Stoommachineromantiek voor wiskundigen

Transcriptie

1 Stoomlocomotieven rijen ankzij hun stoomschuif. Van een stoomschuif kun je een Zeuneriagram tekenen en aar kan an vervolgens e loop van e locomotief geoptimaliseer woren. Het spoor bijster? Niet meer na het lezen van het volgene artikel van Gertjan Klijn. Stoommachineromantiek voor wiskunigen De geheimen van e stoomschuif Stoomlocomotieven hebben iets fascinerens. De stoomontwikkeling, het stampen, e galmene stoomfluit, ze roepen e herinnering op aan voorbije tijen. En niet weinigen van ons hebben wel eens een ritje gemaakt met een museumstoomtrein, bijvoorbeel bij e geheel oor vrijwilligers gerune Veluwsche Stoomtrein Maatschappij (VSM), ie op gezette tijen op het traject Apeloorn-Dieren treinen laat rijen. schuif opnieuw afstele. Dat afstellen wer oor sommigen als een geheime kunst beschouw. Het kwam zelfs voor at e specialist als een ware tovenaar e stoomschuif en e ciliner afekte met een klee, eroner kroop, en e stoomschuif instele. Natuurlijk gebeure op een zeker moment het onvermijelijke. In het mien van e negentiene eeuw beacht men wiskunige methoen om het functioneren van een stoomschuif te beschrijven en e schuif in te stellen. Over ie wiskunige methoen gaat it artikel. In e tweee helft van e negentiene eeuw en in e eerste helft van e twintigste eeuw spelen in e ingenieurswetenschappen grafische methoen een centrale rol. Bij e stuie van e stoomschuif van een locomotief wer een eeuw lang vaak gebruik gemaakt van het zogenaame Zeuneriagram. Mijn verhaal zal uitlopen op een behaneling van at iagram at je kunt vergelijken met een analoge computer om e relatie tussen e uitwijking van e stoomschuif en e uitwijking van e zuiger te bepalen. fig. 1 De van e VSM tussen Loenen en Beekbergen (foto: Remco Pollé). Veel mensen realiseren zich niet at een van e ingewikkelste en belangrijkste onerelen van een stoomlocomotief, je zou kunnen zeggen het kloppen hart van e machine, vrij klein is. In figuur 1 is het uielijk waarneembaar voor aan aan e rechterkant van e van e VSM. Dat hart bevat een ciliner met aarin een zuiger en bovenop e ciliner een stoomschuif. Het is gekoppel aan een vaak goe zichtbaar ingewikkel stangenmechanisme at e wielen aanrijft en tegelijkertij e stoomschuif bestuurt. Toen in e jaren 30 en 40 van e negentiene eeuw e eerste mechanismen van it type weren beacht, kwam aar geen wiskune aan te pas. Als e zaak niet goe functioneere, an riep men een specialist ie e Het kloppen hart van binnen: een voorbeel van een automatische regeling In figuur 2 zien we e ciliner met aar bovenop e stoomschuif. De stoom arriveert bovenin en kan alleen via e kanalen S en S naar e ciliner. In e situatie van figuur 2 wort eerst e stoom via S aan e voorkant van e zuiger H gebracht, zoat e zuiger zich achteruit naar links beweegt. Tijens eze beweging naar links wort uitgewerkte stoom achter e zuiger weggerukt via S naar e uitlaat E. Daarna komt e stoom via S aan e achterkant van e zuiger binnen, zoat e zuiger zich naar voren zal bewegen. Nu fungeert S als toegang tot e uitlaat. Op eze manier verkrijgt e zuiger een heen- en weergaane beweging, ie via een zogenaam kruk-rijfstangmechanisme omgezet wort in e rotatie van e wielen Nieuwe Wiskrant 30-4/juni

2 (zie figuur 3). De input van het mechanisme is links e heen- en weergaane beweging van e zuigerstang. Aan ie zuigerstang is met een scharnier e rijfstang (met lengte D ) verbonen. Aan e anere kant is e rijfstang scharnierene met een kruk (met lengte R ) verbonen. Men kan zich e kruk voorstellen als samenvallen met een straal van een aangereven wiel. We moeten er nu natuurlijk wel voor zorgen at e stoomschuif goe beweegt, want at oet hij niet vanzelf. Het basisiee van e oplossing van it probleem is even simpel als briljant. We laten e stoomschuif bewegen met een tweee kruk-rijfstangmechanisme! Daarbij levert e rotatie van het wiel e inputbeweging en zet e rijfstang ie beweging