Regelmaat in de ruimte

Transcriptie

1 n der Vegt

2

3 .2i:::)# 0 S-OO s- :229 C; bi) i.,)~.. Regelmaat in de ruimte Blbi i ol heek TU DeiH C

4

5 Regelmaat in de ruimte o "o A. K. van 0 der Vegt o' or, ' Delftse Uitgevers Maatschappij

6 CIP-gegevens Koninklijke. Bibliotheek, Den Haag Vegt, A.K. van der Regelmaat in de ruimte / A.K. van der Vegt - Delft: Delftse Uitgevers Maatschappij. - Ill., fig. ISBN Trefw.: meetkunde. VSSD Eerste druk Delftse Uitgevers MaatSchappij b.v. P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegev~nsbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. All rights. reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, meçhajiical, photocopying, recording; or otherwise, without the prior written permission of the publisher. ISBN

7 5 VoorwoQ'rd Dit boekje gaat over een heel oud onderwerp. Al eeuwen geleden waren er mensen die door veelvlakken geboeid werden en een groot deel van hun tijd besteedden aan het opsporen en analyseren van regelmatige structur~n. In de terminologie van de veel~lakkenkom je dan ook nariien tegen als Archimedes, Pythagoras, Plato en Kepier. Veelvlakken spelen vandaag de dag een rol in orid~r andere de kristallografie, de beeldende kunst (Escher!), de bouwkunde en, vooral, inde 'polyedrofilie'. Met dit laatste bedoel ik het verschijnsel dat een klein aantal mensen zo verrukt zijn van veelvlakken (polyeders), datzci'het nietkunïlen laten om er mee te spelen, ze te analyseren, ze te plakken of ze te boe~eren, en bovenal zich erin te verlustigen, zodat men dit verschijnsel eigenlijk 'Polyedromanie' zou moeten noemen: Met alle lezers die mijn enthousiasme delen, acht ik' me, en ook gelet op bovengenoemde, namen, in goed g~z~lsch~p. Tientallen jaren spelen met veelvlakken heeft. uiteindelijk tot dit boekje geleid. Ik hoop dat het lotgenoten zal stimuleren om hun hobby nog intensiever te beoefenen. Dit boekje pretendeert geen historisch-wetenschappelijke verhandeling te zijn. Litera ~, tuur wordt daarom, op een kort historisch overzicht na, niet pf nauwelijks ~èrmeld... Als duidelijk~ uitzondering noem ik.echter speciaal he~ prachtige boek van Wenninger: 'Polyhedron modeis', een unieke foto-verzameling van door de auteur zelf geplakte, modellen van eenvoudige tot uiterst,gecompliceerde veelvlakken. Tenslotte nog iets over dé figuren. Deze zij~ tot stand gekomen door een combinatie van: -. toepassing van' een beetje analytische meetia.inde, om vàmlit de 'coördinaten der hoekpunteq,die der zijvlakken te berekenen, eri voor de 'tweede soort', raakvlakken en hun snijlijnen.. een serie eenvoudig te schrijven BASIC-programma 's,met als meest gecompliceerd onderdeel het bepalen van de zichtbare delen van ribben bij hogere-orde veel-, vlakken,., -. een Archimedes 310 als krachtig en zeer snel rekentuig, ~. een voor de Archiniedes geschreven tekenprogramma: 'Superdump', waarmee het printen met hoge resolutie mogelijk is. Ieder die belangstelling heeft in meer details, is welkom voor ver<lere informatie. Delft, mei 1991 A.K. van der Vegt

8 .

9 / " VOORWOORD, 1. INLEIDING l.i. Waar gaat het over? 1.2. Een oud onderwerp J.3. Watzijnvèelvlakken? ' 1.4. ' Veelhoeken 1.5. Veelvlakshoeken: 1.6. Veelvlakken 1.7. ' Ribben, hoekpunten en zijvlakken, 2. VOLLEDlGEREGELMAA:r(Platonische lichamen) 2.l. Algemeen 2.2. Viervlak of tetraeder, R4 of {3,3} of (33 3) 2.3. Zesvlak (kubus) ofhexaeder,r6 of {4,3} of(444) '2.4., Achtvlak of oktaeder, R8 of {3,4} of (3333) 2.5. Twaalfvlak of dodekaeder,r12of {5,3} of (5 55) ' 2.6. Twintigvlakoficosa~der, R20 of {3,5l of(3' ) '2.7. Geometrische constanten van de regelmatige veelvlakken 2.8. Topologische projecties 3. HALVE REGELMAAT (Archimedische of uniformè veelvlakken), 3.1. Algemeen 3.2. Analyse 3.3. Archimedische prisma's (44 n) 3.4. Archimedische (Ultiprisma's (33 3. n), 3,5. De kubo-oktaeder ( ), 3.6. De afgeknotte tetraeder (3 6 6), 3.8. De afgeknotte kubus (3 8 8) 3.9. De romben-kubo-okta'eder (3 444) De grote romben-lqlbo-oktaeder (4 6 8), 3.1l. De icosi-dodekaeder (3 5 35) De afgeknotte icosaeder (5 6 6), ', De afgeknotte dodekaeder ( ) 3.14., Deromben-icosi-dodekaeder (3 454) ", De grote romben,-icosi-dodekaeder (4 (10) De stompe kubus ( ) De stompe dodekaeder ( ) Oppervlakken en inhouden ' Reeksen ",! ' ', , ' I / 34,34 ' , , 47

10 8 Regelmaat in de ruimte 4. HALVE REGELMAAT OMGEKEERD (uniforme veelvlakken van de tweede soort) 4.1. Inleiding 4.2. Berekening van de vorm" der zijvlakken 4.3. Bereke~g der coördinaten van hoekpunten en zijvlakken 4.5. Archimedische dubbelpiramides 4.6. Archimedische trapezoëders 4.7. De rombendodejcaeder 4.8. Intermezzo: ruirntevullende viervlakken " 4.9. Tussen kubus en oktaeder 4.9. Tussen dodekaeder en icosaeder Reeksen " 5. VOllEDIGE REGELMAAT MET STÉRREN (Poinsot-lich~en) 5.1. Inleiding 5.2. Analyse 5.3. De grote sterdodekaed«r 5.4. De kleme sterdodekaeder' 5.5. De grote ikosaeder 5.5. De grote dodekaeder 5.6. Negen platonische lichamen 6. HALVE REGELMAAT MET STERREN (hogere orde uniforme veel~lakken, UH's) " 6.1. Inleiding 6.2. Analyse 6.3. Stervorming van zijvlakken 6.4. Stervorming in hoekpunten 6.5. Afknotting van hoekpunten 6.6. Andere mogelijkheden 7. MEER DAN DRIE DIMf;NSIES 7.1. Inleiding 7.2. De achtcel 7.3: De vijfcel 7.4. De zestiencel 7.5. Andere polytopen 7.6. Nog meer dimensies LITERATUUR. ", " ', 1" -

11 " ",,!"" "!I11I5!!!"MIH 9 1 Inleidin g Waar gaat het over?... Vraag je aan iemand, een veelvlak te noemen, dan is het meest voor de hand liggende antwoord: een kubus. Die kennen we als dobbelsteen of als doos, maar ook in. vervormde gedaante, als re~hthoekig of séheefhoekig blok. Ook prisma's zijn bekend: staven met vlakjse kanten (als er vier kanten zijn, z:itten we weer in de buurt van de. kubus). Verder: piramiden, beroemd vanuit Egypte Maar niet alle denkbeeldige veelvlakken zijn.voor dit boekje van belang: alleen die exemplaren die een duidelijke regelmaat yei1cmen, bijvoorbeeld omdat alle hoekpunten en/ofalle zijvlakken gelijk en/öf regelinatig Zijn. De ~lokken en de piramiden vallen. dan af, behalve als depiramide driezijdig is, want dan kan hij uit vier gelijkzijdige driehoeken bestaan. Zo hebben we al twee geheel regelmatige veelvlakken gezien: de kubus (het zesvlak) en het viervlak. Er blijken, zoals w~ al snel zullen ontdekken, nog drie te bestaan: het, ach,tvlak,het twaalfvlak en het twintigvlak. Dit, vijftal is al boeiend geiloeg om uitvoerig te bekijken, elk op zichzelf en in hun onderlinge relaties. Maar er is meer! Op verschillende manieren kunnen we onze verzameling uitbreiden, bijvoorbeeld door concessies te doen aan de eis van volledige regebpaat (we. komen dan bij de half-regelmatige veelvlakken terecht) en ook door naar stervormige lichamen te kijken. Hele werelden gaan dan open,' die we.in dit boekje een beetje zullen gaan verkennen. Maar eerst een heel summier Overzicht over wat de mens in de afgélopen25.eeuwen over vee~vlakken te weten is gekomen Een ' oud onderwerp 2500 j~ar geleden (rond 520 voor Christus) wist Pythagoras al van het bestaan van drie van de vijf geheel regelmatige veelvlakken: hij beschreef de'iqjbus, het viervlak en.. f.'.. ~. hettwaalfvlak..... '..'.... Plato (roiid 350 voor Christus) kende ie alle vijf, inclusief achtvlak en twintigvlak, en bracht ze als 'kosmische bouwstenen van de wereld' in verband met de vijf elemèn~èn:

12 ,10 Regelmaat in de ruimte vuur, lucht; water, aarde en 'hemelmaterie'. Vandaàr de aanduiding van het vijftal als 'Platonische lichamen'. Euklides (rond 300 voor Christus) 'beschreef ze nog eens' in meer detail., Aan Archimedes (rond 250 voor Christus) wordt door Pappus (500 jaar later!) kennis van de 13 halfregelmatige of Archimedische lichamen toegeschreven. Dan, na een heel lange tijd, komt Kepler (157r-1630) [1] met een samenvilttende beschrijving van de vijf Platonische ende dertien Archimedische lichamen. Va,n Kepler is ook de gedachte dat de vijf Platonische lichamen ver~and houden met de structuur van het zonnestelsel (er waren, behalve de Aarde, in die tijd nog maar vijf, planeten bekend!). Kepler kwam bovendien op het idee d~t. ook pentagrammen (regelmatige vijfhoekige sterren) tot reg~lmatige ' veelvlakken kunnen leiden, en construeerde de' kleine en de grote sterdodekaeder. Het duurde nog twee éeuwen voordat Poinsot ( ) [2] deze serie van twee aanvulde tot,de complete verzameling van vier gel:leel regelmatige ster-veelvlakken., '.., Daarna verschijnen, stuk voor stuk, de op steivorming gebaseerde halfregelmatige lichamen. Telkens worden et weer een paar' ontdekt', waarbij onder andere de namen, Pitsch [3], Brueckner [4] en Hess [5] geregeld voorkpmen (allen eind 1ge eeuw). Coxeter [6] maakte een diepgaande mathematische analyse vàn de diverse veelvlakken en tevens van de uitbreiding naar högere diniensies...!. Ten slotte: het fotoboek van Wenninger ~7] geeft een summiere analyse en een briljant overzicht van een groot aantal ' veelvlakken. Bó~éndien bevat dit boek uitvoerige aanwijzingen om de veelvlakken zelf te plakken. ", 1.3. Wat zijn veelvlakken? Veelvlakken zijn afgesloten delen van de ruimte, die begrensd worden door vlakke ' veelhoeken, zoals de kubus, die begrensd wordt door zes vierkanten. Bij het bekijken van veelvlakken zullen we dus e~rst de aandacht Otoeten 'richten 'op de zijvlakken. Maar ook de hoekpunten zijn van belang; hierin komen namelijk een aantal zijvlakken (minstens drie) bijeen in een bepaalde rangschikking, en tevens een aantal ribben (ook drie of meer). De zijvlakkeri zijn veelhoeken, de hoekp\lllten vonnen veelvlakshoeken; elk van deze is gekarakteriseerd door:, al dao niet regelmatigheid, aantal ribben etc. Om iets van veelvlakken te begrijpen zullen we dus eerst zowel de zijvlakken als de opbouw van de hoekpunten moeten bezien.

13 ~_. ' Inleiding Veelhoeken, Een veellioek is een vlakke figuur, begrensd door een gesloten keten van een aantal lijnsegmenten (de zijden) AIA2; A2A3, A3A4,'..., An':'IAn, AnAt. die opvolgende paren Van n puntèn Ah A2,..., A~ (dehoekpuntelj.) verbinden (figuur 1.1). Voorlopig b:eschouwen we veelhoeken waarvan de zijden elkaar nièt snijden.. " Een veellioek noemen we gelijkzijdig als alle zij~eqgelijkzjjnf-en.gelijkhoekig als 'de hoeken gelijk zijn. Zijn veelvlakken zowel gelijkzijdig als gelijkhoekig ~ heten ze regelmatig. Dit is het geval bij de gelijkzijdige (regelmatige) driehoek, (3), het vierkant, (4) etc. Wel gelijkzijdig doch niet regelmatig is bijvoorbeeld de ruit; wel gelijkhoekig doch niet regelmatig is de~echlhöek. Er zijn uiteraard oneindig veelreg~lmatige veelhoeken; we, geven ze aan met {n}. De hoeken van {ni kunnen gemakkelijk berekend worden door te bedenken dat een n-hoek gesplitst kan worden in n - 2 driehoeken met als totaalsom, der hoeken (n - 2) 180, 9US per hoekpunt180 (n":' 2)/n. Voor {3}, {4}, {5}, {6J; {8} en {10} wordt dit respectievelijk 600,90, 108,120,135 en 144. Elke {n} heeft- een omgeschreven en een ingeschreven cirkel; hun stralen, respectievelijk ro en rj, staan in de volgende relaties tot elkaar en tot de ribbe I : " 180, 1 = 2ro sm --= 2rj tan -- n n Het oppervlak vàn {ni is: n 180 n " ' 3600 ' 0=- Z2 cotg -- = - ~ sm -- ' ". ' 4, n 2 0 n Voor zeer grote n nadert dit tot het oppervl~ van de OIngeschreven cirkel, 1t.~. 1\.-1 Figuur Veelhoek. Ai

14 12 Regelmaat in de ruimte :.. ' Veelvlakshoeke';> Veelvlakshoeken worden gevonnd door een aantal m (drie of meer) vlakken die elkaar in een punt 0 snijden (figuur 1.2) en die zodanig zijn gerangschikt dat doorsnijding met een ander vlak dat 'niet door b gaat,. een veelhoek vonnt. (BIB2... Bm). De lijnen OBI, OB2,..., OBm zijn de ri be de veelvlakshoek~ de vlakdelen die door deze { ~ ribben begrensd worden, zijn e ij den. Het is duidelijk dat het aantal ribbçn zowel als het aantal zijden gelijk aan m is. \,.... De grootte van de zijden wordt uitgedrukt in de hoek die door de begrenzende ribben gevormti wordt (bijvoorbeeld B2 O. BI), terwijl onder de hoeken. van een. veelvlakshoek de standhoeken, dat wil zeggen de hoeken tussen de vlakken, verstaan wordt. Een veelvlakshoek kan evenals een veelhoek gelijkzijdig of gelijkhoekig zijn; als beide het geval is is de veelvlakshoek regelmatig. Een voorbeeld:van een regel ~ matige viervlakshoek is de top van een ~eg~lma~ge v,ierzijdige piramide, waarvan het grondvlak een vierkant is. /- /.// " o B3 Figuur 7.2, Veelvlakshoek. Figuur 7,3, Standhoek... Als van een drievlakshoek de zijden a, ~ en 'Y zij~ dan is de ho~k (standhoek) tussen de vl~en met zijden aen ~ gegeven door (zie figuur 1.3): cos <p cos 'Y - cos a cos ~ sin a sin ~ (1.1) Dit is eenvoudig af te leiden door tweemaal de cosinusregel toe te passen. Voor een m-vlakshöek met m > 3 is uiteraard niet zo'n algemene relatie aan te geven, omdat de m-vlakshoek niet alleen door de grootte der zijden is vastgelegd (analoog met de n-hoek voor n > 3). Voor regelmatigem-vlalçshoeken wordt de standhoek tussen ~ twee aangr~nzende zijden gegeven door:..

15 Inleiding. 13 cos a. ~ p (1.. 2) cos <p =. cos a. + 1 waarin.p = 1 + 2'cos(360o/m), dus p = 0, 1, (",[5 + 1)/2 en 2. voor m;" 3,4,5 en6. respectievelijk Veelvlakken Een veelvlak is een lichaam, begrensd do<;>r een aantal veelhoeken (zijvlakken), die twee aan twee aansluiten langs gemeenschappelijke zijden (rib~n),en waarvan dri~ of meer samenkomen in gemeenschappelijke hoekpunten. c1?)x>k bij veelvlakken,kunnen we Spreken vangelijkzïm eict (alle zijvlakken gelijk) en rz. ~lijkhoekigheid (alle veelvlakshoeken in, de hoekpunten gelijk). Nu echter is de combinatie van deze, twee eigenschappen niet. vold,oende, om het veelvlak ook regelmatig te noemen. Een voorbeeld daarvan is de zogenaamde disphenoide, die ontstaan gedacht kari worden door in een onregelmatige scherphoekige driehoek de middens der zijden te verbinden en vervolgens de hoekpunten 'om te klappen' tot een viervlak (zie figuur 1.4). Figuur 1.4. Disphenoide. f.j), Wil een veelvlak regelinatig zijn dan is bovendien nodig dat de zim akken re elmatige veelhoeken zi 'n; de veelvlakshoekèn zijn dan eveneens regelmatig~ Deze ~egelmatige veelvlakken worden aangeduid als Platonische veelvitikken, waarvan e~, zoals we al gezien hebben, vijf bestaan, en die in hoofdstuk 2 worden behandeld. Behalve deze PI~tonische veelvlakken zijn er nog die in mindere mate regelmaat vertonen, zoals de ha!fre8elmatige of uniforme of Archimedischeveelvlakken, waar-, van twee soorten kunnen worden onderscheiden: - de zijvlakken zijn wel regelmatig doch niet gelijk en de veelvlakshoeken zijn gelijk (~erste soort)" - de veelv la~shöeken,in dehoeicpunten zijn wel regelmatig doch niet gelijk en de,

16 14 Rege/maat in de ruimte zijvlakken zijn gelijk (tweede soort). Op deze twee soorten veelvlakken komen we uitvoerig terug in de hoofdstukken 3 en 4. Ten slotte: een heel nieuwe wereld gaat open als we de eis laten vallen dat de zijden van een regelmatige veelhoek elkaar niet mogen snijden. We krijgen er dan hele series regelmatige veelhoeken bij (hogere-orde veelhoeken zoals de vijfpuntige ster),en daarmee ook een nieuwe serie regelmatige veelvlakken, en een lange reeks halfregelmatige of uniforme veelvlakken. Deze komen in de hoofdstukken 5 toten met 7. aap bod Ribben, hoekpunten en zijvlakken Voordat we in detail gaan kijken naar de diverse soorten veelvlakken, is het nuttig om een algemene relatie tu sen de aantallen hoekpunten'h, zijvlakken Z en ribben R op te zoeken. Z()'n relatie kan ons namelijk erg goed van pas komen bij het analyseren van de'mogèlijkheden om een veelvlak op te bouwen. Er is een stelling van Euler, luidend: H + Z = R + 2, die bijvoort>eeid voor een kubus gemakkelijk te verifiëren is: H = 8 ; Z =,6 ; R == 12. De stelling kan, op diverse manieren bewezen worden. Een der bewijzen is als volgt: Om vlakken, hoekpunten en ribben te tellen, stellen we oris een plat vlak voor dat aanvankelijk geheel buiten het veelvlak ligt, en dat we zodanig verschuiven dat het zich als het ware door het veelvlak heen beweegt totdat het aan de andere kant er weer geheel vrij van is. Het vlak beweegt zodanig dat het eerste en het laatste contact opeen hoekpunt plaats vindt, terwijl het tijdens iijn tocht steeds slechts een hoekpunt tegelijk ' passeert; dit is mogelijk: omdat het vlak tijdens zijn beweging in willekeurige richtingen., mag krommen zonder ruit dit uiteraard het resultaat beïnvloedt. b c d.jo... " B C ~..... A Figuur 1,5. Stelling van Eu/er.

