REKENEN MET ACTIES EN COMMUNICATIES. Jan Willem Klop CWI, Vrije Universiteit, Radboud Universiteit

Transcriptie

1 REKENEN MET ACTIES EN COMMUNICATIES Jn Willm Klop CWI, Vrij Univrsitit, Rou Univrsitit Voorrht ghoun op mng 20 juni Smnvtting. Ht prigm vn informti is vrshovn vn omputti nr ommuniti. In z voorrht wil ik n imprssi gvn vn lgr voor tis n ommunitis, i fglopn kwrt uw is ontwikkl. Atis,,,... zijn tomir gurtnissn (stppn, vnts ). In proslgr kunnn w rknn mt tis. Zo is ( + ) ht pros t tw -stppn ot gvolg oor n - of n -stp. (Mr it pros is nit glijk n +, oor ht vrshilln kuzmomnt.) En pros x kn prlll wrkn mt n pros y, notti x y, wrij sommig tis in x glijktijig mt sommig tis in y gn motn worn: ommuniti-tis. Dt zijn ls ht wr hlv tis i hun wrhlft noig hn om tot n hl ti t kunnn worn uitgvor. In ht glijks lvn is n hnruk n voorl vn tw hlv tis i smn motn gn. Op ht totsnor vn n PC hn w zlfs trnir ommuniti-tis: ontrol-ltlt. En in muzikkkoorn vinn w vir- of mrtllig ommuniti-tis. D rsulttn vn zulk intrn ommunitis willn w vrrgn ( hiing ). Dz strti mt hulp vn still, onzihtr ti τ ( silnt mov ) mkt ht moglijk systmn vn ommunirn prossn moulir op t ouwn in n hirrhi. Ht tripl spifiti-implmntti-vrifiti nmt nu n ovrzihtlijk vorm n. D spifiti is n nvouig pros Sp. D implmntti is n ingwikkl pros Imp. D vrifiti t implmntti inr orrt is, is n puur lgrish, qutionl rkning t n gshikt strti vn Imp juist Sp oplvrt: As(Imp) = Sp. Ht rknn mt tis n ommunitis, proslgr, is logish n wiskunig intrssnt. Bovnin is r ook nog inzt vn proslgr voor vilighi n omfort: mt huiig proslgr tools worn nit lln spoorwgmplmntn n hlioptrsoftwr orrt wzn, mr ook ht ommunitiprotool in fstnsining vn n TV. Voor n informl inliing zi of Dr zijn slis vn voorrht in klur t vinn ls RAC.pf onr Lturs. Mr thnish inliingn zijn itms 31, 33, 40 vn Biliogrphy op zlf plts. 1. Gshinis n prsonn. En nkl woor ovr hrkomst vn ht onrwrp. D founing fthrs vn proslgr wrn ron 1980 Turing Awr winnrs Hor n Milnr. Proslgr, ton ook onurrny ghtn, wr oor Bkkr in 1980 in Nrln gïntrour, vi mtrish topologi. Vn wr n lgrïsh vrsi gnm ACP, Algr of Communiting Prosss, oor Btn, Brgstr n Klop ontwikkl, onr liing vn Brgstr. Sinsin is ht vk uitgouw n von ht ivrs topssingn, ontwikkl oor Vnrgr, vn Glk, Groot, Fokkink, Ruttn, Kok n vl nrn. Sins 1985 zijn r 60 tot 70 mnsn in Nrln gpromovr op it gi. 2. Bsis Pros Algr. Bshouw volgn situti. Op ht 5-ij-5 vl in Figuur 1 willn w zwrt stip nr ht grijz vl vrpltsn, mt lmntir tis r, l, u,. Er zijn vrshilln prossn voor z vrpltsing moglijk, i w mt hulp vn oprtorn + voor kuz n. voor n lkr on (squning) ls volgt wrgvn ls

