Dynamics and Stability AE3-914

Transcriptie

1 Dynaics and Stability AE3-914 Noveber 1, :00 22:00 Please use a new sheet for each proble. The neatness of your work will be considered in the arkin. There are 5 probles and a Dutch translation has been included. Proble 1 (weiht 0,5) Consider a Laranian syste with one deree-of-freedo. Show that if the Laranian function does not depend on tie explicitly, i.e., then the Jacobi enery interal is an interal of otion, i.e., L = L(q, q), h(q, q) = q L q L h(q, q) = C or equivalently dh(q, q) dt = 0 Proble 2 (weiht 2,5) Two particles with ass are are attached to the represented hooeneous pulleys throuh two assless bars of lenth l and 2l respectively. The pulleys are connected by a belt as shown. No slippin can occur between pulleys and belt, so the syste is described by a sinle eneralised coordinate as shown. The particles do not collide for any value of and the acceleration of ravity is. a. Which qualitative condition ust be satisfied by the potential enery of a syste on a stable equilibriu confiuration? 2r 2l 2 r l b. Deterine the equilibriu confiurations of the represented syste and identify in each case whether the equilibriu is stable or unstable (Hint: There are four equilibriu confiurations).

2 Proble 3 (weiht 2,5) The represented riid assebly of bars is contained within the xy-plane and is free to rotate at pivot O about the z-axis, which otion is described by the eneralised coordinate. The pivot is attached to a platfor, which rotates at constant anular velocity. Diensions and ass can be read fro the fiure and the acceleration of ravity is. a. Write the inertia tensor of the assebly with respect to point O about the represented xyzaxes, in ters of and l. y 2l,2 l, z 2l,2 O x b. Show that the kinetic enery of the syste aounts to [ ( 29 T = l ] 2 cos2 ) 2. Specify all the steps of your calculation. c. Deterine the Laranian and find the equation of otion. d. Find the requireents on the anular velocity for the equilibriu position = 0 to be stable, akin use of any ethod of your choice. Proble 4 (weiht 1,5) A scheatic representation of a turn indicator is shown. The disc spins with constant rate p and is attached to a dial by eans of a horizontal rod throuh a y Ω z torsional sprin with constant k. The sprin is unstretched when = 0, that p is, when the xy-plane in which the disc is contained is vertical, which position corresponds x k to a straiht fliht path. When the aircraft initiates a turn with constant rate Ω, the disc abandons the vertical, R plane and adopts an equilibriu position quantified by the anle. The aircraft reains horizontal durin the turn. The disc is hooeneous with ass and radius R. Only equilibriu positions of are considered. a. Which condition is satisfied by the anular accelerations 1, 2, 3 of a body spinnin with anular velocity p = pk when a eneric rotation Ω = Ω 1 i + Ω 2 j + Ω 3 k is superposed? (The xyz-axes are attached to the body). b. Identify the actual expression of all ters involved in Euler equations of otion for the particular turn with rate Ω considered in the stateent. Nelect all ters includin Ω 2 and solve for the rate of turn Ω as a function of the anle. c. Find the rate of turn for a particular case with = 200, R = 50, p = 1000rad/s and k = 6, N, provided that the dial is indicatin = 60.

