Wiskunde in een context? Dat is geen wiskunde!

Transcriptie

1 Wiskunde in een context? Dat is geen wiskunde! Eindonderzoeksrapport Wiskundemaster A.A. Faber Nicole Kroon Studentnr.: Studiejaar: Begeleider: S. Abrantes Garcez Palha Master Wiskunde, HvA 9 mei 2016

2 Voorwoord Ongeveer drie jaar geleden startte ik met de opleiding voor eerstegraads docente wiskunde. Deze opleiding heeft mij enorm veel energie gekost, maar ik heb ook genoten van mijn laatste jaren als studente. Anderhalf jaar geleden heb ik een onderwerp voor mijn praktijkonderzoek gekozen vanuit ervaringen binnen mijn eigen lespraktijk. Nu is het tijd om de studie hiermee af te ronden. Ik voel me enorm gesteund door mijn familie, collega s en mijn vrienden van wie ik alle ruimte en kracht heb gekregen om deze studie succesvol af te ronden. Een speciaal bedankje wil ik uitspreken naar mijn ouders en mijn zussen, die mij altijd gesteund hebben en geïnteresseerd waren in alles wat ik gedurende mijn studie ben tegengekomen. Zonder deze betrokkenheid was het een stuk lastiger geworden om de studie af te ronden. Bovendien wil ik mijn begeleider Sonia Abrantes Garcez Palha bedanken voor de vele uren die zij in mij heeft gestoken. Zij heeft mij heel goed geholpen op momenten dat ik het even niet zag zitten. Hiervoor ben ik haar zeer dankbaar. Ook mijn collegae van het College in Volendam wil ik bedanken voor de tijd die zij hebben genomen om mijn onderzoeksinstrumenten te beoordelen en mijn onderzoeksverslag te voorzien van feedback. De leerlingen die hebben meegewerkt aan dit onderzoek bedank ik voor de tijd en moeite die zij hebben genomen om deel te nemen aan dit onderzoek. 2

3 Samenvatting Gedurende het schooljaar merkten docenten binnen de vaksectie wiskunde van het College in Volendam op dat leerlingen moeite hadden met wiskunde. Dit werd vooral duidelijk tijdens het zelfstandig werken in de 4-havoklassen wiskunde A. Leerlingen hadden met name moeite met vraagstukken die binnen een context werden aangeboden, hierbij raakten zij het overzicht kwijt. Om te onderzoeken welke moeilijkheden bij leerlingen ontstaan tijdens het oplossen van contextrijke vraagstukken, is gebruik gemaakt van wiskundig modelleren. De onderzoeksvraag in dit onderzoek luidt: in welke fasen van het proces modelleren lopen de leerlingen van mijn 4-havoklas wiskunde A vast tijdens het oplossen van wiskundige, contextrijke problemen, welke struikelblokken ervaren de leerlingen binnen de fasen en welke hulpmiddelen denken zij nodig te hebben? Om deze vraag te beantwoorden is zowel nationale als internationale literatuur geraadpleegd. Spandaw en Zwaneveld (2009) hebben een cyclus ontworpen die leerlingen moeten doorlopen tijdens het maken van een contextrijk modelleervraagstuk en Chamberlin en Moon (2005) ontwikkelden zes principes waaraan modelleervraagstukken moeten voldoen. In dit onderzoek zijn drie contextrijke modelleervraagstukken ontwikkeld naar het niveau van leerlingen van 4-havo wiskunde A. Vervolgens hebben drie leerlingen de vraagstukken gemaakt door middel van hardop denken, waarna een stimulated recall interview heeft plaatsgevonden. Dit alles werd opgenomen en is later uitgeschreven en gecodeerd. Uit het onderzoek is gebleken dat de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009), bestaande uit de fasen conceptualiseren, mathematiseren, oplossen, interpreteren en valideren, niet geheel terug te vinden was in de transcripties van de leerlingen. Bepaalde fasen kwamen niet of nauwelijks terug in de transcripties van de leerlingen, terwijl andere fasen veelvuldig voorkwamen. Daarnaast waren de complicaties die leerlingen ondervonden tijdens het maken van de vraagstukken te wijden aan gebrek aan voorkennis en algebraïsche basisvaardigheden, onvoldoende toepassing van de kennis en het beperkt toepassen van strategieën. De leerlingen vergaten de context te analyseren en de betekenis van relevante gegevens te achterhalen. Dit bemoeilijkte het opstellen van een vergelijking of een formule waardoor de leerlingen direct startten met de fase oplossen. Bovendien hadden de leerlingen in dit onderzoek onvoldoende kennis van algebraïsche vaardigheden. De leerlingen verdronken in hun deelstappen en raakten het globale overzicht over het probleem kwijt. Ze pasten regels uit lesboeken toe zonder gegevens in kaart te brengen en zichtzelf af te vragen wat de gegevens in de context betekenden. Deze leerlingen dienen beter voorbereid te worden op het aanpakken van contextrijke vraagstukken, dit begint bij de lespraktijk. Leerlingen die deelnemen aan het nieuwe wiskunde-examenprogramma zullen contexten moeten kunnen analyseren, waarbij soms moet worden overgegaan op vaardigheden als het maken van een 3

4 model, abstraheren en logisch redeneren (commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs [ctwo], 2007). In een vervolgonderzoek naar wiskundig modelleren kan een lessenserie worden ontworpen die de leerlingen zal voorbereiden op het oplossen van contextrijke vraagstukken. Met een voor- en een nameting kan worden onderzocht in hoeverre een lessenserie voor leerlingen effectief is bij het maken van contextrijke vraagstukken. 4

5 Inhoudsopgave VOORWOORD 2 SAMENVATTING 3 INHOUDSOPGAVE 5 1 INLEIDING 7 2 PROBLEEMVERKENNING PROBLEEMSTELLING VOORBEELD UIT EIGEN LESPRAKTIJK VERANTWOORDING 11 3 THEORETISCH KADER WISKUNDIG MODELLEREN DE ROL WISKUNDIG MODELLEREN IN HET WISKUNDEONDERWIJS DEFINITIES VAN WISKUNDIG MODELLEREN PROCESMODELLEN VOOR MODELLEREN WISKUNDIG MODELLEREN EN CONTEXTRIJKE VRAAGSTUKKEN ONTWERPEN VAN MODELLEERVRAAGSTUKKEN 22 4 ONDERZOEKSOPZET TYPERING VAN HET ONDERZOEK HOOFDVRAAG EN DEELVRAGEN ONDERZOEKSGROEP ONDERZOEKSINSTRUMENTEN VRAAGSTUKKEN HARDOP DENKPROTOCOL STIMULATED RECALL INTERVIEW DATAVERZAMELING, DATAVERWERKING EN DATA-ANALYSE DATAVERZAMELING DATAVERWERKING DATA-ANALYSE VOORBEELD VALIDITEIT, GELDIGHEID, BETROUWBAARHEID EN TRANSPARANTIE 31 5 RESULTATEN DE FASEN VAN DE MODELLEERCYCLUS VOLGORDE VAN DE FASEN FREQUENTIE VAN DE FASEN VEEL UITSPRAKEN VALLEN NIET ONDER BEPAALDE FASE ZICHTBARE COMPLICATIES VOORKENNIS ALGEBRAÏSCHE BASISVAARDIGHEDEN TOEPASSEN VAN DE KENNIS BEPERKING VAN DE STRATEGIEËN MEER OF MINDEREN ADEQUATE STRATEGIEËN HULPMIDDELEN OM STRUIKELBLOKKEN TE OVERWINNEN 43 6 DISCUSSIE EN CONCLUSIE 45 5

6 6.1 DISCUSSIE VOLGORDE VAN DE FASEN FREQUENTIE VAN DE FASEN COMPLICATIES VOORKENNIS ALGEBRAÏSCHE VAARDIGHEDEN SYMBOL SENSE ROTE LEARNING HULPMIDDELEN BEPERKINGEN CONCLUSIE 50 7 AANBEVELINGEN 55 LITERATUUR 57 APPENDIX A. GEBRUIKTE OPGAVE ALS VOORBEELD UIT EIGEN LESPRAKTIJK 59 APPENDIX B. BRIEF AAN DEELNEMENDE LEERLINGEN 60 APPENDIX C. FEEDBACK COLLEGAE OP DE OPGAVEN 61 APPENDIX D. ONDERZOEKSINSTRUMENTEN EN VERANTWOORDING 63 APPENDIX E. UITWERKINGEN VAN DE ONDERZOEKSINSTRUMENTEN 66 APPENDIX F. GECODEERDE TRANSCRIPTIES 71 APPENDIX G. VERWERKTE DATA 88 6

7 1 Inleiding In dit onderzoek is gewerkt vanuit een probleem waar ik en mijn collegae binnen de vaksectie wiskunde van het College in Volendam tegenaan liepen tijdens lessen aan 4-havoklassen wiskunde A. We hebben namelijk gemerkt dat leerlingen moeite hebben met vraagstukken die binnen een context worden gesteld. Bij individuele hulp kunnen leerlingen, nadat de context gezamenlijk is geanalyseerd, vaak verder met de opgave. Maar wanneer leerlingen een opdracht als groep maken, ontstaan er vaak verschillende problemen. Sommige leerlingen lopen direct vast bij het lezen van de context, terwijl andere leerlingen aan het werk gaan met de opdracht en tijdens het oplossen vastlopen. Hierdoor merkten wij dat wij als docenten niet goed konden inschatten op welk moment de leerlingen behoefte hadden aan hulp. Dit probleem speelde zich voornamelijk af in de klassen 4-havo wiskunde A, zowel bij mij als mijn collegae. Door dit onderzoek verwachtten ik en mijn collegae meer kennis te verkrijgen van waar leerlingen vooral moeite mee hebben bij het maken van contextrijke vraagstukken waarbinnen de wiskunde niet direct zichtbaar is. In 2010 haalde ik mijn vwo diploma op het College in Volendam en sinds 2012 ben ik als docente wiskunde werkzaam op deze middelbare school. Het College is een school voor bijzonder onderwijs die onderwijs aanbiedt op het vmbo, havo en vwo niveau. De school bestaat uit twee directieleden, 200 medewerkers en ongeveer 1700 leerlingen. De meeste leerlingen en docenten komen uit Volendam, maar ook leerlingen en docenten uit bijvoorbeeld Monnickendam, Marken, Edam en uit de regio Waterland weten de weg naar het college te vinden. De sectie wiskunde bestaat uit tien tweedeen zeven eerstegraads docenten. Op dit moment geef ik voornamelijk les aan de bovenbouwklassen havo/vwo. In dit onderzoek richt ik me op leerlingen in de vierde klas havo die voor wiskunde A hebben gekozen. In het schooljaar waren er 123 vierdejaars leerlingen die het havo-niveau volgden. Mijn vierde klas wiskunde A bestond uit 29 leerlingen. Na mijn opleiding voor eerstegraads docente wiskunde, wil ik mij volledig gaan richten op de bovenbouw havo/vwo. Tevens zal ik over een aantal jaar het vak Natuur, Leven en Technologie (NLT) gaan geven, het vak dat ik zelf ook heb gevolgd op het Don Bosco College, het lijkt me een uitdaging om wiskunde aan te bieden binnen vakoverstijgende projecten. Kortom, mijn rol op het College zal steeds groter worden en hier verheug ik mij enorm op. In het volgende hoofdstuk wordt het belang van het onderzoek beschreven vanuit het probleem dat mijn collegae en ik hebben ervaren in de lespraktijk en vanuit de literatuur. Om de denkprocessen van leerlingen bij het maken van contextrijke vraagstukken in kaart te brengen, zal gebruik worden gemaakt van wiskundig modelleren. Dit proces van modelleren wordt beschreven aan de hand van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) in het theoretisch kader (hoofdstuk 3). Hierin worden ook resultaten van andere onderzoeken naar modelleren en het oplossen van contextrijke 7

8 vraagstukken beschreven. In de onderzoeksopzet (hoofdstuk 4) worden de onderzoeksvragen gepresenteerd, gevolgd door een beschrijving van de drie onderzoeksinstrumenten en de wijze waarop de data zijn verzameld en verwerkt. De resultaten (hoofdstuk 5) worden per deelvraag weergegeven en onderbouwd door voorbeelden uit de transcripties van de leerlingen. Deze resultaten zullen in de discussie worden gekoppeld aan literatuur dat is beschreven in het theoretisch kader. Het onderzoek heeft drie belangrijke resultaten opgeleverd, deze zijn beschreven in de conclusie (hoofdstuk 6). Tot slot bevat het laatste hoofdstuk aanbevelingen en suggesties voor vervolgonderzoek met betrekking tot problemen die leerlingen ervaren bij het oplossen van contextrijke vraagstukken. 8

9 2 Probleemverkenning Bij wiskunde A worden vaak probleemsituaties aan de leerlingen voorgelegd binnen verschillende contexten, dit blijkt onder andere uit School Examens en Centraal Examens, die veelal contextrijke vraagstukken bevatten. Zo komen in een Centraal Examen wiskunde A gemiddeld vijf onderwerpen aan bod die op het eerste gezicht niets met wiskunde te maken lijken te hebben, zoals de onderwerpen: ei, alcoholgehalte en erupties. Toch worden binnen deze onderwerpen meerdere wiskundige vragen gesteld waarin de leerlingen de geleerde wiskundige concepten toe moeten passen. De contexten waarbinnen de onderwerpen worden aangeboden, bevatten vaak een grote hoeveelheid tekst waarin de wiskunde niet direct zichtbaar is. Dit is anders dan in de lesboeken van de methode Getal en Ruimte, omdat na een stukje theorie een voorbeeld wordt aangeboden, gevolgd door opgaven waarin de theorie moet worden toegepast. De benodigde oplossingsstrategieën zijn grotendeels voorgedaan in het voorbeeld. Voor contextrijke vraagstukken zijn echter geen rechtstreekse oplossingsstrategieën. In deze vraagstukken wordt van leerlingen verwacht dat zij deze zelf bedenken. In het vervolg van dit hoofdstuk zal het probleem in kaart worden gebracht door middel ervaringen van mij en mijn collegae en ervaringen die in de literatuur worden beschreven. 2.1 Probleemstelling Gedurende het schooljaar gaf ik tijdens een sectievergadering aan dat veel leerlingen in mijn vierde klas havo wiskunde A moeite hadden met wiskunde. Dit werd vooral duidelijk tijdens het zelfstandig werken. De reproductievragen maakten de leerlingen zonder veel problemen, maar op het moment dat de vragen binnen een context werden gesteld, raakten zij het overzicht kwijt en wisten ze niet meer wat ze moesten doen. Uit reacties van mijn collegae bleek dat zij dit probleem ook ervoeren in hun lessen. Het probleem leefde vooral bij collegae die lesgaven aan een 4-havoklas wiskunde A. Zo gaf een eerstegraads wiskundedocent aan dat leerlingen van 4-havo wiskunde A het over het algemeen moeilijk vinden om vanuit een context een wiskundig model op te stellen, zoals een formule of een vergelijking. Een andere eerstegraads wiskundedocent) deelde onze ervaringen, hij gaf onder andere aan dat leerlingen oplossingen vaak vergeten te interpreteren en te valideren. Maar hij voegde daaraan toe dat docenten daar vaak te weinig aandacht aan besteden in hun lessen. Het probleem kan groter worden, wanneer de leerlingen zich voorbereiden op de School Examens en het Centraal Examen, waarin vraagstukken veelal binnen een context worden gesteld. Het nieuwe examenprogramma voor havo en vwo is gestart in schooljaar in de vierde klassen. Het nieuwe Centraal Examen bij wiskunde A zal een onderzoeksopgave bevatten waarvoor relatief veel punten behaald kunnen worden. Leerlingen dienen in deze opgave zelf oplossingsstrategieën te bedenken. Dit was het hoofdonderwerp van de sectievergadering die in december 2015 heeft plaatsgevonden op het College. Mijn collegae en ik hebben vergaderd over hoe 9

10 we leerlingen konden voorbereiden op deze onderzoeksopgaven. Leerlingen vinden het namelijk moeilijk zelf een oplossingsproces te bedenken en relevante gegevens uit een context te halen. Binnen de sectie leefde de vraag of de onderzoeksvragen altijd binnen een context gesteld zouden worden. Want als dit het geval was, zou dit nog een extra moeilijkheid zijn voor de leerling. Tom Veerman gaf aan dat wij als docenten leerlingen moeten leren hoe zij onderzoeksopgaven aanpakken en welke strategie daarvoor nodig is. Dit sluit aan bij dit onderzoek. Om het probleem dat mijn collegae en ik ervoeren in kaart te brengen, heb ik onder andere een pilotstudie uitgevoerd onder mijn leerlingen van mijn 4-havoklas wiskunde A Voorbeeld uit eigen lespraktijk Om het probleem dat mijn collegae en ik in ons lespraktijk ondervonden te illustreren, heb ik mijn leerlingen een opgave laten maken uit een Centraal Examen voor het havo-niveau. De opgave is opgenomen in Appendix A. Tijdens het werken in tweetallen heb ik de volgende reacties gehoord van mijn leerlingen: Dit lijkt op M&O en daar ben ik ook niet goed in. De eerste zinnen begrijp ik al niet. Veel te veel tekst. Dit is geen wiskunde meer! Deze reacties geven aan dat leerlingen moeite hebben met de context en dat zij niet direct zien welk wiskundig concept van toepassing is op de vraag. Dit kan te maken hebben met de vaardigheid tekstbegrip, met hun geringe woordenschat, of met hun kennis van het wiskundige concept. De leerlingen waren zich niet bewust van wat zij in de context lazen. Een aantal leerlingen begreep het woord afschrijving niet en deelde de boekwaarden door elkaar in plaats van het verschil te berekenen. Anderen zagen niet dat de afschrijvingen lineair daalden. Blijkbaar wisten deze leerlingen niet precies wat lineair betekende. Daarnaast gebruikten sommige leerlingen de percentages van de afschrijvingen om het lineaire verband aan te tonen. Kortom: verschillende leerlingen hadden moeite met verschillende fasen van het oplossingsproces waardoor complicaties in de denkprocessen van de leerlingen optraden. Het in kaart brengen van de problemen van mijn leerlingen bij het oplossen van wiskundige problemen zou van groot belang kunnen zijn voor mij en mijn collegae, omdat wij onze leerlingen dan beter kunnen begeleiden bij het oplossen van contextrijke vraagstukken. Ook in de literatuur worden deze ervaringen gedeeld. Uit een onderzoek naar moeilijkheden bij leerlingen tijdens het maken van contextrijke vraagstukken (Crouch & Haines, 2003) is bijvoorbeeld gebleken dat leerlingen tijdens het oplossen van wiskundige probleem moeilijkheden ervaren bij het vertalen van een realistische context naar een wiskundig model en andersom. 10

11 2.2 Verantwoording In de literatuur wordt niet gesproken over contextrijke problemen, maar over het proces van wiskundig modelleren om contextrijke problemen op te lossen. In dit onderzoek is wiskundig modelleren gebruikt om moeilijkheden van leerlingen in kaart te brengen bij het oplossen van contextrijke vraagstukken. In grote lijnen kan wiskundig modelleren beschreven worden als het doorlopen van een aantal stappen tijdens het oplossen van (wiskundige) vraagstukken die binnen een context worden aangeboden (Spandaw & Zwaneveld, 2005). Hiermee worden niet alle contextrijke vraagstukken bedoeld, maar alleen de vraagstukken waarop het proces van wiskundig modelleren kan worden toegepast. De eerste fase van dit cyclische modelleerproces is conceptualiseren. Hierbij zetten de leerlingen een situatie met een probleem om naar een conceptueel model, bijvoorbeeld door het maken van een schets of het overzichtelijk weergeven van de gegevens in een tabel. Van een conceptueel model kan gemathematiseerd worden naar een wiskundig model, zoals een vergelijking of een formule. Uit dit wiskundige model volgt een wiskundige antwoord door het proces oplossen. Tot slot wordt deze wiskundige oplossing geïnterpreteerd naar de situatie waarin het probleem werd voorgesteld en wordt het gehele proces gevalideerd door terug te kijken naar het probleem en de gevonden oplossing (Spandaw & Zwaneveld, 2005). Een uitgebreide uitleg wordt gegeven in het volgende hoofdstuk. Wiskundig modelleren vertoont grote overeenkomsten met de methode die Pólya heeft ontwikkeld om wiskundige problemen op te lossen (verkennen, plan opstellen, plan uitvoeren, terugblikken). Wiskundig modelleren wordt echter gebruikt in problemen die worden ingeleid met een contextrijke situatie, hetgeen dat binnen de probleemstelling van dit onderzoek past (Spandaw & Zwaneveld, 2009). Het proces van het oplossen van contextrijke problemen is in dit onderzoek nader onderzocht met behulp van wiskundig modelleren. De doelstelling van dit onderzoek was het onderzoeken van moeilijkheden bij leerlingen tijdens het oplossen van contextrijke wiskundige problemen die geschikt zijn voor wiskundig modelleren. Hiermee worden niet alle contextrijke problemen bedoeld, maar alleen de contextrijke vraagstukken die tevens modelleervraagstukken zijn. Het onderzoek is uitgevoerd bij drie leerlingen van de vierde klas havo wiskunde A van het Don Bosco College in Volendam. In het eindrapport van de commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs (ctwo, 2012) wordt modelleren specifiek genoemd in de nieuwe examenprogramma s voor het havo/vwo wiskunde A en wiskunde B. Bij wiskunde B zal wiskundig modelleren onder andere een grote rol spelen bij het modelleren van contexten uit bètavakken, waaronder natuurkunde. In het nieuwe examenprogramma zullen leerlingen van het vwo, die examen doen in wiskunde A, contexten moeten kunnen analyseren, 11

12 waarbij soms moet worden overgegaan op vaardigheden als het maken van een model, abstraheren en logisch redeneren (commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs [ctwo], 2007). Naast het belang van het Centraal Examen is het onderzoeken van dit probleem zeer interessant voor andere vakgebieden. Want niet alleen bij wiskunde worden vragen binnen contexten gesteld, maar ook bij andere vakken zoals biologie, economie, natuurkunde en scheikunde. De docenten die deze vakken onderwijzen, zullen dit ook als een probleem ervaren. Wiskundig modelleren ontwikkelt tot slot een onderzoekende houding ten opzichte van wiskunde bij de leerlingen. De leerlingen kijken kritisch naar een probleem en kijken vervolgens ook kritisch naar hun oplossingsproces en hun antwoord. 12

