 2 5 u Voorbeeld 2 Gegeven is de functie g met voorschrift g(x) = u +1. Laat zien hoe deze functie door herschalen in de y-richting en/of verschuiven kan ontstaan uit een basisfunctie van de vorm y = 0, 5 u. Antwoord Eerst herleiden: g(x) = u +1 = u = - 4 (2-1 ) u + 16 = - 4 0, 5 u + 16 De grafiek van de functie g(x) = - 4 0, 5 u +16 kan ontstaan door vervorming van y = 0, 5 u : herschaling in de y-richting met - 4; verschuiving in de y-richting van 16 eenheden. OPGAVE 5.5 De grafiek van de functie f(x) = 2 2 u +1 1 kun je door herschalen in de y-richting en verschuiven uit de grafiek van de functie g(x) = 2 u laten ontstaan. a Je kunt het functievoorschrift van f herleiden tot f(x) = 4 2 u 1. Laat zien hoe dat in zijn werk gaat. b Beschrijf nu hoe je door herschalen en verschuiven de grafiek van f kunt laten ontstaan uit die van g. c Het punt (0, 1) op de grafiek van g wordt na het herschalen in de y-richting en verschuiven een punt op de grafiek van f. Bereken de coördinaten van dit punt. d Wat is de horizontale asymptoot van de grafiek van f?

121 120 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 5.6 Bekijk de grafieken van: f(x) = ( 1 3 )u en h(x) = 1 2 ( 1 3 )u 5. a Hoe kun je de grafiek van h krijgen door herschalen in de y-richting en/of verschuiven van de grafiek van f? b Wat is de horizontale asymptoot van de grafiek van h? c Welke waarden kunnen de functiewaarden van h aannemen? Voorbeeld 3 Los de vergelijking 4 ( 1 2 )1 u = 8 2 algebraïsch op. Antwoord Hier zie je de uitwerking stap voor stap gebeuren. 4 ( 1 2 )1 u = 8 2 ( 1 2 )1 u = 2 2 (2-1 ) 1 u = u 1 = x 1 = x = OPGAVE 5.7 Los algebraïsch op. a 4 3 2u + 6 = 330 b u +1 = 0 c ( 1 3 )u +1 = 27 3 Voorbeeld 4 Een kop hete koffie komt uit een automaat. De koffie koelt af tot kamertemperatuur. De afkoeling gaat in het begin snel. Naarmate het temperatuurverschil tussen koffie en omgeving kleiner wordt, gaat de afkoeling trager. De temperatuur hangt af van de tijd waarin de koffie afkoelt. De functie K(t) = 60 0, 998 u + 20 beschrijft de temperatuur van de koffie in een omgeving van 20 C. Hierin is t de tijd in seconden nadat de koffie uit de automaat komt. De meeste mensen vinden koffie niet lekker als de temperatuur is gedaald tot beneden de 50 C. Na hoeveel seconden is dat het geval?

122 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 121 Antwoord Op t = 0 is de temparatuur K(0) = 80 C. De temperatuur daalt langzaam richting de 20 C. De vergelijking 60 0, 998 u +20 = 50 kun je met de grafische rekenmachine oplossen, je kunt er ook eerst 0, 998 u = 0, 5 van maken. Ga na, dat je vindt: t 346. Conclusie: na ongeveer 346 seconden (5 minuten en 46 seconden) is de koffie voor de meeste mensen niet meer lekker. OPGAVE 5.8 In het voorbeeld zie je de functie K(t) = 60 0, 998 u + 20, waarin t de tijd in seconden is nadat de koffie uit de automaat komt en K de temperatuur in C. a Hoe kun je aan het functievoorschrift zien dat de temperatuur daalt? b Wat is de horizontale asymptoot van de grafiek van K en wat betekent dat? c Na hoeveel seconden heeft de koffie een temperatuur van 70 C? OPGAVE 5.9 Een thermoskan wordt s morgens om 8:00 uur gevuld met koffie van 80 C. De koffie in de thermoskan koelt af volgens de formule: T(t) = , 83 u Hierin is T de temperatuur in graden Celsius en t het aantal uren na 8:00 uur. a Ga ervan uit dat de koffie niet meer lekker is als de temperatuur beneden de 50 C komt. Tot hoe laat is de koffie te drinken? Bereken dit tot op een kwartier nauwkeurig. b Hoe kun je aan het functievoorschrift zien dat de koffie bij het vullen van de thermoskan een temperatuur had van 80 C? c Hoe kun je aan het functievoorschrift zien dat de temperatuur van de koffie daalt? d Hoelang duurt het voor de koffie een temperatuur bereikt van 21 C? e Wat is de uiteindelijke temperatuur van de koffie? f De koffie staat in een woonkamer. Kun je aan het functievoorschrift van T(t) zien wat de temperatuur is van de woonkamer? VERWERKEN OPGAVE 5.10 Gegeven is de functie f(x) = 1 6 5u a Hoe ontstaat de grafiek van f uit die de grafiek van y = 5 u? b Plot de grafiek van f. Welke vensterinstellingen gebruik je? c Wat is de horizontale asymptoot van de grafiek van f? OPGAVE 5.11 Los de vergelijkingen en ongelijkheden op. Vereenvoudig eerst zo ver mogelijk en geef daarna de oplossing in twee decimalen nauwkeurig. a 5 u = 10 b 5 u 10 c 5 ( 1 3 )u 8 = 2 d 5 ( 1 3 )u 8 < 2

123 122 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE 5.12 Los algebraïsch op. a 2 u = 2 2 b 9 2u = 3 1 c 2 2 u +1 = 4 2 d 8 u 2 = 4 2u e 32 3u 2 = 1 4 OPGAVE 5.13 Los algebraïsch op als dat mogelijk is. Geef anders een benadering met twee cijfers achter de komma. a 4 0, 5 u 1 < 0 b 2 2 u +1 1 > 0 c 3, 5 u +50 0, 5 > 3 d 3 u 4 < OPGAVE 5.14 Een patiënt krijgt via een infuus een medicijn toegediend. De formule A(t) = , 95 u geeft de hoeveelheid A(t) in mg van het medicijn die na t minuten in het bloed aanwezig is. a Hoe zie je aan de formule dat de grafiek van A(t) stijgend is? b Hoeveel mg van het medicijn zal er uiteindelijk in het bloed zitten? c Na hoeveel minuten (in gehelen) is 75% van de maximale hoeveelheid medicijn in het bloed opgenomen? OPGAVE 5.15 Gegeven zijn de functies f(x) = 2 u 2 3 en g(x) = 4 0, 5 u a Herleid beide functievoorschriften tot de vorm y = b g u +d. Hoe ontstaan de grafieken van f en g door herschalen in de y-richting of verschuiven uit grafieken van bijpassende basisfuncties? b Los algebraïsch op: f(x) = c Los op: g(x) > 1, 5. Rond in het antwoord af op twee decimalen. d Welke waarden neemt g(x) aan voor x - 2? OPGAVE 5.16 De dikte van een A4-tje is ongeveer 0, 05 millimeter dik. In de volksmond wordt gezegd dat je één A4-tje niet zeven keer kan dubbelvouwen. a Bereken hoe dik je A4-papier wordt als je het zeven keer dubbel zou vouwen. b De straal van de aarde is ongeveer 6365 km. Als je in theorie een vel papier met een dikte van 0, 05 mm oneindig vaak dubbel zou kunnen vouwen, hoe vaak moet je dan vouwen om De diameter van de aarde te passeren? c De St. Mark s School in Southborough, Massachusetts, heeft met toiletpapier het wereldrecord dubbelvouwen in handen, met maar liefst dertien keer dubbelvouwen. Het eindresultaat was een pakket papier met een lengte van 4 meter en een breedte van 1 velletje toiletpapier. De afmeting van een velletje papier zijn ongeveer 20 bij 10 cm. Bereken de oorspronkelijke oppervlakte van het toiletpapier. Hoeveel velletjes toiletpapier hebben ze gebruikt?

