Statistische berekening van de karakteristieke geluidwering van gevels

Transcriptie

1 23334 Bouwfysica 98/ :20 Pagina 10 Statistische berekening van de karakteristieke geluidwering van gevels ir. F.E. van Boven MBT te Ede Samenvatting Sinds de invoering van het Bouwbesluit worden er prestatieeisen gesteld aan gebouwen en gebouwconstructies. Akoestische prestaties worden mede bepaald door de stochastische eigenschappen van bouwmaterialen. Op grond van toegepaste statistiek is een voorstel uitgewerkt voor een statistische berekening van de karakteristieke geluidwering van een uitwendige scheidingsconstructie. De statistische berekeningsmethode brengt na toepassing van een bestaand fysisch model de stochastische eigenschappen van bouwmaterialen meer op maat in rekening. Uit een Monte Carlo experiment blijkt dat met deze methode het stochastische karakter van de karakteristieke geluidwering betrouwbaar kan worden benaderd voor een vlakke gevel. Voor het uitvoeren van berekeningen op statistische grondslag is de beschikbaarheid over statistische gegevens van bouwakoestische prestaties sec een eerste vereiste. Inleiding De karakteristieke geluidwering van een te bouwen uitwendige scheidingsconstructie (gevel) moet op grond van het Bouwbesluit aan een prestatie-eis voldoen. Formeel ligt de prestatie door een meting vast [1]. Om tijdens de ontwerpfase inzicht te krijgen in de benodigde voorzieningen wordt de karakteristieke geluidwering voorspeld met een berekening. Momenteel zijn hiertoe twee methoden voorhanden, de Herziening Rekenmethode Geluidwering Gevels of methode VROM [2] en de Rekenmethode gevels GGG97, kortweg GGG97 genoemd [3]. Beide methoden streven een bepaalde (verschillende) statistische berekeningsnauwkeurigheid na, welke op verschillende wijze in rekening wordt gebracht. Recent gepubliceerde gegevens over controlemetingen geven aan dat de streefnauwkeurigheid flink kan worden onderschreden. Hierbij speelden uitvoeringsaspecten soms een grote rol [4]. In een eerder artikel is op de beginselen van toegepaste statistiek ingegaan. Met name de definitie van de onbetrouwbaarheidsdrempel α en de structuur en opzet van een statistische analyse stonden hierin centraal [5]. De wijze waarop statistische afwijkingen van producteigenschappen bij de voorspelling van de karakteristieke geluidwering van gevels in rekening wordt gebracht is onderwerp van dit artikel. Na een korte statistische bespreking van de huidige twee rekenmethoden volgt een theoretische uitwerking van een rekenmethode op statistische grondslag. De betrouwbaarheid van de statistische methode is met een statistisch experiment (Monte Carlo) voor een vlakke gevel onderzocht. Dit artikel is beperkt tot ééngetalsaanduidingen. Vanwege deze beperking is soms afgeweken van de procedure zoals beschreven in NEN 5077 [1]. Statistische principes van de twee bestaande rekenmethoden De basis van de bepaling van de karakteristieke geluidwering van een gevel vormt het meten van de luchtgeluiddrukniveaus aan weerszijden van de scheidingsconstructie. Om de gedachten te bepalen wordt begonnen met de bepalingsmethode uit NEN 5077 [1] (zie figuur 1). Figuur 1: Bepalen van luchtgeluiddrukniveaus aan weerszijden van de scheidingsconstructie Uit de gemeten luchtgeluiddrukniveaus buiten L bu en binnen L bi en de nagalmtijd T volgt de karakteristieke geluidwering G A;k (vereenvoudigd) rechtstreeks uit: G A;k = L bu - L bi + 10 log {6*T*S u /V} - C r (1) Hierbij is S u de oppervlakte van de uitwendige scheidingsconstructie, V het netto volume van de ontvangruimte en C r een herleidingsterm voor de aard en structuur van de gevel en de geometrie van de situatie volgens [1]. Voor de goede orde zij vermeld dat formule (1) niet overeenkomstig de procedure zoals beschreven in [1] is. De luchtgeluidisolatie R A bij alzijdige inval van een uitwendige scheidingsconstructie is gedefinieerd