Besliskunde deeltentamen II

Transcriptie

1 Besliskunde deeltentamen II Hoofdstuk 3 Lineair programmeren Een lineair programmeringsprobleem kunnen we beschrijven met een lineaire doelfunctie en lineaire beperkingen. Het woord programmeren wordt hier gebruikt in de betekenis plannen. De standaardvorm van een lineair programmeringsprobleem is strikt. Alle beperkingen worden beschreven met een -teken met de constante rechts en alle variabelen links. Ieder LP-probleem is in deze standaardvorm te schrijven. Voorwaarden: de beslissingsvariabelen zijn elementen uit de verzameling reële getallen, de doelfunctie en de beperkingen worden uitgedrukt als lineaire vergelijkingen en ongelijkheden. Als er in een LP-probleem slechts twee beslissingsvariabelen zijn dan kunnen de beperkingen en de doelfunctie grafisch worden voorgesteld in twee dimensies. Elke beperking geeft een lijn, een grensrechte. Op de lijn geldt het gelijkheidsteken. Voorbeeld: De doorsnede van de gebieden die door de beperkingen zijn toegelaten, is de gesloten verzameling van punten (grijze gedeelte). Deze verzameling wordt de oplosruimte genoemd, het oplosgebied of het toegelaten gebied. Elk van deze punten is een mogelijke oplossing, aanvaardbare of toegelaten oplossing. Het optimum bevindt zich altijd in een hoekpunt. Om het goede optimum te vinden ga je gebruik maken van een isowinstlijn. Je pakt de doelfunctie, en voor de doelfunctie mag je een random getal pakken (vaak wel iets wat logisch klinkt). Eerst vul je voor de ene waarde 0 in, en kijkt dan wat de andere waarde moet zijn. Dit doe je ook andersom, en dan kan je een lijn maken van je twee gevonden punten. Dit is je isowinstlijn. Dit schuif je op totdat je op het laatste punt komt (van je oplosgebied) wat de isowinstlijn nog raakt. Dit is je optimum. Simplex methode Als de optimalisatie drie beslissingsvariabelen betreft, dan kan het probleem niet makkelijk meer grafisch worden weergegeven. Bij meer dan drie is het zelfs niet meer ruimtelijk weer te geven. Het optimum moet optreden op de rand van het toegelaten gebied. Om in deze gevallen de optimale oplossing te vinden is de simplex methode ontwikkeld. 1. Begin op (0,0,0) 2. Bepaal welk aangrenzend hoekpunt de gunstigste waarde van de doelfunctie heeft

2 3. Als er geen enkel hoekpunt is met een gunstigere waarde van de doelfunctie, dan is het eerste hoekpunt de oplossing van de optimalisatie. Zo niet dan wordt het nieuwe hoekpunt als beginpunt genomen. Voor grotere problemen met veel beslissingsvariabelen kunnen de hoekpunten niet meer grafisch worden bepaald, daarom maakt de simplex methode gebruik van een algebraïsche methode om de hoekpunten af te zoeken. Bij deze methode worden alle ongelijkheden geschreven als vergelijkingen (met een = teken) en iedere keer wordt een deelverzameling van deze vergelijkingen opgelost om zo een nieuw hoekpunt te vinden dat beter is dan het vorige. Het omzetten van de ongelijkheden naar vergelijkingen gebeurt met behulp van spelingsvariabelen. Voorbeeld uit het dictaat: Een punt waarvoor alle spelingsvariabelen een niet-negatieve spelingswaarde hebben, behoort tot de oplosruimte. Een punt waarvoor dat niet geldt is geen toegestane oplossing. Ook de doelfunctie schrijven we om, zodat de constante aan de rechterkant staat. In dit voorbeeld: P-4W-3M=0. Voor iedere beperking die is geschreven kunnen de spelingsvariabelen nooit negatieve waarden aannemen. Met behulp van deze spelingsvariabelen gaan we nu de hoekpunten van de oplosruimte afzoeken. Ieder hoekpunt wordt gevormd door het snijpunt van een deelverzameling beperkingen. In zo n hoekpunt worden de beperkingen uit die deelverzameling dan actief genoemd en de bijbehorende spelingsvariabelen zijn dan gelijk aan 0. We gebruiken de Simplex tableau. Met behulp van dit Simplex tableau kunnen we nu het LP-probleem oplossen. Allereerst zoeken we met het Simplex tableau een basisoplossing. Dit eis een hoekpunt van de oplosruimte van waaruit we de zoektocht starten. We kiezen hiervoor in het algemeen nulpunt (punt waarin alle beslissingsvariabelen een waarde gelijk aan 0 hebben). In een Simplex tableau vind je altijd evenveel eenheidskolommen als er beperkingen zijn. Een eenheidskolom is een kolom met één 1 en de rest van de elemten gelijk aan 0. De variabelen die bij de eenheidskolom horen staan in de basis, de meest linkerkolom. Zij zijn de enige variabelen in de huidige oplossing met een waarde ongelijk aan 0. Bij tabel 1 vinden we als basisoplossing (0,0,8,2,6,0). Vanuit de beginoplossing gaan we nu zoeken naar verbeteringen. Vanuit het nulpunt betekent dat dat we één van de variabelen groter dan 0 willen maken. Welke variabele dat is, hangt af van hoe belangrijk deze is voor ons doel. De variabele waarvan we de hoogste bijdrage verwachten gaan we als eerste verhogen. Dit is in het simplex tableau de variabele met de (in absolute waarde) hoogste coëfficient. We kijken alleen naar de negatieve coëfficienten(verhogen van een variabele met een negatieve coëfficient verhoogd de doelwaarde).