124 HOOFDSTUK 3 Exponentiële functies 123 Voorbeeld eindtoets OPGAVE V1 Los de ongelijkheden in twee decimalen op. a ( 1 2 )u 50 < 25 b 500 1, 5 u > u OPGAVE V2 Los algebraïsch op. a u 5 = 100 b 5 2 2u 4 = 10 2 OPGAVE V3 Het aantal passagiers dat jaarlijks gebruikmaakt van een vliegveld groeit de laatste jaren met 2% per jaar. In 2013 maakten passagiers gebruik van het vliegveld. a Hoeveel bedraagt de groeifactor per jaar? b Geef een formule voor het aantal passagiers p op tijdstip t in jaren na c Als de groei zo doorgaat, hoelang duurt het dan voor het huidige aantal passagiers verdubbeld is? d Hoeveel passagiers waren er in 2010? e Hoeveel bedraagt de groeifactor per tien jaar? f Hoe groot is de groeifactor per kwartaal? OPGAVE V4 Een doorzichtige kunststof absorbeert een deel van het licht dat er doorheen valt. Elke laag van 1 cm absorbeert 20% van het licht. a Met welke factor wordt de hoeveelheid licht vermenigvuldigd per cm kunststof? b Hoeveel procent van het licht wordt geabsorbeerd door een laag van 2, 5 cm dikte? c Hoe dik moet de laag kunststof zijn om 90% van het licht te absorberen? d Met welke factor wordt de hoeveelheid licht vermenigvuldigd per mm kunststof? OPGAVE V5 Gegeven is de functie f(x) = 45 ( 1 3 )- u a Schrijf functie f in de vorm f(x) = b g u + d. b Hoe ontstaat de grafiek van f uit de grafiek van y = ( 1 3 )u? c d Welke lijn is de asymptoot van de grafiek van f? Bereken het nulpunt van f in twee decimalen nauwkeurig.

125 124 DOMEIN Functies en grafieken OPGAVE V6 Iemand haalt een fles melk uit de koelkast en zet er een fles cola voor in de plaats. De temperatuur van de fles melk neemt hierdoor langzaam toe tot kamertemperatuur, de temperatuur van de fles cola neemt juist af tot koelkasttemperatuur. De formules voor de temperaturen T 1 en T 2 (in graden Celsius) in de flessen, afhankelijk van de tijd t (in minuten), zijn: T 1 = , 78 u en T 2 = , 78 u. a Teken met de grafische rekenmachine de grafieken van beide formules. Laat t hierbij lopen van 0 tot 25. b Welke van de formules hoort bij de fles melk, en welke bij de fles cola? Licht je antwoord toe. c Wat is de asymptoot van de grafiek van de temperatuur van de fles cola? d Wat is de asymptoot van de grafiek van de temperatuur van de fles melk? e Hoeveel bedraagt de kamertemperatuur? f Vanaf welk tijdstip is de cola kouder dan de melk?

126 Differentiaalrekening Veranderingen Instaptoets Differentiaalquotiënt Veranderingen in+ grafieken Hellingsgrafiek Veranderingen per + stap Voorbeeld eindtoets Differentiequotiënt

127 126 DOMEIN Differentiaalrekening CONTEXT 1 Maximale winst Bedrijven zijn er in de regel op gericht om te blijven voortbestaan. Daarom moeten ze er onder andere voor zorgen winst te maken. Winst wordt berekend door de kosten van de opbrengst af te trekken, dus: winst = opbrengst kosten Winst wordt dus hoger als het bedrijf zijn opbrengst vergroot of zijn kosten verlaagt. De kosten en opbrengst zijn afhankelijk (en dus functies van) het aantal geproduceerde en verkochte producten. Meer producten verkopen geeft in de regel meer opbrengst en meer producten maken kost meer. OPGAVE «APPLET» In de figuur zijn de kostenfunctie (volle lijn) en opbrengstfunctie (gestreepte lijn) van een product getekend. De stippellijn is de raaklijn aan de kostenfunctie in het punt op de grafiek van de kostenfunctie. Een bedrijf produceert maximaal producten. Omdat kosten en opbrengst functies zijn van het aantal producten, kun je bij een gegeven productie en verkoop de kosten en opbrengst per product berekenen. Dit zijn de gemiddelde kosten en opbrengst per product. Ook kun je de opbrengst en de kosten voor een extra product bepalen. Dat worden de marginale opbrengst respectievelijk marginale kosten genoemd. Deze worden gebruikt om te beoordelen of productie van iets meer producten iets meer winst oplevert. Bepaal op twee manieren hoeveel producten geproduceerd en verkocht moeten worden om de maximale winst te halen.

128 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 127 CONTEXT 2 Beurs Wereldwijd wordt er gehandeld in aandelen. Met het kopen van een aandeel word je mede-eigenaar van het bedrijf. Omdat vraag en aanbod van een bepaald aandeel veranderen, wisselen ook de aan/verkoopprijzen van de aandelen. Deze prijzen worden koersen genoemd. In Nederland vormen de koersen van de 25 belangrijkste bedrijven de Amsterdam Exchange Index (AEX). Deze index is een belangrijke maatstaf voor het vertrouwen in de economie. Zo zijn veel mensen tijdens de kredietcrisis het vertrouwen in de economie verloren en daarbij daalde de waarde van de AEX. Voor handelaren is het beursspel een kwestie van slim kopen en verkopen om zo hun kapitaal te vergroten. Vaak werken zij in opdracht van grote bedrijven of een vereniging van particulieren. OPGAVE Een belegger legt op een dag bij opening van de beurs 100,00 in op de AEX-fondsen en verkoopt deze aandelen aan het eind van de handelsdag voor de dan geldende prijs. Als de AEX-koers aan het begin van de dag op 411 punten stond en op het eind op 412 krijgt hij = 100,24 euro. Bekijk de grafiek. Bepaal op welke dag tussen 21 juni en 21 juli deze belegger het best had kunnen inleggen met deze tactiek. Op 21, 22, 28, 29 juni, 5, 6, 12, 13, 19 en 20 juli was de beurs gesloten omdat het weekend was. Daarnaast zijn de open en slotkoersen van opeenvolgende dagen aan elkaar gelijk.

129 128 DOMEIN Differentiaalrekening 4.1 Veranderingen in grafieken In deze paragraaf leer je: de begrippen stijgend, dalend en constant gebruiken bij grafieken; toenemende, afnemende en constante stijging en daling herkennen; (lokale) maxima en minima van een grafiek bepalen. UITLEG Deze grafiek geeft de temperatuur T (in C) op een bepaalde plaats weer afhankelijk van het tijdstip t (in uren) op de dag. De temperatuur stijgt vanaf t = 4 tot aan t = 15, 5, want als t toeneemt vanaf 4 tot 15, 5, wordt ook T groter. Je zegt dan dat de grafiek stijgend is op het interval 4; 15, 5. De temperatuur daalt vanaf t = 15, 5 tot aan t = 24, want als t toeneemt vanaf 15, 5 tot 24, wordt T juist kleiner. Je zegt dan dat de grafiek dalend is op het interval 15, 5; 24. De temperatuur is nergens constant, hoewel hij tussen 14 uur en 17 uur maar weinig verandert. Als je de stijging op het interval 4; 15, 5 nauwkeuriger bekijkt zie je dat hij op het interval 4, 8 steeds groter wordt; de grafiek wordt steiler. Er is op dat interval sprake van toenemende stijging. Op het interval 8, 14 daarentegen is er een constante stijging; de grafiek blijft daar voortdurend even steil. Op het interval 14; 15, 5 wordt de stijging steeds minder, het gaat nu om afnemende stijging. Ga zelf na dat de grafiek op het interval 0, 4 een afnemende daling vertoont. En op het interval 17, 23 is er een vrijwel constante daling.

