Wat doen we (niet) met breuken?

Transcriptie

1 Een aanzienlijk deel van de probleen die leerlingen in HAVO en VWO hebben bij het werken et algebraïsche expressies wordt veroorzaakt door te geringe aandacht voor de breuken, betogen Truus Dekker en Martin Kindt. Het belang van een doorlopende leerlijn breuken, van basisonderwijs naar voortgezet onderwijs, wordt et een aantal voorbeelden toegelicht. Wat doen we (niet) et breuken? Tijdens een logeerpartij worden er twee pizza s gegeten. Paulien (9) zegt: Die eneer van de pizza s heeft ze in zessen gesneden. We hebben saen vijf zesden (of zei ze vijf zessen?) van een pizza gegeten. Want, kijk aar, jij hebt een halve op en ik heb van de andere pizza twee stukken van de helft op. En die halve, dat zijn drie zessen stukken. Nee, Paulien heeft nog geen breuken geleerd op school: Dat kunnen wij nog niet, zegt de juf, dat leren we volgend jaar. Paulien is bezig et echte breuken. Veel jonge kinderen gebruiken al breukentaal ; ik ben zes-en-een-half, ik wil nu een halve boterha, ik wil wel de helft van die halve appel,... In soige gezinnen oet de verdeler het laatste stukje neen. De rest ag eerst kiezen. De verdeler zorgt dan wel voor redelijk gelijke stukken. De breuken zijn deel van iets benoeds, op dezelfde anier als tellen begint et vijf knikkers, twee hapjes, drie jaar. Paulien kon nog geen schrijven, aar bedacht zelf wat vijf zesden zijn wanneer je vijf stukken van iets dat in zessen gedeeld is, opgegeten hebt. Inforeel optellen van breuken deed ze ook, al heeft ze in de verste verte geen idee wat gelijknaige breuken zijn. Het op een natuurlijke anier ontwikkelen van een breukentaal geeft haar een basis o straks op voort te bouwen. Gebeurt het systeatisch ontwikkelen van een breukentaal inderdaad op de basisschool? We weten dat niet zeker, aar het zou wel oeten. Breuken bewerken op de basisschool Wat gebeurt er op de basisschool bij het leren van eigenschappen van en bewerkingen et breuken? In het pas verschenen boek Breuken, procenten, koagetallen en verhoudingen, bested voor de bovenbouw van de basisschool, wordt et enige aarzeling een globale leerlijn breuken voor de basisschool vereld. Met enige aarzeling odat breuken, deciale getallen, procenten en verhoudingen een grote onderlinge saenhang vertonen en de betreffende leerlijnen dus niet als op zichzelf staand oeten worden opgevat. Hiernaast volgt een saenvatting: Ontwikkelen van een breukentaal: een half brood, een kwart appel, een zesde deel van een banketstaaf; een strook die in vieren gevouwen is en waarvan driekwart gekleurd is. Beredeneerd verdelen; hoe verdelen we die in zessen verdeelde pizza onder drie personen; onderzoek van de relaties tussen delen in zessen, in drieën en halveren. Hoe vaak past een zesde deel van de banketstaaf op een halve? Operaties uitvoeren. Beredeneerd optellen en aftrekken bouwt voort op beredeneerd gelijknaig aken. Hoeveel van de pizza hebben we saen opgegeten? Deel van relateren aan een verenigvuldiging, deel van 00 kun je schrijven als 00. (Die overgang van deel van naar verenigvuldigen et blijkt een hele lastige, ook voor leerlingen in het voortgezet onderwijs!) Aanzetten tot het ontwikkelen van routineatige procedures. Bij gedeeld door kun je denken aan vijf liter toatensaus die je verdeelt over flesjes van een halve liter. Of bij gedeeld door kun je aan sprongen van op een getallenlijn denken. Hoeveel spron- gen is het tot? 0 Veel breukenopgaven worden ingekleed gegeven; bij een niet ingeklede berekening kan een leerling zelf een context bedenken als hulp. Leerlingen gebruiken in het algeeen verschillende odellen zoals de cirkelschijf (naar saak pizza of taart), de getallenlijn, een verhoudingstabel, het rechthoeksodel. Ook wordt er wel handig geredeneerd. Als voorbeeld van een reken-redeneeroplossing laat het genoede boek zien hoe de opgave zou kunnen worden aangepakt:. is hetzelfde als is hetzelfde als 7 9 Wat doen we (niet) et breuken?

