vwo 5 wiskunde B deel 1 de Wageningse Methode

Transcriptie

1 vwo 5 wiskunde B deel 1 de Wageningse Methode

2 Copyright 2016 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Dolf van den Hombergh, Peter Kop, Henk Reuling, Daan van Smaalen Homepage ISBN Illustraties Wilson Design Uden Distributie Iddink Voortgezet Onderwijs BV, Postbus 14, 6710 BA Ede Niets uit deze uitgave mag verveelvuldigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op elke andere wijze ook, zonder voorafgaande toestemming van de houder van het copyright.

3 Inhoudsopgave 7 Regels voor differentiëren Stand van zaken De afgeleide van een machtsfunctie De kettingregel De productregel De quotiëntregel De tweede afgeleide Eindpunt Extra opgaven Rekentechniek 40 8 Goniometrie Cirkelbewegingen Eigenschappen van sinus en co Vergelijkingen met sinus en co De somformules De afgeleide van sinus en co Vergelijkingen en gelijkheden Eindpunt Extra opgaven 76 9 Rekenen aan lijnen Intro Vergelijkingen van lijnen Projecties Helling en hellingshoek Afstand van punt tot lijn Het vermoeden van de intro GeoGebra practicum Eindpunt Extra opgaven 119 Antwoorden Regels voor differentiëren Goniometrie Rekenen aan lijnen 154 Hints Regels voor differentiëren Goniometrie Rekenen aan lijnen 169 Index 170 1

4 Voorwoord Dit boek bevat het derde deel van de leerstof voor het vak wiskunde B van het vwo. In de bovenbouw maak je gebruik van een grafische rekenmachine. Als je een nieuwe optie van je grafische rekenmachine kunt gebruiken, is dit gemarkeerd door nevenstaand mannetje. Aangezien er verschillende merken en modellen grafische rekenmachines zijn, vind je in dit boek geen knoppencursus. Op de website van de Wageningse Methode staan verwijzingen naar bronnen met informatie over het gebruik en de belangrijkste opties van de grafische rekenmachine. Maar je mag natuurlijk ook je docent om hulp vragen. In dit boek worden iconen gebruikt. De blauwe iconen geven de structuur van een paragraaf aan. Hierdoor zie je direct waar bijvoorbeeld een stuk theorie wordt behandeld of waar een historische wetenswaardigheid de revue passeert. De groene iconen vertellen je iets over een specifieke opgave, bijvoorbeeld dat de opgave lastig is of dat er een werkblad bij de opgave hoort. Een overzicht van de gebruikte iconen vind je op de volgende pagina. Met dank aan... Voor het schrijven van dit boek is gebruikt gemaakt van hoofdstukken uit eerdere versies van de Wageningse Methode en het lesmateriaal dat mede door schrijvers van de Wageningse Methode voor de commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs (ctwo) is ontwikkeld. We hebben dankbaar gebruik gemaakt van de ideeën van Aad Goddijn die het meetkundeprogramma voor vwo wiskunde B heeft opgezet. Onze dank gaat verder uit naar Richard Berends, Theo van den Boogaart, Josephine Buskes, Gert Dankers, Dick Klingens en Sieb Kemme voor hun inbreng al dan niet als pilotdocent bij het ontwikkelen van het lesmateriaal voor het vwo. Tot slot... Tijdens het ontwikkelen van dit boek is op 8 december 2013 geheel onverwacht onze zeer gewaardeerde vriend Leon van den Broek overleden. Leon zette zich op ongekende wijze in voor motiverend en activerend wiskundeonderwijs. Hij was wars van het aanleren van onbegrepen routines. Leon wilde dat leerlingen de schoonheid van wiskunde gingen zien en beleven wiskunde als een onuitputtelijke bron van interessante onderwerpen en prachtige problemen. Actief met wiskunde bezig zijn zelf ontdekken en inzichtelijk leren stond daarbij voor Leon centraal. Het was zijn overtuiging dat wiskunde op die manier een goed te begrijpen vak wordt en dat het leerproces dat de leerlingen doormaken hen blijvend vormt. Het wegvallen van Leon betekent een zeer groot gemis voor de Wageningse Methode: hij was de geestelijk vader en drijvende kracht. We zijn Leon zeer dankbaar voor zijn uitzonderlijke inzet voor de Wageningse Methode en het wiskundeonderwijs. We zullen zijn creativiteit, gedrevenheid, idealisme en inspiratie enorm missen. De auteurs van de Wageningse Methode 3

5 Overzicht iconen... Theorie Hier wordt iets benadrukt, samengevat of nader toegelicht. Lees de theorie goed door en stel vragen als je iets niet begrijpt. Theorie die je moet kennen, staat in rode letters. Belangrijke woorden zijn vetgedrukt. Je vindt deze woorden terug in de index achterin het boek. Voorbeeld In een voorbeeld zie je hoe de theorie gebruikt wordt om een vraag op te lossen. Zorg dat je het voorbeeld kunt volgen en stel vragen als je het voorbeeld niet begrijpt. Opmerking Let op, er wordt iets opmerkelijks behandeld of je wordt ergens op geattendeerd. Een opmerking bestudeer je aandachtig, maar hoef je niet te leren. Historie Hier vind je historische feiten en wetenswaardigheden. Werkblad Bij deze opgaven hoort een werkblad. Je vindt het werkblad op de site Computer Bij deze opgaven of uitleg maak je gebruik van de computer en/of de digitale versie van de Wageningse Methode. Echt, moet kunnen Deze opgaven zijn standaardopgaven die je zonder veel moeite op moet kunnen lossen. Puzzelen Bij deze opgaven moet je even puzzelen. Geef niet te snel op. Pittig Deze opgaven zijn wat moeilijker. Hint Er wordt een hint gegeven die je kan helpen bij het oplossen van de opgave. Je vindt de hints achterin het boek. Facultatief Deze opgaven/paragraaf kun je overslaan zonder de draad kwijt te raken. 4

6 HOOFDSTUK 8 Goniometrie 43

7 8.1 Cirkelbewegingen Bewegingen In dit hoofdstuk houden we ons bezig met bewegingen. We beginnen met wat voorbeelden. Planeetbanen zijn uitvoerig bestudeerd door Johannes Kepler met behulp van talloze waarnemingen van onder andere Tycho Brahe. Hij formuleerde wetten waaraan de beweging van een planeet voldoet. Zo ontdekte hij dat de planeten over ellipsvormige banen om de zon bewegen. 1 Een fiets rijdt. We volgen het ventiel van een van de wielen. Het verplaatst zich in de rijrichting en maakt gelijktijdig een cirkelbeweging. Het ventiel beschrijft een kromme baan: een cycloïde. Hieronder staat (een deel van) de cycloïde. De dikte van de band is verwaarloosd. De afmetingen zijn in cm. Hoe de cycloïde ontstaat, kun je in een applet bekijken. a Wat is de diameter van de band? De periode van de beweging is ongeveer 250 cm. b Geef de lengte van de periode exact (met π) en ook in één decimaal nauwkeurig. De fiets heeft een snelheid van 36 km/u. c Bepaal de tijd waarin een periode doorlopen wordt. 44 HOOFDSTUK 8

8 8.1 Cirkelbewegingen Spiralen Als je een wenteltrap op loopt, maak je een spiraalbeweging. Hieronder zie je een dubbelspiraaltrap, in 1932 als nieuwe toegang tot het Vaticaans Museum gebouwd. Erwin Gatz, Roma Christiana aanzicht spiraal Albrecht Dürer Albrecht Dürer ( ) was behalve schilder ook wiskundige. Geïnspireerd door de Italiaanse renaissancisten, behandelde Dürer diverse meetkundige problemen in Unterweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt (1525). Hieruit komt nevenstaande aanzicht van een spiraal. In dit werk vind je ook hoe je regelmatige veelvlakken uit papier kunt vouwen. In elk van de bewegingen die we hiervoor bekeken hebben speelt de cirkelbeweging een rol. Die nemen we in het volgende onder de loep. Goniometrie 45

9 8.1 Cirkelbewegingen 2 Op de kermis staat een reuzenrad. Als het goed op gang is, draait het regelmatig één keer per minuut rond (linksom). We volgen gondel A. De hoogte van de gondel boven de grond varieert van 1 tot 21 meter. Op een zeker ogenblik is gondel A 11 meter hoog; dat tijdstip is t = 0, zie figuur 1. Hij gaat dan omhoog. Zijn hoogte t seconden later noemen we H(t) (meter). We nemen 0 t 120. a Voor welke t geldt: H(t) = 1? b Wat is de gemiddelde hoogte van de gondel? Op welke tijdstippen wordt die bereikt? c Maak een schets van de grafiek van H. Het is mogelijk heel precies te berekenen hoe hoog gondel A is op een gegeven tijdstip. In figuur 2 staat een rechthoekige driehoek; A is de plaats van de gondel op t = 10, M is het middelpunt van het rad. Van deze driehoek weet je een zijde en kun je hoek α berekenen. d Bereken H(10) in drie decimalen. e Bereken H(35). Bekijk een spaak van het rad. f Over hoeveel graden per seconde draait een spaak? We noemen dit de hoeksnelheid waarmee het rad ronddraait (in graden per seconde). Bekijk een punt op de rand van het rad (bijvoorbeeld A). g Bereken exact hoe snel (in m/s) dit punt ronddraait. De grafiek van H uit opgave 2 op het interval [60,120] is een herhaling van de grafiek van H op [0,60]; preciezer gezegd: H(t + 60) = H(t), voor alle waarden van t. Er is geen korter tijdsinterval waarin herhaling optreedt. We zeggen: de functie H is een periodieke functie met periode Hieronder staat de grafiek van een periodieke functie f. a b Wat is de periode? Bepaal f(100) en f( 100). 46 HOOFDSTUK 8

10 8.1 Cirkelbewegingen 4 We bekijken de beweging van een kogeltje over de eenheidscirkel, dat is de cirkel met middelpunt O(0,0) en straal 1. De hoeksnelheid van het kogeltje is 1 /s (graad per seconde). De hoogte van het kogeltje boven de x-as noemen we h(t), t in seconden. Op t = 0 is het kogeltje in (1,0). De draairichting is positief, dat wil zeggen tegen de wijzers van de klok in. We bekijken h(t) voor 360 t 360. We verdelen de cirkel in twaalf even lange stukken, zie figuur 2. Bij elk verdeelpunt horen twee tijdstippen t uit het interval [ 360,360]. (Bij het punt (1,0) horen er drie.) a Neem de figuur over en schrijf bij elk verdeelpunt de juiste tijdstippen. b Bereken bij elk tijdstip de exacte hoogte. De tabel hieronder met exacte waarden kan je van pas komen. c Teken de grafiek van h. In de vierde klas ben je de functie h ook tegen gekomen: sin(t ) is hetzelfde als h(t). d e Controleer enkele antwoorden van onderdeel b met de GR. Zet hem daarvoor in de stand Degree. Teken de grafiek van de functie h op de GR. h(t) is de y-coördinaat van het kogeltje op tijdstip t. We kunnen ook de x-coördinaat van het kogeltje op tijdstip t bekijken. In het hierboven genoemde hoofdstuk hebben we die cos(t ) genoemd. f Bereken cos(t ) bij de waarden van t uit a. Geef de exacte waarden. g Teken de grafiek van de functie b(t) = cos(t ) op het interval [ 360,360]. h Controleer je grafiek met de GR. Goniometrie 47