130 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 129 De hoogste dagtemperatuur is 21 C. Dit is het maximum van T en het wordt bereikt op t = 15, 5. De laagste dagtemperatuur is 7 C. Dit is het minimum van T en het wordt bereikt op t = 4. OPGAVE 1.1 Bekijk de grafiek van de dagtemperatuur in de uitleg. a Als de grafiek stijgt, neemt T dan toe of juist af? b Als de grafiek toenemend stijgt, wat gebeurt er dan met T? c Wat betekent voor de grafiek het verschil tussen een toenemende daling en een afnemende daling? En wat betekent dit voor de temperatuur T? THEORIE Een functie is: stijgend als de y-waarden groter worden bij groter wordende x; dalend als de y-waarden kleiner worden bij groter wordende x. Verder heeft de functie: een maximum als hij overgaat van stijgend in dalend in een aaneengesloten grafiek; een minimum als hij overgaat van dalend in stijgend in een aaneengesloten grafiek. Deze waarden noem je de extremen, ook wel de uiterste waarden van de functie. Om aan te geven voor welke waarden van x van een bepaalde soort stijging of daling sprake is, gebruik je intervallen. Deze grafiek heeft een: afnemende stijging op het interval, a, omdat de stijging daar steeds minder sterk wordt; toenemende daling op het interval a, b, omdat de daling daar steeds sterker wordt; afnemende daling op het interval b, c, omdat de daling daar steeds minder sterk wordt;

131 130 DOMEIN Differentiaalrekening toenemende stijging op het interval c, d, omdat de stijging daar steeds sterker wordt; constante stijging op het interval d,, omdat de stijging daar steeds even sterk blijft, de grafiek is daar een rechte lijn. toenemende daling constante stijging toenemende stijging afnemende daling afnemende stijging constante daling Voorbeeld 1 Bekijk de grafiek van functie y = f(x) op het interval [0, 6]. Beschrijf de veranderingen in deze grafiek. Antwoord De veranderingen in deze grafiek kun je van links naar rechts als volgt beschrijven: de grafiek is afnemend stijgend op het interval 0, 2. de grafiek is toenemend dalend op het interval 2, 3. de grafiek is afnemend dalend op het interval 3, 4. de grafiek is toenemend stijgend op het interval 4, 6. Verder heeft de functie: een maximum(waarde) van 2 voor x = 2: max. f(2) = 2; een minimum(waarde) van 0, 6 voor x = 4: min. f(4) = 0, 6. Dit zijn de extremen (uiterste waarden) van de functie. Opmerking: Dat er een minimum is bij x = 4, wil niet zeggen dat y niet lager kan zijn. Je ziet dat bijvoorbeeld bij x = 0 de y-waarde lager is. Het minumum is een lokaal (plaatselijk) minimum, net als het maximum.

132 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 131 OPGAVE 1.2 Bekijk de grafiek van de functie y = 2x 3 6x. a b c Welke soorten stijgen en dalen zie je in de grafiek? Geef je antwoord in de intervalnotatie. Lees het maximum van de gegeven functie uit de grafiek af. Lees het minimum van de gegeven functie uit de grafiek af. OPGAVE 1.3 Bekijk de grafiek van f. a b Beschrijf met intervallen de verandering van de grafiek. Schrijf het maximum en het minimum van de functie op. OPGAVE 1.4 Teken een mogelijke grafiek die aan de volgende eisen voldoet: er is een maximum van 5 voor x = - 3 en een minimum van 1 voor x = 5; op het interval, - 3 is er sprake van afnemende stijging; op het interval - 3, 2 is er sprake van toenemende daling; op het interval 2, 5 is er sprake van afnemende daling; op het interval 5, is er sprake van constante stijging.

133 132 DOMEIN Differentiaalrekening Voorbeeld 2 Gegeven is de functie f met functievoorschrift f(x) = x 6x 2. Beschrijf het verloop van de grafiek. Antwoord Breng eerst de grafiek in beeld, bijvoorbeeld met de grafische rekenmachine. De grafiek heeft een maximimum van 49 bij x = 3. De grafiek gaat dus over van stijgend naar dalend. Aan de grafiek zie je met wat voor soort stijging en daling je te maken hebt. De grafiek is afnemend stijgend op het interval, 3 en toenemend dalend op het interval 3,. OPGAVE 1.5 Gegeven is de kwadratische functie f met voorschrift f(x) = - x 2 + 6x. De grafiek van zo n functie is een parabool. a Met de grafische rekenmachine kun je de parabool bekijken. Op welk interval is de grafiek stijgend? b Om welk soort stijging gaat het bij a? A afnemende stijging B toenemende stijging C constante stijging c Is er in de grafiek sprake van toenemende of afnemende daling? d Elke parabool heeft een top. Daarbij hoort een minimum of een maximum. Welke extreme waarde heeft deze functie? OPGAVE 1.6 Gegeven is de functie f(x) = 2x 4 + 2x 3 8x 2 1. a Plot de grafiek zodat alle karakteristieken in beeld zijn. b Welke coördinaten hebben de toppen van de grafiek van f? Rond indien nodig af op twee decimalen nauwkeurig. c Geef een zo groot mogelijk interval waarop de grafiek van f toenemend stijgt. d Geef een zo groot mogelijk interval waarop de grafiek van f afnemend daalt. Voorbeeld 3 Bij de productie van een bepaald artikel stijgen de kosten K met een toename van het geproduceerde aantal producten q. Die kostenstijging neemt echter af omdat de productielijn steeds efficiënter wordt ingezet. Wanneer er artikelen worden gemaakt, zijn de kosten , 00. Om nog meer producten te kunnen maken, moet de productielijn worden aangepast en de kosten stijgen dan harder. Je ziet een schets van een bijpassende grafiek.

134 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 133 Op de horizontale as komt het aantal producten q, op de verticale as de kosten K, omdat de kosten afhangen van het aantal geproduceerde artikelen. De grafiek begint in (0, 0) met sterke stijging die vrij snel afvlakt. Dat gaat zo door tot het punt met q = en K = Daarna stijgt de grafiek steeds sterker. OPGAVE 1.7 In het voorbeeld zie je een grafiek over de kosten van een productielijn. Welke soorten stijging en daling zie je in de grafiek? Geef je antwoord in de intervalnotatie. OPGAVE 1.8 Je gebruikt nu steeds een grafiek om de veranderingen en de extremen van een functie te bepalen. Waarom kun je op deze manier nooit zeker zijn of je wel alle veranderingen en extremen hebt gevonden? OPGAVE 1.9 VERWERKEN Gegeven is een functie met voorschrift f(x) = x 3 3x. Bekijk deze functie met de grafische rekenmachine. a Beschrijf met intervallen het verloop van de grafiek van f. b Wat zijn de extremen van f? c Waarom kun je niet aangeven waar de snelheid van stijgen het grootst is? OPGAVE 1.10 Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = 0, 5x 4 4x a Met de grafische rekenmachine kun je de grafiek van deze functie bekijken. Welke extremen heeft deze functie? b Op hoeveel intervallen is bij de grafiek van f sprake van toenemende daling? c Geef het bereik van f. OPGAVE 1.11 Sofie rijdt met de auto naar de supermarkt. De eerste 7 seconden trekt ze eerst rustig maar daarna snel op, daarna rijdt ze 15 seconden met een constante snelheid om vervolgens 10 seconden lang geleidelijk af te remmen, totdat ze stil staat voor een stoplicht. Ze staat daar 30 seconden stil. Als het stoplicht op groen springt, trekt Sofie geleidelijk op en na 8 seconden rijdt ze weer met een constante snelheid, totdat ze na 2 minuten bij de supermarkt is aangekomen en in 12 seconden geleidelijk afremt totdat ze stil staat. Beschrijf met intervallen de soorten stijging en daling van de snelheid die optreden gedurende de route die Sofie naar de supermarkt aflegt.

135 134 DOMEIN Differentiaalrekening OPGAVE 1.12 Voor een klus maakt een bedrijf gebruik van de volgende winstformule W = x 3 + 4x 2, waarbij W de winst in honderden euro s is en x het aantal werknemers dat het bedrijf voor de klus gebruikt. a Bij welk aantal werknemers is er maximale winst? Voor het bepalen van hoeveel werknemers het bedrijf moet inzetten, wordt er gekeken naar de extra winst per werknemer. Zo is de extra winst van de zesde werknemer W(6) W(5). De extra winst per werknemer wordt ook wel de marginale winst genoemd. Het bedrijf zorgt er voor dat er zoveel werknemers gebruikt worden dat de marginale winst van de laatste werknemer zo groot mogelijk is. b Hoeveel werknemers moet men dan voor de klus inzetten? c Het antwoord van b wijkt af van dat van a. Toch kan het voor het bedrijf beter zijn, om naar de extra winst te kijken zoals bij b is gedaan. Waarom? OPGAVE 1.13 Voor de temperatuur T in C op een bepaalde dag geldt: om 6:00 uur s morgens ( t = 6 ) is de temperatuur T = 2 C; de grafiek toenemend stijgt van t = 6 tot t = 12; de grafiek afnemend stijgt van 12:00 uur tot 14:30 uur en dan toenemend daalt tot t = 20; de grafiek afnemend daalt van t = 20 tot aan het eind van de dag. Maak een schets van een mogelijke grafiek van deze functie en leg uit bij welke waarde van t de functie T een uiterste waarde moet hebben. OPGAVE 1.14 Een parachutist maakt een parachutesprong vanaf 3500 meter hoogte. Eerst maakt hij een vrije val van in totaal 1000 meter, waarbij zijn snelheid steeds toeneemt. Na 50 seconden opent hij zijn parachute. Dan daalt hij nog 110 seconden met een constante snelheid, voordat hij op de grond komt. Teken een grafiek bij deze situaties, waarbij de horizontale as de tijd in seconden is en de verticale as de hoogte boven het aardoppervlak in meter.