13 3 Theoretisch kader 3.1 Wiskundig modelleren Voor dit onderzoek is het proces van wiskundig modelleren gebruikt om de moeilijkheden van leerlingen bij het oplossen van contextrijke, wiskundige problemen in kaart te brengen. Daarom is het belangrijk dat het proces van wiskundig modelleren binnen het wiskundeonderwijs goed wordt gedefinieerd. In dit hoofdstuk komt allereerst de rol van wiskundig modelleren in het onderwijs aan bod. Vervolgens worden verschillende definities van wiskundig modelleren besproken waarna één definitie wordt geselecteerd als uitgangspunt voor dit onderzoek De rol wiskundig modelleren in het wiskundeonderwijs In het visiedocument van de commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs (ctwo, 2007) wordt modelleren als een centrale denkactiviteit binnen het wiskundeonderwijs genoemd. Leerlingen krijgen een probleemsituatie voorgelegd die zij door middel van wiskundige concepten en formules op moeten lossen. Om dat te kunnen doen, moet het probleem geheel geanalyseerd worden. Deze analyse bevat denkactiviteiten zoals visualiseren, schematiseren, representeren en algebraïseren. Een voorbeeld van algebraïseren is dat de leerling zelf variabelen benoemt en wiskundige verbanden formuleert. Bovendien stelt de commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs dat dit soort activiteiten als een lange leerlijn door het gehele programma van havo/vwo ingezet zouden moeten worden (ctwo, 2007). Ook in internationale literatuur wordt het belang van wiskundig modelleren in het onderwijs erkend. Volgens Chamberlin en Moon (2005) is wiskundig modelleren een model opwekkende activiteit. Ten eerste moedigt het leerlingen aan wiskundige modellen te creëren om complexe, contextrijke problemen op te lossen. Wiskundig modelleren bevordert wiskundige creativiteit bij leerlingen. Met creativiteit worden de specifieke denkprocessen bij het oplossen van niet-routine wiskundige problemen bedoeld. De afgelopen jaren worden leerlingen vooral kwantitatief begeleid, zij krijgen veelal dezelfde vraagstukken aangeboden van dezelfde moeilijkheidsgraad. Door gebruik te maken van modelleren, worden leerlingen kwalitatief begeleid, de leerlingen worden gericht begeleid bij hun denkprocessen in niet-routine wiskundige problemen. In deze niet-routine vraagstukken kunnen leerlingen een breder scala aan kennis gebruiken, dit bevordert het gebruik van nieuwe oplossingsstrategieën (Chamberlin & Moon, 2005). Ten tweede is modelleren volgens Chamberlin en Moon een geschikt middel voor het onderzoeken van wiskundige denkprocessen van leerlingen, dit volgt uit het feit dat denkprocessen van leerlingen zichtbaar worden door wiskundig modelleren. Beide aspecten zijn essentiële onderdelen van dit onderzoek Definities van wiskundig modelleren In de literatuur worden verschillende definities van wiskundig modelleren gehanteerd. 13

14 Spandaw en Zwaneveld (2009) definiëren wiskundig modelleren als: Een cyclisch proces, dat bij benadering wordt beschreven door de modelleercyclus, dat begint bij de probleemsituatie. (Spandaw & Zwaneveld, 2009, p. 240). Kenmerkend van deze definitie is het cyclische aspect van modelleren. Er zijn ook auteurs die een hele brede definitie geven van wiskundig modelleren, bijvoorbeeld Verhoef, Zwarteveen-Roosenbrand, Joolingen en Pieters (2013): Modelleren betekent zoeken naar een model om de werkelijkheid weer te geven. (Verhoef et al., 2013, p. 1). Door deze brede definitie blijven er vragen open zoals: wat bedoelt de auteur met zoeken en een model? Daarnaast wordt het cyclische aspect van modelleren niet specifiek benoemd. Een andere definitie van wiskundig modelleren wordt gegeven door Savelsbergh et al. (2008): Modelleren is het analyseren van een probleemsituatie en inperken tot een hanteerbaar probleem, dat in wiskundetaal wordt vertaald, binnen de wiskunde wordt opgelost, en waarvan de oplossing geïnterpreteerd en op kwaliteit beoordeeld wordt in het licht van de uitgangssituatie. (Savelsbergh et al., 2008, p. 15). In deze definitie worden de activiteiten van modelleren specifiek genoemd, zoals het beoordelen van de oplossing, hetgeen dat ontbreekt in de voorgaande definities van wiskundig modelleren. De overeenkomst tussen de beschreven definities is het cyclische proces van de werkelijkheid, via het wiskundig model, weer terug naar de werkelijkheid. Dit cyclische aspect komt terug in de definitie van Snavelsbergh et al. (2008) en Spandaw en Zwaneveld (2009). Het verschil tussen de drie definities zijn de procesmodellen die wiskundig modelleren in een schematische vorm beschrijven. De definities van Savelsbergh et al. en Spandaw en Zwaneveld zijn als uitgangspunt genomen voor dit onderzoek vanwege de specifieke omschrijving van de verschillende activiteiten van wiskundig modelleren door Savelsbergh et al. en het cyclische aspect in de definitie van Spandaw en Zwaneveld. De definitie van wiskundig modelleren wordt voor dit onderzoek als volgt geformuleerd: het cyclische proces van modelleren is het analyseren van een probleemsituatie en inperken tot een hanteerbaar probleem, dat in wiskundetaal wordt vertaald, binnen de wiskunde wordt opgelost, en waarvan de oplossing geïnterpreteerd en op kwaliteit beoordeeld wordt in het licht van de uitgangssituatie. Het proces van wiskundig modelleren bevat een aantal stappen die doorlopen wordt tijdens het oplossen van een contextrijk, wiskundig probleem, zoals beschreven in de vorige paragrafen. Het volgen van de stappen hoeft echter niet altijd in dezelfde volgorde plaats te vinden. Heck (2008) en Savelsberg et al. (2008) benadrukken dat in het volgen van de stappen binnen het proces van wiskundig modelleren meer dan één aanpak mogelijk is. Er is sprake van een verschuiving, de leerlingen doorlopen de fasen niet altijd in de genoemde volgorde. Daarnaast zal het modelleerproces van de leerling verschillen van het modelleerproces van een beroepsbeoefenaar (je zou verwachten dat 14

15 een beroepsbeoefenaar, in tegenstelling tot een leerling, een bewuste volgorde aan houdt in het oplossingsproces). Het proces van wiskundig modelleren kan ook in een schematische vorm worden beschreven. Voor dit onderzoek naar de moeilijkheden die ontstaan bij het oplossen van contextrijke vraagstukken, is een schematisch procesmodel voor wiskundig modelleren nodig. In de volgende paragraaf worden drie cyclische procesmodellen toegelicht. 3.2 Procesmodellen voor modelleren In deze paragraaf wordt nader ingegaan op verschillende procesmodellen voor wiskundig modelleren, de procesmodellen van Spandaw en Zwaneveld (2009), Blum en Leiβ (in Heck, 2008) en Chamberlin en Moon (2005) worden beschreven. Eén van deze modellen is de modelleercyclus in figuur 1 (Spandaw & Zwaneveld, 2009). Spandaw en Zwaneveld (2009) onderscheiden hierin vijf activiteiten: conceptualiseren, mathematiseren, oplossen, interpreteren en valideren. Figuur 1. Modelleercyclus. Overgenomen uit Handboek wiskundedidactiek, p. 235, Spandaw & Zwaneveld, Modelleren. In Drijvers, van Steun & Zwaneveld (2009), Utrecht: Epsilon. Bij het oplossen van een wiskundig, contextrijk probleem is de eerste stap van het procesmodel in figuur 1 conceptualiseren (Spandaw en Zwaneveld, 2009). Dit is het vertalen van de context waarin het probleem wordt voorgesteld naar een conceptueel model. De leerling moet zichzelf vragen stellen als: Welke gegevens zijn er? en Wat is echt relevant?. Op deze manier legt de leerling verbanden tussen de relevante grootheden. De volgende activiteit is mathematiseren. Mathematiseren is het opstellen van een wiskundig model. Hierbij worden de grootheden en verbanden tussen deze grootheden in wiskundige termen geformuleerd, zoals het opstellen van een formule of een vergelijking. In de fase van het oplossen wordt de wiskundige oplossing gegeven binnen het wiskundig model. Spandaw en Zwaneveld benadrukken dat het belangrijk is om de probleemsituatie in deze fase niet uit het oog te verliezen. Tijdens het interpreteren wordt teruggegrepen naar de probleemsituatie, waarmee de modelleercyclus is gestart. De gevonden oplossing wordt beschreven in de terminologie van de probleemsituatie. In de laatste fase van de modelleercyclus, het valideren, kijkt 15

16 de leerling kritisch terug naar de oplossing en het wiskundig model. Soms kunnen delen van de modelleercyclus moeten worden aangepast, als de oplossing niet klopt. Het valideren kan ook na iedere fase worden toegepast. Naast de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld, hebben Blum en Leiβ (in Heck, 2008) een andere modelleercyclus ontwikkeld. Het procesmodel van Blum en Leiβ (in Heck, 2008) wordt veel gebruikt door onder andere Heck (2008) en Verhoef et al. (2013). Heck (2008) beschrijft in zijn artikel hoe een concreet procesmodel voor modelleren, zoals de modelleercyclus van Blum en Leiβ, houvast kan bieden bij het structureren en het ontwerpen van modelleeractiviteiten. De procesmodelleercyclus van Blum en Leiβ is weergegeven in figuur 2. Figuur 2. Modelleercyclus. Overgenomen uit Stuiteren tussen probleemsituatie en vakkennis: Hoe een veelzijdige ICT-omgeving het modelleerproces kan ondersteunen, p. 8, Heck (2008). Blum en Leiβ geven in deze cyclus duidelijk aan welke stappen zich binnen de realiteit afspelen en welke stappen zich binnen de wiskunde afspelen. Daarmee is dit model uitgebreider dan de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009). Bovendien maken Blum en Leiβ een ander onderscheid in hun modelleercyclus, namelijk tussen het situatiemodel en het model van de werkelijkheid. Het situatiemodel is een mentaal beeld van de echte situatie. Hoe dit beeld gevormd wordt, hangt af van persoonlijke voorkeuren. Dit beeld kan visueel zijn in de vorm van grafische representaties (schets), maar kan ook meer analytisch gestructureerd zijn via symbolen en verbale beschrijvingen (Heck, 2008, p. 8). Onbewust worden in dit mentale beeld al veronderstellingen en vereenvoudigen toegepast. De vereenvoudiging en structurering van het situatiemodel gaat verder tot een model van de werkelijkheid met een concrete vraagstelling. Deze fase lijkt overeen te komen met het conceptualiseren als fase van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld. 16

17 Tot slot hebben Chamberlin en Moon (2005) wiskundig modelleren ook in een procesmatig model gegoten. Deze kan worden opgedeeld in vier delen. In het eerste gedeelte wordt de context gelezen en worden gegevens op een rijtje gezet. In het tweede gedeelte stelt de leerling zichzelf vragen als: Wie?, Wat? en Hoe? (conceptualiseren). Het derde gedeelte van wiskundig modelleren is het verwerken van de gegevens. Deze kunnen worden weergegeven in een diagram, grafiek, tabel of een vergelijking (mathematiseren). In het vierde gedeelte wordt het probleem opgelost en wordt een antwoord gegeven op de gestelde vraag. Hierbij wordt teruggekoppeld naar de realistische context waarbinnen het probleem werd geïntroduceerd (interpreteren). Het verschil met de procescyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) is dat Chamberlin en Moon didactische heuristieken geven om een fase binnen een oplossingsproces te doorlopen. De fase valideren wordt echter niet genoemd in de beschrijving van het procesmodel voor modelleren door Chamberlin en Moon. Samenvattend zijn de drie procesmodellen van Spandaw en Zwaneveld (2009), Blum en Leiβ (in Heck, 2008) en Chamberlin en Moon (2005) aan bod gekomen in deze paragraaf. De drie besproken procesmodellen komen inhoudelijk grotendeels overeen. Het grote verschil is echter de complexiteit van de modellen. Het model, beschreven door Chamberlin en Moon, was voor dit onderzoek niet eenduidig genoeg, het is eerder een stappenplan dan een kant en klare cyclus. Het mooie van een cyclisch proces is dat de fasen binnen het proces niet in een vaste volgorde doorlopen worden, het is een heen en weer proces binnen de cyclus. Dit is ook kenmerkend voor het leerproces van leerlingen, zij leren niet door middel van een stappenplan, maar er wordt constant heen en weer gegaan binnen het proces van oplossen. Blum en Leiβ maken in hun procesmodel een mooie koppeling van de realistische wereld naar de wiskunde wereld. Een nadeel hiervan is dat de problemen dan echt uit de werkelijkheid moeten komen. In dit onderzoek was dit aspect niet haalbaar, omdat de problemen die voor dit onderzoek zijn gebruikt, ontworpen zijn voor een bepaald wiskundig onderwerp. Verhoef et al. (2013) heeft deze twee cyclussen ook met elkaar vergeleken. Zij geeft aan dat de modelleercyclus van Blum en Leiβ beter bruikbaar is in het onderwijs vergeleken met de cyclus van Spandaw en Zwaneveld, die meer gebruikt wordt in empirische onderzoeken. Omdat de modelleercyclus in dit onderzoek alleen is gebruikt om vraagstukken te ontwerpen en transcripties van leerlingen te coderen, leende de overzichtelijke cyclus van Spandaw en Zwaneveld zich het beste voor dit onderzoek. De criteria voor de transcripties van leerlingen met betrekking tot deze modelleercyclus zijn verwerkt in tabel 1. Tabel 1. Criteria voor transcripties. Criteria Conceptualiseren Verwachtingen van transcripties leerlingen In de transcripties moet duidelijk blijken dat de leerlingen de context vertalen naar een conceptueel model. De leerling moet 17

18 Mathematiseren Oplossen Interpreteren Valideren zichzelf vragen stellen als: Welke gegevens zijn er? en Wat is echt relevant voor de opdracht?. Op deze manier legt de leerlingen verbanden tussen relevante grootheden. Aan de hand van het conceptueel model wordt in deze fase van modelleren een wiskundig model opgesteld. Hierbij worden de grootheden en verbanden hiertussen in wiskundige termen geformuleerd. Bijvoorbeeld het x stellen van een lijnstuk, het opstellen van een formule en het beschrijven van gegevens in een tabel of een grafiek. Tijdens het oplossen wordt de wiskundige oplossing gegeven binnen het wiskundig model, bijvoorbeeld het oplossen van een vergelijking. In deze fase wordt teruggegrepen naar de context waarbinnen het probleem werd aangeboden en waarmee de modelleercyclus is gestart. De gevonden oplossing uit de vorige fase wordt beschreven in terminologie van de probleemsituatie. De modelleercyclus wordt afgesloten met valideren. In deze fase kijken de leerlingen kritisch terug naar het wiskundig model. Als de oplossing niet klopt, kunnen delen van de modelleercyclus moeten worden aangepast. Het valideren kan ook aan het einde van iedere fase worden toegepast. Om de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) te illustreren, is de modelleercyclus in figuur 3 stap voor stap doorlopen in een opgave uit het boek Getal & Ruimte voor mijn 4-havoklas wiskunde A. Dit probleem wordt aangeboden vanuit een contextrijke beginsituatie. 18

19 Een marktkoopman verkoopt T-shirts. De ervaring leert dat bij een prijs van 5,- per week 90 T- shirts verkocht worden. Maar bij een prijs van 8,- is de weekverkoop nog maar 30 stuks. Er bestaat een lineair verband tussen de prijs p in euro s van een T-shirt en de weekverkoop q. Hoeveel is de weekverkoop bij een prijs van 6,95 euro? Conceptualiseren Uit p = 5 volgt q = 90. Uit p = 8 volgt q = 30. Lineair verband dus q = ap + b met a = Δq Δp. Gevraagd: Uit p = 6,95 volgt q =? Mathematiseren a = q = = 20. Dus q = 20p + b met p=5 en q=90 geeft: p = b 90 = b b = = 190 Dus q = 20p Oplossen q = 20p met p = 6,95 geeft: q = 20 6, = 51 Interpreteren Er worden 51 T-shirts per week verkocht bij een prijs van 6,95. Valideren De algebra klopt. De oplossing is realistisch, want 6,95 ligt tussen 5,- en 8,- en 51 ligt ook tussen 30 en 90. Figuur 3. Voorbeeld contextrijke modelleeropgave. De leerling moet het probleem oplossen door de weekverkoop van de T-shirts te berekenen bij een prijs van 6,95 euro. Door te conceptualiseren worden de gegevens overzichtelijk weergegeven zonder overbodige informatie. Daarnaast wordt de algemene formule behorend bij een lineair verband omgezet naar een formule passend bij deze context. Tijdens het mathematiseren wordt de formule compleet gemaakt door de richtingscoëfficiënt (a) en het snijpunt met de q-as (b) te berekenen. Hiermee is de formule behorend bij deze context en het gegeven verband opgesteld. Tijdens het oplossen wordt de prijs van 6,95 euro ingevuld in de opgestelde formule. Hieruit volgt de wiskundige oplossing, namelijk q = 51. In de volgende fase wordt deze oplossing geïnterpreteerd binnen de probleemsituatie, waarbij de leerling zichzelf de volgende vraag stelt: Wat betekent q = 51 binnen de context van het probleem?. In dit geval betekent de oplossing q = 51 dat de weekverkoop 51 T-shirts is bij een prijs van 6,95 per T-shirt. De gehele uitwerking van het probleem wordt tot slot gevalideerd. Er wordt nagegaan of de opgestelde formule klopt, de gegevens op de juiste manier zijn gebruikt en of 19

20 de oplossing op de juiste manier is berekend en gevalideerd. Hiermee wordt het cyclische proces van wiskundig modelleren afgesloten. 3.3 Wiskundig modelleren en contextrijke vraagstukken Klymchuk en Zverkova (2001), Kim en Kim (2009), Crouch en Haines (2003) en Blum en Leiβ (2007) hebben eerder onderzoek gedaan naar het gebruik wiskundig modelleren om contextrijke vraagstukken op te lossen binnen het onderwijs. Klymchuk en Zverkova (2001) namen in hun onderzoek een vragenlijst af bij 502 eerste- en tweedejaars studenten van veertien Universiteiten in negen verschillende landen. Deze 502 studenten studeerden wiskunde niet als hoofdvak maar als een aanvullend vak. Klymchuk en Zverkova onderzochten de mening van studenten over de rol van wiskundig modelleren in hun studie en welke stap de studenten het meest moeilijk vonden in het proces van modelleren. Klymchuk en Zverkova gebruikten in plaats van wiskundig modelleren de term problemen oplossen, omdat de leerlingen de betekenis van wiskundig modelleren niet kenden. De studenten kregen in het onderzoek onder andere een modelleercyclus te zien waarin de stappen van het oplossen van een wiskundig probleem weergegeven waren: het formuleren van een wiskundig model; het vinden van de oplossing binnen het wiskundig model; de oplossing interpreteren binnen de gestelde context. Uit het onderzoek van Klymchuk en Zverkova (2001) is gebleken dat 75% van de ondervraagde studenten het formuleren van het wiskundig model het meest moeilijk vonden bij het oplossen van een wiskundig probleem, dit komt overeen met de fase mathematiseren binnen de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009). De oorzaak hiervan lag volgens de studenten in het feit dat zij nooit hadden geleerd hoe ze een wiskundig model moesten opstellen bij een bepaald probleem. Crouch en Haines (2003) analyseerden in hun onderzoek de antwoorden van 25 studenten op verschillende vragen met betrekking tot wiskundig modelleren. De studenten waren nog niet lang bekend met wiskundig modelleren, verder is in het artikel nauwelijks gespecificeerd wat voor studenten het waren. Crouch en Haines richtten zich in hun onderzoek op de volgende onderdelen van de procesmodelleercyclus: de koppeling van realistische context naar de wiskundige wereld; het opstellen en het werken binnen het wiskundige model; de koppeling van het wiskundige model naar de realistische context. 20

21 Crouch en Haines (2003) hebben de resultaten van het onderzoek niet opgedeeld in de fasen van wiskundig modelleren afzonderlijk, maar in de koppelingen tussen de realistische context, de wiskunde wereld en het wiskundige model. Uit het onderzoek is gebleken dat de koppeling tussen een realistische context en een wiskundig model voor complicaties zorgde in de denkprocessen van leerlingen tijdens het oplossen van wiskundige problemen. Dit komt overeen met het resultaat van het onderzoek van Klymchuk en Zverkova (2001). De studenten hadden moeite met het schakelen tussen de werkelijkheid en het wiskundige model, zij zagen dit volledig los van elkaar. Volgens Crouch en Haines is de overgang van de context naar een wiskundig model en de overgang van de oplossing naar de realistische context niet vanzelfsprekend voor leerlingen. De oorzaak hiervan kan zijn dat de leerlingen de vraagstukken (die vanuit een boek worden voorgedragen) niet goed kunnen visualiseren, dit kan de motivatie voor het oplossen van wiskundige problemen beïnvloeden. Daarnaast is het voor leerlingen moeilijk om relevante informatie uit problemen te destilleren en vervolgens de juiste technieken hierop toe te passen. Leerlingen hebben volgens Crouch en Haines (2003) behoefte aan verbindingen tussen de realistische wereld en het wiskundige aspect hiervan. Om deze verbindingen te maken moet het onderwijs meer gericht zijn op de abstractie en de formulering van een wiskundig model vanuit een gegeven realistische context. Bovendien is er bij het ontwikkelen van modelleervaardigheden bij leerlingen behoefte aan het oefenen met open oefeningen waarin de wiskunde niet direct zichtbaar is binnen de realistische context. Daarnaast heeft het inlevingsvermogen van de leerlingen in de probleemsituatie effect op de modelleervaardigheden. Leerlingen moeten zich gedurende het hele modelleerproces kunnen verplaatsen van de realistische wereld naar de wiskundige wereld en andersom. De rol van de docenten is om leerlingen te helpen verbanden te zien tussen de realistische wereld en de wiskundige wereld. Als de resultaten van het onderzoek van Crouch en Haines worden vergeleken met de procesmodelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009), is uit het onderzoek van Crouch en Haines gebleken dat leerlingen vooral moeite hebben met de fasen conceptualiseren, interpreteren en valideren (Crouch & Haines, 2003). In een onderzoek uitgevoerd aan de Universiteit van Kassel, Duitsland, zijn onder andere de moeilijkheden van studenten tijdens het oplossen van modelleeropgaven onderzocht. Het onderzoek is uitgevoerd bij een aantal leerlingen, verdeeld in tweetallen van verschillend opleidingsniveau. De leerlingen waren ongeveer veertien en vijftien jaar oud. In dit onderzoek zijn de leerlingen geobserveerd, gefilmd en geïnterviewd tijdens het oplossen van een contextrijke modelleeropgave. De leerlingen liepen vooral vast bij het oplossen van een vergelijking bij het berekenen van een onbekende met de Stelling van Pythagoras. Sommige studenten liepen vast omdat er een onnodig gegeven in de tekst stond, waardoor ze verward raakten. Een ander resultaat in dit onderzoek was het ontbreken van het valideren en het reflecteren van het oplossingsproces (Blum & Leiβ, 2007). 21