2 prostrmn: r 3 u 3, of (ur) 3, of r 3 u 3 +(ur) 3, of r(r 2 u 3 + u 3 r 2 ) + u 3 r 3. Ht ltst pros is r één t rst kist tussn ht ol rikn vi 3 stppn omhoog n n 3 nr rhts; of rst n stp nr rhts gvolg oor ht pros r 2 u 3 + u 3 r 2 wrin wr n kuz gmkt wort. Wi pris i kuzs mkt, n utonoom pros, of wij, of n omgving, ot r nit to. Figuur 1. Brng stip nr virknt. W hn nu l n nvouig lgr vn tis n prossn. D prossn ontstn oor tomir tis zols u, r smn t stlln mt oprtorn + n. Dz Bsis Pros Algr (kortwg BPA) wort gxiomtisr oor xiom s in Tl 1. Volgns klssik rgls vn logi voor vrglijkingn, qutionl logi, lvrn xiom s n instntiëring vrglijkingn op, zols (u + r).u = u.u + r.u, i inr wr zijn in shouw situti. Strks zl ht pros vn Figuur 1 nog op n hl nr, mr onomish mnir wrggvn kunnn worn, nl. ls r 3 u 3, prllll uitvoring of mrg, ook intrlving gnm, vn r 3 n u 3. Opvlln is fwzighi in BPA vn nr istriutivitit, z.(x + y) = z.x + z.y. Dit is ruil mr op it momnt vn knnismking is wingn rn nog nit irt in t zin. Aopti vn z vrkr istriutivitit zou hl onrnming on fln; ht inziht in kuzstrutuur vn n pros zou vrlorn gn, n rm ht inziht of omplx systmn go rin of vst kunnn lopn (lok).

3 x + y = y + x x + (y + z) = (x + y) + z x + x = x (x + y). z = x.z + y.z x.(y.z) = (x.y).z Tl 1. Bsis Pros Algr. 3. Rursi. Ht simpl xiomsystm BPA is nvouig, mr l hl intrssnt, tnminst ls w n niuw mil tovogn om ook oninig prossn t vormn, nmlijk rursi. Dz fsinrn onstrutiwijz vn oninig ojtn wort vn oushr gïllustrr oor kn Drost vrplgstr. In logi n informti n in morn vrzmlingnlr ( ongfunr vrzmlingn) hn w mr lgmn situtis wrij vrplgstr op hr inl 2 of mr oosjs o rgt, of wrij vrshilln vrplgstrs optrn mt inln wrop vrshilln oosjs stn, i toh ht tfrl, ghl of gltlijk, wr fln. X Figuur 2. Rursi. Figuur 2 gft ht rursif gfinir pros X =.X + wr (mt, ls tomir tis n rursivril X) in vorm vn n trnsitiigrm, of prosgrf. Ht is n finit-stt pros; ht hft mr tw tostnn, knopn vn grf, ingngsknoop mt ll X n lg inknoop. D trminrn pn ( finit trs ) vn ht pros X worn hnig shrvn oor rgulir xprssi *, mt Kln-str * i n itrti vn 0 of mr krn nuit. D vrglijking X = X + ht linir, omt r gn proutn vn rursivriln X, Y,... in voorkomn. Linir stlsls vn vr-

4 glijkingn komn ovrn mt finit stt prossn, n zijn voor vrifitiolinn, wrovr ltr, ht mst gruikt. Intrssntr zijn nit-linir stlsls vn vrglijkingn, omt z infinit stt prossn wrgvn. Hir is n mooi nsluiting ij thori vn forml tln, mt nm ij ontxt-vrij tln. (Typ 2 in Chomsky hirrhi; linir vrglijkingn komn ovrn mt typ 3 tln, rgulir tln.) Figuur 3. Prioik strutuur vn BPA-prossn mt nit-linir rursi. Figuur 3 (links) vt prosgrf horn ij ht stlsl rursiv vrglijkingn {X = Y + Z, Y = + X + YY, Z = + X + ZZ}. Ht stlsl is nit-linir, vnwg proutn vn rursivriln YY n ZZ. Dit pros plt n ontxt-vrij tl, i woorn vt vrkrgn oor vnf ginknoop (mt kort pijl ngui) nr trmintiknoop ovnn t lopn. In it gvl zijn t juist ll woorn i vnvl s ls s vttn, ijv.. D prosgrf is prioik in i zin t hij is opgouw uit inig vl, nmlijk ri, vrshilln inig grffrgmntn, ls gsuggrr in Figuur 3 (rhts). En lngrijk gvolg vn z prioiitit is t glijkhi vn z nit-linir rursiv BPA-prossn slisr is, tnminst ls glijkhi slt op prosglijkhi, ggvn isimulti, wrovr hirn its mr gzg wort. Dz slisrhi onr isimultiglijkhi of isimilritit, is in opmrklijk ontrst mt klssik stlling uit forml tlthori t glijkhi vn ontxt-vrij grmmti s onslisr is. Dn wort glijkhi gzin ls glijkhi vn ijhorn tln ( vrzmlingn inig trs), n i smntik is grovr n isimultismntik.