als [3]: R A = L bu - L bi + 10 log S u /A (2) Hierbij is A 2 de naar vierkante meters open raam omgerekende absorberende oppervlakte van de ontvangruimte. De berekening van de karakteristieke geluidwering G A;k als ééngetalsaanduiding volgt uit combinatie van formule (1) en (2): G A;k = R A C (3) Hierbij is C een correctieterm, waarmee formule (3) wordt afgestemd op de term C r uit formule (1). Voor een statistische beschouwing van de beide rekenmethoden is het in de eerste plaats noodzakelijk in formule (3) onderscheid te maken naar stochastische en deterministische grootheden. Vanuit statistisch oogpunt kan de correctieterm voor de verdeling van het geluidniveau over de gevel als deterministisch worden beschouwd (zie ook kader 1 uit [5]). Bij de correctieterm voor de gevelstructuur wordt veel spreiding in meetresultaten waargenomen, zie [6]. In dit artikel is de gevelstructuurfactor wel als partieel stochastisch beschouwd, doch in de berekeningen niet als stochast meegenomen. Het is namelijk plausibel om naast de meetonnauwkeurigheid bij het meten van de gevelstructuurfactor de reflectie van gevelmaterialen stochastisch te veronder- 10 BOUWFYSICA, VOL. 10, 1998, NO. 3

2 23334 Bouwfysica 98/ :20 Pagina 11 stellen. Omdat de meetonnauwkeurigheid overall zal worden meegenomen en de variantie van de reflectiefactor naar verwachting is te verwaarlozen, is de berekening van de karakteristieke geluidwering G A;k daarom voor een statistische evaluatie uiteindelijk te vereenvoudigen tot: G A;k = R A - 3 (4) Analoog aan de probleemanalyse van het genormeerde luchtgeluiddrukniveauverschil D nt uit [5] is ook in formule (4) onderscheid mogelijk naar de prestatie sec, de meetonnauwkeurigheid en het gemeten resultaat. De statistische principes van beide bestaande methoden [2 en 3] wordt nu op basis van formule (4) besproken. In de Herziening Rekenmethode Geluidwering Gevels, 1989 [2] wordt het gemiddelde van formule (4) berekend. Alleen het glas bevat een extra veiligheidsmarge. Hierop wordt overall een veiligheidsmarge van 1 db(a) in rekening gebracht zodat globaal 75% van de situaties bij metingen aan de eis zal voldoen [2]. Indien de karakteristieke geluidwering normaal verdeeld wordt verondersteld met onderling onafhankelijke elementen, betekent dit dat in [2] met een standaardafwijking voor de karakteristieke geluidwering wordt gerekend van ongeveer σ GA;k = 1,5 db(a). Kieren worden door middel van een globale kierterm in rekening gebracht. Of deze term een veiligheidsmarge bevat is niet duidelijk. Bij de Rekenmethode gevels GGG97 [3] wordt voor het glas en de ventilatievoorziening (rooster of suskast) een veiligheidsmarge van tenminste 1,5 db(a) aangehouden. Kieren worden meer gedetailleerd in rekening gebracht. Voor kierdichtingsprofielen in houten draaiende delen wordt rekening gehouden met een kiermaatafwijking van 3 mm ten opzichte van de zogenaamde nominale of ontwerp spleetbreedte tussen draaiend deel en kozijn. De overige elementen worden als gemiddelde gehanteerd. In [3] wordt er naar gestreefd dat alle factoren welke de geluidwering van de gevel met meer dan 1 db(a) kunnen vergroten, respectievelijk verkleinen, in de rekenmethode moeten worden opgenomen. Verder is het streven er op gericht dat in minstens 90% van de gevallen de gemeten geluidwering groter of gelijk is aan de berekende geluidwering [3]. De twee rekenmethoden [2 en 3] zijn duidelijk betrokken op het berekenen van het te meten eindresultaat, te definiëren als G A;k,meting. Onderstaande tabel geeft de statistische verschillen tussen [2] en [3] nog eens samengevat weer. Tabel 1. Statistische verschillen tussen Herziening Rekenmethode [2] en Rekenmethode GGG97 [3]. Onderdeel Herziening Rekenmethode Rekenmethode GGG97 glas inclusief marge inclusief marge ventilatievoorziening gemiddelde inclusief marge kieren gemiddelde? inclusief marge eindwaarde inclusief