11 8.1 Cirkelbewegingen 5 Een kogeltje beweegt met constante snelheid over een cirkel. Er is een verband tussen de snelheid waarmee dat kogeltje ronddraait, de straal van de cirkel en de hoeksnelheid van het kogeltje. Neem aan dat de hoeksnelheid van het kogeltje 30 /s is. a Wat is de snelheid van het kogeltje (in m/s) als de straal van de cirkel 1 m is? Laat π in je antwoord staan. En als de straal 3 m is? Wat is de straal van de cirkel als het kogeltje met een snelheid van 2π m/s beweegt? b Wat is de hoeksnelheid van een kogeltje dat met snelheid 6 m/s over een cirkel met straal 1 m beweegt? Laat π in je antwoord staan. 6 In een boekje over de molen van Oirsbeek staat het volgende. De snelheid van de wiekuiteinden kan oplopen tot 120 km per uur. Dit betekent dat elke halve seconde een wiek voorbij zoeft. Hoe lang zijn de wieken van de molen? Een Engelsman geeft zijn lengte in "inch", een Nederlander in centimeter". Een hoek kan ook in verschillende maten gemeten worden. De hoekmaat die we tot nu toe gebruikt hebben is de graad, (Degree op de GR). Een middelpuntshoek van 1 hoort bij een cirkelboogje dat gelijk is aan het 360-ste deel van de cirkelomtrek. Je gebruikt je geodriehoek om een hoek in graden te meten. De verdeling van de cirkelomtrek in 360 delen is afkomstig van de Mesopotamiërs. Een andere manier om de grootte van een hoek te geven is door de lengte van de boog te meten die de benen van de hoek van de eenheidscirkel afsnijden als je het hoekpunt in het middelpunt legt. Deze booglengte is de hoek in radialen. Een middelpuntshoek van 1 radiaal (kortweg rad) hoort bij een cirkelboog die precies even lang is als de straal van de cirkel. De standaardcirkelbeweging 7 Een kogeltje beweegt met een hoeksnelheid van 1 rad/s. a Hoe lang duurt één rondje? Laat π in je antwoord staan. b Welke hoek is groter: een hoek van 60 of een hoek van 1 rad? c Wat is de snelheid waarmee het kogeltje over de cirkel beweegt als de straal van die cirkel 1 is? En als de straal r is? 48 HOOFDSTUK 8

12 8.1 Cirkelbewegingen 8 Neem de omrekeningstabel over en vul in. Als we sin(t) opschrijven bedoelen we: sin(t rad). 9 Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging, dat wil zeggen: het beweegt over de eenheidscirkel met hoeksnelheid 1 rad/s in positieve richting, op t = 0 is het in (1,0). a Hoe lang duurt één rondje? b Met welke snelheid beweegt het kogeltje? c Ga na dat de x-coördinaat op tijdstip t gelijk is aan cos(t) en de y-coördinaat gelijk aan sin(t). De grafieken van x(t) = cos(t) en y(t) = sin(t) verschillen weinig van de grafieken die je in opgave 4 hebt getekend. d Wat is het verschil? e Wat is de periode van de functies? Je kunt de grafieken met de GR tekenen. f Doe dat. Zorg dat de GR in de stand Radian staat. Opmerking Hieronder zie je de grafiek van de functie sinus en cosinus. Door de invoer zoals gewoonlijk x te noemen in plaats van t, kunnen we die functies zó noteren: y = sin(x) en y = cos(x). De grafiek van de functie sinus is een voorbeeld van een ideale golf. Andere ideale golven, zoals bijvoorbeeld de grafiek uit opgave 2, kunnen met behulp van de functie sinus beschreven worden. Dergelijke grafieken noemen we sinusoïden. Het aanzicht van een spiraal (zie de tekening van Dürer) is een sinusoïde. In een applet kun je mooi zien hoe de grafieken van sin en cos uit de cirkelbeweging ontstaan. Goniometrie 49

13 8.1 Cirkelbewegingen 10 a Hoe verandert de grafiek van y = sin(x) als je de hoeksnelheid van het kogeltje halveert? Welke formule hoort bij die grafiek? Controleer je formule op de GR. b Hoe verandert de grafiek van y = sin(x) als je het kogeltje niet over de eenheidscirkel laat lopen, maar de straal half zo groot neemt (de hoeksnelheid is 1 rad/s)? Welke formule hoort bij die grafiek? Controleer je formule op de GR. Een kogeltje dat de standaardcirkelbeweging maakt, bevindt zich op tijdstip t in het punt (cos(t), sin(t)). x(t) = cos(t) We schrijven dit vaak als: { y(t) = sin(t) of korter x = cos(t) { y = sin(t). We noemen dit: de bewegingsvergelijkingen van het kogeltje, ook wel een parametervoorstelling van de baan die het kogeltje beschrijft: de coördinaten van de plaats van het kogeltje zijn functies van de parameter t. Zoek uit hoe je de standaardcirkelbeweging op je GR kunt maken. Zorg dat de GR in de stand Radian staat. 11 Teken de standaardcirkelbeweging op de GR. Zorg voor een vierkant scherm. Let op de waarden van de parameter in het WINDOW-menu. 12 Als je de waarde van de parameter laat lopen van 0 tot 2π, krijg je precies één volle cirkelbeweging. De GR berekent een aantal punten van de cirkel. Dit aantal hangt af van stapgrootte die je voor de parameter gekozen hebt. Vervolgens worden deze punten met elkaar verbonden door rechte lijntjes. Als je de stapgrootte te groot maakt, krijg je geen vloeiende cirkel op het scherm. a Probeer de stapgrootte en het interval voor de parameter zó in te stellen dat je een vijfpuntige ster krijgt zoals in de figuur. b Bereken de coördinaten van de hoekpunten van de vijfpuntige ster die op de cirkel liggen (in drie decimalen). 50 HOOFDSTUK 8

14 8.1 Cirkelbewegingen Cirkelbewegingen In de volgende opgaven experimenteren we wat met cirkelbewegingen. 13 We veranderen de standaardcirkelbeweging op één punt: het kogeltje moet met de wijzers van de klok meedraaien. a Hoe moet je de x(t) en y(t) veranderen? b Controleer met de GR of je veranderingen goed zijn. c Schets de grafiek van y. (y(t) op de verticale en t op de horizontale as). Hoe ontstaat de grafiek van y uit de grafiek van de functie sinus? 14 We veranderen de standaardcirkelbeweging: de baan van het kogeltje moet een cirkel met straal 2 worden. De omlooptijd van een rondje blijft 2π. Het startpunt (dat wil zeggen de plaats op t = 0) is (2,0). a Hoe moet je x(t) en y(t) veranderen? b Controleer met de GR of het klopt. c Schets de grafiek van y. Hoe ontstaat de grafiek van y uit de grafiek van de functie sin? 15 We bekijken de beweging met parametervoorstelling x = cos(3t) { y = sin(3t). a Hoe ziet de baan eruit? (Probeer het antwoord te geven zonder GR te gebruiken.) b Wat is de hoeksnelheid? c Wat is het startpunt? y = sin(3t) d Hoe ontstaat de grafiek van deze functie uit de grafiek van de functie sin? 16 Het kogeltje beweegt weer over de eenheidscirkel met een hoeksnelheid van 1 rad/s, in positieve zin, maar is overal één seconde later, dan bij de standaardcirkelbeweging het geval is. a Geef de bijbehorende parametervoorstelling. Hint 1. b Controleer je antwoord met de GR. c Schets de grafiek van y = sin(t 1). Hoe krijg de grafiek van deze functie uit de grafiek van de functie sinus? Goniometrie 51

15 8.1 Cirkelbewegingen 17 Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging. We verplaatsen de cirkel: het middelpunt wordt (2,3). Het startpunt is dan (3,3); de hoeksnelheid blijft 1 rad/s. a Geef de bijbehorende parametervoorstelling. b Controleer je antwoord met de GR. c Schets de grafiek van y = 3 + sin(t). Hoe ontstaat de grafiek van deze functie uit de grafiek van de functie sin? 18 Bekijk de cirkelbewegingen geparametriseerd door: x = 2 cos(3t) 1 { y = 2 sin(3t) + 4 en x = 2 cos(3t π) 1 { y = 2 sin(3t π) + 4. a Geef van beide bewegingen het middelpunt en de straal van de baan en de hoeksnelheid waarmee de baan doorlopen wordt. Controleer je antwoorden met de GR. Beide bewegingen gaan over dezelfde cirkel, met dezelfde hoeksnelheid. b Teken die cirkel en geef daarop aan waar de bewegingen beginnen (dus zijn op t = 0). Opmerking De tweede beweging in opgave 18 loopt steeds een boog van 2 3 π radialen (120 ) vóór op de eerste beweging. We zeggen: de fasehoek bij de tweede beweging is 2 3 π radialen (ten opzichte van de eerste beweging). De fasehoek bij de eerste beweging is 0 radialen. 19 We bekijken de volgende bewegingen. Het startpunt is de plaats waar het kogeltje is op t = 0. a Bepaal bij elke beweging de fasehoek. b Maak elk van de bovenstaande cirkelbewegingen op de GR. 52 HOOFDSTUK 8

16 8.1 Cirkelbewegingen ω, r, ϕ, a en b zijn getallen, ω 0, r > 0. Dan zijn: { x = a + r cos(ωt + ϕ) y = b + r sin(ωt + ϕ) de bewegingsvergelijkingen van een kogeltje over de cirkel met straal r en middelpunt (a, b). De hoeksnelheid is ω. De fasehoek is ϕ. 20 Een punt heeft coördinaten (a, b). a Wat zijn de coördinaten van het spiegelbeeld van dat punt in de lijn met vergelijking y = x? x = sin(t) Bekijk de beweging met parametervoorstelling { y = cos(t). De baan is de eenheidscirkel. b Bepaal met behulp van a het startpunt, de richting en de hoeksnelheid. c Wat zijn de waarden van ω, r, ϕ, a, en b die bij deze beweging horen? Volgens c moet gelden: sin(t) = cos( 1 2π t) en cos(t) = sin( 1 2 π t). d Controleer dat met de GR door de grafieken van de functies x(t) = cos( 1 2 π t) en y(t) = sin( 1 2π t) te tekenen. Voor alle waarden van t geldt: sin(t) = cos( 1 2 π t) en cos(t) = sin( 1 2 π t). 21 Het equivalent voor deze formules voor hoeken uitgedrukt in graden is: sin (α) = cos (90 α) en cos (α) = sin (90 α). Hoe kun je deze formules controleren in een rechthoekige driehoek voor 0 < α < 90? Goniometrie 53

17 8.1 Cirkelbewegingen 22 Geef de bewegingsvergelijkingen van het eindpunt van een secondewijzer die lengte 2 heeft en als draaipunt de oorsprong. Kies als startpunt (0,2) en reken de tijd in seconden. 23 Bekijk de volgende bewegingen. Probeer de baan te beschrijven en controleer je antwoord met de GR. Verklaar het resultaat. x = cos(t) a { y = 2 sin(t) x = 2 cos(t) b { y = 2 cos(t) 54 HOOFDSTUK 8

18 8.2 Eigenschappen van sinus en co Formules voor sinus en cosinus 24 Twee kogeltjes maken een beweging over de eenheidscirkel. x = cos (t) De bewegingsvergelijkingen zijn voor kogeltje 1: { y = sin (t) x = cos(t + en voor kogeltje 2: 1 4 π) { y = sin(t π). Het tweede kogeltje heeft dus een booglengte van 1 4 π voorsprong op het eerste kogeltje. a Bepaal de tijdstippen t tussen 0 en 2π waarop de kogeltjes op gelijke hoogte zijn. b Bepaal de tijdstippen t tussen 0 en 2π waarop de kogeltjes dezelfde x-coördinaat hebben. In opgave 24a heb je oplossingen gevonden van de vergelijking: sin(t) = sin(t π), namelijk t = 3 8 π en t = π. Vanwege het periodiek karakter van de cirkelbeweging, zijn er meer oplossingen van deze vergelijking. Alle oplossingen zijn: t =, 3 8 π 4π, 3 8 π 2π, 3 8 π, 3 8 π + 2π, 3 8π + 4π,... en t =, π 4π, π 2π, π, π + 2π, 1 3 8π + 4π,... We schrijven die oplossingen zó op: t = 3 8 π + k 2π of t = 1 3 8π + k 2π, met k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... Het rijtje t =, 3 8 π 4π, 3 8 π 2π, 3 8 π, 3 8 π + 2π, 3 8π + 4π,... kun je op meer manieren kort noteren. Zó: t = 2 3 8π + k 2π, en ook zó: t = 1 5 8π + k 2π met k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... Ga dat na. Opmerking In plaats van k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... schrijven we ook wel k geheel, of we laten dat weg en nemen stilzwijgend aan dat k geheel is. 25 In opgave 24b heb je oplossingen van de vergelijking cos(t) = cos(t + 1 4π) gevonden. Schrijf alle oplossingen van deze vergelijking op. Gebruik de bovenstaande notatie. Goniometrie 55

