Hoofdstuk 5 Oneigenlijke integralen

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 5 Oneigenlijke integralen"

Hilde de Valk
8 jaren geleden
Aantal bezoeken:

Anlys Plus rdr Hoofdsuk 5 Hoofdsuk 5 Onignlijk ingrln Inhoud Hoofdsuk 5 Onignlijk ingrln... 4 5.

1 Anlys Plus rdr Hoofdsuk 5 Hoofdsuk 5 Onignlijk ingrln Inhoud Hoofdsuk 5 Onignlijk ingrln Inliding Ni grnsd ingri-inrvlln Disconinu o h ingri-inrvl Gmngd ogvn Hogschool Rordm 4 Lrrnoliding Wiskund

2 Anlys Plus rdr Hoofdsuk 5 5. Inliding. W kijkn d ingrl - 4 d. Als w, zondr ons f vrgn of h ignlijk mg, d ingrl gn rknn vindn h volgnd nwoord: é ù d= 4 ê- ú =- - =- - ë û H nwoord is ngif. - D is vrmd, wn d grfik vn f ( ) = lig in zijn ghl ovn d -s n kn dus ni 4 ngif zijn. H rolm is d h ingri-inrvl ni volldig gdfinird is o h domin vn f. D grfik vn f v nmlijk n vricl symoo voor =. En disconinuïi o n ingri-inrvl is n voorld vn n onignlijk ingrl. To nu o hn w ingrln f ( )d rknd, wrij f n coninu funci is o h grnsd inrvl [ ],. In di hoofdsuk gn w kijkn nr ingrln wrvn h ingriinrvl ni grnsd is n/of d ingrn disconinu is o h ingri-inrvl. Hogschool Rordm 4 Lrrnoliding Wiskund

3 Anlys Plus rdr Hoofdsuk 5 5. Ni grnsd ingri-inrvlln. In dz rgrf kijkn w nr ingrln di gn rciz ondr- n/of ovngrns knnn. W kunnn dri gvlln ondrschidn:. En ni-grnsd ovngrns: ingri-inrvl =[,. En ni-grnsd ondrgrns: ingri-inrvl =,]. En ni-grnsd ondr- n ovngrns: ingri-inrvl = In gvl rknn w d ingrl f ( )d= lim f ( )d In gvl rknn w d ingrl f ( )d= lim f ( )d - - In gvl rknn w d ingrl f ( )d= lim f ( )d+ lim f ( )d c s - s c wrij c n willkurig gkozn gl is. Msl word hir gkozn. Als d limin sn dn zl d onignlijk ingrl convrgrn nr d limiwrd (in gvl convrgr d ingrl nr d som vn d limiwrdn). Als n limi ni s, dn zl d ingrl divrgrn. Voorld Brkn, indin moglijk Olossing: - d d= lim d= limé ë- ù û = lim( - -- ) = + = Voorld Brkn, indin moglijk d - - Olossing: - ( ) d= lim - d= lim - - = lim = ë û - - ( ) é ( ) ù ( ) D limi s ni, dus d ingrl divrgr. Hogschool Rordm 4 Lrrnoliding Wiskund

4 Anlys Plus rdr Hoofdsuk 5 Sommig limin zijn ni gmkklijk rknn. J kun dn gruik mkn vn d insluislling of sndrdlimin (zi Anlys: Rijn n limin). J mg zondr wijs gruik mkn vn: (hirij zijn n k consns) lim = m k³ k lim = m > k lim = m > æ ö limç + = m Î R è ø ln( k) lim = m k > k Ogv Brkn indin moglijk d volgnd ingrln. -. d - -. d - + c. d d. ln(8) d. f. - - d - d Hogschool Rordm 4 Lrrnoliding Wiskund

Anlys Plus rdr Hoofdsuk 5 5. Disconinu o h ingri-inrvl En grfik kn o n inrvl [, ] o w vrschillnd mnirn disconinu zijn. Er kn zich nmlijk n vricl symoo o h inrvl vindn of n srong.

