Opgaven Verwachting Datastructuren, 12 juni 2019, Werkgroep.

Transcriptie

1 Opgaven Verwachting Datastructuren, 12 juni 2019, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven. 1. Celebrities in Bier: Twaalf studenten drinken elk drie flesjes bier. Elk biertje bevat een plaatje van een random artiest, waarbij de kans op Jan Smit 0,10 is en de kans op Patty Brard 0,20. (a) Hoe groot is de kans dat er op het feest minstens 1 Jan Smit is? (b) Hoe groot is de kans, voor een willekeurige student, om zowel Patty als Jan te krijgen? (c) Wat is de verwachting van het aantal Patty Brards dat op deze avond gevonden wordt? Oplossing: (a) Voor elk biertje is de kans 0,90 dat Jan er niet in zit. De kans dat Jan in geen van de 36 biertjes zit is daarom 0, = 0, en de kans op feest met Jan is 0, (b) De kans op de reeks JPA (Jan, Patty, Anders) is 0,1x0,2x0,7 = 0,014, maar omdat er zes volgorden zijn is de kans op de set JPA 0,084. De kans op de set JPP is driemaal 0,1x0,2x0,2 = 0,012. De kans op de set JJP is driemaal 0,1x0,1x0,2 = 0,006. Nou nog optellen: 0,102. (c) Verwachting van aantal successen in een Bernoulli reeks is n.p dus hier 36x0,20 is 7,2. Per deelvraag 1pt, dus max 3. A = Niet Afronden! Verwachting is niet persé geheeltallig. D = Je krijgt 0,12 als je JPP en JJP Dubbel telt (elk 6x ipv 3x). T = Je kunt ook Twee Jans of patty s hebben. U = Gebruik niet de Uniforme formule P = #E/#S. 2. Drie waarden gooien: Je gooit herhaald met een dobbelsteen (zes-kantig) en gaat hiermee door totdat je drie verschillende uitkomsten hebt gezien. Wat is het verwachte aantal keren dat je moet gooien? Oplossing: Als bij de Coupon Collector kun je uitrekenen hoe lang je op elke nieuwe waarde moet wachten. Noem x i het verwachte aantal worpen voor de i-de waarde. Je eerste waarde zie je zeker bij je eerste worp dus x 1 = 1. Bij het wachten op je tweede waarde zijn vijf van de zes uitkomsten gunstig, je succeskans is dus 5, dus je verwachte aantal worpen (Bernoulli) 6. Voor je derde waarde moet je verwacht 6 keer gooien. Vanwege lineariteit van verwachting mag je de verwachtingen optellen. Dus verwacht aantal 5 4 worpen is x 1 + x 2 + x 3 = = 3, Twee punten. Beoordelingscodes: B = Herkent er een opvolging van Bernoulli trails in met verschillende kansen; 1pt. G = Denkt dat de verwachting de waarde is met Grootste kans (hier 3); 0pt. K = Tel Kansen op ipv verwachtingen (1 + 5/6 + 4/6); 0pt. U = Geen Uitleg, fout antwoord; 0pt. V = Lost Verkeerd probleem op (bv: kans op drie waarden na drie trekkingen); 0pt.