2 ? ?. Oppassen kost euro per uur. Voor uur oppassen oet ik dan...betalen.. liter in liter, hoe vaak zit het erin? Teken het. De vraag hoe vaak liter in liter past, zou via een getallenlijn kunnen worden opgelost. In alledaagse situaties zul je je veroedelijk eerder afvragen hoeveel flesjes et een inhoud van liter je kunt vullen uit een pan saus waar liter in zit. Aan het eind van de basisschool Het kan ook et de oppervlakte van een tegelvloertje et verfijning van de tegeltjes. Overigens geldt wat hier over verenigvuldigen van zulke geengde breuken wordt beschreven voor de betere rekenaars. Want, zo eldt het boek op bladzijde : Een so (bedoeld wordt natuurlijk opgave ) als hoort wat ons betreft niet tot de kerndoelen van het rekenonderwijs op de basisschool, in ieder geval niet in zijn kale, forele vor. Toch zijn er genoeg kinderen die dergelijke soen ook op dat forele niveau aankunnen. Vooral na groep zes van de basisschool zal er vaak een zekere differentiatie plaatsvinden; niet alle kinderen koen even ver in het vak rekenen. En wat er aan breuken gedaan wordt, hangt natuurlijk ook af van de docent die voor een beperkte lestijd beslissingen oet neen over het belang van allerlei onderwerpen uit het reken-wiskundeonderwijs. De kerndoelen voor het basisonderwijs laten wat de breuken betreft in ieder geval genoeg ruite voor verschillende interpretaties, want daarin staat (kerndoel ): de leerlingen leren structuur en saenhang van aantallen, koagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties ee te rekenen. In de eindtoets voor de basisschool van Cito neet het uitvoeren van operaties et breuken geen belangrijke plaats in. Een voorbeeld van een opgave die in die toets zou kunnen voorkoen, is: Lisette is aan het sparen voor een coputerspel. Ze heeft al van het bedrag gespaard. Drie aanden later heeft ze nog eens deel van het bedrag gespaard en haar vader zegt dat hij de rest betaalt. Welk deel is dat? Delen en verenigvuldigen et breuken zal waarschijnlijk aar door een beperkte groep leerlingen in de hoogste groep van de basisschool gedaan worden. Een paar voorbeelden van opgaven die op de basisschool gebruikt worden, sos als extra stof voor goede leerlingen:. Job en zijn vrienden aken een wandeltocht. De hele tocht duurt uur. Ze zijn op de helft. Hoe lang hebben ze al gelopen? In het boek wordt aangestuurd op, aar is het niet even logisch o aan te denken? : Het is duidelijk, het breukenonderwijs is aan het eind van de basisschool nog niet af. Voor soige leerlingen, et nae de leerlingen die naar het VMBO gaan, hoeft hun kennis uiteindelijk ook niet veel verder te gaan dan begrijpen wat breuken zijn en ze hoeven aar in heel beperkte ate et breuken te kunnen rekenen. De rekenachine neet een belangrijk deel van het werk over; begrip en inzicht zijn belangrijker dan het kunnen uitvoeren van standaardalgorites die toch weer snel vergeten worden. O een idee te geven, in het vernieuwde exaenprograa voor de basisberoepsgerichte leerweg (BB) van het VMBO staat dat de leerlingen in betekenisvolle situaties gelijknaige breuken oeten kunnen optellen en aftrekken