19 8.2 Eigenschappen van sinus en co 26 Hiernaast is de eenheidscirkel getekend met daarop het punt P (cos(t), sin(t)). a Teken op het werkblad de punten Q(cos( t), sin( t)), R(cos(π + t), sin(π + t)) en S(cos(π t), sin(π t)). b P en Q liggen symmetrisch ten opzichte van de x-as, dus: 1. cos(t) = cos( t) en 2. sin( t) = sin(t). Leid net zo af: 3. sin(t + π) = sin(t) 4. cos(t + π) = cos(t) 5. sin(π t) = sin(t) 6. cos(π t) = cos(t) In paragraaf 1 hebben we gezien: 7. sin( 1 2π t) = cos(t) 8. cos( 1 2π t) = sin(t) 27 a Neem een waarde voor t en bereken daarvoor met de GR: (sin(t)) 2 + (cos(t)) 2. b Verklaar het opmerkelijke resultaat. Hint 2. Opmerking In plaats van (sin(t)) 2 schrijven we in het vervolg meestal sin 2 (t). sin 2 (t) + cos 2 (t) = 1 28 Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging. Op een zeker tijdstip t geldt: cos(t) = 4 5. a Teken de eenheidscirkel en geef daarop zo goed mogelijk de plaatsen aan waar het kogeltje zich kan bevinden. b Bereken de y-coördinaat bij elke positie, zonder rekenmachine. c Bereken exact: cos(t + π) en sin(t 1 2 π). 56 HOOFDSTUK 8

20 8.2 Eigenschappen van sinus en co Voorbeeld Door in formules te substitueren krijg je andere formules. Als je bijvoorbeeld in formule 8 in plaats van t invult t π krijg je: cos( 1 2 π (t π)) = sin(t π). En cos( 1 2 π (t + 1 2π)) = cos( t) = cos(t) (dit laatste volgens formule 2). Dus vind je een nieuwe formule: 9. sin(t + 1 2π) = cos(t). Dat dit een goede formule is, kun je natuurlijk ook in de eenheidscirkel controleren. 29 Druk uit in cos(t) of sin(t): cos(t π), sin(t + 3π), cos( t π) en sin(t π). We verzamelen de formules. 1. cos(t) = cos( t) 2. sin( t) = sin(t) 3. sin(t + π) = sin(t) 4. cos(t + π) = cos(t) 5. sin(π t) = sin(t) 6. cos(π t) = cos(t) 7. sin( 1 2π t) = cos(t) 8. cos( 1 2π t) = sin(t) 9. sin 2 (t) + cos 2 (t) = 1 (stelling van Pythagoras) 10. cos(t + 1 2π) = sin(t) 11. sin(t + 1 2π) = cos(t) Formules toepassen 30 Gegeven is de functie: y = sin(x) + sin(x π) + sin(x + π) + sin(x π). a Teken de grafiek op de GR. b Verklaar het opmerkelijke resultaat met de formules hierboven. 31 Teken op de GR de grafieken van: y = sin 2 (2x) + cos 2 (2x) en y = (2 sin(x)) 2 + (2 cos(x)) 2. Verklaar het opmerkelijke resultaat. Hint Bewijs: sin 2 (x) + sin 2 (x π) + sin2 (x + π) + sin 2 (x π) = 2. Schrijf op welke formules je gebruikt. Goniometrie 57

21 8.2 Eigenschappen van sinus en co 33 Laat zien dat sin 2 (x) = (1 cos(x))(1 + cos(x)). 34 a Laat zien dat sin(3t 1) + sin(1 3t) = 0 voor alle t geldt. b Laat zien dat cos(3t 1) + cos(1 3t) = 0 niet voor alle t geldt. Zoek één waarde van t met cos(3t 1) + cos(1 3t) = Laat zien dat voor alle x geldt: cos(x π) + sin(x 1 6π) = Bereken langs algebraïsche weg: sin 2 ( 14 2 π) + sin2 ( 14 3 π) + sin2 ( 14 4 π) + sin2 ( 14 5 π). Hint 4. x = cos(t) 37 Gegeven is de beweging: { y = sin 2 (t). a Teken de beweging op de GR. De baan is een deel van een parabool met top (0,1), dus met vergelijking y = p x 2 + 1, voor zekere p. b Bepaal de waarde van p. c Toon aan dat elk punt (cos(t), sin 2 (t)) aan de vergelijking van de parabool voldoet. 38 Een dynamo geeft een wisselspanning V = 20 sin( 1 5πt), V in volt en t in seconden. a Hoe ontstaat de grafiek van de functie V uit die van de sinusfunctie? b Wat is de periode van V? Hoeveel periodes zijn er per seconde (de zogenaamde frequentie)? De gemiddelde waarde van V is 0. c Wat is de maximale (positieve) afwijking hiervan, de zogenaamde amplitude? 58 HOOFDSTUK 8

22 8.3 Vergelijkingen met sinus en co Voorbeeld Er zijn twee getallen t tussen 0 en 2π zo dat sin(t) = 0,4. Welke waarden zijn dat? In het plaatje hiernaast zijn de bijbehorende punten op de eenheidscirkel aangegeven. Je rekenmachine levert je één van deze twee waarden via de inverse van de sinus: sin 1 (0,4) = 0, De andere waarde vind je door het bijbehorende punt te spiegelen in de y-as: π 0, = 2, Bereken (in drie decimalen nauwkeurig) de getallen t tussen 0 en 2π waarvoor sin(t) de volgende waarden heeft. Teken eventueel een plaatje in de eenheidscirkel. sin(t) = 0,7 sin(t) = 0,3 sin(t) = 1,2 sin(t) = 1,0 40 In het voorbeeld hierboven heb je de getallen t gevonden tussen 0 en 2π waarvoor geldt: sin(t) = 0,4. Geef ook de getallen t tussen 2π en 4π met sin(t) = 0,4. En de getallen t tussen 4π en 6π met sin(t) = 0,4. Opmerking Alle oplossingen van de vergelijking sin(t) = 0,4 zijn: 0,412 + k 2π en 2,730 + k 2π met k geheel. Zie opgave 24. Voorbeeld Er zijn twee getallen t tussen 0 en 2π zo dat cos(t) = 0,4. Welke waarden zijn dat? In het plaatje hiernaast zijn de bijbehorende punten op de eenheidscirkel aangegeven. Je rekenmachine levert je één van deze twee waarden: 1, Door het bijbehorende punt te spiegelen in de x-as, vind je nog een oplossing: 1, De andere oplossing tussen 0 en 2π is: 1, π = 5, Bereken de getallen t tussen 0 en 2π waarvoor de cos(t) de volgende waarden heeft. Teken eventueel een plaatje in de eenheidscirkel. cos(t) = 0,7 cos(t) = 0,3 cos(t) = 1,2 cos(t) = 1,0 Goniometrie 59

23 8.3 Vergelijkingen met sinus en co x = cos(t) 42 Twee kogeltjes bewegen, het eerste volgens: { y = sin(t) x = cos(2t) het tweede volgens: { y = sin(2t). a Geef op de eenheidscirkel zo nauwkeurig mogelijk de punten aan waar het eerste kogeltje is als beide kogeltjes op gelijke hoogte zijn. (Dat zijn vier plaatsen.) b Bepaal exact de tijdstippen tussen 0 en 2π waarbij de kogeltjes gelijke hoogte hebben. 43 Gegeven twee functies: y 1 = sin(2x) en y 2 = sin(3x). a Teken de grafieken van beide functies op de GR. Geef van beide de periode. De vergelijking sin(2x) = sin(3x) heeft x = 1 5π als exacte oplossing. b Controleer dat zonder je rekenmachine te gebruiken. De tekening van de grafieken op de GR doet vermoeden dat de oplossingen van de vergelijking sin(2x) = sin(3x) ook periodiek zijn. c Heb je een vermoeden over de periode? d Bepaal de exacte oplossingen van de vergelijking: sin(2x) = sin(3x) voor 0 x 1 1 2π (bijvoorbeeld met behulp van je vermoeden). Als je dit moeilijk vindt, kun je deze vraag meer rekentechnisch oplossen: zie voorbeeld 1 van paragraaf Gegeven zijn twee functies: y 1 = sin(x) en y 2 = sin 2 (x). a Teken de grafieken van beide functies op de GR. Geef van beide de periode. b Los op zonder GR: sin 2 (x) = sin(x), voor 0 x 2π. Hint Gegeven zijn twee functies: y 1 = sin(x) en y 2 = 2sin 2 (x). a Teken de grafieken van beide functies op de GR. Geef van beide de periode. b Los op zonder GR: sin(x) = 2sin 2 (x), voor 0 x 2π. 46 Gegeven zijn twee functies: y 1 = 3 sin(x) en y 2 = 2cos 2 (x). a Teken de grafieken van beide functies op de GR. Geef van beide de periode. b Los op zonder GR: 3 sin(x) = 2cos 2 (x), voor 0 x 2π. Hint HOOFDSTUK 8

24 8.4 De somformules De somformules afleiden 47 Geldt: sin( 1 4 π) + sin( 1 4 π) = sin( 1 2 π)? 48 Gegeven is de functie y = sin(x) + cos(x). a Teken de grafiek van deze functie op de GR. Zo te zien krijg je weer een mooie sinusoïde. Vanwege symmetrie in de grafieken van sinus en cosinus, kun je wel vermoeden voor welke waarde van x het maximum van y bereikt wordt en wat het exacte maximum van y is. b Bepaal de exacte coördinaten van de eerste top van de grafiek na de oorsprong. Als de grafiek van y een perfecte sinusoïde is, dan geldt: y = 2 sin(x π). c Teken de grafiek van de functie y = 2 sin(x + 1 4π) op de GR bij de functie die je al getekend hebt. 49 In opgave 45 van de vorige paragraaf heb je de grafiek van y = 2sin 2 (x) op de GR getekend. Deze ziet er ook weer als een sinusoïde uit. a Geef de exacte coördinaten van de eerste top na de oorsprong van de grafiek. Wat is de periode van y? Het ziet er naar uit dat y = 1 cos(2x) dezelfde functie is. b Teken de grafiek van y = 1 cos(2x) op de GR. De vermoedens in de vorige twee opgaven kunnen we exact bewijzen met de somformules. Om de somformules af te leiden gebruiken we meetkunde. 50 p, q en v zijn vectoren met beginpunt O en eindpunt op de eenheidscirkel. p en q staan loodrecht op elkaar. v is ontbonden langs de lijnen OP en OQ. Verder, zie figuur. Toon aan: v = cos(α) p + sin(α) q. Goniometrie 61