overall marge geen extra marge definitie G A;k,meting G A;k,meting streefnauwkeurigheid globaal 75% minstens 90%, en factoren welke G A;k met meer dan 1 db(a) kunnen vergroten, respectievelijk verkleinen Statistische berekening van de karakteristieke geluidwering De opbouw en structuur van een statistische berekening is in de paragraaf Inhoud en consequenties van statistische beginselen in [5] behandeld. Voor de statistische berekening van de karakteristieke geluidwering kan het uitgangspunt van de berekening als volgt zijn gedefinieerd: P {G A;k,meting (L bu - L bi )} α (5) Bij het veronderstellen van de kansverdeling van de karakteristieke geluidwering dient allereerst onderscheid te worden gemaakt naar zogenaamde discrete en continue stochasten. Deze keuze kan worden genomen door analyse van de numerieke eigenschappen van de stochast (zie ook kader 1). Bij aanname van onderlinge onafhankelijkheid (een ééndimensionale kansverdeling, zie ook [5]) én het gebruik van onafgeronde waarden van G A;k,meting is het veronderstellen van een normale verdeling plausibel. Voor het bepalen van de parameters van G A;k,meting is gebruik gemaakt van een eerdere versie van [3] uit 1993, welke voor dit specifieke doel zeer geschikt is. Hierin wordt per gevelelement j een term T j bepaald. Aan de hand van de term T j en gegevens over de standaardafwijking σ R,prestatie per gevelelement is het gemiddelde µ GA;k,meting en de standaardafwijking σ GA;k,prestatie van de karakteristieke geluidwering te benaderen (zie verder kader 2). Op de standaardafwijking σ GA;k,prestatie moet de spreiding vanwege de meetonnauwkeurigheid σ GA;k,reproduceer nog overall worden gesuperponeerd om σ GA;k,meting te verkrijgen. Uitwerking van formule (5) met de gevonden parameters leidt vervolgens tot een voorspellingsondergrens voor G A;k,meting met onbetrouwbaarheidsdrempel α: G A;k,meting = µ GA;k,meting - Z 1-α * σ GA;k,meting (6) Hierbij staat Z voor de standaardnormale verdeling (Z 0,75 0,675 en Z 0,90 1,28). Voor µ GA;k,meting moet het gemiddelde van een bestaande fysische rekenmethode worden gebruikt. Experimentele verificatie met Monte Carlo Het doel van de hiervoor beschreven statistische berekeningsmethode is om met een bestaand fysisch model als uitgangspunt de statistische afwijkingen volgens wiskundige wetmatigheden op maat in rekening te brengen, uitgaande van een vastgelegde onbetrouwbaarheidsdrempel α. De statistische betrouwbaarheid van de twee besproken methoden en de statistische methode is getoetst door ééngetalsrekenresultaten voor een vlakke gevel ten opzichte van de gehanteerde onbetrouwbaarheidsdrempels te vergelijken. Door een vlakke gevel te beschouwen hebben correctietermen geen verstorende invloed op de statistische analyse en wordt het evalueren van resultaten zo doorzichtig mogelijk. De verschillende onbetrouwbaarheidsdrempels uit [2 en 3] zijn apart gehanteerd, om beide methoden zo consequent mogelijk te kunnen blijven toepassen. De statistische berekeningen zijn alle op het fysische principe van [3] gebaseerd. Onderstaande figuur toont de onderzochte gevel. BOUWFYSICA, VOL. 10, 1998, NO. 3 11

3 23334 Bouwfysica 98/ :20 Pagina 12 Met behulp van Monte Carlo simulatie (dit is kortweg het aselect of random genereren van getallen uit een kansverdeling) zijn de berekeningsresultaten op de onbetrouwbaarheidsdrempels getoetst. De simulatie is uitgevoerd in Excel 7.0 met een steekproefomvang n = In tegenstelling tot de analytische berekeningen is bij de Monte Carlo studie voor de kierterm nu wel een tweedimensionale kansverdeling gehanteerd. Dit komt overeen met resultaten uit [7] (zie verder kader 4). Uitgangspunt is een uniforme of homogene kansverdeling voor de kierbreedte tussen kozijn en draaiend deel, waarvan de kierterm dan weer afhankelijk is. Berekeningsresultaten. Figuur 2: Gevelaanzicht en doorsnede onderzochte gevel De