22 Samengevat blijkt uit de beschreven onderzoeken dat leerlingen moeite hebben verschillende fasen van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) bij het oplossen van contextrijke modelleervraagstukken. Zo hadden de leerlingen in het onderzoek van Klymchuk en Zverkova (2001) het meest moeite met het opstellen van een wiskundig model (mathematiseren), omdat dit hen volgens de leerlingen nooit was geleerd. In het onderzoek van Crouch en Haines (2003) vonden de leerlingen het lastig om te schakelen tussen de werkelijkheid en het wiskundig model, wat veroorzaakt kan zijn doordat de leerlingen de vraagstukken niet goed kunnen visualiseren. Daarnaast hadden de leerlingen moeite met het gebruiken van relevante gegevens en het toepassen van de juiste technieken op deze gegevens. Dit bleek ook uit het onderzoek van Blum en Leiβ (2007), de leerlingen raakten verward door onnodige gegevens in de context. Tot slot concludeerden Blum en Leiβ dat de fasen valideren en reflecteren vaak ontbraken in het oplossingsproces van leerlingen. In dit onderzoek zijn de fasen van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) en de complicaties binnen deze fasen in beeld gebracht in de transcripties van de leerlingen tijdens het maken van geselecteerde contextrijke vraagstukken, die tevens modelleervraagstukken zijn. Naast gebruik te maken van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld, zijn de principes van Chamberlin en Moon (2009) ingezet gedurende dit onderzoek. Deze zes principes worden in de volgende paragraaf besproken. 3.4 Ontwerpen van modelleervraagstukken Om de leerlingen de fasen van de cyclus voor wiskundig modelleren te laten doorlopen in de geselecteerde contextrijke vraagstukken, moeten de fasen uit het procesmodel van Spandaw en Zwaneveld (2009) hierin terugkomen. In dit onderzoek is dit procesmodel gecombineerd met de zes principes van Chamberlin en Moon (2005). Deze principes beschrijven de eisen waaraan contextrijke vraagstukken, die geschikt zijn voor wiskundig modelleren, aan moeten voldoen. Deze eisen voor de vraagstukken zijn ook verwerkt in de criteria voor de vraagstukken in tabel Er moet een wiskundig model kunnen worden gemaakt bij het probleem, het model moet elementen bevatten en verbanden tussen grootheden beschrijven. Het belangrijkste van de vraagstukken is, dat deze ontworpen moeten zijn om creatief gedrag en een hoger niveau van denken uit te lokken bij leerlingen. 2. Een vraagstuk moet zo ontwikkeld zijn dat het probleem kan optreden in het dagelijks leven van de leerlingen, het moet realistisch zijn. Hierdoor wordt de belangstelling van de leerling getrokken. 3. De leerling moet het nut van de oplossing in kunnen zien, zonder de sturing van de docent. 4. Een vraagstuk moet gedachten onthullen van leerlingen. Tijdens het berekenen van de oplossing moeten de denkwijzen van de leerlingen duidelijk zijn. Dit principe staat in relatie 22

23 tot het principe van evalueren, waarbij leerlingen zich afvragen of hun oplossingen juist zijn. Daarnaast zorgen de vraagstukken ervoor dat docenten zich beter kunnen richten op de denkprocessen van hun leerlingen tijdens het oplossen van problemen. Zij kunnen precies achterhalen waar de hiaten zitten. 5. Leerlingen moeten vraagstukken kunnen herkennen en vergelijken. Zo kunnen de leerlingen de wiskundige modellen hergebruiken in andere situaties. 6. Het voorgaande principe staat in relatie tot het laatste principe, het model moet gemakkelijk te interpreteren zijn door anderen. De laatste twee principes geven leerlingen het inzicht dat wiskundige modellen bruikbaar kunnen zijn in andere, soortgelijke situaties (Chamberlin & Moon, 2005). Tabel 2. Criteria voor de vraagstukken. Model Criteria Verwachtingen van wiskundige vraagstukken Bij het wiskundige probleem moet een model kunnen worden gemaakt. Dit model moet grootheden bevatten en verbanden tussen deze grootheden beschrijven. Realistisch Nut Onthullen van gedachten Hergebruiken Een vraagstuk moet zo ontwikkeld zijn dat het probleem kan optreden in het dagelijks leven van de leerlingen, het moet realistisch zijn. De leerlingen moeten zich iets bij de probleemsituaties kunnen voorstellen. Hierdoor wordt de belangstelling van de leerlingen gewekt. Leerlingen moeten het nut van de oplossing inzien, zonder de sturing van de docent. Voor leerlingen moet het duidelijk zijn wat de meerwaarde is van de oplossing van het probleem. Bij het vinden van de oplossingen, moet duidelijk zijn welke denkwijzen de leerlingen hebben. Deze denkwijzen moeten leerlingen kunnen benoemen of kunnen noteren in de uitwerkingen. De gebruikte wiskundige modellen in vraagstukken moeten gebruikt kunnen worden in soortgelijke vraagstukken. Op deze manier leren leerlingen vraagstukken vergelijken en zo herkennen zij dat wiskundige modellen ook in andere contexten kunnen worden toegepast. 23

24 Gemakkelijk te interpreteren Het wiskundige model dat leerlingen hebben opgesteld aan de hand van een context, moet gemakkelijk te interpreteren zijn door anderen. Zo moeten docenten de stappen van leerlingen kunnen volgen. Spandaw en Zwaneveld (2009) geven als advies vraagstukken te selecteren uit examens, schoolboeken, internet, vraagstukken uit A-lympiades en vraagstukken van de wiskunde-b-dagen van het Freudenthal-Instituut. Deze vraagstukken zijn te gebruiken als bronnen voor modelleeropdrachten. Daarnaast zijn modelleervraagstukken terug te vinden in materiaal van de vakken wiskunde D en Natuur, Leven & Technologie (Spandaw & Zwaneveld, 2009). Het doel van dit onderzoek was het onderzoeken van moeilijkheden bij leerlingen van 4-havo wiskunde A tijdens het oplossen van contextrijke wiskundige problemen die geschikt zijn voor wiskundig modelleren. Om deze moeilijkheden in of tussen de fasen van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) in kaart te brengen, zijn drie contextrijke modelleervraagstukken ontwikkeld. Deze vraagstukken voldoen aan de zes principes van Chamberlin en Moon (2005) en de fasen van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld moeten in de vraagstukken terugkomen. Om het doel van dit onderzoek te bereiken, is een aantal onderzoeksvragen opgesteld. Deze worden in het volgende hoofdstuk beschreven. 24

25 4 Onderzoeksopzet 4.1 Typering van het onderzoek In dit exploratief diagnostische onderzoek zijn de transcripties van drie individuele leerlingen geheel geanalyseerd zodat moeilijkheden bij het maken van contextrijke vraagstukken optimaal in beeld konden worden gebracht. Er is gekozen voor een kwalitatief onderzoek bestaande uit drie delen. In het eerste deel zijn de contextrijke modelleervraagstukken als instrument ontwikkeld, deze stimuli zijn gebruikt om reacties op te roepen. Deze reacties zijn vervolgens getranscribeerd en gecategoriseerd. In het derde deel is bepaald wat volgens de leerlingen de benodigde hulpmiddelen waren om hun struikelblokken te overwinnen. 4.2 Hoofdvraag en deelvragen De aanleidende vraag van dit onderzoek was: Welke denkstappen vinden de leerlingen moeilijk als zij wiskundige, contextrijke problemen oplossen en waar zijn complicaties binnen deze denkstappen zichtbaar? Dit heb ik vertaald naar de volgende onderzoeksvraag: In welke fasen van het proces modelleren lopen de leerlingen van mijn 4-havoklas wiskunde A vast tijdens het oplossen van wiskundige problemen, welke struikelblokken ervaren de leerlingen binnen de fasen en welke hulpmiddelen denken zij nodig te hebben? Met wiskundige problemen worden contextrijke modelleervraagstukken bedoeld die voldoen aan de fasen van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) en aan de zes principes van Chamberlin en Moon (2005). Deze vraag is beantwoord door de transcripties van de leerlingen tijdens het oplossen van wiskundige problemen te analyseren aan de hand van het procesmodel voor modelleren, ontwikkeld door Spandaw en Zwaneveld (2009). Om de hoofdvraag te beantwoorden, is een aantal deelvragen opgesteld. Met betrekking tot het ontwerpen van wiskundige problemen (instrument): 1. Wat zijn in dit onderzoek de kenmerken van de contextrijke wiskundige problemen die geschikt zijn voor wiskundig modelleren? 2. Waar komen de fasen van wiskundig modelleren terug in de wiskundige problemen (instrument) die worden gebruikt in dit onderzoek? 25

26 3. Hoe beoordelen collegae de geselecteerde problemen op elk van de aspecten van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld en de zes principes van Chamberlin en Moon? Welke aanpassingen stellen zij voor? Met betrekking tot het analyseren van het proces modelleren bij de leerlingen: 4. In hoeverre worden de fase(n) van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld door de leerlingen tijdens het oplossen van de wiskundige problemen doorlopen? 5. Welke complicaties zijn zichtbaar in de transcripties van de leerlingen en in welke fasen komen deze complicaties voor? 6. Welke (meer of mindere) adequate strategieën passen de leerlingen toe? 7. Wat zijn volgens de leerlingen de benodigde hulpmiddelen (binnen de geselecteerde problemen) om hun struikelblokken te overwinnen? 4.3 Onderzoeksgroep Dit onderzoek is uitgevoerd op het College in Volendam. De meeste leerlingen van het College komen uit de regio Waterland. Voor dit onderzoek heb ik drie welwillende leerlingen uit mijn 4-havoklas wiskunde A geselecteerd. De leerlingen hadden de leeftijd van zestien en zeventien jaar. De drie leerlingen hebben voorafgaand aan het onderzoek een brief ontvangen met daarin informatie over het onderzoek waaraan zij zouden deelnemen. In deze brief is duidelijk beschreven wat hun taak zou zijn binnen het onderzoek en welke theorie zij van tevoren tot zich moesten nemen. Ook is de leerlingen gegarandeerd dat hun naam in het gehele onderzoek niet zou worden genoemd, maar gebruik zou worden gemaakt van een pseudoniem. De brief is in Appendix B opgenomen. 4.4 Onderzoeksinstrumenten Gedurende dit onderzoek is gebruik gemaakt van drie instrumenten: het ontwikkelen van contextrijke modelleervraagstukken, het hardop denkprotocol en het stimulated recall interview. Eerst zijn de drie contextrijke vraagstukken geselecteerd en aangepast naar het niveau van de leerlingen en de criteria beschreven in tabel 1 en 2, zodat deze vraagstukken geschikt waren voor het proces van modelleren. Vervolgens zijn de vraagstukken voorzien van feedback van mijn collegae en door mij aangepast. Daarna hebben de leerlingen de opgaven gemaakt door middel van hardop denken. Tot slot heeft een stimulated recall interview plaatsgevonden waarin samen met de leerlingen werd terug gekeken naar de uitgewerkte vraagstukken Vraagstukken De contextrijke modelleervraagstukken zijn geselecteerd uit de lesboeken voor 4-havo en wiskunde examens aan de hand de criteria in tabel 1 en 2, gebaseerd op de modelleercyclus in figuur 1 (Spandaw 26

27 & Zwaneveld, 2009) en de zes principes van Chamberlin en Moon (2005) in tabel 2. De vraagstukken zijn zodanig ontworpen, dat leerlingen van 4-havo wiskunde A de vraagstukken zouden moeten kunnen oplossen. Hierdoor werd voorkomen dat de leerlingen in het begin vast zouden lopen. De vraagstukken zijn geselecteerd aan de hand van drie hoofdstukken uit de methode Getal en Ruimte voor het havo wiskunde A: hoofdstuk 3: Lineaire modellen; hoofdstuk 5: Veranderingen; hoofdstuk 7: Allerlei formules. In totaal moesten de leerlingen de vraagstukken in ongeveer 30 minuten kunnen maken. De vraagstukken zijn vooraf uitgewerkt waarbij iedere fase van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) zichtbaar is weergegeven. Vervolgens zijn de vraagstukken ter validiteit beoordeeld door drie collegae binnen de sectie wiskunde, één van hen gaf les aan een 4-havoklas wiskunde A, de andere collega is drie jaar geleden afgestudeerd als eerstegraads docente en heeft tot vorig schooljaar jaren achtereen lesgegeven aan 4-havo wiskunde A. De laatste collega is de voorzitter van de vaksectie wiskunde. Mijn collegae beoordeelden de vraagstukken aan de hand van de criteria in tabel 1 en 2. Hierbij heb ik hen gevraagd de volgende vragen te beantwoorden: Zijn de vraagstukken geschikt voor de leerlingen van 4-havo wiskunde A? Voldoen de vraagstukken aan de zes principes van Chamberlin en Moon (2005)? Komen de fasen van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) op de juiste manier terug in de uitwerkingen van de vraagstukken en zullen de leerlingen deze oplossingsstrategieën ook toepassen? Mijn collegae gaven alle drie als feedback dat bepaalde fasen van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) in de context van de vraagstukken al uit handen van de leerlingen waren genomen. Zo ontbrak de fase conceptualiseren in opgave 1 en de fase mathematiseren in opgave 1 en 2. In opgave 3 gaven mijn collegae aan dat de context niet goed paste bij de belevingswereld van de leerlingen. Door het verhaal wat meer in te leiden, heb ik het nut van de opgave duidelijker naar voren gebracht. Naar aanleiding van het feedback van deze experts, zijn de vraagstukken en de uitwerkingen aangepast waarna de leerlingen de vraagstukken konden maken. In Appendix C zijn de resultaten van het feedback en de verantwoording van de aanpassingen van de vraagstukken weergegeven. De definitieve opgaven en de verantwoording van de opgaven zijn toegevoegd in Appendix D. De verantwoording van de opgaven is weggelaten in de versie voor de leerlingen. Ook zijn de uitwerkingen van de opgaven toegevoegd in Appendix E. 27

28 4.4.2 Hardop denkprotocol In het tweede deel van het onderzoek heeft de onderzoeksgroep de drie contextrijke modelleervraagstukken gemaakt door middel van hardop denken. Dit gedeelte is uitgevoerd op het College op 28 en 29 mei Dit was vier weken voor het schoolexamen, zodat de leerlingen de kennis van de drie hoofdstukken paraat hadden. Voorafgaand aan dit deel van het onderzoek heb ik de leerlingen een brief met daarin een lijst van de theorie gegeven dat zij vooraf moesten leren, zodat zij niet onnodig veel zouden voorbereiden. De leerlingen maakten deze vraagstukken op verschillende momenten door middel van hardop denken. Hierbij heb ik hen tijdens het maken van de vraagstukken voortdurend gevraagd hun gedachten uit te spreken (Schellings, 2012). Daarnaast is ter behoeve van de betrouwbaarheid gebruik gemaakt van geluidsapparatuur zodat de stappen binnen de denkprocessen van de leerlingen optimaal in beeld konden worden gebracht. In dit deel van het onderzoek konden leerlingen de opgaven volledig en foutloos maken, de leerlingen konden struikelblokken ervaren met een onjuist antwoord tot gevolg en de leerlingen konden vastlopen waardoor zij de opgave niet op konden lossen. De leerlingen zijn gedurende het hele onderzoek niet geholpen, tenzij zij om een hulpmiddel vroegen tijdens het stimulated recall interview Stimulated recall interview In het derde deel van het onderzoek is een stimulated recall interview gehouden met de leerlingen. Hierin gaven zij aan wat hun benodigde hulpmiddelen waren om de struikelblokken, die zij ervoeren tijdens het maken van de contextrijke modelleervraagstukken, te overwinnen. Dit interview werd ook opgenomen en heeft plaats gevonden direct nadat de leerlingen de vraagstukken hadden gemaakt. Samen met de leerlingen werden hun uitwerkingen van de opgaven opnieuw doorgenomen. Hierbij werd samen naar hun uitwerkingen gekeken waarna de leerlingen gevraagd werd welk hulpmiddel zij nodig dachten te hebben op het moment dat zij vastliepen. Wanneer de leerlingen dit hulpmiddel konden verwoorden, werd hen deze gegeven en mochten de leerlingen proberen de opgave verder op te lossen. Wanneer de leerlingen niet konden verwoorden welk hulpmiddel zij nodig dachten te hebben, kregen zij een aanwijzing of werd hun een vraag gesteld waarvan ik als onderzoeker dacht dat de leerlingen daarmee verder zouden kunnen. De leerlingen kregen net zo lang hulpmiddelen aangeboden totdat zij de hele opgave hadden doorlopen en het vraagstuk naar hun idee hadden opgelost. Hierdoor zouden de leerlingen toch in de volgende fase van de modelleercyclus terecht kunnen komen. Voorbeelden van aangereikte hulpmiddelen waren: het maken van een schets, het vragen naar een formule behorend bij een wiskundig verband, de gegevens overzichtelijk weergeven of de berekening nog even goed bekijken. Wanneer leerlingen een geheel andere oplossingsstrategie gebruikten dan vooraf uitgewerkt, werd hen gevraagd wat zij van die manier vonden en waarom ze voor deze manier van oplossen hadden gekozen. Nadat de leerlingen de opgaven hadden gemaakt, werd hen gevraagd wat zij aan de aangeboden hulpmiddelen hadden gehad en of deze nuttig waren geweest. 28

29 4.5 Dataverzameling, dataverwerking en data-analyse Dataverzameling De dataverzameling is grotendeels beschreven in de vorige paragraaf. De data zijn verzameld door gebruik te maken van geluidsapparatuur wanneer de leerlingen de opgaven hardop denkend maakten. Ook het stimulated recall interview is opgenomen. Het onderzoek is 28 en 29 mei 2015 uitgevoerd bij drie leerlingen van het Don Bosco College in Volendam die het vierde jaar van hun havo-opleiding volgden en het heeft plaatsgevonden in een leslokaal dat speciaal voor het onderzoek was vrij geroosterd Dataverwerking De opnamen van de denkprocessen van de leerlingen zijn volledig uitgeschreven en gecodeerd aan de hand de criteria in tabel 1 gebaseerd op de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2005). In deze transcripties zijn de fasen van de modelleercyclus gecodeerd op kleur. De fase conceptualiseren is aangegeven met de kleur geel, mathematiseren met rood, oplossen met blauw, interpreteren met groen, valideren met paars en overig met grijs. De gecodeerde transcripties zijn toegevoegd in Appendix F. Elke opgave is genummerd, zo zijn er negen episodes ontstaan. Per episode is tabel 3 ingevuld in een Excel-bestand. Dit bestand is toegevoegd in Appendix G. Tabel 3 Tabel voor dataverwerking Beschrijving Oorzaak van Oorzaak Hulpmiddel Hulpmiddel episode vastlopen complicatie benoemd effectief Data-analyse Aan de hand van tabel 3 zijn de uitwerkingen van de leerlingen geanalyseerd om de onderzoeksvragen te beantwoorden. De struikelblokken die de leerlingen ervoeren gedurende dit onderzoek, met vastlopen of een onjuist antwoord tot gevolg, zijn ingedeeld in vier categorieën: gebrek aan voorkennis, gebrek aan algebraïsche basisvaardigheden, onbekwaam in toepassen van kennis en gebruik van beperkte strategieën. Gebrek aan voorkennis Leerlingen die struikelblokken ervoeren of vastliepen door gebrek aan voorkennis, hebben de theorie die zij tot zich moesten nemen niet goed geleerd. De leerlingen hebben zich de stof niet eigen kunnen maken en onthielden alleen regels zoals deze in het boek vermeld stonden. Zij vergaten bijvoorbeeld welke formules konden worden opgesteld bij een bepaald wiskundig verband. 29

30 Gebrek aan algebraïsche basisvaardigheden Volgens Drijvers et al. (2006) bestaan algebraïsche basisvaardigheden, oftewel algebraïsch rekenen, uit het oplossen van vergelijkingen en het vereenvoudigen van wiskundige uitdrukkingen. Onder algebraïsche basisvaardigheden wordt in dit onderzoek verstaan: het herleiden van uitdrukkingen, rekenen met getallen en letters en het algebraïsch oplossen en vereenvoudigen van vergelijkingen. Onbekwaam in toepassen van kennis Leerlingen die hierdoor zijn vastgelopen, wisten niet hoe zij de geleerde kennis moesten toepassen in de contextrijke opgaven. Deze leerlingen hebben de theorie tot zich genomen, maar door de gegeven context wisten zij de theorie niet toe te passen in contextrijke vraagstukken. Gebruik van beperkte strategieën Leerlingen die complicaties ervoeren of vastliepen tijdens het maken van de vraagstukken door gebruik van beperkte strategieën zijn te gefixeerd geweest op een voorbeeld of strategie waardoor zij zijn vastgelopen of een onjuist antwoord hebben gegeven. Dit kan gebeurd zijn doordat de leerlingen direct een formule hebben toegepast, of direct zijn gestart met de fase oplossen, zonder echt te kijken naar de betekenis van de getallen in de context. Tijdens het stimulated recall interview is leerlingen gevraagd welk hulpmiddel zij nodig dachten te hebben om de opgave af te kunnen maken. In het Excel-bestand in Appendix G is bijgehouden hoe vaak de leerlingen het hulpmiddel zelf konden benoemen. Daarnaast is bijgehouden of het aangeboden hulpmiddel effectief is geweest. Een hulpmiddel is in dit onderzoek aangeboden door middel van een vraag of een aanwijzing Voorbeeld Om de data analyse te illustreren, is het probleem uit figuur 3 voorgelegd aan een leerling van 4-vwo van het College. Deze leerling kreeg de opdracht om hardop te denken tijdens het maken van dit probleem. Het gesprek werd opgenomen. De opname is vervolgens uitgeschreven en gecodeerd aan de hand van de criteria in tabel 1. Leest opgave voor. Oja, dan gebruik ik als lineaire formule y = ax + b. Maar nu voor p en q. Dus is y dan q? Even kijken (leest voor: lineair verband tussen de prijs p in euro s en..). Ja volgens mij wel. Dus q = ap + b. Dan bereken ik eerst de richtingscoëfficiënt a. a = Δy q. Dus nu: a =. Δx p 30

31 Dus dat is: bij p = 5 hoort q = 90en bij p = 8 hoort q = 30. Dan is a = = 60 = 20, dus a is negatief. Waarom negatief, klopt dat? Het aantal T-shirts zal wel afnemen toch? nee, de prijs neemt af? Nou ja het zal. Dan is het q = 20p + b, dus ja het aantal T-shirts neemt af, ja natuurlijk. Nu moet ik achter b zien te komen: 90 = 20p + b 90 = b 90 = b b = 190 Dan hebben we q = 20p als formule. Dan vullen we de prijs is, dat is 6, , = 51 Dus q = 51. Dus de weekverkoop bij een prijs van 6,95 euro is 51 T-shirts. De fase interpreteren is twee keer teruggekomen in de transcriptie. De fase valideren is alleen doorlopen na stap 3: mathematiseren. Aan het einde van het oplossingsproces is deze fase niet doorlopen waardoor het proces van oplossen niet is gevalideerd. Dit heeft niet geleid tot complicaties bij het formuleren van het antwoord. 4.6 Validiteit, geldigheid, betrouwbaarheid en transparantie Om de validiteit van dit onderzoek te waarborgen, is een aantal maatregelen genomen. Ten eerste is er gedurende het onderzoek gebruik gemaakt van geluidsapparatuur tijdens het hardop denkprotocol en het stimulated recall interview zodat de transcripties naar waarheid werden uitgeschreven. Ten tweede is er dit kwalitatieve onderzoek sprake geweest van plausibiliteit en transparantie in plaats van controleerbaarheid (Baarda, 2009). Samen met mijn begeleider en onderzoeker Sonia Abrantes Garcez Palha heb ik een deel van de coderingen en de analyse van de transcripties van mijn leerlingen bekeken zodat de betrouwbaarheid van de coderingen werd verhoogd. Alle gecodeerde transcripties van de leerlingen zijn uitgeschreven en opgenomen in Appendix F. Tot slot is zowel het hardop denkprotocol als het stimulated recall interview ingezet om de validiteit van het onderzoek te vergroten, er is sprake geweest van methodetriangulatie. De leerlingen liepen namelijk vast gedurende het hardop denkprotocol. Hier is nader op ingegaan tijdens het stimlated recall interview. Daarin is gevraagd welk hulpmiddel de leerlingen nodig dachten te hebben om wel verder te kunnen met de opdrachten. In veel gevallen konden de leerlingen dit hulpmiddel benoemen en hielp dit hen in het vervolg van hun oplossingsproces. Om de betrouwbaarheid van het onderzoek te vergroten, zijn de meetinstrumenten die de moeilijkheden bij leerlingen in kaart hebben gebracht (de drie contextrijke modelleervraagstukken) 31

