Stelling van Belyi. Quinten Meertens, juni 2013 Eindverslag Bachelorproject Wiskunde. Begeleider: prof. dr. Eric Opdam

Transcriptie

1 Stelling van Belyi Quinten Meertens, juni 2013 Eindverslag Bachelorproject Wiskunde Begeleider: prof. dr. Eric Opdam KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting Het doel van deze scriptie is om op verschillende niveaus een link te leggen tussen algebra en topologie. Allereerst bekijken we de link tussen overdekkingstheorie en Galoistheorie. Het uiteindelijke resultaat, Hoofdstelling 1.23, laat zien dat de hoofdstelling van de Galoistheorie, zie 1.15, geformuleerd kan worden in termen van overdekkingen. Vervolgens bestuderen we Riemannoppervlakken ter voorbereiding van de stelling van Belyi. Eerst bekijken we hoe compacte Riemannoppervlakken als meetkundige objecten gerealiseerd kunnen worden en daarna bespreken we hoe resultaten uit de complexe analyse veralgemeniseren naar Riemannoppervlakken. Ter afsluiting van dit hoofdstuk bespreken we kort de herkomst van Riemannoppervlakken dat leidt tot Voorbeeld 2.29 en ook tot een preciezere link tussen overdekkingstheorie en Galoistheorie voor deze topologische ruimten. In het derde hoofdstuk bespreken we de benodigde algebraïsche voorkennis om de stelling van Belyi in zijn meest algemene vorm te kunnen formuleren. In het laatste hoofdstuk werken we toe naar het bewijs van de stelling van Belyi, zie We sluiten af met twee relevante gevolgen van deze stelling. De eerste is de informatie die deze stelling geeft over de absolute Galoisgroep van Q, zie Ten tweede bespreken we de relevantie van deze stelling voor het bestuderen van Riemannoppervlakken. Het blijkt namelijk dat zekere Riemannoppervlakken één-op-één corresponderen met zeer eenvoudige bipartiete grafen, zogeheten dessins d enfants. We geven een inleiding op de theorie hierover die de schoonheid en eenvoud die de stelling van Belyi met zich meebrengt laat zien. Gegevens Titel: Stelling van Belyi Auteur: Quinten Meertens, quinten.meertens@student.uva.nl, Begeleider: prof. dr. Eric Opdam Einddatum: 27 juni 2013 Korteweg de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam

3 Inhoudsopgave Inleiding 2 1 Overdekkingsruimten Topologische achtergrond Algebraïsche toepassing Galoistheorie Riemannoppervlakken Compacte Riemannoppervlakken Analyse op Riemannoppervlakken Riemannoppervlak als algebraïsche functie Commutatieve algebra 27 4 Stelling van Belyi Krommen over algebraïsch gesloten lichamen Krommen over willekeurige grondlichamen Propere normale krommen Richting de stelling van Belyi De absolute Galoisgroep van Q Dessins d enfants Populaire Samenvatting 53 A Categorieëntheorie 55 B Schoventheorie 57 Bibliografie 59 1

4 Inleiding In deze scriptie wordt op verschillende niveaus een link gelegd tussen algebra en topologie. We richten ons op wiskundestudenten die de eerste twee jaar van de wiskundebachelor hebben afgerond. Met name de kennis over algebra en topologie wordt bekend verondersteld. In het eerste hoofdstuk leggen we een vrij klassieke link tussen algebra en topologie. We bestuderen overdekkingen van topologische ruimten om zo de fundamentaalgroep ervan uit te kunnen rekenen. Vervolgens bespreken we een aantal resultaten uit de Galoistheorie en sluiten af met een eerste link tussen algebra en topologie, namelijk tussen Galoistheorie en overdekkingstheorie. Het tweede hoofdstuk behandelt vrij globaal de topologie, analyse en algebra omtrent Riemannoppervlakken. We bespreken eerst de topologie van compacte Riemannoppervlakken om de lezer intuïtie te geven bij deze ruimten. Vervolgens veralgemeniseren we een aantal resultaten uit de complexe analyse naar Riemannoppervlakken aangezien Riemannoppervlakken per definitie een complexe structuur hebben. We sluiten dit hoofdstuk af met twee mooie resultaten. Eerst laten we zien dat Riemannoppervlakken de oplossing zijn om meerwaardige complexe functies enkelwaardig te maken. Daarna bespreken we een resultaat dat de link tussen algebra en topologie uit het eerste hoofdstuk nóg preciezer maakt. Hierna volgt een hoofdstuk dat wat technischer van aard is. Om in het laatste hoofdstuk rechtstreeks naar de stelling van Belyi toe te werken hebben we veel resultaten omtrent commutatieve algebra nodig. Dit hoofdstuk is dus niet opgenomen om commutatieve algebra te bespreken, maar puur als noodzakelijk opstapje naar het volgende hoofdstuk. Het laatste hoofdstuk bevat de stelling van Belyi en het bewijs daarvan. We bouwen eerst heel krachtig algebraïsch gereedschap op met behulp van de achtergronden uit het derde hoofdstuk. Met behulp hiervan kunnen we de stelling van Belyi formuleren en bewijzen. We sluiten het hoofdstuk af met twee toepassingen van de stelling van Belyi, namelijk de informatie die deze stelling geeft over de absolute Galoisgroep van Q en een informele inleiding op de fascinerende theorie omtrent dessins denfants. Het belangrijkste onderliggende doel van deze scriptie is om de lezer de rode draad van het verhaal te laten volgen. We trachten dit te bereiken door tussendoor regelmatig de structuur toe te lichten en de lezer uit te leggen waarom we bepaalde resultaten bespreken en hoe ze linken aan het hoofddoel van deze scriptie, namelijk de link leggen tussen algebra en topologie op verschillende niveaus. Dit is ook de belangrijkste reden dat lang niet alle resultaten die in deze scriptie zijn opgenomen bewezen worden. We bespreken immers veel 2

5 resultaten waarvan de bewijzen vrij uitgebreid zijn, maar niet tot inzicht of intuïtie leiden. In andere gevallen is voor een bewijs zodanig veel voorbereiding nodig, de doelgroep in het achterhoofd houdend, dat de rode draad verdrinkt in de elementaire algebra en topologie. In plaats daarvan verwijs ik voor dergelijke bewijzen naar de literatuur. Vaak is dan wel een korte toelichting op het bewijs, of een voorbeeld waarin het nut van het resultaat wordt toegelicht, opgenomen om de lezer toch intuïtie te geven bij de besproken resultaten. Daarnaast zijn twee bijlagen opgenomen over categorieën- en schoventheorie. Hierin worden een aantal definities en resultaten besproken die we onderweg af en toe nodig hebben. De reden dat deze theorie niet is opgenomen in een van de hoofdstukken is omdat we het niet nodig hebben om zeer cruciale resultaten te bewijzen. Bovendien zijn sommige studenten deze stof al tegengekomen in een eigen project of bij een honoursuitbreiding van een vak. De bijlagen zijn dus opgenomen als bondig naslagwerk voor de lezer. Verder willen we opmerken dat we in deze scriptie grotendeels de rode draad van [10] volgen. Alle genoemde definities en resultaten zijn uit dit werk gehaald, tenzij het expliciet anders is vermeld. De bewijzen en voorbeelden die wel zijn opgenomen zijn van eigen hand op een aantal uitzonderingen na, waar expliciet naar de correcte bron verwezen wordt. Tenslotte wil ik mijn begeleider Eric Opdam hartelijk bedanken voor zijn enthousiasme en zijn heldere uitleg omtrent de problemen waar ik tegenaan liep. Het was een bijzonder leerzaam traject. Quinten Meertens, Juni