karakteristieke geluidwering is achtereenvolgens berekend volgens de Herziening Rekenmethode Geluidwering Gevels, 1989 [2] met gebruik van een globale kierterm (-10 log K = 40 db(a) voor een goede enkele dichting en -10 log K = 50 db(a) voor een goede dubbele dichting). Met de Rekenmethode gevels GGG97, 1997 [3] met gebruik van klasse 1 en 2 voor de kierdichting en C sk,1 = 1,5 db(a). Evenals bij de berekening volgens [2] is geen correctie voor de positie van de ventilatievoorziening in de gevel meegenomen. De kierterm, welke volgens [7] van de spleetbreedte tussen kozijn en draaiend deel afhangt, is door rekenkundige transformatie als ééndimensionale kansverdeling gehanteerd. Gespecificeerde gegevens van de gevelopbouw en variant berekeningen zijn in kader 3 opgenomen. Voor de onbetrouwbaarheidsdrempel is respectievelijk α = 0,25 en 0,10 aangehouden. Onderstaande tabel geeft een overzicht van de berekende varianten. Tabel 2. Overzicht gevelopbouw berekende varianten Onderstaande tabel geeft de analytische resultaten van de karakteristieke geluidwering van de vlakke gevel volgens figuur 2 en varianten zoals in kader 3 omschreven. In kader 3 is ook een voorbeeldberekening voor variant 1 volgens VROM [2] en statistisch met α = 0,25 uitgewerkt. Tabel 3. Resultaten analytische berekeningen karakteristieke geluidwering G A;k per methode in db(a) methode/ variant VROM [2] statistisch (α = 0,25) GGG97 [3] statistisch (α = 0,1) 1 28,4 30,3 29,8 29,5 2 20,1 20,3 19,8 19,5 3 20,2 20,4 19,8 19,5 4 28,0 29,2 28,6 28,4 5 31,9 32,5 31,9 31,8 6 24,0 24,3 24,8 23,6 De berekende karakteristieke geluidwering in de tweede en derde kolom is op een onbetrouwbaarheidsdrempel α = 0,25 gebaseerd. De laatste twee kolommen op α = 0,10. De figuren 3 en 4 geven de met de Monte Carlo simulatie bepaalde onderschrijdingspercentages per berekeningsresultaat (uit tabel 3) voor respectievelijk een onbetrouwbaarheidsdrempel α = 0,25 en 0,10. variant glas houten borstwering ventilatie- kierdichting kozijn voorziening 1 6 mm 67*114 mm 200 mm beton geen voorziening enkel, V-120-L 2 6 mm 67*114 mm 200 mm beton q v = 20 dm 3 /sm enkel, V-120-L D ne,a,v = 26 db(a) 3 6 mm 67*114 mm 200 mm beton q v = 20 dm 3 /sm dubbel, 2*J-85-G D ne,a,v = 26 db(a) 4 6 mm 67*114 mm 200 mm beton q v = 22 dm 3 /sm dubbel, 2*J-85-G D ne,a,v = 40 db(a) mm 67*114 mm 200 mm beton q v = 22 dm 3 /sm dubbel, 2*J-85-G D ne,a,v = 40 db(a) mm 67*114 mm hellend dak q v = 22 dm 3 /sm dubbel, 2*J-85-G DH 2 D ne,a,v = 40 db(a) In de tabel is per onderdeel in vet de wijziging ten opzichte van de bovenstaande variant aangegeven. Variant 6 met het hellende dak is berekend omdat in [2] op pagina 78 staat vermeld dat de in het betreffende hoofdstuk gegeven waarden voor de geluidisolatie het gemiddelde van praktijkmetingen zijn. Figuur 3: Experimenteel bepaalde onderschrijdingspercentages voor de karakteristieke geluidwering van zes varianten berekend volgens de methode VROM [2] en statistisch met α=0,25. Discussie Door middel van Monte Carlo simulatie zijn twee bestaande methoden voor de berekening van de karakteristieke geluidwering van gevels met een voorstel op grond van toegepaste statistiek met elkaar vergeleken. Monte Carlo is een statistisch experiment welke wordt gebruikt om methoden op robuustheid (of betrouwbaarheid) te onderzoeken. Verschillen in uitvoering en dergelijke, die in de praktijk vaak grote uitschieters van de karakteristieke geluidwering bepalen, worden met Monte Carlo niet ondervangen. Hiertoe is deze methode ook niet bedoeld. De berekeningsresultaten zijn dus niet geschikt om te vergelijken met de in de inleiding aangehaalde resultaten uit [4]. 12 BOUWFYSICA, VOL. 10, 1998, NO. 3