3 In tabel 1 levert een uur winkelen 4 eenheden plezier en museumbezoek 3 uur. Het is dus het beste om winkelen zo hoog mogelijk te maken. We willen nu een oplossing vinden waarin W groter is dan 0. Dit betekent dat de kolom van W een eenheidskolom moet worden. We noemen dit de pivotkolom. Een van de huidige eenheidskolommen moet daarvoor verdwijnen. We zoeken naar een beperking die de waarde van W het meest begrensd. We delen daarvoor de coëfficiënt van W in die beperking door de constante van die beperking. Vanuit het huidige hoekpunt met M=0, stelt beperking 1 een grens aan W van 8/1=8 en beperking 2 heeft 2/1=2. Beperking 3 stelt geen grens aan W. Conclusie: beperking 2 is dus nu het meest beperkend. Een beperking hoeft alleen onderzocht te worden als de coëfficiënt in de bijbehorende pivitkolom positief is. Alleen dan werkt de beperking namelijk begrenzend op de variabele. We hebben nu het element in de matrix gevonden waar de 1 moet komen van de eenheidskolom. We noemen dit element de pivot. We gaan nu in plaats van de eenheidskolom bij S2 de eenheidskolom bij W plaatsen. We doen dat door elementaire matrix bewerkingen toe te passen. Dit noemen we het vegen van de matrix. Om een 1 te krijgen voor de variabele W in de rij van beperking, hoeven we niets te doen, want deze staat daar al. Voor de overige elementen: deze moeten gelijk worden aan 0. Dit doen we door de rij van beperking 2 er net zo vaak als nodig bij op te tellen of van af te trekken. De coëfficiënt van W in rij R3 is al 0. De coëfficiënt van W in rij R4 wordt 0 door 4x de rij R2 erbij op te tellen. We hebben nu een betere oplossing (hoekpunt) gevonden: (2,0,6,0,6,8). Let op, alleen pivit kolommen. Zolang de onderste rij nog negatieve elementen bevat hebben we de optimale oplossing nog niet gevonden. De stappen die hierboven staan worden herhaald totdat alle elementen op de onderste rij niet-negatief zijn. In de onderste rij komt nog -7 voor. De pivot is op rij 1. We gaan nu zorgen dat deze pivotkolom een eenheidskolom wordt met een 1 op de plaats van de pivot.

4 De nieuwe oplossing: (5,3,0,0,3,29). Problemen bij het oplossen van een LP probleem. 5.1 meerdere optimale oplossingen Het is mogelijk dat de doelfunctie parallel loopt aan één van de grensrechten. In dat geval hebben we niet één maar ontelbare optimale oplossingen omdat de beslissingsvariabelen alle waarden kunnen aannemen op die grensrechte. 5.2 onoplosbaar probleem In sommige gevallen spreken de beperkingen elkaar tegen. In dat geval is de oplossingsruimte leeg en kan er geen optimale oplossing gevonden worden. 5.3 onbegrensd probleem Er kunnen ook te weinig beperkingen zijn, waardoor de oplossingsruimte niet begrensd is. Het probleem is dan onder-gespecificeerd. Schaduwprijzen LP is een methode die uitgaat van vaststaande gegevens. Er is geen onzekerheid over de winst of de beperkingen. In werkelijkheid is dit wel het geval. Je kan het probleem opnieuw oplossen voor kleine verschuivingen in de parameterwaarden. Dit noemen we gevoeligheidsanalyse. Hiermee kan je onderzoeken of je optimale oplossing extreem wijzigt als er een kleine verandering optreedt of robuust is voor kleine wijzigingen. Ook zou je kunnen nadenken over welke beperkingen je het beste zou kunnen oprekken als je die mogelijkheid hebt. Dat heet relaxatie van de beperking. De schaduwprijs is de waarde die de doelfunctie zou stijgen of dalen wanneer de rechterkant van één van de beperkingen met één eenheid verhoogt of verlaagd wordt. Een schaduwprijs bereken je alleen maar bij de actieve beperkingen. Het maximale stroom algoritme als LP probleem Je kan het maximale stroom probleem ook herschrijven als een LP probleem en het daarna oplossen met de Simplex methode. Beperkingen: S1,2 5 S1,3 10 S3,2 15 S3,4 5 S2,4 10 Stromen kunnen niet negatief zijn, dus Si,j 0. Wat de knopen 2 en 3 instroomt moet er ook weer uitstromen: * S1,2 + S3,2 = S2,4