6 Hoofdstuk 1 Overdekkingsruimten Dit hoofdstuk vervult een inleidende rol ten opzichte van de hoofdstukken die volgen. De theorie over overdekkingsruimten is onmisbaar bij het bestuderen van topologische ruimten. Het vormt de basis voor de theorie rondom de fundamentaalgroep van een topologische ruimte, een krachtig gereedschap binnen de algebraïsche topologie. De theorie die in dit hoofdstuk aan bod komt is om die reden voor de meeste wiskundigen bekend. Veel auteurs hebben deze theorie tot in alle details uitgewerkt, dus dat zullen we niet opnieuw doen. De belangrijkste begrippen en resultaten zullen we bespreken, maar niet bewijzen. Voor de enthousiaste lezer verwijzen we daarvoor graag naar het werk van Munkres (zie [9]) en dat van Bredon (zie [3]). Wel zullen we meetkundige interpretaties van bepaalde begrippen of resultaten bespreken, om ook de onervaren lezer tegemoet te komen. De formele wiskunde laat dus nog even op zich wachten. De reden dat dit hoofdstuk is opgenomen, is om aangenaam van start te gaan en om verderop direct naar de resultaten over overdekkingsruimten te kunnen verwijzen. 1.1 Topologische achtergrond Wiskundigen houden zich al lange tijd bezig met het bestuderen van topologische ruimten. Eén manier om dat te doen, is om aan elke topologische ruimte een groep toe te kennen die geheel in termen van de topologische eigenschappen van de ruimte is gedefinieerd. Een goed voorbeeld is de fundamentaalgroep, waarvan we hieronder de definitie zullen herhalen. Vervolgens kan men deze algebraïsche structuur bestuderen om zo de topologische ruimte beter te begrijpen. Een topologisch vraagstuk wordt op deze manier een algebraïsch vraagstuk, wat vaak eenvoudiger te beantwoorden is. Definitie 1.1. Zij X een wegsamenhangende topologische ruimte en x 0 een punt in X. De fundamentaalgroep, π 1 (X, x 0 ), van X is de verzameling van homotopieklassen van lussen met basispunt x 0 met als bewerking samenstelling van paden. Bij het vak Topologie hebben we gezien hoe deze verzameling tot stand komt en we hebben bewezen dat we echt van een fundamentaalgroep mogen spreken, zie [8]. Voor 4

7 het gemak zullen we ons beperken tot wegsamenhangende ruimten. In dat geval is de fundamentaalgroep niet meer afhankelijk van het gekozen basispunt x 0. Om een fundamentaalgroep van een topologische ruimte daadwerkelijk te kunnen berekenen, hebben we het begrip overdekkingsruimte nodig. Een voorbeeld hiervan hebben we al gezien bij het bepalen van de fundamentaalgroep van de cirkel S 1 C. We zagen de cirkel namelijk als het beeld van de reële lijn onder de afbeelding p : R S 1 : x e 2πix. Vervolgens konden we lussen in S 1 liften naar paden in R en hiermee vonden we een isomorfisme tussen de fundamentaalgroep van S 1 en een vezel van de afbeelding p. We zullen nu een variatie op dit recept precies maken en veralgemeniseren. Definitie 1.2. Zij X en Y twee topologische ruimten en p : Y X een continue afbeelding. Dan heet p een overdekkingsafbeelding als elk punt x X een omgeving U heeft zodanig dat het inverse beeld p 1 (U) te schrijven is als een disjuncte vereniging van verzamelingen in Y die onder p homeomorf zijn met U. De ruimte Y heet dan een overdekkingsruimte van X en p : Y X een overdekking van X. Opmerking. Concreet betekent bovenstaande eis dat p 1 (U) = α V α, waarbij de V α paarsgewijs disjunct zijn en waarbij p V α U een homeomorfisme is voor elke α. We kunnen het inverse beeld van U dus zien als een aantal losse lagen die er precies uitzien als U, zie ook Figuur 1.1. Merk ook op dat uit bovenstaande definitie volgt dat elke overdekkingsafbeelding surjectief is. Figuur 1.1: Het inverse beeld onder een overdekkingsafbeelding. We geven nu de definitie van een lift van een pad. Deze definitie zullen we pas later gebruiken, maar hij staat hier als motivatie voor het begrip overdekking van hierboven. Definitie 1.3. Zij p : Y X een overdekking en f : [0, 1] X een pad in X. Een pad f : [0, 1] Y in Y heet een lift van f (t.o.v. de overdekking p : Y X) als p f = f. Het volgende lemma is een elementair, maar zeer relevant resultaat. Het bewijs ervan is terug te vinden in elk standaardwerk over topologie, zie bijvoorbeeld [9]. 5

8 Lemma 1.4. Zij p : Y X een overdekking, y een punt in Y en x := p(y). (i) Als f : [0, 1] X een pad in X is met beginpunt f(0) = x, dan bestaat er een unieke lift f : [0, 1] Y met f(0) = y. (ii) Als g een tweede pad in X is, homotoop met f, dan is de unieke lift g van g homotoop met f en er geldt g(1) = f(1). We zullen het bovenstaande resultaat dus pas later gebruiken. Herinner nu dat elke continue afbeelding tussen topologische ruimten een homomorfisme tussen fundamentaalgroepen induceert. Bij elke overdekking p : Y X krijgen we dus een homomorfisme p : π 1 (Y, y 0 ) π 1 (X, x 0 ) cadeau, waarbij y 0 een vast gekozen punt is in de vezel p 1 (x 0 ). Om de relatie tussen de begrippen fundamentaalgroep en overdekkingsruimte uit te leggen, gaan we eerst overdekkingen met elkaar vergelijken om ze te kunnen classificeren. Definitie 1.5. Twee overdekkingen p : Y X en p : Ỹ X heten equivalent als er een homeomorfisme h : Ỹ Y bestaat zodat p = p h. Met een aantal aanvullende resultaten bewijst Munkres (zie [9]) een nodige, maar ook voldoende eis voor wanneer twee overdekkingen equivalent zijn. Stelling 1.6. Twee overdekkingsafbeeldingen p : Y X en p : Ỹ X zijn equivalent dan en slechts dan als p (π 1 (Y, y 0 )) en p (π 1 (Ỹ, ỹ 0)) geconjugeerde ondergroepen van π 1 (X, x 0 ) zijn. Opmerking. De punten y 0 en ỹ 0 zijn, respectievelijk, vastgekozen punten in de vezels p 1 (x 0 ) en p 1 (x 0 ). We zijn toe aan een kernbegrip, de universele overdekking van een topologische ruimte. Definitie 1.7. Zij p : Y X een overdekking. Als Y enkelvoudig samenhangend is, dan heet p : Y X de universele overdekking van X. Opmerking. Het is eenvoudig na te gaan dat er, op equivalentie na, inderdaad hoogstens één universele overdekking bestaat. Immers, als p : Y X en p : Ỹ X twee universele overdekkingen zijn, dan zijn zowel p (π(y, y 0 )) als p (π(ỹ, ỹ 0)) de triviale ondergroep van π 1 (X, x 0 ), dus zeker geconjugeerd. Uit de voorgaande stelling volgt nu dat we inderdaad over de universele overdekking mogen spreken. Verder kan bewezen worden dat als q : Z X een overdekking van X is, dan bestaat er altijd een overdekking r : Y Z van Z zodanig dat p = q r. Vandaar de naam universele overdekking; deze overdekking overdekt elke andere overdekking van X. Merk op dat we in het eerder besproken voorbeeld p : R S 1 : x e 2πix ook met de universele overdekking te maken hebben, aangezien R enkelvoudig samenhangend is. We zullen verderop bespreken hoe we hiermee de fundamentaalgroep van S 1 kunnen bepalen. Daarnaast verwijzen we naar het werk van Munkres (zie [9]), die nodige en voldoende eisen stelt voor het bestaan van een universele overdekking van een topologische ruimte. Dit is namelijk precies het geval als de ruimte wegsamenhangend, lokaal wegsamenhangend en semilokaal enkelvoudig samenhangend is. Dit is een bruikbaar resultaat, omdat de 6