4 23334 Bouwfysica 98/ :20 Pagina 13 Figuur 4: Experimenteel bepaalde onderschrijdingspercentages voor de karakteristieke geluidwering van zes varianten berekend volgens de methode GGG97 [3] en statistisch met α=0,10. De statistische berekeningen en de Monte Carlo simulatie zijn gebaseerd op theoretische aannamen over de statistische afwijking. Zowel uit literatuur als uit telefonische gesprekken met enkele akoestici blijkt hierover weinig bekend te zijn. Absolute uitspraken over de resultaten zijn dus niet mogelijk. Wel geeft onderlinge vergelijking per methode meer inzicht in het statistische gedrag in geval van een vlakke gevel. Uit de analytische berekeningsresultaten (zie tabel 4) blijkt de Herziening Rekenmethode Geluidwering Gevels [2] verschillende resultaten te geven met de Rekenmethode gevels GGG97 [3]. Dit komt overeen met de in beide methoden verschillend gehanteerde streefnauwkeurigheid (respectievelijk α = 0,25 en 0,10). Het fysische principe van de analytische berekeningen en de Monte Carlo simulatie komt alleen voor wat betreft de kierdichting niet geheel overeen. Omdat deze in de berekeningen een geringe bijdrage heeft, verstoort dit enerzijds de tendens in de eindresultaten naar verwachting niet. Anderzijds blijkt hierdoor niet dat in [2 en 3] de kierdichting op verschillende wijze wordt benaderd. Uit de Monte Carlo resultaten blijkt dat de onderschrijdingen volgens methode VROM [2] en GGG97 [3] niet constant zijn. Via variant 1 zijn de verschillen in onderschrijdingen te verklaren. In variant 1 is het glas zeer maatgevend. Bij de methode VROM [2] wordt dan in feite een dubbele marge voor het glas in rekening gebracht, resulterend in een inderdaad te conservatief berekeningsresultaat. Bij de methode GGG97 [3] heeft bij variant 1 alleen het glas een relevante veiligheidsmarge. Omdat deze marge is afgestemd op een betrouwbaarheid van 80% (volgens [2]) tot 85% (volgens [3]) is het onderschrijdingspercentage dus iets te hoog. Variant 6 laat zien waarom maatgevende gevelelementen bij de methode GGG97 altijd met een veiligheidsmarge moeten worden gehanteerd. Zonder statistische analyse is dit trouwens ook al evident. Overigens is bij variant 6 geen rekening gehouden met de vraag of het economisch gewenst is om het dak als maatgevend element te hanteren. Bij de statistische methode is de onderschrijding bij iedere variant iets te hoog. Zowel de omvang van de Monte Carlo simulatie als onnauwkeurigheden door afrondingen spelen hierbij een rol. Uit vergelijking van variant 2 met 3 bij α = 0,25 blijkt dat de verwerking van de kierdichting een onnauwkeurigheid in de Monte Carlo simulatie van circa 1 tot 2 procent geeft. Belangrijker is echter dat de onderschrijding per variant vrij constant is (vooral bij α = 0,10). Hieruit blijkt dat het mogelijk is om voor een vlakke gevel statistische afwijkingen volgens een betrouwbare methode meer op maat in rekening te brengen. Hiermee wordt tegemoet gekomen naar de wens tot een zo economisch maar toch betrouwbaar berekeningsresultaat. Echter, zolang gekwantificeerde gegevens over de statistische afwijking in prestatiegrootheden sec (dus exclusief meetnauwkeurigheid) ontbreken, zullen analyses naar de statistische betrouwbaarheid van gevelberekeningen slechts relatieve informatie blijven opleveren. Een onderzoek naar het statistisch gedrag van de luchtgeluidisolatie van bouwmaterialen zou veel inzicht en duidelijkheid kunnen bieden. Hiermee eindigt deze discussie dus analoog aan het slot van [5]: is de bouwakoestiek al rijp voor ontwikkelingen op het gebied van toegepaste statistiek, gezien de al om geaccepteerde nauwkeurigheid van de huidige fysische modellen. Op de Universiteit van Amsterdam weten ze het belang van zo een vraag zeer treffend in hun personeelsadvertenties uit te drukken: Daar waar wetenschappers over de grenzen van hun vakgebied heen kijken ontstaan nieuwe ontwikkelingen. De auteur is de heer ing. R.C. Muchall zeer erkentelijk voor het leveren van zijn opbouwend commentaar. Literatuuropgave 1. Nederlands Normalisatie-instituut, Geluidwering in