5 * S1,3 = S3,2 + S3,4 Doelfunctie is het maximaliseren van de totale stroom T : Max T = S3,4 + S2,4 lomoarcpsd

6 Beslissen onder onzekerheid Er is sprake van onzekerheid omdat niemand écht in de toekomst kan kijken. De beslisser weet niet precies wat de gevolgen zullen zijn van de alternatieve handelwijzen waaruit hij kan kiezen. Beslissers weten niet wat de waarden van de externe factoren kunnen zijn. Ook de causale relaties binnen het systeem kunnen een bron van onzekerheid zijn. Ze weten niet wat de consequenties van hun handelen zijn. Als laatste kunnen beslissers onzeker zijn over hun preferenties. Wat nu een goed doel lijkt, is dat straks wellicht niet meer. We geven een beslissingssituatie weer zoals in bovenstaande tabel. Horizontaal staan de alternatieve handelwijzen (a1, a2, a3..) en verticaal de scenario s. elk scenario is dan een mogelijke toekomst, waarin elk alternatief a (mogelijk) andere gevolgen heeft. De waarden w in de tabel geven de waardering weer van de gevolgen van alternatief a in scenario s. Wanneer de beslisser in alle scenario s Si (i = 1,..., n) vindt dat alternatief aj ak, (dus wij wik), en in tenminste één scenario dat aij aik (dus wij > wik), dan noemen we alternatief aj stochastisch dominant over alternatief ak, en zeggen we dat aternatief ak stochastisch gedomineerd wordt door alternatief aj. De verzameling alternatieven die niet stochastisch gedomineerd worden noemen we de stochastisch efficiënte alternatieven. Om te kunnen bepalen welke van deze alternatieven de voorkeur verdient zijn dan aanvullende criteria nodig. In de volgende paragraaf bespreken we de vier bekendste criteria die in de besliskundige literatuur worden genoemd. Beslissen onder volledige onzekerheid We spreken van volledige onzekerheid wanneer de beslisser geen enkele informatie heeft over de waarschijnlijkheid van de scenario s. Pierre-Simon Laplace veronderstelde bij gebrek aan enige informatie dat alle scenario s even waarschijnlijk zijn. Allemaal andere mensen (Wald, Hurwicz en Savage) hebben besliscriteria uitgewerkt die nog minder informatie veronderstellen dan het principe van Laplace. In bovenstaande tabel doen we om te beginnen geen enkele aanname over de kans dat een bepaald scenario zich voordoet. Geen van de vijf alternatieven domineert een ander alternatief stochastisch. Nu is de vraag welk alternatief de voorkeur heeft. Maximincriterium van Wald Het maximincriterium van Wald gaat uit van een extreem risico-averse beslisser. Deze beslissers gaan ervan uit dat alles wat mis kan gaan, mis zal gaan, en dat je daarom een keuze moet maken op grond van het worst-case -scenario.