32 voorzien van feedback van drie collegae wiskundedocenten. Deze collegae hebben gecontroleerd of de vraagstukken voldeden aan de criteria beschreven in tabel 1 en 2, zoals beschreven in paragraaf

33 5 Resultaten In dit hoofdstuk worden de resultaten van het onderzoek gepresenteerd. Deze resultaten zijn gebaseerd op de analyse van de transcripties van de drie leerlingen. Per deelvraag worden de resultaten weergegeven en onderbouwd door voorbeelden uit de transcripties van de leerlingen. 5.1 De fasen van de modelleercyclus Uit de transcripties van de leerlingen is gebleken dat de fasen van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) niet geheel terug te vinden waren in de uitwerkingen van de vraagstukken. Zo was de volgorde van de fasen niet eenduidig en soms leken de leerlingen bepaalde fasen over te slaan of heel minimaal te doorlopen, terwijl andere fasen veelvuldig voorkwamen in de transcripties van de leerlingen. Bovendien pasten veel uitspraken van leerlingen niet binnen een bepaalde fase van de modelleercyclus Volgorde van de fasen De fasen die de leerlingen tijdens het oplossen van de contextrijke modelleeropgaven hebben doorlopen, volgden elkaar niet in een vaste volgorde op. De leerlingen sprongen van de ene fase over naar de andere fase. Bovendien kwamen bepaalde fasen meerdere keren voor in de transcripties. In tabel 4 zijn de uitspraken van leerling 1 tijdens het oplossen van opgave 1 per fase van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) weergegeven. Uit deze tabel blijkt dat Eva de fasen in opgave 1 in de volgende volgorde heeft doorlopen: Interpreteren-oplossen-interpreterenoplossen-mathematiseren-oplossen-interpreteren-oplossen-interpreteren-oplossen-conceptualiserenoplossen-interpreteren. Tabel 3. Uitspraken van leerling 1 tijdens het oplossen van opgave 1 per fase van de modelleercyclus. Interpreteren Oplossen Ik neem eerst een vierde deel, het deel dat wel onder water is. Dan kan ik x berekenen. 1 deel van het volume, dan moet ik eerst het 4 volume van de bal berekenen. V = 4 3 π (2 2 )3. Interpreteren Oplossen Dat is het volume van de bal. Dan moet ik 1 berekenen van... 4 Mathematiseren 3 van het volume is onder water, dus W is gelijk aan 3. Dus, 0,75 = 4 4 Oplossen Interpreteren 0,00105x 2 (30 x). x in cm en W in liter. Haakjes wegwerken: 0,75 = 0,00105x 2 30x. y 1 = 0,75, y 2 = 0,00105x 2 30x Ik zoek de x. Optie intersect geeft x = 0,025 en y = 0,75. Maar dat kan niet. 33

34 Oplossen Ja, x = 0,025. W is dan 0,75. Interpreteren Ik moest x berekenen in cm, maar centimeters kunnen niet min zijn, dus dit kan niet. Oplossen Ik begon met het volume van de bol, V = 4 π 3 (d 2 )3. De diameter van de bal is 2 dm, dus het volume van de bal is dan V = 4 π 3 (2 2 )3 = 4,2. Conceptualiseren Oplossen Interpreteren De afstand van de onderkant van de bal tot het wateroppervlak is x. Onderkant van de bal tot het water. Ik weet de diameter van de bal in dm. x moet ik in cm weten. W is 3,15, aan de hand van 3,15 kan ik x berekenen. 3,15 = 0,00105x 2 (30 x), maar er staan twee x -en in de formule. Er zijn nu drie snijpunten, ik moet x berekenen met de optie intersect. Het ene snijpunt geeft een negatief getal, dat kan niet. Het volgende snijpunt is 13,5 en het laatste snijpunt is 25,3. Dus x is 13,5 cm of x is 25,3 cm. Het stukje onder water is dus 13,5 cm, dan is het stuk boven water 6,5 cm. x is 25,3 kan niet omdat de bal maar 20 cm is. Dus het stukje boven water is 13,5. Ria heeft de fasen in dezelfde opgave in de volgende volgorde doorlopen: Oplossen-interpreterenoplossen-interpreteren-conceptualiseren-oplossen-interpreteren-conceptualiseren-oplosseninterpreteren. De uitspraken van Ria tijdens het oplossen van opgave 1 zijn per fase weergegeven in tabel 5. Tabel 4. Uitspraken van Ria tijdens het oplossen van opgave 1 per fase van de modelleercyclus. Oplossen Ok, eerst de inhoud, 3 4 deel. Volume berekenen is: V = 4 3 π (d 2 )3. Eerst berekenen hoeveel cm aan de onderkant. Dat is dan de formule van W = 0,00105x 2 (30 x). En 3 deel van het volume. Euhm.. 3 deel van het 4 4 volume. Dan eerst het volume berekenen: V = 4 π 3 (2 2 )3 = 4,19. Dan 3 4 deel hiervan. 4,19: 4 3 = 3,14, dat is dus 3 deel van het volume. W = 4 0,00105 (3,14) 2 (30 3,14) = 0,28 Interpreteren W is in liter en je hebt decimeter gebruikt. Maar x is in centimeter en ik heb nu decimeter gebruikt. Oplossen Dus het is eigenlijk: W = 0,00105 (31,4) 2 (30 31,4) = 1,45 Interpreteren Het is onder water dus dat betekent dat de bal -1,45 cm onder water zit, hè maar dat kan niet. 34

35 Conceptualiseren Oplossen Interpreteren Maakt schets. 3 deel is onder water, dus 1 deel boven water. Afstand van de 4 4 onderkant van de bal tot het water, o, dat is x. W is het volume van het deel van de bal wat onder water is. Dus dit deel is W. V is het volume van de bal in liters. V = 4 3 π (2 2 )3 = 4,19 Dit is het volume van de hele bal. 3 deel is onder water. Dan moet ik daar 4 dus 1 van nemen, boven water.. 4 Conceptualiseren Oplossen Interpreteren Want ik wil nu x weten. Dan weet ik hoeveel cm onder water is. Dan 2 dm min x, dan weet ik wat boven water uitsteekt. 3,14 = 0,00105x 2 (30 x) y 1 = 3,14, y 2 = 0,00105x 2 (30 x) Optie intersect geeft y = 3,14 en x = 25,3. Dus x is 25,3 cm. Dus dan doe je.. Euhm Optie intersect nu aan de andere kant. x = 13,4. Dan 20 13,4 = 6,6 Dat is dus wat boven water uitsteekt in cm. Uit dit resultaat blijkt dat de cyclus niet in de volgorde is doorlopen zoals dit door Spandaw en Zwaneveld (2009) wordt voorgesteld. Daarbij volgen de leerlingen bij het oplossen van opgave 1 ook niet dezelfde volgorde Frequentie van de fasen In tabel 6 is aangegeven of de fasen van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) wel of niet zijn voorgekomen in de negen episodes. De resultaten in deze tabel worden ongeacht de identificatie van de individuele leerling vermeld. Tabel 6. Resultaten frequentie van de fasen. Fase Leerling Leerl. 1 opg. 1 Leerl. 1 opg. 2 Leerl. 1 opg. 3 Episode Conceptuali seren Mathematis eren Oplossen Interpretere n Valideren 1 Ja Ja Ja Ja Nee 2 Nee Ja Ja Ja Nee 3 Ja Ja Ja Ja Nee 35

36 Leerl. 4 Nee Ja Ja Ja Nee 2opg. 1 Leerl. 5 Nee Ja Ja Ja Nee 2opg. 2 Leerl. 6 Ja Nee Ja Ja Nee 2opg. 3 Ria opg. 1 7 Ja Nee Ja Ja Nee Ria opg. 2 8 Ja Nee Ja Ja Ja Ria opg. 3 9 Ja Nee Ja Ja Nee Conceptualiseren In drie van de negen episodes startten de leerlingen kort met de fase conceptualiseren. Deze fase kwam in de drie andere episodes wel voor, maar niet aan het begin van de uitwerkingen. Leerl. 2startte in het volgende voorbeeld met het oplossen van het probleem. Hij voerde berekeningen uit zonder in beeld te brengen wat de gegeven getallen precies betekenden of een model op te stellen. Hij startte niet met de fasen conceptualiseren en mathematiseren zoals dit in de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) is aangegeven. Eerst ga ik even van België 3,8 per inwoners omzetten naar per 1000 inwoners. Dus 3,8:1000 dan heb ik per 1000 inwoners. Dus 0,0038 per 1000 inwoners. Dan Ik denk kruislinks vermenigvuldigen. 17,9 bovenaan en dan , dat is per alle inwoners. Dus per 1000 inwoners: 16000:1000=16. Aantal sterfgevallen is 3,038 per 1000 inwoners. Dus dan kruislinks vermenigvuldigen is: 16 0,0038: 17,9 = 0,0034 per 1000 inwoners. Dus 0,0034* Het onderstaande voorbeeld is Leerl. 1 wel met de fase conceptualiseren gestart. Ze gaf duidelijk aan wat de getallen in de context betekenden en beschreef verbanden tussen de relevante gegevens. Een container is 6 meter lang. Afstand is 50 km. 100 euro per TEU, vracht. Afstand is 250 km. 300 euro per TEU, ook vracht. Afstand is 250 km. 200 euro per TEU, trein. Afstand is 650 km. 300 euro per TEU, ook trein. Afstand is 250 km. 200 euro per TEU, schip. Afstand is 800 km. 300 euro per TEU, ook schip. Afstand S bij vracht is 50 km. Dus S = 50 en k = 100 euro. En bij die andere is S = 250 en k = 300. Bij trein: S =250 en k = 200. En S = 650 en k = 300. Mathematiseren De fase mathematiseren is minimaal voorgekomen in de transcripties van de leerlingen. In de meeste episodes zijn de leerlingen vrijwel direct gestart met het berekenen van de oplossing binnen het wiskundige model. In vier van de negen episodes kwam de fase mathematiseren helemaal niet voor in de transcripties. Ria is in het onderstaande voorbeeld direct gestart met het uitvoeren van berekeningen 36

37 zonder een vergelijking op te stellen of de gegevens kort op te schrijven en verbanden te leggen. Hierdoor liep zij vast bij het opstellen van de formule. Evenredig verband dat is y = ax + b. Dan is Y is S en x is V. Dus S = av + b. Dus je wilt S weten van Nederland. Ik zou eerst België doen, dan kun je x berekenen. Dus inwoners is jaarlijks aantal sterfgevallen door vuurwapens S. Sterfgevallen in België is 3,8. Dus 3,8 = a 17,9 + b. Dus er is geen b? O, wacht, b kan ik zelf uitrekenen. Euhm, evenr O, ik moet de richtingscoëfficiënt bepalen. Dat is Δy Δx. In opgave 1 mathematiseerde Leerl. 2zeer minimaal door een vergelijking op te stellen. Dus ik vul in: W = 4,189 dus: 4,189 = 0,00105x 2 (30 x). En nu. shit, 3 deel dus 0,75 4 4,189 = 3,142. Oplossen De fase oplossen kwam in alle episodes veelvuldig voor. In vijf van de negen episodes startten de leerlingen direct met het oplossen van het probleem, zonder dat de fasen conceptualiseren of mathematiseren hieraan vooraf zijn gegaan. Dit was ook de wijze waarop Leerl. 2in alle drie de opgaven aan de slag ging met de vraagstukken. Hij startte zijn uitwerkingen door berekeningen uit te voeren, een vergelijking op te lossen en een oplossing te geven. Nu de formule bij vracht = 0,25 dus K = 0,25x + b. Nu willen we het is s trouwens K = 0,25s + b. Nu vullen we 250 en 200 in. 200 = 0, b. Dat is dus: 200 0, = 137,5. Dus: K = 0,25x + 137,5. Dan gaan we ze samenvoegen. Dus: 1x + 50 = 0,25x + 137,5. De x naar de andere kant dat is: 0,75x = 87,5. Gedeeld door 0,75 is: x = 116,67. Interpreteren De fase interpreteren kwam in bijna elke episode meer dan één keer voor. De leerlingen grepen tijdens het oplossen van de opgaven meerdere keren terug naar de context waarbinnen het probleem werd aangeboden, zoals Ria in opgave 1. Dit is het volume van de hele bal. 3 deel is onder water. Dan moet ik daar dus 1 van nemen, boven 4 4 water.. Ook Leerl. 2interpreteerde een deel van zijn oplossing in opgave 3, door kort terug te grijpen naar de context waarmee het probleem werd ingeleid. Daarna loste hij het probleem verder op. Ik moet berekenen waar ze gelijke afstanden hebben. Valideren 37

38 In acht van de negen episodes kwam de fase valideren niet voor in de transcripties van de leerlingen en in één episode heel minimaal. Zo merkte Ria in het volgende voorbeeld op dat de door haar gevonden oplossing niet juist was, waarna ze haar berekening heeft herzien. Om het te controleren gebruik ik de formule. y = 0,2x + 0, miljoen inwoners, vuurwapens. 3,8 sterfgevallen, 17,9 vuurwapens. Dus 17,9 vuurwapens, dat klopt niet Veel uitspraken vallen niet onder bepaalde fase In de transcripties van de leerlingen is ook een groot gedeelte gecodeerd met overig omdat deze uitspraken niet pasten binnen de fasen van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009). Bijvoorbeeld het lezen van de opdracht, het benoemen van handelingen, gesprekken tussen mij en de leerling tijdens het stimulated recall interview en het uitleggen van de toegepaste werkwijze. In het onderstaande voorbeeld benoemt Leerl. 1 de handelingen die zij uitvoert op haar Grafische Rekenmachine. In de transcripties zijn deze handelingen gecodeerd met overig. Grafiek plotten. Zoom fit. Er komt maar één lijn. Ik pas mijn WINDOW aan en laat de assen tot 30 lopen. Dat lukt niet. Daarna ga ik meer naar beneden op de y-as, dat lukt ook niet. Ik moet meer naar links, dus x -as aanpassen. Ik neem weer mijn standaardscherm. Ik moet x MAX aanpassen, en y MIN ook. Aan het begin van het stimulated recall interview gaven leerlingen aan waar zij waren vastgelopen in hun uitwerkingen en wat zij nodig dachten te hebben om verder te kunnen met het oplossingsproces. Ook deze uitspraken zijn gecodeerd met overig. Onderzoeker: vanaf welk moment zou het dan mis zijn gegaan? Ellen: vanaf het moment dat ik de formule W gebruikte. Onderzoeker: Wees iets duidelijker. Ellen: Bij het opstellen van de vergelijking 0,75 = 0,00105x 2 (30 x). Onderzoeker: Wat denk je nodig te hebben om wel verder te kunnen? Ellen: x. 5.2 Zichtbare complicaties Uit de transcripties van de leerlingen is gebleken dat problemen waar leerlingen tegenaan zijn gelopen tijdens het oplossen van de contextrijke modelleervraagstukken niet gekoppeld zijn aan bepaalde fasen binnen de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009). In dit onderzoek zijn de complicaties waar leerlingen tegenaan zijn gelopen onderverdeeld in vier categorieën, zoals beschreven in de dataanalyse. In tabel 7 is per episode weergegeven wat de oorzaak van de complicatie of van het vastlopen is geweest. 38

39 Tabel 7. Resultaten zichtbare complicaties. Complicatie Episode Voorkennis Algebraïsche basisvaardighe Toepassen van kennis Beperking strategieën Leerling den Leerl. 1 opg. 1 1 Nee Ja Nee Ja Leerl. 1 opg. 2 2 Nee Nee Nee Ja Leerl. 1 opg. 3 3 Nee Ja Nee Nee Leerl. 2opg. 1 4 Nee Ja Ja Nee Leerl. 2opg. 2 5 Nee Nee Nee Ja Leerl. 2opg. 3 6 Ja Nee Ja Nee Ria opg. 1 7 Nee Nee Nee Ja Ria opg. 2 8 Ja Ja Nee Ja Ria opg. 3 9 Nee Nee Ja Nee Voorkennis Leerlingen die zijn vastgelopen of complicaties ervoeren door gebrek aan voorkennis, hebben de theorie die zij tot zich moesten nemen niet goed geleerd. In tabel 7 is te zien dat leerlingen in twee episodes zijn vastgelopen door gebrek aan voorkennis. Zo gebruikte Leerl. 2de formule voor een evenredig verband, terwijl er in deze opgave sprake was van een lineair verband. Hieruit blijkt dat Leerl. 2de stof niet goed tot zich had genomen, hij heeft zich de stof niet eigen kunnen maken. Ok, dat is K = a S. Ook Ria heeft opgave 2 hierdoor niet op kunnen lossen, ze gebruikte de formule behorende bij een lineair verband in plaats van de formule voor een evenredig verband. Evenredig verband dat is y = ax + b. Dan is Y is S en x is V. Dus S = av + b. Dus je wilt S weten van Nederland Algebraïsche basisvaardigheden In vier van de negen episodes ervoeren de leerlingen complicaties of zijn zij vastgelopen door gebrek aan algebraïsche basisvaardigheden. Deze leerlingen hadden moeite met het herleiden van uitdrukkingen, het rekenen met getallen en letters en het algebraïsch oplossen en het vereenvoudigen van vergelijkingen. Zo werkten Leerl. 1 en Leerl. 2de haakjes in een vergelijking verkeerd weg. Later wist Leerl. 1 in episode 1 niet hoe ze een vergelijking op moest lossen. Dus, 0,75 = 0,00105x 2 (30 x), x in cm en W in liter. Haakjes wegwerken: 0,75 = 0,00105x 2 30x. 39

40 Ook in episode 3 loste Leerl. 1 een vergelijking algebraïsch op. Ze maakte een fout door getallen verkeerd naar de andere kant te halen. S = 4k 550 = S = 1k 50, k naar de andere kant: 4k 1k = 3k = 600. Maar het is 550. Dus = 500. k = ,67. Rond af op hele kilometers, maar deze kunnen niet min zijn, dus ik heb iets fout gedaan. Dan probeer ik = 600. k = = 200. Dan had het dus toch 600 moeten zijn. Ria maakte in episode 8 een verkeerde deling waardoor ze niet op het juiste antwoord kwam. Dit is een gevolg van gebrek aan algebraïsche basisvaardigheden. Dus 3,8 = a 17,9. a = 17,9: 3,8 = 4,71, dus dan weet je a Toepassen van de kennis In drie van de negen episodes zijn de leerlingen vastgelopen, of hebben zij complicaties ervaren, doordat zij hun kennis niet konden toepassen in de contextrijke modelleervraagstukken. In episode 4 loste Leerl. 2de opgestelde vergelijking na een hulpmiddel correct op. Hij had een oplossing gevonden en hoefde deze alleen nog te interpreteren binnen de gegeven context. Leerl. 2vulde de oplossing echter opnieuw in de formule in waardoor hij het overzicht over zijn oplossingsproces verloor. Leerl. 2wist hoe hij de geleerde kennis moest toepassen. Maar hij heeft in deze opgave de koppeling naar de gegeven context niet kunnen maken. y 1 = 3,142 en y 2 = 0,00105x 2 (30 x). Optie intersect geeft x = 13, Dan krijg ik uiteindelijk: W = 0,00105 (13,404) 2 (30 13,404) = 3,131. Het antwoord moet op hele cm dus de bal steekt 3 cm boven het wateroppervlak uit. Dat is mijn antwoord. Nee, ik heb een fout gemaakt. Mijn y moet niet 3,142 zijn, maar y moet 4,189 zijn. Want als 3 onder water is, is 1 boven 4 4 water. W is het volume dat onder water is, dus hij is 3 cm onder water, ik moet boven water weten Nee ik deed het wel goed denk ik. V was 4,189. Dus y 1 = 4,189 en y 2 = 0,00105x 2 (30 x). Optie intersect geeft x=19,403. Dat vul ik in bij W: W = 0,00105 (19,403) 2 (30 19,403) =4,189, hetzelfde als mijn V. Gedeeld door 4 is 1. Ik weet niet of het antwoord nu 3 is of 1. Het antwoord is 1. In episode 6 probeerde Leerl. 2de waarde van de richtingscoëfficiënt te berekenen door twee getallen in de formule in te vullen. Hieruit blijkt dat Leerl. 2niet wist wat de richtingscoëfficiënt precies betekende, hij paste een geleerde regel toe. Ok, dat is K = a S. Uhm... Als je dan 50 dollar kosten hebt, geeft dit: a 50 bij vrachtauto. Dat is: 100 = a 50. Dus a = 100: 50 = 2 bij vervoer vrachtauto. 40