2 3. Leuke DVDs: Mark heeft een verzameling van 9 DVDs; hij besluit, elke dag aselect (dwz., random) een film te kiezen en te bekijken met zijn moeder, waarna de film wordt teruggelegd. Marks moeder vindt maar twee van de negen films leuk. (a) Wat verstaan we in de kansrekening onder de verwachting van een stochast? (b) Marks moeder definieert T als het nummer van de dag waarop ze voor de tweede maal een leuke film ziet en B als de dag waarop ze beide leuke films heeft gezien. Bereken de verwachtingen E[T ] en E[B]. (c) Wat is de kans dat T = 7? Dat T = k? Oplossing: (a) De verwachting is een naar kans gewogen gemiddelde van de mogelijke waarden van de stochast. (b) Beide vragen lossen we op met de stelling van Bernoulli dat het eerste verwachte succes in ronde 1/p komt in een herhaald experiment met slaagkans p. T: de kans op succes (een leuke film) is altijd 2/9. De verwachting van de dag van de eerste leuke film is dus 9/2 ofwel 4.5. Na de eerste leuke film is steeds weer de kans op een leuke film 2/9, ze mag dus verwacht 9/2 dagen wachten op weer een leuke film. Totaal verwachte wachttijd: 2 maal 9/2 ofwel 9 dagen. B: De tijd dat ze moet wachten op de eerste leuke film is 9/2. Dan heeft ze die film al gezien, en verder succes is te definieren als het zien van de tweede leuke film, wat kans 1/9 heeft en dus verwachting 9 voor wanneer het gebeurt. Totaal E[B] = = (c) Elk rijtje met films waarvan 2 leuk heeft een kans van (7/9) 5.(2/9) 2 = Nu zijn er 6 rijtjes die de tweede leuke film op plaats 7 hebben, daarom is de kans zesmaal zo groot, dus Vervang 7 door k en lees (7/9) k 2.(2/9) 2.(k 1). 4. Dobbelstenen: Boek Cormen, opgave C.3-1. Oplossing: De verwachting van het aantal ogen van 1 dobbelsteen is 3 1 (het gemiddelde 2 van de mogelijke aantallen aangezien ze allemaal gelijke kans hebben). Voor twee dobbelstenen is de verwachting dus ofwel 7, vanwege lineariteit van verwachting. 2 2 Het maximum van twee waarden is geen lineaire functie! Hoeveel paren hebben maximum i? Doe even of de stenen rood en blauw zijn. Het maximum is i als (i) de blauwe op i staat en de rode op maximaal i, dit zijn i mogelijkheden, of (ii) de blauwe op minder dan i staat en de rode op i, dit zijn nog eens i 1 mogelijkheden. Er zijn dus 2i 1 elementaire uitkomsten met maximum i, en de kans daarop is dus 2i 1. De verwachting is 36 6 i=1 i P r{max = i} dus 6 i=1 i 2i 1. Dit geeft 36 of =

3 5. Waar is Max: Boek Cormen, opgave C.3-2. Oplossing: Het gegeven dat elke permutatie van de n elementen even waarschijnlijk is, impliceert dat elke locatie van het maximum even waarschijnlijk is, namelijk kans 1/n heeft. Immers, elke permutatie is een elementaire gebeurtenis met kans 1. Het Event Max staat n! op plek i bevat alle permutaties met max op plek i, waarbij de andere n 1 elementen dan nog op (n 1)! manieren geplaatst kunnen zijn. De kans van max op plek i is dus (n 1)! of 1. n! n De verwachting van de index is dan (gebruik definitie) n 1 i=0 i 1, ofwel (rekenkundige n reeks) n 1. 2 Het ontgaat me wat er leuk aan is om dit ook nog voor het minimum te berekenen. Want dat is toch hetzelfde? Zelfs als je vraagt naar de index van element met rang k komt dit er voor elke rang uit (ihb. voor 0 en n 1). Codes: E = Bij een Een-based array is het 1 meer, dus n Carnaval: Boek Cormen, opgave C.3-3. Oplossing: Het maakt niet uit, welk getal je kiest (als het maar voorkomt op de dobbelstenen, het lijkt me direct verliesgevend om bv. op 8 te gokken!). Elk van de drie dobbelstenen heeft kans 1 1 om op de gekozen waarde te vallen. De kans op drie successen (winst 3) is De kans op twee successen (winst 2) is 3. De kans op een succes (winst 1) is 3. De kans op geen succes (winst -1) is 125. De verwachting is is 19. Het spelen van dit spelletje kost je dus verwacht bijna 9 cent per keer. 216 Codes: C = De Conclusie, in kringen van Wiskundigen populair, dat je het spelletje niet moet spelen omdat de verwachting negatief is, lijkt wat kort door de bocht. Waarom zou je niet kunnen betalen voor iets waaraan je plezier beleeft? L = Trap niet in de valkuil dat de payoff een Lineaire functie over de dobbelstenen is! 7. Verwachting van Maximum: Boek Cormen, opgave C.3-4. Oplossing: Omdat X en Y niet-negatief zijn, is max(x, Y ) altijd kleinergelijk X + Y. De stelling volgt daarom uit de iets algemenere bewering: als Z T dan E[Z] E[T ]. Met de karakterisering E[Z] = z z P r(z = z) is dit heel lastig te bewijzen. Gelukkig kun je E[Z] (en E[T ]) ook karakteriseren met een sommatie over elementaire gebeurtenissen: E[Z] = e Z e P r(e). Dan volgt E[Z] E[T ] direct uit Z e T e (en natuurlijk is geen P r(e) negatief). Pas toe op Z is max(x, Y ) en T is X + Y (en plet de som-kant nog even met Linearity of Expectation).