9 universele overdekking precies de overdekking is die we later zullen gebruiken om fundamentaalgroepen te kunnen berekenen. Toch nemen we dit resultaat hier niet in op, omdat we later zullen focussen op bepaalde Riemannoppervlakken die aan deze eisen voldoen. Tenslotte is het mogelijk om voor een gegeven topologische ruimte, waarvoor een universele overdekking bestaat, deze expliciet te construeren. Voor die constructie verwijzen we naar het werk van Szamuely, zie [10], en dat van Forster, zie [4]. 1.2 Algebraïsche toepassing We hebben gezien wat overdekkingsafbeeldingen en in het bijzonder universele overdekkingen zijn. We zullen nu laten zien hoe deze theorie bijdraagt aan het bepalen van fundamentaalgroepen. De volgende definitie is hierin essentieel. Definitie 1.8. Laat X en Y twee topologische ruimten zijn en p : Y X een overdekking van X. Een dektransformatie is een equivalentie van deze overdekking met zichzelf. Merk op dat elke dektransformatie een homeomorfisme h : Y Y is dat vezels behoudt. Immers, als x een punt in X is en y een punt in de vezel p 1 (x), dan geldt x = p(y) = (p h)(y) = p(h(y)), dus h(y) is een punt in de vezel p 1 (x). Omdat h een homeomorfisme is, beeldt h elke vezel van p bijectief af op diezelfde vezel. Verder is het eenvoudig in te zien dat de verzameling van alle dektransformaties van een gegeven overdekking met samenstelling van afbeeldingen als bewerking een groep vormt. We zullen deze groep noteren met Aut(Y p X) of met Aut(Y X) als het duidelijk is welke overdekkingsafbeelding we bedoelen. Hieronder volgt de relatie tussen de fundamentaalgroep en de universele overdekking. Stelling 1.9. Zij X een wegsamenhangende ruimte met basispunt x 0 en stel dat er een p universele overdekking p : Y X van X bestaat. Dan is de groep Aut(Y X) van dektransformaties van deze overdekking isomorf met de fundamentaalgroep π 1 (X, x 0 ) van X. Voor het formele bewijs van deze stelling verwijzen we naar het werk van Szamuely, zie [10]. Laten we wel even kijken hoe deze relatie ongeveer in elkaar zit. We hebben al gezien dat een dektransformatie van een overdekking vezels behoudt. Als we nu de vezel p 1 (x 0 ) beschouwen, dan merken we op dat de groep Aut(Y p X) van dektransformaties een linkswerking op deze vezel induceert, namelijk Aut(Y p X) p 1 (x 0 ) p 1 (x 0 ) : (h, y) h(y). Aan de andere kant kunnen we een werking van de fundamentaalgroep π 1 (X, x 0 ) op deze vezel definiëren. Zij daartoe α π 1 (X, x 0 ) een homotopieklasse van lussen in X met basispunt x 0 en y een punt in de vezel p 1 (x 0 ). Kies nu een lus f in X met basispunt x 0 als representant van de klasse α, dus [f] = α. Omdat p een overdekkingsafbeelding is, kunnen we de lus f in X uniek liften naar een pad f in Y met beginpunt y, zie Lemma 7

10 1.4. Merk op dat het eindpunt van dit pad niet afhangt van de keuze van de representant van α. Om die reden is de afbeelding (y, α) αy := f(1) welgedefinieerd. Verder is in te zien dat ((y, α), β) = β(αy) = (α β)y, dus bovenstaande afbeelding definieert een rechtswerking van de fundamentaalgroep op de vezel p 1 (x 0 ). Deze werking heet de monodromie werking op de vezel p 1 (x 0 ). Het blijkt dat als Y enkelvoudig samenhangend is, dan corresponderen deze twee werkingen precies met elkaar. Deze correspondentie wordt precies gemaakt in [10], waarna Stelling 1.9 bewezen wordt. Laten we tenslotte bekijken hoe we hiermee de fundamentaalgroep van S 1 kunnen bepalen. Voorbeeld We zien de cirkel S 1 als deelverzameling van de complexe getallen C. Beschouw de afbeelding p : R S 1 : x e 2πix en laat x 0 S 1. Voor een omgeving U S 1 van x 0 is het inverse beeld onder p een disjuncte vereniging van verzamelingen die onder p allemaal homeomorf zijn met U. Aangezien R enkelvoudig samenhangend is hebben we te maken met de universele overdekking van S 1. Laat n Z een geheel getal zijn en beschouw de afbeelding h n : R R : y y + n. Het is duidelijk dat dit een dektransformatie van de universele overdekking van S 1 geeft, oftewel h n Aut(R p S 1 ). Laat h : R R een dektransformatie van de universele overdekking van S 1 zijn. Beschouw het pad f : [0, 1] R : x xy voor een vastgekozen punt y R. De paden α : [0, 1] R : x h(0) + xy en β : [0, 1] R : x h(xy) zijn twee lifts van het pad p f in S 1. Uit Lemma 1.4 volgt dat α(1) = β(1), dus h(y) = y+h(0). Dit laat zien dat h = h n voor n = h(0) p 1 (p(0)) = p 1 (1) = Z. We hebben hiermee bewezen dat π 1 (S 1, x 0 ) = Aut(R S p 1 ) = {h n : n Z} = Z, zoals we inderdaad verwachtten. 1.3 Galoistheorie In de vorige paragrafen hebben we beschreven hoe we de fundamentaalgroep van een topologische ruimte met behulp van overdekkingstheorie kunnen bepalen. In deze paragraaf zullen we vrij abstracte algebra, namelijk Galoistheorie, bespreken. Bij het gelijknamige vak zijn al veel resultaten die we nodig zullen hebben aan bod gekomen. De belangrijkste definities en resultaten zullen we herhalen, maar dus niet bewijzen. De enthousiaste lezer verwijzen we hiervoor door naar [10]. Uiteindelijk werken we toe naar een link tussen Galoistheorie en overdekkingstheorie. Met behulp van wat we hierboven besproken hebben vinden we zo een eerste link tussen topologie en pure algebra. Herinner allereerst dat een lichaam K algebraïsch gesloten is als elk polynoom f K[X] een nulpunt in K heeft. Een algebraïsche afsluiting van K is een algebraïsche lichaamsuitbreiding K van K die algebraïsch gesloten is. De algebraïsche afsluiting van een lichaam K bestaat altijd en is uniek bepaald op isomorfie na. 8