en eenvoudige breuken verenigvuldigen et een geheel getal. Leerlingen in de theoretische richting (GL/TL) oeten aan het eind van hun opleiding ook nog eenvoudige breuken kunnen verenigvuldigen en delen in betekenisvolle situaties. Uiteindelijk ag tijdens het gehele exaen de rekenachine worden gebruikt, dus wie het niet zelf kan, ag de berekeningen et de rekenachine doen. Voor HAVO- en VWO-leerlingen ligt dat anders; zij hebben de eigenschappen van breuken en de forele bewerkingen later ook nodig voor de algebra. Van Hiele schreef al in 97: Waarschijnlijk zullen langs deze weg de eeste algoriten der breuken op de basisschool niet aan de orde koen. Voor het praktische leven zou dit niet hinderen: daar zijn die algoriten niet van pas, in het praktische leven kot en alleen de aan aterie gebonden breuken tegen. Vrijwel alle algoriten der breuken functioneren pas voor het eerst in de algebra (Van Hiele, 97). Voor de rest van dit artikel zullen we ons voornaelijk tot het voortgezet onderwijs op het VWO beperken. Naar het VWO In de brugklas van het voortgezet onderwijs oeten de leerlingen hun rekenkennis van de basisschool onderhouden en uitbreiden. Handig kunnen rekenen in allerlei situaties, uitkosten kunnen schatten en op een bij de situatie passende anier afronden, blijven belangrijk. Kunnen redeneren over het getalsystee in plaats van kennis hebben van het getalsystee krijgt eer nadruk. En hoe zit het et de breuken? Nieuwe Wiskrant -/deceber 00 7

3 In de brugklasboeken wordt eestal één (deel van een) hoofdstuk aan de breuken besteed. Veel docenten in het voortgezet onderwijs gaan er nog steeds vanuit dat alle operaties et breuken op de basisschool aan de orde geweest zijn en dat ze dus alleen aar hoeven te herhalen wat op de basisschool geleerd is, wellicht in iets forelere vor. Zo staat in een van de bekeken brugklasboeken: Voor van de schrijf je. Het getal boven de breukstreep heet de teller, want je telt het aantal stukken dat je hebt. Het getal eronder heet de noeer, want elk stuk noe je één achtste. Dan koen gelijknaige breuken aan de orde en het vereenvoudigen van breuken; sos ook nog het aangeven van de juiste plaats van breuken (ook geengde breuken) op een getallenlijn. Echter, redeneren over breuken en over de uitbreiding van het getalsystee ontbreekt eestal. Je zou als docent toch willen dat een brugklasleerling kan aangeven waaro er geen kleinste breuk groter dan nul is, of dat hij/zij kan uitleggen hoe het kan dat je een getal kunt delen door iets waarna de uitkost groter wordt, zoals bij :. Verenigvuldigen van breuken kot in het lesboek dat we als voorbeeld gebruiken even aan de orde via het rechthoeksodel: Kleur eerst van een rechthoek en daarna van dit deel. Je hebt nu gezien dat. Zo geldt ook en Je ziet: bij het verenigvuldigen van breuken oet je de tellers verenigvuldigen en de noeers verenigvuldigen. teller teller breuk breuk - noeer noeer Afgezien van de hybride notatie, dit is alleaal wel heel erg kort door de bocht. Met het rechthoeksodel wordt verder niet geoefend, hoewel juist hier ogelijkheden liggen tot verdere verdieping