Minimum Opspannende Bomen. Algoritmiek

Transcriptie

1 Minimum Opspnnn Bomn

2 Topssingn Vrinn vn puntn mt zo min moglijk kling Ntwrkontwrp Dlrout in nr lgoritmn

3 Prolmstlling Ggvn: n ongriht gr G=(N,A) Ir knt rprsntrt potntil n t lggn vrining Kostn/lngt voor lk knt Gvrg: En vrzmling kntn F Α vn miniml totl kostn/lngt zot lgr G =(N,F) smnhngn is

4 Minimum Opspnnn Bomn Ggvn: Ongriht smnhngn gr G=(N,A) Lngt l() voor lk knt in A. Gvrg: En oom T = (N, F), zot F A,.w.z. T is n loom vn G Elk knoop in G in T zit D totl lngt vn ll kntn in T zo klin moglijk is. T is n (minimum) opspnnn loom

5 Voorl 7 Opspnnn oom; Gn minimum opspnnn oom Minimum opspnnn oom

6 Inhou En prinip om minimum opspnnn omn t ltn groin Tw gry lgoritmn + tij n tstruturn: Ht lgoritm vn Kruskl Ht lgoritm vn Prim-Jrnik 6

7 Gry npk Bgin mt n wou zonr kntn T=(N, ) Hrhl tot T n oom is Kis n knt {v,w}, zot Vog z knt n T to Output T Nom T n go wou ls T r n minimum opspnnn oom vn G stt wr T n lgr vn is. W willn ls invrint vn Gry lgoritm: T is n go wou. Initil glt invrint. 7

8 Go wou: voorln 8

9 Vilig kntn Stl T=(N,F) is n go wou. En knt {v,w} is vilig, ls T =(N,F {v,w}) ook n go wou is. 9 {,} is vilig

10 Gry lgoritm Bgin mt n wou zonr kntn T=(N, ) Hrhl tot T n oom is Kis n vilig knt {v,w} Vog {v,w} to n T Output T Mr: wlk kntn zijn r vilig?? 0

11 Trmn Dloom in wou En knt vrlt n loom, ls knt pris inpunt in loom ht. Elk vn ro kntn vrlt loom mt knopn n

12 Stlling Stl T is n go wou. Stl W is n loom uit T. Lt knt {v,w} loom W vrltn, n minimum lngt hn tn opziht vn ll kntn i W vrltn. Dn is {v,w} vilig. {,} is vilig

13 Bwijs () Stl T is n go wou, W n loom vn T, n {v,w} knt vn minimum lngt i W vrlt (ls in stlling). Er is n minimum opspnnn oom T vn G i T ls lwou ht. Omt T go is. Als {v,w} in T zit, n is {v,w} vilig: klr. Stl t {v,w} nit in T zit.

14 Bwijs () T +{v,w} ht n yl. Dz yl vt zowl knopn in W ls knopn nit in W. Er mot nog n knt zijn i W vrlt op yl, zg. T +{v,w} is n opspnnn oom vn G. D totl lngt vn T +{v,w} is hooguit totl lngt vn T. Wnt l({v,w}) l(). Dus {v,w} is vilig. v v w w

15 Gry lgoritm Bgin mt n wou zonr kntn T=(N, ) Hrhl tot T n oom is Kis n knt {v,w} i minimum lngt ht t.o.v. ll kntn i n loom vn T vrltn Vog {v,w} to n T Output T Mr: ho vin j zo n knt snl?