17 Inleiding 15 Beschouwen we eerst een willekeurige positie van het vlak ergens op zijn weg door het veelvlak; we laten het vanuit deze positie iets opschuiven waarbij het een hoekpunt passeert. Hierbij onblloet het vlak voor de eerste keer p ribben (a, b, c en d in figuur 1.5) en p- 1 zijvlakken (A, B en C): De waarden van H, Z en R groeien daarbij dus aan met respectievelijk ~H = 1, ~ == P ~R= p. Dus is H+ Z ~R niet vail waarde veranderd. Dit geldt voor îeder gepasseerd hoekpunt, bèhalve voor het eer~te en het laatste. Als het eerste hoekpunt een' m-vlakshoek is, is bij het p~sseren daarvan AH = 1, llz == m, LlR.= m. Bij hei passeren van het laàtste hoekpunt is MI = 1,!lZ = 0 en LlR = O. Totaal blijict dus te gelden:.. \ '... H+Z=R-t:2.. ',,... (1.3) ~\(' De ste~ling v~euier geldt niet in deze v~rm voor alle so~>rten ~eelvlakken. ~n ~rste. voorwaarde ls dat dat het veelvlak vanult een punt e.r brnnen m enkelvoudlg op een.' ~ omliggende bol g~projecteerd kan worden, anders gezègd datmenhet als het ware op ~ kan blazen tot een enkelvoudig boloppervlak. Aan deze v_oorwaarde is niet voldaan bij.de later te behandelen hogere-orde veelvlakken; we zullen dan een gewijzigde en uitgebreide, stelliflg van Euler tegenkomen. Een andere beperking is dat vanaf ieder hoekpunt ieder ander hoekpunt langs ribben bereikbaar moet zijn. Dit is bijvoorbeeld niet hei gevat met een veelvlak bestaande uit \. een kubus inet op een zijvlak een in het midden staande kleinere kubus. Hiervooris gemakkelijk te verifiëren dat H + Z = R + 3 (16+11=24+~). Dat eel) veelvlak IiÏet conv.ex is (ook standhoeken> 180 ) doet er: voorde stelling van Euler niet toe; het kan evengoed door 'opblazen' tot een bol worden getransformeerd. '. -~. 1 I '

18 16 2 Volledige regelmaat (Platonische lichamen') 2.1. Algemeen. Een veelvlak wordt regelmatig genoemd als zowel de zijvlakken als de veelvlaks- hoeken regelmatig en identiek zijn. Dit betekent dat de zijvlakken drie vormçn kunnen hebben: (3), (4) of (5). (6} en hoger is niet mogelijk, want reeds bij samentreffen van drie regelmatige zeshoeken wordt een plat vlak gevormd. Keruielijk moet de som van de hoeken die in een hoekpunt samenkomen kleiner dan 360 zijn. Met deze voorwaarde in het oog kunnen we vijf mogelijkheden bedenken, namelijk per hoekpunt respectievelijk 3 of 4 of 5 driehoeken, 3 vierkanten of 3vijfhoeken. Elk van deze combinaties kan in principe een regelmatig veelvlak vormen; of deze mogelijkheden ook werkelijk bestaan en hoe ze er uit zien moet nog uitgezocht worden. Dat kan op de volgende manier: Denken we ons een veelvlak in (alweer met H hoekpunten, Z zijvlakkèn en R ribben), waarin op ieder hoekpunt m n-hoeken samen- komen, dan is het.aantal vlakke hoeken gelijk aan Z x n, inaar ook gelijk aan H x m. Hiermee zijn tevens de ribben geteld, doch dubbel, want elke ribbe maakt deel uit van twee vlakke hoeken. Dus: Z n=h m=2 R (2.1) Voegen we bij deze twee relaties als derde de stelling van Euler: Z+H=R+2 # dan kunnen voor bekende n en m de waarden van Z, H en R worden opgelost. Het resultaat is 2 m Z = -n-+-m---n-m-'/=2 2 n n m H = n + m - nm/2 ' R = n + m - nm/2 (2.2) Uit deze relaties blijkt allereerst dat n + Xli ~ nm/2 positief moet zijn. Dit is niets anders dan de reeds genoemde voolwaarde dat de som der hoeken per hoekpunt niet groter mag zijn dan 360. De som van de hoeken in een n-hoek: is namelijk (n.:...2) 180, zodat de voorwaarde wordt: (m/n) (n - 2)-180 < 360 of:

19 Volledige regelmaat 17 - m(n - 2) < 2n of n + m - nm/2 > 0 We voeren nu het be~ip 'hoektekort' in, dat is hoeveel de samenvoeging in een hoekpunt tekort komt om een plat vlak (of; op een bol, een boloppervlak) te vormen. Dit hoektekort bedraagt: ' x m(n - 2)/n = 720~ x Po + ~ nm/2= lh,, Hieruit blijkt dat de som van de,hoektekorten voor alle hoekp~ten 7200 (41t) bedraagt (dit geldt overigens ook voor niet-:regelmatige veelvlakken). Met dit gegeven is het zeer gemakkelijk om het aantal hoekpunten (als deze gelijk zijn) uit het hoektekort te, berekenen. Voor een hoekpunt waar drie regelniatige vijfvlakken samenkomen is het,, ",' 3 tekort x = 36 0 dus H = 720/36 =20. Uit (2.1) volgt Z/H = mln ='5 dus Z = 12 en, tevens, R =30. {3A) 3 4 ~(,a 3 3. y 5... ~.v.' {4.3} 4 3 {5.3} 5 3 a, a twintigvlak (icosaeder) zesvlak (kubus) (hexaeder) twaalfvlak (dodekaeder) Ra, R20 R6 ' R12 Deze tabel geeft het bekende vijftal regelmatige oi Platonische veelvlakken. Figuur 2,1 geeft van elk een,afbeelding, ie kunnen met verschillende notaties worden aangeduid,, bijvoorbeeld als R4; R8'etc., doch ooknaar de in een hoekpunt samenkomende veelhoeken. Zo kan R8 bijvoorbeeld worden beschreven als (3 333) en R12 als (5 5 5), of ook, in de ve~korte notatie als Iespectievelijk -(3,4),en (5,3 ).,Jo het vervolg van dit boek zullen deze verschillende notaties door elkaar gebruikt worden, om bij de later te, beschrijven veelvlakken (halfregelmatige en hogere-orde) gemakkelijk aan te sluiten '.., Voordat we nu de regelmatige veelvlakken afzonderlijk bezien, is het g~d om op te merken dat uit de vergelijkingen (2.2) voor Z, Hen R de verwisselbaarhei~ van de grootheden n en m ten opzichte van R blijkt, terwijl n in combinatie met, H verwisselbaar,is met de combinatie van m en :z>dit is een uitvloeisel ván de algemene regel inde stereometrie dat men in elke wetmatj.gbeid punten door vlakken en vlakken door punten kan vervangen, waarbij lijnen gelijk blijven. Deze dualiteit blijkt ook ' direct uit de tabel: R6 en R8 ({ 4,3) en {3,4}} zijn als het ware elkaars pendant, evenals R12 en R20 ({5,3) en (3,5}),terwijl R4 of {3,3) bij dualê verwisseling in zichzelf overgaat.

20 18 Regelmaat in de ruimte /1\,l, I : I,,.., / \ i \ './1" " j / I \.~ I ' r=r=\ ~ V ~----' Figuur 2.1. De vijf Platonische.veelvlakken. Alle regelmatige veelvlakken hebben een omgeschreven en een ingeschreven bol, dat \~ wil zeggen er is een boloppervlak dat alle hoekpunten bevat, en er is een bol die aan ~ alle zijvlakken raakt \ 2.2. Viervlak of tetraeder, R4 of {3,3} of (3 3 3) Het regelmatig viervlak, de tetraeder, bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken, gerangschikt tot een regelmatige driezijdige piramide. De zes ribben zijn de enige verbindingslijnen tussen de vier hoekpunten, met andere woorden er zijn geen vlakkeof lichaamsdi'agonalen.. Uit formule (l.3) volgt gemakkelijk de standhoek tussen de vlakken met a = f3 = y = = 60": cos<p = 1/3 en <p.= 70,53. Hieruit blijkt dat m.et regelmatige viervlakken de. ruimte niet vol te stapelen is, want dan zou op zijn minst 360 /<p een geheel getal moeten zijn. Later zullen we zien dat er een niet-regelmatig viervlak bestaat dat wel ruimtevullend is. Behalve als ~iramide kan het viervlak ook beschouwd worden als prismoide, namelijk doof twee overstaande ribben in evenwijdige vlakken te denken (figuur 2.2): Uit deze opstelling is onmiddellijk te zien dat een doo~snede met een derde evenwijdig vlak op halve afstand 'gelegen, een vierkant is. Het viervlak wordt hierdoor in twee gelijke helften verdeeld, elk begrensd door twee driehoeken, twee trapezia en een vierkant. Het loont de moeite, deze twee veelvlakjes door bijvoorbeeld plakk~n uit karton te vervaardigen; als men een oningewijde voor de opgave stelt, de twee helften tot.het eenvoudigst mogelijke lichaam samen te voegen, blijkt dit een onverwacht moeilijk, probleem te zijn!

21 ! ""',""" " '... "' " "I!, PI!! 11' '.. ' '. ",,'!...,," H 'II"IImll"Ilt"I1B"""'I tut 1 "111 UI '1"'''111'''''''''''''''''''''' 11111"""""!!1II"'''''''' IIIY Volledige regelmaat 19 Figuur 2.2. Viervlak als prismoide. Viervlakken kuimen.op veei manieren aaneengevoegd worden tot gecompliceerde... I.' ruimtelijke lichamen; een der aardigste mogelijkhedenis om ze aaneen te rijgen tot een. buis; de bijna in elkaars verlengde liggende ribben vormen een drietal spiralen (figuqf 2.3) / '/ Figuur 2.3. Spiraalbuis van viervlakken Zesvlak (kubus) of hexaeder;r6 of {4,3} of (4 4 4), De kubus is wel het bekendste regelmatige veelvlak, waarschijnlijk omdat alle hoeken, tussen ribben zowel als tussen vlakken, de voor ons gemakkelijke waarden van 90 hebben. Het is IJ9vendien ruimtevullend, met 8 kubussen samenkomend ineen hoekpunt.. De kubus ziet er wat gecompliceerder uit als we hem op een punt zetten met de lichaaiilsdiagonaal verticaal, en dan de doorsneden met horizontale vlakken bekijken :.. (figuur 2:4). Dè twee doorsneden door drie hoekpunten leveren gelijkzijdige driehoeken, de doorsnede met een vlak op hiuve hoogte is een regelmatige zeshoek. Door zorgvuldige inspectie van de kubus in deze starid is in te zien dat er een'gat met. vierkante doorsnede door de kubus geboord kan worden met zodanige. afmeting dat door dat gat een even grote, en zelfs nog een iets.grotere kubus kan schuiven! De kubus op zijn punt wordt hier en daar toegepast in moderne woningbouw, onder andere in de nabijheid van Station Blaak in Rotterdam.

22 20 Regelmaat in de ruimte Figuur 2.4. Kubus op punt. Wanneer we de diagonalen in de zijvlakken van de kubus trekken. blijkt dat er twee R4's in een R6 ingepast kunnen worden, waarvan de hoekpunten (2 x 4) met de hoekpunten van de R6 samenvallen (zie figuur 2.5). De twee R4's door<b"ingen elkaar gedeeltelijk en hebben als gemeenschappelijke ],cern de in R6 ingeschreven R8 (zie par. 2.4). De.twee tetraeders vormen de achtpuntige ster ('stella octangula') van Kepler (figuur 2.6). ~ '. \" ~,.... \.. ":'-... I \... '\., \, \ \ " 1/ \. ' 1/., \' I!,, \', I!, 'v - Figuur 2.5. Twee viervlakken in kubus. Figuur 2.6. De Kepler-ster Achtvlak of okt~eder, R8 of {3,4} of ( ) Het regelmatige achtvlak kan men zich indenken als opgebouwd uit twee regelmatige vierzijdige piramiden met een vierkant als gemeenschappelijk grondvlak. Er zijn drie vierkante doorsneden die op deze wijze als piramide-grondvlak in aanmerking komen, immers alle hoekpunten zijn gelijkwaardig.

23 Volledige regelmaat 21 De oktaeder kan ook als prismoide beschouwd 'Worden, waarbij twee overstaande zijvlakken grondvlak, respectievelijk bovenvlak vormen, terwijl alle zes hoekpunten in deze twee evenwijdige vlakken liggen (figuur 2.7). Evenals bij de kubus, is de,. '., doorsnede met een vlak halverwege tussen deze vlakken gelegen, een regelmatige, zeshoek., -:~/-_ _ ,!._......_-_..._...-- Figuur 2.7. De oktaeder als prismo(de.,, Uit formule (1.1) volgt dat de standhoeken tussen aangre~nde zijvlakken gegeven zijn door cos <p = -1/3, dus <p =.109,47. HetbIljkt dus dat de standhoeken van tetraeder en oktaeder elkaars s~pplement zijn. De oktaeder in figuur 2.7 kan dus ' gecompleteerd worden tot e'en parallelopipedum door bovenop en aan de onderkant een tetraeder te plaatsen. Met een combinatie van oktaeders en tetraeders kait ~en dus ' door opstapelen de ruimte vullen, everiàls men 4it m,et kubussen kan doen~ De zo.verkregen ruimte is echter wel vreemd scheef(escher: 'Platwormen')., '. In par. 2.1 is de dualiteitsrelatie tussen R6 enr8 al genoemd. Deze relatie komt 'O.a. hierin tot uiting, dat de middens van de zijvlakken van R8 de hóekpunten van een R6 vormen en omgekeerd (figuur 2.8). De nauwe verwantschap komt verder tot uiting in de mogelijkheid om een combinatie-~eelvlak te VOrmen, waàrbij de middens van R6 en Figuur 2,.B. Dualiteit R6 en RB. ' Figuur 2.9. 'Compound' R6 en RB.

24 22 Regelmaat in de ruimte R8 samenvallen en de ribben elkaar twee aan twee snijden (figuur 2.9). Hieraan. danken de rhombendodekaeder en de kubo-oktaeder (zie hoofdstuk 3) hun ontstaan.. De verwantschap tussen het viervlak en het achtvlak is reeds gebleken in par 23: R8 kan zodanig in R4 worden ingepast dat 4 van de 8.vlakken samenvallen met de vlakken Vall R4; de hoekpunten liggen op de middens van de ribben van R Twaalfvlak of dodekaeder, R12 of {5,3} of (5 5 5) De geometrie van het twaalfvlak is gecompliceerder dan we totdusver bij de andere regelmatige veelvlakken ontmoet hebben, omdat bij dit lichaam voor het eerst 'de 5- hoek zijn intree doet. Van de 12 vijfhoeken waaruitr12 is opgebouwd, kunnen we er twee een bijzondere plaats toekennen, namelijk als boven- en als ondervlak. De andere tien zijn dan in twee groepen van vijf te verdelen, waarvan er een serie aan het ooven- en een aan het ondervlak grenst. De scheidingslijn tusse~ de.twee series wordt door een niet-vlakke lo-h~k gevonnd (figuur 2.10). ".,, Figuur,2, 10. De dodekaeder. De dodekaeder is, zoals eerder opgemerkt, bijzonder nauw verwant aan de icosaeder R20; deze verwantschap zal in par. 2.6 besproken worden. Echter ook ten opzichte van de kubus R6 bestaat, verrassenderwijze, een nauwe relatie, een dubbele zelfs, want wwel in als om de R12 past een kubus! In figuur 2.11 is een kubus in een dodekaeder geplaatst; de hoekpunten van de kubus ~allen samen. met 8 van de 20 hoekpunten van dedodekaeder en de ribben van de kubus worden gevonnd door diagonalen van de zijvlakken van R12. Daar de 12 zijvlakken van R12 samen 60 diagonalen bezitten, is er op deze ' wijze 1/5 deel van de diagonalen en 2/5 deel van de hoekpunten 'verbruikt'. Het is gemakkelijk in te zien dat er totaal 5 kubussen in R12 op deze manier ondergebracht trunnen worden; elk hoekpunt maakt dan deel uit van twee kubussen. In figuur 2.13 is dat te zien. De vijf

25 . Volledige regelmaat 23. Platwormen, 1959 M..c. Escher I Cordon Art ~ Baarn - Holland.. '.

26 24 Regelmaat in de.ruimte Figuur 2.". R6 in R12. Figuur R6 om R12. kubussen vonnen samen een samengesteld regelmaug veelvlak: CcompOund'); het bestaat uit 30 vierkanten die elkaar op vrij ingewikkelde wijie snijden, doch die' aan het oppervlak een bijwnder fraai regelmatig patroon van stervormige figuren v~rmen. Figuur 2.13: Vijf kubussen. passend in een dodekaeder. ' Ook rondom R12 kan op eenvoudige wijze een kubus geconstrueerd worden, zoals weergegeven in figuur Zes van de 30 ribben van R12, dus 12 van de 20 hoekpunten, liggen daarbij in de zijvlakken van de kubus. De ribbe van de kubus, uitgedrukt in de ribbe van R12 als eenheid, is (3 + {5)/2; omgekeerd is de ribbe van R12 (3- {5)/2 maal die van R6. De 8 overblijvende hoekpunten qie niet in de..

27 ;. Volledige regelmaat 25 zijvlakken van R12 vallen, ' vormen de hoekpunten van de bovengenoemde. ingeschreven kubus. Dit. alles maakt het bijzonder gemakkelijk om een projectie van R12 snel te construeren: uitgaande van een kubus met ripbe = 1 tekent m~nde 6 ribben van R12 ter lengte (3 -...[5)/2 en de hoekpunten van een gelijkstandige Ideinerekubus met ribbe ({5 ~ 1)/2.Het is duidelijk dat ook in dit geval niet slechts een, doch een vijftal kubussen passen. Deze vijf vormen dezelfde penta-hexaeder als de' vijf die in. R12 passen. ' In par. 2.3 hebben we gezien dat de hoekpunten van de kubus samenvallen met de hoekpunten van twee ingeschreven viervlakken. Hieruit vc;>lgt dat in het twaalfvlak ook. viervlakken kunnen worden ingebouwd. Hel blijkt dat we twee series van vijf ~îervlakken kunnen vormen, die elkaars spiegelbeeld v~rm~n',doch ook een tienvoudige. samenstelling (deka-tetraeder) lqumen maken die beide series bevat. j. {De 2.6. Twintigvlak of icosaedèr,r200f {3~5}of ( ) eenvoudigste wijze waarop men zich een regelmatig twinti~lak kan voorstellen, is.~.. doo.~ het opgeb.ouwd te denk<?n uit twee v~jfzijdige pir~ides met daartussen een -,, : schijf, begrensd door een krans van 10 drlehoeken, afwlsselend met de punt naar _ beneden en naar boven (zie figuur 2.14). Op deze wijze past de icosaeder precies in eendodekaeder die op een van zijn zijvlakken als grondviak rust (zie figuur 2. 15). oe ' hoekpunten van de R20 vallen.in de middens der zijvlakken van de R12 (ze zijn mers elkaars duaal toegevoegden) Figuur De icosaeder R20.. Figuur R20 În R12. Er is echter ook een andere stand mogelijk die meer perspectieven biedt, namelijk door het licha~ aan de onder- en boverdijde niet door een hoeiq)unt maar door een ribbe te laten begrenzen. Hetblijkt dan dat, behalve dit eerste ribbenpaar, nog een ander paar. in een verticaal vlak ligt, terwijl door een derde paar een horizontaal vlak te brengen is, met andere woorden: R20 past precies in een kubus! Dit is weergegeven m figuur Zes van 'de 30 ribben en alle 12 hoekpunten liggen in de zijvlakken van de ' kubus, die een ets - i)/2 Irlaal zo grote ribbe heeft als de R20. Dit biedt een nog

28 26 Regelmaat in de ruimte eenvoudiger constructiemogelijkheid als bij de R12: men hoeft alleen maar zes middenparalleien in de zijvlakken van de kubus te tekenen en daarop de juiste lengte af te zetten om allehoekptinten van de icosaeder te vinden. :. : ~ Figuur Icosaeder past in kubl,js... : Een andere aardige consequentie is dat: men in de kubus de R20 als het ware kan laten groeien uit het achtvlak. We beginnen dan met de R8 door de middens van de zijvlakken van de (niet getekende) R6 te verbinden en laten deze zes hoekpunten uitgroeien tot lijnstukjes, zoals in figuur 2.17 weergegeven. De.12 ribben van R8 verbreden zich tot vlakken, die samen met de oorspronkelijke acht de 20 zijvlakken van de R20 gaan vorinen. Tijdens dit groeiproces krimpen de driehgeken die het oorspronkelijke achtvlak begrensden, en roteren tevens om hun as; de vlakken schuiven naar buiten doch blijven evenwijdi~ aan hun oorspronkelijke stand, loodrecht op de liéhaarnsdiagonaal van de kubus. Als de R20 uiteindelijk gevormd is, zijn deze acht vlakken nog steeds evenwijdig aan die van de oorspronkelijke R8, met andere woorden ze vormen nog steeds een R8, die de R20 omhult (zie de laatste figuur in figuur 2.17). Alle hoekpunten van de R20 liggen op de ribben VaJ.l de R8, 24 van de. 30 ribben liggen in de zijvlakken van R8, en 8 van de zijvlakken vallen samen met de oktaedervlakken. De relatie is dus wel bijzonder nauw! Het blijkt uit de figuur d~t een e~ hetzelfde zijvlak van R20 op twee verschillende manieren deel kan uitmaken van een zijvlak van R8; deze twee vertegenwoordigen 2 van de totaal 5 mogelijkheden waarop een R8 om te R20 aangebracht kan worden. De vür'oktleders vormen samen een penta-oktaeder Geometrische constanten van de regelmatige. veelvlakken. We hebben in het voorgaande ~ezien dat de Platonische veelvlakken op diverse manieren in en om elkaar passen; gebruikmakend van de inpassingsmogelljkheden in