en aansluiten bij wat later bij de algebra nodig is. Hier blijven veel kansen liggen, al kunnen docenten natuurlijk heel goed hun eigen koers varen, onafhankelijk van wat er in een ethode staat. Een eenvoudige oefening die hier zou passen: Het vierkant van bij is verdeeld in vier stukken. Schrijf in elk van die stukken de oppervlakte als breuk. Tel de vier breuken op. Verenigvuldigen et geengde breuken gaat volgens de eeste boeken et de rekenachine en dat geldt ook voor het delen van breuken. Nee, dat alles sluit niet aan bij wat de leerlingen in het basisonderwijs hebben gedaan. Een doorlopende leerlijn van basisonderwijs naar voortgezet onderwijs zou, juist voor de VWO-leerlingen, bij dit toch eeuwig lastige onderwerp belangrijk zijn. Er is in het voortgezet onderwijs (te?) weinig tijd beschikbaar voor rekenen in het algeeen en voor rekenen et breuken in het bijzonder, er oet nog zoveel eer. Zou er isschien toch op de basisschool door aanstaande HAVO- en VWO-leerlingen wat tijd kunnen worden besteed aan foralisering van rekenen et breuken, bijvoorbeeld in de periode na het afneen van de Cito-eindtoets? Misschien een idee voor uitgevers van lesateriaal voor basisscholen? In ieder geval zouden er in dergelijk extra ateriaal interessante ontdekkingen gedaan kunnen worden. Bijvoorbeeld dat als je de tellers én de noeers van twee breuken bij elkaar optelt, je een tussenbreuk krijgt, in plaats van de so van de breuken. Of dat als je bij een breuk (kleiner dan ) bij teller en noeer hetzelfde getal optelt, de breuk niet gelijk blijft (zoals bij verenigvuldiging et hetzelfde getal), aar groter wordt. Breuken in de algebra Het rekenen et breuken in de algebra kot het eerst naar voren bij lineaire vergelijkingen. Zo vonden we in een veelgebruikt schoolboek het voorbeeld: Los op x : : x Met daarbij de uitleg hoe de deling : et de rekenachine kan worden uitgevoerd (gebruik de ab/c knop). Daaraan voorafgaand is de balansethode uitvoerig uitgelegd en beoefend, en daaro is het voor ons een raadsel waaro de leerling hier geen kans geboden wordt eerst eens zelf na te denken over een geschikte strategie; bijvoorbeeld eerst links en rechts delen door en daarna verenigvuldigen et (of vice versa). En waaro niet aan de hand van dit voorbeeld het bekende delen door een getal is verenigvuldigen et het ogekeerde aangekaart? Links en rechts verenigvuldigen et levert iers (net als delen door ) in één klap de oplossing. Vreed is ook dat na het bijbehorende rijtje opgaven, de dwingende aanbeveling volgt o in een vergelijking eerst aar alle breuken weg te verenigvuldigen: Bij x 7 x verenigvuldig je alle teren et, want dan verdwijnen de breuken. Daaree is het oefenen et breuken sterk gereduceerd. Het valt trouwens op dat, voor zover er in de onderbouw aan rekenen et letters wordt gedaan, breuken zoveel ogelijk worden vereden. Coëfficiënten in twee- en drieteren zijn bijna altijd geheel. En waaro wel uitwerkopgaven als (x )(x ) en niet ( x + )( x + )? Breukvoren et letters, waar vroeger uitgebreid ee werd geoefend, koen in de eerste twee leerjaren van Wat doen we (niet) et breuken?