25 8.4 De somformules 51 Zie figuur, de vectoren p en q staan loodrecht op elkaar. Er geldt: p = ( cos(β) sin(β)). a Geef de kentallen van q. Dus volgens de vorige vraag geldt: cos(β) v = cos(α) ( sin(β)) + sin(α) sin(β) ( cos(β) ). b Laat zien dat hieruit volgt: 12. cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) en 13. sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β). 52 a Schrijf met behulp van formule 13: sin(x + 1 4π) = cos(x) + sin(x), met exacte getallen op de stippellijnen. b Ga na dat uit a volgt: sin(x) + cos(x) = 2 sin(x π). Zie opgave Door handige substitutie in de formules 12 en 13 vind je: 14. cos(α β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) en 15. sin(α β) = sin(α) cos(β) cos(α) sin(β). Ga dat na. De somformules toepassen 54 Laat zien dat de formules 3, 4, 7, 8 en 9 speciale gevallen van de formules 12, 13, 14 en 15 zijn. 62 HOOFDSTUK 8

26 8.4 De somformules 55 Van twee hoeken α en β is gegeven: sin(α) = 3 5 en cos(β) = a Geef α en β zo goed mogelijk op de eenheidscirkel aan. Voor beide zijn er twee mogelijkheden, kies voor beide de kleinste positieve. b Bereken cos(α) en sin(β). c Bereken sin(α + β) en cos(α β). 56 a Leid uit de formules 12 en 13 af: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) en cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x). b Gebruik formule 9 om uit het vorige onderdeel af te leiden: cos(2x) = 2cos 2 (x) 1 = 1 2sin 2 (x). Dus: 16. sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) en 17. cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) = 2cos 2 (x) 1 = 1 2sin 2 (x) 57 In opgave 49 heb je met de GR gezien dat de grafiek van de functie y = 2sin 2 (x) een sinusoïde is. Wil je dit aantonen, dan moet je y schrijven in de vorm: y = a + b sin(cx + d) voor zekere getallen a, b, c en d. a Doe dat met behulp van formule 17. Wat zijn de waarden van a, b, c en d? b Laat zien dat de grafiek van y = 2cos 2 (x) een sinusoïde is. Wat zijn de waarden van a, b, c en d? We zetten de formules bij elkaar. 1. cos(t) = cos( t) 2. sin( t) = sin(t) 3. sin(t + π) = sin(t) 4. cos(t + π) = cos(t) 5. sin(π t) = sin(t) 6. cos(π t) = cos(t) 7. sin( 1 2π t) = cos(t) 8. cos( 1 2π t) = sin(t) 9. sin 2 (t) + cos 2 (t) = 1 (stelling van Pythagoras) 10. cos(t + 1 2π) = sin(t) 11. sin(t + 1 2π) = cos(t) 12. cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) 13. sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) 14. cos(α β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) 15. sin(α β) = sin(α) cos(β) cos(α) sin β 16. sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) 17. cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) = 2cos 2 (x) 1 = 1 2sin 2 (x) Goniometrie 63

27 8.4 De somformules Opmerking De formules 16 en 17 gaan door het leven met de naam verdubbelingsformules. 58 Laat met behulp van de formules zien dat de functies y 1 = (sin(x) + cos(x)) 2 en y 2 = 1 + sin(2x) hetzelfde zijn. 59 Een kogel wordt schuin omhoog geschoten. De kogel beweegt volgens: x(t) = 20t, y(t) = 40t 5t 2. De x-as is langs de grond gekozen, de y-as loodrecht op de grond en de oorsprong in de vuurmond. De valversnelling is afgerond op 10 m/s 2 en de luchtweerstand is verwaarloosd. Uit de natuurkunde is het volgende bekend. De snelheid in de x-richting: v x = x (t), de snelheid in de y-richting: v y = y (t). De snelheidsvector is dus ( x (t) y (t)). De grootte van de snelheid is v x 2 + v y 2. De snelheidsvector raakt aan de baan. a Geef in een assenstelsel de plaats van de kogel aan op de tijdstippen 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7 en 8. Teken de baan. Controleer je tekening met de GR. b Geef een formule voor de snelheid in de x-richting en de y-richting. Onder welke hoek (in één decimaal) en met welke snelheid (exact) wordt de kogel afgeschoten? Teken de snelheidsvector bij t = 0 op de bijbehorende plaats in de tekening van a. c Bepaal het hoogste punt van de baan exact. Wat is de snelheidsvector in dat punt? Teken die vector op de goede plaats in je tekening. d Hoe lang is de kogel in de lucht? Welke afstand heeft de kogel overbrugd? e Bereken de snelheid waarmee de kogel op de grond komt. 64 HOOFDSTUK 8

28 8.4 De somformules 60 We vragen ons af onder welke hoek (met de grond) je een kogel af moet schieten om hem zo ver mogelijk te laten komen. Als je de hoek groot maakt, kom je niet ver. Als je hem klein maakt, is hij te kort in de lucht om ver te komen. We nemen aan dat een kogel onder een hoek α met de grond wordt afgeschoten met een snelheid van 80 m/s. De bewegingsvergelijkingen (onder dezelfde voorwaarden als in de vorige opgave) zijn dan: x(t) = 80t cos(α) en y(t) = 80t sin(α) 5t 2. a Teken voor enkele waarden van α de baan op de GR. De vliegtijd van de kogel noemen we T en de afstand die de kogel overbrugt A. (Dus de kogel treft de grond op tijdstip T in (A,0).) b Druk T uit in α. Bij welke α is de vliegtijd maximaal? c Laat zien dat A = 1280 sin(α) cos(α) en dat je dit kunt schrijven als 640 sin(2α). Bij welke α is A maximaal? 61 Een kogeltje beweegt volgens de standaardcirkelbeweging. Op zeker tijdstip t tussen 1 2π en π is het op hoogte 0,8, zie plaatje. a Bereken de exacte waarde van cos(t). b Teken zo precies mogelijk de positie waar het kogeltje zich bevindt op tijdstip 2t. Licht je antwoord toe. c Bereken de coördinaten van die positie exact. 62 Van twee scherpe hoeken in de driehoek hiernaast is gegeven: sin(α) = 1 2 en sin(β) = 1 3. a Bereken exact cos(α) en cos(β). b Bereken sin(γ) exact. Hint 7. Goniometrie 65

29 8.5 De afgeleide van sinus en co Formules voor de afgeleide van sinus en cosinus 63 Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging. De snelheid van het kogeltje is 1. De eerste coördinaat op tijdstip t is cos(t) en de tweede coördinaat sin(t). We zoeken de afgeleide van de functies sin en cos. De afgeleide van sin is de snelheid van het kogeltje in de y-richting en de afgeleide van cos is de snelheid van het kogeltje in de x-richting. De vier "polen" van de eenheidscirkel noemen we A, B, C en D, zie plaatje. a Bepaal de snelheid in de x-richting en de y-richting als het kogeltje in B, C en D is. b Schets de grafiek van de snelheidsfunctie in de x-richting en in de t-richting op het interval [0,2π]. In b heb je de afgeleide van de functies sinus en cosinus geschetst. c Controleer je tekeningen met de GR. Het ziet er naar uit dat deze functies ook weer sinusoïden zijn. d Welke functies zijn de afgeleide van de functie y = sin(x) en van de functie y = cos(x), denk je? 64 Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging. a Teken de snelheidsvector in het punt (cos(t), sin(t)). Om de kentallen van de snelheidsvector te bepalen verschuiven we hem zó, dat hij in de oorsprong begint. Het eindpunt van de vector ligt dan op de eenheidscirkel. sin(t) b Laat zien dat de snelheidsvector ( cos(t) ) is. Als f : x sin(x), dan f : x cos(x), als f : x cos(x), dan f : x sin(x). Korter: d sin(x) = cos(x) ; d cos(x) = sin(x). dx dx Opmerking Als je het kogeltje met een hoeksnelheid van bijvoorbeeld 1 /s over de eenheidscirkel laat rondgaan, dan is de lengte van de snelheidsvector niet 1, maar 360 2π. De uitdrukkingen in opgave 64 en dus de formules voor de afgeleide worden minder mooi. Dit was een belangrijke reden om de radiaal als hoekmaat te nemen. 66 HOOFDSTUK 8

30 8.5 De afgeleide van sinus en co 65 Een punt voert een harmonische trilling uit. Zijn uitwijking u(t) op tijdstip t is 100 cos(t), met u(t) in cm en t in s. Bereken het eerste tijdstip na 0 waarop de snelheid (absoluut) 50 cm/s is. Goniometrische functies differentiëren Voorbeeld De afgeleide van y = sin(2x) kun je als volgt vinden. y = sin(2x) is een ketting van functies: x 2x = u y = sin(u). Dus dy dx = dx du dy = 2 cos(u) = 2 cos(2x). du Voorbeeld De afgeleide van y = cos(x) kun je als volgt vinden. y = cos(x) is een ketting van functies: x cos(x) = u y = u. Dus dy dx = sin(x) 1 2 u = sin(x) 2 cos(x). Voorbeeld De afgeleide van y = sin(x) cos(x) kun je met de productregel vinden. dy dx = sin (x) cos(x) + sin(x) cos (x) = cos 2 (x) sin 2 (x). Opmerking Zie het laatste voorbeeld. y = sin(x) cos(x) kun je schrijven als y = 1 2 sin(2x). Ga na dat je door y = 1 2 sin(2x) te differentiëren hetzelfde krijgt als in het laatste voorbeeld. 66 Bereken de afgeleide van de volgende functies. y = sin 2 (x) y = cos 2 (x) y = x sin(x) y = xsin 2 (x) y = x cos(x) y = sin(x) cos(x) 67 Met differentiëren kun je ook goniometrische formules vinden. a Bepaal de afgeleide van y = sin(x + 7). Volgens formule 13 geldt: sin(x + 7) = sin(x) sin(7) + cos(x) cos(7). b Differentieer y = sin(x) sin(7) + cos(x) cos(7). c Welke formule vind je met behulp van a en b? Goniometrie 67

31 8.5 De afgeleide van sinus en co x = cos(2t) 68 Gegeven is de cirkelbeweging { y = sin(2t). a Bereken de snelheidsvector op tijdstip t. b Bereken de grootte van de snelheidsvector en schrijf het antwoord zo eenvoudig mogelijk. c Leg uit hoe je op een andere manier aan het resultaat van b kunt komen. x = cos(t 2 ) 69 Gegeven is de beweging { y = sin(t 2 ). a Beschrijf de baan. b Teken de beweging voor 0 t 3 op de GR. Doe dat ook nog eens voor 0 t 11. Het lijkt wel alsof er steeds slordiger getekend wordt. c Verklaar dat. Neem 0 t 11. d Hoe vaak wordt het punt (0,1) gepasseerd? En het punt (0, 1)? De baan wordt niet met constante snelheid doorlopen. e Bepaal de snelheidsvector en bereken de grootte. 70 Bekijk de functie y = sin 2 (x) + sin(x), met domein [0,2π]. a Teken de grafiek op de GR. b Bereken de nulpunten van de functie exact. c Differentieer de functie en bereken de nulpunten van de afgeleide exact. Hint 8. d e Welke waarden kan de functie aannemen? Bereken exact de hoek waaronder raaklijn aan de grafiek in (π,0) de x-as snijdt. Een lijn k snijdt de grafiek van een functie in S. Met de hoek waaronder de k de grafiek snijdt, bedoelen we de hoek waaronder k de raaklijn aan de grafiek in S snijdt. Opmerking Dus de hoek waaronder de grafiek van de functie uit opgave 70 de x-as in (π,0) snijdt, is HOOFDSTUK 8