41 Nu de volgende. Nu vervoer per trein. Dan is het 200 is K. Dus 200 = a 250. Dus a = 200: 250 = 1,25. Ik moet berekenen waar ze gelijke afstanden hebben. Dus als ik 200 euro omzet naar 100 euro. Dan moet ik 250 euro delen door 2, dus 125 euro. Dan klopt het nog niet. Ik kom er niet uit. Dit bleek ook tijdens het stimulated recall interview. Op het moment dat ik als onderzoeker als hulpmiddel gaf: a = ΔK, wist Leerl. 2voldoende en loste hij het probleem foutloos op. Leerl. 2werkte ΔS aan de opgaven door regels uit het lesboek te onthouden. Op het moment dat hij een regel vergat, kon hij de opgave niet meer oplossen. Ook Ria liep tegen een complicatie aan in episode 9 omdat zij niet wist hoe ze de geleerde kennis moest toepassen in de contextrijke modelleeropgave. Ria kende de regel van het opstellen van een formule bij een lineair verband, maar heeft deze niet kunnen toepassen in de gegeven context. Ze berekende de richtingscoëfficiënt door de gegevens van zowel vracht als trein te gebruiken. Hierdoor kwam ze uit op een antwoord waarvan ze aangaf dat de uitkomst nul was. Euhm.. Richtingscoëfficiënt berekenen door Δy, ΔK = 0 en dan is de richtingscoëfficiënt dus Δx ΔS niks Beperking van de strategieën Leerlingen zijn in vijf van de negen episodes te gefixeerd geweest op een strategie waardoor zij zijn vastgelopen of een onjuist antwoord hebben gegeven. Oorzaken hiervan kunnen zijn: een formule direct toepassen of direct starten met de fase oplossen zonder zich af te vragen wat de gegevens in de context betekenden. Zo was het in één opgave de bedoeling drie vierde deel het volume van een bal te berekenen en dit getal voor W in te vullen in de formule. Leerl. 1 vulde echter 0,75 in en liep mede daardoor vast tijdens het oplossen van de vergelijking. V = 4 3 π (2 2 )3. Daar komt uit 4,2 afgerond, dat is het volume van de bal. Afstand van de onderkant van de bal tot het wateroppervlak is x. W is het volume van het deel van de bal wat onder water is, het deel onder water is 1. W hangt af van x. Voor W geldt de formule W = 4 0,00105x2 (30 x). 3 van het 4 volume is onder water, dus W is gelijk aan 3 4. Dus, 0,75 = 0,00105x2 (30 x), x in cm en W in liter. In de tweede opgave kwam Leerl. 1 op een onjuist antwoord door twee rekenfouten. Deze werden veroorzaakt door beperking van de strategieën. Zo zag Leerl inwoners met een vuurwapen op 16 miljoen inwoners als de verhouding zestien inwoners met een vuurwapen op 1000 inwoners, waardoor ze voor V de waarde zestien nam. Ook vergat Leerl. 1 vier personen per inwoners om te rekenen naar totaal 16 miljoen inwoners. Leerl. 1 had kennis van de theorie, maar doordat de 41

42 context extra vaardigheden vereiste, liep ze tegen complicaties aan. Leerl. 2en Ria zijn ook tegen dit probleem aangelopen in episode 5 en 8. S is per inwoners en V is per 1000 inwoners. Nederland heeft ongeveer 16 miljoen inwoners en inwoners zijn in bezit van een vuurwapen. Onderzoek wat het aantal sterfgevallen is door vuurwapens in Nederland. Eerst bereken ik a en dan het aantal. Nu zijn er inwoners in Nederland. Dus V is 16 want V is in duizenden. S = 0,22 16 = 3,52. Dus S rond ik af op 4 personen. In episode 5 had Leerl. 2de waarde van S gevonden. Dit rekende hij vervolgens om naar het aantal sterfgevallen in Nederland. Hij vermenigvuldigde zijn antwoord echter met het verkeerde getal, door beperking van de strategieën. En dan kruislinks vermenigvuldigen namelijk 16 0,0038: 17,9. En dan nog eens keer en dan nog keer 16. Zo kom ik uit op 544 doden door vuurwapens in Nederland. In episode 7 liep Ria ook vast door beperking van strategieën. Ze berekende drie vierde deel van het volume maar vulde dit voor x in plaats van W in. En 3 deel van het volume. Euhm.. 3 deel van het volume. Dan eerst het volume berekenen: V = π 3 (2 2 )3 = 4,19. Dan 3 deel hiervan. 4,19: 4 3 = 3,14, dat is dus 3 deel van het volume. Dan euhm.. afstand van de onderkant van de bal tot het wateroppervlak noemen we x. Ik weet het niet zeker maar ik toets in op mijn rekenmachine: W = 0,00105 (3,14) 2 (30 3,14) = 0,28 en W is in liter en je hebt decimeter gebruikt. 5.3 Meer of minderen adequate strategieën In acht van de negen episodes gebruikten de leerlingen de oplossingswijzen zoals deze voorafgaand aan het onderzoek waren uitgewerkt. Leerl. 2gebruikte in één episode een andere manier van oplossen. Hij paste niet de formule behorende bij evenredig verband toe om de oplossing te vinden, maar hij maakte gebruik van verhoudingen. Leerl. 2gaf aan dat dit de eerst strategie was die bij hem op kwam toen hij de opgave voor zich kreeg. 42

43 Figuur 4. Uitwerking van opgave twee door Cor. 5.4 Hulpmiddelen om struikelblokken te overwinnen Tijdens het stimulated recall interview konden leerlingen acht van de elf keer aangeven welk hulpmiddel zij nodig dachten te hebben om verder te kunnen met het vraagstuk. Zij gaven korte antwoorden die vaak te koppelen waren aan de fase oplossen binnen de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009). Zo gaven Leerl. 1 en Leerl. 2in opgave 1 aan dat zij de waarde van x nodig hadden om verder te kunnen. Daarnaast gaf Leerl. 2in opgave 2 aan dat hij de waarde van a en b nodig had. Hiermee bleven de leerlingen zeer oppervlakkig over hun benodigde hulpmiddelen. In zes van de negen episodes zijn in totaal veertien hulpmiddelen aangeboden aan de leerlingen. Vier hulpmiddelen in de vorm van een vraag en tien hulpmiddelen in de vorm van een aanwijzing. De gestelde vragen waren allen effectief: de leerlingen konden verder met hun oplossingsproces. Van de tien aanwijzingen zijn vier aanwijzingen effectief geweest. Na de overige zes aanwijzingen bleven de leerlingen aanlopen tegen hetzelfde probleem als voor de suggestie. Ook hebben leerlingen in dit onderzoek van elk hulpmiddel aangegeven dat zij hier iets aan hadden gehad tijdens het oplossen van de vraagstukken. Leerl. 1: Uhmm afstand van de onderkant van de bal tot het wateroppervlak. 3 onder water dus 0,75 4 onder water Ik loop vast. Onderzoeker: maak eens een schets van de situatie. Leerl. 1: (maakt schets), ik moet x berekenen. Die weet ik eigenlijk al, dus x is 0,75. Maar dat kan niet want het is niet zo gemakkelijk. W hangt af van x Ja want W is 3, dus x moet 1 zijn. Ik loop vast. 4 4 Onderzoeker: Wat is de formule voor W? Leerl. 1: W = 0,00105x 2 (30 x) Onderzoeker: Wat volgt hieruit? Leerl. 1: 3,15 = 0,00105x 2 (30 x). Dit had ik ook al, maar toen liep ik ook vast. 43

44 44

45 6 Discussie en conclusie Naar aanleiding van de resultaten, zal in dit hoofdstuk terug worden gekoppeld naar literatuur dat beschreven is in het theoretisch kader van het onderzoek. De discussie zal in dezelfde volgorde worden beschreven als de resultaten: de volgorde van de deelvragen zal worden aangehouden. Vervolgens komen de beperkingen van dit onderzoek aan bod en het hoofdstuk wordt afgesloten met de conclusie. 6.1 Discussie In dit onderzoek is gewerkt vanuit een probleem dat leefde binnen de vaksectie wiskunde van het Don Bosco College. Het probleem speelde zich voornamelijk af tijdens de lessen aan 4-havoklassen wiskunde A. De vaksectie waar ik deel van uitmaak, merkte dat de leerlingen moeite hadden met contextrijke, wiskundige vraagstukken. Om de moeilijkheden tijdens het oplossen van deze vraagstukken bij leerlingen in kaart te brengen, is gebruik gemaakt van het proces van wiskundig modelleren. De contextrijke vraagstukken die zijn ingezet gedurende dit onderzoek, zijn tevens modelleeropdrachten waarin de fasen van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) en de vijf principes van Chamberlin en Moon (2006) terug te vinden zijn. De meerderheid van complexe contextrijke opdrachten in het Centraal Examen en in lesboeken die gebruikt worden bij wiskunde in het voortgezet onderwijs, zijn ook modelleeropdrachten Volgorde van de fasen Volgens Heck (2008) en Savelsberg et al. (2008) is het volgen van de stappen binnen het proces van wiskundig modelleren niet de enige juiste aanpak om modelleervraagstukken op te lossen. Er is sprake van een verschuiving, de leerlingen doorlopen de fasen niet altijd in de genoemde volgorde. Dit is ook gebleken uit de transcripties van de leerlingen. De leerlingen doorliepen de fasen meerdere keren in verschillende volgorden. Hierdoor kwamen zij in een aantal gevallen uiteindelijk ook op het juiste antwoord, zonder de cyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) letterlijk te volgen. De overeenkomst tussen de beschreven definities van wiskundig modelleren is het cyclische proces van de werkelijkheid, via het wiskundig model, weer terug naar de werkelijkheid. Uit de data van het onderzoek is gebleken dat deze overgang bij de leerlingen meerdere keren is voorgekomen. Maar er zijn niet specifiek twee overgangen van werkelijkheid, naar wiskundig model, weer terug naar de werkelijkheid, zoals wordt beschreven door Savelsbergh et al. (2008) en Spandaw en Zwaneveld (2009) Frequentie van de fasen Henk Heuvelmans gaf voorafgaand aan dit onderzoek aan dat leerlingen vaak moeite hebben met de fasen interpreteren en valideren. Dit is gedeeltelijk gebleken uit de resultaten van het onderzoek, de 45

46 leerlingen grepen in hun oplossingen vrijwel altijd terug naar de context waarmee het probleem werd ingeleid. Dit deden zij niet alleen aan het einde van het oplossingsproces, maar ook tijdens het proces maakten zij meerdere keren de koppeling naar de context. Hiermee leken de leerlingen het interpreteren te beheersen. De fase valideren werd echter vaak vergeten door de leerlingen, evenals de fasen conceptualiseren en mathematiseren, zoals beschreven in de resultaten. De oorzaak hiervan kan zijn dat de denkprocessen die passen binnen deze fasen onzichtbaar zijn gebleven omdat de leerlingen hun gedachten niet hebben uitgesproken, of omdat zij deze fasen hebben overgeslagen. Uit het onderzoek van Blum en Leiβ (2007) en Crouch en Haines (2003) bleek ook dat leerlingen moeite hadden met de fasen conceptualiseren en interpreteren en dat zij vaak vergaten te valideren. Het ontbreken van de fase conceptualiseren in dit onderzoek kan veroorzaakt zijn doordat benodigde gegevens duidelijk in de tekst stonden waardoor deze fase eigenlijk al was voorgedaan. Dat bepaalde fasen niet werden doorlopen door de leerlingen kan ook een gevolg zijn van het hedendaagse onderwijs, omdat deze in de lessen misschien ook worden overgeslagen. Blum en Leiβ en Crouch en Haines gaven dit ook als oorzaak aan in hun onderzoek Complicaties Uit de transcripties van de leerlingen is gebleken dat zij niet zijn vastgelopen binnen een specifieke fase, maar dat het een combinatie is van verschillende factoren. Crouch en Haines (2003) gaven in hun onderzoek aan dat de leerlingen moeite hadden met de overgang van de context naar een wiskundig model en de overgang van de oplossing naar de realistische context. Dit komt voor een gedeelte overeen met de resultaten van dit onderzoek. Leerlingen konden de koppeling tussen de realistische context en de wiskunde wereld moeilijk maken waardoor de fase mathematiseren werd overgeslagen en de leerlingen direct startten met het oplossen van het probleem. Dit veroorzaakte complicaties die een gevolg zijn van beperking van strategieën. Bovendien hadden de leerlingen in de vraagstukken vaak wel kennis van de theorie, maar doordat de vraagstukken extra vaardigheden vereisten, ontstonden er complicaties. Daarbij gaven Crouch en Haines (2003) aan dat het voor leerlingen moeilijk was om relevante informatie uit problemen te destilleren en vervolgens de juiste techniek hierop toe te passen. Dit zijn moeilijkheden die zich niet binnen een bepaalde fase van modelleren afspelen, maar binnen de gehele cyclus voor kunnen komen. De leerlingen hadden hier in dit onderzoek veel moeite mee. Zij vonden het lastig om de gegevens te gebruiken in het wiskundige model en gebruikten te vaak geleerde regels uit lesboeken zonder dieper in te gaan op de context. De echte betekenis achter hun uitgevoerde strategieën, leek voor de leerlingen niet duidelijk te zijn. In dit onderzoek zijn de leerlingen meestal vastgelopen binnen de fase oplossen. Dit bleek ook uit het onderzoek van Crouch en Haines (2003). Volgens hen zijn leerlingen geneigd om direct aan de slag te 46

47 gaan met de onbekende in het probleem en vergelijkingen op te stellen, zonder zich bewust te zijn van het probleem en gegevens te analyseren. Dit veroorzaakt problemen die zich afspelen binnen de fase oplossen Voorkennis In de gevallen waarbij leerlingen zijn vastgelopen door gebrek aan voorkennis, werd dit veroorzaakt doordat zij een evenredig verband niet konden onderscheiden van een lineair verband. Gebrek aan voorkennis was ook een van de oorzaken van complicaties die optraden in de uitwerkingen van de leerlingen in het onderzoek van Stein, Grover en Henningsen (1996). In dit onderzoek beschreven zij door middel van observaties hoe wiskundige opdrachten werden toegepast in practica. Het onderzoek is gedurende drie jaar uitgevoerd op verschillende scholen in klassen met leerlingen van elf tot en met veertien jaar. Stein et al. onderzochten onder andere of de opdrachten door de leerlingen werden geïmplementeerd zoals deze bedoeld waren. Bovendien wilden zij antwoord op de vraag welke factoren van invloed waren op hoe leerlingen 45 opgaven (die een hoger denkniveau vereisten) maakten. Uit het onderzoek is gebleken dat in 82% van de taken de voorkennis van de leerlingen onmisbaar was bij het maken van de opgaven. In dit onderzoek liepen de leerlingen in twee van de negen episodes vast door gebrek aan voorkennis. Over het algemeen waren de leerlingen verder goed voorbereid Algebraïsche vaardigheden Binnen algebraïsche vaardigheden wordt een onderscheid gemaakt tussen basisvaardigheden en symbol sense. Volgens Drijvers et al. (2006) bestaan geroutineerde algebraïsche vaardigheden (algebraïsch rekenen) uit het oplossen van vergelijkingen en het vereenvoudigen van uitdrukkingen. In vijf van de negen episodes zijn de leerlingen vastgelopen of tot een onjuist antwoord gekomen door gebrek aan algebraïsche basisvaardigheden. Voor dit onderzoek is voornamelijk het wegwerken van haakjes, het vereenvoudigen van uitdrukkingen en het algebraïsch oplossen van vergelijkingen van belang geweest. Dit wordt in 4-havo als basiskennis beschouwd, maar blijkbaar zijn de leerlingen hier minder vaardig in dan gedacht. Dit probleem wordt in de literatuur erkend. Zo geeft Drijvers et al. aan dat er onvrede is over de gebrekkige beheersing van algebraïsche vaardigheden van leerlingen bij docenten van het vervolgonderwijs. Onder algebra worden niet alleen algebraïsche vaardigheden verstaan, maar ook het kiezen van een bepaalde oplossingsstrategie, of het opstellen van een vergelijking. Dit wordt symbol sense genoemd Symbol sense Drijvers en Kop (2009) omschrijven symbol sense als: De algebraïsche expertise of algebraïsche geletterdheid die, veelal op de achtergrond zonder dat we ons daarvan bewust zijn, de uitvoering van de basisroutines stuurt en het inzicht in onderliggende concepten omvat. (Drijvers & Kop, 2009, p. 47

48 65). Drijvers et al. geeft aan dat symbol sense bestaat uit de volgende vaardigheden: - De kracht van symbolen met inzicht en gevoel kunnen gebruiken. Dat betekent ook het vermogen om een symbolische methode te verlaten als betere alternatieve aandienen. - Een algebraïsche expressie niet alleen kunnen manipuleren, maar ook globaal kunnen lezen en de structuur ervan doorzien. - Op basis van een formule kunnen inschatten hoe een grafiek of tabel er ongeveer uitziet. - Twee verschillende formules globaal kunnen vergelijken en hun verhouding inschatten. - Afhankelijk van de probleemstelling een geschikte algebraïsche representatie kunnen kiezen. (p. 21) Symbol sense kan goed in verband worden gebracht met twee van de vier categorieën waarin de complicaties in de transcripties van de leerlingen zijn opgedeeld: toepassen van de kennis en beperking van strategieën. Leerlingen die zijn vastgelopen of complicaties ondervonden door het beperkt toepassen van de kennis, wisten niet hoe zij de geleerde kennis moesten toepassen in contextrijke opgaven. Episodes waarin leerlingen te gefixeerd waren op een voorbeeld of strategie en daardoor zijn vastgelopen of complicaties ervoeren, zijn ingedeeld in beperking van strategieën. Toepassen van kennis Leerl. 2had in één opgave moeite met het interpreteren van een algebraïsche oplossing binnen de gegeven context. Dit is een voorbeeld van symbol sense (Drijvers et al., 2006). Uiteindelijk had Leerl. 2in dezelfde opgave geen overzicht meer over zijn oplossingsproces, waardoor hij verdronk in deelstappen en zijn vervolgstappen niet verstandig koos, hij verloor de vaardigheid om globaal te kijken naar zijn uitwerkingen. Voorafgaand aan het onderzoek gaf collega Tom Veerman gaf aan dat leerlingen het lastig vinden om een formule op te stellen bij een gegeven context, oftewel het opstellen van een algebraïsch model. In dit onderzoek stelden zowel Cor, Leerl. 1 als Ria de formules in opgave 3 onjuist op. Dit komt ook overeen met het resultaat van het onderzoek van Klymchuk en Zverkova (2001), waarin 75% van de ondervraagde studenten het formuleren van het wiskundig model het meest moeilijk vonden bij het oplossen van een wiskundig probleem. Ook hier is sprake van gebrek aan symbol sense. Zo zijn veel complicaties en redenen van vastgelopen te wijden aan gebrek aan symbol sense. Dit is bij de leerlingen die deelnamen aan dit onderzoek dus onvoldoende ontwikkeld. Beperking van strategieën Over het algemeen hadden de leerlingen in dit onderzoek moeite met het opstellen van een wiskundig model, zoals een vergelijking. Een oorzaak hiervan was dat leerlingen zich niet bewust waren van de betekenis van gegevens in de context, hierdoor startten zij direct met de fase oplossen. Dit valt onder het globaal kunnen lezen en structureren van algebraïsche expressies en de kracht van symbolen met 48

49 inzicht en gevoel kunnen gebruiken, onderdelen van symbol sense. De leerlingen maakten de opgaven grotendeels door direct te starten met het proces van oplossen. De fase conceptualiseren kwam in de transcripties van de leerlingen heel minimaal voor waardoor zij geen geschikte strategie kozen of een plan van aanpak maakten om het probleem op te lossen. Dit is ook gebleken uit een onderzoek uitgevoerd bij twintig leerlingen van twaalf en dertien jaar oud en twintig leerlingen van vijftien en zestien jaar oud (De Bock, Van Dooren, Janssen, & Verschaffel, 2002). Tijdens dit onderzoek werden de leerlingen geïnterviewd door middel van hardop denken. Zij kregen de opdracht om een wiskundig probleem op te lossen, hierbij kregen zij maximaal vier vormen van hulp aangeboden. Bij het ontdekken van het niet-lineaire aspect van het probleem en het geven van het correcte antwoord, werd het interview gestopt. Volgens de Bock et al. heeft geen van de 40 leerlingen een schets gemaakt bij het gegeven wiskundige probleem of de gegevens kort genoteerd op papier. De leerlingen startten gelijk met het oplossen van het probleem (De Bock et al., 2002). Dit komt overeen met het resultaat van dit onderzoek Rote learning Een oorzaak van het ontbreken van de fasen conceptualiseren en mathematiseren kan zijn dat de leerlingen zich te veel hebben gefocust op de theorie en de voorbeelden uit het lesboek. De leerlingen zijn hierdoor gewend geraakt aan strategieën die zij precies kunnen volgen om een willekeurig vraagstuk op te lossen. Wanneer een probleem andere vaardigheden omvat, lopen de leerlingen vast of treden complicaties op binnen het oplossingsproces. De leerlingen pasten in dit onderzoek vaak regeltjes toe die zij hadden geleerd uit de lesboeken. De contexten binnen de vraagstukken vereisten echter extra vaardigheden, zoals het omrekenen van een verhouding inwoners met een vuurwapen op het totaal aantal inwoners. Hierdoor liepen de leerlingen tegen complicaties aan tijdens het oplossen van de vraagstukken. In de literatuur wordt dit rote learning genoemd. Mayer (2002) geeft aan dat er sprake is van rote learning als leerlingen de theorie tot zich hebben genomen maar deze niet in contextrijke, realistische vraagstukken kunnen toepassen. Dit is een zeer herkenbaar aspect van dit onderzoek Hulpmiddelen Leerlingen verantwoordden in dit onderzoek hun antwoorden door wiskundige rekenregels te benoemen. Volgens De Bock et al. (2012) is dit precies de manier van hoe leerlingen contextrijke wiskundige problemen oplossen, door gewoonweg te rekenen met getallen. De leerlingen die hun twijfels uitten over het gegeven antwoord, konden niet of zeer oppervlakkig aangeven waarom ze twijfelden aan de juistheid van de door hen toegepaste strategie. Ook leerlingen die wel zeker waren van hun antwoorden, konden moeilijk benoemen waarom zij dachten dat hun antwoord juist was. 49

50 Leerlingen herhaalden tijdens het stimulated recall interview vooral berekeningen die zij hadden uitgevoerd, maar zij konden niet uitleggen waarom zij deze berekeningen hadden uitgevoerd Beperkingen Er is een aantal beperkingen in dit onderzoek. Ten eerste zijn de resultaten van dit onderzoek gebaseerd op de contextrijke modelleervraagstukken die drie leerlingen hebben gemaakt. De leerlingen hadden zich voorbereid, maar het kan zijn dat ze dit niet op de manier hebben gedaan waarop dat van de leerlingen werd verwacht. Ten tweede vonden de leerlingen het best spannend om deel te nemen aan een onderzoek waardoor zij wellicht zenuwachtig zijn geworden. Dit heeft misschien veroorzaakt dat de leerlingen onnodige fouten maakten. In dit onderzoek is het hardop denkprotocol toegepast. Hierbij is de leerlingen gevraagd elke gedachte uit te spreken, om denkprocessen zichtbaar te maken. Toch kan het zijn dat bepaalde denkprocessen van leerlingen onzichtbaar zijn gebleven in de transcripties, omdat zij misschien niet alle gedachten onder woorden hebben gebracht, zoals uitspraken binnen de fase conceptualiseren, de fase die de leerlingen in hun transcripties leken over te slaan (Schellings, 20012). Dit is volgens Schellings vooral het geval als leerlingen iets moeilijk vinden waardoor zij zachter gaan praten en de interpretatie wordt bemoeilijkt. Er zijn tijdens het stimulated recall interview verschillende hulpmiddelen aangereikt in de vorm van een vraag of een aanwijzing, maar deze werkten niet altijd. Het kan zijn dat de suggesties die zijn aangereikt niet aansloten bij de behoeften van de leerlingen op dat moment, omdat ik als onderzoeker misschien te gefocust was op de fasen van de modelleercyclus. Tijdens het interview is de leerlingen ook gevraagd of de aangeboden hulpmiddelen nuttig waren geweest. Zij gaven in alle gevallen een bevestigend antwoord, ook wanneer een hulpmiddel niet nuttig was geweest. De oorzaak hiervan kan zijn dat leerlingen van mening zijn dat een docente altijd weet wat een leerling nodig heeft op het moment van vastlopen. 6.2 Conclusie Gedurende het schooljaar ervoeren zowel de docenten binnen vaksectie wiskunde van het Don Bosco College, als leerlingen van voornamelijk 4-havo wiskunde A, moeilijkheden wanneer contextrijke, wiskundige vraagstukken werden ingezet in de lespraktijk. Tijdens een sectievergadering bleek dat leerlingen volgens docenten moeite hebben met het opstellen van een formule of een vergelijking vanuit een context. Daarnaast vergeten leerlingen oplossingen te interpreteren en te valideren binnen de context en wordt het controleren van het wiskundige model en de oplossing vaak vergeten. Door een pilotstudie uit te voeren in mijn 4-havoklas, heb ik het probleem binnen mijn eigen lespraktijk in kaart gebracht. De leerlingen waren zich niet bewust van wat zij in de context lazen en liepen vast in verschillende fasen van het oplossingsproces. Hierdoor was het moeilijk te bepalen wat 50