136 HOOFDSTUK 4 Veranderingen Veranderingen per stap In deze paragraaf leer je: een toenamediagram maken bij een gegeven grafiek of een gegeven functievoorschrift; de invloed van de stapgrootte op het toenamediagram bepalen; vanuit een gegeven toenamediagram (en "beginwaarde") een mogelijke grafiek tekenen. UITLEG Bekijk de grafiek. De grafiek geeft de gemiddelde dagtemperatuur T op een bepaalde plaats weer (in C) afhankelijk van het tijdstip t (in uren) op die dag. De grafiek begint op t = 0 met een temperatuur van 10 C. Na 2 uur is die temperatuur gezakt tot ongeveer 8 C. De temperatuur neemt dus af met 2 C. Je zegt ook wel dat er sprake is van een toename van - 2 C. Weer twee uur later is de temperatuur nog een graad gezakt: bij t = 4 is sprake van een toename van - 1 C ten opzichte van de temperatuur bij t = 2. En zo kun je doorgaan met het bepalen van de toenames (of afnames) in stappen van 2 uur. Je doorloopt de tijd met een stapgrootte van 2 uur en je maakt een tabel van de toenames: t (uur) T , 5 3, , 5-3, 5 Onder ΔT versta je de toename van de temperatuur T. Deze tabel kun je weergeven in een diagram. Als de toename negatief is, teken je een staafje naar beneden en als die positief is naar boven. Zo n diagram noem je een toenamediagram.

137 136 DOMEIN Differentiaalrekening In het toenamediagram kun je goed zien dat: waar de grafiek stijgend is, de toenamen positief zijn (echte toenamen); waar de grafiek dalend is, de toenamen negatief zijn (afnamen); waar de toenamen steeds groter worden, is de stijging toenemend, enzovoort. OPGAVE 2.1 OPGAVE 2.2 Bekijk de grafiek van de gemiddelde dagtemperatuur in de uitleg. a Maak een tabel met toenames vanaf t = 0 met een stapgrootte van Δt = 3. b Teken nu het bijbehorende toenamediagram van de temperatuurgrafiek met een stapgrootte van Δt = 3. Een bedrijf maakt bijzondere verpakkingen. Het bedrijf heeft onderzocht hoe de kosten voor het maken van die verpakkingen samenhangen met het aantal verpakkingen. Het verband tussen de totale kosten TK (in duizenden euro s) en het aantal geproduceerde verpakkingen q (in duizendtallen) zie je in de figuur. Daaruit lees je bijvoorbeeld af dat bij een productie van 2000 verpakkingen de totale kosten , 00 zijn. In de diagrammen A, B, C en D, is de toename ΔTK van TK weergegeven. Eén van de vier diagrammen past bij de grafiek. a Welk toenamediagram past bij de grafiek? Licht je antwoord toe. A diagram A B diagram B C diagram C D diagram D

138 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 137 b Met hoeveel procent stijgen de totale kosten als de productie van 4000 naar 8000 verpakkingen gaat? naar: examen I havo A THEORIE «APPLET» Bekijk de grafiek van een functie op het interval: [- 2, 4]. Als je de waarden van x met een vaste stapgrootte laat toenemen, kun je daarbij een tabel maken met de toenamen Δy van de functiewaarden. Als je als stapgrootte 1 neemt, dan ziet die tabel er zo uit: x y Δy Je ziet het bijbehorende toenamediagram in groen in de figuur. De hoogte van het staafje bij x = 3 is bijvoorbeeld Δy = y(3) y(2) = = 4. Dus het staafje bij x = 3 wordt 4 hoog. Bij een negatieve toename teken je het staafje naar beneden, bij x = 1 bijvoorbeeld teken je het staafje 2 naar beneden. Als je het functievoorschrift weet, kun je de grafische rekenmachine gebruiken om een toenametabel te tekenen. Je voert dan y 1 = f(x) en y 2 = y 1 (x) y 1 (x 1) in, waarin f de gegeven functie is. Als je nu met de grafische rekenmachine een tabel met stapgrootte 1 maakt, krijg je de toenametabel. Een toenamediagram kan de rekenmachine niet maken.

139 138 DOMEIN Differentiaalrekening Voorbeeld 1 Bekijk de grafiek van het verloop van de koers van de dollar gedurende vijf dagen. Op dag 1 was een euro in dollars 1,19 waard. Maak er een toenamediagram bij met stapgrootte 1 dag. Antwoord Maak eerst een tabel met de toenames: dag toename (cent) Zet vervolgens deze toenames verticaal in een diagram uit: OPGAVE 2.3 Bekijk de grafiek. Je laat de waarden van x oplopen met een stapgrootte 1. De bijbehorende verandering van de functiewaarden kun je in een tabel zetten. a Maak een toenametabel die begint bij x = - 2. b Teken het bijpassende toenamediagram.

140 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 139 Voorbeeld 2 «APPLET» Gegeven is de functie met voorschrift y = x 2 op het interval [- 3, 3]. Maak een toenamediagram bij deze functie met stapgrootte 1. Antwoord Je ziet hoe je met de rekenmachine een toenametabel maakt bij een stapgrootte 1. OPGAVE 2.4 Teken zelf het toenamediagram bij de functie uit het voorbeeld. OPGAVE 2.5 Maak op de grafische rekenmachine de grafiek van de functie van f met voorschrift f(x) = - x 3 + 6x op het interval [- 3, 3]. a Maak een toenametabel met stapgrootte 1 die begint bij x = - 3. b Wat weet je op grond van alleen de toenametabel van het maximum van deze functie? A Het maximum ligt tussen x = 0 en x = 1, want bij die waarden horen dezelfde toenamen. B Het maximum ligt tussen x = 0 en x = 1, want bij die waarden horen de grootste toenamen. C Het maximum ligt bij x = 1, 5, want precies daar gaan de toenamen over in afnamen. D Het maximum ligt t ussen x = 1 en x = 2, want bij die waarden gaan de toenamen over van positief in negatief. c Teken het bijpassende toenamediagram.

141 140 DOMEIN Differentiaalrekening OPGAVE 2.6 Bekijk het toenamediagram van functie f. Schets een mogelijke grafiek van f op het interval [0, 4]. Voorbeeld 3 «APPLET» Uit een toenamediagram kun je de grafiek van de functie weer samenstellen. Je moet daarvoor wel een punt van die grafiek weten, anders weet je niet waar je moet beginnen. Bekijk de toenamediagram met stapgrootte 1 2. Stel dat de grafiek door het punt (0, 10) moet gaan. Je kunt dan vanuit het toenamediagram deze tabel maken: x - 2, , , 5 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 Δ y y Daarmee kun je de grafiek tekenen. Kijk goed hoe je de y-waarden kunt vinden van punten die x-waarden links van 0 hebben.

142 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 141 OPGAVE 2.7 Bekijk het toenamediagram van de grafiek van een functie f waarvoor geldt: f(0) = 4. a b Maak een grafiek van de functie f. Je kunt dus een mogelijke grafiek van f tekenen. Waarom zijn er meerdere mogelijkheden voor de grafiek van de functie van f bij een toenamediagram? Kies uit: A Het toenamediagram is te onduidelijk om functiewaarden nauwkeurig uit af te lezen. B Omdat je niet weet hoe de functie verloopt tussen de waarden in de tabel. C Er zijn meerdere toenametabellen mogelijk bij dit toenamediagram. OPGAVE 2.8 Dit toenamediagram betreft de populatie van reeën in een bos. Hierbij stelt t de tijd in jaren voor, waar t = 1 overeenkomt met de toename van het aantal reeën in het jaar 2002 (in vergelijking met 2001). Aan het einde van 2006 werden er 450 reeën geteld. a b Wat stelt het toenamestreepje bij t = 5 voor? Schat zo nauwkeurig mogelijk het aantal reeën in het begin van 2003 en in het begin van 2010.