11 Verderop bespreken we Galoisgroepen. De begrippen separabele en normale lichaamsuitbreiding zijn daarbij onmisbaar. Definitie Een lichaamsuitbreiding L : K heet separabel als het minimumpolynoom van elke α L over K in L splitst in verschillende lineaire factoren. We spreken van een normale lichaamsuitbreiding als van elk irreducibel polynoom f K[X] ofwel geen ofwel al zijn nulpunten in L liggen. We zullen verderop een voorbeeld bespreken waarin we terugkomen op deze definities. Laat nu L : K een lichaamsuitbreiding zijn en schrijf Aut(L : K) voor de verzameling van lichaamsautomorfismen van L die het lichaam K puntsgewijs vastlaten. De verzameling Aut(L : K) vormt een groep met samenstelling van afbeeldingen als bewerking. We laten deze groep als volgt op het lichaam L werken: Aut(L:K) L L : (σ, α) σ(α). Hiermee kunnen we het kernbegrip binnen de Galoistheorie formuleren. Definitie Een lichaamsuitbreiding L : K heet een Galoisuitbreiding als de vaste punten onder de werking van Aut(L : K) op L precies de elementen van K zijn. In dit geval schrijven we Γ(L:K) voor Aut(L:K) en noemen het de Galoisgroep van L over K. Het kan bewezen worden dat een lichaamsuitbreiding een Galoisuitbreiding is precies als het een separabele en normale lichaamsuitbreiding is. We bespreken nu een voorbeeld waarin de bovenstaande definities terugkomen. Voorbeeld Beschouw het lichaam Q van de rationale getallen. Bekijk vervolgens de lichaamsuitbreiding Q( 2) van Q. Omdat 2 algebraïsch over Q is volgt dat Q( 2) = Q[ 2] = {a + b 2 a, b Q}. Beschouw nu een lichaamsautomorfisme σ : Q( 2) Q( 2) dat Q puntsgewijs vastlaat. Dan volgt dat σ(a+b 2) = a+bσ( 2) en σ( 2) 2 = σ(2) = 2, dus σ( 2) {± 2}. Er zijn dus maar twee mogelijkheden voor σ, namelijk de identiteit en de afbeelding 2 2. Merk op dat deze laatste afbeelding echt alleen de punten in Q vastlaat, dus we hebben te maken met een Galoisuitbreiding. De Galoisgroep Γ(Q( 2) : Q) bestaat dus uit de genoemde automorfismen en is isomorf met Z/2Z. We bespreken nu een andere manier om te laten zien dat we met een Galoisuitbreiding te maken hebben. Stel namelijk dat α = a + b 2 een punt in Q( 2) is. Als b = 0, dan is het minimumpolynoom van α over Q gelijk aan X a. Als b 0, dan is dit het polynoom f α = X 2 2aX + a 2 2b 2. Immers, a ± b 2 zijn hiervan de nulpunten en deze liggen niet in Q. Aangezien Q een lichaam van karakteristiek 0 is volgt dat de lichaamsuitbreiding Q( 2) : Q separabel is. Stel nu dat f Q[X] een irreducibel polynoom is dat een nulpunt β L heeft. Het volgt direct dat f het minimumpolynoom van β over Q moet zijn en we hebben al gezien dat de nulpunten hiervan in L liggen. Hieruit volgt dat Q( 2) : Q een separabele en normale lichaamsuitbreiding is en dus dat het een Galoisuitbreiding is. 9

12 Er zijn nog meer alternatieven om te bepalen of een lichaamsuitbreiding een Galoisuitbreiding is. Een eindige lichaamsuitbreiding is bijvoorbeeld precies Galois als het een ontbindingslichaam van een irreducibel separabel polynoom over het grondlichaam is. In het voorbeeld hierboven is Q( 2) het ontbindingslichaam van het irreducibele separabele polynoom X 2 2 over Q. We bespreken nu een belangrijke Galoisuitbreiding, namelijk de absolute Galoisuitbreiding van een lichaam. Daar hebben we de volgende definitie voor nodig. Definitie Laat L en M twee algebraïsche lichaamsuitbreidingen van een lichaam K zijn, ingebed als deellichamen van een vastgekozen algebraïsche afsluiting K van K. Dan is het compositum LM het kleinste deellichaam van K dat zowel L als M bevat. De separabele afsluiting K s van K in K is het compositum van alle eindige separabele lichaamsuitbreidingen van K die bevat zijn in K. De algebraïsche en separabele afsluiting van een lichaam zullen we later nodig hebben. Men kan bewijzen dat de lichaamsuitbreiding K s : K altijd een Galoisuitbreiding is. De verkregen Galoisgroep Γ(K s : K) noemt men de absolute Galoisgroep van K. Voor het geval K = Q blijkt deze groep onvoorstelbaar ingewikkeld te zijn. Het is niet bekend hoe deze groep er precies uitziet. Aan het einde van het laatste hoofdstuk zullen we hier kort op terug komen. Met behulp van de definitie van een Galoisuitbreiding kunnen we de hoofdstelling van de Galoistheorie formuleren voor eindige lichaamsuitbreidingen. Om deze stelling te kunnen bewijzen is extra voorbereiding nodig, zie daarvoor bijvoorbeeld de syllabus Algebra 3 ([6]) of het eerste hoofdstuk in [10]. Hoofdstelling Zij L : K een eindige Galoisuitbreiding met Galoisgroep G. afbeeldingen M H := Aut(L:M) en H M := L H definiëren een inclusie-omkerende bijectie tussen deellichamen K M L en ondergroepen H G. De lichaamsuitbreiding M : K is een Galoisuitbreiding dan en slechts dan als H een normale ondergroep van G is. In dit geval geldt Γ(M :K) = G/H. Er is ook een algemenere versie van deze hoofdstelling voor mogelijk oneindige lichaamsuitbreidingen, zie Hoofdstelling Hierin wordt een inverse limiet G van een systeem van groepen {G α : α Λ} gedefinieerd. In het geval dat elke groep G α eindig is, noemt men de verkregen groep G een pro-eindige groep. Een voorbeeld hiervan is de ring Z p van p-adische gehele getallen binnen de completering Q p van Q ten opzichte van de p- adische metriek voor een priemgetal p. De ring Z p is het inverse limiet van het systeem {Z/p n Z : n N}. We zullen in het derde hoofdstuk kort op dit voorbeeld terugkomen. Vervolgens blijkt dat de Galoisgroep van een oneindige Galoisuitbreiding als het inverse limiet van het systeem bestaande uit de Galoisgroepen van eindige tussenuitbreidingen die Galois zijn gezien kan worden. Dit betekent dat elke oneindige Galoisgroep in het bijzonder een pro-eindige groep is. Daarna wordt elke groep G α voorzien van de discrete topologie, zodat het inverse limiet G een gesloten ondergroep van het product α Λ G α wordt. 10 De