7 In bovenstaande tabel is er per kolom (dus per alternatief) met rood aangegeven in welk scneario de beslisser dit alternatief het laagst waardeert. Het maximincriterium van Wald zegt dan dat je het alternatief met de hoogste laagste waardering de voorkeur geeft. Maximin: de maximaliseert de minimale waardering. In dit voorbeeld zou de beslisser voor alternatief 2 kiezen. Het minste-spijtcriterium van Savage Savage, in reactie op het maximincriterium, stelde dat beslissers niet zozeer risico-avers zijn, maar meer bang om achteraf spijt te krijgen. Hoeveel spijt de beslisser achteraf zal hebben moet je per scenario berekenen. Eerst bepaal je welk alternatief in scenario s de hoogste waardering (Wmax) scoort. Vervolgens bereken je per alternatief a de spijt r als het verschil Wmax Wij. Voorbeeld: Wmax=15(alternatief 3, scenario 3). Alternatief 1, scenario 3 heeft 14 punten. Deze trek je van elkaar af en dan komt op de plek van a1s3 eeen 1 te staan. Let op, je moet wel kijken naar elk scenario apart, dus niet de 15 uit scenario 3 aftrekken van de 10 in scenario 5. Op die manier heeft in scenario s de beslisser 0 spijt van het in dat scenario meest gewaardeerde alternatief, en meer spijt naarmate een alternatief in dat scenario minder goed scoort. Voor elk scenario is de spijt berekend, en per alternatief is het scenario waarin de spijt van dat alternatief het hoogst is rood gearceerd. Volgens dit criterium zou de beslisser voor alternatief 4 moeten kiezen, omdat de maximale spijt het laagst is. Het gemengde optimisme-pessimismecriterium van Hurwicz Hurwicz publiceerde een besliscriterium waarbij de analist de mate waarin de beslisser risico-avers of juist risico-minnend is kan worden weergeven met behulp van een parameter α [0, 1]. De waarde α=0 geeft dan aan dat de beslisser geen enkel risico wil nemen, terwijl bij α=1 de beslisser geen enkel risico uit de weg gaat.

8 In de bovenstaande tabel is per alternatief de hoogst mogelijke waardering Wmax groen gearceerd en de laagst mogelijke waardering Wmin rood. Op de onderste regel staat per alternatief de waarde van het Hurcwicz-criterium: α wmax + (1-α) wmin. Het alternatief met de hoogste som verdient dan de voorkeur, in dit geval alternatief 1. Merk dat als α=0 het optimisme-pessimismecriterium van Hurwicz precies overeenkomt met het maximincriterium van Wald. In dat geval kun je de gewogen somberekening achteerwege laten omdat het voorkeuralternatief direect uit de waarderingsmatrix blijkt, namelijk: de kolom waarin de hoogste waarde in de matrix staat. (in dit voorbeeld alternatief 3) Het onverschilligheidscriterium van Laplace Dit criterium veronderstelt dat alle mogelijke scenario s even waarschijnlijk zijn. Het belangrijkse argument om dit te gebruiken is dat het gebruik maakt van alle informatie met betrekking tot de waarderingen. Er wordt gebruik gemaakt van de formule: Beslissen onder risico Wanneer de gevolgen en daarmee ook het nut van keuzes onzeker zijn, stelt de normatieve nutsbenadering dat een rationele beslisser het verwachte nut maximaliseert. Als we ervan uit gaan dat er n mogelijke toekomstscenario s zijn, en hiervoor bekend is wat de waardering w ij van de beslisser is, kan de rangorde van de beslisser worden bepaald. Dit gaat met de formule e(a j ) = de som (p i *w ij ). P zit hier tussen 0 en 1, en de som van alle p moet 1 zijn. Sequentiële beslissingen onder risico Wanneeer een beslisser achtereenvolgens meer dan één beslissing moet nemen, spreken we van sequentiële beslissingen. Bij de analyse hiervan wordt vaak een gebeurtenis-beslisboom gemaakt. Een GBB bevat drie soorten knopen: Beslisknopen: vierkanten Kansknopen: cirkels Eindknopen: driehoeken (bij elke eindknoop moet een getalswaarde worden gegeven voor het besliscriterium) Een GBB heeft een implicite tijdsdimensie, dit houdt in dat de takken volgtijdelijkheid aangeven. De wortel van de boom moet een beslisknoop zijn die de nu te maken keuze weergeeft. Elk pad vanaf de wortel tot aan een eindknoop beschrijft een mogelijke toekomst. De criteriumwaarde bij de eindknoop geeft dan aan hoe de beslisser de eindsituatie waardeert. Om te bepalen welke keuzes rationeel zijn bereken je van links naar rechts werkend voor elke tak de criteriumwaarde: Een tak die eindigt in een eindknoop heeft als verwachte waarde de waarde van de eindknoop zelf Een tak die eindigt in een kansknoop heeft als verwachte waarde de gewogen som van de waarde van de takken die uit de kansknoop vertrekken(som (kans*uitkomst)) Een tak die eindigt in een beslisknoop heeft als verwachte waarde de waarde van de uit die knoop uitgaande tak met de gunstigste waarde, de hoogste als het besliscriterium bijvoorbeeld opbrengsten is, en de laagste waarde als het besliscriterium bijvoorbeeld kosten is, of het aantal slachtoffers. Een GBB maken in 10 stappen 1. Bepaal de nu te nemen beslissing