143 142 DOMEIN Differentiaalrekening OPGAVE 2.9 VERWERKEN Teken bij de grafiek een toenamediagram met stapgrootte 1, te beginnen bij x = - 1. OPGAVE 2.10 Schets een toenamediagram bij een grafiek waarbij sprake is van: a een constante stijging. b een afnemende daling. c een toenemende stijging. OPGAVE 2.11 Gegeven is de functie f met voorschrift: f(x) = 0, 5x 4 4x a Met de grafische rekenmachine kun je de grafiek van deze functie bekijken en een toenametabel maken. Teken een toenamediagram op het interval [- 3, 3] met een stapgrootte van 0, 5. b Hoe zie je aan het toenamediagram dat er precies één interval is waarop de grafiek toenemend daalt? c Waarom kun je op grond van het toenamediagram concluderen dat er waarschijnlijk drie extremen zijn? OPGAVE 2.12 a Een toenamediagram met stapgrootte Δx = 1 van een lineaire grafiek bestaat uit allemaal staafjes die 2 hoog zijn. Verder is gegeven dat de bijbehorende grafiek door het punt (0, 5) gaat. Stel de formule op bij de grafiek die hoort bij het toenamediagram. Een toenamediagram met stapgrootte Δx = 4 van een lineaire grafiek bestaat uit allemaal staafjes die - 8 hoog zijn. Verder is gegeven dat de bijbehorende grafiek door het punt (2, 3) gaat. Stel de formule op bij de grafiek die hoort bij het toenamediagram. Een toenamediagram met stapgrootte Δx = 0, 5 van een lineaire grafiek bestaat uit allemaal staafjes die 3 hoog zijn. Verder is gegeven dat de grafiek door het punt (- 3, 4) gaat. Stel de formule op bij de grafiek die hoort bij het toenamediagram. b c

144 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 143 OPGAVE 2.13 In een museum is vanaf de opening om 8:00 uur s morgens tot de sluitingstijd om 18:00 uur elk uur het aantal het aantal bezoekers geteld. Van deze gegevens is een toenamediagram gemaakt. Om 12:00 uur waren er 50 bezoekers. a b c Maak een grafiek van het totaal aantal bezoekers afhankelijk van het uur van deze dag, van 8:00 uur tot 18:00 uur. Rond welk tijdstip waren er waarschijnlijk de meeste bezoekers in het museum? Kun je vaststellen hoeveel bezoekers er maximaal in het museum waren op enig moment die dag? Licht je antwoord toe. OPGAVE 2.14 Onderzoekers hebben een model ontwikkeld voor een ramp met een chemische fabriek bij een middelgrote stad. In dit model wordt het aantal personen dat last heeft van ongemakken zoals buikloop, duizeligheid en hoofdpijn, voorgesteld door het functievoorschrift: n(t) = - 4(40 t) (40 t) Hierbij stelt t het aantal dagen na het plaatsvinden van de ramp voor en n(t) het bijbehorend aantal slachtoffers. a Plot de grafiek van n. Laat x lopen van 0 tot 40. b Geef met intervallen aan welke soorten verandering je in de grafiek ziet. c Na hoeveel dagen is er een maximaal aantal slachtoffers? d De gevolgen van het ongeval zijn over het hoogtepunt heen als de toename van het aantal slachtoffers in vergelijking met twee dagen daarvoor kleiner is dan Na hoeveel dagen is dat het geval?

145 144 DOMEIN Differentiaalrekening 4.3 Differentiequotiënt In deze paragraaf leer je: wat het differentiequotiënt is (gemiddelde verandering of gemiddelde snelheid); het differentiequotiënt met behulp van een grafiek of tabel uitrekenen; het differentiequotiënt van een formule op een interval berekenen; werken met toepassingen van het differentiequotiënt. UITLEG Als een zeilwagen start en de windkracht constant is, dan neemt zijn snelheid toe. Veronderstel dat voor de afgelegde afstand s (in meter) geldt: s(t) = 1, 2 t 2. Hierin is t de tijd in seconden. Bekijk de grafiek. Na 1 seconde is de afgelegde afstand s(1) = 1, 2 m. Na 4 seconden is de afgelegde afstand s(4) = 19, 2 m. In 3 seconden heeft de zeilwagen s(4) s(1) = 19, 2 1, 2 = 18 m afgelegd. De gemiddelde verandering van de afstand per seconde (de gemiddelde snelheid) is: 18 3 = 6 m/s. Je berekent een gemiddelde snelheid door het verschil in afstand te delen door het verschil in tijd. Dat schrijf je als volgt: gemiddelde snelheid = Δ afstand Δ tijd. Het teken (een Griekse letter D) staat voor differentie, wat verschil betekent. Dit getal is de helling van het lijnstuk tussen de punten die horen bij t = 1 seconde en bij t = 4 seconden. In het algemeen heb je te maken met y als functie van x: y = f(x). Stel dat x toeneemt van bijvoorbeeld x = 1 tot x = 5. Dan is de toename Δx = 5 1. Tegelijk verandert y van f(1) naar y van f(5). Dus een toename (of afname) van Δy = f(5) f(1).

146 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 145 Gemiddeld (dus per eenheid van x) verandert y op het interval [1, 5] met: Δu Δu = u (5) u (1) 5 1. Dit is een deling van twee verschillen, een zogenoemd differentiequotiënt ( differentie is verschil en een quotiënt is de uitkomst van een deling). Op deze manier bereken je de gemiddelde verandering van y op een gegeven interval van x. OPGAVE 3.1 In de uitleg zie je de functie s(t) = 1, 2t 2 voor de afgelegde afstand s (in meter) van een steeds sneller bewegende zeilwagen. Hierin is t de tijd in seconden. Bereken de gemiddelde snelheid op het tijdsinterval [0, 6]. a Bereken eerst Δt. b Bereken vervolgens het verschil in afstand Δs. c Wat is dus de gemiddelde snelheid op het interval [0, 6]? d Bereken ook de gemiddelde snelheid op het interval [6, 10]. e Op welk van beide intervallen bewoog het voorwerp gemiddeld het snelst? OPGAVE 3.2 Voor de afgelegde afstand s in meter voor een optrekkende scooter geldt s(t) = 1, 5t 2, waarbij t de tijd in seconden is. a Bereken de gemiddelde snelheid van de scooter op het interval [0, 5]. b Bereken de gemiddelde snelheid van de scooter op het interval [2, 6]. c Geef een interval waarop de gemiddelde snelheid van de scooter 6 m/s is.

147 146 DOMEIN Differentiaalrekening THEORIE Bekijk de grafiek van de functie y = f(x). De gemiddelde verandering van de functie f op het interval [a, b] is: Δu Δu = u (u ) u (u ) u u. De uitkomst hiervan noem je het differentiequotiënt van de functie f op het interval [a, b]. In de grafiek van f is dit differentiequotiënt gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de lijn door A(a, f(a)) en B(b, f(b)). Onthoud dat het differentiequotiënt gelijk is aan de helling van de lijn AB; de richtingscoëfficiënt van de lijn AB; de gemiddelde verandering van de grafiek op het interval [a, b]. Voorbeeld 1 Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = 4 x 2. Bereken het differentiequotiënt op het interval [0, 2] en beschrijf de betekenis van dit getal. Antwoord Het differentiequotiënt op het interval [0, 2] is: Δu Δu = u (2) u (0) 2 0 = = 2. Je ziet dat het differentiequotiënt gelijk is aan het hellingsgetal van het lijnstuk AB. Het is de gemiddelde verandering van de functiewaarden op het interval [0, 2]. Het geeft dus de toename of de afname van f(x) per eenheid van x weer. OPGAVE 3.3 Gegeven is de functie f(x) = x 2 5x + 4. a Bereken de gemiddelde verandering van f op het interval [2, 5]. b Bereken het differentiequotiënt van f op het interval [- 3, 6]. c Geef een interval waarop de gemiddelde verandering van f gelijk is aan 0.