13 Nadat Szamuely deze uitspraken bewijst en nog een aantal eigenschappen van proeindige groepen afleidt, formuleert en bewijst hij de hoofdstelling van de Galoistheorie voor willekeurige, en dus mogelijk oneindige Galoisuitbreidingen, zie [10]. Hoofdstelling Laat M een tussenlichaam van de Galoisuitbreiding L : K zijn. Dan is Γ(L : M) een gesloten ondergroep van Γ(L : K). Bovendien induceren de afbeeldingen M H := Aut(L:M) en H M := L H een inclusie-omkerende bijectie tussen deellichamen K M L en ondergroepen H G. De lichaamsuitbreiding M : K is een Galoisuitbreiding dan en slechts dan als Γ(L : M) een normale ondergroep van Γ(L : K) is. In dit geval bestaat er bovendien een natuurlijk isomorfisme Γ(M : K) = Γ(L : K)/Γ(L : M). Nu we de nodige Galoistheorie paraat hebben, kunnen we de link beschrijven tussen Galoistheorie en overdekkingstheorie. Dit zal uitmonden in een herformulering van de hoofdstelling van de Galoistheorie in termen van overdekkingen. We zullen onze aandacht richten op vrije en proper discontinue groepswerkingen. Definitie Zij G een groep die werkt op een verzameling X. De groepswerking heet vrij als er voor elke g G ongelijk aan het eenheidselement geen enkele x X bestaat met g x = x. Definitie Zij G een groep die continu van links werkt op een topologische ruimte Y. De werking van G heet proper discontinu als elk punt y Y een open omgeving U heeft zodat de open verzamelingen gu paarsgewijs disjunct zijn voor alle g G. Merk op dat elke propere discontinue werking ook vrij is. De reden dat we de definitie opnemen is terug te zien in het bewijs van Lemma De volgende definitie zal de rol van Galoisuitbreiding op zich nemen in de herformulering van Hoofdstelling Definitie Een overdekking p : Y X heet Galois als Y wegsamenhangend is en als Aut(Y X) transitief werkt op elke vezel van p. Opmerking. De volgende uitspraken zijn equivalent aan die in de bovenstaande definitie: de groep Aut(Y X) werkt transitief op één vezel van p; het beeld van de fundamentaalgroep van Y onder de afbeelding p is een normale ondergroep van de fundamentaalgroep van X; beschouw Y π p Y/ Aut(Y X) X, waarbij de afbeelding p = p π gefactoriseerd is via de quotiëntafbeelding π, dan is p een homeomorfisme. Uit Hoofdstelling 1.23 blijkt waarom we spreken van een Galoisoverdekking. Eerst zien we dat de werking van de groep van dektransformaties van een overdekking proper discontinu is precies als de overdekking Galois is. Om bovenstaande definities in werking te zien geven we in dit geval geen voorbeeld, maar het bewijs van onderstaande lemma s. 11

14 Lemma Zij p : Y X een Galoisoverdekking. Dan is de werking van de groep van dektransformaties op Y proper discontinu. Bewijs. Zij h G := Aut(Y X) een dektransformatie en stel dat er een y 0 Y is zodanig dat h(y 0 ) = y 0. Laat nu y Y een willekeurig punt zijn en laat α : [0, 1] Y een pad van y 0 naar y zijn. Het volgt dat zowel α als h α twee lifts zijn van het pad p α in X met beginpunt y 0. Aangezien p een overdekkingsafbeelding is volgt uit Lemma 1.4 dat h(y) = y, dus h is de identiteit op Y. Dit bewijst dat de werking van G op Y vrij is. Laat opnieuw y 0 een punt in Y zijn en definieer x := p(y 0 ). Aangezien p een overdekkingsafbeelding is, bestaat er een open omgeving U van x zodat p 1 (U) = V y, y p 1 (x) waarbij de V y paarsgewijs disjunct en onder p homeomorf met U zijn. We beschouwen de omgeving V := V y0 van y 0 en we kiezen g, h G. Merk op dat g en h de omgeving V afbeelden op een van de componenten in p 1 (U), dus de beelden van V onder g en h zijn ofwel disjunct ofwel gelijk. Stel dat g(u) = h(u). Dan volgt dat g(y 0 ) = h(y 0 ) en omdat de werking van G op Y vrij is, betekent dit dat h 1 g = id Y, dus g = h. Dit bewijst dat de werking van G op Y proper discontinu is. Voor de omkering van de bewering hierboven hebben we het volgende lemma. Lemma Zij G een groep die proper discontinu van links werkt op een topologische ruimte Y. Dan is de projectie p G : Y Y/G een Galois overdekking en de groep van dektransformaties van deze overdekking is precies gelijk aan G. Bewijs. Laat y een punt in Y zijn en schrijf ȳ voor de baan van y onder de werking van G op Y. Aangezien de werking van G op Y proper discontinu is, bestaat er een omgeving U van y zodanig dat alle g(u) voor g G paarsgewijs disjunct zijn. Bovendien vormt {y U} een volledig stelsel representanten van p G (U), waaruit volgt dat p G een overdekkingsafbeelding is. Merk op dat de afbeelding p G de identiteit is, dus p G : Y Y/G is een Galoisoverdekking. Het is duidelijk dat elk element in G een dektransformatie is. Beschouw dus een dektransformatie h Aut(Y p G Y/G) en kies een punt y Y. Aangezien we met een Galoisoverdekking te maken hebben, bestaat er precies één element g G met g(y) = h(y). Er volgt uit Lemma 1.4 dat g = h op dezelfde wijze als in het vorige lemma. Dit bewijst dat G = Aut(Y p G Y/G). We zijn nu toe aan de beloofde herformulering van de hoofdstelling van de Galoistheorie in termen van overdekkingen. De rol van de Galoisgroep uit Hoofdstelling 1.15 wordt vervangen door een Galoisoverdekking, vandaar de naamgeving. Om de overeenkomsten tussen deze en de vorige formulering van de hoofdstelling van de Galoistheorie te herkennen eerst een definitie en een opmerking. 12

15 Definitie Zij p : Y X een Galoisoverdekking. Een overdekking q : Z X heet een tussenoverdekking van deze overdekking als Z samenhangend is en als er een afbeelding f : Y Z bestaat met q f = p. Opmerking. Als q : Z X een tussenoverdekking van p : Y X is, dan geldt Z = H\Y voor de ondergroep H := Aut(Y Z) van G := Aut(Y X). Andersom induceert de overdekking p : Y X voor elke ondergroep H van Aut(Y X) een canonieke overdekking p H : H\Y X. Hiermee kunnen we Hoofdstelling 1.15 herformuleren in termen van overdekkingen. Hoofdstelling Zij p : Y X een Galoisoverdekking met G de groep van dektransformaties. De afbeeldingen H Z := H\Y en Z H := Aut(Y Z) definiëren een inclusie omkerende bijectie tussen ondergroepen van H G en tussenoverdekkingen q : Z X van p : Y X. De afbeelding f : Y Z met q f = p is altijd een Galoisoverdekking. De overdekking q : Z X is Galois dan en slechts dan als H een normale ondergroep van G is. In dit geval geldt Aut(Z X) = G/H. We hebben gezien dat voor een geschikte topologische ruimte de fundamentaalgroep isomorf is met de groep van dektransformaties van de universele overdekking. Vervolgens zagen we een topologisch equivalent van de hoofdstelling van de Galoistheorie in termen van overdekkingen. Op deze manier hebben we een begin gemaakt met het leggen van een link tussen algebra aan de ene kant en topologie aan de andere kant. In het volgende hoofdstuk bestuderen we Riemannoppervlakken. Dit zijn speciale topologische ruimten die in de stelling van Belyi terugkomen. Bovendien wordt aan het einde van het volgende hoofdstuk de link tussen overdekkingstheorie voor Riemannoppervlakken en Galoistheorie zeer precies geformuleerd. 13