32 8.5 De afgeleide van sinus en co 71 Gegeven zijn f : x sin 2 (x) en g : x 1 2 cos(2x). a Laat zien dat de functies dezelfde afgeleide hebben. b Wat betekent dat voor de grafieken? c Welk verband bestaat er tussen f en g? 72 a Wat stelt sin(x) x b Leg uit dat lim x 0 voor in het plaatje hiernaast? sin(x) x = 1. sin(x) Uit lim x = 1 volgt dat sin(x) x als x dicht bij 0 ligt. x 0 c Maak een tabel op de GR om x en sin(x) te vergelijken. d Vul in: als x dicht bij 0, dan sin( 1 2x) en sin( x). sin(x) lim x = 1 x 0 De oppervlakte en omtrek van een cirkel 73 In figuur 1 is een gelijkbenige driehoek getekend met twee zijden van lengte 1. De oppervlakte van de driehoek en de lengte van de derde zijde worden bepaald door de grootte van de hoek α tussen de twee gelijke benen. a Toon aan dat de oppervlakte 1 2 sin(α) is. Toon aan dat de derde zijde d lengte 2 sin( 1 2α) heeft. In figuur 2 is de eenheidscirkel getekend met een regelmatige twaalfhoek waarvan de hoekpunten op de cirkel liggen. b Bereken de oppervlakte (exact) en de omtrek (in twee decimalen) van de regelmatige twaalfhoek. De oppervlakte en de omtrek van de regelmatige twaalfhoek geven een redelijk goede benadering van de oppervlakte en de omtrek van de eenheidscirkel. Je krijgt een betere benadering als je in plaats van een twaalfhoek bijvoorbeeld een twintighoek neemt. Als n willekeurig groot wordt, dan naderen de oppervlakte en de omtrek van de regelmatige n-hoek in de eenheidscirkel tot de oppervlakte en de omtrek van de eenheidscirkel. c Toon aan dat de oppervlakte van de regelmatige n-hoek in de eenheidscirkel 1 2 n sin( 2π n ) is en de omtrek 2n sin( π n). Goniometrie 69

33 8.5 De afgeleide van sinus en co Voor 2π n schrijven we x. d Laat zien dat de oppervlakte van de regelmatige n-hoek geschreven kan worden als π sin(x) x 2π sin( 1 2 x) 1 2 x. en de omtrek als Hoe groter n, hoe dichter x bij 0 komt en hoe beter π sin(x) x en 2π sin( 1 2 x) 1 2 x de oppervlakte en de omtrek van een cirkel benaderen. Dus de oppervlakte van de eenheidscirkel is: lim x 0 sin(x) (π x ) = π en de omtrek is: lim x 0 (2π sin( 1 2 x) 1 = 2π. x ) 2 Het aanzicht van een schroeflijn is een sinusoïde 70 HOOFDSTUK 8

34 8.6 Vergelijkingen en gelijkheden Goniometrische vergelijkingen In opgave 43 moest je de volgende vergelijking oplossen: sin(2x) = sin(3x). Dat kan door geschikte bogen op de eenheidscirkel te tekenen. Maar je kunt de oplossingen ook vinden door het volgende te gebruiken. sin(x) = sin(a) x = a + k 2π of x = π a + k 2π, cos(x) = cos(a) x = a + k 2π of x = a + k 2π, voor alle gehele waarden van k. Bovenstaande volgt onmiddellijk uit symmetrie in de eenheidscirkel. Voorbeeld De oplossingen van de vergelijking sin(2x) = sin(3x) op het interval [0,2π] vind je als volgt. sin(2x) = sin(3x) 2x = 3x + k 2π of 2x = π 3x + k 2π x = k 2π of 5x = π + k 2π x = k 2π of x = 1 5 π + k 2 5 π. De oplossingen tussen 0 en 2π zijn: 0, 1 5 π, 3 5 π, π, π, 1 4 5π, 2π. Voorbeeld De exacte oplossingen van de vergelijking cos(x) = cos( 1 7 π) vind je zó. Er geldt: cos( 1 7 π) = cos(1 1 7π), volgens formule 4. Dus: cos(x) = cos( 1 7 π) cos(x) = cos(1 1 7 π) x = k 2π of x = k 2π, voor alle gehele waarden van k. Voorbeeld De oplossingen tussen π en 2π van de vergelijking cos(x) = 0,2 benader je zó in drie decimalen. De GR geeft één oplossing: cos 1 (0,2) = 1, Alle oplossingen zijn: x = ±1, k 2π met k geheel. De gezochte oplossingen zijn: 1,369, 1,369, en 1, π = 4,914. Goniometrie 71

35 8.6 Vergelijkingen en gelijkheden 74 Geef de oplossingen tussen 0 en 3π van de volgende vergelijkingen in 2 decimalen. cos(x) = 0,3 cos(x) = 0,3 sin(x) = 0,3 sin(x) = 0,3 75 Los de volgende vergelijkingen in x exact op met 0 x 2π. a sin(x) = sin( 1 3 π) cos(x) = cos( 1 3 π) sin(x) = sin(4x) cos(x) = cos(4x) b sin(x) = sin(x) cos(x) = cos(x) sin(x) = cos( 1 3 π) cos(x) = sin( 1 3π) Hint 10. c sin(x) = cos(x) sin(x) = cos(x) sin(x) = sin(x + 2) cos(x) = cos(x + 2) 76 Los de volgende vergelijkingen exact op met 0 x 2π. a sin(x) = sin(3x π) b cos(x π) = cos(2x π) c sin(x 5 6π) = cos(x) d sin(x) = cos( 1 7 π) e sin(x + 1 4π) = cos(x) f sin(2x) = cos(3x) In opgave 46 moest je de volgende vergelijking oplossen: 3 sin(x) = 2cos 2 (x). In de volgende opgave staan soortgelijke vergelijkingen. 77 Los de volgende vergelijkingen exact op. a cos 2 (x) + sin(x) = 1 b cos(2x) + cos(x) + 1 = 0 Hint 11. c cos 2 (x) + 3 sin(x) = 3 d cos(2x) = 1 sin(x) In opgave 58 moest je laten zien dat (sin(x) + cos(x)) 2 = 1 + sin(2x), voor alle x. We noemen deze gelijkheid een goniometrische identiteit. 72 HOOFDSTUK 8

36 8.6 Vergelijkingen en gelijkheden 78 Bewijs de volgende goniometrische identiteiten. sin(x) + 3 cos(x) a sin(x) 3 cos(x) = sin(x π) sin(x 1 3 π) (sin(x) + cos(x)) b 2 (sin(x) cos(x)) 2 = 1 + sin(2x) 1 sin(2x) cos(2x) c = cos(x) sin(x) sin(x) + cos(x) cos(2x) d cos(x) = 2 cos(x) cos(x) 1 cos(2(x 1 e 4 π)) cos(x 1 2 π) = 2 cos(x) 79 Los de volgende vergelijkingen exact op. a (sin(x) + cos(x)) 2 = 1 + cos(x) b 2cos 2 (x) + sin(2x) = 0 Hint 12. c 2sin 2 (x) = 1 cos(x π) d 4sin 3 (x) = 3 sin(2x) e cos(x π) cos(x 1 4π) = sin(x) cos(x) 80 Bewijs de volgende identiteiten. a cos 4 (x) sin 4 (x) = cos 2 (x) sin 2 (x) b sin 6 (x) + 3sin 2 (x) cos 2 (x) cos 6 (x) = 1 c cos 2 (y) sin(x + y) sin(x y) cos 2 (x) = 0 Goniometrie 73

37 8.7 Eindpunt Definitie van sin(t) en cos(t) De eenheidscirkel is de cirkel met straal 1 en en middelpunt O(0,0). Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging, dat wil zeggen het beweegt met een snelheid van 1 eenheid per seconde over de eenheidscirkel, tegen de wijzers van de klok in. Het startpunt (de positie op tijdstip 0) is S(1,0). De coördinaten van de positie P van het kogeltje op tijdstip t zijn (cos(t), sin(t)). Als 0 t 2π geldt: SOP = t radialen. Cirkelbewegingen ω, r, ϕ, a en b zijn getallen, ω 0, r > 0. Dan zijn: { x = a + r cos(ωt + ϕ) y = b + r sin(ωt + ϕ) de bewegingsvergelijkingen van een kogeltje over de cirkel met straal r en middelpunt (a, b). De hoeksnelheid is ω. De fasehoek is ϕ. Formules 1. cos(t) = cos( t) 2. sin( t) = sin(t) 3. sin(t + π) = sin(t) 4. cos(t + π) = cos(t) 5. sin(π t) = sin(t) 6. cos(π t) = cos(t) 7. sin( 1 2π t) = cos(t) 8. cos( 1 2π t) = sin(t) 9. sin 2 (t) + cos 2 (t) = 1 (stelling van Pythagoras) 10. cos(t + 1 2π) = sin(t) 11. sin(t + 1 2π) = cos(t) 12. cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β 13. sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β 14. cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β 15. sin(α β) = sin α cos β cos α sin β 16. sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) 17. cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) = 2cos 2 (x) 1 = 1 2sin 2 (x) sin(x) = sin(a) x = a + k 2π of x = π a + k 2π, cos(x) = cos(a) x = a + k 2π of x = a + k 2π, voor alle gehele waarden van k. 74 HOOFDSTUK 8

38 8.7 Eindpunt De afgeleide van sinus en cosinus Als f : x sin(x), dan f : x cos(x), als f : x cos(x), dan f : x sin(x). Korter: d sin(x) = cos(x) ; d cos(x) = sin(x). dx dx Of: sin = cos en cos = sin. Goniometrie 75

39 8.8 Extra opgaven 1 Gegeven is de functie f : x sin(3(x 1 4 π)). a Bepaal zonder GR welke waarden y aan kan nemen. Licht je antwoord toe. b Bepaal zonder GR de oplossingen x van de vergelijking y = 4. Hoeveel oplossingen zijn er als π x 2π? De hoek waaronder de lijn y = 4 de grafiek van f snijdt is in elk snijpunt hetzelfde. c Leg dat uit en bereken de hoek in graden nauwkeurig. x = cos(3t 2 Een kogeltje beweegt volgens 1 2 π) { y = sin(3t 1 2 π). a Welke beweging wordt door deze parametervoorstelling beschreven? (Baan, hoeksnelheid, startpunt, snelheid?) b Bereken exact de momenten t tussen 0 en 6 waarop het kogeltje op hoogte 6 is. x = cos( π(1 t)) 3 Gegeven is de cirkelbeweging: { y = sin (π(1 t)). a Geef middelpunt, straal, periode en fasehoek van de beweging. b Wat is de grootte van de snelheid van het kogeltje als de afstanden in meters en de tijd in seconden gemeten wordt? 4 Geef een parametervoorstelling van het kogeltje dat met een hoeksnelheid van π rad/s beweegt over de cirkel met straal 2 en middelpunt (1, 3), tegen de wijzers van de klok in en dat op t = 0 in O(0,0) is (t in seconden). 5 Een kogeltje gaat in 4π seconden een cirkel met straal 3 rond. a Wat is de hoeksnelheid (in rad/s) en de snelheid van dat kogeltje? Op zeker moment is het kogeltje op een hoogte die het π seconden later weer heeft. b Bereken exact hoe ver die punten van elkaar liggen. 6 a Bereken zonder rekenmachine cos(t) als sin(t) = 0,96 en t tussen 1 2π en π ligt. b Bereken in drie decimalen nauwkeurig alle waarden van t tussen π en π als sin 2 (t) = 0,36. c Leg uit dat cos( 3 8 π) = sin( 1 8 π) = sin( 7 8 π). 76 HOOFDSTUK 8