29 Volledige regelmaat 27, Figuur 2, 17, Achtvlak, uitgroeiend tot twintigvlak, de kubus kunnen de hoekpunten van de diverse regelmatige veelvlakken op ~er eenvoudige. wijze in rechthoekige coördinatep. (x,y,z) worden uitgedrukt. Het..:. middelpunt valt hierbij steeds samen met de oorsprong van het assenstelsel. (X,y,Z) ribbe R4 (1.1,1), (-1,-1 >1), (1,-1 A), (-1,1.-1 ) 2-f2 R6 (:t1,±1,±1) 2 RS (:tl,o,ol. (0,±1,01. (0,0,±1) -f2 R12 (±a, ±~,±a), (±a 2,O,];1), (O,±1, ~a2),(±1,±a 2,O) a 2 ' R20 (±a,0,±11. (O,±1,±a), (±1,±a,oi a. waarin a = ({5 -:- 1)/2 e~ a 2 =(3 - {5)/2, ' Verder zijirvan belang de totale oppervlakken en de inhouden der lichamen. De eerste kunnen niet behulp van eenvoudige planimetrie berekend' worden, 'de inhouden kunnen bepaald worden doof het veelvlak te verdelen in een aantal piramiden, alle met hun top in het middelpunt en met de ~ij~lakken als grondvlakken: De hoogte van zo'n ' piramide, teveris de straal van de ingeschreven bol, ri~ ' is het gerilatckelijkst te "

30 28 Regelmaat in de -ruimte - berekenen met behulp van analytische geometrie als de afstand van de oorsprong tot een vlak gaande door door drie der hoekpunten van een der zijvlakken. De straal vande omgeschreven bol, r o, is de afstand van de oorsprong tot een willekeurig hoekpunt. Dit so~rt berekenidgen leidt tot de volgende tabel, waarin de diverse grootheden zijn uitgedrukt in de lengte van de ribbe als eenheid~ Tevens zijn de standhoeken <p tussen de vlakken aangegeven., H4 R6 R8 R12 R20 bol ro (--/6)/4 - ({3)!3 - ({2)/2 (-{3)(...[5 + 1)/4 (..J1o [ ri_ (--/6)/ (-{e1l6 ({ïör../ [5)/20 (-{3 (3 +...[5)/12 rcjri 3 {3",1,732 {3 = 1,732...J 15-6,.[5 = 1,258...J 15-6{5 = 1,258 1 opp. {3 6 2{3 (3{5)...J 5 +-2{5-5{3 41t/3 inh. (...[2)/12 1 (...[2)/3 ( [5)/4 5(3 +...[5)/12 41t opp/inh 7, cos cp 1/3 0-1/3 -(...[5115 -(...[5)/3 (-1) cp 70, , _ 138,19 (180 ) Aan de hand van de in de tabel gegeven waarden is te zien hoe bij toenemend aantal zijvlakken de r.egelmatige veelvlakken steeds dichter de bol gaan benaderen. De standhoeken worden steeds groter, hoewel de grootste (R20) nog ver van _180 0 verwijderd is. De verhouding der stralen van om- en ingeschreven bol neemt af; voor ~an elkaar toegevoegde veelvlakken is -deze verhouding dezelfde, hetgeen ook gemakkelijk in te zien is als men een serie elkaar steeds omhullende toegevoegde veelvlatdcen indenkt: de omgeschreven bol van de ene is steeds de ingeschreven bol van de andere. Ten slotte kunnen we de oppervlakken voor een gegeven volume beschouwen: hieniit blijkt dat bij hetzelfde volume R20 slechts een ongeveer 7% groter oppervlak dan de,bol heeft Topologische projecties De topologische projectie is een gemakkelijk hulpmiddel om structuur en wetmatigheden van veelvlakken te ~nderzo(ácen. AJ.lezljvlakken, ribben en hoekpunten van een veelvlak worden hierbij in een plat vlak afget>eeld in hun onderlinge samenhang, zij het, uiteraard, vervonnd. Een viervlak kan op drie manieren worden afgebeeld (zie figuur 2.18). In het eerste - \ figuurtje steltde buitenomtrek een der-vlakken van het viervlak voor; in het volgende is het vierde hoekpunt qriemaal _ afgebeeld; in het derde vormen de uitstekende -lijnstukken samen de zesde ribbe. Figuur 2~19, 2.20, 2.21 en 2.22 gevenenlcele verschillende topologische projecties van de andere regelmatige veelvlakken weer; in

31 Volledige regelmaat 29 figuur 2.21 is daarbij een der mogelijke ingeschreven kubussen in RI2 door stippellijnen aangegeven., ' Á ',. ',.',. ' ', _.. '.,"... -., ',, ' Figu.ur Topologische projectiers van. R4.',. -<1>-.. ~ - Figuur )g(. Topologische proje ~tjes van R6. ~'.'., '..., ' Figuur Topologische projecties van RB. Figuur 2.21, Topologische projecties ván Ri2. Figuur Topologische projecties van R20.

32 30 3 Halve regelmaat (Archimedische of uniforme, 'veelvlakken). ' 3.'1. -Algemeen Iri hoofdstuk I is de definitie van half-regelm~tige of uniforme, ook Archimedische veelvlakken genoemd, al gegeven. Het zijn veelvlakken met regelm~tige veelhoeken als zijvlakken, die echter niet gelijk zijn (bijvoorbeeld driehoeken naast vierkanten etc.), en waarvan de veelvlakshoeken aan de hoekpunten gelijk, doch niet regeilnatig Zijn. Dit zijn de zogenaamde halfregelmatige veelvlakken van de eerste soort Men kan de definitie volgens het dualiteitsprincipe ook omkeren; dan krijgen we de halfregelmatige polyeders van de tweede soort: de veelvlakshoeken zijn wel regelmatig doch niet gelijk; de zijvl~en zijn gelijk doch iliet regelmatig., ' De dualiteit tussen eerste en tweede soort blijkt al uit deze deflnities, doch kan ook op de volgende wijze worden uitgedrukt: Beschrijven we een bol door de hoekpunten van een Hl (halfregelmatig,eerste soort), hetgeen bij elke Hl mogelijk is, en brengen we de raakvlakken aan die bol in de hoekpunten aan, dan vormen deze raakvlakken een H2 die de pendant van de betreffende Hl is. Omgekeerd: de ip.geschreven bol in een H2 (die altijd bestaat) raakt de zijvlakken in punten die de hoekpunten van de aan deze H2 toegevoegde Hl vormen. In dit hoofdstuk zullen we de halfregelmatige veelvlakken van de eerste soort bekijken. Allereerst moet oride~zocht worden welke mogelijkheden er zijn om regelmatige, veelhoeken van verschillende soort zodanig in hoekpunten samen te voegen dat een gesloten veelvlak ontstaat Analyse We beschouwen een enkel hoekpunt van het Archimedische veelvlak (alle hoekpunten zijn iînmers gelijk), en nemen aan dat in dit hoekpunt mini-hoeken, m2 n2~hoekeri etc. samenkomen. Het aantal hoekpunten no.emen we 'H, het aantal zijvlakken Z = Zl + Z = I. Zj, waarin Zj het aantal nj-hoeken voorstelt. De berekening van H verloopt analoog als bij de geheel regelmatige veelvlakken: het aantal vlakke hoeken. in de ni-hoeken i~ Zj"nj doch ook H mj, dus Zj = H (mjnj). Verder is het totaal aantal. '. \.. vlakke hoeken I. Zj"nj = H I. mj = 2R omdat elke ribbe dubbel,geteld wordt.,

33 Halve regelmaat (Archimedische of uniforme' veelvlakken) 31 Combinatie van deze relaties met de stelling van Euler: L Zi + H = R + 2 levert als resultaat: (3.1) Hieruit zijn d~ Zj 's te berekenen met Zi=;= H (mjnj) en R met R = Z + H - 2. De waarde van H kan ook uit de hoektekorten worden bepaald, zoals we dat bij d«regelmatige veelvlakken gezien hebben, dusinet: H =720 /(360 - L(li), wat,.. I.. overigens op qetzelfde neerkomt. '...'. ' '. ' I Alle halfregelmatige veelvlakken van de eerste soort kunnen nu gevon4en worden.door systematisch proberen van combinaties van n en in. Een voorbeeld: mi =.2,. ~. ". nl = 3, m2 = 2, nz = 4 (twee driehoeken en twee vierjcanten vorinen een hoekpunt) geeft: H == 12, Zl == 8, Z2~ 6, R =24, ofwel een li~h~am, begrensd door 8 driehoeken en 6 vierkanten, dat 12 hoekpunten heèften 24 ribben. We zullen voor dit lichaam de notàtie ( ) gebniiken. I., Bij verschillende combinaties geeft de formule voor H een gebroken waarde, zoals bijvoorbeeld mi = 2, nl = 3, mi= 1, n2= 4i (3 3 4): H =4,8; deze rangschikking levert dus geen bestaand veelvlak. Er zijn echter ook combinaties die weliswalu" een geheel getal voor H opleveren, doch.. geen bestaand veelvlak, zoals mi = 2,ni = 5, mz = 1, nl = 6, (5 5 6). Hiervoor vinden we H = 30, Zl ~. 12, Z2 = 5, R = 45. Dit veelvlak bestaat echter Diet; als we de topologische projectie proberen te tekenen beginnen we met twee zeshoeken, elk in drie ~oekpunten grenzend aan twee vijfhoeken, doch zien dan dat erál twee (5 5 5) hoekpunten ontstaan (zie figuur-3.1),. Nadere,beschoqwing van deze en degelijke. situaties leert dat erop,topologische gronden de ~olgende nevènvoorwaarde geldt voor het bestaan van een half-regelmatig veelvlak: een oneven veelhoek moet in ieder hoekpunt aan onderling gelijke buren grenzen (zoals (3 454», tenzij er in hetzelfde. ~ Figuur3, " 'Onmogelijk' veelvlak (5 5 6).

34 32 Regelmaat inde ruimte hoekpunt nog twee of meer veelhoeken van zijn soort samenkomen (zoals (33334). Kennelijk voldoet (5 5 6) niet aan deze voorwaarde; bovendien blijkt dat voor de eerder bekeken combinatie ( ) wel voldoet doch niet (3 344). Om de complete lijst van Archimedische veelvlakken op te stellen moeten vele tientallen combinaties geprobeerd en geanalyseerd worden (een bijzonder boeiend karwei!). Het uiteindelijk resultaat wordt gegeven in de tabel; deze bevat 13 afzonderlijke en twee oneindige reeksen uniforme veelvlakken. Wat de reeksen betreft, in beide gevallen kan n alle waarden van 3 of hoger aannemen; de eerste reeks is dan die der Archimedische prisma's, de tweede die der Archimedische antiprisma's. notatie zijvlakken aantal zijvl. aantal. hoekp. aantal ribben Z H R (3434) 8{3} + 6{4} (366) 4{3} + 4{6} (466) 6{4} + 8{6} (388) 8{3} + 6{8} (3444) 8{3} + 18{4} (468) 12{4} + 8{6} + 6{8} , (3535) 20(3} + 12{5} (5 6 6) 12{5} + 20{6} ( ) 20{3} + 12{10} (3454) 20{3} + 30{4} + 12{5} (4610) 30{4} + 20{S} + 12{10} q 3 334) 32{3} + 6{4} (33335) 80{3} + 12{5} (44 n) n{4} +2{n} 2+n 2n 3n (33 3 ;') 2n{3} + 2{n} 2+2n 2n 4n 3.3. Archimedische prisma's (4 4n) De Archimedische prisma's worden begrensd door 2 n-hoeken, gelegen in evenwijdige vlakken, en n vierkanten in loodrecht daarop staande vlakken (zie figuur 3.2). Het eenvoudigste Archimedisch prisma is (3 3 4); het daaropvolgende, (444) is niet een half- maar een geheel regelmatig zesvlak (de kubus). Bij toenemende n wordt het veelvlak steeds platter van VOIm en nadert tot een dunne cilindrische schijf; dit in tegenstelling tot de regelmatige veelvlakken en, zoals we later zullen zien, de echte Archimedische veelvlakken, die bij toenemend aantai zijvlakken steeds dichter de bolvorm benaderen. We kunnen bij deze' lichamen 4us met ~echt van ontaardingen van het haifregelmatige veelvlak spreken.

35 Halve regelmaat (Archimedische of uniforme veelvlakken) 33, ~.~---- Figuur 3.2. Archimedische,:prisma's Archimedische antipris,ma's (3 3 3 n),.., De (3 33 n), het Archimedisch antiprisma is iets interessanter van vorm; hoewel het eveneens aan boven- én onderzijde door 2 n-hoeken in evenwijdige vlakken begrensd, wordt, liggen.deze n-hoeken ten opzichte van elkaar gedraaid over een hoek 180" In. Het eerste lid van deze familie is ( ), de regelmatige oktaeder; het volgende,, ( ) oo"at twee vierkanten en 8 driehoeken; het daaropvolgende, ( ). vinden we tenig als middendeel van {3,5}, de regelmatige ikosaeder (zie figuur 3.3). Ook voor de antiprisma's geldt dat ze bij toenemende n steeds meer tot een platte schijf, naderen' endus steeds minder interessant van vorm worden;, Figu,!r 3.3. Archimèdische 'antiprisma 's.

36 34 Regelmaat in de ruirrite 3.5. De kubo-oktaeder ( ) Dit veelvlak neenitmet de hierna te behandelen ( ) een bijzondere plaats in onder de Archimedische veelvlakken; het is namelijk de gemeenschappelijke kern van een (3,4) (oktaeder) en een (4,3) (kubus), die elkaar doordringen op zodanige wijze dat alle ribben elkaar paarsgewijze snijden. Het ontleent aan dit feit zijn naam 'kubooktaeder' (zie figuur 3.4). Figuur 3.4: ( ).. De 12 hoekpunten van de ( ) liggen op de mûldens' van de ribben van een kubus, en eveneens op die van een regelmatig achtvlak. Een dergelijke situatie vinden webij de (3 53 5); deze twee worden dan ook quasi-regelmatige veelvlakken genoemd. De c:oördinaten van ( ) zijn gemakkelijk af te leiden uit çle positie in een kubus met ribbe = 2, namelijk (0 ±l ±l) cycl (cycl betekent: naast (a b ç) ook (hc a) en (c a b»; de lengte van de ribbe is hierbij l =-fï De afgeknotte tetra eder (3 6 6) De (36 6) is te beschouwen als een regelmatig viervlak (3,3) waarvan de vier punten zijn afgesneden op zodanige wijze dat van de vier zij~lakken regelmatige zeshoeken overblijven. De vier snijvlakken vormen regelmatige driehoeken (figuur 3.5)... Uitgaande van een tetraeder die in een kubus (ribbe = 6) geplaatst is, kan men de coördinaten van de hoekpunten gemakkelijk als volgt weergeven: (±1 ±l ±3) cycl met voorwaarde x,y z > O. De ribbe ~an het veelvak is dan,= 2-fï. Figuur 3.5. (3 6 6).

37 Halv~ regelmaat (Archimedische of uniform.e veelvlakken) 35 Laat men de vlakken die de hoekpunten afknotten nog verdeli doorschuiven naar het midden, tot d~ zeshoek in een driehoek overgaat '(dus op analoge wijze als de (34 3 4).. door afknotting uit de (3,4) ont,siaat) dan is.het resultaat weer een {3,3) De afgeknotte óktaéder (4 66). Zo;Us de (366) uit de {3,3} ontstaa~ kán men de (4 66) uit de {3,4 } door afknotting, verkrijgen; ook hier worden de driehoeken tot regelmatige zeshoeken afgeknot (figuur 3.6). Doo~gaaDde afknottillg tot aan de middens der ribben levert d~ (3 4 34)., Figuur 3.6. (4 6 6).. Pe hoekpunten hebben, als we uitgaan van een {3,4} met coördin~ten (00 ±3) cycl,.. de volgende c~j;'diriaten: (0 ±1 ±2) cycl; de ribbe is 1=--12. De (46 6) heeft een merkwaardige eigenschap, namelijk dat men ze zo kanopstapeleri. dat ze de ruimte vullen. Er zijn slechts een zeer beperkt aantal veelvlakkeri, zoals de kubus, enkele prisma's en de «3434) van de tweede-soort Archi~edi~che veelvlakken, die deze eigenschap ook hebben. 3~8. De afgeknotte ~ubus (3 8 8l. t.... De (3 8 8) is een afgeknottè kubus {4,3), di~ ontstaat door doorsnijding van de kubus met 8 vlakken loodrecht op de lichaaamsdiagonaleil (die dus een {3,4) vormen), doch niet tot aan de ~ddens van de ribben zoals bij de ( ) maar totdat de zijvl~en. uit regelmatige achtvlakken bestaan (figuur 3.7). De c~rdinaten vad. de 24 hoekp~ten zijn (±c ±1 ±I) cycl, waarin c = Hierbij is uitgegaan van een kubus met ribbe ::; 2, terwijl' cvolgt uit de voorwaarde dat de ribben van een achthoek gelijk zijn.. namelijk 2(-{2':" 1).... oe in deze en in de vorige paragraaf besproken afknottingen worden gei11ustrèerd in figuur 3.8, waarm een kubus via een (388), een ( ), en een (466) tot een oktaeder wordt getransfonneerd. c [.

38 36 Regelmaat in de ruimte Figuur 3.7. (3 8 8). Figuur 3.8. Transformatie door afknottingen De romben-kubo-oktaeder ( ) Ditlichaam wordt begrensd door 8 driehoeken en 18 vierkanten (figuur 3.9), doch is gemakkelijker te analyseren als we de 18 vierkanten splitsen in een groep van 6 en een groep van 12. Het past namelijk met zijn driehoeken in een oktaeq.er (3,4}, en met 6 van de vierkanten in een kubus (4,3). De,12 andere vierkanten zijn dan min of meer verwant aan de ribben van de kubus of van de oktaeder.

39 Halve r.egelmaat (Archimedische of uniforme veelvlakken) 37. ".. Men kan zich de (3 44.4) nam.elijkontstaan denken door een kubus langs de ribben af te knotten zodat de rib~n als het ware tot rechthoeken getransfonneerd worden (figuur 3.10). De hoekpunten van de kubus breiden zich daarbij uit tot driehoeken. Als de snijvlakken zodanig worden gekozen dat de rechthoeken langs de o{)rspronkelijke ribben :vierkanten worden, hebben we de ( ) gekregen. Hetzelfde p~oces kan aan het regelmatig achtvlak worden uitgevoerd met hetzelfde resultaat. Figuur 3.9. ( ).

40 . 38 Regelmaat in de ruimte Van dit halfregelmatig veelvlak bestaat een merkwaardige variant, namelijk het lichaam dat. ontstaat als we het bovenste gedee~te dat op de 8-ring van ribben rust, over een hoek van 45 0 draaien. Dit veelvlak valt ook onder de definitie van (3 444); in ieder hoekpunt komen namelijk drie driehoeken en een vierkant samen, en het voldoet -dus in strikte zin aan de defmitie vaneen halfregelmatig veelvlak vad. {ie eerste soort. De relatie tot de Platonische lichamen {3,4} en {4,3} is echter verstoord en er is nog maar een enkel symmetrievlak overgebleven De grote romben-kubo-oktaeder (4 6 8) De (4 6 8) is het "eerste half-regelmatige veelvlak dat we tegenkomen met drie. verschillende zijvlakken. Ook dit veelvlak is weer verwant aan de kubus en aan het achtvlak; de 6 achthoekige zijvlakken vallen samen met de zijvlakken van een omgeschreven kubus, de 8 zeshoeken met die van een oktaeder, terwijl we de 12 vierkanten weer kunnen denken als 'kwadrateringen' van dè ribben van achtvlak of kubus (figuur 3.11). Figuur (4 6 8). Op het eerste gezicht lijkt het dat de (4 6 8) zou kunnen ontstaan door afknotting van de hoekpunten van een ( ); het veelvlak wordt daarom ook wel 'afgeknot kubooktaeder' genoemd. Bij nadere beschouwing blijkt dat zo'n afknotting nooit vierkanten. kan opleveren; de snijvlakken worden rechthoeken. Men moet daaronl na afknotting de zijvlakken nog over enige afstand evenwijdig verschuiven om de goede (4 6 8) te krijgen. Na enig gereken vindt men voor de coördinaten van de 48 hoekpunten: (±1 ±a ±b) cycl en (±1 ±b ±a)cycl, waarin a = en b = [2 = de halve ribbe van de omgeschreven kubus; de ribbe van de (4 6 8) is dan.l = De icosi-dodekaeder ( ) Zoals reeds opgemerkt bij de bespreking van de ( ) is de ( ) of icosidodekaeder het tweede veelvlak dat quasi-regelmatig genoemd wordt. Het verhoudt zich tot {3;5} en {5,3} zoals (3 4'3 4) zich verhoudt tot {3,4} en {4,3}. Het kan

41 -Halve regelmaat (Archimeclische of uniforme veelvlakken) 3.9 '.. ontstaan gedacht worden door volledige afknotting (tot de middens der ribbeh).van de {3,5} zowel als van de {5,3) (figuur 3.12). Figuur (3535).,. '. '. -..". De hoekpunten liggen dus op de middens van de 30 ribben van de R20 of van de R12.. De coördinaten van de hoekpunten zijn, wannrer we uitgaan van een R12 in een R6 geplaatst:.. (0 () ±2) cycl (6 hoekpunten van een R8), en(±1 ±a ±(a+l» cycl (8 $1( 3 hoekpunten.... / van driehoeken gelegen in de zijvlakken van een gelijkstandige grotere R8). De ribbe ' is 1=-[5-1.. oe (3535) past dus ~ alle vijf regelmatige veelvlakken; bij vier ervan, R4, R8, R12 enr20, heeft hij met all~ beschikbare zijvlakken een zijvlaiegemeen, bij de vijfde, R6,. valt in elk zijvlak een hoekpunt van' de ( ) De afgeknotte icosaedér (5, 6 6) De (5 66) kan ontstaan door afknotting van de hoekp1jilten van een icosaeder {3;5}, waarbij de driehoeken totregelmatige zeshoeken worden beknot. Ook voor dit'lichaain geldt dat het in alle Platonische veelvlakken past (figuur 3.13). Figuur 3, 13,. (5 6 6), De coördinaten van de 60 hoekpunten zijn als volgt: (0 ±3 ±a) cycl, de 12 hoekpunten in de zijvlakken van de oinhuiiende kubus, (±1 ±2a ±(2 + a» cycl, de 24 hoekpunten gre~iid aan bovenstaande serie, '. (±2 ±a ±(2a +. 1» cycl, de overige 24 hoekpunten,