16 Hoofdstuk 2 Riemannoppervlakken Laten we even terug kijken op het vak Functietheorie, zie [11]. Hierbij hebben we functies bekeken die gedefinieerd zijn op het complexe vlak. De meest interessante functies waren de complex differentieerbare, oftewel holomorfe functies. Deze functies hadden bijzondere en vaak verrassende eigenschappen. Zo was elke holomorfe functies te schrijven als een machtreeks, oftewel analytisch, en omgekeerd. We breidden onze studie uit naar de Riemannsfeer P 1 en gebroken lineaire transformaties. Daarna stuitten we op meerwaardige functies, zoals de wortelfunctie of de logaritme. Om deze functies te kunnen bestuderen moesten we een holomorfe tak kiezen, zoals de hoofdwaarde van de wortelfunctie. Daarna vervolgden we onze weg richting de stelling van Cauchy en bewezen ondertussen prachtige resultaten zoals de stelling van Liouville en de stelling van Weierstrass. Wij willen hier echter even stilstaan en ons afvragen of het echt nodig is een holomorfe tak te kiezen. Immers, door ons te beperken op één tak verliezen we informatie over de andere takken van deze functie. Om deze informatie te kunnen behouden, willen we het domein van de meerwaardige functie uitbreiden om hem enkelwaardig te maken. In het geval van de wortelfunctie zouden we bijvoorbeeld twee kopieën van het complexe vlak op een juiste manier kunnen verbinden zodat de meerwaardige wortelfunctie op dit nieuwe domein een enkelwaardige holomorfe functie wordt. Dit recept is precies hetgeen dat leidt tot het concept Riemannoppervlak. Dit zijn topologische ruimtes die we in plaats van C als domein kunnen nemen om een meerwaardige functie enkelwaardig te maken. Op deze manier zijn Riemannoppervlakken tot leven gekomen, maar sindsdien zijn ze een studieobject op zich geworden. We zullen in dit hoofdstuk het bovenstaande verhaal eigenlijk in omgekeerde richting bespreken. Allereerst definiëren we Riemannoppervlakken en citeren we een aantal topologische eigenschappen. Dit is om een beeld te vormen van de ruimtes waar we mee te maken hebben. Vervolgens bestuderen we de analyse op Riemannoppervlakken en veralgemeniseren een aantal kernresultaten uit de complexe analyse. Tot slot bekijken we hoe Riemannoppervlakken op een natuurlijk manier ontstaan uit algebraïsche functies, zoals Riemann naar deze ruimten op zoek ging. Om de stelling van Belyi te kunnen formuleren en bewijzen hebben we een goed begrip van Riemannoppervlakken nodig. In dit hoofdstuk zijn dus uitgebreide voorbeelden opgenomen om bij de lezer een goede intuïtie te creëeren omtrent dit onderwerp. 14

17 2.1 Compacte Riemannoppervlakken Zoals gezegd bestuderen we Riemannoppervlakken eerst als topologisch object op zich. Het blijkt dat compacte Riemannoppervlakken heel mooi te classificeren zijn. We zullen natuurlijk voldoende voorbeelden bespreken, maar we werken eerst toe naar de definitie van een Riemannoppervlak. De volgende definitie is daarbij onmisbaar. Definitie 2.1. Zij X een Hausdorff ruimte. Een complexe atlas op X is een open overdekking U = {U i i I} van X samen met afbeeldingen φ i : U i C zodanig dat U i homeomorf wordt afgebeeld op een open verzameling van C en dat voor elk paar (i, j) I 2 de afbeelding φ j φ 1 i een holomorfe afbeelding is. De afbeeldingen φ i heten complexe kaarten. Voor een Hausdorff ruimte zijn in het algemeen meerdere complexe atlassen mogelijk, als er tenminste één bestaat. Vaak kunnen we complexe atlassen als gelijk beschouwen en om dit precies te maken hebben we de volgende definitie. Definitie 2.2. Twee complexe atlassen U = {U i i I} en U = {U i i I } heten equivalent als de vereniging, gedefinieerd door alle U i en U i te nemen als overdekking van X samen met alle complexe kaarten, ook een complexe atlas is. Het is na te gaan dat equivalentie van atlassen inderdaad een equivalentierelatie is, dus we mogen spreken over equivalentieklassen. Hiermee kunnen we het begrip Riemannoppervlak definiëren. Definitie 2.3. Een Riemannoppervlak is een Hausdorff ruimte samen met een equivalentieklasse van complexe atlassen. Laten we direct een aantal klassieke voorbeelden van Riemannoppervlakken bekijken. Deze voorbeelden zijn niet van eigen hand, zie bijvoorbeeld [4] of [10]. Voorbeeld 2.4. Het meest triviale voorbeeld van een Riemannoppervlak is natuurlijk het complexe vlak C zelf met als overdekking U = {C} en als enige complexe kaart de identiteit id : C C. Op eenzelfde wijze is elke open deelverzameling van C een Riemannoppervlak. Voor een minder triviaal voorbeeld beschouwen we de Riemannsfeer P 1 van C. Voorbeeld 2.5. We definiëren P 1 := C { } voor een punt dat niet in C ligt. We leggen de volgende topologie op deze ruimte: een verzameling U P 1 is open als U C een open deelverzameling van C is in de Euclidische topologie of als het complement U c van U compact is in C. Allereerst gaan we na dat P 1 hiermee een Hausdorff ruimte is. Laat x en y twee verschillende punten in P 1 zijn. Als beide punten in het complexe vlak liggen, dan vinden we in het complexe vlak C disjuncte open omgevingen U van x en V van y aangezien C een Hausdorff ruimte is. Per definitie van de topologie op P 1 zijn deze verzamelingen ook open in P 1. Stel nu, zonder verlies van algemeenheid, dat x C en 15