148 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 147 Voorbeeld 2 Ilse is om 14:00 uur begonnen met het verkopen van kaartjes voor een voorstelling. Zij heeft op een aantal tijdstippen bijgehouden hoeveel kaartjes ze verkocht heeft: tijd 10:00 12:00 13:30 15:00 18:00 aantal kaartjes Om 12:00 uur had Ilse 178 kaartjes verkocht en om 13:30 uur 331. Wanneer liep de kaartverkoop het best, tussen 10:00 en 12:00 uur of tussen 12:00 en 13:30 uur? Antwoord Tussen 10:00 en 12:00 uur is de gemiddelde verkoop per uur = 89. Tussen 12:00 en 13:30 uur is de gemiddelde verkoop per uur ,5 = 102. Hoewel er tussen 10:00 en 12:00 uur meer kaarten zijn verkocht, liep tussen 12:00 en 13:30 uur de kaartverkoop gemiddeld het best. Met behulp van het berekenen van differentiequotiënten kun je de kaartverkoop eerlijk vergelijken op de verschillende tijdsintervallen. OPGAVE 3.4 Bekijk het voorbeeld. a In welk van de tijdsintervallen liep de kaartverkoop het best? b Emmy koopt om 12:10 uur het 181e kaartje. Hoeveel bedraagt de gemiddelde verkoop per minuut tussen 12:10 en 13:30 uur? OPGAVE 3.5 Onder aan een berg staat een waarschuwingsbord met daarop een helling van 15 procent. Deze grafiek geeft die berg weer. Horizontaal is de afstand uitgezet die je hemelsbreed hebt afgelegd, en verticaal de hoogte waarop je je dan bevindt. a Wat is de gemiddelde hoogteverandering bij een hellingspercentage van 15%? b Wat is de gemiddelde hoogteverandering gerekend over de gehele berg? c Klopt het waarschuwingsbord? d Wat is de gemiddelde hoogteverandering op het interval [400, 500] ongeveer? e Schat de steilste helling van deze berg.

149 148 DOMEIN Differentiaalrekening Voorbeeld 3 Gegeven is de functie f(x) = 2x Toon aan dat het differentiequotiënt van f op het interval [0, a] gelijk is aan 2a. Antwoord Het differentiequotiënt van f op het interval [0, a] is: Δu Δu = 2u u 0 = 2u 2 u = 2a. Als je nu een interval zoekt waarop het differentiequotiënt van f gelijk is aan 4, kun je a = 2 nemen en vind je als interval [0, 2]. OPGAVE 3.6 In het voorbeeld zie je de functie f(x) = 2x a Geef een interval waarop het differentiequotiënt van f gelijk is aan 6. b Bereken het differentiequotiënt op het interval [1, 4]. c Noem een interval waarop het differentiequotiënt gelijk is aan die op het interval [1, 4]. OPGAVE 3.7 a b Elke constante functie heeft de vorm f(x) = c. Toon aan dat de gemiddelde verandering van zo n functie op elk interval gelijk is aan 0. Een lineaire functie is van de vorm f(x) = ax + b. Waarom is het differentiequotiënt van zo n functie op elk interval gelijk aan a? OPGAVE 3.8 VERWERKEN Je ziet een aantal punten op de grafiek. a b c d Bereken de gemiddelde helling van het lijnstuk AB. Bereken de gemiddelde helling van het lijnstuk CF. Voor twee lijnstukken die horen bij twee van de getekende punten hoort een differentiequotiënt van 0. Welke twee lijnstukken zijn dat? Punt F heeft een kleinere y-waarde dan punt C. Hoe kun je dat aan het differentiequotiënt op het interval [1, 4] zien? OPGAVE 3.9 Gegeven is de functie f(x) = x 3 3x a Bereken het differentiequotiënt op het interval [0, 2]. b Bereken het differentiequotiënt op het interval [- 1, 2]. c Wat valt je bij b op? Kun je dat verklaren?

150 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 149 OPGAVE 3.10 Tijdens een hardloopwedstrijd van 10 kilometer wordt op drie momenten de (tussen)tijd gemeten. De resultaten van Bram zie je in de tabel. tijd (minuten) afstand (kilometer) a b Op welk tijdsinterval liep Bram gemiddeld het snelst? Cedric loopt de eerste 1, 5 kilometer in 6 minuten. Stel dat hij de hele wedstrijd met hetzelfde tempo loopt. Finisht hij dan voor of na Bram? A voor Bram B na Bram OPGAVE 3.11 Het bedrijf Fiesta produceert koekjes voor de horeca. Als verpakking gebruiken ze zakken van 3 kilogram. De kosten hangen af van het aantal zakken koekjes dat gemaakt wordt, q is het aantal geproduceerde zakken koekjes per uur. Voor de kosten K (in euro) wordt het volgende functievoorschrift gebruikt: K(q) = 0, 01q 3 0, 6q q a Bereken de totale kostenstijging bij een productietoename van 0 zakken per uur naar 20 zakken per uur. b Bereken de gemiddelde kostenstijging bij een productietoename van 0 zakken per uur naar 20 zakken per uur. c Plot zelf de grafiek op de grafische rekenmachine. Plot ook de lijn door de punten (0, 0) en (20, 100). De lijn snijdt de grafiek van K in een derde punt. Geef de coördinaten van dat punt. d Kun je nu zonder berekening zeggen wat de gemiddelde kostenstijging is op het interval [20, 40]? Licht je antwoord toe. OPGAVE 3.12 Gegeven is de functie f(x) = x 8. a Bereken het differentiequotiënt van f op het interval [4, 6]. b Bereken in drie decimalen nauwkeurig het differentiequotiënt van f op het interval [5, 12]. c Geef een interval met als beginpunt 4 waarop het differentiequotiënt van f gelijk is aan 1. OPGAVE 3.13 Gegeven is de functie f(x) = 3x 2. Toon aan dat het differentiequotiënt op elk interval [a, a + 1] gelijk is aan 6 a + 3. OPGAVE 3.14 Gegeven is de functie f(x) = 1 3 x 3 2, 5x 2 + 3x. a Bereken het differentiequotiënt van f op het interval [0, 2] exact. b Geef nog een interval met eenzelfde differentiequotiënt als bij a.

151 150 DOMEIN Differentiaalrekening 4.4 Differentiaalquotiënt In deze paragraaf leer je: de betekenis van het begrip differentiaalquotiënt kennen; het differentiaalquotiënt met behulp van kleine intervallen bepalen; het differentiaalquotiënt met behulp van een grafiek bepalen; het differentiaalquotiënt met behulp van de grafische rekenmachine bepalen; de formule van een raaklijn aan een grafiek opstellen; werken met toepassingen van het differentiaalquotiënt. UITLEG Bekijk de grafiek van de positie van een startende zeilwagen. Je mag aannemen dat de snelheid constant toeneemt. De afgelegde afstand neemt dan kwadratisch toe. Voor de afgelegde afstand s (in meter) geldt bijvoorbeeld s(t) = 1, 2 t 2, waarin t de tijd in seconden is. De gemiddelde snelheid over de eerste 4 seconden bereken je met het differentiequotiënt: Δu Δu = 1,2 42 1, = 19,2 4 = 4, 8. Die gemiddelde snelheid voor de eerste 4 seconden is dus 4, 8 meter per seconde (m/s). Omdat de zeilwagen versnelt (steeds sneller gaat rijden), is de snelheid op t = 4 hoger dan de gemiddelde snelheid over de eerste 4 seconden. Die snelheid op t = 4 kun je benaderen. Daarbij bereken je differentiequotiënten op steeds kleinere intervallen met t = 4 als beginwaarde. Op het interval [4; 4, 1] is het differentiequotiënt: Δu Δu = 1,2 4,12 1, ,1 4 = 0,972 0,1 = 9, 72. Dit is een eerste benadering van de snelheid op t = 4. «APPLET» Op het interval [4; 4, 01] is het differentiequotiënt: Δu Δu = 1,2 4,012 1, ,01 4 = 0, ,01 = 9, 612. Dit is een tweede en betere benadering van de snelheid op t = 4. Je kunt de intervallen steeds kleiner maken en het differentiequotiënt uitrekenen om een nog betere benadering te krijgen van de snelheid op t = 4.

152 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 151 interval differentiequotiënt [4; 4, 1] 9, 72 [4; 4, 01] 9, 612 [4; 4, 001] 9, 6012 [4; 4, 0001] 9, Het differentiequotiënt komt steeds dichter in de buurt van 9, 6, naarmate de rechtergrens van het interval dichter bij 4 komt. Je kunt nu zeggen dat bij t = 4 de snelheid 9, 6 m/s is. De snelheid op t = 4 kun je dus vinden door een rij van differentiequotiënten te berekenen op intervallen met als linker grens 4 en als rechter grens 4 + h. Die rij van differentiequotiënten benadert een bepaald getal naarmate de rechter grens dichter bij de linker grens komt, dus h steeds dichter bij 0 komt. OPGAVE 4.1 Voor een steeds sneller rijdende (versnellende) zeilwagen geldt s = 1, 8t 2, waarin s de afgelegde afstand in meter en t de tijd in seconden is. Bekijk eerst in de uitleg hoe de snelheid van een andere zeilwagen op een bepaald tijdstip wordt gevonden met behulp van een rij van differentiequotiënten. a Kies het juiste antwoord. De snelheid op t = 3 is: A hetzelfde als de gemiddelde snelheid over de eerste 3 seconden. B groter dan de gemiddelde snelheid over de eerste 3 seconden. C kleiner dan de gemiddelde snelheid over de eerste 3 seconden. b Bereken de differentiequotiënten van a op de volgende intervallen. interval differentiequotiënt [3; 3, 1] [3; 3, 01] [3; 3, 001] [3; 3, 0001] c Hoe groot is nu de snelheid op t = 3?