3 Proble 5 (weiht 3) In his novel The Fountains of Paradise, Arthur C. Clarke describes the construction of a tower risin fro the round (x = R e ) to the eostationary orbit (x = R ). Such a structure would be used to raise payloads to orbit usin elevators rather than rockets. The rotatin xy-axes shown are attached to the Earth and the tower. The tower has constant density ρ [k/ 3 ] and cross-sectional area A [ 2 ]. The Earth rotates with constant rate and the acceleration of ravity depends on the x-coordinate accordin to the function (x) = k/x 2. The centre of Earth is considered to be a fixed point. a. Show that the total force (includin actual and y fictitious forces) applied to an infinitesial eleent of the tower in the x-direction, as easured by an observer on the Earth-tower syste, aounts to df(x) = ρa ( 2 x kx ) 2 dx. Specify all the steps of your calculation. dx Earth x, u Geostationary orbit (x = R ) (x = R e ) Let u(x,t) represent the displaceent fro equilibriu of a point of the tower alon the x- direction. The elasticity odulus of the tower is E [N/ 2 ]. Only sall axial displaceents of the tower are considered and the Earth is considered to be riid. The observer is on the Earth-tower syste. b. Find the eneralised potential dv en associated with the force df found in the previous question. c. Deterine the Laranian dl for an infinitesial eleent of the tower in ters of the displaceent u and its derivatives (Hint: The elastic potential enery in an infinitesial eleent of the tower is expressed in ters of the strain as dv el = 1 2 EAε2 dx). d. What is the boundary condition reardin the displaceent u(r e,t)? How is this kind of boundary condition called? e. Consider a tie interval [t a,t b ]. Make use of Hailton s principle to find the equation of otion of the displaceent u and the boundary condition reardin u(r,t). How is this kind of boundary condition called? (Reark: Notice that the boundary conditions reardin u(x,t a ) and u(x,t b ) are not asked for). f. Considerin that, accordin to the variational analysis carried out above, each point of the tower experiences a velocity u t (x,t) alon the x-axis, calculate the additional fictitious force that would be applied to an infinitesial eleent of the tower. Specify the direction and sense of this additional fictitious force.

4 Dynaics and Stability AE Noveber :00 22:00 Gebruik voor iedere opave een nieuw blad a.u.b. De netheid van presentatie wordt ook betrokken in de beoordelin. Er zijn 5 opaven. Opave 1 (ewicht 0,5) Beschouw een Larane-systee et één vrijheidsraad. Toon aan dat als de Laraniaan niet expliciet afhant van de tijd, d.w.z., de Jacobi enerie-interaal een constante is van de bewein, d.w.z., L = L(q, q), h(q, q) = q L q L h(q, q) = C dan wel dh(q, q) dt = 0 Opave 2 (ewicht 2,5) Twee deeltjes et assa zijn bevestid aan de afebeelde katrollen door iddel van twee assaloze staven et lente l and 2l. De katrollen zijn verbonden door een snaar zoals weereeven in de afbeeldin. Er kan een slip optreden tussen katrollen en snaar, waardoor het systee beschreven kan worden door een enkele eeneraliseerde coördinaat. De deeltjes kunnen niet et elkaar botsen en de versnellin van de zwaartekracht is. 2r 2 r l a. Aan welke kwalitatieve voorwaarde oet de potentiële enerie van een systee voldoen in een stabiel evenwichtsconfiuratie? 2l b. Bepaal de evenwichtsconfiuraties van het afebeelde systee en a voor elk eval na of het evenwicht stabiel dan wel instabiel is (Let op: Er zijn vier evenwichtsconfiuraties).

5 Opave 3 (ewicht 2,5) De afebeelde constructie bestaande uit twee elaste y staven bevindt zich in het xy-vlak en kan vrij roteren o de z-as bij de scharnier O, welke bewein beschreven wordt door iddel van de een- eraliseerde coördinaat. De scharnier is bevestid 2l,2 op een platfor dat roteert et constante 2l,2 hoeksnelheid. Afetinen en assa kunnen uit het fiuur elezen worden en de versnellin van de l, O zwaartekracht is. z a. Schrijf de traaheidstensor van de constructie t.o.v. punt O o de afebeelde xyz-assenstelsel, uitedrukt in en l. x b. Toon aan dat de kinetische enerie van het systee eeven is door [ ( 29 T = l ] 2 cos2 ) 2. Beschrijf alle stappen van de berekenin. c. Bepaal de Laraniaan en vind de beweinsverelijkinen. d. Vind de voorwaarden waaraan de hoeksnelheid dient te voldoen opdat de evenwichtspositie = 0 stabiel is. Maak daarbij ebruik van uw voorkeursethode. Opave 4 (ewicht 1,5) Een scheatische weerave van een bochtindicator is afebeeld. De schijf spint et constante hoeksnelheid p en is bevestid aan een wijzerplaat door y Ω z iddel van een horizontale staaf en een torsieveer et constante k. De veer is p ontspannen voor = 0, d.w.z., als het xy-vlak waarin de schijf zich bevindt x k verticaal is, welke positie aanenoen wordt tijdens een rechte vlucht. Als het vlietui een bocht inzet et constante, R hoeksnelheid Ω, dan verlaat de schijf het verticale vlak en neet een nieuwe evenwichtspositie aan, welke ekwantificeerd wordt door de hoek. Het vlietui blijft horizontaal tijdens de bocht. De schijf is hooeen et assa en straal R. Er worden uitsluitend de evenwichtsposities van bestudeerd. a. Aan welke voorwaarde voldoen de hoek versnellinen 1, 2, 3 van een lichaa dat spint et hoeksnelheid p = pk als er een enerieke rotatie Ω = Ω 1 i + Ω 2 j + Ω 3 k opeled wordt? (Het xyz-assenstelsel zit vast aan het lichaa). b. Bepaal de werkelijke uitdrukkin van alle teren in de Eulersverelijkinen voor de bocht et hoeksnelheid Ω beschouwd in de opave. Verwaarloos alle teren et Ω 2 en los voor Ω op als een functie van. c. Bereken de hoeksnelheid van het vlietui in de bocht voor het bijzonder eval et = 200, R = 50, p = 1000rad/s en k = 6, N, als de wijzerplaat = 60 aaneeft.