9 2. Kies het besliscriterium 3. Benoem de mogelijke alternatieve handelwijzen 4. Bedenk welke externe facctoren van belang zijn. Dat wil zeggen dat ze van invloed moeten zijn op het besliscriterium, en bovendien dat hun impact per keuze-optie moet verschillen(als dit niet het geval is, zou deze factor niet uitmaken voor de keuze van de beslisser) 5. Vertaal deze externe factoren naar gebeurtenissen 6. Ga per gebeurtenis na of de beslisser daarna nog kan handelen (zo ja, herhaal vanaf stap 3) 7. Teken de boomstructuur, begin met de nu te nemen beslissing (de wortel van de boom) en teken voor elke beslissing een vierkant met opties als uitgaande takken, en voor elke gebeurtenis een cirkel met uitkomsten als uitgaande takken 8. Bepaal voor elk blad de waarde van het criterium, gegeven de betreffende opeenvolging van keuzes en uitkomsten langs het pad van wortel naar blad 9. Schat voor elke gebeurtenis de kansverdeling voor de uitkomsten 10. Reken de boom door, door van rechts naar links werkend, voor elke tak de verwachte waarde uit te rekenen: voor eeen takd ie in een blad eindigt is dat simpelweg de waarde van het criterium, voor een tak links van een kansknoop is dat de gewogen som (kans * waarde) van de verwachte waarde van elk van de takken die rechts uit die gebeurtenisknoop spruiten en voor een tak links van een beslisknoop is dat de meest gunstige verwachte waarde van de uit die beslisknoop spruitende takken. VOORBEELD Stel dat je als brandweercommandant de regie voert over de bestrijding van een brand op het terrein van een vuurwerk- fabriek. Je weet dat er veel, mogelijk zelfs zeer veel vuurwerk opgeslagen ligt, waardoor er explosiegevaar bestaat: 10% op een zware explosie, 20% op een lichte. Je kunt de acht brandweerlieden waar je over beschikt het terrein opsturen om te gaan blussen, want daarmee zullen de kansen op een explosie halveren. In plaats daarvan zou je ze de nabije omgeving (binnen een straal van 100 m rondom de fabriek) kunnen laten ontruimen, waardoor in geval van een explosie het aantal slachtoffers kleiner zal zijn. Op grond van deze informatie kun je de eerste vijf stappen doorlopen: 1. De nu te nemen beslissing gaat over de inzet van je brandweerlieden. 2. Het besliscriterium is het aantal slachtoffers. 3. Er zijn (nota bene!) drie keuze-opties: (a) blussen, (b) directe omwonenden evacueren en (c) niets doen. Het is gebruikelijk om bij het construeren van een GBB ook altijd de nuloptie in het model op te nemen; soms is niets doen gunstiger dan handelen. 4. In dit voorbeeld zijn twee externe factoren van belang: de hoeveelheid vuurwerk op het terrein en de wijze waarop de brand om zich heen grijpt. 5. In theorie zou je deze twee factoren als aparte gebeurtenissen kunnen modelleren: er is vuurwerk aanwezig (twee uitkomsten: veel of héél veel) en het vuurwerk ontploft (mogelijke uitkomsten: ja of nee). Maar in dit voorbeeld nemen we die samen tot één gebeurtenis met drie mogelijke uitkomsten (geen explosie, een lichte, of een zware). In stap 6 ga je na of er nog meer beslissingen en gebeurtenissen een rol spelen. In dit voorbeeld kijken we in eerste instantie niet naar wat er na de explosie gebeurt. We gaan dus verder met stap 7: het tekenen van de boomstructuur. Figuur 4 laat zien dat een GBB de vorm van een gekantelde boom heeft: hij vertakt van links naar rechts vanuit de wortel: de nu te nemen beslissing die als vertrekpunt voor analyse wordt genomen.