om in een heenen weergaane rechtlijnige beweging van e schuif. Het iee functioneert voortreffelijk mits het tweee kruk-rijfstangmechanisme e goee afmetingen heeft, het faseverschil tussen e twee krukbewegingen precies goe is en e schuif precies op e goee plaats op e stang ie hem aanrijft, zit. Nota bene: het faseverschil is e zogenaame voorloophoek (e schuif loopt voor op e zuiger). Als alles werkt, hebben we hier een fraai voorbeel van wat in e regeltechniek een automatische regeling heet: e positie van e schuif waarvan e beweging van e zuiger afhangt, wort oor e beweging van e zuiger bepaal. Voor e uitwijking van e stoomschuif uit e mienstan vinen we (ook nu is r verwaarloosbaar) fig. 2 Bron: C. Steuerwal, Stoomschuif- en schaarbewegingen, Leien 1899, p. 20. R D x Heen- en weergaane zuigerbeweging fig. 3 Een kruk-rijfstangmechanisme zet e beweging van e zuiger om in e rotatie van het wiel. r R Heen- en weergaane schuifbeweging fig. 4 Een tweee kruk-rijfstangmechanisme zet e rotatie van het wiel om in e beweging van e stoomschuif. Voor zo n mechanisme gelt at e horizontale uitwijking x een functie is van e raaihoek. We hebben x = Rcos + D 2 R 2 sin 2 Rcos + D R. cos+ Het sinusiagram De eerste ingenieurs ie it soort mechanismen bouwen in e eerste helft van e negentiene eeuw gebruikten tekeningen om tot een goe ontwerp te komen. Ze tekenen een aantal stanen van e zuiger ten opzichte van e stoomschuif en varieeren e afmetingen net zolang totat het klopte. De bovengenoeme tovenaar kwam in actie als oor het gebruik bijvoorbeel e positie van e schuif op e stang ie hem aanreef, was gewijzig. We hebben in e vorige paragraaf gezien at e uitwijkingen van e zuiger en e schuif uit e mienstan functies zijn van. Voor e uitwijkingen van e zuiger en e stoomschuif gelt respectievelijk U Z R. cos en R. cos+. We hebben te maken met twee sinusoïen, met een faseverschil en met verschillene amplitues. Als we van ie twee sinusoïen in één figuur grafieken maken, an krijgen we een sinusiagram (zie figuur 5). Omat in e praktijk e verhouing R D heel klein is wer ie oor e negentiene-eeuwse ingenieurs gelijkgestel aan 0. Voor e uitwijking U Z van e zuiger uit e mienstan vinen we an U Z R. cos fig. 5 Een sinusiagram. Bron: W. Ripper, Ripper s steam engine theory an practice, Lonen Stoommachineromantiek voor wiskunigen

3 Het sinusiagram toont e posities van zuiger en schuif in combinatie. Dat is mooi, maar wat levert het op? De negentiene-eeuwse ingenieurs konen er weinig mee. Je kunt e momenten waarop stoom wort binnengelaten of e stoomtoevoer wort afgesneen, precies aangeven in e grafiek, maar e ingenieurs vonen het te ingewikkel en niet bruikbaar. Het stoomschuifmechanisme van Stephenson Het is merkwaarig, maar e wiskunige behaneling van e stoomschuif kreeg pas een echte impuls toen het probleem nog veel ingewikkeler was geworen. We hebben het namelijk tot nu toe alleen maar over een locomotief geha ie één kant op rijt, laten we zeggen vooruit. Om achteruit te rijen, moet an e kruk-rijfstangbeweging ie e schuif aanrijft een aner faseverschil hebben met e beweging van e zuiger an bij vooruitrijen. Daarvoor kan men een tweee krukrijfstangmechanisme gebruiken, maar at moet zo gebeuren at e machinist gemakkelijk kan overschakelen van vooruitrijen op achteruitrijen. In 1842 kwamen Williams en Howe, twee Britse ingenieurs ie werkten bij e bekene bouwer van locomotieven Stephenson & Co, met een oplossing voor al eze problemen. In figuur 6 is ie schetsmatig aangegeven. Het punt P wort aangereven oor e zuigerstang. De punten A en A 1 zijn e uiteinen van e krukken ie e schuif aanrijven in respectievelijk e voor- en e achteruitrijstan. A en A 1 zijn oor miel van rijfstangen verbonen met e uiteinen C en van een sleuf ie oor e machinist omhoog en omlaag kan woren bewogen. In e sleuf schuift een blokje G at verbonen is met e stoomschuif aarbij an van positie C naar positie. Het gevolg is at als G met