51 de behoeften van de leerlingen waren tijdens het maken van contextrijke vraagstukken. Daarom is dit probleem nader onderzocht. Hierbij is de volgende onderzoeksvraag gesteld: In welke fasen van het proces modelleren lopen de leerlingen van mijn 4-havoklas wiskunde A vast tijdens het oplossen van wiskundige problemen, welke struikelblokken ervaren de leerlingen binnen de fasen en welke hulpmiddelen denken zij nodig te hebben? Om deze onderzoeksvraag te beantwoorden, is een aantal deelvragen opgesteld: 1. Wat zijn in dit onderzoek de kenmerken van de contextrijke wiskundige problemen die geschikt zijn voor wiskundig modelleren? 2. Waar komen de fasen van wiskundig modelleren terug in de wiskundige problemen (instrument) die worden gebruikt in dit onderzoek? 3. Hoe beoordelen collegae de geselecteerde problemen op elk van de aspecten van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld en de zes principes van Chamberlin en Moon? Welke aanpassingen stellen zij voor? 4. In hoeverre worden de fase(n) van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld door de leerlingen tijdens het oplossen van de wiskundige problemen doorlopen? 5. Welke complicaties zijn zichtbaar in de transcripties van de leerlingen en in welke fasen komen deze complicaties voor? 6. Welke (meer of mindere) adequate strategieën passen de leerlingen toe? 7. Wat zijn volgens de leerlingen de benodigde hulpmiddelen (binnen de geselecteerde problemen) om hun struikelblokken te overwinnen? De eerste drie deelvragen hebben betrekking op de onderzoeksinstrumenten en zijn beantwoord in het theoretisch kader (hoofdstuk 3) en de onderzoeksopzet (hoofdstuk 4). De laatste vier deelvragen zijn beantwoord in de resultaten en zullen in het vervolg van dit hoofdstuk samengevat worden. In dit onderzoek is gebruik gemaakt van het proces van modelleren om moeilijkheden bij leerlingen tijdens het oplossen van contextrijke, wiskundige problemen te onderzoeken. Drie contextrijke modelleervraagstukken zijn als instrument gebruikt in dit onderzoek omdat het overgrote deel van contextrijke problemen ook modelleervraagstukken zijn. Wanneer leerlingen een contextrijk vraagstuk oplossen, zullen zij de fasen van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) moeten doorlopen: conceptualiseren, mathematiseren, oplossen, interpreteren en valideren. De resultaten van dit onderzoek laten zien welke moeilijkheden zijn ontstaan bij drie leerlingen tijdens het maken van contextrijke opdrachten en welke hulpmiddelen de leerlingen nodig dachten te hebben bij het ervaren van complicaties. In figuur 5 is per fase van de modelleercyclus aangegeven of deze fase wel of niet is voorgekomen in de transcripties van de leerlingen. Daarnaast zijn er enkele verbindingen aangegeven 51

52 tussen de verschillende fasen. De dikte van de pijl geeft aan of de overgang tussen de fasen vaak is voorgekomen. Bij de fasen die niet of nauwelijks zijn voorgekomen zijn enkele suggesties gegeven die aan leerlingen kunnen worden aangeboden. Figuur 5. Overzichtelijke weergaven van de resultaten en suggesties wat betreft de fasen van het modelleerproces. Het eerste resultaat betreft het oplossingspatroon van een contextrijke opdracht. Het oplossen van zo n opdracht is een dynamisch proces waarin verschillende fasen meerdere keren terugkomen in onbepaalde volgorde. In tegenstelling tot de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009), waarin de verschillende fasen elkaar in vaste volgorde opvolgen, schakelden leerlingen tijdens het oplossingsproces vaak van de ene naar de andere fase en kwamen de fasen meerdere keren voor. Bij het oplossen van contextrijke vraagstukken raakten de leerlingen in dit onderzoek het overzicht over de opdracht kwijt en wisselden zij continu tussen de fasen binnen de modelleercyclus, voornamelijk de twee fasen oplossen en interpreteren. Deze fasen speelden een prominente rol in het oplossen van contextrijke vraagstukken bij leerlingen. De andere drie fasen mathematiseren, conceptualiseren en valideren werden door de leerlingen echter nauwelijks doorlopen. Hierdoor sloegen leerlingen een aantal stappen van de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) over, terwijl deze het oplossingsproces gemakkelijker hadden kunnen maken waardoor de leerlingen de opdrachten naar verwachting correct opgelost zouden kunnen hebben. Een tweede resultaat betreft de aard van de moeilijkheden die leerlingen ervoeren tijdens het oplossen van contextrijke vraagstukken. De leerlingen zijn tegen verschillende complicaties aangelopen in dit onderzoek waardoor zij in hun proces van oplossen zijn vastgelopen. Er zijn vier categorieën ontstaan in de data waarin de complicaties kunnen worden onderverdeeld: gebrek aan voorkennis, onvoldoende kennis van algebraïsche basisvaardigheden en het beperkt toepassen van de kennis en strategieën. 52

53 Deze categorieën zijn niet de enige, er zullen ook andere aspecten zijn die een rol spelen. Maar het zijn wel degene die het meest opgevallen zijn in de transcripties van de leerlingen en deze categorieën waren het meest relevant voor de context van dit onderzoek. De leerlingen die zijn vastgelopen door gebrek aan voorkennis, konden zich de stof uit het lesboek niet eigen maken waardoor zij verbanden en formules door elkaar haalden. Zij zijn in dit onderzoek vooral vastgelopen door onvoldoende kennis van algebraïsche vaardigheden, zo vonden de leerlingen het lastig om rekenregels toe te passen zoals het wegwerken van haakjes en het algebraïsch oplossen van vergelijkingen. Bovendien is uit het onderzoek gebleken dat de leerlingen bij het oplossen van contextrijke vraagstukken vooraf geen strategie of algemene aanpak bedachten om het probleem aan te pakken. Doordat leerlingen de fasen conceptualiseren en mathematiseren oversloegen, startten zij vaak direct met het uitvoeren van berekeningen. Hierdoor verloren de leerlingen het globale overzicht over het oplossingsproces waardoor zij hun vervolgstappen niet verstandig kozen. Dit kan een direct gevolg zijn van het feit dat leerlingen gewend zijn voorbeelden en theorie uit een lesboek te volgen (Lithner, 2003). De opgaven in het lesboek vereisen dezelfde vaardigheden als het voorbeeld, waardoor leerlingen zich een kant en klare strategie aanleren die niet in ieder vraagstuk toepasbaar is. Wanneer contextrijke vraagstukken extra vaardigheden vereisen, raken leerlingen het overzicht kwijt lopen zij tegen complicaties aan. Om de problemen te ondervangen zouden de leerlingen meer getraind moeten worden in het toepassen van wiskundige concepten zodat zij de stof meer kunnen vormen naar hun eigen kennis. De leerlingen dienen naast de opgaven uit het boek extra opgaven aangereikt te krijgen om te oefenen met vraagstukken waarvoor geen kant en klare strategie voor handen is. Hierdoor leren zij eigen oplossingsstrategieën te bedenken. Het derde en het laatste resultaat van dit onderzoek is dat op het moment dat de leerlingen vastliepen in hun proces van oplossen, zij meestal zelf konden aangeven wat zij nodig dachten te hebben om het vraagstuk op te kunnen lossen. Ook hebben de leerlingen in dit onderzoek een aantal hulpmiddelen aangereikt gekregen door de interviewer. Dit waren hulpmiddelen in de vorm van een aanwijzing of een vraag. De hulpmiddelen die in de vorm van een vraag werden aangereikt, lijken in dit onderzoek effectiever te zijn geweest: leerlingen konden hierdoor relatief vaker verder met de volgende stap van het oplossingsproces. Hoe hier in de lespraktijk op in kan worden gespeeld, zal worden besproken in het volgende hoofdstuk. Doordat de leerlingen het oplossingsproces in dit onderzoek uit het oog verloren, bleven zij ook in het verantwoorden van hun antwoorden heel oppervlakkig door bijvoorbeeld alleen berekeningen te benoemen die zij gemaakt hadden. In het huidige onderwijs kan meer aandacht worden besteed aan het oplossingsproces bij contextrijke vraagstukken zodat leerlingen en docenten zich bewuster worden van dit proces. Dit bevat meer dan alleen het rekenen met gegevens en het gebruiken van rekenregels zoals deze in het lesboek worden 53

54 aangereikt. Het analyseren van de context en het in kaart brengen van relevante gegevens is minstens zo belangrijk. Daarnaast moet het valideren van gevonden oplossing en het oplossingsproces niet worden onderschat. Wanneer leerlingen valideren, worden zij geconfronteerd met hun eigen fouten waardoor zij gerichter hulp zouden kunnen vragen of een andere oplosmethode zouden kunnen proberen. In het huidige onderwijs kan hier meer aandacht aan worden besteed zodat leerlingen vaardiger worden in het oplossen van contextrijke vraagstukken. 54

55 7 Aanbevelingen In het nieuwe wiskunde-examenprogramma voor havo/vwo zullen leerlingen contexten moeten kunnen analyseren, waarbij soms moet worden overgegaan op vaardigheden als het maken van een model, abstraheren en logisch redeneren (commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs [ctwo], 2007). Uit dit onderzoek is gebleken dat leerlingen vaak vergaten de gegeven context te analyseren en de betekenis van relevante gegevens te achterhalen. Dit bemoeilijkte het opstellen van een wiskundig model waardoor de fasen conceptualiseren en mathematiseren vaak ontbraken in de uitwerkingen van leerlingen. Bovendien was de kennis van algebraïsche vaardigheden bij de leerlingen in dit onderzoek onvoldoende. Deze leerlingen dienen beter voorbereid te worden op het aanpakken van contextrijke vraagstukken, dit begint bij het huidige lespraktijk. Leerlingen zijn gewend om direct te beginnen met het oplossen van een probleem, of voorbeelden te volgen zoals deze in het lesboek gepresenteerd worden. Het oplossingsproces wordt vaak eerst voorgedaan waarna leerlingen het reproduceren. Zij worden hierbij niet getraind om zelf hun oplossingsstrategieën te bedenken. Ook de fase valideren schiet er in de lespraktijk geregeld bij in, het huiswerk wordt nagekeken en de antwoorden worden gecontroleerd met het nakijkboekje. In het huidige onderwijssysteem wordt aan het oplossen de meeste aandacht besteed, zoals het oplossen van een vergelijking. Hoe een wiskundig model (bijvoorbeeld een vergelijking) moet worden opgesteld of hoe een oplossing moet worden gevalideerd, wordt vergeten. Om leerlingen voor te bereiden op het nieuwe examenprogramma, is het van groot belang dat docenten en leerlingen zich meer bewust worden van het leerproces van de leerlingen. Het onderscheiden van een aantal fasen binnen het oplossingsproces van contextrijke opgaven kan helpen om het proces in kaart te brengen en problemen te identificeren. Het is in de lespraktijk de taak van docenten om deze fasen binnen het oplossingsproces te onderscheiden zodat leerlingen zich hier bewust van worden. Uiteindelijk zullen leerlingen zelf moeten leren hun stappen binnen het oplossingsproces te koppelen aan fasen van de modelleercyclus. Hierdoor worden zij zich bewust van hun eigen denkstappen waardoor zij het overzicht over hun oplossingsproces niet verliezen en complicaties kunnen ondervangen. In dit onderzoek is opgevallen dat het effectiever is wanneer hulpmiddelen in de vorm van een vraag in plaats van een aanwijzing worden aangeboden. In de lespraktijk kan hierop in worden gespeeld door als docent(e) de leerlingen een wedervraag te stellen wanneer zij zijn vastgelopen. Leerlingen vinden het prettig als zij direct aangereikt krijgen wat zij nodig hebben zodat zij hun uitwerkingen kunnen vervolgen, maar dit dwingt hen niet tot nadenken. Door een wedervraag te stellen worden de leerlingen gedwongen zelf na te denken over wat hun beperkingen zijn binnen hun oplossingsproces waardoor zij dit proces niet uit het oog verliezen en dit mee kunnen nemen in een volgende opdracht. 55

56 In een vervolgonderzoek naar moeilijkheden die ontstaan wanneer leerlingen werken aan contextrijke vraagstukken zou de modelleercyclus van Spandaw en Zwaneveld (2009) kunnen worden geïmplementeerd in de lespraktijk. Hiervoor kan een uitgebreide lessenserie worden gemaakt die de leerlingen beter kan voorbereiden op het oplossen van contextrijke vraagstukken. Met een voor- en een nameting kan worden onderzocht in hoeverre de lessenserie voor leerlingen effectief is in het maken van contextrijke vraagstukken. 56

57 Literatuur Baarda, B. (2009). Dit is onderzoek: Handleiding voor kwantitatief en kwalitatief onderzoek. Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. Blum, W., & Leiβ, D. (2007). How do students and teachers deal with modelling problems? In C. Haines, P. Galbraith, W. Blum & S. Khan (red.), Mathematical modelling: Education, Engineering and Economic, Chinchester: Horwood. Bock, D. de, Janssens, D., Dooren, W. van & Verschaffel, L. (2002). Improper use of linear reasoning: An in-depth study of the nature and the irresistibility of secondary school students errors. Educational Studies in Mathematics, 50, Chamberlin, S.A., & Moon, S.M. (2005). Model-Eliciting Activities as a tool to develop and identify creatively gifted mathematicians. The Journal of Secondary Gifted Education, 17(1), Commissie Toekomst WiskundeOnderwijs. (2012). Denken en Doen. Utrecht: ctwo. Commissie Toekomst WiskundeOnderwijs (2007). Rijk aan betekenis. Utrecht: ctwo. Crouch, R.M., & Haines, C.R. (2003). Mathematical modelling: transitions between the real world and the mathematical model, International Journal of Mathematics Education in Science and Technology, 35(2), Drijvers, P., & Kop, P. (2009). Variabelen en vergelijkingen. In P. Drijvers, A. van Streun & B. Zwaneveld (Eds.), Handboek wiskundedidactiek. Utrecht: Epsilon, Drijvers, P., Dekker, T., Dolk, M., Goddijn, A., Kindt, M., Kooij, H. Van der,... (2006). Wat a is, dat kun je niet weten. Een pleidooi voor betekenisvolle algebra op school. Utrecht.: Freudenthal Instituut. Heck, A. (2008). Stuiteren tussen probleemsituatie en vakkennis: Hoe een veelzijdige ICT- omgeving het modelleerproces kan ondersteunen. Klymchuk, S., & Zverkova, T. (2008), Role of Mathematical Modelling and Applications in University Mathematics Service Courses: An Across Countries Study, The New Zealand Mathematics Magazine, 41(1), Lithner, J. (2003), Students mathematical reasoning in university textbook exercises, Educational Studies in Mathematics, 52, Mayer, R.E. (2002), Rote Versus Meaningful Learning, Theory into Practice, 41(4), Reichard, L. A. (2010). Getal en Ruimte Wi havo A deel 1 en 2 (Vol. 12e oplagen). EPN. Schellings, G.L.M. (2012). Zicht op leren door hardopdenken, Kluwer Navigator Onderwijs, Alphen aan den Rijn: Kluwer. Savelsbergh, E., Drijvers, P., Giessen, C. van de, Heck, A., Hooyman, K., Kruger, J., Michels, B.,... (2008). Modelleren en computermodellen in de β-vakken. Spandaw, J.G., & Zwaneveld, B. (2012). Modelleren. In P. Drijvers, A. van Streun & B. Zwaneveld, Handboek wiskundedidactiek. Utrecht: Epsilon,

58 Stein, M.K., Grover, B.W., Henningsen, W. (1996). Building Student Capacity for Mathematical Thinking and Reasoning: An Analysis of Mathematical Tasks Used in Reform Classrooms, American Educational Research Journal, 33(2), Verhoef, N.C., Zwarteveen-Roosenbrand, J. A., Joolingen, van W. R., & Pieters, J. M. (2013). Wiskundig begrip bij het modelleren van veranderingsprocessen met differentiaalvergelijkingen. Pedagogische Studiën, 90(1),

59 Appendix A. Gebruikte opgave als voorbeeld uit eigen lespraktijk Een kopieerapparaat is een jaar na aanschaf minder waard dan op het moment van aanschaf. In de volgende jaren neemt de waarde nog verder af. De waarde van het kopieerapparaat op zeker moment noemen we de boekwaarde van het apparaat en de waardedaling wordt de afschrijving genoemd. Er zijn verschillende methoden om de boekwaarde te berekenen. Twee methoden leiden vaak tot verschillende boekwaarden. In deze opgave bekijken we er twee. Een voetbalclub heeft een nieuw kopieerapparaat van ,- gekocht. Na 10 jaar heeft dit apparaat nog een waarde van 1.000,- er zal dus in 10 jaar 9.000,- moeten worden afgeschreven. In tabel 1 staan de boekwaarden (in euro s) bij aanschaf, na 5 jaar en na 10 jaar volgens twee methoden (I, II). De boekwaarde geven we aan met de letter B; t is de tijd (in jaren) vanaf het moment van aanschaf. Tabel 1 Boekwaarden methode I Boekwaarde B Tijdstip t I II Bij methode I daalt de boekwaarde gelijkmatig. De boekwaarde B (in euro s) na t jaar kan berekend worden met de formule B = t. a) Leg uit hoe het getal -900 in deze formule met behulp van de tabel berekend kan worden. Bij methode II hoort de volgende formule voor de boekwaarde: B = ,18t + 81,82t 2. Voor deze methode is voor elk jaar de boekwaarde gegeven in tabel 2. Tabel 2 Boekwaarden methode II t B b) Met behulp van deze boekwaarden kan voor elk jaar de afschrijving berekend worden. Laat zien dat bij deze methode de jaarlijkse afschrijvingen vrijwel lineair dalen. 59

60 Appendix B. Brief aan deelnemende leerlingen Beste leerling, Bedankt dat je wilt meewerken aan mijn afstudeeronderzoek. Het onderzoek zal donderdag 28 mei en 29 mei tijdens het 5 e uur en de pauze plaatsvinden. De locatie wordt nog bekend gemaakt. Tijdens dit onderzoek maak je drie opgaven over een wiskundig onderwerp. Deze opgaven zullen gaan over de theorie die je vooraf bestudeert. Tijdens het maken van de opgaven schijf je de uitwerkingen op papier en denk je hardop. Voor mij als onderzoeker is het belangrijk te weten wat je denkt en op welke manier je de opgaven oplost. Alles wat je denkt moet uitgesproken worden. Om deze reden wordt het gehele gesprek opgenomen. Nadat je de opgaven hebt gemaakt, vindt een interview plaats, ook dit interview wordt opgenomen. In het onderzoeksverslag zal je naam niet worden weergegeven, ik maak gebruik van een pseudoniem. Het voorbereiden van de theorie is heel belangrijk. Daarom geef ik je de theorie die je moet voorbereiden, zodat je niet onnodig veel gaat leren. De volgende theorie zal in de opgaven aan de orde komen: Hoofdstuk 2 - Formules en de grafische rekenmachine (blz. 67 en 68) - Snijpunten van grafieken, optie intersect (blz. 70) Hoofdstuk 3 - Lineaire formule (blz. 78 en 79) - Evenredig verband en hierbij formule opstellen (blz. 84) - Richtingscoëfficiënt berekenen en formule opstellen (blz. 87 en 88) - Lineaire formules in de praktijk (blz. 89) - Lineaire vergelijkingen oplossen (blz. 96 en 97) Hoofdstuk 7 - Evenredig verband en hierbij formule opstellen (blz. 76) Succes! Met vriendelijke groet, N. Kroon 60

61 Appendix C. Feedback collegae op de opgaven Opgave Ruud Tom Wilma Besluit Realistisch 1 Ja Ja Ja Opgave 1 zo laten 2 Ja Ja Ja Opgave 2 zo laten 3 Nee Nee Nee Opgave 3 zo laten Model 1 Nee Nee Ja Opgave 1 aanpassen 2 Ja Nee Ja Opgave 2 aanpassen 3 Ja Ja Ja Opgave 3 zo laten nut 1 Ja Ja Ja Opgave 1 zo laten 2 Ja Ja Ja Opgave 2 zo laten 3 Nee Ja Nee Opgave 3 zo laten Onthullen 1 Ja Ja Ja Opgave 1 zo laten 2 Ja Ja Ja Opgave 2 zo laten 3 Ja Ja Ja Opgave 3 zo laten Hergebruiken 1 Ja* Ja Ja Opgave 1 zo laten 2 Ja Ja Ja Opgave 2 zo laten 3 Ja Ja Ja Opgave 3 zo laten Interpreten 1 Ja Ja Ja Opgave 1 zo laten 2 Ja Ja Ja Opgave 2 zo laten 3 Ja Ja Ja Opgave 3 zo laten * Niet alle leerlingen zullen inzien dat de modellen kunnen worden hergebruikt. Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Realistisch Ja Ja Nee Model Nee Ja Ja Nut Ja Ja Nee Onthullen Ja Ja Ja Hergebruiken Ja Ja Ja Interpreteren Ja Ja Ja Opgave 1 Volgens mijn collegae Tom Veerman en Ruud Kloost wordt in deze opgave niet echt gemodelleerd omdat de belangrijkste stappen, het conceptualiseren en mathematiseren eigenlijk al uit handen zijn genomen. Om dit probleem te ondervangen heb ik de schets van de bal onder water weggelaten in 61