4 HAVO en VWO niet of nauwelijks voor. Niet dat wij terugverlangen naar de weelderige cultuur van ingewikkelde breukvoren van pakweg zo n vijftig jaar geleden, aar door het volledig negeren ervan worden er toch kansen geist o het inzicht in de breukrekening te verdiepen en latere isrekeningen te voorkoen. Een bekende fout die in de bovenbouw van het VWO optreedt, is de vereenvoudiging van bijvoorbeeld - tot + a + a, het bekende wegstrepen. Alleen aar vertellen aan leerlingen dat die vereenvoudiging fout is odat a een ter is en geen factor, heeft op zo n oent weinig zin. Beter is het o uit te dagen tot wat onderzoek. is - + a groter, gelijk of kleiner dan? + a Teruggrijpen naar voorbeelden et hele getallen en dan veralgeeniseren. Een ooie oplossing is o het verschil et te bekijken. En hoe zit het als a negatief is? Of: hoe kan je de noeer een beetje veranderen zodat de breuk wél gelijk is aan en wat kan je doen et de teller o te bereiken dat de goede uitkost is? Waaro zou een dergelijk problee niet in bijvoorbeeld al het tweede leerjaar van het VWO aan de orde kunnen koen? Flexibel kunnen ogaan et algebraïsche expressies is een belangrijk doel voor de betreffende groep leerlingen en daar kunnen we beter vroeg ee beginnen. En geloof het of niet, aar voor veel leerlingen in de bovenbouw is het beslist niet vanzelfsprekend dat gelijk π is aan π. Dit deonstreert dat er veel ankeert aan het aanleren, verankeren en onderhouden van eleentaire algebra. Er zijn genoeg oefeningen te bedenken, waaree jonge VWO ers uit de voeten kunnen o dit soort gebreken te voorkoen (zie bijvoorbeeld Wat a is, dat kun je niet weten, hoofdstuk 7 (Drijvers, 00)). In een leerboek voor VWO dat we bekeken, worden de leerlingen uitgedaagd te onderzoeken welke forule gelijkwaardig is et: y x + x - + Dat is uiteraard een pria opgave. Echter, oniddellijk daarna volgen de regels voor vereenvoudigen van breuken en hoe je ze oet (sic) optellen, verenigvuldigen en delen. Die bewerkingen kun je natuurlijk et de (iniddels grafische) rekenachine uitvoeren, aar, zo staat er, als er letters staan in de breuken, kun je et de rekenachine niet zoveel beginnen. En dus volgen nu (!) de forele regels voor de bewerkingen et breuken, toegepast op breuken waarin letters voorkoen. Eerst een voorbeeld bij elke regel, zoals: x - + : - x x - + ( x + ) - x ( x ) gevolgd door een paar oefeningen. Het lijkt op een wat laat aangelegd noodverband en het ag nauwelijks verbazen dat veel leerlingen tot en et het exaen probleen hebben bij het opereren et allerlei algebraïsche expressies, en zeker et breukvoren. De sprong van inforeel, dan wel et de rekenachine, uitvoeren van operaties et breuken naar het hanteren van forele regels voor het rekenen et breuken waarin variabelen voorkoen is wel erg groot. Wat kunnen we doen in het voortgezet onderwijs? Als we ernst willen aken et het onderhouden en uitbreiden van de breukenkennis van de basisschool, oet er een doorgaande leerlijn van priair naar voortgezet onderwijs zijn. We willen hier een schets geven van (het begin van) een leerlijn breuken voor HAVO en VWO, aansluitend op de behandeling in het basisonderwijs. Breuken als uitbreiding van het getalsystee eerst van de natuurlijke, daarna van de gehele getallen. Breuken op de getallenlijn, gelijkwaardigheid van breuken, het bestaan van negatieve breuken. Vereenvoudigen van letterbreuken, zoals: n - n, +, + p 0q - p q Vergelijken van breuken (gelijke noeers of gelijke tellers aken), gebruik van de tekens < en >, ook et eenvoudige letterbreuken. Welke breuk is groter: of? Waaro? n n + (n staat voor een natuurlijk getal) Herhalen en foraliseren van de operaties optellen en aftrekken; het gelijknaig aken van breuken, ook weer et letterbreuken Inforele en preforele voren van de operaties verenigvuldigen en delen herhalen, oppervlakteodel, sprongen op de getallenlijn. Verenigvuldigen en delen als inverse operaties, ook et variabelen: n n : p q,, q p Onderzoeken en generaliseren van getalpatronen et breuken: + Kun je eer van zulke gelijkheden verzinnen? Welke forule hoort daarbij? Saengestelde breuken, bordjesethode: x + x + x - + n Nieuwe Wiskrant -/deceber 00 9