5 Anlys Plus rdr Hoofdsuk 5 5. Disconinu o h ingri-inrvl En grfik kn o n inrvl [, ] o w vrschillnd mnirn disconinu zijn. Er kn zich nmlijk n vricl symoo o h inrvl vindn of n srong. In d figuur hirns kun j zin d in gvl vn n srong j h ingri-inrvl nvoudig kun odln. D ol ingrl is dn glijk n d som vn d w dl-ingrln. W zulln ons drom lln rkn o d ingrln wro zich n symoo o h ingri-inrvl vind. In h gvl vn d vricl symoo kunnn w vir siuis ondrschidn. Siui : D symoo vind zich in d ovngrns. ( ) d= lim f f ( ) d Siui : D symoo vind zich in d ondrgrns. f ( ) d= lim f ( ) d Siui : D ingrn hf n symoo in zowl d ondr- ls ovngrns. ) d= lim f ( ) d+ c f ( lim f ( ) d m < c< c Siui 4: D symoo vind zich in = d m < d<. d f ( ) d= lim f ( ) d+ lim f ( ) d d d Als d limin sn dn convrgr d ingrl nr d limiwrd in gvl n. In d gvlln n 4 convrgr d ingrl nr d som vn d limiwrdn. Voorld Brkn, indin moglijk d. Olossing D funci f ( ) = hf n vricl symoo in =, vrdr is d funci coninu voor osiiv wrdn vn. d= lim d = lim [ ] = lim( - ) = Hogschool Rordm 44 Lrrnoliding Wiskund

6 Anlys Plus rdr Hoofdsuk 5 Ook ij dz ingrln is r n nl sndrdlimin inzr: sin lim = n lim = - lim = ln( + ) lim = lim lim ln( ) = m Î, wrij n consn voorsl. + - = m Î + Voorld Brkn, indin moglijk ( + ) Olossing: ln( ) d æ ö ç è ø ( + ln( )) d = d + lim ln( )d [ ] lim [ ln( )] d = + - = [ ] - lim[ ln( ) ] -[ ] = lim( ln( )- ln( ) ) = - = Voorld W rkn nogmls d ingrl ui d inliding: - 4 d. Olossing: - 4 d = lim d + lim d = limé ë- ù û + limé ë- ù û æ = lim ç- è -+ ö æ + lim ç- ø è - ö =+ (mrk o d ngif is) ø D ingrl divrgr. Hogschool Rordm 45 Lrrnoliding Wiskund

7 Anlys Plus rdr Hoofdsuk 5 Ogv Brkn, indin moglijk d volgnd ingrln 4. d d. 4 d f d c. d g. ln - d d. - d h. - d - Ogv - + Bschouw d funci f ( ) =. Zi ook d grfik hirns. W gn d orvlk ondr d grfik vn f rknn o h inrvl - ln(),ln(). [ ]. Dl rs d grokn funci ui n hrschrijf f().. Brkn d door slchs ml gruik mkn vn ril ingri. Kijk god nr d ingrl di j ovrhoud. c. Gruik h rsul vn om d gvrgd orvlk c rknn. d. Wrom vind j hzlfd nwoord ls j gn limi gruik? Hogschool Rordm 46 Lrrnoliding Wiskund

8 Anlys Plus rdr Hoofdsuk 5 5. Gmngd ogvn Bij d volgnd ogvn wordn d vrschillnd chnikn door lkr gvrgd. Ogv 4 Primiivr d volgnd funcis:. f ( ) = n() 6-. g ( ) = -6 c. h( ) = ln(5- ) d.. f. g. ln (5- ) k ( ) = l( ) = 8 m ( ) = 9- (+ 5) sin n( ) = cos h. ( ) = sin (i: gruik ml susiui n dn ril) Ogv 5 Brkn c, indin moglijk.. + 9d. sin cos d c. d. - ln( ) d d 5-. d æ n n f. d ö ç - + è ø i: Gruik ogv Hogschool Rordm 47 Lrrnoliding Wiskund

Vergelijkbare documenten

Analyse Plus reader Hoofdstuk 5. Als we, zonder ons af te vragen of het eigenlijk mag, de integraal gaan berekenen vinden het volgende antwoord:

Analyse Plus reader Hoofdstuk 5. Als we, zonder ons af te vragen of het eigenlijk mag, de integraal gaan berekenen vinden het volgende antwoord: 5. Inleiding. We ekijken de inegrl - 4 d. Als we, zonder ons f e vrgen of he eigenlijk mg, de inegrl gn erekenen vinden he volgende nwoord: é ù d= ê- ú =- - =- 4 - ë û- He nwoord is negief. D is vreemd,