De steen in de vijver 19 december 2007

Transcriptie

1 De in de vijver 19 deceber 2007 Inleiding Er is een oud, bekend problee waarbij een in de vijver gegooid wordt. Het zal daardoor stijgen. ls dezelfde in een je in het gelegd wordt zal het ook stijgen. De vraag is of dat iets uit aakt. In de eeste natuurkundeboeken wordt aan de hand van een redenering uitgelegd dat in geval van de het het eeste stijgt: ls de in het ligt verplaatst deze alleen zijn eigen volue. ls de in de ligt wordt de hoeveelheid verplaatst die dezelfde assa heeft als de. Odat de dichtheid van kleiner is dan die van, wordt in geval van het je eer verplaatst. Er volgt echter nooit een berekening en de invloed van de assa en grootte van de wordt nooit eegewogen. Toch is het niet oeilijk o dit alles tot een sluitende uitleg te verwerken. Een analytische uitleg Er is een vijver. ls je een in de vijver gooit zal het peil een beetje stijgen. ls je een je in het legt et de erin zal het ook stijgen. In welk geval stijgt het het eest? De heeft een assa van kg en een volue kubieke eter. Laten we er vanuit gaan dat de vijver overal even diep is et een oppervlakte. De vijver zonder of is in afbeelding getekend. ls de in de vijver gegooid wordt kot er een extra volue bij. Deze situatie is getekend in afbeelding B. Het extra volue wordt in de vor van een stijging van de spiegel over de hele oppervlakte van de vijver uitgeseerd. 1

2 De stijging van het is: h = ls de in de ligt (getekend in afbeelding C zijn er volgens rchiedes twee krachten et elkaar in evenwicht. De zwaartekracht trekt de en de olaag: F = ( + g (1 z De opwaartse kracht van het op de is gelijk aan de zwaartekracht van het verplaatste. F = g = g (2 opwaarts Deze twee krachten zijn even groot: F opwaarts = F Z We vullen voor de krachten de forules (1 en (2 in. Daarna delen we links en rechts g weg. Tenslotte aken we het volue vrij uit de forule: g = ( + g = ( + ( + = Het verplaatste wordt in dit geval verdeeld over de oppervlakte odat de een deel van de oppervlakte van de vijver inneet. De stijging berekenen we et: ( + h = = ( (3 We willen nu weten in welk geval de stijging het grootste is: de stijging van de spiegel afbeelding B ( h = of die in afbeelding C (forule 3: ( + (? (4 Stel nu dat de geen assa heeft en geen oppervlakte in neet (dus = 0 en = 0. ergelijking (3 wordt dan een beetje eenvoudiger. 2

3 ??? an beide kanten van het kleiner-dan-teken staat een deling. In beide delingen is de teller hetzelfde. De deling aan de linkerkant geeft een kleinere uitkost dan de deling rechts als de dichtheid van de groter is dan de dichtheid van. angezien we er vanuit gaan dat de zinkt is dat inderdaad zo. De stijging van het is dus het kleinste als we de in het gooien, en het grootste als we de in het je leggen. We zijn er vanuit gegaan dat de geen assa heeft en geen oppervlakte van de vijver wegneet. Maar wat als de wel iets weegt en wel oppervlakte van de vijver wegneet? eranderd dat de conclusie? De stijging van de spiegel in afbeelding C is: ( + h = ( ls de assa van de groter dan nul is, is de stijging van het groter. Dat is niet zo verrassend. Een zwaardere verplaatst eer en zal dus een grotere stijging van de spiegel tot gevolg hebben. ls de eer oppervlakte van de vijver wegneet wordt de uitkost van de deling ook groter (je deelt door een kleiner getal en dus is de uitkost groter. Natuurkundig gezien is dat ook logisch, odat het verplaatste over een kleinere oppervlakte verdeeld wordt. Korto: of de nu groot of klein is, zwaar of licht. De spiegel stijgt et eest in het geval van afbeelding C. 3

4 Geval 2 In de wetenschapsquiz van 1994 kot een variant van dit problee voor. Je zit in een roei in een vijver et een zware in de. Wat gebeurt er et het peil van de vijver als je die overboord zet? a. Het peil stijgt. b. Het peil daalt. c. Het peil blijft gelijk. De roei et de er in is dezelfde situatie als in afbeelding C. ls de overboord gegooid is, ontstaat de situatie die in afbeelding D getekend is. De stijging van de spiegel in situatie C hebben we al bekeken. In situatie D wordt de verplaatsing veroorzaakt door de plus die van de. Dat werken we nu verder uit. De verplaatsing door de is het volue van de. Odat we zo eteen ook te aken krijgen et het volue dat de verplaatst, schijf we het volue van de nu als. De zwaartekracht op de is: F = g (5 z De opwaartse kracht van het op de is gelijk aan de zwaartekracht van het verplaatste. F = g = g (6 opwaarts Deze twee krachten zijn even groot: F opwaarts = F Z dus: g = g = = (7 4

5 In deze forule slaat nu alleen op het volue van het dat door de verplaatst wordt. De vraag is nu weer of het volue van het verplaatste (in beide gevallen t.o.v. van situatie in geval C, of in geval D groter is. Dus: ( + > +? We vullen voor de dichtheidforule en voor de eerder gevonden forule in: ( + > +? Daarna schrijven we de forule links van het groter-dan-teken als de so van twee breuken + > +? Tenslotte halen we van beide zijden >? af: Ook hier vergelijken we weer twee breuken et dezelfde teller. Odat de in zinkt heeft deze een grotere dichtheid dan en dus delen we rechts door een groter getal. De verplaatsing in geval C is dus groter dan in geval D. Korto: als we de uit de gooien, zal het peil dalen. ntwoord b is het juiste antwoord. 5