10 In stap 8 wordt aan elke mogelijke loop der gebeurtenissen (een pad van de wortel tot aan één bepaald blad) de uitkomst bepaald, uitgedrukt in de eenheid van het in stap 2 gekozen besliscriterium. Het berekenen van die uitkomst vergt vaak dat je aannames doet. Zo nemen we in dit voorbeeld aan dat bij een lichte explosie alle mensen omkomen die zich op het terrein zelf bevinden plus 4% van de mensen die zich binnen een straal van 100 m rond de fabriek bevinden; bij een zware explosie sterven de mensen op het terrein plus 8% van de mensen binnen 100 m plus 0.5% van de mensen binnen 500 m. Verder nemen we aan dat er zich in de wijk gemiddeld 50 mensen per hectare ophouden. Op grond van deze inschattingen kun je het aantal slachtoffers bepalen. Allereerst bereken je hoeveel mensen zich binnen de 100-meterzone en de 500-meterzone bevinden. Binnen een straal van 100 meter (= cirkeloppervlak van ca. 3 hectare) bevinden zich 3 50 = 150 personen; binnen een straal van 500 meter (= cirkeloppervlak van ca. 75 hectare) bevinden zich = 3750 personen. De meest plausibele redenering is nu: A. Er zijn 150 personen binnen 100 meter plus 3600 personen tussen 100 en 500 m. B. Na evacuatie tot 100 m zijn er 0 personen binnen 100 m en 3750 personen binnen 500 m. C. Bij een explosie komen alle 8 blussende brandweerlieden om het leven. worden bepaald. In ons voorbeeld waren die kansen afhankelijk van de beslissing: zonder blussen 10% kans op een zware explosie en 20% op een lichte, mét blussen de helft daarvan, dus 5% resp. 10%. Omdat de som van de kansen per kansknoop moet optellen tot 1 is de kans op géén explosie zonder blussen gelijk aan 70% en mét blussen slechts 85%. Zoals te zien in Figuur 5 plaats je de uitkomsten geheel rechts van de boom (elk blad krijgt zo één waarde) en de kansen direct rechts van de betreffende gebeurtenis.

11 Zijn alle kwantiteiten (kansen op gebeurtenissen en waarden van uitkomsten) eenmaal ingevuld, dan kan de boom tot aan de wortel worden doorgerekend (stap 10). Bij het doorrekenen van de boom tegenkomt bereken je de verwachte waarde van de takken die in dat punt bijeen komen. Bij een gebeurtenis met n mogelijke uitkomsten met verwachte waarde w1,..., wn en kansen p1,..., pn is de altijd het alternatief met de gunstigste verwachte waarde, dus in dit voorbeeld de laagste, want hoe minder slachtoffers hoe beter (zou het bijvoorbeeld om opbrengsten in gaan, dan zouden juist hoge waarden gunstig zijn). Kortom: je gaat er bij elke beslisknoop vanuit dat de beslisser op dat punt voor de meest gunstige keuze-optie zal kiezen. Passen we deze regels toe op ons voorbeeld, dan is de verwachte waarde van keuze-optie blussen 0,80*0 + 0,1*14 + 0,05*38 = 3,3 slachtoffers, die van keuze-optie evacueren 0,7*0 + 0,2*0 + 0,1*19 = 1,9 slachtoffers, en die van keuze-optie niets doen 0,7*0 + 0,2*6 + 0,1*30 = 4,2 slachtoffers. Uitgaande van de op basis van aannames bepaalde kansen en waarderingen in het model zou de keuze-optie evacueren dus de vookeur verdienen. Het interpreteren van een GBB Een GBB wordt in het echt zelden of nooit gebruikt om rechttoe-rechtaan via een bereking het beste alternatief te bepalen. Veel blenagrijker is de mogelijkheid om een gevoeligheidsanalyse uit te voeren. De vraag: bij welke kansverdeling zou ik een andere keuze moeten maken? is hierbij belangrijk. Er geldt dat het de mensen zijn die de uiteindelijke keuze bepalen. De modellen spelen slechts een onderliggende rol.

12 Sequentiële beslissingen en adaptieve strategieën De voorbeelden tot nu toe bevvatten alle slechts één beslisknnop. Een GBB kan ook meer dan een beslisknoop bevatten. VOORBEELD Je kan in het vorige voorbeeld ook rekening kunnen houden met de mogelijkheid dat op een lichte explosie een tweede ware explosie volgt. Andere besliscriteria Voor het maken van keuzes onder onzekerheid bestaan diverse strategieën. Elke strategie komt voort uit een bepaalde opvatting over hoe een beslisser risico s weegt. Als een beslisser de kans op winst het belangrijkste vindt, spreek je over een risicominnende beslisser. Als een beslisser juist het risico op verlies wil minimaliseren, spreek je van een risico-averse beslisser. De standaard strategie voor het doorrekenen van een GBB gaat uit van het normatieve nutsmodel van de rationele beslisser, en is dus gericht op maximalisatie van het verwachte nut.