42 40 Regelmaat in de ruimte waarin a :;: (-f? - 1 )/2; de ribbe is I = 2a. Dit veeh:lak is op verschillende manieren bekend geworden. Als leren voetbal is het vrijwel dagelijks op de TV te zien, met zwarte vijfhoeken en witte zeshoeken (hoewel daarnaast ook wel. de ( ) gebruikt wordt). Zeer onlangs is het in de chemie naar voren' gekoinen; men is er namelijk in geslaagd C60 moleculen te maken in een bolvorm; de 60 koolstofatomen zitten op de hoekpunten van het (5 6 6)-vlak, en zijn door enkelvoudige en dubbele bindingen met elkaar verbonden, respectievelijk langs de ribben van de vijfhoeken en langs de gemeenschappelijke ribben van twee zeshoeken. Het molecule heeft daaromeçn soort 'gekromde' grafietstructuur. Men heeft het de fraaie naam 'BuckminsterfuUereen' (Bf) gegeven, waarmee het vernoemd is naar de architect R. Buckminster Fuller, die in 1954 patent kreèg op een koepelstruc~ tuur op 'basis van dit veelvlak. Meer van dergelijke structuren zijn mogelijk, namelijk do~r het veelvlak te 'verdunnen' met een 'willekeurig aantal zeshoeken, hoewel deze lichamen dan natuurlijk niet meer tot de Archimedische veelvlakken,behoren. Ze vinden hun plaats in de Fuller-koepels, en zijn ook teruggevonden in bolvormige C n structuren, waarbij, naast C = 60, tot dusver ook waarden van n = 70, 76, 84, 90 en 94 aangetoond zijn De afgeknotte dodekaeder ( ) De afgeknottedodeka~der wordt beg~ensd door 12 lo-hoeken en 20 driehoeken en heeft soortgelijke eigenschappen als de (5 66) (figuur 3.14). De hoekpunten worden gegeven door:,, (0 ±2{5 ±(3-2{5» cycl, de 12 hoeiq)unten in kubusvlakken, " (±4 ±2 ±(3 -{5» cycl; de 24 hoekpunten grenzend aan de eerste serie,. (±2 ±({5 +1) ±(2{5-2» cyèl, de overige 24 hoekpunten. Bij deze coördinaten is de ribbe I = 2(3 - {5). Figuur ( ). Een soortgelijke reeks afknoltingen als we in figuur 3.8 gezien hebben, wordt voor de (566) en de ( ) weergegeven in figuur 3.15, waarin een R12 via een (310 10), een ( ) en een (5 6 6) getransformeerd wordt tot een R20.

43 ./ Halve regelmaat (Archimedische of uniforme veelvlakken) 4,. Figuur Trans forma. tie door afknottingen. I De romben-icosi-dodekaeder ( ).. Evenals de (3 44-4) ~ntstaan geda"cht kan worden uit R8 ofr6 door langs de ribben af te knotten, kan men iich de ( ) voorstellen vanuit de R20 of de R12; Met 20.. driehoekige zijvlakken past dit veelvlak precies in een R20; met zijn 12 vijthoeke~ in êen R12. De 30 vierkanten zijn de 'kwadrateringen' van d~ 30 ribben van R20"of R12 (figuur 3.16). ' '. ".'. Figuur (3454)..'

44 42 Regelmaat in de ruimte Van de 60 hoekpunten liggen er 24 in de zijvlakken van een omhullende kubus (zes vierkanten). De coördinaten hiervan zijn: (±a ±a ±(2+a» cycl De coördinaten van de ~dere hoekpunten zijn: (0, ±(a+l) ±(2a+I» cycl en (±I ±2 ±(a+i» cycl, waarin a = ({5-1). De ribbe van de omhullende kubus is 4+2a; de ribbe van ( ) is 2a. Het proces van de uitgroei van ribben van een RI2 tot rechthoeken wordt gei1lustreerd. in figuur Als de vierkante vorm bereikt is hebben we de ( ); bij verdere verbretling nadert het veelvlak tot een R20. Figuur (34 54) ontstaande uit eenr72 o! een R De grote romben-icosi-dodekaeder (4 6 10) De (46 "IO) wordt wei, ten onrechte, genoemd 'de afgeknótte icosi-dódekaeder'. Evenals bij de (4 6 8) ontstaat echter alleen een half-regelrilatigveelvlak wanneer de zijvlakken nog een evenwijdige verschuiving hebben ondergaan. De verlengde ribben der zeshoeken en die der tienhoeken hebben dari ook geen gemeenschappelijke snijpunten meer (figuur 3.18). De coördinaten van d~ 120 hoekpunten zijn, in de eenvoudigste vorm: [±(3 - {5) ±(3 - {5) ±(3{5 - I)] cycl, [±2 ±(3+{5)" ±(6-2{5)]cyCI, [±({5+I) ±(7 - {5) ±(3 - {5)] cycl,

45 \. Halve regelmaat (Archim~dische of uniforme veelvlakken). 43 [±2..J5 [±4. ±(5 - {5) ±(2.J5-2)] cycl. ±2 ±(3{5-3)] cyd.. De ribbe van dè (46 10) is. bij dezecoördinatenkeus,2(3 - {S). '.{ Figuur (46 10)../ De stompe kubus ( ). ~ De tot dusver beschreven Archjmedis~heveelvlalÇken konden alle beschouwd worden als vrij eenvoudig omstaan uit regelm~tige veelvlakken door een- ofmeèrmalige. afknotting van hoekpunt~n of langs ribben'. Met de c ) is dit niet het geval; dit. licha~ laat zich niet zo simpel 'ontdekken' als de andere. Het is weliswaar nauw verwant aaride kubus; het bevat immers zes vierkanten; die, zoals gemakkelijk is in te.. ) ~. zien; geheel liggen binnen d~ zijvl~en van een omhullende k;ubus (figuur 3.19). Ze liggen echter in deze kubusvlakken over een bepaalde hoek gedraaid; de positie der hoekpunten wordt bepaald 'door twee onafhankelijke voorwaarden van gelijkheid der ' ribben.. Deze voorwaarden leiden tot een derdeinachts vergelijking; die geen, in. gesloten vorm uit te drukken. oplossiiigen heeft.. Figuur 3.19, (33334). De coördinaten der 24 hoekpunten kunnen worden uitgedrukt als: (±a±a 2 ±1) cycl met xyz < O. (±a ±1 ±a 2 ) cyclmet xyz > O. _a volgt uit a 3 + a 2 + a.,; 1; a :::: 0,54369; a 2 = 0, De ribbe volgt uit J2= 2(a 2 +2a - 1).

46 44 Regelmaat in de ruimte Verwisselt men de tekenbeperking in de coördinaten dan ontstaat een soortgelijk veelvlak dat het spiegelbeeld van het eerste is. Er bestaan dus twee modificaties van de (33334): een waarbij de vierkanten ten opzichte van de zijvlakken der omhullende kubus naar rechts gedraaid zijn en een waarbij dedfaaiingszin naar links is. Van de 32 driehoekige zijvlakken nemen er 8 een bijzondere positie in; deze 8 worden aan alle drie zijden door andere driehoeken begrensd. Het blijkt dat deze 8 vlakken loodrecht op de lichaamsdiagonalen van de omhullende kubus staan; deze vlakken vormen, voldoende uitgebreid, dus een regelmatigoktaeder, Binnen de zijvlakken va deze {3,4} liggen de acht driehoekige zijvlakken van de (33334) op een soortgelijke wijze gedraaid als de vierkante zijvlakken ten opzichte van de kubus. De overige 24 driehoekige zijvlakken vormen twee aan twee de afscheiding tussen twee vierkante zijvlakken (en ook tussen twee driehoeken van de andere soort); dit suggereert een analogie met de ribben van een kubus (en van een o~taeder) De stompe dodekaeder. ( ) De ( ) is analoog aan de ( ); in plaats van een kubus nemen we een dodekaeder {5,3} en beschrijven concentrische doch kleinere regelmatige vijfhoeken binnen ieder vijfhoekig zijvlak. die weer iets ten opzichte van de grote vijfhoek gedraaid zijn (figuur 3.20). Bij de juiste keus van de draaiingshoek en de verkleiningsfactor zijn de afstanden tussen de hoekpunten van de naastliggende vijfhoeken gelijk, en ontstaat een half-regelmatig veelvlak, opgebouwd uit vijfhoeken en driehoeken. Figuur ( ). De (33335) heeft uiteraard 12 vijfhoekige zijvlakken, 20.driehoekige vlakken die in een regelmatige ikosaeder passen, en 60 driehoeken die twee aan twee de. begrenzingen tussen de vijfhoeken vormen. Bij het berekenen van de coördinaten stuiten we op een vierdegraads vergelijking met irrationele coëfficiënten, die hier niet zal worden weergegeven. Na oplossen van deze vergelijking blijken de coördinaten van de hoekpunten als volgt te zijn:

47 Halve regelmaat (Archimf{1dische of uniforme veelvlakken) 45 (± 3,22 ±18,Ql ±2,84)cyci metxyz > 0, (± 4,88 ±16,99 ±5,22) cycl met xyz < 0, (±l2,15 ±12,49 ±6,26) cycl met xyz < 0, (±15,OO ±10,73 ±1,66) cycl met xyz > 0, (± 9,47 ±14,i4 ±7,2S) cycl met xyz > O..' De ribbe van het veelvlak is bij deze coördinaten I = 0,858S..... Ook dit veelvlak heeft twee modificaties, een rechtsom en een linksom ~edraaid, die elkaars spiegelbeeld zijn. Bezien we de ( ) en de ( ) ajs een reeks verwante veelvlakken, d~ is het voor de hand liggend te trachten deze reeks aan weerszijden te verlengen. ( ) is. uiteraru:d een vlakke figuur die overig~ns dezelfde opbouw heeft als de beide. veelvlakken (zie par. 3.19). De (33333) is niet andersdari de r~gelmátige ' ikosaeder {3,5}, die op dezeifde wijze met gedfaaide zijvlakken in R4 past als ( ) in R6 en in RS, en ( ) in R12 en in R20. 3; 18. Oppervlakken en inhouden De oppervlakken vad. de Archimedisch~ veelvlakken kunne~ zeer eenvoudig berekend worden, Het oppervlak van een regelmatige n-hoek,{n}, is On = (nj2/4}cotg(1s00/n), dus het totaal oppervlak van bijvoorbeeld (4 6 10), bestaande uit 30{ 4 j, 2Ó{ 6 } en' 12{ lol. is (30/4)12 cotg 45 + (20/4)12'cotg 30 + (l2/4)p cotg 18 =.30 J2(l +...[3 + -J [5), (hierin is J, èle lengte'van de ribbé). De inhoudis de som van een aantal piramides, alle met de top in het middelpunt. De hoogte van een piramide is de afstandvan'het middelpunt tot het betreffende zijvlak, en is gemakkelijk uit de coördinaten der hoekpunten te 'berekenen, bijvoorbeeld als. volgt: Vaneen der tienhoeken vad. (4 6 10) liggen twee overstaande hoekpunten op (-2, [5, [5) en (2; 3...[5 ~ 3; 4); he't zwaartepunt van dit zijvlak is dan (0, 2{5, [5) en de afstand PlO wordt gegevendoor: 1'10= ()2 + (2{5)2 + (5{5)2 = 50-1O{5. De -inhoud van ~lle piramide~ meteen (lol als grondvlak is dan O (PlO/3 ).. ' De straal van de omgeschreven cirkel, r, wordt berekend als de afstand van het middelpunt tot een willekeurig hoekpunt. De tabel geeft enige geometnschegegevens vad. de Platonische en d~ Aréhiinedische '. veelvlakken, inclusief een aantal prisma's en antiprisma's. In plaats van de inhouden I, de oppervlakken A, de ribben I en de stralen van de omgeschreven bol r, worden de veel interessantere verhoudingen I1(4m 3 /3), A/4rcr 2 en ril gegeven. De eerste ende ' tweede' geven 'respectievelijk inhoud en oppervlak van het v~lvlak als fracûe van die.

48 .46 Regelmaat in de ruimte van de omgeschreven bol, terwijl ril een. (omgekeerde) maat is voor de hoek waaronder je vanuit het middelpunt een ribbe ziet; deze hoek <p, waarvoor geldt: cos <p = 1 - J2(2il, wordt ook in de tabel vermeld. Uit de tabel blijkt dat de (4 610) uitmunt in alle opzichten; het is verreweg het grootste veelvlak voor een gegeven ribbe. Het vult de omgeschreven bol met het hoogste percentage, namelijk voor 89,8%, hierin op de voet gevolgd door (33335) en (3 4 54) met resp. 89,6 en 89,2%. De. oppervlakteverhoudingen geven dezelfde volgorde te zien, namelijk resp. 95,9, 94,7 en 94,7%. veelvlak I/lb NAb. ril cp H/m (333),123,368 0,61 109, (3333) ;318,551 0, (444),368,637 0,87 70, (33333),605,762 0,95 63, (555),665,837 1,40 41, (3434),563, (366) ,17 50,5 4 (466),683,853 1,58 36,9 8. (388),577,816 1, (3444),571,721 1,40 41,9 6. (468),802,915 2,32 24,9 16 (3535),780,891 1, (566),867,941 2,48 23,3 20 (31010),776,911 2, (3454),892 ;947 2,23 25,9 15 (4610),898,959 3,80 15,1 40 (33334),763,875 1,34 43,7 4.8 (33335),896,947 2,1.6 26,8 12 (443),232,527 0,76 81,8 2 (445),427,690 0,99 60, (446).444,713 1,12 53,1 4 (448).421,718 1,40 41, (4410),378,704 1,69 34, (4412),336,687 2,00 29,0 8 (3334),410,642 0,82 74,9. 2 (3335),438,684 0,95 63,4 2.5 (3336),434,699 1, (3338),391.,698 1,38 42,6 4

49 .. Halve regelmaat farchirnedische of uniforme 'veelvlakken). 47. Het is interessant om na te gaan hoe de 4iversegeometrische groothederi met elkaar samenhangen. Het blijkt dat er tussen bijvoor1>eeid IIIh en ril slechts een zeer globale correlatie bestaat met veel spreidmg. Uiteraai"d wijken de prisma's' (44 n) ende antiprisma's het sterkst af; hierbij nadert I/lb ' tot 0 bij toenemende..n ennab tot 0,,5 (2ru2/41ir 2 )..... : ". ; Bij pogingen om ergens een correlatie tussen verschillende grootheden te vinden, blijkt. een onverwacht goed verband te, bestaan tussen ril en het aantal hoekpun~ri gedeeld door de functionaliteit van dehoèkpun~~n, Hlm., Voor een kubus is bijvoorbeeld. Hlm';" 8/3, voor ( ) = ' i2 enz. Dezecorrela~ie is gedemonstreerd in figuur 3.21; het blijkt dat zelfs de leden van de prisma- en antiprisma-reeksen zeer goed m het patroon passen. Gemiddeld voldoen de wàarden aan :. ril =' 0,6 x...jhlm.:1.. r/l s 3 o o l,s r o o 0.7 o o, 0, '--1'. 5-, -'-, -'2--.,--'---'':--'S--7''- -'1 O~--l'S ~'20~--'30----r:1O---iSO,H/m..' Figuur Rela,tie tussen r/l en Hlm.,.....,' : ' Reeksen " - Bij de eerste opsomming van de half-regehilatig~ veel~lakken is,eeds het bestaan van., twee duidelijk herkenbare re~kserigenoemd, nam,elijk de series (4 4 n) en (333 n). Er bestaan 'échter ook andere reeksen, zoals (3 3 3); (3 4 4),(3 6 6); (3 8 8),_ ( ), (~ 12 12). Deze reeks begint bij het regélmatig viervlak, dan volgt het kleinste Archimedisch prisma, daiuna kornen drie - af~eknotteregelmatige veelvlakken, en men kan de reeks afgesloten denken door ( ), dat weliswaar geen veelvlak is doch een verdeling van het platte viak. -

50 48 Regelmaat in de ruimte Een overzicht van deze en diverse andere mogelijkheden voor een systematische, indeling in reeksen wordt gegeven in figuur Uitgangspunt van het gehele systeem is het viervlak (3 3 3), waaruit de reeksen (3 3 3), ( ), ( ), ( ) en ook (3 3 3), (4 4 4), (5 5 5), (6 6 6) en de boven genoemde reeks ontspringen. De andere reeksen vorinen vertakkingen van deze drie series. Enkele reeksen kruisen elkaar op een merkwaardige manier, zoals (444); (55 5), (666) met (44 5), (5 5 5), (5 6 6). I (3338) I (333' 7) I 033m 0333m I ~. 033~ 0333~ (33~4) (333~ < (33344) I / (33434) (333)--(3333) - '-( ) -(333333) / ~,"'" ~ (344) (3434) -(3444) -(3454) -(3 464) ~~...)444~) (366) (3535) (4444) (445) ' / ""' " ~,, (4 46) (3 8 8) '" (4471 (555) (461~ " '" (3636),/ \., "'-... (310'10) )4 4 8) (4 6 8) (4 8 8) "'-,... ~6m I ~ / (4 6 10) ( ) (666) I (4612) Figuur 3,22. Reeksl:m veelvlakken, inclusief vlakverdelingen. Wanneer ook de korte reeksjes beschouwd worden, komen we in dit schema alle 11.. I mogelijkheden voor vlakverdelingen met regelmatige veelhoeken tegen, namelijk ( ); (4444), (6 6 6), ( ), (3 4 64), (3 63 6), ( ), ( ), (3 3434), (4 6 12) en (488). Van deze elf zijn er drie geheel regelmatig en acht halfregelmatig. Een merkwaardig duo. vormen ( ) en ( ), bestaande uit dezelfde elementen; terwijl de eerste vrij triviaal is en verwant' aan prisma's en antiprisma's, vormt de tweede een onverwacht ingewikkeld en boeiend patroon. Figuur 3.23 geeft een overzicht van de genoemde vlakverdelingen.

51 1 1I'.""!' ""'.'.. "!'... "...,."",",'...II.. """!!!"""""""",! i "i ii""'i i ', " '. " ' ; ' ' ; """'"" 1111"" """"""'""""""'''"111''''111111" '' "''" IIIIIIIIIIL.,! Halve' regelmaat (Arèhimedische of uniforme veelvlakken) f--+~.-i----- f-.~(.'.. Figuur Drie regelmatige en acht hal(rége!matige vlakverdelingen,. r~sp.fjctievelijk :. ( ), ( ) en (6 6 6);. (4 6 12), (4 8 8),( ), ( ), ( ), ( ), ( ) en ( )... ~...