gebouwen; Bepalingsmethoden voor de grootheden voor luchtgeluidisolatie, contactgeluidisolatie, geluidwering van scheidingsconstructies en geluidniveaus veroorzaakt door installaties, Delft, 1992 (NEN 5077) 2. Gerretsen, E., Herziening Rekenmethode Geluidwering Gevels, Den Haag, 1989 (publicatie VROM 112) 3. Muchall, R.C., Rekenmethode GGG97, Amsterdam, 1997 (Intergemeentelijke Werkgroep Bouwfysica van grote gemeenten) 4. Schie, R. van, Geluidwering van de gevel in de praktijk, Bouwfysica, vol. 8 (1997), nr. 3, p. 4 en 5 5. Boven, F.E. van, Belang van statistiek voor berekening en ontwerp van geluidisolatie tussen ruimten, Bouwfysica, vol.9 (1998), nr Timmers, A. en C. Zwaan, Onderzoek naar de invloed van de gevelstructuur op de geluidwering van de gevel, Eindhoven, 1995 (afstudeerverslag FAGO nr ) 7. Muchall, R.C. en R. de Lange, De geluidwering van kierdichtingsprofielen, Amsterdam, 1986 (Dienst Openbare Werken en Volkshuisvesting) 8. Doorn, A. van en J.A. Links, Praktisch leerboek der statistiek, dertiende druk, Utrecht, Soest, J. van, Elementaire statistiek, zesde druk, Delft, Nederlands Normalisatie-instituut, Geluidwering in gebouwen; Het bepalen en hanteren van ééngetalsaanduidingen voor de geluidwering in gebouwen en van bouwelementen, Delft, 1997 (Ontwerp NPR 5079) 11. Myers, R.H., Classical and modern regression with applications, second edition, Boston, Beentjes, W.G.M., Round Robin onderzoek naar praktijkmetingen van de geluidisolatie, Rotterdam, 1987 (Bouwcentrum, rapport nr. 6404/1987) BOUWFYSICA, VOL. 10, 1998, NO. 3 13

5 23334 Bouwfysica 98/ :20 Pagina 14 Verklaring der tekens akoestisch: A 2 = absorberend oppervlak in de ontvangruimte [m 2 o.r.] b kier = breedte van de spleet tussen kozijn en het draaiend deel [mm] C = correctieterm voor invloed van reflectie en geometrie C r = herleidingsterm voor invloed van reflecties en geometrie C sk,1 = geluidveld-correctiefactor voor ventilatievoorziening D nt = genormeerd luchtgeluiddrukniveauverschil van zend- en ontvangruimte D ne,a,v = geluiddemping van de ventilatievoorziening [db(a)] G A;k = karakteristieke geluidwering van een uitwendige scheidingsconstructie [db(a)] K = kierfactor [-] L bi = geluiddrukniveau in de ontvangruimte [db(a)] L bu = geluiddrukniveau buiten [db(a)] q v = luchtvolumestroom van de ventilatievoorziening bij 1 Pa [dm 3 /s m] R A = luchtgeluidisolatie van een scheidingsconstructie [db(a)] R j = luchtgeluidisolatie van gevelelement j [db(a)] S u = oppervlakte van de uitwendige scheidingsconstructie [m 2 ] S j = oppervlakte van gevelelement j [m 2 ] T = nagalmtijd in de ontvangruimte [s] T j = berekeningsterm voor gevelelement j [-] V = netto-volume van de ontvangruimte [m 3 ] statistisch: α = statistische onbetrouwbaarheidsdrempel of afkeurcriterium E( )= verwachting of gemiddelde van een verdeling n = steekproefomvang σ = standaardafwijking van de normale verdeling s = schatting of realisatie van een schatter (voor een parameter) µ = gemiddelde van de normale verdeling x = schatting of realisatie van het gemiddelde Z = standaardnormale verdelingsgrootheid Kader 1. Discrete versus continue stochastische variabelen De keuze van de kansverdeling vergt in de eerste plaats onderscheid tussen discrete en continue variabelen. In [8] is dit als volgt omschreven: Wanneer een verschijnsel uitsluitend duidelijk van elkaar te onderscheiden waarden kan aannemen waar niets tussen kan worden gedacht - het schoolvoorbeeld is het aantal kinderen in een gezin op een bepaald moment - dan spreekt men van een discrete (of discontinue) variabele. Bij een dergelijke variabele zijn er duidelijk merkbare, trapsgewijze overgangen. Een realisatie uit een discrete verdeling behoort dus tot de wiskundige verzameling gehele getallen Z. Onderstaande figuur geeft een voorbeeld van een discrete stochast, namelijk het werpen van een dobbelsteen. Bij een verschijnsel als de luchttemperatuur is er sprake van een continue variabele. Hier kan het meetbare kenmerk iedere denkbare getalswaarde aannemen. Tussen waarden als 2 C en 3 C zijn een oneindig aantal andere temperaturen denkbaar. Onderstaande figuur geeft een voorbeeld van een continue stochast (standaard normale verdeling). Figuur 1: Frequentieverdeling van het werpen met een dobbelsteen Figuur 2: Kansdichtheid van de standaard normale verdeling 14 BOUWFYSICA, VOL. 10, 1998, NO. 3