C samenvalt, e machine vooruitrijt en als G met samenvalt, e machine achteruitgaat. Deze stoomschuif van Stephenson wer razen populair en is tot ver in e twintigste eeuw op vele locomotieven gebruikt. Al gauw leeren e machinisten met e stoomschuif spelen. Zo bleek het at ook e tussenstanen nuttig waren. Je kan bijvoorbeel makkelijker tegen een berg op rijen als er een tussenstan benut wort. Het principe van het Zeuneriagram In 1854 heeft e Fransman Eouar Phillips als eerste een verhaneling gepubliceer over e werking van e stoomschuif van Stephenson. Phillips toone aan at in alle posities vooruitrijen, achteruitrijen en in alle tussenstanen e afstan ie e stoomschuif heeft afgeleg vanaf z n mienstan met voloene nauwkeurighei weergegeven kan woren als = Acos + Bsin, waarbij A en B afhangen van e grootte van het mechanisme en met e rotatie van het oor e zuiger aangereven wiel wort aangegeven. De lezer kan gemakkelijk controleren at eze formule in e uiterste stanen ineraa correct is. Dan wort e schuif irect aangereven oor een kruk-rijfstangmechanisme. fig. 7 Stephenson s valve gear as epicte in Cyclopeia of engineering: A general reference work etc. Vol IV, American Technical Society, 1909, p. 74. De ingenieurs vonen e verhaneling van Phillips nog veel te ingewikkel. Het waren Duitsers, waaroner Gustav Zeuner, ie zich realiseeren at e vergelijking = Acos + Bsin C Schuifbeweging voorwaarts A r G r 2 achterwaarts S A 1 fig. 6 De structuur van e stoomschuif van Stephenson. In werkelijkhei ziet hij er vaak wat aners uit (figuur 7). B met constanten A en B e vergelijking is in poolcoörinaten van twee cirkels oor e oorsprong. Laten we aar eerst even naar kijken (zie figuur 8). Het is een aarige oefening om te laten zien at als we e cirkel tekenen oor e punten 0 0, A 0 en 0 B, het lijnstuk OR een hoek met e positieve x -as maakt, en we het snijpunt van OR met P aanuien, e koore OP gelijk is aan Acos + Bsin. Zeuner realiseere zich vervolgens at figuur 8 e mogelijkhei biet om e uitwijking van e schuif bij elke stan van e zuiger onmiellijk af te lezen. Als A en B beken zijn, kun je figuur 8 tekenen. Draai nu een liniaal ie met OP samenvalt om O. De projectie Nieuwe Wiskrant 30-4/juni

4 van OR levert in elke stan e uitwijking van e zuiger en e koore OP levert e uitwijking van e schuif. Op ie manier is figuur 8 een soort analoge computer waarmee je in elke stan van het stoomschuifmechanisme van Stephenson e uitwijking van e zuiger en e schuif kunt opmeten. Zo n afbeeling is men al snel Zeuneriagram gaan noemen. Zeuneriagrammen zijn een eeuw lang gebruikt. y 0 B Cirkel 1 R A 0 O uitwijking schuif P uitwijking zuiger P 1 x fig. 9 De stoomschuif in e mienpositie (bron: Zeuner, 1862). Cirkel 2 0 B fig. 8 Het principe van een Zeuneriagram. Het Zeuneriagram voor één positie Tot slot zullen we een compleet Zeuneriagram behanelen. In figuur 9 zien we e stoomschuif in e mienpositie. Het tegen e wijzers van e klok raaiene lijnstuk OR in figuur 8 raakt an aan e twee cirkels; e uitwijking vanuit e mienpositie is nul. De zuiger beweegt naar rechts en e stoomschuif naar links. We zien in figuur 9 at als e schuif over een afstan i naar links beweegt, e uitlaat aan e linkerkant wort geopen. We zien ook at als e schuif over een afstan e naar links beweegt, e inlaat aan e rechterzije opengaat. De afstanen i en e heten lappen: e binnenlap i en e buitenlap e. In e positie van figuur 9 overlapt immers e schuif aan weerszijen van e kanalen en O. We krijgen nu het complete Zeuneriagram oor om het centrum O twee concentrische cirkels met als stralen e binnenlap i en e buitenlap e. We kunnen an bij het ronraaien van OR het gerag van e stoommachine in etail volgen in het iagram (zie figuur 10). In positie R 5 gaat e uitlaat links open. In positie R 3 gaat e inlaat rechts open. De zuiger beweegt an nog even naar rechts, maar wort welra oor e stoom naar links gerukt. In positie R 4 gaat e inlaat rechts