52 50 4 Halve regelmaat omgekeerd (uniforme veelvlakken van de tweede soort) 4.1: Inleidhig, I In hoofdstuk 3 is het verschil tussen haifregeiffiatige veelvlakken van de eerste en tweede soort al aangegeven. Men kan uit ieder type van de eerste soort (UI) een,,' analoog type van de tweede soort (U2)afleideIi door in de omschrijving de rol der "zijvlakken le laten overnemen door hoekpunten (veelvlaksh,oeken) en omgekeerd. ' Zoals een UI opgebouwd is uit regelniatige doch ongelijke veelvlakken, zo zijn bij een U2 de in de hoekpunten gevormde veelvlakshoeken regelmatig doch ongelijk~ Zoals bij een UI,de veelvlakshoeken alle gelijk doch niet regelmatig zijn, zo zijn de zijvlakken van een U2,gelijke, doch niet-regeiidatige veelhoeken.,, Om de halfregelmatige of uniforme veelvlakken van de tweede soort een eenvoudige korte notatie te geven; gaan we uit van de manier waarop we die van de eerste soort hebben benoemd. Zo geven we het duale lichaam van bijvoorbeeld ( ) dezelfde notatie doch met dubbele haken: «3434» enz. Het zal duidelijk zijn dat we, wat de Platonische veelvlakken betreft, op deze manier de kubus 'zowel (444) kunnen noemen als « », het viervlak (3 3 3) of «3 3 3»enz. Voor ~e beschrijving vail de diverse U2'skunnen we twee wegen volgen. De, vorm der zijvlakken laat zich vrij eenvoudig bepalen uit de voorwaarde ' dat de veelvlakshoeken regelmatig zijn en alle standhoeken tussen vlakken gelijk. De, coördinaten van vlakken en hoekpunten zijn te bepalen door hetzij de middens der zijvlakken van de UI te nemen en met elkaar te verbinden, hetzij rondom de' UI een omgeschreven bol aan te brengen en daaráan de raakvlakken in elk der hoekpunten van de UI te berekenen. J ' I 4.2. Berekening van de vorm der zijvlakken Aangezien de veelvlakshoeken in de hoekpunten regelmatig zijn, geldt de in l.2 gegeven algemene relatie voor de standhoeken <p tussen de vlakken in een regeiffiatige m-vlakshoek:

53 Halve 'regelmaat omgekeerd (uniforme veelvlakken van de tweede soort) 51. cos (l - P cos <p = cos (l + I waarin (l de hoelç van het zijvlak in h~t hoekpunt dat met (m - 1) andere de m vlakshoek vormt, en p = 1 + cos(3()()ofm). Wanneer nu een veelvlak ml-vlakshoeken en m2-vlakshoeken bevat (afgeleid van een UI bestaande uit mi-hoeken en m2-hoeken), dan geldt voor deze veelvlakshoeken: cos (ll - PI cos (l2 - P2 cos <p = cos (ll + 1 cos (12+ 1 immers voor beide veelvlakshoeken zijn de standhoeken <p gelijk. PI en P2 zijn bekend uit mi en m2, en om de vergelijking op te lossen is dus nog een tweede relatie tussen (ll en (l2 nodig. Deze wordt geleverd doorde som van de hoeken in een zijvlak te beschouwen: als het zijvlak een driehoek is (in UI is het hoekpunt dan een drievlakshoek) met een hoek al en twee hoeken 0.2, dan geldt: al = 180? of. cos (ll = --cos(2 (l2). Algemeen geldt bovenstaande formule voor <p bij n-hoeken met hoeken (ll, (l2,..., Cln met respectievelijk ml-, m2-,... m n -vlakshoeken; de nevenrelatie is dan L (li = = (n - 2) Dit is een oplosbaar stel van n + 1 vergelijkingen met n + 1 onbekenden namelijk al tot en met Cln en <po Het oplossej.l is erg gemakkelijk als de zijvlakken gelijkbenige driehoeken zijn zoals bij «4 6 6», «3 8 8» etc en de van de prisma's afgeleide serie «4 4 m». Aanzienlijk meer rekenwerk vereisen ongelijkbenige driehoeken, «4 6 10» ende meerzijdige veelhoeken zoals « »; in deze gevallen is het soms handiger om deze methode achterwege te laten en de, veel algemenere, aanpak te kiezen van de berekening der coördinaten uit de raakvlakken aan de bol om UI. Als de hoeken bekend zijn ligt, behalve bij driehoeken, de lengteverhouding der ribben nog niet automatisch vast; dit is wel het geval als,:"e letten op de vanzelfsprekende voorwaarde dat ribben tussèn overeenkomstige paren hoekpunten even lang moeten zijn. Bij de verdere bespreking in dit hoofdstuk van de diverse typen U2's zal de vorm van de diverse zijvlakken in meer detail ter sprake komen Berekening der coördinaten van hoekpunten en zijvlakken. Zoals in 4.1 al opgemerkt, kunnen de coördinaten van de U2 bepaald worden hetzij als de middens van de bijbehorende UI als met behulp van raakvlakken aan de

54 5.2 Regelmaat in de ruimte' omgeschreven bol. Hoewel de eerste manier eenvoudiger en meer voor de hand liggend schijnt, kiezen we hier voor de tweede manier; de bepalingswijze is dan aadzienluk eieganter en doebnatiger. We brengen dus in het hoekpunt PI(xJ,YJ,iI) van de UI. het raakvlak aan d~ bol aan, dat wil zeggen het vlak door PI loodrecht op d~ ~erbindingslijn met het middelpunt O. De lengte van deze verbindingslijn (de straal van de omgeschreven bol)"is: R = (xl + Y1 + zt)i/2 Het raakvlak heeft de vergelijking:,.. 'of xlx+yiy+ziz-.:r2=o.... \...'.' Voor twee andere hoekpunten van dezelfde veelhoek van UI, P2 en P3,worden de vergelijkingen der raakvlakken analoog. doch met indices respectievelijk 2 en 3. Een hoekpunt van de U2 is het snijpunt Q van deze drie vlakken; de coördinaten van'q vinden we dus door de drie. vergelijkingen op te lossen. Hiertoe maken we gebruik ' van de notatie met determinanten: 1 R2 YI ZI R2 Xl 1 ZI R2 Xl YI 1 R2 Xl YI ZI x=t 1 Y2 Z2 Y=71 X2. 1 Z2 z=t X2 Y2 1 ~=T X2 Y2 Z2 1 Y3 Z3 x3 1 Z3 x3n 1 x3 Y3 Z3 waann. R2 =xi. 2 + Y1 1+ zi 2 = x2 2 + rl 2 + ~ 2 =x3 2 + rl 3 +Z3 2 De determinant, bijvoorbeeld voor ~, is' een verkorte schrijfwijze voor: XI(Y2'Z3 - Y3'Z2) -,. X2(YI'Z3 - Y3'ZI) - X3(YI'Z2 - Y2'ZI). In alle drie coördinaten komt R2 voor als factor; uiteraard kart R = 1 gesteld worden hetgeen de berekening vereenvoudigt en de onderlinge verhoudingen der coördinaten niet verandert Onafhankelijk van de soort veelhoek in het uitgangsveelvlak UI zijn voor de bere- \..-.. kening van een hoekpunt slechts. drie raakvlakkeri nodig: Hoewel de determinantenmethode in sommige gevallen nogal wat rekenwerk met zich meebrengt, is het toch een verrassend simpele manier om deze U2 veelvlakken volledig vast te leggen (voorat natuurlijk met behulp vaneen computer!). Door de afstanden te berekenen tussen naastliggende hoekpunten, op deze wijze bepaald, heeft men een önàfhankelijk. controle op de beide methoden om de vorm der zijvlakken te bepalen.

55 w...,,,.., 1 '11. pu i '''''Mttfflr tili' I "'!lw!!""" ft 'til.. """ ",,!I r 1111 ti" ' "",,, ",,' 'MI " I!! li ' 11 "1' "", n"mwii!llul!li1!!iii'!i" u""'au'rlkllllllllllll"""'" '"I!IIIIWTlUlJlIlIlI!iJW',,!,"lIIlnm Halve regelmaat omgekeerd (uniforme veelvlakken van de tweede soort) Archimedische dubbelpiramides De dubbelpiramides zijn dè pendanten van de prisma's; zè bestaan uit twee identieke piramides met gemeenschappelijk grondvlak. ~ eenvoudigste is de «344», waarvan de zijvlakken ~elijkbenige driehoeken zijn met een tophoek van ruim 97 (arccos -1/8). Er zijn zes zulke vlakkep, die twee driezijdige piramides vormen met een gelijkzijdige driehoek als gemeenschappelijk grondvlak. De volgende dubbelpiramide is de «4 4 4», die niet anders is dan de ( ) of {3. 4}, het regelmatig acht~lak. De kubus waslmmers ook de tweede in de reeks der. Archimedische prisma 's! De tophoek van de (uiteraard gelijkzijdige) driehoeken is Hierna volgen «445» en «4 4 6» etc, bestaand uit resp. 10, 12 etc. driehoeken, waarvan de tophoeken in de aangegeven gevallen waarden hebben van respectievelijk 40,4 (arccos(5{5-1)/16) en 29 (arccoso,875). De algemene formule voor de tophoek Om van de zij.vlakken van «44 m» is: cos ~ = cos e + O,5 sin 2 e.met e. = 360 Im ; deze.relatie volgt op eenvoudige wijze uit het in 4.2 behandelde... Het is duidelijk dat bij toenèmende m de tophoeken kleiner en kleiner worden en tot 0 naderen; zoals het Archimedisch prisma m een dunne schijf overgaat, krijgt de dubbelpiramide steeds meer een naaldvorm. De coördinaten van de «44 m) zijn het simpelst uit te drukken door de toppen op de z as te leggen en het gemeenschappelijk grondvlaic, {m}, in het x-y vlak. Voor het berekenen van de hoógten h der piramides kan in plaats van de determinantenmethode sneller de volgende relatie gebruikt worden: hll = cos(e/2) 1 - cos e waarin I de ribbe van {mi en e = /m. Voor m = 3, 4, 5,6 en 8 vinden we hiermee respectievelijk: hll = 1/3,...J2/2, ( J5)/I0,...J3 en ~ 5 + 3,5...J2 Figuur 4.1 geeft een overzicht van een aantal dubbelpiramides.

56 54 Regelmaat in de ruimte / Figuur Enkele Archimedische dubbelpiramides Archimedische trapezoëders De trapezoëders ontstaan uit de antiprisma's door duale verwisseling. De «3 3 3 m» wordt begrensd door 2m vierhoeken. Er zijn, evenals bij de «44 m», twee toppen die m-vlakshoeken vormen; de anderehoekp~ten vprmen 'dtievlakshoeken en liggen in. zig-zag vorm gegroepeerd om een vlak loodrecht op de as. De zijvlakken zijn deltoiden. (vliegers); uit de voorwaarde van gelijke standhoeken volgt eèn relatie voor de hoeken van: deze.vierhoeken (zie figuur 4.2): cos (13,,; (1 --{q)/2 cos <lm= (3q - qvq - 2)/2 waarin q = cos(3600 Im). ", Figuur 4.2. Trap~zoëdervlak.

57 , Halve regelmaat omgekeerd (uniforme veelvlakken vàn de tweede soort) 55 De verhouding der diagonalen wordt gegeven door: dl / d~ = (1 + cos (J.3) / (l~cos,~) ' Voor enkele trapezoëders zijn de hoeken in graden en de diagonalenverhouding in de " volgende tabel weergegeven; m, ~3 "<Xm d 1 /d " 4 102,0 ' 54,1 1\ ' 36! 1,90 ' 6 111,5 25,6 2,54,8, 1J5,1 14,8 4,17,. 1Q J 16,8 9,,6 6,28, De eerste uit dezè tilbél,. «3333», is vanzelfsprekend de kubus {4 3}. Als 'toppen kunnèntwee tegenoverliggende hoekpunten fungeren, als as de v~rbindénde lichaainsdiagonaal. Verder m de reeks zien we'dat de tophoek vàil tie zijvlakken, evenals 'bij de ", dubbelpiramides, tot nul nadert bij toenemende m; de andere hoeken naderen tot 120. Figuur 4.3 geeft afbeeldingen van de in de tabel genoemde soorten. ".. Figuur 4.3" Archimedisch(j trapezoëders, 1,1'

58 56 Regelmaat in de ruimte 4.7. De' rombendodekaeder. De «3 4 3" 4» w~rdt de rombendodekaeder g~noemd; het lichaaji}. kan afgeleid gedacht worden van de ( ) door duale omzetting en heeft dus 1.2 vlakken en 14 hoek-. punten. Van deze hoekpunten vormen er S een drievlakshoek en 6 een viervlakshoek (de (3 4 34) wordt immers begrensd door S\driehqeken en'6 vierkanten). De vlakken vormen ruiten (gelijke ribben), vandaar de naam van het veelvlak. Vanwege de gelijkheid der ribben neemt de «3 4 34» een bijzondere plaats in onder de U2's. Dit is in analogie met het speciale karakter van de ( ), die de bijzondere eigenschap vertoont dat de standhoeken langs alle ribben gelijk zijn (bij ribben zijn lengte en standhoek.duaal toegevoegde grootheden). Dezelfde situatie treffen we aan bij de ( ).en de « ».- Voor de hoeken der ruiten, a. en ~, geldt: cos ex =.:..ços ~,;, 1/3; (X = 70,53 en ~ = 109,47. De onderling loodrechte diagonalenv~rhouden zich tot elkaar als 1 :...[2.., Evenals de ( ) nauw verwant is aan de kubus, {4 3} en aan de. oktaeder,. {3 4}, is dit ook bij de « » het geval. De lange diagonaleri vormen de 12 ribben van een regelmatig achtvlak, de kor~e diagonalen die vaneen kubus, zodat zes der hoekpunt~n de hoekpunten van een RS vormen en de acht andere die van een R6. Dit is gedemonstreerd in figuur 4.4, die vergelijkbaar is met figuur 2.9. Figuur 4.4. De rombendodekaeder (( )). Als we de standhoek tussen paren aangrenzènde vlakken uitrekenen, blijkt deze (voor. alle paren) 120 te ~ijn. Deze uitzonderlijk lllooie waard~ (360 /3) wijst erop dat drie exemplaren van dit veelvlak naadloos aan elkaar kunnen worden gelegd. Nadere beschouwing leert dat we in alle richtingen kunnen doorgaan met aarueggen: dit veel.vlak is,ruimtevullend, evenals de kubus, sommige prisma's en de (4 6 6), de afgeknotte oktaeder. Aan dit fei~ is een heel interessante ver.dere consequentie verbonden. De rombendodekaeder kan opgesplitst worden in 24 viervlakken door elk der 12 ruiten langs de korte diagonaal te verdelen in twee driehoeken; elk dezer,driehoeken vormt slull.en 'met het middelpunt vàn het veelvlak een niet-regelmatig viervlak. (zie figuur

59 Halve regelmaat omgekee~d (uniformf/j veelvlakken van de tweede soort) ). Dit VIervlak kan, onafhankelijk van de uitgangs~« » de ruimte in alle richtingen opvullen. Het tetraedertje is. defll)ate interessant dat we, als intennezzo, het probleem van ruimtevulling met tetiaeders. afzonderlijk zullen bekijken. Figuur 4.5. De rolt)bendodekaeder. opgesplitst in 24 tetraeders... 4~8. Intermezzo: ruimtevullende viervlakken We hebben' in Hoofdstuk 2 al gezien dat met regelmatige tetraeders de ruimte niet gevuld kan 'worden; daarbij zijn additionele regelrllatigeoktaeders nodig, Devraag is of er tetraeders bestaan die wel ruimtevullend zijn, uiteraard niet-regelmatig maar wel gelijkzijdig, dat wil zeggen de vier zijviakken zijn congruem en de vier hoekpunten (drievlakshoeken) ook. ZO'ri gelijkzijdig tetraederkan met iedere scherphoekige. driehoek gevonnd worden (zie figuur 1.4)... We nemen nu een willekeurige driehoek met hoeken ah 0.2 en 0.3 en bouwen uit vier ervan een tetraeder. De zes standhoeken tussen de vlakken zijn twee aan twee gelijk. (van de zes ribben zijn er maar drie verschillend) en worden gegeven door:. cos al - cos 0.2. cos 0.3 cos al =. ~----~----~----~ sin U2. sin 0.3 etc. Omdat al = kunnen de standhoeken.geschrevenworden als: 2 cos al = 1- ~------"=----,----'~ tan 0.2 '. tan cos a2 = "=-----'---'- tan' al. tan cos" a3 = '-----= '~ tan a I. tan 0.2." De voorwaarde voor ruimtevulling is dat al, a2 'en a3 elk eeq. geheel aantal malen

60 58 Regelmaat in de ruimte deelbaar zijn op 360, respectievelijk n10 n2 en n3 maal, waarbij n10 n2 en n3 minstens 3 moeten zijn. Dus de waarden voor alo a2 en cl3 moeten elk. deel uitmaken. van de reeks 3~f3, 3(/J /4, 3~/5etc " en de waardtm van taii <lj. taii <lj van de reeks.:.. I. 2/(1 - cos 3f1JO!3), 2/(1 - cos 3(/J /4) etc. óf : 4/3, 2, 2/(1 - cos 72 ), 4, [2, etc. Om na te gaan of hieraan voor alle drie staiidhoèken voldaan kan worden, kiezen we systematisch combinaties van n} en n2 en kijken ofook n3 een geheel getal is. Naiets omwerken van de variabel~n en even spelen met de computer vinden we al snel dat n waaiden van 6, 6 en 4 voldoen en tevens dat het de enjge waarden zijn die in aanmerking komen.. De bijbehorende waarden voor de a's zijn dan (/Jo, (/JO en 90 en de hoekén (11 ~ (12 en (13 zijn respectievelijk 54,7, 54,7 en 70,5. Het gevonden viervlak laat zich het eenvoudigst vóorstellen met de x, y en z coördinaten (-2, 1,0), (2, 1,0), (0, -1,2), (0, ~1, -2). Het kan ook ontstaan gedacht worden uit een staaf mét gelijkzijdigdriehoekige doorsnede (lengu; der zijde = a) d~or deze staaf met een der zijden ~p een horizontaal vlak te leggen, te snijden loodrecht op het horizontale vlak doch onder een, hoek van 35 ~26 (aretg 1/.,[2) met het vlak loodrecht op de' as van de staaf, daarna de staaf 120 te roteren, over een afstand O,3536 a op te schuiven, opnieuw te snijden enz. (zie figuur 4.6) Figuur 4.6. Staaf van ruimtevullende. te~raeders. Het ruimtevuliend karakter van de tetraeder word! d09r dezè ontstaanswijze duidelijk gedemonstreerd ~ Omdat de tetraeder gelijkzijdig is; kan op elk vlakje van een uit de. tetraeders opgebouwde driehoekige StaIig inaridere richtingen worden uitgebouwd. Dit in tegeiistelling tot het geval dat tetraeders rut zo 'nstaiig gesneden worden onder een andere hoek en een daarbij behorende andere opschuifafstand; deze tetraeders zijn. ook ruimtevullend doch slechts in de richting van de stang, waarbij de stang<m uitsluitend e~enwijdig aan elkaar gestapeld kunnen worden.... Het op deze wijze gevónden ~imtevullende viervlak is exact hetzelfde als we in de vorige paragraaf zagen door een rombendodekaeder in 24 viervlakken te verdelen. Berekening van de ruimtehoek in het hoekpunt van zo'n tetraeder leidt inderdaad tot 1/24 van een boloppervlak. De mogelijkheid om met de bijzondere tetraeder ruimtelijke constnicties te maken is

61 Halve regelmaat omgekeerd (uniforme veelvlakken van de.. tweede soort) 59 gedemonstreerd in figuur 4.7. Figuur 4.7. Stapeling van ruimtevullende te tra eders Tussen kubus en oktaeder In hoofdstuk 3 hebben we gezien dat de kubus en de oktaeder op. verschillende manieren in elkaar te transfoimeren zijn, waarbij enkele uniforme veelvlakken van de eerste soort tussenstations vormen, zoals (4 6 6), (3 8 8). (3434) en, in een andere reeks, (3 444). Iets dergelijks komen we ook tegen bij de U2's, de tweede-soort uniforme veelvlakken. De meest voor de hand liggende transf~rmatie vindt bijde U1's plaats door afknotting der hoekpunten; hierbij wordt bijvoorbeeld een drievlakshoekpunt getransformeerd tot een driehoekje;.een enkel hoekpunt gaat dan over in drie nieuw.e hoekpunten die drievlakshoeken vormen. In duale analogie ligt he~ voor de hand om bij de U2's te denken aan uitbreiding van bijvoorbeeld een driehoekig zijvlak tot een drietal nieuwe, driehoekige, zijvlakken, met andere woorden, er wordt een stompe driezijdige piramide op het oude zijvlak gebouwd. Als eerste illustratie van dit principe bekijken we de «3 ~ 6»; hierbij zijn stompe driezijdige piramides op elk van de vier zijvlakken van een tetraeder aangebracht, zodanig dat de standhoeken gelijk zijn. Het veelvlak heeft dus 1Zzijvlakken in vier groepen van drie, vandaar de naam 'triakistetraeder' (3 x 4). Van de acht hoekpunten vormen er 4 een drievlakshoek en 4 een zesvlakshoek; deze viertallen vallen samen met de hoekpunten van twee regelmatige tetraeders, die loodrecht op elkaar staan en waarvan de ribben zich verhouden als 3: 5. Van de 18 ribben hebben er daardoor zes de relatieve lengte 3 en twaalf de relatieve lengte 5. De zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken met stompe tophoek 112,89 (arccos -7/18) en basishoeken 33,56 (arccos 5/6). Figuur4.8 geeft een afbeelding van de «3 6 6» en van de manier waarop dit lichaam in de twee viervlakken past.