4 8. Verwachte tijd van BFA: Alice heeft haar harddisk versleuteld met een cryptosysteem waarvoor N keys bestaan en Oscar probeert haar bestanden te ontsleutelen door alle keys te proberen. Veel personen beweren dat zo n Brute Force Attack in het ongunstigste geval N pogingen, en in het gemiddelde geval N/2 pogingen kost. (a) Hoe groot is de kans p i dat Oscar exact i pogingen nodig heeft? (b) Bereken het verwachte aantal pogingen. (c) Kan Alice door een slimme keuze van haar key zorgen dat Oscar meer werk moet doen? Kan Oscar zijn verwachte werk verlagen door een slimme keuze van de volgorde waarin hij keys probeert? Oplossing: (a) Noem de volgorde waarin Oscar de keys probeert k 1, k 2,..., k N. Oscar probeert exact i keys uit als k i de key van Alice is. Als Alice haar key k A random en uniform gekozen heeft, is de kans dat k A = k i, gelijk aan 1/N. De kans dat Oscar i keys moet proberen is dan dus precies 1/N. (b) De verwachting van stochast X is gedefinieerd als sommatie over mogelijke waarden, vermenigvuldigd met kans. Dat is hier N i=1 i 1, een Rekenkundige Som met uitkomst N (gebruik 1A(E + L)-regel) 1N( 1 + N ) = N+1 (wat wel ongeveer maar niet exact gelijk is 2 2 N N 2 aan N ). 2 (c) Nee. Welke key zij ook kiest, als Oscar de volgorde van zijn keys randomiseert (voldoende om elke key met kans 1 N+1 op plek i te zetten) zal hij verwacht pogingen gebruiken. N 2 Nee. Welke volgorde Oscar ook kiest, als Alice een uniform random key kiest, staat haar key met kans 1 op plek i in zijn lijst. N Per deelvraag 1pt.

5 9. Gloeilampen: Doos A bevat 80 lampen; het is bekend dat er 20 kapot zijn. Doos B bevat ook 80 lampen; elke lamp heeft een kans van 1 om kapot te zijn. Uit beide dozen pakken 4 we 12 lampen. (a) Wat is de kans dat er van de lampen uit doos A, precies 3 kapot zijn? (b) Wat is de kans dat er van de lampen uit doos B, precies 3 kapot zijn? (c) Wat is het verwachte aantal kapotte lampen in de trekking uit doos A? (d) Wat is het verwachte aantal kapotte lampen in de trekking uit doos B? Oplossing: Je moet A-vragen aanpakken met combinaties, en B-vragen met onafhankelijke Bernoulli-reeksen. (a) C(60, 9) C(20, 3)/C(80, 12) = 0, (b) C(12, 3) ( 1 4 )3 ( 3 4 )9 = 0, (c) Elke lamp die je trekt, draagt 1/4 bij aan het verwachte succes. Voor het optellen van die verwachtingen maakt de afhankelijkheid niet uit, dus het verwachte aantal is 3. (d) Verwachte aantal successen in een Bernoulli-reeks: E = n.p = = 3. Te behalen 3pt, nl 1 voor a en b elk, en 1 voor c en d samen. A = In doos A zijn de lampen Afhankelijk! C = Vergeet factor C(12,3) in (b), kom op 0,00117, 1/2. H = 3 heeft wel de Hoogste kans, maar dat is wat anders dan de verwachting. M = Onvoldoende Motivatie. R = Verhaal klopt maar Rekenwerk niet. V = De C s Vermenigvuldigen, niet optellen.