62 deze opgave en het volume van de bal gegeven. De leerlingen moeten hierdoor eerst een schets maken en het volume van de bal berekenen met de formule, voordat zij de vraag kunnen beantwoorden. Opgave 2 Opgave 2 heb ik enigszins aangepast na de opmerking van collega Tom Veerman. Hij merkte terecht op dat de opgave zonder de gehele modelleercyclus opgelost kan worden door te rekenen met verhouding. De grafiek heb ik daarom weggelaten en de gegevens van België gegeven waardoor de leerlingen zelf het model kunnen opstellen omdat er sprake is van een evenredig verband. De leerlingen kunnen vervolgens aan de hand van het inwoneraantal en het aantal vuurwapens van Nederland, het aantal vuurwapendoden in Nederland berekenen. Op deze manier wordt de gehele modelleercyclus doorlopen. Opgave 3 Deze opgave is volgens mijn collegae zeer geschikt voor modelleren. Mijn collegae merkten wel op dat deze opgave niet goed past bij de belevingswereld van de leerlingen. Dit is een terechte opmerking en ik heb overwogen om de context geheel te veranderen. Toch heb ik dit niet gedaan. De leerlingen zullen nog veel contextopgaven tegenkomen die niet in hun belevingswereld passen, maar waar zij wel het nut van in kunnen zien. Ik vind dat het nut van deze opgave overduidelijk is, waardoor de leerlingen zich wel wat voor kunnen stellen van het probleem. Door het probleem meer in te leiden, zullen de leerlingen het nut van dit probleem inzien. Ik heb dus besloten de context te laten staan en het verhaal iets meer in te leiden. 62

63 Appendix D. Onderzoeksinstrumenten en verantwoording De context in opgave 1 is voor veel mensen vast zeer herkenbaar, iedereen heeft waarschijnlijk wel eens geprobeerd om een bal onder water te verstoppen. Hiermee is het vraagstuk realistisch en het lijkt op het eerste gezicht geen verband te hebben met wiskunde. Maar bij het lezen van de tekst komen de wiskundige aspecten van dit vraagstuk duidelijk naar voren. Dit vraagstuk is geschikt voor dit onderzoek omdat het probleem in een wiskundig model kan worden gegoten. Zo kan er een schets gemaakt worden waarin alle grootheden en verbanden overzichtelijk worden weergegeven. Dit zorgt ervoor dat het wiskundige model gemakkelijk te interpreteren is door anderen. Vanuit het wiskundige model kan gewerkt worden naar een wiskundige vergelijking waarna deze kan worden opgelost. Het opstellen van een vergelijking is voor de leerlingen niet vreemd, dit wordt in veel andere wiskundige vraagstukken gebruikt om tot een bepaalde oplossing te komen. De oplossing van dit probleem moet gegeven worden binnen de context van de vraag, hierdoor wordt het nut van de oplossing voor de leerlingen zichtbaar. Doordat in dit vraagstuk expliciet gevraagd wordt naar een uitleg van de oplossing van het probleem, worden de gedachten van de leerlingen die het vraagstuk maken onthuld. Bal uit het water Je hebt vast wel eens in het zwembad met een bal gespeeld. Je hebt dan misschien gemerkt dat het niet meevalt om een bal helemaal onder water te duwen. En heb je de bal onder water, dan valt het niet mee hem onder water op zijn plaats te houden. Als je de bal onder water loslaat dan schiet hij omhoog en springt soms een aardig stuk boven het water uit. In deze opgave nemen we aan dat de bal niet vervormt, dus steeds zuiver rond blijft. Een bal heeft een diameter van 2 dm. Het volume (de inhoud) van de bal kun je berekenen met de formule: V = 4 3 π(d 2 )3. Hierbij is d de diameter van de bal in dm en V het volume van de bol in liters. De afstand van de onderkant van de bal tot het wateroppervlak noemen we x. W is het volume van het deel van de bal dat onder water is. W hangt af van x. Voor W geldt de formule: W = 0,00105 x 2 (30 x), met x in cm en W in liter 1. Hoeveel centimeter steekt de bal boven het wateroppervlak uit als ¾ deel van het volume zich onder water bevindt. Geef je antwoord in hele centimeters en leg uit hoe je dit probleem hebt opgelost. 63

64 De tweede opdracht wordt eveneens aangeboden binnen een context waarin de argumenten van voor- en tegenstanders van vuurwapenbezit worden weergegeven. Hiermee wordt het nut van de opgave direct zichtbaar. In de opgave onderzoeken leerlingen hoeveel keer zo groot het jaarlijks aantal sterfgevallen door vuurwapens in de Verenigde Staten is vergeleken met Nederland. Leerlingen kunnen aan de hand van deze opgaven hun eigen mening vormen over vuurwapenbezit. De discussie van vuurwapenbezit in Nederland is actueel, waardoor de opgave realistisch is voor leerlingen. In het wiskundige model worden alle gegevens overzichtelijk weergegeven zodat het proces van mathematiseren en oplossen in gang kan worden gezet. De denkprocessen van de leerlingen worden zichtbaar tijdens het hardop denken. Maar door ook in deze opgave te vragen naar een uitleg van hoe de leerling tot een bepaalde oplossing is gekomen, worden de gedachten van de leerlingen nogmaals onthuld in de uitwerkingen. Daarnaast kan het wiskundige model worden hergebruikt in andere vraagstukken, zo komt het vaker voor dat leerlingen verhoudingen gebruiken om twee aspecten met elkaar te kunnen vergelijken. Doordat de gegevens op een overzichtelijke manier weer te geven, zijn de uitwerkingen gemakkelijk te interpreteren door anderen. Hebben is schieten? De regels omtrent het in bezit mogen hebben van vuurwapens zijn per land verschillend. Deze regels staan natuurlijk ook wel eens ter discussie. Tegenstanders van vuurwapenbezit beweren dat hoe makkelijker mensen aan vuurwapens kunnen komen, hoe meer die gebruikt worden. Voorstanders van vuurwapenbezit zeggen altijd dat het niet de wapens zijn die doden, maar de mensen. Zij vinden dat mensen vrij moeten zijn om een vuurwapen aan te schaffen, omdat meer vuurwapens niet betekent dat er dan ook meer gebruik van wordt gemaakt. Het vuurwapenbezit en het aantal dodelijke slachtoffers door vuurwapens is in een aantal landen onderzocht. Zo is er een evenredig verband tussen het jaarlijks aantal sterfgevallen door vuurwapens S (per inwoners) en het aantal vuurwapens V (per 1000 inwoners). Het jaarlijks aantal sterfgevallen door vuurwapens in België is 3,8 (per inwoners) en het aantal vuurwapens 17,9 (per 1000 inwoners). Nederland heeft ongeveer 16 miljoen inwoners en inwoners zijn in bezit van een vuurwapen. 2. Onderzoek wat het jaarlijks aantal sterfgevallen door vuurwapens is in Nederland. Leg uit hoe je dit probleem hebt opgelost. 64

65 Opgave 3 bestaat uit veel tekst waarin grootheden en verbanden hiertussen worden beschreven. Om de belangrijke aspecten uit de tekst te halen, moet er een model worden gemaakt waarin alle grootheden overzichtelijk worden weergegeven. Dit is voor de leerlingen niets nieuws, zij hebben ervaring met het opstellen van een model vanuit een context, dit hebben de leerlingen eerder toegepast in soortgelijke vraagstukken. Het model kan daardoor hergebruikt worden in vergelijkbare vraagstukken. Daarnaast zal het model gemakkelijk te interpreteren zijn door anderen omdat de leerlingen al enige ervaringen hebben met het opstellen van een model bij dit soort vraagstukken. In de context worden verschillende vervoersmiddelen beschreven, voor de leerlingen is dit een voorstelbaar probleem, dit onderwerp komt bijvoorbeeld ook aan bod bij het vak aardrijkskunde, het is realistisch voor de leerlingen en zij zien het nut van deze opgave in. Naast het hardop denken leggen de leerlingen ook in hun uitwerkingen uit hoe ze aan de oplossing zijn gekomen, hierdoor worden de gedachten van de leerlingen nogmaals onthuld. Goederentransport Voor bedrijven is het belangrijk om hun kosten zo laag mogelijk te houden om zo veel mogelijk winst te maken. Bij het transport van goederen kan een bedrijf kiezen uit vervoer over de weg, over het spoor of over water. Bij de keuze van het soort vervoer speelt het begrip TEU een rol. TEU staat voor Twenty feet Equivalent Unit en komt overeen met wat er in een container kan die ongeveer 6 meter lang is. Bij vervoer per vrachtauto rekent het bedrijf bij een afstand van 50 km op 100 euro per TEU en op 300 euro per TEU bij een afstand van 250 km. Bij vervoer per trein zijn de kosten 200 euro per TEU bij een afstand van 250 km en 300 euro per TEU bij een afstand van 650 km. Vervoer per schip kost bij een afstand van 250 km 200 euro per TEU en bij een afstand van 800 km 300 euro per TEU. Ga in deze opgave bij elke soort vervoer uit van een lineair verband tussen de afstand s in km waarover de goederen moeten worden vervoerd en de kosten K in euro s per TEU. 3. Bij welke afstand s zijn de kosten van vervoer over de weg gelijk zijn aan de kosten van vervoer over het spoor. Rond af op gehele kilometers en leg uit hoe je dit probleem hebt opgelost. 65

66 Appendix E. Uitwerkingen van de onderzoeksinstrumenten Bal uit het water Conceptualiseren x W 20 cm Inhoud bal: V = 4 3 π(d 2 )3 Diameter bal: 20 cm W is het volume van het deel van de bal onder water, in dit geval ¾ deel van V, volume van de bal. x is de afstand van de onderkant van de bal tot het wateroppervlak. W = 0,00105 x 2 (30 x), met x in cm en W in liter. Gevraagd: hoeveel steekt de bal boven het wateroppervlak uit als ¾ deel van het volume zich onder water bevindt. Mathematiseren d = 2 dm V = 4 3 π(2 2 )3 = 4,18879 liter 3 4 4, = 0,00105 x2 (30 x) Oplossen 3,15 = 0,00105 x 2 (30 x) Gebruik makend van GR: Voer in y 1 = 0,00105 x 2 (30 x) Voer in y 2 = 3,15 Optie intersect geeft: x 13,5 Interpreteren De oplossing x 13,5 betekent de afstand van de onderkant van de bal tot het wateroppervlak. Gevraagd werd naar het aantal cm van de bal dat boven het water oppervlak uitsteekt. De afstand van de onderkant van de bal tot het wateroppervlak is 13,5 cm. De bal heeft een diameter van 20 cm. De bal steekt dus 20 13,5 = 6,5 cm boven het wateroppervlak uit als ¾ deel van het volume zich onder water bevindt. Het antwoord is dus 6,5 cm. 66

67 Valideren Gevraagd werd naar de lengte van het stuk van de bal dat boven het wateroppervlak uitsteekt als ¾ deel van de bal zich onder water bevindt. Dus ¾ deel van 4,2 liter, dat klopt. Dit gelijkstellen aan de formule, dat klopt ook. Vergelijking oplossen geeft een oplossing. Dit is de afstand van de onderkant van de bal tot het wateroppervlak. Dit getal van 20 afhalen geeft het antwoord. Dit antwoord is realistisch, want het is minder dan de helft van 20 cm. Hebben is schieten? Conceptualiseren S = aantal sterfgevallen door vuurwapens per inwoners (jaarlijks). V = aantal vuurwapens per inwoners. Evenredig verband S = a V België: - S = 3,8 - V = 17,9 Nederland: - 16 miljoen inwoners vuurwapens in Nederland Gevraagd: - Sterfgevallen Nederland Mathematiseren S = a V België: Geeft: - S = 3,8 - V = 17,9 3,8 = a 17,9 a = 3,8 17,9 = Dus: S = V Oplossen: Nederland: vuurwapens per inwoners betekent 1 vuurwapen per 1000 inwoners. 67

68 Dus V = 1 Hieruit volgt: S = = Dus: = 33, sterfgevallen per inwoners in Nederland. Interpreteren Gevraagd werd naar het jaarlijks aantal sterfgevallen door vuurwapens in Nederland. Volgens de vorige berekeningen is het jaarlijks aantal sterfgevallen in Nederland 34, het antwoord is dus 34 sterfgevallen. Valideren De gegevens over België zijn bekend waardoor het evenredige verband tussen S en V kan worden weergegeven in een formule. Van Nederland is bekend dat inwoners in bezit zijn van een vuurwapen. Omgerekend naar het aantal per inwoners zijn dat inwoners. Dit kan ingevuld worden in de formule, dit geeft 38 sterfgevallen per inwoners in Nederland. 178 Omgerekend naar 16 miljoen inwoners geeft dit 34 sterfgevallen per jaar door vuurwapens in Nederland. Dit antwoord is realistisch. Goederentransport Conceptualiseren K = Kosten, s = afstand van vervoer Lineair verband dus: K = a s + b Weg: - Bij s = 50 hoort K = Bij s = 250 hoort K = 300 Spoor: - Bij s = 250 hoort K = Bij s = 650 hoort K = 300 Gevraagd: - Wat is s als K weg = K spoor? Mathematiseren Weg: a = K s = = 1 Dus K weg = s + b met s = 50 en K = 100 geeft: 100 = 50 + b 68

69 b = 50 Dus K weg = s + 50 Spoor: a = K s = = 0,25 Dus K spoor = 0,25s + b met a = 250 en K = 200 geeft: 200 = 0, b 200 = 62,5 + b b = 137,5 Dus K spoor = 0,25s + 137,5 K weg = K spoor geeft: s + 50 = 0,25s + 137,5 Oplossen s + 50 = 0,25s + 137,5 0,75s = 87,5 s = Interpreteren In dit vraagstuk werd gevraagd naar de afstand a zodat de kosten van vervoer over de weg gelijk is aan de kosten van vervoer over het spoor. Door formules van beiden vervoersmiddelen op te stellen en de vergelijking op te lossen, volgt daaruit s = 116, Met s wordt hier de afstand bedoeld in km. Dus bij een afstand van 117 km zijn de kosten van vervoer over de weg gelijk aan de kosten van vervoer over het spoor. Het antwoord is dus 117 km. Valideren Aan de hand van twee punten is de lineaire formule voor de kosten van vervoer over de weg opgesteld. Hetzelfde is vervolgens gedaan met de kosten van vervoer over het spoor. Gevraagd werd naar de afstand waarbij de kosten van beiden vervoersmiddelen gelijk waren, dus de formules moeten aan elkaar gelijk worden gesteld. Dit geeft een oplossing, namelijk s = Hieruit volgt dat de 3 kosten van vervoer over de weg gelijk zijn aan de kosten van vervoer over het spoor bij een afstand van 117 km, afgerond op hele kilometers. s = 115 geeft: 69

70 K weg = = 165 euro K spoor = 0, ,5 = 166,25 euro Vervoer over de weg goedkoper s = 118 geeft: K weg = = 168 euro K spoor = 0, ,5 = 167 euro Vervoer over het spoor goedkoper Tussen s = 115 en s = 118 zit dus het snijpunt van de twee grafieken. De oplossing is dus zeer waarschijnlijk het juiste antwoord. Het antwoord is ook realistisch, omdat vervoer over het spoor waarschijnlijk goedkoper wordt als het over grotere afstanden gaat. 70

71 Appendix F. Gecodeerde transcripties Leerl. 1 Opgave 1 Leest opgave voor. Ik neem eerst een vierde deel, het deel dat wel onder water is, dan kan ik x berekenen. 1 deel van het 4 volume, dan moet ik eerst het volume van de bal berekenen. V = 4 π 3 (2 2 )3. Dat voer ik in op mijn rekenmachine. Daar komt uit 4,2 afgerond, dat is het volume van de bal. V is het volume van het deel van de bal dat onder water is, dus 3 is onder water, dan moet ik 1 berekenen van... Afstand van de 4 4 onderkant van de bal tot het wateroppervlak is x. W is het volume van het deel van de bal wat onder water is, het deel onder water is 3. W hangt af van x. Voor W geldt de formule W = 4 0,00105x2 (30 x). 3 van het volume is onder water, dus W is gelijk aan 3. Dus, 0,75 = 4 4 0,00105x2 (30 x), x in cm en W in liter. Haakjes wegwerken: 0,75 = 0,00105x 2 30x. Algebraïsch oplossen kan niet. Dus ik moet het met mijn rekenmachine doen. y 1 = 0,75 y 2 = 0,00105x 2 30x Grafiek plotten. Zoom fit. Er komt maar één lijn. Ik pas mijn WINDOW aan en laat de assen tot 30 lopen. Dat lukt niet. Daarna ga ik meer naar beneden op de y-as, dat lukt ook niet. Ik moet meer naar links, dus x -as aanpassen. Ik neem weer mijn standaardscherm. Ik moet x MAX aanpassen, en y MIN ook. Ik zoek de x. Optie intersect geeft: x = 0,025 en y = 0,75. Maar dat kan niet. Het zijn twee lijnen dus ik zou twee snijpunten moeten hebben, maar ik schrijf dit gewoon op. Ja, x = 0,025. W is dan 0,75. Ik moest x berekenen in cm, maar centimeters kunnen niet min zijn, dus dit kan niet. Ik loop vast. Opgave 2 Leest opgave voor. Zo is er een evenredig verband, evenredig verband is y = ax + b. S is per inwoners en V is per 1000 inwoners. Evenredig verband, evenredig is y = ax, dat zei ik net verkeerd. Aantal vuurwapens S = a V. Het aantal jaarlijkse sterfgevallen door vuurwapens in België is 3,8 per inwoners, dus dat is S. S = 3,8. En het aantal vuurwapens 17,9, dus V = 17,9. Nederland heeft ongeveer 16 miljoen inwoners en inwoners zijn in bezit van een vuurwapen. Onderzoek wat het aantal sterfgevallen is door vuurwapens in Nederland. Eerst bereken ik a en dan het aantal Nederlanders die een vuurwapen hebben berekenen. 3,8 = a 17,9 71

72 a = 3,8 17,9 0,22 Dus S = 0,22 V Jaarlijks aantal sterfgevallen in België door vuurwapens is 3,8. Aantal vuurwapens is 17,9. Dus 3,8 per inwoners. Dus inwoners in België. Aantal vuurwapens 17, = Nu zijn er inwoners in Nederland. Dus V is 16 want V is in duizenden. S = 0,22 16 = 3,52. Dus S rond ik af op 4 personen. Uitleg van werkwijze Ik heb de formule uit de tekst gehaald en gekeken naar het evenredige verband en de formule daarbij opgesteld. Door de gegevens van België te gebruiken en daaruit a berekend. a = 3,8 0,22. Dan is 17,9 de formule S = 0,22 V. In de tekst stond het aantal sterfgevallen S dat ik moest berekenen. In de tekst stond ook hoeveel vuurwapens er in Nederland zijn, dus V = 16. Dan S = 0,22 16 = 3,52 en dat is 4 personen. Dus het aantal sterfgevallen door vuurwapens in Nederland is vier personen. Opgave 3 Leest opgave voor. Een container is 6 meter lang. Afstand is 50 km. 100 euro per TEU, vracht. Afstand is 250 km. 300 euro per TEU, ook vracht. Afstand is 250 km. 200 euro per TEU, trein. Afstand is 650 km. 300 euro per TEU, ook trein. Afstand is 250 km. 200 euro per TEU, schip. Afstand is 800 km. 300 euro per TEU, ook schip. Ga in deze opgave bij elk soort vervoer uit van een lineaire verband tussen de afstand S in km waarover de goederen moeten worden vervoerd en de kosten k in euro s per TEU. Bij welke afstand S zijn de kosten van vervoer over de weg gelijk aan de kosten van vervoer over het spoor? Dus ik heb alleen trein en vracht nodig. Rond af op gehele kilometers en leg uit hoe je dit probleem hebt opgelost. Afstand S bij vracht is 50 km. Dus S = 50 en k = 100 euro. En bij die andere is S = 250 en k = 300. Bij trein: S =250 en k = 200. En S = 650 en k = 300. Bij welke afstand zijn de kosten gelijk? Eerst ΔS bij vracht berekenen. = 200 = 1 Δk Dan bij trein: ΔS Δk = = = 4 Maar nu bereken ik de richtingscoëfficiënt. Wanneer zijn de kosten gelijk? Ik moet het aan elkaar gelijk maken. Hoe ga ik dat doen? Het is y = ax + b. Dus dan doe ik eerst van vracht: S = a k + b. Dan vul ik 50 bij S in. Dan loop ik vast. Nee, a weet ik wel. Die is bij vracht 1. Dus 50 = 1 k + b. Maar k weet ik ook. Dus: 50 = b 50 = b 72

73 Dan b = 50 En dus de formule is: S = 1k + 50 Nu bij trein. S = = b = b b = 550 Dus de formule is: S = 4k 550. Deze twee aan elkaar gelijk stellen. S = 4k 550 = S = 1k 50 k naar de andere kant 4k 1k = 3k = 600. Maar het is 550. Dus: = 500 k = ,67 Rond af op hele kilometers, maar deze kunnen niet min zijn, dus ik heb iets fout gedaan. Dan probeer ik = 600 k = kilometer. = 200. Dan had het dus toch 600 moeten zijn. k = = 200. Dus het antwoord is 200 Uitleg van werkwijze Ik heb eerst ΔS gedaan bij vracht en trein berekend. Daarna heb ik de formule opgesteld en ben ik aan Δk b gekomen, dat heb ik bij vracht en bij trein gedaan. Deze formules heb ik aan elkaar gelijk gesteld en toen kwam er 200 kilometer uit. Dus de kosten bij vracht en spoor zijn gelijk bij 200 kilometer. Stimulated recall interview Opgave 1 Onderzoeker: ok, de eerste opdracht: Bal uit het water. Dit waren je uitwerkingen. Op een bepaald moment liep je vast, waar? Leerl. 1: Ik snapte niet meer wat ik moest doen, omdat er twee formules in het verhaal stonden. Ik wist dat 3 deel van het volume van de bal zich onder water bevond. Maar ik moest x berekenen en dat 4 begreep ik niet. Onderzoeker: Ok, kijk eens terug naar je uitwerkingen. Wat heb je eerst gedaan? Leerl. 1: Ik heb de eerste formule opgeschreven waardoor ik het volume van de bol heb berekend, 4,2. Het deel onder water is 1 van 4,2, maar dat had ik niet gedaan. 3 is 0,75 en toen ben ik gaan rekenen 4 4 met de formule W = 0,00105x 2 (30 x). De haakjes heb ik weggewerkt. Daaruit kreeg ik 73