6 Opave 5 (ewicht 3) In zijn roan The Fountains of Paradise, beschrift Arthur C. Clarke de bouw van een toren van de rond (x = R e ) tot de eostationaire baan (x = R ). Derelijke constructie zou ebruikt worden o payloads in een baan o de Aarde te brenen et behulp van liften i.p.v. raketten. Het roterende xy-assenstelsel is bevestid aan de Aarde en de toren. De toren heeft constante dichtheid ρ [k/ 3 ] en doorsnede A [ 2 ]. De Aarde roteert et constante hoeksnelheid en de versnellin van de zwaartekracht is afhankelijk van de x-coördinaat volens de functie (x) = k/x 2. Het iddelpunt van de Aarde wordt beschouwd als een vast punt. a. Toon aan dat de totale kracht (inclusief werkelijke en fictieve krachten) op een infinitesiaal eleent van de toren in de x-richtin, ezien door een waarneer op het Aarde-toren systee, eeven wordt door df(x) = ρa ( 2 x kx ) 2 dx. Beschrijf alle stappen van de berekenin. y dx Earth x, u Geostationary orbit (x = R ) (x = R e ) Laat u(x,t) de verplaatsin van een punt op de toren zijn ten opzichte van de evenwichtstoestand in de x-richtin. De elasticiteitsodulus van de toren is E [N/ 2 ]. Er worden uitsluitend kleine axiale verplaatsinen van de toren beschouwd en de Aarde wordt verondersteld oneindi stijf te zijn. De waarneer bevindt zich steeds op het Aarde-toren systee. b. Vind de eeneraliseerde potentiaal dv en die hoort bij de kracht df evonden in de vorie deelvraa. c. Bepaal de Laraniaan dl voor een infinitesiaal eleent van de toren in teren van de verplaatsin u en zijn afeleiden (Hint: De elastische potentiële enerie in een infinitesiaal eleent van de toren kan worden uitedrukt in teren van de rek als dv el = 1 2 EAε2 dx). d. Wat is de randvoorwaarde wat betreft de verplaatsin u(r e,t)? Hoe heet dit soort randvoorwaarde? e. Beschouw een tijdsinterval [t a,t b ]. Vind de beweinsverelijkinen voor de verplaatsin u en de randvoorwaarde voor u(r,t) door ebruik te aken van het principe van Hailton. Hoe heet dit soort randvoorwaarde? (Let op: De randvoorwaarden voor u(x,t a ) en u(x,t b ) worden niet evraad). f. Aanezien dat, volens de vorie berekeninen, elk punt van de toren een snelheid u t (x,t) zal hebben lans de x-as, bereken de extra fictieve kracht die zou werken op een infinitesiaal eleent van de toren. Specificeer de richtin en het teken van deze extra fictieve kracht.