13 Wachtrijtheorie Een wachtrij ontstaat als de capaciteit van een bepaalde server te laag is om aan de vraag die op dat moment aan die service-eenheid wordt gesteld te voldoen. De wachtrijtheorie gaat in op deze problematiek. In bovenstaande tabel zie je een grafische weergave van een eenvoudig wachtrijsysteem. Klanten komen aan en gaan in de wachtrij staan. Als een klant aan de beurt is, wordt deze bediend. Na bediening verlaat de klant de wachtrij. De belangrijkste elementen van een wachtrijsysteem zijn de klanten en de servers. Klant: ieder soort object, dat om service (bediening) vraagt binnen dit systeem. De term klant kan betrekking hebben op mensen, machines, vrachtwagens, patiënten, pallets, vliegtuigen, etc. alles dat bij een faciliteit komt voor bediening. Met de term server bedoeln we elk soort object dat een service kan aanbieden binnen dit wachtrijsysteem. Kan slaan op een telefonist, een monteur, personeel, etc. De toestand van het wachtrijsysteem kan worden beschreven aan hand van de toestand van de wachtrij (leeg, nietleeg) en de toestand van de servers(vrij,bezet). De toestand van een wacchtrij wordt leeg genoemd als er in de wachtrij geen klanten wachten op de bediening. De toestand van een server blijft bezet, zolang er nog klanten in het wachtrijsysteem zijn die bediend moeten worden. De toestand van een wachtrijsysteem verandert als er een gebeurtenis optreedt. Een gebeurtenis is een omstandigheid di een instantane (discrete!) verandering in de toestand van het systeem veroorzaakt. In een wachtrijsysteem met één server zijn er twee verschillende gebeurtenissen die de toetsand van het systeem beïnvloeden. Er komt een nieuwe klant aan (aankomstgebeurtenis) of een klant verlaat het systeem (vertrekgebeurtenis). Het onstaan van de wachtrij en de omvang daarvan is afhankelijk van de volgende vijf factoren: 1. Tussenaankomsttijden (tijd tussen twee klanten) 2. Bedieningstijd (tijd die nodig is om een klant te helpen) 3. Het aantal parallelle servers 4. Capaciteit van het systeem 5. Omvang van de doelgroep Deze worden allemaal besproken hieronder Aankomstproces Klanten kunnen deterministisch of stochastisch aankomen bij een aankomstproces. Bij een deterministische aankomst komen de klanten NIET aan volgens een kansverdeling, bij een stochastische aankomst is dit wel zo. Ook kunnen klanten een voor een aan komen of in groepsverband. Dit kan ook deterministisch of stochastisch zijn. Voor de specificatie van het statische patroon waarmee klanten vanuit een oneindige grote doelgroep in het wachtrijsysteem arrivieren wordt bijna altijd gebruik gemaakt van een Poisson verdeling. Dit is een discrete verdeling die vaak wordt gebruikt om het aantal willekeurige gebeurtenissen gedurende een tijdsinterval te modelleren. Als het aantal aankomsten per uur

14 Poisson verdeeld is kunnen de tussenaankomsttijden getrokken worden uit een exponentiële verdeling. Deze twee hangen altijd samen. Bedieningstijd De wachtrijvolgorde bepaalt welke klant als eerstvolgende aan de beurt is als er een server vrij komt. FIFO: first in, first out LIFO: last in, first out SIRO: service in random order SPT: shortest processing time first PR: service according to priority Bedieningstijden kunnen deterministisch of stochastisch zijn. Het aantal parallelle servers Elk wachtrijsysteem bestaat uit een of meerdere servers en een wachtrij. Als er meerdere servers zijn werken ze parallel. Capaciteit van het systeem In sommige wachtrijen wordt en maximum aan het aantal wachtende klanten in de rij gesteld. Dit noemen we de capaciteit. Het is de som van de maximale lengte van de wachtrij en het aantal bedieningsplaatsen Omvang van de doelgroep De omvang van de doelgroep kan eindig of oneindig zijn. Als op elk willekeurig moment het aantal bediende klanten en het aantal klanten in de wachtrij en verwaarloosbaar klein deel is van de gehele groep potentiële klanten is, dan nmag bij benadering worden uitgegaan van een oneindig grote doelgroep. Het verschil tussen eindig en oneindig ligt in de representatie van de aankomsten in het wachtrijsysteem. In een model met een oneindige doelgroep wordt de hoeveelheid aankomsten niet beïnvloed door het aantal klanten dat de doelgroep verlaten heeft en zich in het wachtrijsysteem bevindt. Bij wachtrijmodellen met een eindige doelgroep hangt de hoeveelheid aankomsten in de wachtrij wel af van het aantal wahtende klanten en het aantal klanten in bediening. Lees voorbeeld 2.7, in 2.8 staan de uitwerkingen Formules uit 2.8 Kans(op wachten) = totaal aantal klanten dat moet wacchten / totaal aantal klanten Gemiddelde wachttijd = totale wachttijd van alle klanten / totaal aantal klanten Kans op onbenutte server = totale onbenutte tijd van de server / totale tijd looptijd simulatie Servicetijd = totale servicetijd / totaal aantal klanten Gemiddelde aankomsttussentijd = som van alle aankomsttussentijden / (aantal aankomsten -1) Markov Ketens Notatie van Kendall: A/B/c/N/K A: aankomsttussentijdenverdeling B: bedieningsverdeling c: aantal parallelle servers N: capaciteit van het systeem K: de grootte van de doelgroep Bij A en B vul je de volgende mogelijkheden in: M: exponentieel