6 23334 Bouwfysica 98/ :20 Pagina 15 Kader 2. Statistische afleiding parameters van GA;k De te berekenen karakteristieke geluidwering volgens formule (4) is statistisch op te vatten als een funktie van de logaritmische som van de luchtgeluidisolatie van alle relevante elementen: G A;k = ƒ (R A;1, R A;2,, R A;n ) (1) Allereerst is het nu van belang om het statistische karakter van de luchtgeluidisolatie R per element te bepalen (kansverdeling en parameters). Hieruit kan dan de kansverdeling en parameters van de karakteristieke geluidwering worden afgeleid of benaderd. Voor de bepaling van de kansverdeling en parameters van de karakteristieke geluidwering is gebruik gemaakt van een eerdere versie van [3] uit De karakteristieke geluidwering wordt hierin berekend met behulp van: T j = S j / S u * 10 -Rj/10 (2) en G A;k = -10 log Σ T j - 3 (3) met T j = term van element j [-] S j = oppervlakte van het te berekenen element j [m 2 ] S u = oppervlakte van de uitwendige scheidingsconstructie [m 2 ] Voor ventilatievoorzieningen, kieren en naden is formule (2) anders opgebouwd. De diverse gevelcorrectiefactoren zijn hier niet meegenomen. De formules (2) en (3) kunnen worden opgevat als een vergelijking van de vorm y = ϕ(x). Voor zo een funktie kan voor de verwachting of het gemiddelde van de fysische karakteristieke geluidwering µ GA;k,prestatie met behulp van [9] bij benadering (onder aanname van normaliteit en onafhankelijkheid) worden afgeleid: µ GA;k,prestatie = -10 log Σ E(T j ) - 3 (4) en voor de variantie Var(G A;k,prestatie ) of σ GA;k,prestatie 2 van de fysische karakteristieke geluidwering: σ GA;k,prestatie 2 = Σ j { T j / ΣT j } 2 * σ R,j,prestatie 2 (5) Formule (4) en (5) vormen de statistische grondslag voor de berekening van de fysische karakteristieke geluidwering van een uitwendige scheidingsconstructie. Voor formule (4) moet dus het gemiddelde van een fysische berekeningsmethode worden gebruikt. De parameters van de gemeten (en te berekenen) karakteristieke geluidwering volgen nu uit: µ GA;k,meting = µ GA;k,prestatie (6) en σ GA;k,meting 2 = σ GA;k,prestatie 2 + σ GA;k,reproduceerbaarheid 2 (7) Kader 3. Gegevens voorbeeld berekeningen Voor de gevel volgens figuur 2, waarvan een zestal varianten is berekend, is de volgende gevelopbouw aangehouden: 4 m 2 glas; 1 m 2 houten kozijn; 10 m 2 steenachtige borstwering of hellend dak; 2 m 1 ventilatievoorziening; 8 m 1 kierdichtingsprofiel. Onderstaande tabel geeft de aangehouden waarden voor fysische of prestatie-grootheden per element. Tabel 1. Uitgangspunten voor de luchtgeluidisolatie per gevelelement element [db(a)] omschrijving µ R,j,prestatie [db(a)] σ R,j,prestatie glas enkel 6 mm 29,2 1,3 dubbel mm 36,8 1,3 kozijn hout 67 * 114 mm 37,0 0,5 borstwering beton 200 mm 49,0 0,5 hellend dak DH 2 27,0 1,0 ventilatie rooster q v = 20 dm 3 /s m D ne,a,v = 26,0 db(a) 1,3 suskast q v = 22 dm 3 /s m D ne,a,v = 40,0 db(a) 1,3 kierdichting enkel, goed (V-120-L) -10 log K 50 = 41,8 db(a) 2,5 dubbel, goed (2* J-85-G) -10 log K 50 = 46,3 db(a) 0,8 Voor het hellend dak is een standaard afwijking aangenomen overeenkomend met het in [10] op pagina 22 gegeven σ p = 1,0 db voor samengestelde, lichte constructies. -10 log K 50 is de kierfactor bij een gemiddelde totale kierbreedte uit de praktijk, genormeerd op één meter kierlengte en 1 m 2 absorptie. De totale kierbreedte is opgebouwd uit een nominale breedte (volgens