18 y =. Kies nu U = B(x, 1) en laat V := (P 1 \U). Dan zijn U en V disjunct. Bovendien is U open in C en dus in P 1 en daarnaast is V c = U compact en dus is V open in P 1. Dus P 1 is een Hausdorff ruimte. Definieer nu U 1 := C en U 2 := C\{0} { } en definieer complexe kaarten { 0 als z =, φ 1 : U 1 C : z z en φ 2 : U 2 C : z 1/z anders. We zien dat zowel φ 1 φ 1 2 als φ 2 φ 1 1 op U 1 U 2 = C\{0} gelijk zijn aan de afbeelding z 1/z en deze afbeelding is biholomorf. Dus P 1 is een Riemannoppervlak. We zullen ons later richten op de analytische aspecten van Riemannoppervlakken. Voordat we dit doen zullen we de topologische eigenschappen van compacte Riemannoppervlakken bespreken, om de lezer zo een idee te geven over de topologische ruimten waar we mee te maken krijgen. Stelling 2.6. Elk compact Riemannoppervlak is homeomorf met een torus met g gaten. Het getal g heet de genus van het Riemannoppervlak. Voorbeeld 2.7. De Riemannsfeer P 1 uit het voorbeeld hierboven staat ook bekend als de eenpuntscompactificatie van C en is een voorbeeld van een Riemannoppervlak met genus 0. Neem maar een open overdekking U = {U i i I} van P 1. Dan is er een zekere j I zodanig dat U j. Verwijder nu uit alle U i met i j eventueel het punt en verkrijg zo een overdekking {Ũi i I, i j} van U c bestaande uit open verzameling uit C. Vanwege de topologie op P 1 is U c j een compacte verzameling in C, dus er bestaan eindig veel i 1,..., i n I zodat U c j U i1 U in. Dus we hebben een eindige deeloverdekking {U j, U i1,..., U in } van P 1 gevonden. Dus P 1 is een compact Riemannoppervlak. Het is duidelijk dat de genus g P 1 van P 1 gelijk is aan g P 1 = 0. Een manier om een Riemannoppervlak met genus g te krijgen is door een regelmatig 4g-gon op de juiste manier in elkaar te plakken. Zo hebben we bij topologie gezien hoe we van een vierkant een torus kunnen maken door de zijden van het vierkant op de juiste manier aan elkaar te plakken, zie ook Voorbeeld 2.10 hieronder. Ook kun je uit een bol het inwendige van g disjuncte vierkanten wegsnijden en de overgebleven randen van deze vierkanten identificeren zoals de randen van het eenheidsvierkant bij de constructie van de torus. Elk weggesneden vierkant zorgt zo voor een hol handvat aan de bol vast, dus je krijgt een torus met g gaten. Merk op dat we de genus van een Riemannoppervlak als invariant van deze ruimte kunnen zien. Een andere invariant van een compact Riemannoppervlak is de Eulerkarakteristiek. In het geval van een overdekking van Riemannoppervlakken blijken deze aan een zeer bruikbare relatie te voldoen, namelijk de Riemann-Hurwitz formule. Om dit resultaat te kunnen formuleren hebben we echter kennis nodig over afbeeldingen tussen Riemannoppervlakken, dus daar komen we later op terug. Eerst bekijken we de Eulerkarakteristiek van een Riemannoppervlak, waarvoor we het Riemannoppervlak moeten trianguleren. 16

19 Definitie 2.8. Zij X een compact Riemannoppervlak en schrijf voor de eenheidsdriehoek in het vlak R 2. Een triangulatie van X bestaat uit een eindig aantal gesloten deelverzamelingen T = {T 1,..., T n } van X en homeomorfismen φ i : T i, die aan de volgende eigenschappen voldoen: (i) de verzameling T is een overdekking van X; (ii) de doorsnede van twee verschillende elementen uit T is ofwel leeg, ofwel het beeld van een hoekpunt of zijde van onder een afbeelding φ i. Opmerking. De elementen van T worden ook wel de vlakken van de triangulatie genoemd. De beelden van de hoekpunten en zijden van onder de homeomorfismen φ i noemt men, respectievelijk, de hoekpunten en zijden van de triangulatie. Men kan nu bewijzen dat elk compact Riemannoppervlak inderdaad een triangulatie heeft, zie bijvoorbeeld [10]. Met behulp van een triangulatie kunnen we eenvoudig de Eulerkarakteristiek van het Riemannoppervlak uitrekenen. Definitie 2.9. Zij X een compact Riemannoppervlak en T een triangulatie van X. Schrijf s 0, s 1 en s 2 voor, respectievelijk, het aantal hoekpunten, zijden en vlakken van T. Het getal χ X := s 0 s 1 + s 2 heet de Eulerkarakteristiek van X. Met behulp van overdekkingstheorie is eenvoudig na te gaan dat de Eulerkarakteristiek van een ruimte onafhankelijk is van de gekozen triangulatie. De Eulerkarakteristiek is dus inderdaad een invariant van een compact Riemannoppervlak, zie [10]. Voorbeeld We zullen de Eulerkarakteristiek van de torus T berekenen. Eerst voeren we de constructie van een torus uit een vierkant uit zoals we bij het vak Topologie hebben gezien. Beschouw het eenheidsvierkant I I C en leg hier de volgende equivalentie relatie op: voor x, y I I geldt x y dan en slechts dan als x y = 1. We identificeren dus de linkerkant en rechterkant van het vierkant met elkaar alsmede de bovenkant en de onderkant van het vierkant. Zo verkrijgen we een cilindermantel en vervolgens een torus, zie ook Figuur 2.1 hieronder. Figuur 2.1: De constructie van een torus uit een vierkant. Om direct een triangulatie van de torus te vinden lijkt vrij lastig, maar we kunnen de constructie van de torus gebruiken. Eerst verdelen we het vierkant I I in vier gelijke vierkanten door elk van de vier zijden in tweeën te delen en daarna trekken we de diagonalen van het hele vierkant. Zo krijgen we een triangulatie van I I in 8 even grote driehoeken. Als we vervolgens de identificaties op het getrianguleerde vierkant toepassen vinden we inderdaad een triangulatie van de torus. Immers, er worden geen identificaties 17

20 binnen dezelfde driehoek gemaakt. Het aantal hoekpunten, zijden en vlakken in de torus is respectievelijk gelijk aan 4, 12 en 8. Dus de Eulerkarakteristiek van de torus T is gelijk aan χ T = = 0. Door dit voorbeeld te generaliseren kan men afleiden dat de Eulerkarakteristiek χ X van een compact Riemannoppervlak X gelijk is aan χ X = 2 2g X, waarbij g X de genus van het Riemannoppervlak X is. Merk op dat we voor de constructie van de torus ook het complexe vlak C zouden kunnen uitdelen naar de equivalentierelatie om zo de universele overdekking C T van de torus te krijgen. Het blijkt dat er slechts drie Riemannoppervlakken kunnen optreden als universele overdekking, namelijk het complexe vlak C, de Riemannsfeer P 1 of het bovenhalfvlak, dat homeomorf is met de open eenheidsschijf D in het complexe vlak. We zullen later zien dat als we een geschikte overdekking p : Y X van compacte Riemannoppervlakken hebben, dan kunnen we de genus van Y uitdrukken in de genus van X. Dit resultaat staat bekend als de Riemann-Hurwitz formule en is een bruikbaar gereedschap om dergelijke overdekkingen te bestuderen. We sluiten deze paragraaf over de topologie van compacte Riemannoppervlakken af met de presentatie van de fundamentaalgroep, zie ook [10]. Stelling Zij g > 0 en beschouw een regelmatig 4g-gon waarvan de randen met de klok mee van labels a 1, b 1, a 1 1, b 1 1,..., a g, b g, a 1 g, b 1 g zijn voorzien. Het identificeren van a i met a 1 i en b i met b 1 i, rekening houdend met de oriëntatie, geeft een compact Riemannoppervlak X van genus g. De fundamentaalgroep van X heeft een presentatie van de vorm π 1 (X, x) = a 1, b 1,..., a g, b g [a 1, b 1 ] [a g, b g ] = 1, waarbij [a i, b i ] zoals gebruikelijk de commutator a i b i a 1 i b 1 i aanduidt. Uit de bovenstaande stelling volgt dat als we uit een compact Riemannoppervlak X van genus g = g X een eindig aantal punten weglaten, we een dergelijke presentatie krijgen voor de fundamentaalgroep, zie [10]. Stelling Beschouw het complement van n + 1 punten x 0,..., x n in een compact Riemannoppervlak X van genus g. Laat γ i de lus met basispunten x zijn die om x i heen draait. Dan geldt de volgende presentatie voor de fundamentaalgroep: π 1 (X\{x 0,..., x n }, x) = a 1, b 1,..., a g, b g, γ 0,..., γ n [a 1, b 1 ] [a g, b g ] γ 0 γ n = 1. In het laatste hoofdstuk zullen we de theorie omtrent Riemannoppervlakken veralgemeniseren. We bespreken in paragraaf 4.5 de meetkundige fundamentaalgroep, waar de bovenstaande presentatie zal terugkeren. 2.2 Analyse op Riemannoppervlakken We hebben nu een beeld van wat Riemannoppervlakken zijn en we weten zelfs precies dat elk compact Riemannoppervlakken voorgesteld kan worden als een bol met een eindig 18