62 60 Regelmaat in de ruimte Figuur 4.8. De triakistetraeder ((3 6 6)). Beter onder de titel van deze paragraaf passen de hlerna volgende U2's, te beghmen met qe «4 66». Het eerste-soort analogon, de (4 66), bleekte ontstaan door afknotting aan de hoekpunten van een R8, een oktaeder, die immers duaal is toegevoegd aan ".. '. ~ '. de kubus. De «4 6 6» wordt begrensd door 4 x 6 == 24 driehoeken en wordt dan ook 'tetrakishexaeder' genoemd Er zijn 36 ribben. De hoeken a, a en ~ der driehoeken worden gegeven door cos a = 2/3, cos P = 1/9 (a = 48,19, ~ = 83,62 ); de zijden verhouden zich als 3 : 3 : 4. Van de 14 hoekpunten vallen de acht die een drievlakshoek vormen, samen met die van een kubus; de andere zes (viervlakshoeken) " bepalen een regelmatig oktaeder. Analoog aan het afknotten van de kubus kunnen we zijn pendant, de oktaeder, voorzien van piramides op de driehoekige zijvlakken; op deze wijze ontstaat de «3 8 8».,Dit" veelvlak wordt eveneens begrensd door 24 zijvlakken (nu 3 x 8, vandaar de naam 'triakisoktaeder') en 36 ribben. De 14 hoekpunten vallen alweer samen met die van " een kubus en van een oktaeder. De zijden der driehoeken verhouden zich als 2 : 2 : (2 + {ï); de hoeken a, a en ~ worden gegeven door cos a = (2 + -{ï)/4, cos ~ :;; -(2-{ï - 1)/4 (a = 31,40, ~ = 117,20 ). Ook bij de «3 434» bleek het aantal hoekpunten 14, namelijk acht van een kubus "en zes vaneen oktaeder. Dit veelvlak kan dan ook gedacht worden te OIitstaan uit éen " «46 6» door de piramides op dekubusvlakken te verhogen tot de twee zijvlakken die eenkubusribbe gemetm hebben, coplanair wo~den; deze twee zijvlakken vormen dan het ruitvormig zijvlak van de rombendodekaeder. Op soortgelijke wijze kan door " verhoging van de piràmides op de oktaedervlakken, de «388» uitgroeien tot een «3434». De rombendodekaedér ligt dus als het ware tussen de twee andere in. De reeks wordt weergegeven iri figuur 4.9. Nog twee ander U2's zijn gerelateerd aan kubus, oktaeder en rombendodekaeder:de «3444» en de «4 6 8». De eerste, de 'deltoidikositetraeder' (figuur 4.10), wordt begrensd door 24 deltoid-vormige vierhoeken, waárvan de hoeken a, a: a en ~ gegeven worden door cos a = (2 -...[2)/4, cos ~ = -(2 + -{2)/8 ; (a = 81,58, ~ == 115,26 ): Er zijn 48 ribben. Acht der 26 hoekpunten vormen een drievlakshoek en vallen samen met de hoekpunten van een kubus; van de 18 hoekpunten die een

63 Halve regelmaat omgekeerd (uniforme veelvlakken van de tweede soort) 61 lij / / ~ -,- ". Figuur 4.9. De reeks kubus ((3 3 33)), tetrakishexaeder ((4 6 6)), rombendodekaedei (( )), triakisoktaeder ((3 8 8)), oktaeçler ((4 4 4))...:., '. Figuur 4: 10. De deltoidikositetraeder ((3 44 4)). viervlakshoek vormen, vallen er zes samen met die van eenoktaeder en 12 met die van een kubooktaeder ( ), of, wat hetzelfde is, met de middens van de ribben van de kubus (of van de oktaeder)... De «3 444» is ook te beschouwen als een overgang tussen kubus en oktaeder; door de standhoeken systematisch steeds meer onderling te l~ten verschillen, hetzij in de ene, hetzij in de andere richting, ontstaat een reeks deltoidikositetraeders die in de kristallografie betekenis geeft en die zijn extremen lleeft in de genoemde regelmatige lichamen. De «4 6 8», de 'hexakisoktaeder', (zie figuur 4.11) heeft 48 driehoekige zijvlakken,. 72 ribben en 26 hoekpunten waarvan er l2viertallig, 8 zestallig en 6 achttallig zijn. De hoekpunten vertonen dezelfde relatie tot kubus, oktaeder en kubooktaeder als bij de «3444» het geval is. Tenslotte kan onder het opschrift 'tussen kubus en oktaeder' nog de « ») genoemd worden; de 'stompe kubus', de (3: ) uit hoofdstuk 3 bleek immers zowel uirde kubus als uit de oktaeder afgeleid te kunnen worden. De «33334» wordt genoemd. 'pentagonicositetraeder\ hétgeen gewoon betekent dat hij uit 24 'vijfhoeken is opgebouwd. Het lichaam heeft 60 ribben en 38 hoekpunten, waarvan er

64 62 Regelmaat in de ruimte. Figuur De hexakisoktaeder ((4 68)). Figuur De pentagonicositetraeder ((33334)). 32 een drievlakshoek en 6 een viervlilkshoek vonnen (zie figuur 4.12). Van de hoeken der zijvlakken zijn et: vier gelijk, namelijk 114,81 ; de vijfde is 80,75. De ribben. verhouden zich als 1: 1: 1 :1,42: 1,42; Evenals de (3 3334) bestaan er vail dit veelvlilk twee typen, die elkaars spiegelbeeld zijn Tussen dodekaeder en icosaeder.onder dit hoofd valt allereerst de meest voor de hand liggende,. de «3535». Evenals de « » wordt dit veelvlak begrensd door ruiten çn heeft dus gelijke ribben. Het aantal. ruiten van de 'rombentriakontaeder' is 30 en er zijn 32 hoekpunten; de 20. drietallige vallen samen met clle van een RI2 of {5 3), de 12 vijftallige.bepalen een R20 of {3 5). De hoeken van de ruit zijn 63,43 (arccos 1/...[5) en 116,57 0 (arccos. -1/...[5).De diagonalen v~rhoudenzich rus 2: ({5+ 1); De lange diag~malen vonnep. de ribben van een {3 5), de korte die van een {5 3). Dit veelvlak is dus grotendeels analoog aan de « », behalve dan dat het niet ruirntevullend'is;.de standhoeken zijn 144 en dat is niet deelbaar op 360. Toch intrigeert de vraag of tweemaal rondgaan rillsschien een soort 'tweede-orde ' ruimtevulling teweeg zou kunnen brengen; het wu echter te ver voeren om hier nader op in te gaan,..... De «5 6 6» en de « » kunnen gedacht worden te ontstaan uit de R20 resp. de. R12 op geheel analoge wijze als besproken inde vorige paragraaf bij de «4 6 6» en de «3 8 8), namelijk door op de zijvlakken stompe piramides. te plaatsen. De «5 6 6», de 'pentakisdodekaeder', wordt begrensd door 60 gelijkbenige driehoeken waarvan de ~ijden zich verhoud~nals6 : 6 : (9 -...[5). Voor de basishoeken geldt: cos a. = (9 - {5)/12, cos Il = (9..:[3-7)/36; a. = 55,69, Il= 68,62. De tophoeken zijn verenigd in 12 vijftallige hoekpunten (die van een R20), de basishoeken in 20. \ zesvlakshoeken (de hoekpunten van een RI2). Er zijn ~ ribden.... Evenals de hierboven l?eschrevèn «5 6 6» bestaat Ook de « », de 'triakisikosaeder' uit 60 gelijkbenige driehoeken, hoekpunten en 90 ribben. Nu zijn het echter de zijvlakken van de R12 waar piramides op worden gezet en welvijfzijdige. De tophoeken van de driehoeken bedragen 119,04 (arccos -0,06(1 +...[5» en de

65 Halve regelmaat omgekeerd (uniforme veelvlakken van de tweede soort) 63 basishoeken 30,48 (arccos(l~ +..[5)/20); de zijden verhouden zich als 10 : 10 : (15 + -{5). Figuur 4.13 geeft afbeeldin2en van de drie hierboven besprokenu2's. Figuur De rombentriakontaeder (( )), de pentakisdodekaeder ((56 6)) en de triakisikosaeder (( )). De « », de 'deltoidhexakontaeder' wordt, zoals de naam aangeeft, omhuld door 60 deltoid-vormige zijvlakken (zie figuur 4.14). Er zijn 20 drietalligè, 30 viertallige en 12 vijftallige hoekpunten, totaal 62 (resp. samenvallend met die van een R12, een ( ) en éen R20). Het veelvlak heeft 120 ribben~ De Zijden qer vierh~eken verhouden zich als 1 : 1 : (7 +...[5)/6 : (7 +...[5)/6 (= 1,54), De «4 6 10» wordt genoemd de 'hexakisicosaeder' naar het a~tal vlakken, 120. De zijvlakken zijriongelijkbenige driehoeken, waarvan de zijden zich verhouden als ( {5) : ( [5) : 10 (= 18,47 : 15,71 : 10). De hoekpunten zijn weer 62 in: getal, op dezelfde wijze gerelateerd aan bekende veelvlakken.als bij de « », doch uiteraard in andere relàtieve grootten. Er zijn nu 20 zesvlakshoeken, 12 tieiivlakshoeken en 30 viervlakshoeken. Figuur 4.15 geeft een afbeeldin:g. Figuur deltoidhexa- Figuur hexakisicokontaeder (( )) saeder ((4 6 10)) Figuur pentagonhexakontaeder ((3 3 j 3 5)) Tenslotte de 'pentagonhexakontaeder', de « », opgebouwd uit 60 vijfhoeken. Deze vijtboeken hebben een soortgelijke symmetrie als bij de « », doch de tophoek van de vijtboek bevindt zich hier iil een vijfvlakshoek. De vier gelijke hoeken zijn 118,14, de tophoek 67,45. De twee lange ribben verhouden zich tot de

66 64 Regelmaat in de ruimte drie korte als 1,750 : 1. Ook dit veelvlak heeft twee modificaties die elkaars spiegelbeeld zijn; een ervan is weergegeven in figuur Reeksen In v~rband met de strikte analogie tussen de uniforme veelvlakken van de eerste en die. van de tweede soort gelden voor de U2's dezelfde reeksen als die we in Hoofdstuk 3 gezien hebben in figuur Ook geldt dezelfde relatie als in figuur 3.21, nu echter met duaal getransformeerde grootheden. Dat betekent dat we in plaats van H/m nu.. moeten kijken naar VIn, het aantal vlakken gedeeld door het aantal 'hoekpunten per ' vlak, en in plaats van ril naar een maat voor de standhoek, ril was immers gerelateerd aan de hoek <p waaronder je vanuit het middelpunt een ribbe ziet, volgens cos <p = 1 - J2/2il, terwijl de standhoek van de UZ gelijk is aan <p. In. beide" gevallen geeft <p een goede indruk van de mate. waarin het veelvlak een boloppervlak benadert. Bij de reeksen di~ we in figuur 3.21 zagen, eindigden de meesten (behalve de prisma' s en deantiprisma's in een Archimedische vlakverdeling. Dit is ook het geval bij de. U2's; de drie regelmatige vlakverdelingen ( ), (4444) en (666) blijven na transformatie identiek in de «6 66», de «44 4»en de « »; de acht Archimedische vlakverdelingen krijgen uiteraard een andere gedaante. Deze zijn weergegeven In figuur 4.17.

67 1IIIu!!!!!,,11,0_ h " 'tv,wiim' '*''''" ±'I'" "11.!,.e4:'''M!!!!!''1!I1!!1I jllll!lllllllll ll llllluii '!II l l 11 J 111"411 ;11 IJ' I II II II II I1111J1J,I!I'WW' I " Wh", I I 'f!llllllhilllllllllllllllllli.&1i ijj[iiuwiiiil Halve regelmaat omgekeerd (uniforme vee/lllakken van de tweede soort) 65 Figuur Halfregelmatige vlakverç/elingen van de twe.ede soort: (( )),. (( )), ((33344)), ((3464)),((3636)), ((46 12)), ((488)) en ({33 434)). '. ",J..".,"

68 66. 5 Volledige regelmaat met :sterren. ( P () in sot -I ie ham en) Inleiding De behandeling van de regelmatige en halfregelmatige veelvlakken zou met het vorige hoofdstuk kunnen worden afgesloten als we zouden blijven vasthouden aan de conventioneledefmitie van een veelhoek~ waarin de zijden vande veelhoek elkaar niet tussen de hoekpunten mogen snijden. Het is echter mogelijk deze eis te laten vallen, en hiermee neeint het aantal regelmatige veelhoeken, en daarmee het aantal regelmatige en halfregelmatige veelvlakken, aanzienlijk toe. De pentagrainvormige veelhoek van figuur 5.1 kunnen we als regeiniatige vijfhoek beschouwen met hoekpunten A, B, C, D en E. Immers de zijden AB, BÇ, CD, DE en' EA zijn gelijk, de in de hoekpunten gevormde hoeken eveneens. De snijpunten van deze zijden mogen niet als hoekpunten beschouwd worden; ze hebben evenmin ee.n. directe functie irt de 'veelhoek als de snijpuriten van de (verlengde) zijden in een. 'gewone' veelhoek.. A. Figuur Pentagram (5 2 ). Deze en soortgelijke veelhoeken worden 'hogere-orde veelhoeken' genoemd. Als we. vanuit de regelmatige plaatsing 'van de hoekpunten een hoekpunt met een volgend verbinden, nemen we niet het meest naburige'hoekpunt doch, in het boven genoemd geval, het tweede. in verband hiermee wordt de stervormige vijfhoek, het pentagram, een vijfhoek vàn de tweede orde genoemd, en aangeduid ~s {52}.

69 Volledige regelmaat met s.terren (Poinsot-lichamenJ 67 Hoe groot zijn nu,de hoeken in zo'n hogere-orde veelhoek? Uitgaande van A lopen de zijden naar B en naar E, dus aan twee kanteri wordt ren hoekpunt overgeslagen. De hoek bij A omvat dus twee segmenten van de omgeschreven cirkel minder en is dus 'niet (omtrekshoek):! = 1080 doch,1 2 " ; x 2.360" = 3é. 2 5 In het algemeen is de. hoek van een n-hoek v~ de orde a, {na} gelijk aan (n -,2a)/n x 180, en de som van de n hoeken: (n - 2a) x 180. Andere voorbeelden van hogere-orde veelhoeken zijn (zie figuur 5.2) de (8 3 } en de { 103}. Figuur 5.2, Hogere-orde regelmatige veelhoeken: {8;J en {lo;j, Over het algemeen kan de orde van een veelhoek gedefinieerd worden als het aantal ribben dat.door een lijn vanuit het middelpunt gesneden wordt; deze lijn mag niet door een hoekpunt gaan. Op een iets andere manier. beschouwd: Als men vanuit het middelpunt de veelhoek als het ware 'opblaast' tot alle ribben delen van een cirkelomtrek vormen, wordt_ de cirkel zovrel malen bedekt als de orde van het veelvlak aangeeft. Vanzelfsprekend leidt het bestaan van hogere-orde veelvlakken tot uitbreiding van ):let begrip veelvlakshoek. Als we door elk der zijden van de ster-vijfhoek van figuur 5.1 een vlak brengen, zodanig dat deze vijf vlakken door een punt gaan, dan vormen deze vlakken een vijfvlakshoek van de tweede orde of een 5i-vlakshoek (functionaliteit 5/2). Wanneer de loodlijn uit dit siiijpunt op het vlak van de 52-hoek 'door het. zwaartepunt gaat, hebben we een regelma~ge 52-vlakshoek. Voor regelmatige veelvlakshoeken van hogere orde. geldt weer de formule uit hoofdstuk 1 (1.2), die het verband aangeeft tussen standlloeken en zijden: cos <p cosa-p cos a + 1

70 68 Regelmaat in de ruimte. waarin p = cos(360o/m), doch nu vervangen,we m door m/a, waarin a de functionaliteit van de veelvlakshoek is. Zo vinden we bijvoorbeeld voor een 52, 83 en een I~ 'veelvlakshoek waarden voor p van respectievelijk ~ V5-1 )/2; 1 :-...J2 en (3 - -{5)/2... In het vervolg vad dit hoofdstuk zullen we bezien welke consequenties deze beide uitbreiding~n,. zowel van de'veelhoek; als van de veelvlakshoek, hebben voor.de regelmatige veelvlakken. Hierbij komt het begrip 'orde' ook voor veelvlakken ter sprake, hetgeen op analoge wijze gedefinieerd wordt als bij veelhoeken.. Als men, komend mt het middelpunt van een veelvlak, op zijn weg naar buiten c malen een een vlak (niet op hoekpunten of ribben) passeert, wordt de orde van het veelvlak c genoemd. Ook kan men het veelvlak op een omhullende ~I projecteren, en vindt dan dat de bol c maal bedekt wordt. Hierbij wordt het centrale gedeelte van een zijvlak van de orde a, a maal geteld, een deel van het vlak dat door een ribbe van het centrum-. gedeelte geschtiden is, (a ':",1) maal, etc Analvse Stellen we het aantal zijvlakken van een hogere-orde veelvlak Z, het aantal hoekpunten H en het aantal ribben R. De zijvlakken zijn n-hoèken van de orde a, de hoekpunten vormen m-vlakshoeken van de orde b. Tussen Z, H, R, n en m bestaan, onafhankelijk van. de waarden van a en b, de re~aties:. Z n= H m= 2 R '. De relatie van Euler geldt ook voor hoge~e-orde veelvlakken, zij het in gewijzigde vorin, In de oorspronkelijke relatie, H+Z=R+2 moet nu H vervangen worden d09r b llen Z door a Z, met andere woorden, \zowel hoekpunten als vlakken tellen evenveel keren als de orde aangeeft. Dé constante 2 wordt bovendien vervangen door 2 c (c is de orde van het veelvlak). De stelling wordt nu: b H +a Z = R+ 2c... '.. Het bewijs van de wtgebreide stelling van Euler zal Qier niet geleverd worden......'. Combineren we deze stelling met de bovengenoemde relaties dan is het resultaat:. 2 c Z n = H m = 2 R = aln + b/m _ 1/2

71 Volledige regelmaat met sterren (Poinsot-lichamenJ 69 Voor a = b = c = 1 worden deze betrekkingen gereduceerd to~ de reeds uit hoofdstuk: 1. bekende. Als we deze vergelijkingen lot uitgangspunt nemen, kunnen we proberen welke combinaties tot een mogelijk veelvlak leiden. Nemen we bijvoorbeeld de veelhoek. {52}. Hoeveel mogelijkheden zijn er om een aantal van deze in een hoekpunt van de eerste orde samen te laten komen? Wat de waarde v.an de hoek (36 ) betreft zouden in principe voor m de wa~den 3 tot en met 9 in aanmerking komen. Om deze mogelijkheden te onderzoeken kunnen de vergelijlcingen het gemakkelijkst als volgt geschreven worden:. 2 (c/h) = b ~ (rn/n) (n/2 - a);. Z = H (rn/n) Voor ons te onderzoeken geval met n = 5, a = 2, b = 1 wordt dit: 2 (c/h) = 1 - rn/lo, Z~ (H/5) m. Voor diverse waarden van m vinden we een veelvoud vail potentiël~ mogelijkheden offi..",een veelvlak te vormen. De vraag is nu of al deze combinaties. werkelijke veelvlakken léveren, Bij 'proberen' blijken de mee.ste af te. vallen. Dat is geen wo~der want we hebben alleen gekeken naar. de voorwaarden die gelden voor het samentreffen van hoekpunten zoals de scherpe hoek A in figuur 5.1,.maar de naastliggende hoelçpunten een D moeten ook met andere vlakken in een hoekpunt passen. Nadere analyse levert het extra criterium dat de hoekpuriten van een regelmatig hogere-orde veelvlak moeten samenvallen met die van een eerst-orde regelmatig (Plato-) veelvlak. H moet dus, voor zover het vijfhoeken betreft, 12 of 20 zijn. Hetzelfde moet uiteraard plijven gelden na duale verwisseling, dus ook Z mag alleen waarden van 12 of 20 aannemen. Volgens dit criterium blijven alleen over m = 3met è = 7 eri m = 5 met c = 3. Dit zijn dus respectievelijk de veelvlakken {5i, 3} en {52' 5} of, in andere notatie, ( ) en ( ). Systematische analyse van de andere mogelijkheden levert geen andere veelvlakken meer dan de duale pendanten van deze twee, namelijk {3, 52} en {5, 52} of respectievelijk ( )z en ( h, die natuurlijk ook geschreven kunnen worden als respectievelijk « » en « z» ;.0 Een overzicht van de parameters van deze vier lichamen met die van de twee verwante eerste-orde Platonische veelvlakken wordt gegeven in de volgende tabel:

72 70 Regelmaat in de ruimte notatie ' n a m b Z H R c naam {5 2, 3} 5 2 ' grote sterdodekaeder. {5 2 5} ~ 30 3 kleine sterdodekaeder { } 3 ' grote ikosaeder. { } grote dodekaeder {3. 5} ' ikosaeder {5. 3} dodekaeder. De vier hogere-orde regelmatigé lichamen worden wel genoemd de Kepler-:Poinsot veelvlakken. Kepler beschreef reeds de eerste twee van de tabel; de twee andere werden voor het eerst ontdekt door PoiD!>ot, die het viertal tesamen als de volledige,. ve~zameling der hogere-:orde regelmatige veelvlakken, als aanvulling op de vijf Platonische, presenteerde De grote sterdod.ekaeder {52~ ' 3}.,".'. Hoewel dit lichaam qua aantallen vlakken en hoekpunten het dichtstvan de vier ligt bij de dodekaeder (5, 3), kan men het zich het gemakkelijkst voorstellen vanuit de ikosaeder {3, 5}. Het ontstaat namelijk door de ribben van de ikosaeder na~ beide... I. zijden te verlengen tot ze elkaar drie aan drie snijden. Op deze wijze worden op elk zijvlak van de ikosaeder driezijdige piramides gebouwd, die samen een 20-puntige.ster vormen (zie figuur S.3). Ieder zijvlak van zo'n piramide maakt deel uit van een pentagram {52} en vormt daarvan een der vijf punten; het middengedeelte van het pentagram is de vijfhoekige doorsnede vad. de ik9saeder met een vlak door vijf rondom een hoekpunt gelegen hoekpunten. Deze vijfhoeken, 12 in getal, omsluiten een regelmatige dodekaeder; die dus de kem vormt van de grote sterdodekaeder. Uit de analyse ~olgtdat de orde van de {52, 3} 7 bedraagt; dit is ook in te. zien door ' vanuit het middelpunt een lijn naai b~i~en te volgen: men passeert daarbij vier zijvlakken en wel driemaal een dub~l tellend centraal deel van,een pentagram en een keer een buitendeel. " )., 5.4;.De kleine sterdodekaeder {52, 5}. ' 'Zoals men'zich ~ in de vorigè paragraaf besproken C52, 3} ontstaan kan denken door van een ikosaeder {3, 5} dé ribben te verlengen, zo ontstaat de kleine sterdodekaeder. (52, 5) op dezelfde wijze uit de dodekaeder {5, 3}. Nu echter vallen de vlakken van de beide lichamen sàjiien: de {52, 5} ontstaat (jok uit de dodekaeder door de 12 zijvlakken uit te breiden. (zie figuur 5.4). De vijfhoeken worden daarbij uitgebreid tot ~ntagrammen {52}, waarvan er steeds vijf in een hoekpunt samenkomen. Het aantal

73 11! 1!l " '" " " """""IlI11""I1I111I1"1I1"""""""III"" " " "IIII"1II J11 1II1 1 Volledige regelmaat met sterren (Poinsot-lichamenJ 71 FigiJu~ 5.3. Grote sterdodekaeder. Figuur 5.4. Kleine sterdodekaeder. hoekpunten Îs gelijk aan h~t aantal zijvlakken, namelijk 12, een consequentie van de, omstandigheid dat m = n. hetgeen we tot dusver uitsluitend bij de tetraeder zijn tegengekomen (m = n = 3, H = Z =4). De orde van {52, 5} is 3; komend vanuit het middelpunt passeren,we twee maal een zijvlak; eenmaal door het dubbel tellende centrale deel van het pentagram en eenmaal door een der punten. De kern van de kleine sterdodekaederwordt gevormd door de reeds genoemde dódekaeder. De hoekpunten vallen samen met dje van een ikosaeder... '..' Wanneer we de I52, 3} en de {52, 5} met elkaar vergelijken op basis VIUl hun gemeenschappelijke kern, de ingeschreyen,dodekaeder, waarm'ee beide hun 12, zijvlakken gemeen hebben, dan zijn de t>emuningen 'grote' en 'kleine' duidelijk: de grote heeft een(5{5 + 11)/2 == 11,1 maal zo,grote ribbe als de ingeschreven dodekaeder en de klëine ({5 + 2) == 4,24 maal zo groot. De ribben van de grote en de kleine verhouden zich dus als 2,62': De grote ikosaeder {3, 52} Dit lichaam is nauw verwant aan de ikosaeder (3,5) (evenveel hoekpunten, zijvlakken en ribben) en kan op twee manieren uit de {3,5} worden afgeleid namelijk door, respectievelijk de hoekpunten en de zijvlakken te laten samenvallen. Uitgaande van de hoekpunten vinden we de in e~n {3,5} ingeschreven {3; 52};de ribben zijn dan de niet door het middelpunt gaande ruimtediagonalen van de {3,5}, zoals in figuur 5.5 voor twee, elk een zijvlak voimende drietallen is aangegeven. Van deze 20 driehoeken komen erin elk hoekpunt vijf samen in een tweede-orde vijfvl~hoek..