fabrieksvoorschrift) en de afwijking hierbij in de praktijk. [7] geeft meer informatie hier over. Twee waarden uit de literatuur voor de standaardafwijking van de meetnauwkeurigheid worden hier genoemd. [10] geeft aan dat de spreiding in ééngetalsaanduidingen bij herhaling van metingen in de praktijk gekenmerkt wordt door een standaardafwijking van ca. 1 db. In [12] wordt op basis van een Round Robin onderzoek een puntschatting voor de standaardafwijking s = 0,8 db gegeven. In dit artikel is voor de standaardafwijking van de meetnauwkeurigheid σ reproduceer = 0,8 db gehanteerd. De karakteristieke geluidwering voor variant 1, zonder rooster, is nu volgens de methode VROM [2]: G A;k = - 10 log {1/S u [Σ j S j * 10^-(R j /10)] + K} -3-1 (1) G A;k = - 10 log {1/15 [4* 10^-((29,2-1,5)/10) + 1* 10^-(37/10) + 10* 10^-(49/10) + 0* 10^- (26/10)]+ 10^-4} -3-1 = 28,4 db(a) (2) De statistische berekening verloopt voor variant 1 met α = 0,25 als volgt: µ meting = - 10 log {1/15 [4* 10^-(29,2/10) + 1* 10^-(37/10) + 10* 10^-(49/10) + 0* 10^- (26/10)]+ 8*10^-(41,8/10)} -3 31,2 db(a) (3) σ meting 1,4 db(a) (4) G A;k,meting = µ - Z 0,75 *σ = 31,2-0,68 * 1,4 = 30,3 db(a) (5) De berekeningen van de overige varianten verlopen analoog. BOUWFYSICA, VOL. 10, 1998, NO. 3 15

7 23334 Bouwfysica 98/ :20 Pagina 16 Kader 4. De kierterm stochastisch beschouwd [7] vat gegevens samen van een onderzoek naar de geluidisolatie van kierdichtingsprofielen. Hieruit blijkt dat de breedte van de kier tussen draaiend deel en kozijn een grote invloed op de kierfactor heeft (bij houten kozijnen). In de praktijk is opgemeten dat de kiermaatafwijking bij houten kozijnen in 50% van de gevallen ongeveer 2 mm is en in 90% van de gevallen ongeveer 3 mm. De Rekenmethode gevels GGG97 [3] baseert daarom de geluidisolatie van kierdichtingsprofielen op een kiermaatafwijking van 3 mm. Onderstaande figuur laat de meetgegevens voor profiel V-120- L uit [7] zien. De letter V geeft hierbij de vorm van het profiel aan, 120 is de profielhoogte in 0,1 mm en L de bevestigingswijze (gelijmd). De hierbij bepaalde determinatiecoëfficiënt R 2 = 0,997. Dit wil zeggen dat 99,7% van de variantie of spreiding in de kierfactor is te verklaren uit de variantie in de kierbreedte. Regressie-analyse is een statistische techniek waarbij afhankelijkheid van parameters wordt verondersteld. In geval van een enkelvoudig lineair model wordt verondersteld dat de waarnemingen normaal verdeeld zijn [11]. Het gemiddelde is dan een funktie van een andere parameter, bijvoorbeeld geschreven als Y i ~ N (a + b*x i, σ 2 ) in plaats van Y i ~ N (µ, σ 2 ) voor een ééndimensionale kansverdeling. De nominale of ontwerp kierbreedte van dit profiel is 3,4 mm. In de Monte Carlo simulaties is voor de totale kierbreedte (nominaal én afwijking) van profiel V-120-L een uniforme kansverdeling verondersteld (zie onderstaande figuur). Figuur 2: Gehanteerde kansdichtheid voor de totale kierbreedte bij profiel V-120-L. Figuur 1: Kierfactor afhankelijk van de kierbreedte voor profiel V-120-L volgens [7]. Voor bovenstaande gegevens kan met regressie-analyse bijvoorbeeld een enkelvoudig lineair model voor de afhankelijkheid van de kierfactor -10 log K van de kierbreedte b kier worden aangepast: -10 log K = 55,6-2,6 b kier (1) De gemiddelde waarde voor de kierfactor (-10 log K 50 = 41,8 db(a)) in de analytische berekeningen volgt door de mediaan van de kierbreedte (5,3 mm) in formule (1) in te vullen. In de Monte Carlo studie is de kierbreedte random gesimuleerd volgens de uitgangspunten van bovenstaande figuur 2. De kierfactor volgt wederom door gebruik van formule (1). Impliciet is er daarbij ter vereenvoudiging van uit gegaan dat 100% van de spreiding in de kierfactor volgt uit de spreiding in b kier. Ten opzichte van het aangepaste lineaire model ontstaat hierdoor een kleine onnauwkeurigheid. 16 BOUWFYSICA, VOL. 10, 1998, NO. 3