40 8.8 Extra opgaven 7 Gegeven zijn: α en β tussen 1 2 π en π met: sin α = en sin β = 1 2. Bereken zonder rekenmachine sin(α + β), cos(α β), sin(2α) en cos(2α). x = t cos(t) 8 Een kogeltje beweegt volgens, met t > 0. { y = t sin(t) a Bepaal de snelheidsvector bij de beweging. b Bereken het moment waarop de snelheid van het kogeltje 3 is exact. 9 De ruit in figuur 1 heeft zijden van lengte 1. De scherpe hoeken zijn 2α. a Druk de lengte van de diagonalen uit in α. In figuur 2 staat de eenheidscirkel met S(1,0), A(cos(2α), sin(2α)) en OP =OS + OA. cos(α) Er is een getal k met OP = k ( sin(α)). b Waarom? c Bepaal het getal k exact. d Laat zien dat hieruit de verdubbelingsformules volgen. 10 We gaan verder met de vorige opgave. De helling van lijn OP noemen we m. Er geldt: m = sin(α) cos(α). a b Ga dat na. Laat zien: de helling van lijn OA is: 2 sin(α) cos(α) cos 2 (α) sin 2 (α). In hoofdstuk 9 (verdubbeling van de hellingshoek) zul je zien: de helling van lijn OA is: 2m 1 m 2. c Leid dit af uit b. 11 Bewijs de volgende goniometrische identiteiten. cos(2x) + cos(x) = 2 cos(x) 1 en cos(x) + 1 cos(x + y) cos(x + y) = cos 2 (y) sin 2 (x). x = cos(t) Twee kogeltjes bewegen, het een volgens: en { y = sin(t) x = 2 cos(2t) + 4 het ander volgens. { y = 2 sin(2t) a Bereken in twee decimalen nauwkeurig de tijdstippen t met 0 t 2π dat de kogeltjes op dezelfde hoogte zijn. b Bereken de tijdstippen tussen 0 en 2π dat je de kogeltjes vanuit de oorsprong (0,0) in dezelfde richting ziet. Goniometrie 77

41 8.8 Extra opgaven 13 Op de eenheidscirkel liggen de hoekpunten van een regelmatige zeshoek. Eén van de hoekpunten is B( 3 5, 4 5 ). Bereken exact de coördinaten van hoekpunt A, zie figuur. Gebruik de somformules. 14 Gegeven is de functie f met f(x) = cos 2 (x) + cos(x) op [ π, π]. a Bereken exact de nulpunten van f(x). b Bereken de extreme waarden van f(x) exact. 78 HOOFDSTUK 8

42 8 Goniometrie Cirkelbewegingen 1 a 80 cm b 80π = 251,3 cm c 36 km/u komt overeem met 1000 cm/sec, dus 0,08π = 0,25 s 2 a Voor t = 45 s en t = 105 s. b Gemiddelde hoogte is 11 (meter). Op tijdstippen 0, 30, 60, 90 en 120 seconden. c Zie figuur. d α = = 60 ; H(10) = sin 60 = = 19,660 e H(35) = sin 30 = 6 f 6 /s g Omtrek rad: 20π meter, dus 1 3 π m/s. 3 a 3 b f(100) = f( ) = f(1) = 2 ; f( 100) = f( ) = f(2) 0,5 4 a Zie figuur. opgave 4a opgave 4c b Vanaf t = 0 tegen de klok in is de hoogte van de verdeelstrepen: 0, 1 2, 1 2 3, 1, 1 2 3, 1 2, 0, 1 2, 1 2 3, 1, 1 2 3, 1 2, 0 c Zie rechter plaatje van onderdeel a. d - e - f 1, 1 2 3, 1 2, 0, 1 2, 1 2 3, 1, 1 2 3, 1 2, 0, 1 2, 1 2 3, 1 g - h - 5 a 1 6 π m/s ; 1 2π m/s ; 12 m π /s b Antwoorden

43 8 Goniometrie 6 Lengte wieken zijn π = 10,61 m. 7 a 2π s b Een hoek van 60. c 1 ; r 8 Zie tabel π 1 4 π 1 3 π 1 2 π π π π π 9 a 2π s b 1 eenheid/s c - d De eenheden op de horizontale as. e 2π f - 10 a Ten opzichte van de y-as (dus horizontaal) met factor 2 uitgerekt. Formule is: y = sin( 1 2 x). b Ten opzichte van de x-as (dus verticaal) met factor 1 2 ingekrompen. Formule is: y = 1 2 sin(x) a Stapgrootte is 4 5π, het interval voor de parameter: [0,4π]. b (0,309; 0,951), ( 0,809; 0,588), ( 0,809; 0,588), (0,309; 0,951), (1,0) 13 a x(t) = cos( t) en y(t) = sin( t). b - c Spiegelen in de verticale as. 14 a x(t) = 2 cos(t) en y(t) = 2 sin(t) b - c Ten opzichte van de x-as (dus verticaal) vermenigvuldigen met factor a Eenheidscirkel. b 3 rad/s c (1,0) d Ten opzichte van de y-as (dus horizontaal) vermenigvuldigen met factor 1 3. x = cos(t 1) 16 a { y = sin(t 1) b - c Eén eenheid naar rechts schuiven. 139

44 8 Goniometrie x = 2 + cos(t) 17 a { y = 3 + sin(t) b - c Drie eenheden omhoog schuiven. 18 a Beide middelpunt ( 1,4), straal 2 en hoeksnelheid 3 rad/s. b Zie figuur. 19 a 0, 0, 1 2 π, 1 4 π, 1 2 π b - 20 a (b, a) b (0,1), 1 rad/s c ω = 1 ; r = 1 ; ϕ = 1 2π ; a = b = 0. d - 21 De andere niet rechte hoek in de driehoek is (90 α). sin(α) = a c en ook cos(90 α) = a c. cos(α) = b c en ook sin(90 α) = b c. x = 2 cos( πt π) { y = 2 sin( 30 1 πt π) 23 a Ellips met centrum (0,0), horizontale as van lengte 2 en verticale as van lengte 4. De eenheidscirkel wordt verticaal met 2 vermenigvuldigd. b Lijnstuk met eindpunten ( 2, 2) en (2,2): er geldt: y = x en voor alle t dat 1 cos(t) 1. Eigenschappen van sinus en co 24 a b 3 8 π en π 7 8 π en π 25 t = 7 8 π + k 2π of t = 1 7 8π + k 2π, met k geheel. 26 a Zie figuur. b - 27 a 1 b Antwoorden

45 8 Goniometrie 28 a Zie figuur. b 3 5 of 3 5 (stelling van Pythagoras). c cos(t + π) = 4 5 en sin(t 1 2 π) = sin(t) ; sin(t) ; sin(t) ; cos(t) 30 a - b sin(x π) = cos(x), sin(x π) = cos(x), sin(x + π) = sin(x), dus y = sin 2 (2x) + cos 2 (2x) = 1 (vul in formule 9 voor t = 2x in.) (2 sin(x)) 2 + (2 cos(x)) 2 = 4sin 2 (x) + 4cos 2 (x) = sin 2 (x π) = cos2 (x), volgens formule 11. sin 2 (x π) = sin2 (x + 1 2π), volgens formule 3. Dus sin 2 (x) + sin 2 (x π) + sin2 (x + π) + sin 2 (x + π) + sin 2 (x π) = sin 2 (x) + cos 2 (x) + sin 2 (x) + cos 2 (x) = = (1 cos(x))(1 + cos(x)) = 1 cos 2 (x) (merkwaardig product), dus we moeten laten zien: sin 2 (x) = 1 cos 2 (x), dat is formule 9 anders geschreven. 34 a sin(3t 1) + sin(1 3t) = sin(3t 1) + sin( (3t 1)) = sin(3t 1) sin(3t 1) (volgens formule 1). Klopt dus. b Volgens formule 2 geldt: cos(3t 1) + cos(1 3t) = 2 cos(3t 1), dus voor de waarde van t die gezocht moet worden geldt: cos(3t 1) = 0, dus bijvoorbeeld 3t 1 = 1 2 π t = π. 35 cos(x π) = sin( 1 2 π (x π)) = sin( 1 6π x) (Eerst formule 7, dan herschrijven). Dus cos(x π) + sin(x 1 6π) = 0 volgens formule sin 2 ( 14 5 π) = cos2 ( 14 2 π) en sin2 ( 14 4 π) = cos2 ( 14 3 π), dus sin 2 ( 14 2 π) + sin2 ( 14 3 π) + sin2 ( 14 4 π) + sin2 ( 14 5 π) = sin 2 ( 14 2 π) + cos2 ( 14 2 π) + sin2 ( 14 3 π) + cos2 ( 14 3 π) = a - b p = 1 c Volgt uit formule a Verticaal vermenigvuldigen met 20 en horizontaal met π 5. b 10; c 20 Vergelijkingen met sinus en co 39 0,775 ; 2,366 3,446 ; 5,

46 8 Goniometrie geen oplossing π 4, ,695 ; 9,013 18,438 ; 16, ,795 ; 5,488 1,875 ; 4,408 geen oplossing π 3, a Zie figuur. b 0, 1 3 π, π, π 43 a π, 2 3 π b sin( 2 5 π) = sin(π 2 5π), volgens formule 5. c 2 5 π d 0, 1 5 π, 3 5 π, π, π 44 a 2π en π b sin(x) (sin(x) 1) = 0, dus sin(x) = 0 of sin(x) = 1. De oplossingen hiervan zijn: 0, 1 2π, π en 2π. 45 a 2π en π b sin(x) = 0 of sin(x) = 1 2. De oplossingen hiervan zijn: 0, π, 2π, 1 6 π en 5 6 π. 46 a 2π ; π b 3 sin(x) = 2cos 2 (x) 3 sin(x) = 2 2sin 2 (x); noem sin(x) = y, dan 3y = 2y 2 2 y = 1 2 of y = 2, dus y = 1 2. sin(x) = 1 2 als x = 1 6 π of x = 5 6 π. De somformules 47 Nee, want sin( 1 4 π) = 1 2 2, sin( 1 2 π) = 1 en a - b ( 1 4π, 2) c - 49 a ( 1 2 π,2) ; π b - 50 De lengte van de projecties op de lijnen OP en OQ zijn 1 cos(α) en 1 sin(α). De rest volgt uit het feit dat p en q lengte 1 hebben. 142 Antwoorden

47 8 Goniometrie sin(β) 51 a ( cos(β) ) b Per definitie geldt: cos(α + β) v= ( sin(α + β)) en cos(α) cos(β) ( sin(β)) +sin(α) sin(β) ( cos(β) ) = cos(α) cos(β) ( cos(α) sin(β)) + sin(α) sin(β) ( sin(α) cos(β) ) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) ( cos(α) sin(β) + sin(α) cos(β)). 52 a sin(x π) = sin(x) cos( 1 4 π) + cos(x) sin( 1 4 π) = sin(x) cos(x) b Beide kanten van het vorige onderdeel vermenigvuldigen met Formule 14 vind je uit 12 door in plaats van β in te vullen: -β en dan de formules 1 en 2 te gebruiken. Bij formule 15 ga je net zo te werk met behulp van formule Formule 3: sin(α + π) = sin(α) cos(π) + cos(α) sin(π) = sin(α), want cos(π) = 1 en sin(π) = 0; Formule 4: cos(α + π) = cos(α) cos(π) sin(α) sin(π) = cos(α), want cos(π) = 1 en sin(π) = 0; Formule 7: sin( 1 2 π α) = sin( 1 2 π) cos(α) cos( 1 2 π) sin(α) = cos(α), want sin( 1 2 π) = 1 en cos( 1 2π) = 0; Formule 8: cos( 1 2 π α) = cos( 1 2 π) cos(α) + sin( 1 2 π) sin(α) = sin(α), want sin( 1 2 π) = 1 en cos( 1 2π) = 0; Formule 9: cos 2 (α)+sin 2 (α) = cos(α) cos(α)+sin(α) sin(α) = cos(α α) = cos(0) = a Zie figuur. b cos(α) = 4 5 ; sin(β) = 13 5 c sin(α + β) = cos(α β) = a Vul in formule 12 x voor α en β in, dan krijg je: sin(2x) = sin(x) cos(x) + cos(x) sin(x), dus sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). Vul in formule 13 x voor α en β in, dan krijg je: cos(2x) = cos(x) cos(x) sin(x) sin(x) = cos 2 (x) sin 2 (x). b De eerste gelijkheid vind je door sin 2 (x) in cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) te vervangen door 1 cos 2 (x) en de tweede door cos 2 (x) te vervangen door 1 sin 2 (x). 57 a b cos(2x) = 1 2sin 2 (x) 2sin 2 (x) = 1 cos(2x) = 1 sin( 1 2 π 2x). Hier: a = 1, b = 2, c = 1 en d = 1 2 π. Maar je kunt ook a = 1, b = 1, c = 2 en d = 1 2π nemen (formule 2). 2cos 2 (x) = 1 + cos(2x) = 1 + sin( 1 2π 2x), dus a = 1, b = 1, c = 2 en d = 1 2 π. 65 ; 58 (sin(x) + cos(x)) 2 = sin 2 (x)+2 sin(x) cos(x)+cos 2 (x) = 1+2 sin(x) cos(x) = 1+sin(2x) 143