5 f g Figuur 4. Nit-linir prioik BPA-prossn, mt vrtkkn rsp. linir frgmntstrutuur. 4. Prllll prossn. Ht xiom systm BPA is nog nit rg xprssif. W willn prllllism n ommuniti kunnn shrijvn vn prossn. D rst stp rto is ht uitrin vn BPA mt prlll oprtor, i w prllll ompositi of kortr mrg nomn. Ht i is t w mt tw prossn prlll kunnn ltn lopn, zot hun tis oor lkr hn gwvn worn. Figuur 5 lt zin wt mrg vn prossn n is ( n zijn tomir tis). Ht ginpros wort fgpl oor stppn links n rhts t on zor z moglijk zijn. D prosoom i zo ontstt stopt wnnr tis op zijn. D wrking vn is mt z vrl uitlg misshin wl uilijk, mr kunst is n lgr t vinn i wrking vn vst lgt. Dz wort ggvn in Tl 2; ht is n uitriing vn BPA mt vir xiom s voor, i gruik mkn vn n hulp-oprtor L, lft-mrg gnm. Zonr n rglijk hulp-oprtor is n inig xiomtisring nit moglijk. Dit is n ip stlling.

6 Figuur 5. Intrlving of mrg vn tw prossn, n. (A1) x + y = y + x (A2) x + (y + z) = (x + y) + z (A3) x + x = x (A4) (x + y). z = x.z + y.z (A5) x.(y.z) = (x.y).z (M1) x y = x L y + y L x (M2) Lx =.x (M3) x L y = (x y) (M4) (x + y) L z = x L z + y L z Tl 2. Bsis Pros Algr mt mrg. D prour wrm prosoom in Figuur 5 informl wr vrkrgn, zit r lgrïsh ls volgt uit:

7 = L + L = ( ) + ( ) = ( L + L ) + ( L + L ) = ( + ( ) + ( + ( ) = ( + ( L + L ) + ( + ( L + L ) = ( + ( + ) + ( + ( + ). Hirij is ltst trm n normlvorm, i gn oprtorn n L mr vt, mr lln sis-oprtorn + n.. Dz normlvorm komt pris ovrn mt prosoom in Figuur 5. B A tis,, Figuur 6. Ht pros Figuur 6 vt ht voorl vn ht pros 3 3 3, mt stppn,, ls in Figuur 6 rhtsonr. Ht pros shrijft ht totl vn moglijkhn n kuzs i n mir hft, wnln vn ginpunt A nr inpunt B lngs rnn vn kuussn. Wnnr w it pros mt xiom s in Tl 2 uitrknn tot normlvorm (wrin oprtorn voor mrg n L nit mr voorkomn, nt ls gn in ovnstn voorl voor ), n krijgn w n trm vn nkl lzijn lng, i 1680 trs hft (vrshilln wgn vn A nr B in Figuur 6.) D morl vn it voorl is

8 positif n ngtif: positif, omt w n omplx pros, lzijn groot in normlvorm, ls n kort prostrm ( ) kunnn shrijvn; ngtif, omt w knnlijk l guw mt n stt-sp xplosi t on hn. Dit fnomn vn norm tostnsruimts is pln voor n groot l vn inspnningn op ht gi vn forml softwrvrifiti. 5. Smntik vn prossn. Tot nog to hn w ht lln gh ovr lgr vn prossn. Er is ook kwsti vn smntik vn prossn ho worn prostrmn gintrprtr in n mol, nrs gzg, wt tknn prostrmn. Er zijn vrshilln molln, n r is n hl molthori, ook wl omprtiv onurrny smntis gnom. Er zijn molln vrkrgn oor mtrish topologi (fkomstig vn Jo Bkkr), n molln gmkt mt projtiv limitn of ultrproutn, mr nvouigst n mst nsprkn molln (lthns voor shrijvr zs) zijn grfmolln, gmkt uit prosgrfn, n uitln vn funmntl quivlnti i isimulti ht. En illustrti vn z noti is in Figuur 7 ggvn. D ovnst figuur toont n isimulti (mt spghtti-slirtn) tussn n inig, ylish pros n ht rsultt vn ht ontwinn vn yl, één slg; ht onrst l vn figuur toont htzlf pros in isimulti mt zijn oninig ontwining tot oom. (Prn mthn knopn zijn nu oor glijk gtllnlls nggvn.) D mthingsrlti is n isimulti ls (1) ginknopn grltr zijn, n (2) vnuit grltr knopn kunnn zlf stppn gn worn, wrn inpuntn vn i stppn wr grltr zijn. Dit is n zg. o-inutiv finiti. Prossn zijn isimilir ls r n isimulti tussn i prossn gonstrur kn worn. Bisimilritit is fijnst, mst onrshin noti vn prosglijkhi i r is; tr-glijkhi is grofst, minst onrshin. Om z notis vn pros-smntik n funmntl onrouwing t gvn, is in ltst tw nni n niuw vrzmlingnlr ontwikkl (mt nm oor Ptr Azl), i zognm ongfunr vrzmlingn tolt (non wll-foun st thory). Ht onrwrp smntik zl vrr in z voorrht nit mr n o komn.