16 Tw mthon: ovrziht Kruskl Kntn worn in volgor vn stijgn lngt kkn Groit vrshilln oompjs in wou Prim-Jrnik Groit oom in wou Sts wort gokoopst uitgn knt gnomn Vrshilln implmnttis 6

17 Kruskl: lgoritm Sortr kntn op nit-ln lngt, zg k(),, k(). Bgin mt n wou zonr kntn T=(N, ). or i = to o i knt k(i) vrint tw vrshilln oompjs in T thn vog knt k(i) to n T. (ls: w on nits mt z knt.) Output T. 7

18 Kruskl: voorl 8

19 Kruskl: voorl 9

20 Kruskl: orrthi Invrint: T is n go wou Blijt houn omt togvog knt vilig is (minimum lngt n vrlt loom vn T) Moglijk ht z loom knoop 0

21 Kruskl: implmntti Blngrijkst prolmn: Bijhoun lomn Tstn o knt tussn tw vrshilln lomn is Disjunt vrzmlingn tstrutuur (union-in) Voor lk loom vn T hn w n vrzmling, i knopn in loom vt. Initil: rt(v) voor lk knoop v. Tstn o knt {v,w} tussn tw vrshilln oompjs: Kijk o Fin(v) Fin(w) Bij tovogn vn knt {v,w}: Union (Fin(v), Fin(w) ).

22 Kruskl: nlys Sortrn vn kntn kost O( log ) = O( log n). Atis op isjunt vrzmlingn tstrutuur: O(n) rts O() in oprtis O(n) union oprtis O(n+ log* n) tij totl (ignlijk: O( α(n)).) Totl O( log n) tij. Snllr wnnr w kntn l gsortr hn. Kn wt vrsnl worn in prktijk oor t stoppn zor T n kntn ht.

23 Prim-Jrnik: lgoritm Kis n knoop s. B = {s}; T=(N, ) whil (B N) o vin knt = {v,w} i B vrlt mt minimum lngt (v B, w N B) T = T { }; B = B { w }; Output T. vilig

24 Prim-Jrnik: voorl

25 Prim-Jrnik: voorl

26 Prim-Jrnik: orrthi Invrint: T is n go wou Blijt houn omt togvog knt vilig is (minimum lngt n vrlt B, n loom vn T) 6

27 Prim-Jrnik: Implmntti Hou voor lk knoop v in N B ij D kortst knt vn n knoop in B nr v: kntnr[v] D lngt vn z knt: ihtij[v] 7

28 8 Prim-Jrnik: Implmntti Kis n knoop s. B = {s}; T = (B, ); or ll v o ihtij[v] = mxint; kntnr[v] = ong; or ll {s,v} A o ihtij[v] = l({s,v}); kntnr[v] = {s,v}; whil (B N) (o: o n kr) o Vin v N - B mt klinst wr vn ihtij[v] T = T {kntnr[v]}; B = B {v}; or ll {v,w} A mt w Ν - B o i (l({v,w}) < ihtij[w] ) thn ihtij[w] = l({v,w}); kntnr[w] = {v,w}; Output T.

29 Prim-Jrnik: voorl ihtij kntnr mxint ong {,} mxint ong {,} mxint ong 9

30 Prim-Jrnik: voorl ihtij kntnr {,} mxint ong {,} mxint ong mxint ong 0

31 Prim-Jrnik: voorl ihtij kntnr {,} {,} mxint ong

32 Prim-Jrnik: voorl ihtij kntnr {,} {,}

33 Prim-Jrnik: voorl ihtij kntnr {,}

34 Prim-Jrnik: voorl ihtij kntnr

35 Prim-Jrnik: Anlys Blngrijkst prolm: ho vinn w knt mt klinst wr vn ihtij? Gruik priority quu. Oprtis: xtrt-min, upt O(n) itrtis O(n) kr n xtrt min oprti. O() kr n upt vn n wr. Mt n glnr oom: O( log n) tij. Mt Fioni o hollow hp: O( + n log n) tij Vrglijk mt Kruskl: mt hp is tij vrglijkr op iht grn; mt quu implmntti snllr op ijl grn, mr lngzmr op iht grn.

36 Kruskl vs. Prim-Jrnik Kruskl Kntn in volgor vn stijgn lngt Groit vrshilln oompjs in wou O( log n + α(n) ) Prim-Jrnik Groit oom in wou Sts wort gokoopst uitgn knt gnomn O( + n log n) 6