48 8 Goniometrie 59 a Zie figuur. b x (t) = 20 en y (t) = 40 10t. Dus op t = 0 is de snelheidsvector 20 v = ( 40). Noem de hoek die deze vector met de x-as maakt α, dan tan(α) = 40 20, dus α = 63,4. De grootte van de snelheid is = c Dan is v y = 0, dus t = 4, dit geeft 20 het punt (80,80); snelheidsvector is ( 0 ). d 40t 5t 2 = 0 t = 0 of t = 8, dus 8 seconden. x(8) = 160, dus 160 meter. e 20 v (8) =, dus de snelheid is ( 40) 60 a Zie figuur. b 80T sin(α) 5T 2 = 0 T = 0 of T = 16 sin(α). De vliegtijd is maximaal als T = 16 sin(α) maximaal is, dat is als α = 90. c A = x(t ) = 80T cos(α) = sin(α) cos(α) en dit laatste is volgens verdubbelingsformule 16 gelijk aan: 640 sin(2α). Dit is maximaal als sin(2α) = 1, dus als α = a cos(t) = 0,6 b Zie figuur. De cirkel met middelpunt A en straal AS tekenen. Die snijdt de eenheidscirkel ook nog in P, de gevraagde positie. c x P = cos(2t) = 1 2sin 2 (t) = 0,28 en y P = sin(2t) = 2 sin(t) cos(t) = 0, a cos(α) = en cos(β) = (formule 9). b sin(γ) = sin(π (α + β)) = sin(α + β), dus sin(γ) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) = Antwoorden

49 8 Goniometrie De afgeleide van sinus en co 0 63 a In A: ( 1) ; in B: 1 ( 0 ) ; in C: 0 ( 1) ; in D: 1 ( 0) b - c - d - 64 a Zie linker figuur hieronder. opgave 64a opgave 64b b Zie rechter figuur hierboven. Je moet de vector ( cos(t) sin(t)) 90 linksom draaien. 65 u (t) = 100 sin(t), dus sin(t) = 1 2 en t = 1 6 π. 66 Van links naar rechts. Met de kettingregel: x sin(x) = u u 2 = y, dus y = cos(x) 2u = 2 sin(x) cos(x) Met de kettingregel: x cos(x) = u u 2, dus y = sin(x) 2u = 2 sin(x) cos(x) Met de productregel: y = 1 sin(x) + x cos(x) Met de productregel van drie functies (bijvoorbeeld): y = x sin(x) sin(x), dus y = sin 2 (x) + 2x cos(x) sin(x) Met de quotiëntregel: y 1 cos(x) + x sin(x) = Met de quotiëntregel: y = cos 2 (x) cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x) cos 2 (x) 67 a y = cos(x + 7) b y = cos(x) sin(7) sin(x) cos(7) c cos(x + 7) = cos(x) sin(7) sin(x) cos(7) 6 sin(2t) 68 a ( 6 cos(2t)) b 36cos 2 (2t) + 36sin 2 (2t) = 36 = 6 = 1 cos 2 (x) 145

50 8 Goniometrie c De hoeksnelheid is 2 rad/s, de straal van de baan is 3, dus snelheid 2 3 = 6 eenheden per s. 69 a De eenheidscirkel. b - c De ruimte tussen opvolgende punten van de baan die de GR met elkaar verbindt wordt kwadratisch groter. d 20 keer ; 19 keer. e 2t sin(t 2 ) ( 2t cos(t 2, de grootte is: 2t. )) 70 a - b sin 2 (x) + sin(x) = sin(x)(sin(x) + 1) = 0 sin(x) = 0 of sin(x) = 1. Dus x = 0, x = π, x = 2π of x = π. c y = 2 cos(x) sin(x) + cos(x) y = cos(x)(2 sin(x) + 1) = 0 cos(x) = 0 of sin(x) = 1 2. Dus x = 1 2 π, x = π, x = π of x = π. d Alle waarden uit [ 1 4,2]. (Met behulp van de punten waar de raaklijn horizontaal is en de grafiek op de GR.) e y (π) = 1, dus a f (x) = 2 sin(x) cos(x) en g (x) = sin(2x) = sin(2x) en sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) (formule 16). b Ze verschillen een constante. c f(0) = 0 en g(0) = 1 2, dus f(x) = g(x) voor alle x. 72 a De helling van de lijn door O(0,0) en het punt van de grafiek van de sinus met eerste coördinaat x. b lim x 0 lim x 0 c - d 1 2 x en x f(x) f(0) x 0 is per definitie f (0), dus sin(x) x = sin (0) = cos(0) = a In figuur 1 is h een hoogtelijnstuk; h = 1 sin(α). Oppervlakte driehoek = 1 2 sin(α). Voor het berekenen van de derde zijde, zie figuur 2. x = 1 sin( 1 2 α), dus d = 2 sin( 1 2 α). 146 Antwoorden

51 8 Goniometrie b α = 30, dus de oppervlakte is sin(30 ) = 3. De omtrek is 12 2 sin(15 ) = 6,21. c α = 2π n, dus de oppervlakte is: n 1 2 sin( 2π n ) en de omtrek is: n 2 sin( 1 2 2π n ). d π sin(x) x = π sin(2π n ) = sin(2π n ) = 2π 2 2 n sin(2π n ), dus dat is de oppervlakte. n n Voor de omtrek gaat het net zo. Vergelijkingen en gelijkheden 74 cos(x) = 0,3 x = 1, k 2π of x = 1, k 2π De gezochte oplossingen zijn: 1,27, 7,55 en 5,02. sin(x) = 0,3 x = 0, k 2π of x = π 0, k 2π = 2, k 2π De gezochte oplossingen zijn: 0,30, 6,59, 2,84 en 9,12. cos(x) = 0,3 x = 1, k 2π of x = 1, k 2π De gezochte oplossingen zijn: 1,88, 8,16 en 4,41. sin(x) = 0,3 x = 0, k 2π of x = π 0, k 2π = 3, k 2π De gezochte oplossingen zijn: 5,98 en 3, a sin(x) = sin( 1 3 π) x = 1 3 π + k 2π of x = π 1 3 π + k 2π = 2 3π + k 2π De oplossingen zijn: 1 3 π en 2 3 π. cos(x) = cos( 1 3 π) x = 1 3 π + k 2π of x = 1 3π + k 2π De oplossingen zijn: 1 3 π en π. sin(x) = sin(4x) x = 4x + k 2π of x = π 4x + k 2π 3x = k 2π of 5x = π + k 2π x = k 2 3 π of x = 1 5 π + k 2 5 π De oplossingen zijn: 0, 2 3 π, π, 1 5 π, 3 5 π, π, π en π. cos(x) = cos(4x) x = 4x + k 2π of x = 4x + k 2π 3x = k 2π of 5x = k 2π x = k 2 3 π of x = k 2 5 π De oplossingen zijn: 0, 2 3 π, π, 2π, 2 5 π, 4 5 π, π en π. 147

52 8 Goniometrie b sin(x) = sin(x) sin(x) = sin( x) x = x + k 2π of x = π x + k 2π 2x = k 2π x = k π De oplossingen zijn: 0, π en 2π. cos(x) = cos(x) cos(x) = cos(x + π) x = x + k 2π of x = x + k 2π 2x = k 2π x = k π De oplossingen zijn: 0, π en 2π. sin(x) = cos( 1 3 π) cos( 1 2 π x) = cos( 1 3 π) 1 2 π x = 1 3 π + k 2π of 1 2 π x = 1 3π + k 2π x = 1 6 π k 2π of x = 5 6π k 2π De oplossingen zijn: 1 6 π en 5 6 π. c cos(x) = sin( 1 3 π) sin( 1 2 π x) = sin( 1 3 π) 1 2 π x = 1 3 π + k 2π of 1 2 π x = π 1 3π + k 2π x = 1 6 π k 2π of x = 1 6π k 2π De oplossingen zijn: 1 6 π en π. sin(x) = cos(x) cos( 1 2π x) = cos(x) 1 2 π x = x + k 2π of 1 2π x = x + k 2π 2x = 1 2π k 2π x = 1 4 π k π De oplossingen zijn: 1 4 π en π. sin(x) = cos(x) cos( 1 2π x) = cos(π x) 1 2 π x = π x + k 2π of 1 2π x = π + x + k 2π 2x = 1 1 2π + k 2π x = 3 4 π + k π De oplossingen zijn: 3 4 π en π. sin(x) = sin(x + 2) x = x k 2π of x = π (x + 2) + k 2π 2x = π 2 + k 2π x = 1 2 π 1 + k π De oplossingen zijn: 1 2 π 1 en π Antwoorden

53 8 Goniometrie cos(x) = cos(x + 2) x = x k 2π of x = (x + 2) + k 2π 2x = 2 + k 2π x = 1 + k π De oplossingen zijn: 1 + π en 1 + 2π. 76 a x = 3x π + k 2π of x = π (3x 2 1 4π) + k 2π 2x = π + k 2π of 4x = 1 1 4π + k 2π x = 1 1 8π k π of x = 5 16 π + k 1 2 π De oplossingen zijn: 1 8 π, π, 3 16 π, π, π en π. b x π = 2x π + k 2π of x π = (2x 1 1 4π) + k 2π x = 1 1 2π + k 2π of 3x = π + k 2π x = π k 2π of x = 1 3 π + k 2 3 π De oplossingen zijn: π, 1 3 π, π en π. c sin(x 5 6 π) = sin( 1 2 π x) x 5 6 π = 1 2 π x + k 2π of x 5 6 π = π ( 1 2π x) + k 2π 2x = 1 1 3π + k 2π x = 2 3 π + k π De oplossingen zijn: 2 3 π en π. d e cos( 1 2 π x) = cos( 6 7 π) 1 2 π x = 6 7 π + k 2π of 1 2 π x = 6 7π + k 2π x = 14 5 π k 2π of x = π k 2π De oplossingen zijn: sin(x + 1 4π) = cos(π + x) sin(x π) = sin( 1 2 π x) x π = 1 2 π x + k 2π of x π = π ( 1 2π x) + k 2π 2x = 3 4π + k 2π x = 3 8 π + k π De oplossingen zijn: 5 8 π en π. f cos( 1 2π 2x) = cos(3x) 1 2 π 2x = 3x + k 2π of 1 2π 2x = 3x + k 2π 5x = 1 2 π + k 2π of x = 1 2π + k 2π x = π of x = 1 2π + k 2π De oplossingen zijn: π, 9 10 π, π. 77 a 1 sin 2 (x) + sin(x) = 1 sin 2 (x) sin(x) = 0 sin(x)(sin(x) 1) = 0 sin(x) = 0 of sin(x) = 1 x = k π of x = 1 2π + k 2π 149