icht. Dat is het moment waarop geen stoomtoevoer meer plaatsvint en e zuiger bewogen wort oorat e stoom expaneert. O 1 fig. 10 Het Zeuneriagram, met het mechanisme van Stephenson in één stan. In positie R 6 sluit e uitlaat zich zoat er compressie opgebouw wort. Deze compressie zorgt ervoor at e zuiger zich na het oe punt weer naar links gaat bewegen. In positie R 7 gaat e uitlaat rechts open en in positie R 8 e inlaat links. De cyclus herhaalt zich. Het gecombineere Zeuneriagram voor meerere posities Het iagram in figuur 10 is een Zeuneriagram voor het geval e stoomschuif van Stephenson in één bepaale stan staat. Het vooreel van het mechanisme van Stephenson was at je e stoomschuif in allerlei stanen kon zetten. Figuur 11 is een voorbeel van zo n mechanisme. Door e henel N in een anere stan te zetten, verschuift e schaar C, waaroor e stoomschuif een anere timing krijgt. Bij elke stan van het mechanisme hoort een setje van twee cirkels waarmee je e uitslag van e stoomschuif af kunt lezen. Als je voor een aantal posities van e stoomschuif van Stephenson ie cirkels tekent, levert 30 Stoommachineromantiek voor wiskunigen

5 at een gecombineer Zeuneriagram op. Figuur 12 is een voorbeel van zo n gecombineer Zeuneriagram, waarbij voor e verschillene posities van e stoomschuif telkens maar één van e twee symmetrisch ten opzichte van e oorsprong O gelegen cirkels is geteken. fig. 11 Een voorbeel van het mechanisme van Stephenson (bron: Zeuner, 1862). gerepresenteer in nomogrammen waarin men bij gegeven waaren van bepaale parameters e waare van anere parameters kon aflezen. In e bouwkune weren e in een bouwwerk optreene krachten in een meetkunige figuur geconstrueer en e waare oor opmeting bepaal. In e werktuigbouwkune weren snelheen en versnellingen meetkunig geconstrueer. Het Zeuneriagram vormt ook een fraai voorbeel van zo n grafische methoe. Veel van ie methoen zijn tot ver in e twintigste eeuw in gebruik gebleven. Analytische methoen bestonen wel, maar leien tot veel rekenwerk en e ingenieurs gaven e voorkeur aan e grafische aanpak. Eigenlijk was het pas e introuctie van e computer ie aar echt veranering in bracht. De meeste grafische methoen zijn op it moment uit het onerwijs en e praktijk verwenen. G. Klijn Bertran Russell College, Krommenie Afeling Wiskune, Vrije Universiteit, Amsteram Dankwoor Dit artikel is gebaseer op onerzoek at ik heb geaan bij e afeling wiskune aan e Vrije Universiteit in het kaer van een oor NWO gefinancier onerzoek als LIO (Leraar in onerzoek). Ik ben NWO zeer erkentelijk voor hun steun. Daarnaast ank ik Teun Koetsier hartelijk voor zijn bijragen aan it verhaal en Alex van en Branhof voor het kritisch lezen en becommentariëren van een eerere versie. fig. 12 Een volleig Zeuneriagram (bron: Zeuner, 1862). Voor elke cirkel kan je e zuigerstan aflezen, net als in figuur 10. Met behulp van it gecombineere iagram zijn, volgens Gustav Zeuner, alle vragen te beantwooren. Slotopmerkingen In e tweee helft van e negentiene eeuw kwamen in e ingenieurswetenschappen talrijke grafische methoen in gebruik. Daarvan zijn vele voorbeelen te geven. Ingewikkele fysische relaties weren vaak Literatuur Matschoss, C. (1908). Die Entwicklung er Dampfmaschine (Erster un Zweiter Ban) Eine Entwicklung er ortsfesten Dampfmaschine un er Lokomobile, er Schiffsmaschine un Lokomotive. Berlin: Verlag von Julius Springer, Ban 2 e/matschoss/matschoss_inex.html Phillips, E. (1854). Théorie e la coulisse (e Stephenson) servant à prouire le étente variable ans les machines à vapeur, et particulièrement ans les machines locomotives. Annales es Mines, Tome III. Verwijzingen zijn naar e Duitse vertaling: Phillips, E. (1854). Theorie er variablen Expansion mittelst Stephenson s Coulisse, Civilingenieur, B. I, p (Tafel 18, Fig. 9 bis 14) Zeuner, G. (1862). Die Schiebersteuerungen mit besonerer Berücksichtigung er Locomotiven-Steuerungen. Freiberg (Zweite Auflage). Nieuwe Wiskrant 30-4/juni