6 10. De reservesleutel: Je bent je fietssleutel kwijt! Gelukkig heb je een bak met 26 oude sleutels, daar zit hij zeker bij, maar ze zien er allemaal hetzelfde uit (roestig en vies). Je probeert ze een voor een tot je de passende gevonden hebt. Wat is het verwachte aantal sleutels dat je proberen moet? Oplossing: Het aantal pogingen, stochast P, is natuurlijk een getal van 1 t/m 26 2 en op verschillende manieren kun je inzien dat elke waarde evenveel kans heeft. Bv. door je voor te stellen dat je alle sleutels in het begin vast klaarlegt op probeervolgorde. De goede sleutel komt dan op elk van de posities met kans Zo is voor elke k, P r[p = k] = 1 zodat 26 E(P ) = 26 k=1 k.p r[p = k] Def. verwachting = 26 k=1 k. 1 Zie boven 26 = k=1 k Const factor = 1 (26+1)(26).( ) Rekenk reeks 26 2 = Twee pt, een voor een goed antwoord, een voor de berekening. B = Als je veronderstelt dat je niet-passende sleutels teruglegt in de oudroestbak (wat me vrij onnozel lijkt), ontstaat een Bernoulli experiment met slaagkans 1/26 en dus een verwacht aantal van 26 trekkingen. 1pt mits goed verwoord. H = 13 en 14 verschillen slechts een Half van het goede antwoord, maar zonder argumentatie toch geen punten. 11. De kaartenkijker: De Kaartenkijker trekt steeds een kaart uit een pak van 52 met teruglegging, dus steeds wordt de kaart teruggelegd en het pak geschud. (a) Hoeveel kaarten moet de Kaartenkijker verwacht trekken totdat hij een rode zeven ziet? (b) Hoeveel kaarten moet de Kaartenkijker verwacht trekken totdat hij alle 52 kaarten een keer gezien heeft? (c) Hoeveel kaarten moet de Kaartenkijker verwacht trekken totdat hij 51 verschillende kaarten gezien heeft? Oplossing: (a) Omdat 1/26 deel van de kaarten een rode zeven is, kun je dit zien als een Bernoulli experiment met slaagkans 1/26; de verwachting van de lengte tot eerste succes is 26. (b) Pas het Coupon Collector verhaal toe: je moet 52.H 52 keer trekken, en omdat H 52 = 4, 54 is dat ongeveer 236. Maar je mag ook de H benaderen met ln 52 en dan komt er 205 uit. (c) De Kaartenkijker weet (uit b) hoelang hij moet wachten op alle kaarten, en we weten dat hij 52 rondes wacht op zijn laatste kaart. Het antwoord is dus: 52 minder dan bij (b) dus 184, cq Per deelantwoord 1 punt. Codes: H = Weet niets met H n aan te vangen, -1/2. V = Gebruikt Verkeerde kans bij (a), 1/2. Kans 1/52 om een rode zeven te trekken werd vaak gedacht.

7 12. Sokken: Sylvia heeft n paar sokken (samen 2n stuks) die in een donkere la bij elkaar liggen. Op een dag wil zij sokken aan en begint willekeurig sokken uit de la trekken (zonder terugleggen), totdat zij een paar compleet heeft. (Sokken van verschillende paren passen niet bij elkaar). Een relevant probleem, maar heeft het ook een mooie oplossing? (a) Wat is de kans om een paar te krijgen in de i de trekking (als het daarvoor nog niet gelukt is)? (b) Wat is de kans dat zij k keer moet trekken? (c) Wat is het verwachte aantal trekkingen? (d) Beredeneer, naar analogie van het Verjaardagsprobleem, dat Sylvia verwacht hoogstens O( n) sokken pakt. Oplossing: (a) Bij de eerste trekking heeft zij zeker nog geen paar, bij trekking n + 1 zeker wel. Als zij in de eerste i 1 trekkingen nog geen paar heeft, heeft ze wel i 1 verschillende ongepaarde sokken. Van de 2n i + 1 overgebleven sokken zijn er dus i 1 die een paar completeren en 2n 2i + 2 die tot een nieuw paar behoren. Haar kans om in ronde i een paar compleet te krijgen (op conditie dat zij nog geen compleet paar heeft) is daarom (b) Om succes te hebben in ronde k moet ze eerst k 1 keer geen succes hebben en dan wel (stochast T is het aantal trekkingen): P r[t = k] = k 1 i=1 i 1. 2n i 1 2n 2i+2 2n i+1 k 1. 2n k+1 (c) Werk de sommatie E[T ] = (k P r[t = k]) uit! (d) Na 2 n trekkingen heeft Sylvia zoveel losse sokken, dat de succeskans bij elke trekking groter dan 1/ n is. Volgens Bernoulli is het verwachte aantal trekkingen dan nog maar n. Sylvia verwacht dus minder dan 3 n trekkingen.