153 152 DOMEIN Differentiaalrekening d Hoe is de snelheid op t = 3 zichtbaar in de grafiek? Kies het juiste antwoord. A Als richtingscoëfficient van het lijnstuk op het interval [0, 3]. B Als richtingscoëfficient van het lijnstuk op het interval [3; 3, 0001]. C Als richtingscoëfficient van de raaklijn aan de grafiek in het punt met t = 3. D Als uitkomst bij t = 3. OPGAVE 4.2 Voor de afgelegde afstand s (in meters) van een vallend voorwerp geldt de formule s = 4, 9t 2, waarbij t de tijd is in seconden. Na 5 seconden komt het voorwerp op de grond terecht. a Bepaal met behulp van kleine intervallen de snelheid van het voorwerp op t = 2. b Met welke snelheid komt het voorwerp op de grond terecht? THEORIE «APPLET» Je ziet een deel van de grafiek van de functie y = f(x). De gemiddelde verandering van de functie f op het interval [a, b] is: Δu Δu = u (u ) u (u ) u u. De verandering in een punt met x = a van de functie f vind je door een aantal keer het differentiequotiënt op [a, a + h] te berekenen, waarbij je h steeds dichter bij 0 kiest: Δu Δu = u (u +h) u (u ) h. Voor x = a krijg je dan een rij met differentiequotiënten die je overzichtelijk in een tabel zet: interval [a; a + 0, 1] [a; a + 0, 01] [a; a + 0, 001] [a; a + 0, 0001] differentiequotiënt u (u +0,1) u (u ) 0,1 u (u +0,01) u (u ) 0,01 u (u +0,001) u (u ) 0,001 u (u +0,0001) u (u ) 0,0001 Deze rij differentiequotiënten benadert een bepaald getal. Dit getal heet het differentiaalquotiënt d u d u voor x = a. In plaats van d u d u d u voor x = a, schrijf je ook wel [ d u ]. u =u In de grafiek is het differentiaalquotient gelijk aan de richtingscoëfficient van de raaklijn in het punt van de grafiek met x = a. Als d u d u > 0, dan is de richtingscoëfficient van de raaklijn positief en stijgt de grafiek dus.

154 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 153 Als d u d u < 0, dan is de richtingscoëfficient van de raaklijn negatief en daalt de grafiek dus. Als d u d u = 0, dan is het hellingsgetal van de raaklijn 0. Er kan dan sprake zijn van een top, maar dat hoeft niet. Het hellingsgetal van de raaklijn in een top is altijd 0. Op de grafische rekenmachine vind je het differentiaalquotient als dy/dx. Als je hier een x-waarde aan koppelt dan vind je direct het hellingsgetal van de raaklijn in dat punt aan de grafiek. Bekijk daarvoor het PRACTICUM: VERAN- DERINGEN, DIFFERENTIËREN EN DE GR. Voorbeeld 1 Gegeven is de functie f met f(x) = 4 x 2. Bereken het differentiaalquotiënt voor x = 1 en beschrijf de betekenis van dit getal. Antwoord Maak een rij met differentiequotiënten door bij het interval [1, 1 + h] voor h steeds kleinere waarden te kiezen. Bijvoorbeeld: interval differentiequotiënt [1; 1, 1] - 2, 1 [1; 1, 01] - 2, 01 [1; 1, 001] - 2, 001 [1; 1, 0001] - 2, 0001 Deze rij getallen lijkt te naderen naar - 2. Dit is het differentiaalquotiënt van deze functie voor x = 1 en de veranderingssnelheid van de grafiek voor die waarde van x. Het is ook het hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek voor x = 1.

155 154 DOMEIN Differentiaalrekening OPGAVE 4.3 In het voorbeeld zie je hoe je bij een gegeven functie f het differentiaalquotiënt voor een bepaalde x-waarde kunt berekenen. a Wat betekent dit getal voor de grafiek? Meerdere antwoorden kunnen goed zijn. A De richtingscoëfficient van de grafiek voor die x - waarde. B De richtingscoëfficient van het lijnstuk op het interval [0, x]. C De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek voor die xwaarde. D De y-waarde bij die waarde van x. b Welke betekenis heeft dit getal voor de functiewaarden? A De grootte van de functiewaarde bij die waarde van x. B De snelheid waarmee de functiewaarden veranderen voor die waarde van x. C De gemiddelde verandering van de functiewaarden. OPGAVE 4.4 Bekijk de grafiek van f(x) = 0, 5x Je wilt het differentiaalquotiënt bepalen voor x = 1. a Maak een rij met differentiequotiënten op het interval [1, 1 + h] waarin h achtereenvolgens de waarden 0, 1; 0, 01; 0, 001 en 0, 0001 heeft. b Hoe groot is dus het differentiaalquotiënt voor x = 1? Voorbeeld 2 Bekijk de grafiek van de afgelegde afstand s van een auto op een binnenweg, uitgezet tegen de tijd t. Je ziet dat de snelheid eerst langzaam toeneemt totdat hij na 4 minuten maximaal is. Dan neemt de snelheid weer af. Bij t = 4 gaat de grafiek van toenemend stijgend over in afnemend stijgend. Na 8 minuten staat de auto even stil om daarna weer langzaam op te trekken. Bepaal de snelheid van deze auto na precies 10 minuten.

156 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 155 Antwoord De snelheid na precies 10 minuten is het differentiaalquotiënt op t = 10. Omdat er geen functievoorschrift bij deze grafiek is, bepaal je de waarde van d u d u voor t = 10 met behulp van de grafiek en de getekende raaklijn. Je ziet dat die raaklijn behalve door het punt (10; 8, 5) ook (bij benadering) door het punt (12; 10) gaat. De helling van de raaklijn is daarom (ongeveer): Δu Δu = 10,0 8, = 0, 75. De auto had na precies 10 minuten een snelheid van 0, 75 km/minuut. Dat is ongeveer 45 km/uur. OPGAVE 4.5 OPGAVE 4.6 In het voorbeeld zie je een tijd-afstand grafiek van een auto. a Wanneer was de snelheid van de auto hoger, bij t = 4 of bij t = 16? b Wat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn bij t = 8? c Hoeveel minuten heeft de auto ongeveer met constante snelheid gereden? Je ziet een deel van een grafiek met een raaklijn aan de grafiek in het punt bij x = 2. a Bepaal het differentiaalquotiënt voor x = 2 met behulp van de grafiek. b Stel de vergelijking op van de getekende raaklijn. c De grafiek hoort bij de functie f(x) = 5 2x. Controleer je antwoord bij a door het differentiaalquotiënt door de grafische rekenmachine te laten bepalen. Voorbeeld 3 Gegeven is de functie f(x) = 0, 5x 2 + x 3. Bereken het differentiaalquotiënt voor x = 1. Stel ook de formule van de raaklijn l aan de grafiek van f op voor x = 1. Antwoord Je kunt het differentiaalquotiënt uitrekenen met een rij differentiequotiënten, maar je kunt dit ook snel met de grafische rekenmachine bepalen. Hoe dat gaat, zie je in het PRACTICUM: VERANDERINGEN, DIFFERENTIËREN EN DE GR. Je vindt dat [ d u d u ] = 2, dus het differentiaalquotiënt voor x = 1 is 2. u =1 Dit betekent dat het hellingsgetal van de gevraagde raaklijn 2 is. Dus je weet al dat l : y = 2x + b. f(1) = - 1, 5, dus lijn l gaat door het punt (1; - 1, 5). Hieruit volgt dat - 1, 5 = b en dit geeft b = - 3, 5. De vergelijking van de raaklijn is l : y = 2x 3, 5.