5 Concrete toepassingen van breukrekenen, zoals: eenvoudige kansrekening, verschillende soorten geiddelden (rekenkundig, gewogen, haronisch), hellingsgetallen van rechte lijnen. Ter toelichting van dit laatste punt kijken we naar een klassieke toepassing van breukrekenen die bijvoorbeeld te vinden is in het werk van Polya (Polya, 9) en Freudenthal (Freudenthal, 99) * * Een bassin kan gevuld worden et twee kranen, zeg A en B. Alleen et kraan A duurt het uur voor het bassin vol is, alleen et kraan B duurt het uur. Hoelang duurt het voor het bassin vol is, als beide kranen openstaan? Vervang door a en door b en geef een forule voor de tijdsduur van vollopen. Dit problee laat verschillende oplossingsstrategieën toe. De eest bekende aanpak is: als alleen kraan A loopt is het bassin na één uur voor de helft vol; loopt alleen B, dan is het na één uur voor een derde vol. Staan beide kranen open, dan is na één uur + van het bassin ge- vuld. Stel t is het aantal uren nodig o het bassin te vullen, dan oet gelden t dus t. Conclusie: na uur en inuten is het bassin gevuld. Freudenthal geeft in Revisiting Matheatics Education een ooie alternatieve oplossing: stel je tijdelijk een scheidingswand in het bassin voor die dit in delen et verhouding : verdeelt, zoals in de figuur. A () () bassin Het deel van A is vol na uur en B heeft dezelfde tijd nodig o zijn deel vol te krijgen! De generalisatie van de twee oplossingsethoden geeft aanleiding tot het vergelijken van de expressies: b en, die beide te herleiden zijn tot: a - + b a - ab a+ b + a b B Onze lijst et punten van een leerlijn is ongetwijfeld uit te breiden et eer en andere relevante zaken en de gekozen voorbeelden kunnen et talloze andere worden aangevuld (zie bijvoorbeeld ook Wat a is, dat kun je niet weten en Oefeningen in algebra). Dit artikel oet worden beschouwd als een eerste verkenning van de breukenprobleatiek in het voortgezet onderwijs. We herhalen nog eens dat we hierbij exclusief de HAVO- en VWO-leerlingen voor ogen hebben. We zijn ervan overtuigd dat voor die leerlingen het werken et letterbreuken vanaf de beginfase in het voortgezet onderwijs nuttig is. De structuur van de operaties et breuken kot duidelijker naar voren als er et variabelen in teller en/of noeer wordt gewerkt. Het lijkt daarbij verstandig o het doein voor de variabelen in teller en noeer aanvankelijk te beperken tot de natuurlijke getallen. In een later stadiu, wanneer er sprake is van eenvoudige gebroken functies et hun grafieken, is uitbreiding van dit doein naar de rationale en de reële getallen gewenst. Reacties van lezers zijn vanzelfsprekend zeer welko ([email protected]). Truus Dekker, Martin Kindt, Freudenthal Instituut Literatuur Galen, F. van, e.a. (00). Breuken, procenten, koagetallen en verhoudingen. Groningen: Wolters- Noordhoff. Hiele, P. van (97). Begrip en inzicht. Purerend: Muusses. Drijvers, P. (red.) (00). Wat a is, dat kun je niet weten. Utrecht: Freudenthal Instituut. Kindt, M. (00). Oefeningen in algebra. Utrecht: Freudenthal Instituut. Polya, G. (9). Matheatical Discovery (volue I). John Wiley & Sons, Inc. Freudenthal, H. (99). Revisiting Matheatics Education. Dordrecht: Reidel Publishing Copany. Noot [] Te bestellen via Wolters-Noordhoff 0 Wat doen we (niet) et breuken?