15 D: deterministisch, constant Ek: erlang verdeling van orde k G: random, algemeen Let op: A is altijd een M Overgangsgedrag: als er verandering optreedt, bijvoorbeeld een winkel die open gaat. Stationair gedrag: als er geen verandering optreedt. Een tijdafhankelijke waarde voor dit systeem is L(t), het aantal klanten in het systeem op tijd t (in het systeem=aantal klanten in de wachtrij plus het aantal klanten dat bediend wordt). De waarde van dit systeem kan alleen 1 of 0 zijn, de service is bezig of niet bezig. Een Markov keten is een reeks van stochastisch gebeurtenissen (gebaseerd op kansen in plaats van zekerheden) waarbij de huidige toestand van het systeem onafhankelijk is van alle voorgaande toestanden van het systeem (uitgezonderd van de huidige toestand). Wachtrijsystemen waarvoor geldt dat de tussenaankomsttijden exponentieel verdeeld zijn met een gemiddelde van λ aankomsten per tijdseenheid (de tussenaankomsttijden zijn exponentieel verdeeld met parameter λ). We kunnen nu allemaal formules afleiden waarmee we de prestaties van de wachtrijsystemen kunnen berekenen. De prioriteitsvolgorde van dergelijke modellen is FIFO. Voor het meten van de prestatie van het systeem wordt een aantal prestatie-indicatoren gebruikt: (L): het gemiddelde aantal klanten in het systeem (L q ): het gemiddeld aantal klanten in het systeem (w): de gemiddelde tijd die een klant doorbrengt in het systeem (w q ): de gemiddelde tijd die een klant doorbrengt in de wachtrij (roh): de bezettingsgraad van de server Pn: de kans dat er zich precies n klanten in het systeem vinden. De bezettingsgraad van een server is de tijd dat een server gedurende een bepaalde tijdseenheid bezet is. Het is afhankelijk van: Gemiddeld aantal klanten dat per tijdseenheid arriveert (λ) Gemiddeld aantal klanten dat per tijdseenheid bediend kan worden (µ) Aantal servers (c) De bezettingsgraad wordt dan : Roh = λ / (µ*c) Een wachtrijsysteem komt alleen in evenwicht als de bezettingsgraad kleiner is dan 1. Als de bezettingsgraad groter dan 1 is dan komen er per uur meer klanten binnen dan de servers kunnen verwerken. Als de bezettingsgraad 1 is, komen er evenveel klanten aan als de server kan verwerken.

16 Evenwichtstoestand Het evenwicht treedt in de wachtrij met oneindige capaciteit en doelgroep alleen op als de bezettingsgraad kleiner is dan 1. Het systeem is in evenwicht (stationair) als de waarschijnlijkheid dat het systeem zich in een gegeven toestand bevindt niet tijdsafhankelijk is. Little s equation Als er N klanten geobserveerd zijn in tijd T, dan geldt: De som van de tijden dat een klant in het systeem is (W) is gelijk aan de integraal van het aantal klanten in het systee mals functie van de tijd over de tijd dat het systeem beschouwd wordt. Voorbeeld: λ=n/t L=λ*w Met andere woorden: het gemiddeld aantal klanten in het systeem is gelijk aan het product van het gemiddelde aantal klanten dat per tijdseenheid aankomt en de gemiddelde tijd dat een klant in het systeem verblijft. w=l/λ w q =w-(1/µ) L q =λ*w q M/M/1 systeem Tussenaankomsttijd: 1/λ Bedieningstijd: 1/µ Vanwege de exponentiële verdeling geldt dat de variantie gelijk is aan sigma 2 = 1/µ 2. De eigenschap van de exponentiele verdeling is dat het gemiddelde gelijk is aan de standaarddeviatie. L=som (n*p n ) P 0 *λ=p 1 *µ L = λ/(µ-λ) (hier nog naar kijken) Voor de overige systemen, dit staat allemaal op je formuleblad!! Te lange wachtrijen in M/../1 systemen kunnen worden verminderd door: - Het verminderen van de bezettingsgraad van de server roh door λ te verlagen µ te verhogen - De variantie sigma 2 in de bedieningstijd te verminderen Voor de rest van de verschillende systemen, lees het eind van het dictaat even door!