54 8 Goniometrie b 2cos 2 (x) 1 + cos(x) + 1 = 0 2cos 2 (x) + cos(x) = 0 2 cos(x)(cos(x) ) = 0 2 cos(x) = 0 of cos(x) = 1 2 x = 1 2 π + k π of x = 2 3 π + k 2π of x = 2 3π + k 2π c 1 sin 2 (x) + 3 sin(x) = 3 sin 2 (x) 3 sin(x) + 2 = 0 (sin(x) 2)(sin(x) 1) = 0 sin(x) = 2 of sin(x) = 1 x = 1 2π + k 2π d 1 2sin 2 (x) = 1 sin(x) 2sin 2 (x) sin(x) = 0 2 sin(x)(sin(x) 1 2 ) = 0 sin(x) = 0 of sin(x) = 1 2 x = k π of x = 1 6 π + k 2π of x = 5 6π + k 2π 78 a b c d e sin(x π) sin(x 1 3 π) = sin(x) cos( 1 3 π) + cos(x) sin( 1 3 π) sin(x) cos( 1 3 π) cos(x) sin( 1 3 π) = 1 2 sin(x) cos(x) 1 2 sin(x) cos(x) = sin(x) + 3 cos(x) sin(x) 3 cos(x) (sin(x) + cos(x)) 2 (sin(x) cos(x)) 2 = sin2 (x) + cos 2 (x) + 2 sin(x) cos(x) sin 2 (x) + cos 2 (x) 2 sin(x) cos(x) = 1 + sin(2x) 1 sin(2x) cos(2x) sin(x) + cos(x) = cos2 (x) sin 2 (x) (cos(x) sin(x)) (cos(x) + sin(x)) = = sin(x) + cos(x) sin(x) + cos(x) cos(x) sin(x) cos(2x) cos(x) = 2cos2 (x) 1 = 2 cos(x) cos(x) cos(x) 1 cos(2(x 1 4 π)) cos(x 1 2 π) = cos(2x 1 2 π) sin(2x) 2 sin(x) cos(x) cos(x 1 = = = 2 cos(x) π) sin(x) sin(x) 2 79 a sin 2 (x) + 2 sin(x) cos(x) + cos 2 (x) = 1 + cos(x) 2 sin(x) cos(x) = cos(x) cos(x) = 0 of 2 sin(x) = 1 cos(x) = 0 of sin(x) = 1 2 x = 1 2 π + k π of x = 1 6 π + k 2π of x = 5 6π + k 2π b 2cos 2 (x) + 2 sin(x) cos(x) = 0 cos(x)(cos(x) + sin(x)) = 0 cos(x) = 0 of cos(x) = sin(x) x = 1 2 π + k π of x = 1 4 π + k π c 2sin 2 (x) 1 = cos(x π) cos(2x) = cos(x π) 2x = x π + k 2π of 2x = (x + 1 4π) + k 2π x = 1 4 π + k 2π of 3x = 1 4π + k 2π x = 1 4π + k 2π of x = 1 12 π + k 2 3 π 150 Antwoorden

55 8 Goniometrie d e 4sin 3 (x) = 3 2 sin(x) cos(x) 4sin 3 (x) 6 sin(x) cos(x) = 0 sin(x)(4sin 2 (x) 6 cos(x)) = 0 sin(x) = 0 of 4sin 2 (x) = 6 cos(x) sin(x) = 0 of 4 4cos 2 (x) = 6 cos(x) sin(x) = 0 of 4cos 2 (x) + 6 cos(x) 4 = 0 sin(x) = 0 of (2 cos(x) + 4)(2 cos(x) 1) = 0 sin(x) = 0 of cos(x) = 2 of cos(x) = 1 2 x = k π of x = 1 3 π + k 2π of x = 1 3π + k 2π (cos(x) sin(x) 1 2 2)(cos(x) sin(x) 1 2) 2 = sin(x) cos(x) cos 2 (x) sin 2 (x) = 2 sin(x) cos(x) cos(2x) = sin(2x) x = 1 8 π + k 1 2 π 80 a cos 4 (x) sin 4 (x) = (cos 2 (x) sin 2 (x))(cos 2 (x) + sin 2 (x)) = (cos 2 (x) sin 2 (x)) 1 = cos 2 (x) sin 2 (x) b sin 6 (x) + 3sin 2 (x) cos 2 (x) cos 6 (x) = sin 6 (x) + 3sin 2 (1 sin 2 (x)) + (1 sin 2 (x)) 3 = sin 6 (x) + 3sin 2 (x) 3sin 4 (x) + 1 3sin 2 (x) + 3sin 4 (x) sin 6 (x) = 1 c sin(x + y) sin(x y) = (sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y))(sin(x) cos(y) cos(x) sin(y)) = sin 2 (x)cos 2 (y) cos 2 (x)sin 2 (y) = (1 cos 2 (x))cos 2 (y) cos 2 (x)(1 cos 2 (y)) = cos 2 (y) cos 2 (x) cos 2 (y) cos 2 (x) + cos 2 (x) cos 2 (y) = cos 2 (y) cos 2 (x), dus cos 2 (y) sin(x + y) sin(x y) cos 2 (x) = 0 Extra opgaven 1 a sin(t) neemt alle waarden aan tussen 1 en 1, dus: sin(3(x 1 4π)) 5 + 2, dus y neemt alle waarden tussen 3 en 7 (inclusief grenzen). b Dan: sin(3(x 1 4 π)) = 1 2. Dus: 3(x 1 4 π) = π + k 2π of 3(x 1 4 π) = 1 5 6π + k 2π, dus x = π + k 2 3 π of x = π + k 2 3 π. Dit geeft 9 oplossingen. c Dat komt door de periodiciteit of de symmetrie ten opzichte van een lijn evenwijdig met de x-as door de het hoogste of het laagste punt van de grafiek. We berekenen de hoek in het snijpunt met eerste coördinaat π. f (x) = 6 cos(3(x 1 4π)), dus f ( π) = 6 cos(1 1 6π) = 3 3, dus de gevraagde hoek is tan 1 (3 3) =

56 8 Goniometrie 2 a Cirkel met middelpunt (1,5) en straal 2 ; hoeksnelheid 3 rad/s ; startpunt (1,3), snelheid 6 eenh/s. b Alle oplossingen: t = 2 9 π + k 2 3 π of t = 5 9 π + k 2 3 π. De gevraagde oplossingen zijn: 2 9 π, 4 9 π, 8 9 π, π, π en π. 3 a (3,4) ; 2 ; 2 ; π b 2π m/s 4 x = cos(πt π) { y = sin(πt π) 5 a b 1 2 rad/sec ; eenheid/s Er is dan een kwart cirkel afgelegd. Noem het middelpunt van de cirkel M en de punten op gelijke hoogte A en B. Dan is driehoek ABM een gelijkbenige rechthoekige driehoek met AM = BM = 3 en de gevraagde afstand is AB = a Met formule 9 vind je cos 2 (t) = 0,0784. Omdat cos(t) < 0, volgt: cos(t) = 0,28. b Dan sin(t) = ±0,6. In beide gevallen vind je één oplossing met de GR: t = ±0, , dus t = 0,644, t = 0,644, t = 2,498, t = 2,498. c De eerste gelijkheid volgt uit formule 7 of 8, de tweede uit formule 5. 7 Uit de gegevens volgt met formule 9: cos(α) = en cos(β) = sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) = ( ) cos(α β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) = , sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) = 4 5, cos(2α) = 1 2sin 2 (α) = a cos(t) t sin(t) v= ( sin(t) + t cos(t)) b v 2 = (cos(t) t sin(t)) 2 + (sin(t) + t cos(t)) 2 = sin 2 (t) + cos 2 (t) + t 2 (sin 2 (t) + cos 2 (t)), dus v = 1 + t 2. Dus t = a De lange is 2 cos(α), de korte 2 sin(α). b De diagonalen in een ruit delen elkaar middendoor, dus SOP = α en het snijpunt van lijnstuk OP met de eenheidscirkel is (cos(α), sin(α)). c cos(α) heeft lengte 1, dus uit a volgt: k = 2 cos(α). ( sin(α)) 1 d Uit het voorgaande volgt: ( 0) + cos(2α) ( sin(2α)) = 2 cos(α) cos(α) ( sin(α)), dus 1 + cos(2α) ( sin(2α) ) = 2cos 2 (α) ( 2 cos(α) sin(α)). 152 Antwoorden

57 8 Goniometrie 10 a - b De helling is sin(2α) cos(2α) = 16 en 17. c 2 sin(α) cos(α) cos 2 (α) sin 2 (α) = 2 sin(α) cos(α) cos 2 (α) sin 2, volgens de verdubbelingsformules (α) 2 sin(α) cos(α) cos 2 (α) cos 2 (α) sin 2 (α) cos 2 (α) = 2m 1 m 2 11 (na kruislings vermenigvuldigen) dus te bewijzen: cos(2x) + cos(x) = (2 cos(x) 1)(cos(x) + 1) cos(2x) + cos(x) = 2cos 2 (x) + cos(x) 1, dit klopt volgens formule 17. cos(x + y) cos(x + y) = (cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y))(cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)) = cos 2 (x) cos 2 (y) sin 2 (x) sin 2 (y) = (1 sin 2 (x))(1 sin 2 (y)) sin 2 (x) sin 2 (y) = 1 sin 2 (x) sin 2 (y) + sin 2 (x) sin 2 (y) sin 2 (x) sin 2 (y) = 1 sin 2 (x) sin 2 (y) = cos 2 (x) sin 2 (y) 12 a sin(t) = 2 sin(2t) sin(t) = 4 sin(t) cos(t) sin(t) = 0 of cos(t) = 0,25, dus t = 0, π = 3,14, 2π = 6,28, 1,32, of 4,97. b sin(t) Dan cos(t) + 1 = 2 sin(2t) 2 cos(2t) + 4 sin(t) 4 sin(t) cos(t) = cos(t) + 1 4cos 2 (t) + 2, dus sin(t) = 0 of 4cos 2 (t) + 2 = 4cos 2 (t) + 4 cos(t), dus t = 0, π, 2π, 1 3 π of 5 3 π. 13 S is het punt (1,0). Neem aan dat de standaard-cirkelbeweging op tijdstip α in B is. Dan is B(cos(α), sin(α)) en A(cos(α 1 3 π), sin(α 1 3 π)). De eerste coördinaat van A is: cos(α 1 3 π) = cos(α) cos( 1 3 π)+sin(α) sin( 1 3 π) = en de tweede coördinaat is: sin(α 1 3 π) = sin(α) cos( 1 3 π) cos(α) sin( 1 3 π) = a f(x) = 0 cos(x) = 0 of cos(x) = 1, dus x = ± 1 2π of x = ±π. b f (x) = 2 sin(x) cos(x) sin(x), dus f (x) = 0 sin(x) = 0 of cos(x) = 1 2. Dus f (x) = 0 x = 0, ± π, ± 2 3 π. De extreme waarden zijn (GR): maxima f(0) = 2, f(±π) = 0 en minima: f(± 2 3 π) =

58 Hints 7 Regels voor differentiëren 1 (a b)(a + b) = a 2 b 2 8 Goniometrie 1 Als t = 1, dan is het kogeltje in (cos(0), sin(0)), als t = 2, dan is het kogeltje in (cos(1), sin(1)), als t = 7, dan is het kogeltje in (cos(6), sin(6)), Gebruik de stelling van Pythagoras. 3 Stelling van Pythagoras, formule 9. 4 Bereken die som op de GR en probeer de uitkomst via de eenheidscirkel te verklaren. 5 Noem sin(x) = y, los dan eerst de vergelijking in y op. 6 Vervang 2cos 2 (x) door 2 2sin 2 (x). 7 Bereken sin(α + β). 8 In de afgeleide kun je cos(x) buiten haakjes halen. 9 Formule 8, je krijgt: cos(x) = sin( 1 2 π x). 10 formule formule 16 9 Rekenen aan lijnen 1 AB is normaalvector van die lijn. 2 De kracht van 10 N wordt gegeven door ( 0 10). 3 Stelling van Ceva. 4 Je kunt bijgaande figuur maken. 5 Elimineer de parameter. 6 Kijk naar de richtingscoëfficiënten van k t en m t. 7 Teken lijnstuk MS. 169