21 aantal handvaten. We duiken nu in de analytische kant van de theorie over Riemannoppervlakken, waar we ons beperken tot samenhangende Riemannoppervlakken. Eerst bespreken we holomorfe afbeeldingen tussen Riemannoppervlakken en later zullen we zien hoe we de Riemann-Hurwitz formule kunnen gebruiken. Aangezien Riemannoppervlakken per definitie een complexe structuur hebben speelt de volgende definitie de hoofdrol. Definitie Een continue afbeelding f : X Y tussen twee Riemannoppervlakken X en Y heet holomorf als voor elk paar kaarten φ 1 : U 1 V 1 op X en φ 2 : U 2 V 2 op Y met f(u 1 ) U 2 de afbeelding φ 2 f φ 1 1 : V 1 V 2 holomorf is in de gebruikelijke zin. Opmerking. Als een holomorfe afbeelding bijectief is en zijn inverse is ook holomorf, dan heet de betreffende afbeelding biholomorf. Twee Riemannoppervlakken heten isomorf als er een biholomorfe afbeelding tussen bestaat. Als het Riemannoppervlak Y zoals in bovenstaande definitie het complexe vlak C is, dan spreken we van een holomorfe functie. De verzameling van alle holomorfe functies op X vormt een ring en wordt genoteerd met O(X). Een belangrijk resultaat waar veel bewijzen op voortbouwen is de eenduidigheidsstelling, waarvan we een ook versie bij het vak Functietheorie hebben gezien, zie [11]. Stelling Stel dat X en Y twee Riemannoppervlakken zijn, f 1, f 2 : X Y twee holomorfe afbeeldingen en (a n ) n N X een rij punten in X die een limietpunt a X heeft. Als de twee functies samenvallen op deze rij punten, dan zijn f 1 en f 2 identiek gelijk. Voor het bewijs van dit resultaat verwijzen we naar [4]. Een mooi gevolg van deze stelling is dat we aan elke niet-constante holomorfe afbeelding f : X Y tussen Riemannoppervlakken een injectief ringhomomorfisme f : O(Y ) O(X) : φ φ f kunnen toekennen. Immers, als φ en ψ twee holomorfe functies op Y zijn zodanig dat f φ = f ψ, dan zijn φ en ψ gelijk op het beeld f(x) van f. Aangezien f niet-constant is en X samenhangend, moet f(x) een samenhangende verzameling zijn die uit meer dan een punt bestaat. Uit bovenstaande stelling volgt nu dat φ en ψ identiek gelijk zijn, dus f is injectief. Het is eenvoudig na te gaan dat f een ringhomomorfisme is. Een belangrijk resultaat dat direct volgt uit het gelijknamige resultaat uit de complexe analyse is Riemann s stelling van ophefbare singulariteiten, zie [4] voor een bewijs. Stelling Zij U een open deelverzameling van een Riemannoppervlak en laat a U. Als een functie f O(U\{a}) begrensd is in een omgeving van a, dan kan f uniek worden uitgebreid naar een functie f O(U). Als de functie f zoals in het resultaat hierboven niet begrensd zou zijn in een omgeving van a, dan spreken we, net als in de complexe analyse, van een pool. Een holomorfe functie waarvan de polen geïsoleerd zijn heet een meromorfe functie. De verzameling van alle meromorfe functies op een Riemannoppervlak X vormt een C-algebra en wordt genoteerd met M(X). We kunnen elke meromorfe functie op een Riemannoppervlak zien als holomorfe afbeelding naar de Riemannsfeer P 1 door de polen van f af te beelden op P 1. Andersom kan elke holomorfe afbeelding naar de Riemannsfeer, zolang deze niet identiek gelijk is aan, 19

22 gezien worden als meromorfe functie, aangezien het inverse beeld van slechts geïsoleerde punten bevat. Zie [4] voor een bewijs van deze correspondentie. We zullen nu het gedrag van holomorfe afbeeldingen bestuderen. Het blijkt dat elke niet-constante holomorfe afbeelding zich lokaal gedraagt als z k voor zekere k. Dit getal k zal een belangrijke rol gaan spelen in overdekkingen van Riemannoppervlakken. Het bewijs van onderstaande stelling is te vinden in [4] en de eenduidigheidsstelling van hierboven vormt de crux van het bewijs. Hoofdstelling Laat X en Y twee Riemannoppervlakken zijn en f : X Y een niet-constante holomorfe afbeelding. Zij x X en definieer y := f(x). Er bestaan open omgevingen U van x en V van y, complexe kaarten φ : U C en ψ : V C en een getal e x 1 met de volgende eigenschappen: (i) φ(x) = 0 en ψ(y) = 0; (ii) f(u) V ; (iii) de afbeelding F := ψ f φ 1 : φ(u) ψ(v ) wordt gegeven door F (z) = z ex voor alle z φ(u). Opmerking. Het getal e x uit bovenstaande stelling heet de multipliciteit waarmee f de waarde y aanneemt in het punt x en dit getal is onafhankelijk van de gekozen kaarten en omgevingen in bovenstaande stelling. Bovendien weten we dat de afbeelding z z k op een schijfje rondom 0 een k op 1 afbeelding is. Met bovenstaande stelling volgt dus dat er voor elke open omgeving U van een punt x X open omgevingen Ũ U van x en V van y = f(x) bestaan zodat voor elk punt c V \{y} de verzameling f 1 (c) Ũ precies e x elementen bevat. Deze laatste opmerking vertelt ons dat f zich lokaal niet injectief gedraagt rond punten x X met e x > 1. Een dergelijk punt heet een vertakkingspunt van de afbeelding f en het getal n e x heet in dit geval de vertakkingsindex van x. We noteren de verzameling van vertakkingspunten van f met S f. De stelling hierboven vertelt in feite zo precies hoe holomorfe afbeeldingen zich gedragen, dat hier vrij eenvoudig een aantal zeer relevante stellingen uit de complexe analyse uit volgen. Om de kracht van deze stelling te laten zien zijn hieronder een aantal zeer mooie resultaten met verrassend korte bewijzen opgenomen. Vergelijk bijvoorbeeld het bewijs van de open afbeeldingstelling voor Riemannoppervlakken hieronder maar eens met de gelijknamige stelling uit de functietheorie, zie [11]. Gevolg Elke niet-constante holomorfe afbeelding f : X Y tussen Riemannoppervlakken X en Y is een open afbeelding. Bewijs. Zij U X een open verzameling en schrijf U = x X {x}. Neem nu omgevingen van x en f(x) zodat we bovenstaande stelling kunnen toepassen. Doorsnijdt de gevonden omgeving van x met U en merk op dat we voor deze nieuwe omgeving U 0 van x nog steeds bovenstaande stelling kunnen toepassen. Aangezien de afbeelding z z k voor elke k een open afbeelding is en omdat complexe kaarten lokale homeomorfismen zijn volgt het resultaat uit bovenstaande stelling. 20