8 13. Meteorologist: Bekijk het eerste plaatje van (a) Geef drie kansverdelingen die een interpretatie zijn van het weerbericht: 1/5 kans op regen voor elk van de vijf komende uren. (b) Bereken voor elke distributie de kans op regen deze middag. (c) Bereken voor elke distributie de verwachting van het aantal natte uren. Oplossing: (a) De middag wordt meteorologisch volledig beschreven als een rijtje van 5 letters uit R en D (Regen en Droog). Onafhankelijk: Alle 32 rijtjes zijn mogelijk, hebben dus een ( positieve ) kans, waarbij een rijtje met k R s een kans van 0, 2 k 0, 8 5 k 5 heeft. Omdat er rijtjes zijn met k R s, is ( ) k 5 de kans op k natte uren gegeven door 0, 2 k 0, 8 5 k. k Correlatie: De sterkste correlatie is alle uren gelijk, rijtje RRRRR heeft kans 0,2 en rijtje DDDDD heeft 0,8. Regengarantie: Het regent zeker precies 1x, waarbij RDDDD, DRDDD, DDRDD, DDDRD en DDDDR elk kans 0,2 hebben. (b) Bij Onafhankelijk is sprake van een Bernoulli-reeks met vast aantal pogingen, n = 5. De kans op 5 droge uren is 0, 8 5 ofwel 33% zodat er 67% kans op regen is. Bij Correlatie is het de hele middag nat met kans 0,2 en de hele middag droog met kans 0,8, dus 0,2 kans op regen. Bij Regengarantie regent het in elk van de mogelijke scenario s, dus regenkans 1. (c) De verwachting van het aantal natte uren is 1. Niet alleen in elk van de drie genoemde distributies, maar ook in elke andere mogelijke distributie die elk uur een regenkans van 0,2 geeft. De indicatorvariabele X i die 1 is als het in uur i regent, heeft kans 0,2 om 1 te zijn en dus verwachting E[X i ] = 0, 2. Het aantal natte uren is N = i X i, dus wegens lineairiteit van verwachting is E[N] = E[ i X i] = i E[X i] = 5 0, 2 = 1. Bij Onafhankelijk kun je de waterverwachting ook berekenen met de verwachting van de Binomiale distributie p.n, met hier p = 0, 2 en n = 5 dus uitkomst 1. Bij Correlatie is er 0,2 kans op 5 natte uren (en wat kans op 0 maar dat draagt niet bij) dus verwacht 1 nat uur. Bij Regengarantie is er kans 1 op 1 nat uur, dus ook weer 1.

9 14. Verwachte Celebrities: Bob gaat 50 chocoladerepen eten, waarin als reclame foto s van celebrities zitten, uniform random getrokken uit een verzameling van 200. Wat is de verwachting van het aantal verschillende foto s dat hij krijgt? Hint: Hoe groot is voor elke celeb de kans dat Bob haar krijgt? Oplossing: Neem 1 celeb in gedachten (bv. Doutzen Kroes). Voor elk van Bobs repen is de kans 199 dat Doutzen er niet inzit. De kans dat Doutzen in geen van Bobs 50 repen 200 zit is daarom ( )50 dus de kans dat Bob Doutzen krijgt is 1 ( )50, ofwel 0,2217. Dit geldt voor elk van de 200 celebrities. De indicatorvariabele X i die 1 is als Bob celeb i krijgt, heeft dus verwachting 0,2217. Dat deze variabelen afhankelijk zijn is geen probleem, linearity of expectation (lineairiteit van verwachting) hangt daar niet van af. De verwachting van de som van de 200 indicators is dus 200x zoveel, ofwel 44,34. Totaal 2pt voor een goed antwoord. Codes: A = Verwachting niet Afronden! Halve punt eraf. C = Je hebt wel de kans op 1 celeb goed, 1pt. S = Regel voor Successen in Bernoulli-reeks, n.p, kun je niet toepassen bij (b) omdat de 200 celebs niet onafankelijk zijn. 1 V = De formule n.p, toegepast als 50, geeft de Verwachting van het aantal Doutzens, 200 niet de kans dat Doutzen erbij zit.