74 72 Regelmaat in de ruimte.j Figuur 5.5. Twee vlakken van' de (3, 5 2 ) in de (3,5)... Gaan we uit van de zijvlakken van de ikosaeder, dan ontstaat een omgeschreven {3, 52}, die de uitgangsikosaeder tot kern heeft. Nemen we een zijvlak van de {3,5}. en snijden dat vlak met alle andere zijvlakken (behalve het tegenoverliggende), dan krijgen we een patroon zoals in figuur :'.7 aangegeven. Deze fitplur bestaat uit 18, lijnen, die de snijlijnen met de 18 zijvlakken vormen. In deze figuur vinden wede 'compounds' van vijf öktaeders en van vijf tetraeders terug. Het binnenste driehoekje is het zijvlak van de oorspronkelijke ikosaeder, de buitenste driehoek is het zijvlak van de grote ikosaeder. Uit de figu,ur kail gemakkelijk getonstateerd worden dat de orde van de {3, 52}, 7 bedraagt. De enige delen der zijvlakken die aan de buitem;ijde zichtbaar zijn, dat wil zeggen niet door andere zijvlakken gemaskeerd worden, zijn de 9 driehoekjes die direct aan de buitenomtrek grenzen Figuur 5.6. Grote ikosaeder (3, 5 2 ). Figuur 5.7 Zijvlak met doorsmjdingen. van (3, 5 2 ).. Vergelijken we de {3, 5i} met de {52, 5} dan blijkt dat niet alleen hun hoekponten.' maar ook tevens hun ribben kunnen samenvallen. De grote ' ikosaeder kan dus bijzonder nauw omhuld worden door de kleine sterdodekaeder!

75 5.5. De grote dodekaeder {5, 52} Volledige regelmaat met sterren (Poinsot-/ichamen) 73 Bij beschouwing van de icosaeder{3,5} blijkt dat deze een 12-tal diagonaalvlakken. van de vorm {5} bevat Deze diagonaalvlakken vormen samen de grote dodekaeder, zodat deze dezelfde hoekpunten en ribben heeft als de icosaeder. Een andere manier om dit lichaam te laten ontstaan is door de pentagramvormige zijvlakken van de kleine sterdodekaeder (52, 5) uit te breiden tot vijfhoeken (5) met dezelfde hoekpunten. Op deze wijze wordt het verband met de drie reeds bekende. dodekaeders duidelijk; dit is gedemonstreerd in figuur 5.8. Figuur 5.8. Zijvlakken van de vier dodekaeders. Figuur 5.9. Grote dodekae.der {5, 5 2 }. Brnnenin: bevindt zich de vijfhoek die het zijvlak van de basisdodekaeder {5,3} vo~t. Verlengen we de ribben tot een pentagram {52} dan ontstaat de kleine sterdodekaeder {52, 5}. Na uitbreidiflg tot een vijfhoek {5} krijgen we de grote dodekaeder {5, 52} en vervolgens, door van de vijfhoek door verlenging der ribben weer een pentagram {52} te maken, ontstaat de grote sterdodekaeder {52, 3}. Verder kunnen we niet gaan: verbinding der punten van het grootste pentagram tot een vijfhoek levert vlakken die geen samenhangend veelvlak meer vormen. Het ~uitenoppervlak van de grote dodekaeder bestaat uit 60 gelijkbenige driehoeken met hoeken van 108, 36 en 36, die drie aan driè holle piramides in de zijvlakken van de ordhullende icosaeder vormen; de stompe toppen van deze piramides zijn de hoekpunten van de dodekaeder die de kern van de. grote dodekaeder vormt Negen platonische lichamen We hebben in dit hoofdstuk gezien dat uitbreiding van de begrippen 'regelmatig. veelvlak' en 'regelmatige ruimtehoek' leidt tot een aanvulling van het aantal Platonische lichamen van 5 tot 9. We hebben ook gezien, hoewel niet tot-het-eind~ioe bewezen, dat er niet meer uitbreiding mogelijk is dan ~et de vier Poinsot lichamen.

76 74 ',Regelmaat in de ruimte In verband met de nauwe vérwantschap van de vier nieuw lichamen met de reeds bekende dodekaeder en ikosaeder is het niet verwonçlerlijk dat alle inpassingen van,deze laatste twee inde, ander drie, het viervlak, de kubus en het achtvlak, op soortgelijke wijze gelden.,' Onze volgendé stap zal nu zijn om na te gaan of de uitgebreide definitie van regelmatige veelvlakken en veelvlakshoeken, ook leidt tot nieuwe halfregelmatige veelvlakken. Dit wordt in het volgende hoofdstuk behandeld.

77 ij 75 6, Halve regelmaat,met sterren (hogere orde uniforme veelylakken, UH's) 6.1. Inleiding... Aan het eind van het vorige hoofdstuk hebben we ons afgevraagd of het introduceren van stervormige regelmatige veelhoeken en veelvlakshoeken ook leidt. tot een uitbreiding van de Archimedische of uniforme lichamen met hogere-orde veelv lakken, zoals dat bij de Platoilische het geval bleek. Welnu, dit is overduidelijk het -geval. Bij de vijf Platonische lichamen kwamen er een viertal bij door deze uitbreiding; het oorspronkelijke aantal van 13 Archlmedischeveelvlakken (afgezien van de reeksen prisma's) wordt echter aangevuld met tenminste 53 nieuwe. Hetzelfde geldt dan uiteraard voor de veelvlakken van de tweede soort, de duaal toegevoegde. Deze nieuwe veelvlakken kunnen op diversè manieren ontstaan gedacht ~orden: -c door.het vervangen van zijvlakken (vijf- of meer-hoeken) door in-.of ()m~e~ schreven sterren, -. door vier~ of meertallige hoekpunten tot stervormige veelvlakshoeken te,transformeren, - door hogere-orde veelvlakke~ zoals de vier Poinsot-lichamen, maar ook de op voorgaande manieren ontstane halregelmatige, af te knotten op de hoekpunten, - enz. Mogelijheden genoeg, temeer daar we nu naast vijthoekigesterren ook onder andere achtpuntige en tienpuntige tegenkomen. De resulterende verzameling is veel te groot om haar geheel in dit boekje weer te geven; daarom z:ullen slechts een paar grepen.gedaan worden.. Maar alvorens op de gekozen voorbeelden in te gaan zullen we, evenals bij de ',gewone' Archiniedlsche lichamen, een poging wagen o~ -na te gaan welke hogere-orde varieteiten er bestaan Analyse... Analyse van de mogelijke uniforme hogere-orde veelvlakken (UH's) verloopt in principe analoog als bij de regelmatige hogere-orde lichamen (par. 5.2). -Nu ~chter

78 76 Regelmaat in de ruimt!! moeten we bedenken dat er in elk der. identieke hoekpunten veelvlakken van verschillende soort samenkomen. Stel dat er per hoekpunt mi vlakken van de soort {ni/ad (regelmatige ni-hoeken van de orde al), m2 van de soort {nva2j etc. samenkomen. Deze vlakken vormen samen in het hoekpunt eert m-vlakshoek van de orde b (dus m = l: mj)~ De totale aantallen zijvlakken worden weergegeven door resp. Zl, Z2, Z3 etc., met als som Z = l: Zj, het aantal ribben door R, het aantal hoekpunten. door H. Aangezien in elk hoekpunt mjzijvlakken v~.de vorm {njad samenkomen, is dit,. over' alle hoekpunten gesommeerd, H mj.hierbij is èlk zijvlak nj maal geteld,. dus Zj = H (mj/nä of Zj"ilj = H mj. GesohlIIieerd over alle soorten zijvlakken geeft dit,.. l: Zj"nj = H ril, wat tevens gelijk is aan 2 R. Dus: Gecombineerd met de uitgebreide stelling van Euler: b R + l: aj"zj = R + 2 c vinden we de relatie:.. 2c = L mj. _ L mj + b H njaj 2.~ 'I / Nu komen in principe grote aantallen combinaties van waarden voor nj, aj, mj en b in aanmerking om gesubstitueerd te worden in deze vergelijking teneinde mogelijke waarden voor H en c, en daarnaast de. bijqehorende Zj 's te vinden. Zelfs met dezelfde beperkingen als die in Hoof<btuk 3 bij de gewone Archimedische veelvlakken zijn gehanteerd, blijft het aantal mogelijkheden zeer groot. Als uit zo'n combinatie een gebroken waarde voor Hlc gevonden wordt, zou dit, door de waarde van c, de orde van het veelvlak, aan te passen, toch steeds in principe tot een geheel getal voor H. kunnen leideó. Veelvan deze gevallen blijken echter niet tot een besta.anbaar veelvlak te voeren. Evenals voor de regelmatige hoger~-orde veelvlakken, kan, bewezen worden dat de halfregelmatige een zekere relatie moeten hebben tot exemplaren van de eerste orde, namelijk dat zo 'n exemplaar er de kern van moet uitmaken, terwijl de hoekpunten, eventueel na. ~ansformatie, moeten samenvallen met die van eenzelfde of een ander exemplaar. Als gevolg van deze wetmatigheid komen we voor het aantal hoekpunten H uitsluitend, waarden tegen die we ook in de tabel in par. 3.2 zagen; bovendien bestaan, evenals bij de eerste-orde lichamen, de zijvlakken uit of 10-hoeken. \.

79 Halve regelmaat met sterren (hogere orde uniforme veelvlakken,vws) 77 hl het vervolg van dit hoofdstuk zullen we een aantal vóortleelden bekijken, gekozen uit de lange reeks mogelijkheden, en daarbij de indeling aanhouden zoals in 6.1 g~geven. Hierbij zullen vooral de hogere-ordearchimedische iichamen van de eerste soort aan de orde komen, maar ook, af en toe; die v~ de tweede soort.,' Stervorming van zijvlakken.. '.. Allereerst een voorbeeld uit de wereld'van de prisma's. Het achtzijdige rechte prisma (448) kan getransformeerd worden in een hogere-orde prisma door in de achthoeken derde-orde. achtpuntige stenen te beschrijven; dè hoogte verandert uiteraard; Zo ontstaat de ( }die in figuur 6.1 getekend is. Hoe groot is nu de orde van 'dit veelvlak? Wel, we gebruiken de analyse uit 6.2 enyinden met H = 16, nl= 8,n2 = 4, al ~ 3, a2 = i, mi = 1, m2 = 2, ZI = 2, Z2 = 8, dat R = 24 en c = 3; de orde is.dus 3. Begrijpelijk: vanuit een punt in het midden passeert een lijn naar buiten die de àchtpuntige ster snijdt, alleen de kern van {8 3 }, en een horizoi)tale lijn snijdt drie. vierkanten..' Op een wat omslachtiger doch wellicht doorzichtiger mani~r bereiken we hetzelfde resultaat: De hoekpunten van de 3e orde achtstei. vormen hoeken van 45 (zie de behandeling in par. 5.1): ~ = 45 )... De sqm van de hoeken in een hoekpunt van (4 4 83) is dus = 225, en het hoektekort is = 135. De som van de hoektekorten op alle hoekpunten bedraagt H 135 en dit moet een geheel veelvoud van 720 zijn, dus c 720, waarbij c de orde van het veelvlak voorstelt oftewel het aantal malen dat de bol door het veelvlak.. 'bedekt' wordt. In dit geval blijkt de kleinst mogelijke waarde c = 3 te bedragen met Figuur Prisma (4 4 8:J. Figuur 6.2. Antiprisma ( ,).

80 7$ Regelmaat in de ruimte H = 16; hetgeen tevens de juiste waarden zijn want ook voor de verwante (8 44) is H= 16. Uit Euler en de.andere relaties volgen de waarden van de Z's en R. Een soortgelijk voorbeeld i~ het ontstaan uit de ( ) van de ( ), weergegeven in figuur 6.2. Ook heel eenvoudig is de vervanging van de vijfhoeken in de regelmatige dodekaeder door pentagrammen {52). Tussen de aansluitingen der drie, nu scherpe, hoeken,. ontstaan 'gaten' die worden opgevuld door geüjkzijdige driehoeken. Het resultaat IS ( Û, uiteraard met 20 hoekpunten,.voorts 12 pentagrammen, 20 driehoeken en 60 ribben (figuur 6.3). De orde van dit veelvlak blijkt, volgens de formule, c = 2 te bedragen. Een volgend voorbeeld in deze serie is de ( ), di~ ontstaat door in de ( ) de vijfhoeken te vervangen door {52) pentagrammen. De driehoeken verdwijnen, en er verschijnen 12 nieuwe vijfhoeken (zie figuur 6.4). Uit de formule in 6.2 volgt dat, met H = 30, de orde c = 3 bedraagt. Ten slotte bezien we een tweetal UH's die afgeleid kunnen worden van de (3 8 8), namelijk de ( ) en ~e ( ), die respectievelijk ontstaan door 3e orde achthoeken in en om de achthoeken van de (3 8 8) te beschrijven. In beide gevallen blijft het aantal hoekpunten H = 24. Bij de ( ) wórden, naast de acht driehoeken en de zes achthoeken nog zes vierkanten g~vormd (figuur 6.5). De ( ) bestaat uit acht driehoeken en zes derde-orde achthoeken (figuur 6.6). Elk der hierboven beschreven UH's heeft een duaal toegevoegd, tweede-soort veelvlak, een UH2naast een UH1, dat, evenals in hoofdstuk 4 beschreven; ontstaan gedacht kan worden door het aanbrengen in de hoekpunten van raakvlakken aan de omgeschreven bol. De zijvlakken van deze ljh2's zijn niet-regelmatige 3-, 4- of 6-

81 Halve regelmaat met sterren (hogere orde uniforme veelvlakken, VWs) 79 hoeken. Anders dan bij de U2's is hun vorm, door de diverse onderlinge snijdingen, in de afbeeldmg van net veelvlak niet gemakkelijk te herkennen. De bij bovengenoemde UH1's béhorende UH2's zijn weergegeven infigtiuf 6.7 tot en met Figuur 6.5. ( ). Figuur (( )). Figuur 6.8. (( )). Figuur 6.9. (( )). Figuur (( )) Stervorming. in hoekpunten, Evenals in een UH zijvlakken tot sterren Ièunn~ri worden getransformeerd, kunnen ook de veelvlakshoeken in de hoekpunten vervangen worden door hogere-orde

82 . --- " '_'1,._ _==... WO"Tnl,l1U!l( 80 Regelmaat in de ruimte veelvlakshoeken. Bij een regelmatige veelvlakshoèk gaat dit op z'n eenvoudigst; bijvoorbeeld de transformatie van een eerste- naar een tweede-orde vijfvlakshoek, die de regelmatige icosaeder omzet in 'de grote icosaeder. " Bij de uniforme veelvlakken hebben we echter nooit me~ regelmau,ge veelvlakshoeken te maken; stervorming in de hoekpunten zal dus tot geheel andere situaties leiden. Dit wordt al direct gedemonstreerd door de mogelijkheden tot stervorming in een viervlakshoek. Terwijl een regelmatige vierhoek of een een regelmatige viervlakshoek nooit tot regelmatige stervopning aanleiding kunnen geveri, kan dit wel als we de eis van"regelmatigheid loslaten: elke vierhoek, inclusief het vierkant, kan met gebruik van de diagonalen omgezet worden in een 'stervormige' vierhoek. Zolang we kijken naar uniforme veelvlakken van de eerste soort en hun transformaties naar hogere-orde exemplaren, komen we het omvormen van vierhoeken in sterren nie~ tegen, maar wel dat van viervlakshoeken naar hogere ordes. Het allereerste voorbeeld betreft zelfs een Platonisch lichaam: de oktaeder. Wordt" daarin de viervlakshoek - " " vervangen door een een hogere-orde viervlakshoek, zoals schematisch weergegeven in " figuur"6.11, dan verandert de ( ) in een (343 4h. Hoekpunten, ribben en vier " van de acht zijvlakken blijven op hun plaats, terwijl vier driehoeken verdwijnen en vier nieuwe" vierkanten verschijnen. De index 2 in de notatie geeft voorlopig aan dat de veelvlakshoeken in de hoekpunten van de 2e orde zijn ten gevolge van de stervorrning, " in analogie met de in 5.2 ingevoerde nomenclatuur. -, Figuur" 6. 1,. ( )2. Figuur Rondgang om hoekpunt. "" Passen we nu op dit veelvlak de formules uit 6.2 toe, d~ vinden we, met mi == 2, nl = 3, al = 1, m2 = 2, ~2= 4, a2 = 1, m = 4 en b = 2: BIc = 12n. Aangezien uit de strikte verwantschap met de regelmatige oktaeder duidelijk is dat H = 6, zijn we dus, " " met m = 7/2, in moeilijkheden. Mgezien van de ongebruikelijke niet-gehele waarde van c, blijkt c ook veel te groot te zijn; het is onvoorstelbaar dat het aantal malen dat het veelvlak de bol bedekt gelijk IS aan de helft van het aantal vlakken! Na enig proberen blijkt dat de keus b = 3/2 aanzienlijk meer acceptabel is, zowel hier als in volgende gevallen. ~ze keus leidt tot Hjc = 3, dus, met H = 6: c = 2.