157 156 DOMEIN Differentiaalrekening OPGAVE 4.7 In het voorbeeld zie je de functie f(x) = 0, 5x 2 + x 3. a Stel de formule op van de raaklijn m aan de grafiek van f voor x = 3. b Stel de formule op van de raaklijn n aan de grafiek van f voor x = - 2. OPGAVE 4.8 Gegeven is de functie f(x) = 0, 6x a Bekijk de grafiek van deze functie op het interval [- 4, 4]. Laat zien dat het punt (2; 3, 4) op de grafiek van deze functie ligt. b Bereken met behulp van de grafische rekenmachine [ d u d u ] u =2. c Stel een vergelijking op voor de raaklijn aan de grafiek in het punt (2; 3, 4). d Er is een punt op de grafiek waarin de helling van de raaklijn precies het tegenovergestelde is van die bij a. Welk punt is dat? Licht je antwoord toe. e In welk punt van de grafiek is de helling 0? OPGAVE 4.9 VERWERKEN Bekijk de grafiek van de lengtegroei van een boom. Neem de grafiek over. a Hoeveel meter per jaar groeit deze boom gemiddeld, gerekend over de eerste vijf jaar? b Wat is de groeisnelheid na precies vijf jaar? Geef een zo nauwkeurig mogelijke schatting. c Op welk tijdstip is de groeisnelheid het grootst? Licht je antwoord toe. d Welke waarde krijgt de groeisnelheid uiteindelijk als de boom gezond blijft? OPGAVE 4.10 Een steen valt van een loodrechte rotswand 500 meter naar beneden. Voor de afgelegde weg y (in meter) geldt de formule y(t) = 4, 9t 2, waarin t de tijd in seconden is, tenminste zolang de steen nog aan het vallen is en niet op de grond terecht is gekomen. a Bereken de gemiddelde snelheid van de steen gedurende de eerste 5 seconden. b Bereken de snelheid van de steen na precies 5 seconden. Gebruik een rij van differentiequotiënten en controleer je antwoord met de grafische rekenmachine. c Bereken de snelheid waarmee de steen op de grond terechtkomt. OPGAVE 4.11 Gegeven is de functie met voorschrift g(x) = 4 u op het interval [- 5, 5]. a Bereken de verandering van g(x) voor x = 1. b Er is een punt op de grafiek van g waar de helling dezelfde waarde heeft als die in het punt (1, 4). Welk punt is dat? Licht je antwoord toe. c Voor x = 0 heeft de functie g geen functiewaarde. Wat betekent dit voor de helling? En wat is er met de grafiek aan de hand?

158 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 157 OPGAVE 4.12 De baan van een vuurpijl is bij benadering parabolisch tot hij uit elkaar spat. Bij deze baan past de formule h(x) = - x 2 +10x, waarin zowel h als x in meters wordt uitgedrukt. a Welke helling heeft de baan als de vuurpijl wordt afgeschoten? b In welk punt van de baan is de helling 0? c Als de pijl horizontaal 8 meter heeft afgelegd, spat hij uiteen. Hoe hoog is de pijl dan en welke helling heeft de baan op dat punt? OPGAVE 4.13 Bekijk de grafiek van de functie f(x) = 5x 2 x 3 op de grafische rekenmachine. a Bereken het hellingsgetal van de raaklijn aan f voor x = 2 met behulp van een rij differentiequotiënten. b Je kunt van tevoren aan de grafiek zien of het hellingsgetal van de raaklijn voor x = 2 positief of negatief is. Waaraan kun je dat zien? c Stel een vergelijking op van de raaklijn voor x = 2 aan de grafiek van f. OPGAVE 4.14 Gegeven is de functie f(x) = x 2. De lijn y = 9 snijdt de grafiek van f in de punten A en B. De raaklijnen aan de grafiek van f in de punten A en B snijden elkaar in punt C. a Maak een schets van de situatie. b Bereken de oppervlakte van ΔABC.

159 158 DOMEIN Differentiaalrekening 4.5 Hellingsgrafiek In deze paragraaf leer je: bij een gegeven grafiek een hellingsgrafiek schetsen; bij een gegeven functievoorschrift een hellingsgrafiek tekenen; uit een gegeven hellingsgrafiek gegevens over de bijbehorende functie aflezen; werken met tekenschema s; de formule opstellen van een hellingsgrafiek. UITLEG «APPLET» Bekijk de grafiek van de functie f(x) = x 2 met daarin de raaklijn aan de grafiek in het punt ( 1 2, 1 4 ). De richtingscoëfficiënt van die raaklijn bepaalt de helling van de grafiek bij x = 1 2. Als je de waarden van x verandert, veranderen ook de hellingsgetallen van de raaklijnen. Je kunt van die hellingsgetallen een afzonderlijke grafiek maken: de hellingsgrafiek. De bijbehorende functie wordt de hellingsfunctie f (x) genoemd. Die zie je ook getekend. Als je de grafiek van de functie f en die van zijn hellingsfunctie f vergelijkt, dan valt op: als de grafiek stijgt, is de helling positief (en omgekeerd); als de grafiek daalt, is de helling negatief (en omgekeerd); in toppen van de grafiek (extremen van de functie) is de helling 0. Verder zie je dat de grafiek van f van afnemende daling overgaat naar een toenemende stijging. Dit betekent dat de hellingen van de raaklijnen steeds groter worden; dit zie je ook terug in de hellingsgrafiek, de grafiek is namelijk een stijgende rechte lijn. Deze eigenschappen kun je goed gebruiken om uit een hellingsgrafiek de karakteristieke eigenschappen van de grafiek van f af te leiden. Uit de hellingsgrafiek van een functie kun je bijvoorbeeld de (lokale) extremen aflezen. OPGAVE 5.1 Bekijk de grafiek van f(x) = x 2 in de uitleg. Als je de grafiek op de grafische rekenmachine maakt, kun je met d u d u in elk punt de helling bepalen. a Vul de tabel in.

160 HOOFDSTUK 4 Veranderingen 159 x f (x) b Teken met behulp van de tabel in deelvraag a de hellingsgrafiek van deze functie. Ga na dat die hellingsgrafiek een rechte lijn wordt. OPGAVE 5.2 Welke van de twee gestippelde grafieken is de hellingsgrafiek van de rode grafiek? A B de blauwe grafiek de groene grafiek THEORIE «APPLET» Een functie y = f(x) heeft meestal in een punt van de grafiek een helling die wordt bepaald door het differentiaalquotiënt in dat punt. Van die hellingsgetallen kun je ook weer een grafiek maken. Je ziet de grafiek van een functie (in rood) met de hellingsgrafiek (in blauw). De bijbehorende functie van de hellingsgrafiek wordt de hellingsfunctie of afgeleide van f genoemd en kun je korter schrijf als f (spreek uit f accent). Je ziet: als de hellingsfunctie positieve waarden heeft, stijgt de bijbehorende functie; als de hellingsfunctie negatieve waarden heeft, daalt de bijbehorende functie; met wat voor soort stijging/daling je te maken hebt; waar de hellingsfunctie de waarde 0 heeft, heeft de grafiek van de bijbehorende functie een horizontale raaklijn; vaak gaat het daarbij om extremen van de functie. Hieruit blijkt dat vooral het positief, negatief, of 0 zijn van de hellingsfunctie van belang is om het verloop van de grafiek van een functie te beschrijven. Dezelfde gegevens kun je ook terugvinden in een tekenschema, dat je onder de hellingsgrafiek ziet getekend. Een tekenschema is een getallenlijn waarop je aangeeft wanneer een functie positief, negatief of 0 is. Hoe steil de grafiek moet lopen kun je niet van een tekenschema aflezen. Wel waar toppen zitten.

161 160 DOMEIN Differentiaalrekening Voorbeeld 1 Bekijk de grafiek van de functie f met voorschrift f(x) = 0, 5x 4 4x 2. Teken de grafiek van de bijbehorende hellingsfunctie f. Antwoord Maak eerst met behulp van de grafische rekenmachine een tabel met hellingsgetallen: x d u d u Teken de bij deze tabel passende grafiek. Je kunt ook direct de grafische rekenmachine een goede benadering van de hellingsgrafiek laten tekenen. Daartoe laat je hem voor willekeurige x het differentiaalquotiënt benaderen door een differentiequotiënt op het interval [x; x + 0, 001] en daarvan een grafiek maken. Bekijk dit in het PRACTICUM: VERANDERINGEN DIFFERENTIËREN EN DE GR. OPGAVE 5.3 Gegeven is de functie f met f(x) = 0, 5x 3 6x. In elk punt heeft de grafiek van f een bepaalde helling, die wordt bepaald door het differentiaalquotiënt f (x) in dat punt. a Vul de tabel in. x f (x) b c Teken met behulp van deze tabel de hellingsgrafiek van de gegeven functie. Welke waarde heeft f (x) in de toppen van de grafiek van f?