9 Figuur 7. Bisimulti vn prossn, n unwining. Tot nu to hn w n lgrïsh frmwork vn prossn i prlll kunnn vrlopn, mr nog onfhnklijk vn lkr. W sprkn nu ho ommuniti gstlt krijgt. 3. Communiti. W nrn it prolm vn ngtiv knt, nmlijk uitgn vn ht lok fnomn, t zih voorot wnnr prossn mt lkr willn ommunirn, mr nit kunnn. Stl t w n ring hn vn vijf prossn P 1,..., P 5, i opiën vn lkr zijn, n ylish stppn,,,, kunnn on. Dus P i = i. i. i. i. i.p i, mt i = 1,...,5. (Zi Figuur 8 links.) Wnnr z vijf prossn los vn lkr vrlopn, wort ht totlpros shrvn oor P 1 P 2 P 3 P 4 P 5. W willn htr mr. Stl t r n ommuniti-rgim is t voorshrijft t oor n grijz lk vronn stppn pris glijktijig gn motn worn. Dus 1 vormt n pr mt 2, n 2 mt 3, n 3 mt 4, n 4 mt 5, n 5 mt 1. W shrijvn voor simultn ti 1 mt 2 : 1 2, vnzo 2 3, 3 4,... Ht totl pros T kn nu toh zonr vstlopn (zonr lok) vrlopn, ylish, op vl mnirn, wrvn één oninig, ylish xutip p is:

10 p = 1.( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ).3.3.( 4 5 ) ( 5 1 ).p. (Voor lsrhi zijn ommunitistppn ik grukt.) W vrlggn nu tw ommuniti-links, ls in Figuur 8 rhts. Nu loopt ht pros knrsn vst: lok! Dit is nog rlijk gmkklijk uit ht hoof n t gn. Mr lwr is kunst om z vrl n intuitiv shrijvingn n inzihtn forml, in ons gvl lgrïsh, gstlt t gvn. Figuur 8. Ring vn ommunirn prossn zonr lok, n mt lok. Ht systm in Figuur 8 rhts hft n tostnsruimt ls in Figuur 9, pr omputr ggnrr. In fit hoort z prosgrf ij prostrm ( ).δ. Dit lvrt = 24 knopn (tostnn), n ll mximl pn (trs) zijn 6 stppn lng. In it gvl hn w n klin tostnsruimt, mt fzonrlijk zihtr stppn; in rlistish gvlln mt (honr)uiznn stppn is ht ntwrk vn stppn zó fijnmzig t z nit fzonrlijk t zin zijn, of ps n vrgroting; n kunnn grfish visulistis gmkt worn zols in Figuur 14 (rhts).

11 Figuur 9. Computr-ggnrr nlys vn lokn ring vn prossn. (A6) x + δ = x (A7) δ.x = δ Tl 3. Axiom s voor lok δ. Forml wort lok wrggvn oor onstnt δ, n spil stp i ignlijk n non-stp is, onmoglijkhi vn n stp. Voor δ gln tw wttn in Tl 3; mrk op t nit glt x.δ = δ. En pros inign op δ vrtoont juist lok; in n kuz vrwijnt δ. Communiti wort in proslgr gmollr oor simultn uit t vorn tis. In ht glijks lvn ot it fnomn vn simultn tis zih ook voor, zols in Figuur 10. Figuur 10. Communiti-tis in ht glijks lvn: inir, trnir, inir, virtllig.

12 (A1) x + y = y + x (A2) x + (y + z) = (x + y) + z (A3) x + x = x (A4) (x + y). z = x.z + y.z (A5) x.(y.z) = (x.y).z (A6) x + δ = x (A7) δ.x = δ (C1) = γ(,) ls γ(,) gfinir, nrs δ (C2) ( ) = ( ) (C3) δ = δ (CM1) x y = x Ly + y Lx + x y (CM2) L x =.x (CM3) x Ly = (x y) (CM4) (x + y) Lz = x Lz + y L z (CM5) x = ( )x (CM6) x = ( )x (CM7) x y = ( )(x y) (CM8) (x + y) z = x z + y z (CM9) x (y + z) = x y + x z (D1) H () = ls H (D2) H () = δ ls H (D3) H (x + y) = H (x) + H (y) (D4) H (x. y) = H (x). H (y) Tl 4. ACP, Algr of Communiting Prosss. In Tl 4 is γ ommunitifunti i zgt wlk tomn mt lkr ommunirn n mt wlk rsultt. D npsulti-oprtor H ruimt rstntn op vn mislukt om-