83 Halve regelmaat met sterren (hogere orde uniforme veelvlakken. VH's) M.e. Escher / Cordon Art - Baarn - Holland.

84 82 Regelmaat in de ruimte Een bijzonderheid van de (343 4)z is dat van dit veelvlak geen buiten- of binnenkant is te definiëren. Maken we 'een tocht over het oppervlak rondom een ván de hoekpunten (figuur 6.12) dan komen 're van de buitenzijde in de binnenzijde terecht. Dit is op -zichzelf nog niets bijzonders, maar als we bedénken dat dit bij de andere - hoekpunten ook het geval is, dan wordt duidelijk dat,dit veelvlak geen buiten- of binnenzijde kent; met andere woorderi: het is een Möbius-oppervlak, analoog aan dat van een strook papier waarvan het ene uiteinde na een draaiing van op het andere -geplakt is. Analoog aan het ontstaan van de (34 3 4)z door 'stervorming' van.de viervlakshoeken kan uit ieder uniform veelvlak UI met viervlakshoeken, een.uhl geyormd worden, of zelfs twee, want als de viervlakshoek niet regelmatig is kunnen de diagonalen op twee manieren met twee overstaande zijden gecombineerd woráen (figuur 6.13).c c. ~\ b/ " \b /. \ I ". a Figuur 6, 13, Vorming van {a de d)2 en {b db d)2 uit (a b eb),. Zo geeft de (3 434) aanleiding tot de vorming van (363 6)z en van ( )z. zoals in figuur 6.14 eil6.15 aangegeven. a,figuur 6,14, {3 636)2' Figuur 6: 15, { )2,. Eveneens ontstaan uit de ( ) zowel de (310 3 IOn als de (5 10 ~ IOn (zie figuur 6.16 en 6.17). De (3 444) levert de (384 8)z en de ( )z (zie fjguilr en 6.19); de (3 4 54) de ( IOh en de ( IOh (zie figuur 6.20 en 6.21).. _

85 Halve regelmaat met sterren (hogere orde uniforme veelvlakken, UH'sJ 83 Figuur ( ,101 2, Figuur ( )2' Figuur (384 8J 2.. Figuur ( )2' Figuur ( t 0.)2'. figuur 6.2 i. (3 10' 5 10.)2'.'-,, In al deze gevallen moet de orde b van de stervormige viervlakshoek, evenals bij het eerder besproken exemplaar, op 3(2 gest~ld worden. De tabei geeft verdere bijzonderheden van de hier genoemde UH2's.

86 84 Regelmaat in de ruimte. I Sominige hebben, evenals de ( h, slechts een enkele zijde (Möbius), sommige.. ûjn 'gewoon' dubbelzijdig. Dit hangt onder andere. af van de pariteit der diverse zijvlakken. Zo blijkt bijvoorbeeld bij de ( h dat, als we de vierkant(m als 'buiten' definieren, we tegen de'binne.nkant' van de driehoeken aankijken. Bij de verwante (4 84 8h is het daarentegen niet mogelijk.alle vierkanten als 'buiten' te beschouwen: twee aan een. hoekpunt grenzende vierkanten zijn tegengesteld wat 'buiten' en 'binnen' betreft en het veelvlak is derhalve eenzijdig. Zoals de schematische voorstellingen van de viervlakshoeken aangeven, gaan in een aantal gevallen de diagonaalvlakken door het middelpunt; hierbij is dus de vorming. van een dualé tweede-soort niet mogelijk. Bij andere, zoals de ( h en de (4104 loh kan dit wel; deze OH2's zijn weergegeven in figuur 6.22 tot en met ' Figuur (( ))2' Figuur (( )}2' Figuur ((3 ' ))2-. De zijvlakken van deze soort UH2's zijn uiteraard niet convex'; ze hebben soms de..'. I gedaante van de in figuur 6.15 aangegeven doorsnijdingen van veelvlakshoeken, soms zijn ze pijlvo~g (vierhoek met inspringende hoek).. Te~ slotte in het kader van stervorming in hoekpunten nog enkele speciale gevallen: Ook de in de vorige paragraaf besproken UHl's kunnen zich voor dit doel lenen. Zo vormt ~e ( ) de (3 44 4h (figuur 6.25). Ook de ( Û kan door

87 Halve regelmaat met sterren (hogere orde uniforme vee/~/akken, VWs) 85 stervorming van de zesvlakshoek een nieuwe UH! opleveren: de ( h, die in figuur 6.26 is weergegeven, trouw~ns ook de niet getoonde ( h, Figuur ( )2' Het laatste. voorbeeld hoort eigenlijk niet thuis in dit hoofdstuk, maar is interessant genoeg om toch, terzijde, te worden genoemd ~ Hét betreft een veelvlak 'van de gedaante (62 62 ~ ~h. Dit is niet een uniform veelvlak, want de zijvlakken zijn. geen ~egelmatige veelhoeken. Ze zijn, met het veelvlak; getoo'.ld in figuur Het veelvlak lijkt sterk op een regelmatige dodekaeder waarin de vijfhoeken vervangen zijn door naar binnen gekeerde piramides met g.eiijkzijdige driehot<ken; deze':driehoeken staan echter niet op zichzelf, maar vormen drie aan drie, via verlengde Tibben,een tweede-orde zeshoek;de. merkwaardigste eigenschap van 'dit veelvlak is ~at het, na duale transformatie, à~ zichzelf gelijk blijft; het bestaat immers uit ; tweede-orde zeshoeken, die tw~de-orde zesvlaksho~ken vormen! Het is verrassend dat er, naast. het regelmatig viervlak dat deze eigenschap ook bezit, nog (minstens) een ander veelvlak met identieke omkering bestaat!....,

88 . 86 Rege./maat in de ruimte 6.5. Afknotting van hoekpunten..'. Van de derde der in 6.1 genoemde mogelijkheden komen hier een tweetal voor-. beelden. en wel de twee meest voor de hand liggende. Afknotting van twee der J, '. Poinsot-lichamen leidt tot UWs. namelijk bij de grote dodekaeder en bij de grote ikosaeder. In beide gevallen zijn de hoekpunten vijftallig 'en van de tweede orde; afknotting levert dus {52} vl~en.. Uit de grote dodekaeder{5. 52} of (5555 5h ontstaat de (521010). die afgebeeld is... in figuur Het lichaam heeft 60 hoekpunten en 121O-vlakken. en 90 ribben. De. orde 'van het veelvlak is. evenals bij de { c = 3.. I. Afknotting van de groté ikosaeder levert de (526 6) (zie figuur 6.29). be~ is opgebouwd uit 12 pentagrammen {521 en 20 'zeshoeken, en heeft eveneens 60 hoekpunten en 90 ribben. De orde bedràagt. evenals bij de {3 52}. c,;" 7. Beide UHl 'shebben een UH2 naast zich; de « » en de «52 6 6) zijn respectievelijk weergegeven in figuur 6.30 en figuur Figuur Afgeknot groot dodekaeder Figuur6.30. (( )). ( ).. r Figuur Afgeknot groot ikosaeder( ) Figuur ' ((5 2 66)).

89 Halve regelmaat met sterren (hogere orde uniforme veelvlakken, VWs) 87 Jn onderstaande tabel zijn de tot dusver besproken UHl 's samengevat. (na),, m1 Z1 notatie (na)2 m2 mb H/c He Z2 Z R, (na)3 ' m3 Z3., f ~ f, (44 Sa) (4) {8 3 } / ' ( ) (3) {8 3 } / , (3 ~ 3 ~ 3~) {3} {5 2 } '2 60 (5 ~ ) {5} {5 2 } ' (3 Sa 4 Sa) {~}{4}{Sa} Q (3 Sa 8 3 ) {3} {8 3 } /7, 24 7, (3434)2 {3) {4} / (3636)2 {3} {6} 2 2 ' 4 3/ (4646)2 {4) {6} 2,2 4 3/ (310310)2 ' {3} {10) /2 60/ / (51051% {5} {10) / / (3838)2 {3} {4} {8} / ', (4848h {4} {8} / (410410)2 {4} {10) 2, 2 4 3/2 10' ' 42 " 120 (310510)2 {3} {5} {10) /2 60/ ' (3444)2 {3}{4} /2 24/7 24, 7 8',18 26, 48 (5 ~ 5 ~ 5~) {5} {5 2 } / ' ' 24 ' 90 ' " (62 ~ 62 ~ ~ ~)2 {6 2 } , ( ) {5 2 } {10} 1 2 3, ~ 12 ] 2 24, 90 ( ) {5 2 } {6} ', Andere mogelijkheden In de inleiding tot dit hoofdstuk is h~t ge.tal 5J genoemd als het aantal, UHl 's dat,. I'.. afgezien van de uit prisma's en antiprisma's afgele~deex.èmpl~en, moip.e~teel bekend is. Van dit aantal is slechts een betrekkelijk gering deel inliït hoofdstuk besproken. Voor een complete verzameling zij ver~ezennaar ' het boek van We~inger. Trouwens, wat is compleet? Onder de 53 UHl 's,zijn er die ~ vele eeuwen bekend, zijn, maar zijn er ookdie pas ellkele tientallen jaren geleden ontdekt zijn! Anders dan bij de Platonische, Poinsot- en ArchiIiledische lièhanien is nog nooit sluitend bewezen hoeveel hogere-orde uniforme veelvlakken er bestaan. Men blijft zoeken!

90 . \ 88 7 Meer dan drie dimensies 7.1. Inleiding '.. aij d~ behandeling van de diverse veelvlakken zijn we allereerst Uitgegaan van de begrenzingen van deze lichamen:' de veelhoeken. Vanuit de ~eelhoeken (polygonen). hebben we stap naar de derde dimensie gemaakt om bij de polyeders terecht te komen. Nog een stap verder en we zitten in de vierdimensionale ruimte. Bestaan daarin ook lichamen die begrensd worden door polyeders? Uiteraard,.aiIeen wordt het begrip 'bestaan' wat moeilijker te doorgronden. D«ze,uit Ïuimte's opgebouwde lichamen ('polytopen') zijn uitvoerig gerubriceerd en geanalyseerd. Het is een geheel nieuwe wereld waar we dan in terecht komen. In hetslothoofdstuk van dit boekje zullen de polytopen alleen even-aangetipt worden; verdere behandeling zou in dit bestek niet passen. Voor meer gegevens zij verwezen naar Coxeter, 'Regular Polytopes'...., ' De achtcel Als 'we even terugkijken naar de regelmatige, Platonische veelvlakken, dan zien we dat de kubus, als drie-ditnensionaal regelmatig lichaam, als volgt vanuit een pwit ontstaan. gedacht ~ worden (zie figuur.7.1): in nulde dimensie: punt - verschuif punt in Ie dimensie: lijnsegment -. verschuif lijnsegment in 2e dimensie:. vierkant - verschuif vierkant in 3e dimensie:. kubus. De vraag rijst nu: kunnen we hiermee doorgaan? Kunnen we de kubus in de 4e dimensie veischuiven en dan eeri regelmatig vierdimensio.naallichaam krijgen? Hoe zou je dat dan noemen en hoe zou het er uitzien? Het voorstellingsvermogen laat ons nlj. helaas in de. steek, en ~e zullen dus strikt analytisch te werk moeten gaan en de overgang van 3- naar 4-climensionaallichaam moeten definiëren in. analogie met die van I naar 2 en van 2 naar3 dimensies. - We zien dan bij het eendimensionale lijnsegment dat bij verschuiving in de tweede dimensie elk der beide 'hoekpunten' aanleiding geeft tot twee nieuwe hoekpunten en twee nieuwe ribben, zodat het resulterend twee-dimensionaal lichaam omsloten wordt door deze twee nieuwe ribben plus het' oorspronkelijke plus het.verschoven. lijnsegment, dus door 4 ribben.

91 Meer dan drie dimensies 89 o. ",.':', (;J-'! ' -, --~~w, i \ / \ I! \ ' I Figuur Van punt naar achtcel. Verschuiving van het vierkant in de derde dimensie levert 4 nieuwe 'verschoven'. ribben plus vier nieuwe ribben die de verbindingslijnen zijn tussen de oorspronkelijke en de verschoven punten, dus totaal R = 12. Het aantal vlakken wordt gegeven door a. het oorspronkelijke vierkant, b. het verschoven vierkant, c.vier vierkanten die gevormd wqrden door de verschuiving in de 3e dimensie, dus sam~n V =' 6. Het aantal hoekpunten is twee maal dat van het uitgangsvierkant, dus H ::: 8. Nu gaan we de kubus verschuiven in de 4e dimensie. Zijn 8 hoekpunten vormen weer 8 ni~uwe ' hoekpunten, dus we weten alvast dat het vierdunensionale lichàäm'hb: 16 hoekpunten heeft. Elkhoekpinii trekt bij verschuivirigedi riieuwe ribbe,' dus het totale aantál ribben is tweemaal het oude aantal plus het aantal hoekpunten; dus R = 32. Ook vormt elke ri bbe bij verschuiving een nieuw zi jv lak,' dus het aantal ' zijv lakken wordt. tweemaal het oorspronkelijke aantal (2 x 6 = 12) plus het aantal oorspronkelijke ribben ( = 12), dus Z = 24. Ten slotte, het moèilijkstvoor te stellen: Elk vierkant zijvlak wordt 'verschoven' tot een kubus; zoals het ook gebeurde in de overgang van vierkant tot kubu~. Het nieuwe lichaam wordt dus begrensddocir de oorspronkelijke kubus, de. verschoven kubus, en de 6 verschuivingskubûssen; totaal dus 8 kubussen. Het vierdimensionale lichaaplheet dan ook' áchtcel': het wordtbegren.sd door C =8 cellen (kubussen), het heeft H::: 16 hoekpunten, Z = 24 zijvlakken en R = 32 rib~n:. Hët blijkt dat voor dit iichaarii gêldt: H + V = R +: C want ' = 32+ 8, een analogon van de;~oor driedimensionale lichamen geldende! stelling van Euler..

92 90 Regelmaat in de ruimte 7.3. De vijfcel. '... Een tweede polytoop die wenqg vrij gemakkelijk in gedachten kunnen opbo}l\ven, wordt begrensd door tetraeders. W~ begiruien (figuur 7.2) weer met een punt, breiden dit in de eerste diineiisie uit tot een lijnsegment, maar kiezen nu in de tweede dimensie een punt zodanig dat een regelmatige driehoek wordt gevormd Vervolgens richten wè op het vlak van de driehoek een loodlijn in de derde dimensie op, waarop we het. vierde punt kiezen dat met de driehoek een tetraeder vo;mt. De laatste stap is dan weer in de 4e dimensie namelijk een loodlijn op de ruimte waarin de tetraederzich bevindt en het vastleggen van een 5e punt op deze loodlijn; het resultaat is een polytoop waarvan, op analoge wijze a1s bij.de kubus, is in te zien da~ het begrensd wordt door 5 tetraeders en voorts 10 zijvlakken, 10 ribben en 5 hoekpunten heeft Alweer geldt dus: H+V=R+C. o O------jO Figuur 7.2. Van punt naar vijfcel De zestiencel., Tot slot een derde polytoop: We bouwen (figuur 7.3) uit een lijnsegment weer. een vierkant, doch nu :niet door verschuiving van, het segment maar door in de tweede. dimensie twee punten aan weerszijden van het segment te kiezen, die, verbonden met de uiteinden van het segment, een vierkl:idt vormen. Het oorspronkelijke lijnsegment. vormt dus geen ribbe van het vierkant. Vervolgens bouwen we vanuit het vierkant een dubbelpirarnide: een oktaeder (waarbij het vierkant weef' verdwijnt). Het polytoop wordt nu gevormd door twee punten in de 4e dimensie te kiezen en deze te verbinden. met elk der 12 hoekpunten van de oktaeder.. We zien dus dat het aantal ribben, R, 2 x 12 = 24 bcdraagt en.het aantal hoekpu~lten, H = = 8. Elk der 12 ribben van de oktaeder VOImt niet elk der beide nieuwe punten een Ïûeuw driehoekig zijvlak; samen met de oorspronkelijke 8 zijvlakken, wordt.. V = 2 x ;: 32. Het aantal cellen is tweemaàl het aantal oorspronkelijke 'fäkken dus C = 16.(de uitgangs-oktaeder ve~dwijnt).

93 . Meer dan drie dimensies 91 o 0>-----0,- ;- / Figuur 7.3. Van punt naar zestiencel. Opnièuw blijkt: H + V = R +C (= 40). De stelling vad. Euler voor polytopengaa~ dus in alle driè gevallen op; het kan bewezen worden dat d~ze rel~tie algemene' geldigheid. bezit Andere polytopen De vraag is nu of er, naast deze drie eenvoudigste, nog meer regelmatige polytopen bestaan: Een analyse, analoog aan die voor de Platonische lichamen, is mogelijk en zelfs vrij eenvoudig, doch nogal bewerkelijk; daarom kijken we alleen naar het resultaat. Naast de drie bovengenoemde, bestaàn er nog drie andere, en wel de 24-cel, de 120-cel en de 600-cel. De eerste wordt begrensd door oktaeders, de tweede door dodekaeders, de derde door tetraeders. De voornaamste eigenschappen vari het zestal rekelmatige polytopen zijn samengevat. in de tabel. Hun notatie is analoog aan die van de Platonische lichamen: het eerste cijfer geeft aan welk type veelhoek de cel begrenst; het tweede, hoeveel van deze vlakken in een hoekpunt van een cel bijeenkomeq; 'het derde, hoeveel cellen in een hoekpunt samenkomen.

94 92 Regelmaat in de' ruimte polytoop cel notatie H R Z C 5-cel {3.3} {~.3.3} , 5 8-cel {4.3} {4.3.3} cel {3.3} {3.3,4} 8, cel {3.4} {3.4.3} , \ 12Q-cel {5.3} {5.3.3} cel {3.3} {3.3.5} Uit de tabel blijkt 'een merkwaardige reciprociteit tussen de 8-ce1 en de 16-cel en tussen de 120- en de 600:.cel; dit zijn aan elkaar duaal toegevoegde paren zoals we dat ook bij de Platonische lichamen tussen oktaeder en kubus en tussen dodekaeder en ikosaeder zagen. Bij de polyto~n worden de aantallen hoekpunten en cellen verwisseld, evenals de aantallen ribben en zijvlakken, De 5-cel en de 24~1 blijken elk gelijk te zijn aan hun eigen duaal verwisselde polytoop, evenals de Platonische tetraeder. In Hoofdstuk 5 hebben we gezièn dat regèlmatige veelvlakken ook opgebouwd kunnen zijn uithogere-orde veelhoeken of met hogere~orde hoekpunten; de vier Poinsot-lichamen bleken een uitbreiding te zijn van dévijf Platonische. Het ligt voo~' de hand te veronderstellen dat iets dergelijks ~k in de vierde dimensie het geval zal zijn. Inderdaad bestaan er polytopen die ontstaan door stervorming, hetzij in vlakken, hetzij in hoekpunten. Er blijken er 10 te zijn! Ze heten: (~2,5;3), (3,5,52J, '(5,52,5J, (52,3;SJ, (5,3;52), (52,5,52), (5,52.3J, (3,52,5J, (52,3,3), (3,3,52). Vanzelfsprekend zijn hiermee de mogelijkheden voor ititeressarite polytopen niet uitgeput We weten immers dat in onze gewone' driedimensionale ruimte nog een vrij grote 'serie (13) halfregelmatige, Archimedische, lichamen voorkomen en eenoog veel groter-aantal hogere-orrle exemplaren; Ook in vier dimensies.is dat het geval. Ook daar leidt afknotting in hoekpunten, langs ribben, langs cellen: stervorming enz. tot een aantal halfregelmatige polytopen. Voeg däarbij de wereld van de omkeringen, de duaal toegevoegde polytopen, en we bevinden ons temidden van een vrijwel onafzienbaar aantal ongetwijfeld fraaie doch helaas onvoorstelbare figuren. Afbeeldingen van polytoperi op papier hebben weinig zin: in de eerst~ plaats omdat we geen voorstellingsvermogen hebben voor vierdimensionale objecten; in de tweede plaats geeft een reductie van 4 naar 2 dimensies een soortgelijke béperking als de afbeelding van een sterdodekaeder op een rechte lijn! Wel kunnen draadmodellen, gemaakt worden als projecties van polytopen op een 3-dimensionale ruimte. Het,. tweede bezwaar is dan opgeheven, maar het eerste blijft gelden.

95 Meer dan drie dimensies Nog meer dimensies Voor wie er nog niet genoeg van heeft: kunnen we ook naar nog hogere dimensies gaan? Intuïtief komje op de gedachte dat de t:ecepten voor de eerste drie polytopen voor verdere uitbreiding vatbaar zijn. Dit is inderdaad het. geval, en wel tot in een onbeperkt aantal dimensies. De serie.die begint met lijnstuk, vierkant, kubus, achtcel, wordt die der. 'maatpolytopen ' genoemd; de leden der tweede serie: 'lijnstuk, driehoek, viervlak, vijfcel hebben de algemene oaam 'simplex'; de derde serie, de 'kruispolytopen'; bevat analogons van de oktaeder. Het kan bewezen worden dat deze series de e~ge regelmatige eerste-orde polytopen. zijn in 5- eo hogere dimensies; hier worden de fanlilies der IX?lytopen dus wel wat saai! Allerminst saai iijn echter de hogere-orde halfregelmatige polytopen die zich evenals in de vierde, uitbundig manifesteren in hogere dimensies. Meer informatie hierover vindeij. we alweer InCoxeter, 'Regular Polytopes'~

96 j. 94 literatu u'r 1.. Kepler J., Harmonice Mundi, Opera Omni. Vol 5, Frankfurt, Poinsot L., Memoire sur les. polygones et les polyedres, J. de l'ecole. Polytechnique, 10, (1810), pp' 1648 ~ 3. Pitsch 1., Uber hajbregulare Sternpolyeder, Z: f~ das Realschulwissen, 6 (1881),.. pp9-24; 64-6~, 72-89, 216 / 4. ~ruedmer M., Vielecke und Vielflache, Leipzig, Hess, Eirileitung in die Lehre von der Kugeltei?ung, Leipzig, Coxeter, H.S.M., Regul(lr Polytopes, Dover Publ.Inc., New York, Wenninger M.J., Polyhedron Modeis, Cambridge University Press, Adam P. en A.Wyss, Platonische und Atchimedische Korper, V~rlag P.Haupt,... Bern, /

97 ;'..

98

99

100