13 munitis; H is vrzmling vn tomn i trokkn zijn in n ommuniti ( hlv tis ). Tl 4 vt ll xiom s noig om ommuniti n npsulti vn prossn t shrijvn. Dit xiom-stlsl ht ACP, Algr of Communiting Prosss. Op it punt ngkomn, kunnn w ook pris mkn wrom w in ht gin nr istriutivitit z(x + y) = zx + zy vrwirpn. Stl t w ommunitis = *, n = * hn. D vrzmling vn ommuniti-tomn is us H = {,,, }. W rknn nu mt xiom s vn ACP nrzijs: P 1 = H [( + ). ] = *.*, n nrzijs: P 2 = H [( + ). ] = *.* + *.δ. Ht ltst pros hft us n lok moglijkhi, gtuig summn *.δ. Zoun w nu ls xiom ook z(x + y) = zx + zy goptr hn mt zijn instntïring ( + ) = +, n zou P 1 = P 2 n rm zou n pros mt lok-grg glijk zijn n n pros zonr lok-grg, n lgr ACP zou lok-grg nit mr zihtr kunnn mkn, n rm n groot l vn zijn wr vrlizn. 7. Astrti. W zijn nu ijn gr om mt grot prisi mt ommunirn prossn t kunnn rknn, n hun grg t kunnn vrifirn op utomtish wijz. Mr r ontrkt nog één vitl lmnt: moglijkhi vn strti. D vonst vn Roin Milnr ws it moglijk t mkn oor introuti vn still stp τ, i stt voor n onzihtr tostnsovrgng in n pros, n stp zonr wrnmr fft, n silnt mov, of hin mov. Voor τ-stp zijn r ook xiom s, tw τ-wttn in Figuur 11. Hun fft is t τ wggrkn kn worn, gontrhr, mits ht pros n τ-stp gn optis vrlist. Figuur 11 links vt zo n situti, τ-stp vrint r ls ht wr tw tostnn zonr potntilvrshil. Rhts is r n τ-stp wl potntilvrshil, n r kn τ nit gëliminr worn.

14 still stp τ zτ = z z(τx + y) +y = z(x + y) gn potntilvrshil τ τ potntilvrshil Figuur 11. D wttn vn strti mt still stp. hirrhi vn prossn f f g IMP = SPEC VERIFICATIE gg Figuur 12. Communiti n strti lin tot hirrhish systmn. 8. Topssingn. W sluitn mt n kort imprssi vn topssingn vn proslgr. Ntionl n intrntionl zijn r ivrs tms vn onrzokrs zig mt ht ontwikkln vn vrifitithnikn n tools. Di worn ook in inustrïl ontxt ingzt voor ht orrt wijzn vn ivrs protools n systmn, vrirn vn klin (n fstnsining voor n TV), tot groot (n spoorwgmplmnt). Figuur 13 gft n pr omputr ggnrr visulisti vn n inustril situti, wr hips oor root-rmn gmnipulr worn voor zkr wrkingn, n klin mnipulti-protool. Hirin lk onr mirosoop vn n vrifiti-tool n lok-tostn t zittn, i zih mnifstr ls stip i in Figuur 13 oor n pijl is nggvn. Figuur 14 (links) toont n riht in Automtisring Gis (novmr 2004), ovr ri promotis vn mwrkrs

15 vn ht CWI t Amstrm, op ht gi vn utomtish vrifiti vn softwr voor hlioptrs. Figuur 14 (rhts) toont n visulisti vn grot tostnsruimt vn n l vn n firwir protool. (Voor fri klurnvrsi vn it pros n vl nr zi wpg vn F. vn Hm, nn in nkwoor gnom.) Figuur 13. Computr nlys vn lok in omplx systm. Figuur 14. Softwr vrifiti; visulisring vn grot stt sp. 5. Dnk. Mijn nk n Prof. Dr. Jn-Friso Groot (TUE) voor hulp ij ht utomtish vrifïrn vn nkl prossn, o.. i in Figurn 8 n 9, n n Dr. Frnk vn Hm (TUE) voor ht shikr stlln vn pr omputr ggnrr visulistis vn nkl grot tostnsruimts, o.. i in Figuur 14 (rhts). En prhtig glrij vn rglijk visulistis is t vinn vi hun wpgin s: rsptivlijk