74 0,00105x 2 30x en dat heb ik ingevoerd in mijn rekenmachine. Met y 1 = 0,75 en y 2 = 0,00105x 2 30x. Ik heb geprobeerd mijn WINDOW aan te passen maar dat lukte niet. Onderzoeker: Waar denk je dat het mis is gegaan? Leerl. 1: Dat de lijnen verkeerd zijn uitgekomen in mijn rekenmachine. Onderzoeker: Waar ben je dan precies vastgelopen? Leerl. 1: Bij het oplossen, dus optie intersect, ik kreeg één punt maar dat kon niet want centimeters zijn nooit negatief. Onderzoeker: Vanaf welk moment zou het dan mis zijn gegaan? Leerl. 1: Vanaf het moment dat ik de formule W gebruikte. Onderzoeker: Wees iets duidelijker. Leerl. 1: Bij het opstellen van de vergelijking 0,75 = 0,00105x 2 (30 x) Onderzoeker: Wat denk je nodig te hebben om wel verder te kunnen? Leerl. 1: x. Onderzoeker: We kijken nog steeds naar die vergelijking, het moment waar het mis ging. Waardoor heb je deze niet op kunnen lossen? Leerl. 1: Ik moest het volume van de bol berekenen, dus het deel onder water. Dat was 1, dus ik moet 4 eigenlijk 4,2 delen door 4. Ik ben gelijk gaan rekenen met de formule W, zonder het volume van de bol te gebruiken. Onderzoeker: Wil je het nog een keer proberen? Leerl. 1: Ja. Onderzoeker: Ben je er nu achter gekomen waar je vast liep en hoe je hiermee verder kunt? Leerl. 1: Ja, maar ik weet niet of ik zeker weet of ik het nu wel kan. Onderzoeker: Probeer het maar. Vervolg opgave 1 Leerl. 1: Ik begon met het volume van de bol, V = 4 3 π (d 2 )3. De diameter van de bal is 2 dm, dus het volume van de bal is dan V = 4 3 π (2 2 )3 = 4,2. Hoeveel cm steekt de bal boven het wateroppervlak uit als 3 deel van de bal zich onder water bevindt. De afstand van de onderkant van de bal tot het 4 wateroppervlak noemen we x. 3 deel van het volume onder water. W is het volume van het deel dat 4 onder water is. Het deel onder water is 3. W hangt af van x, voor W geldt de formule W = 4 0,00105x 2 (30 x). Hoeveel cm steekt de bal boven het wateroppervlak uit als 3 deel van het volume 4 zich onder water bevindt. 1 deel van de bol steekt dan boven het wateroppervlak uit. 4 Ik loop vast. Onderzoeker: Waar loop je vast? 74

75 Leerl. 1: Er zit 3 onder water, dus ik moet formule V gebruiken, maar 4 Onderzoeker: Wat denk je nodig te hebben om wel verder te kunnen? Leerl. 1: W, ik gebruik W niet en ik wil weten hoe ik deze moet gebruiken. Onderzoeker: Wat wordt er met W bedoeld? Leerl. 1: x is de afstand van de bal tot het wateroppervlak, W is het volume van het deel dat onder water is. 3 deel is onder water, dus V en W zijn allebei Hulpmiddel: W is 3 deel van het volume van de bal. Bedenk wat 3 deel betekent. 4 4 Leerl. 1: 0,75 van de bal. Onderzoeker: En de bal is? Leerl. 1: 4,2. Dus W is 3 deel van 4,2. Dus 4,2: 4 3 = 3,15, dat is W. 4 Onderzoeker: Denk je nu dat je weet hoe je verder moet? Leerl. 1: W = 3,15. Maar dan weet ik alsnog. Ja, dan moet ik de formule van W gebruiken, maar dan weet ik alsnog x niet? Onderzoeker: Denk na, je doet het heel goed. Vervolg opgave 1 Leerl. 1: uhmm.. De afstand van de onderkant van de bal tot het wateroppervlak is x. Onderkant van de bal tot het water. Ik weet de diameter van de bal in dm. x moet ik in cm weten. Ik maak het mezelf veel te moeilijk denk ik. Diameter van de bal is 2 dm. W is 3,15, aan de hand van 3,15 kan ik x berekenen. 3,15 = 0,00105x 2 (30 x), maar er staan twee x -en in de formule. Uhmm afstand van de onderkant van de bal tot het wateroppervlak. 3 onder water dus 0,75 onder water. 4 Ik loop vast. Hulpmiddel: Maak eens een schets van de situatie. Leerl. 1: Maakt schets Ik moet x berekenen. Die weet ik eigenlijk al, dus x is 0,75. Maar dat kan niet want het is niet zo gemakkelijk. W hangt af van x Ja want W is 3, dus x moet zijn. Ik loop vast. Onderzoeker: Wat denk je nodig te hebben om verder te kunnen? Leerl. 1: Ik heb het gevoel dat ik er niets van snap en ik wil graag een tip. Hulpmiddel: Kijk naar het verschil tussen afstand en volume, onderzoeker geeft de schets van de situatie. Onderzoeker: W weet je nu. 75

76 Leerl. 1: Ja, 3,15. Onderzoeker: Wat is de formule voor W? Leerl. 1: W = 0,00105x 2 (30 x) Wat volgt hieruit? Leerl. 1: 3,15 = 0,00105x 2 (30 x). Dit had ik ook al, maar toen liep ik ook vast. Hulpmiddel: Hoe kun je dit oplossen? Leerl. 1: Met mijn rekenmachine. Ik voer in y 1 = 3,15 en y 2 = 0,00105x 2 (30 x). Er zijn nu drie snijpunten, ik moet x berekenen met de optie intersect. Het ene snijpunt geeft een negatief getal, dat kan niet. Het volgende snijpunt is 13,5 en het laatste snijpunt is 25,3. Dus x is 13,5 cm of x is 25,3 cm. Het stukje onder water is dus 13,5 cm, dan is het stuk boven water 6,5 cm. x is 25,3 kan niet omdat de bal maar 20 cm is. Dus het stukje boven water is 13,5. Onderzoeker: Goed. Leg nog eens uit hoe je aan het antwoord bent gekomen. Leerl. 1: Ik heb een schets gemaakt van de situatie. Ik wist dat W 3,15 was, dat had ik berekend met behulp van het volume, want ¾ deel was onder water. Daarna heb ik de vergelijking ingevoerd op mijn rekenmachine om het snijpunt te berekenen. Daar kwam een parabool uit met nog een boogje eraan. Het eerste snijpunt was 6,5 en het volgende snijpunt 25,3. De bal was 20 cm lang dus alleen 6,5 kan ik gebruiken. 6,5 cm is het deel onder water dus het deel boven water is dan 13,5. Onderzoeker: Je hebt een aantal tips gekregen. Bij het eerste hulpmiddel werd de vergelijking gegeven. Heb je hier iets aan gehad? Leerl. 1: Ja hier heb ik veel aan gehad want zo kon ik de snijpunten berekenen. Onderzoeker: Het tweede hulpmiddel was de schets. Heb je hier iets aan gehad? Leerl. 1: Ja, dan zie ik wat ik moet berekenen, mijn verbeelding van de situatie. Opgave 2 Onderzoeker: Je hebt het antwoord gevonden, we nemen de uitwerkingen even door. Onderzoeker: Liep je vast tijdens deze opgave? Leerl. 1: Nee Onderzoeker: We nemen de uitwerkingen even door. Alles klopt volgens Leerl. 1. Opgave 3 Onderzoeker: Ook hier ben je op een antwoord gekomen. We nemen de uitwerkingen even door. Onderzoeker: Liep je tijdens deze opgave vast? Leerl. 1: Nee. Onderzoeker: We nemen de uitwerkingen even door. 76

77 Alles klopt volgens Leerl

78 Leerl. 2 Opgave 1 Leest opgave voor Eerst schrijf ik de formules op. V = 4 π 3 (d 2 )3 en W = 0,00105x 2 (30 x). Dan vul ik in de eerste formule vul ik 2 decimeter in. V = 4 π 3 (2 2 )3 = 4,2. Hoe vul ik ook al weer breuken in? Ik doe het wel anders: V = 1,25 π ( 2 2 )3 = 4,189. Dan. lastige opdracht. Ah.. W is het volume van het deel dat onder water is. Dus ik vul in: W = 4,189 dus, 4,189 = 0,00105x 2 (30 x). En nu. shit, 3 deel dus 0,75 4,189 = 3,142. Dat is namelijk 3 deel van het 4 4 volume. Uhm.. nu moet ik x berekenen, ik weet alleen even niet hoe Ik weet het al, denk ik.. We gaan x berekenen, dan haal ik eerst de haakjes weg: 3,142 = 0,00105x 2 (30 x). Dus dat is 30 x 2 x 3 dus: 3,142 = 0,00105x 2 30x 2 x 3. Dan naar de andere kant halen. 3,142 0,00105 = 30x 2 x 3. Dit is 3,141 = 30x 2 x 3. Ik weet niet wat ik nu verder moet doen. Ik loop vast. Opgave 2 Leest opgave voor Uhmm.. (tekent een verhoudingstabel). Eerst ga ik even van België 3,8 per inwoners omzetten naar per 1000 inwoners. Dus 3,8:1000 dan heb ik per 1000 inwoners. Dus 0,0038 per 1000 inwoners. Dan Ik denk kruislinks vermenigvuldigen. 17,9 bovenaan en dan , dat is per alle inwoners. Dus per 1000 inwoners: 16000:1000=16. Aantal sterfgevallen is 3,038 per 1000 inwoners. Dus dan kruislinks vermenigvuldigen is: 16 0,0038: 17,9 = 0,0034 per 1000 inwoners. Dus 0,0034* Uhm.. Moet het antwoord per 1000 of in totaal? Hmm oke. In totaal denk ik. Ik heb nu per 1000 dus 0, = 544 doden door vuurwapens in Nederland. Ik heb eerst van België 3,8 per inwoners verlaagd naar hoeveel sterfgevallen per 1000 inwoners, dat is namelijk 0,0038. Zo heb ik kruislinks vermenigvuldigd door 17,9 vuurwapens in bezit 78

79 in België bovenaan te zetten, daarnaast sterfgevallen door vuurwapens in België. Onderaan heb ik de gedeeld door 1000, want dan heb ik per 1000 inwoners. Dan kruislinks vermenigvuldigen namelijk 16 0,0038: 17,9. En dan nog eens keer en dan nog keer 16. Zo kom ik uit op 544 doden door vuurwapens in Nederland. Opgave 3 Leest opgave voor Ik onderstreep de getallen die van belang zijn, de kosten en de afstanden. Eerst reken ik alles om naar 1 kilometer. De kleine getallen reken ik om naar 1 kilometer en later de grote afstanden. Dus 50 kilometer is 100 euro per TEU, dat is dus 1 kilometer, dat is dus 100: 50 = 2 euro bij vervoer per vrachtauto. Bij de trein zijn de kosten 200 euro bij een afstand van 250 km. Dus 250 km en dan 200 euro, dat is dus 250: 200 = 1,25 euro per kilometer Ik ga de formule opstellen, vergeet wat ik gezegd heb (krast het voorgaande door). Ok, dat is K = a S. Uhm... Als je dan 50 dollar kosten hebt, geeft dit: a 50 bij vrachtauto. Dat is: 100 = a 50. Dus a = 100: 50 = 2 bij vervoer vrachtauto. Nu de volgende. Nu vervoer per trein. Dan is het 200 is K. Dus 200 = a 250. Dus a = 200: 250 = 1,25. Ik moet berekenen waar ze gelijke afstanden hebben. Dus als ik 200 euro omzet naar 100 euro. Dan moet ik 250 euro delen door 2, dus 125 euro. Dan klopt het nog niet. Ik kom er niet uit. Ik loop vast. Stimulated recall interview Opgave 1 Onderzoeker: Ok, de eerste opdracht. Leg maar uit wat je hebt gedaan, waar je vastliep en waarom je bent vastgelopen. Cor: Ik heb de twee formules opgeschreven. V = 4 π 3 (d 2 )3, d is de diameter van de bal, 2 decimeter. Ik heb voor de diameter 2 ingevuld. Dat is dan 4 π 3 (2 2 )3 = 4,189. Maar bij de vraag moest ik 3 deel 4 van het volume weten, dus dan nog vermenigvuldigen met 0,75 is 3,142. De formule W = 0,00105x 2 (30 x) heb ik gebruikt door 3,142 in te vullen voor W. Dan krijg ik 3,142 = 0,00105x 2 (30 x). Ik kwam uit op: 3,141 = 30x 2 x 3. Toen liep ik vast. Onderzoeker: Ok, wat denk je nodig te hebben om verder te kunnen? Cor: Ik wil x weten. Maar ik heb geen idee hoe ik dat moet doen. Hulpmiddel Onderzoeker: Dat wat je hebt opgeschreven is een vergelijking. Wat kunnen we met een vergelijking? Cor: Oplossen. Ik weet het al, ik moet het invullen in mijn rekenmachine. 79

80 Vervolg opgave 1 y 1 = 3,142 en y 2 = 0,00105x 2 (30 x) (Leerl. 2plot de grafieken in zijn rekenmachine en past zijn WINDOW aan). Optie intersect geeft x = 13, Dan krijg ik uiteindelijk: W = 0,00105 (13,404) 2 (30 13,404) = 3,131. Het antwoord moet op hele cm dus de bal steekt 3 cm boven het wateroppervlak uit. Dat is mijn antwoord. Nee, ik heb een fout gemaakt. Mijn y moet niet 3,142 zijn, maar y moet 4,189 zijn. Want als 3 onder 4 water is, is 1 boven water. W is het volume dat onder water is, dus hij is 3 cm onder water, ik moet 4 boven water weten Nee ik deed het wel goed denk ik. V was 4,189. Dus y 1 = 4,189 en y 2 = 0,00105x 2 (30 x). Optie intersect geeft x=19,403. Dat vul ik in bij W: W = 0,00105 (19,403) 2 (30 19,403) =4,189, hetzelfde als mijn V. Gedeeld door 4 is 1. Ik weet niet of het antwoord nu 3 is of 1. Het antwoord is 1. Onderzoeker: Leg nog eens uit hoe je dit probleem hebt opgelost? Cor: V was 4,189. Daarna heb ik in mijn rekenmachine ingevuld y 1 = 4,189 en y 2 = 0,00105x 2 (30 x). Met optie intersect kwam daaruit x = 19,403. Dat heb ik ingevuld voor x in de formule voor W. W = 0,00105 (19,403) 2 (30 19,403) =4,189. Dat is hetzelfde als V. Dat gedeeld door 4 is afgerond is een kwart en is afgerond op gehelen 1. Hiermee bereken ik het deel onder water, en ik moet het deel boven water berekenen. Het antwoord is uiteindelijk 1,05 en afgerond op een geheel getal is dat 1. Dus de bal steekt 1 cm boven water uit. Onderzoeker: Je hebt als hulpmiddel van mij gekregen hoe je de vergelijking op moest lossen. Heb je hier iets aan gehad? Cor: Ja want hierdoor kwam ik erachter dat ik het niet algebraïsch hoefde op te lossen, maar dat ik mijn rekenmachine kon gebruiken. Dit wat ik vergeten. Opgave 2 Onderzoeker: Tijdens deze opdracht ben je niet vastgelopen. Cor: Nee deze heb ik kunnen maken. Onderzoeker: We nemen de uitwerkingen even door. Alles klopt volgens Cor. Onderzoeker: Waarom heb je gebruik gemaakt van kruislinks vermenigvuldigen? Cor: Dat kwam als eerste bij me op. Het is ongeveer gelijk aan elkaar. Als ik per 1000 inwoners kijk. 3,8 per gedeeld door 1000 is dan per Dat is 0,0038 sterfgevallen per wapenbezitter. Dat is België. Dan wil ik dat voor Nederland ook weten. Dat is 17,9 eigenaren met een geweer in België per En 16 per 1000 in Nederland. Zo gebruik ik kruislinks vermenigvuldigen door 16 80

81 0,0038: 17,9. Zo kwam ik uit op 0,0034. Dat vermenigvuldigde ik met zodat ik het per miljoen heb. Dan keer 16 en dan heb ik het voor alle inwoners van Nederland. Opgave 3 Onderzoeker: Tijdens deze opdracht ben je wel vastgelopen. We nemen de uitwerkingen door tot het moment waarbij je vastliep. Cor: Ik heb de formule opgesteld K = a S. Bij de vrachtauto heb ik a proberen te berekenen. 100 = a 50. Dus a = 100: 50 = 2. Toen wilde ik dat bij trein ook te proberen maar dat lukte niet, daar liep ik vast. Onderzoeker: Heb je enig idee wat je nodig zou hebben om dit probleem wel op te kunnen lossen? Cor: Nee Onderzoeker: Dan geef ik het volgende hulpmiddel: Je hebt een formule opgesteld die bij een bepaald verband hoort. Welk verband? Cor: recht evenredig verband. Onderzoeker: Maar van welk verband is in deze opdracht sprake? Cor: Lineair verband. Onderzoeker: en welke formule hoort daarbij? Cor: y = a? Nee dat is omgekeerd evenredig. Uhm.. Nee s Onderzoeker: y = ax + b. Denk je dat je nu verder kan met de opgave? Cor: Eigenlijk nog niet. Onderzoeker: Waarom niet? Cor: Ik weet het niet. Wat kan ik hiermee? Hulpmiddel: Probeer een formule op voor spoor en vracht op te stellen. Dat zijn twee aparte formules. Probeer deze op te stellen met de gegevens die bekend zijn. Vervolg opgave 3 Dus: K = 100 euro, dat zijn de kosten. K = 300 euro. Bij een afstand van 50 km is het 100 en bij een afstand van 250 km is het 300. Bij het spoor geldt: K = 200 en K = 300. s is dan Wacht.. Ja, s is dan 250 of 650. Maar a en b in de formule weet ik niet. Nou.. dit is K = a = 50 + b Maar dan heb je dus a en b over. Dan heb je natuurlijk ook 300 = a b Dan heb ik dus a en b over. Meer weet ik niet. Ik loop vast 81

82 Onderzoeker: Wat denk je nodig te hebben om verder te kunnen? Cor: Ik heb a en b nodig? Onderzoeker: Hoe kom je daaraan denk je? Cor: Dat weet ik niet. Onderzoeker: Heb je een tip nodig? Cor: Ja. Hulpmiddel Onderzoeker: We kijken eerst naar a. a = ΔK ΔS. Cor: oooo, ja nu weet ik het. Vervolg opgave 3 Cor: Het is dus = 1. Dus dan is de formule: K = 1x + b. Bij het spoor. Hoe doe ik dat dan met b?... b is 50 want 1 50 = 50 en er moet 100 uitkomen. Dus b moet 50 zijn, want = 100. Dus: K = 1x + 50 is de formule bij het spoor. Nu de formule bij vracht = 0,25 dus K = 0,25x + b. Nu willen we het is s trouwens. K = 0,25s + b. Nu vullen we 250 en 200 in. 200 = 0, b. Dat is dus: 200 0, = 137,5. Dus: K = 0,25x + 137,5. Dan gaan we ze samenvoegen. Dus: 1x + 50 = 0,25x + 137,5. De x naar de andere kant dat is: 0,75x = 87,5. Gedeeld door 0,75 is: x = 116,67. Dus bij 117 km zijn ze gelijk aan elkaar. Onderzoeker: Als hulpmiddel heb je gekregen de formule die hoort bij een lineair verband en ook hoe je a berekent in die formule. Heb je iets aan deze hulpmiddelen gehad? Cor: Ja want ik haalde de formules door elkaar en ik kwam er niet bij op om a = ΔK dus ik heb er iets aan gehad. Δs 82

83 Ria Opgave 1 Leest opgave voor. Ok, eerst de inhoud, 3 deel. Volume berekenen is: V = 4 π 4 3 (d 2 )3. d is de diameter van de bal en de bal heeft een diameter van 2 decimeter. d = 2 dm, deze schrijf je op als decimeter. Eerst berekenen hoeveel cm aan de onderkant. Dat is dan de formule van W = 0,00105x 2 (30 x). En 3 deel van het 4 volume. Euhm.. 3 deel van het volume. Dan eerst het volume berekenen: V = 4 π 4 3 (2 2 )3 = 4,19. Dan 3 deel hiervan. 4,19: 4 3 = 3,14, dat is dus 3 deel van het volume. Dan.. euhm.. afstand van de 4 4 onderkant van de bal tot het wateroppervlak noemen we x. Ik weet het niet zeker maar ik toets in op mijn rekenmachine: W = 0,00105 (3,14) 2 (30 3,14) = 0,28 en W is in liter en je hebt decimeter gebruikt. Maar x is in centimeter en ik heb nu decimeter gebruikt. Dus het is eigenlijk: W = 0,00105 (31,4) 2 (30 31,4) = 1,45 en het is onder water dus dat betekent dat de bal -1,45 cm onder water zit, hè maar dat kan niet. Ik loop vast Opgave 2 Leest opgave voor. Evenredig verband dat is y = ax + b. Dan is Y is S en x is V. Dus S = av + b. Dus je wilt S weten van Nederland. Ik zou eerst België doen, dan kun je x berekenen. Dus inwoners is jaarlijks aantal sterfgevallen door vuurwapens S. Sterfgevallen in België is 3,8. Dus 3,8 = a 17,9 + b. Dus er is geen b? O, wacht, b kan ik zelf uitrekenen. Euhm, evenr O, ik moet de richtingscoëfficiënt bepalen. Dat is Δy. België is (17,9;3,8) en Nederland aantal vuurwapens is 16 in Δx Nederland. 17,9 in België, 16 in Nederland. 3,8 sterfgevallen in België en nu wil je dat in Nederland weten. Dan doe je 16 3,8: 17,9 = 3,4. Dus dan weet je het aantal sterfgevallen in Nederland. Dan kun je de richtingscoëfficiënt berekenen Δy 3,8 3,4. Dat is = 0,21. Dat is de richtingscoëfficiënt. Δx 17,9 16 Dan heb je y = 0,2x + b. Dan voer ik y en x in, 3,8 = 0,2 17,9 + b. 3,8 = 3,58 + b. Dan krijg je b = 0,22. Dus b is 0,22. Dan krijg je de nieuwe formule y = 0,2x + 0,22. Dan heb je in Nederland euh 16 miljoen inwoners. Je wilt het aantal sterfgevallen weten, dat is x. Dan doe je euhm.. Aantal vuurwapens is 17,9. Ik heb de formule opgesteld en dat moest niet. De sterfgevallen zijn gewoon 3,4 euhm.. België had 17,9. Ja dan is het gewoon 3, = Om het te controleren gebruik ik de formule. y = 0,2x + 0, miljoen inwoners, vuurwapens. 3,8 sterfgevallen, 17,9 vuurwapens. Dus 17,9 vuurwapens, dat klopt niet.. In Nederland y moet 16 zijn, want het is per 1000 dus 16 per 1. Dan moet het andersom: 17,9 16: 3,8 = 57,4 vuurwapens in Nederland. Nu moet ik de sterfgevallen berekenen. Dan moet ik de richtingscoëfficiënt gebruiken. 83

84 Ik loop vast Opgave 3 Leest opgave voor. 50 km 100 euro. 250 km 300 euro. Dat is vrachtauto. 250 km 200 euro. 650 km 300 euro. Dat is trein. En Schip: 250 km 200 euro. 800 km 300 euro. Een lineair verband, dus S in km en de kosten K in euro s. Dus K = as + b. Dan wil je de weten wanneer de kosten van vervoer over de weg gelijk zijn aan de kosten over het spoor. Over het spoor, dus trein en vracht, schip hoeft dus niet. Dan moeten trein en vracht gelijk aan elkaar zijn. Euhm.. Richtingscoëfficiënt berekenen door Δy Δx, ΔK ΔS = 0 en dan is de richtingscoëfficiënt dus niks. Dan vul ik nu de K en S in. 300 = b 300 = 0 + b b = 300 Maar als ik dit met de 250 km van de trein en 200 euro deed kom ik op 200 uit, dus het klopt niet. Euhm Ja.. Als 300 wel gelijk zou zijn aan b.. Dan.. De weg moet gelijk zijn aan het spoor.. Dus de kosten moeten gelijk zijn. 300 = a b moet gelijk zijn aan 200 = a b en a was nul. Ik moet invoeren op mijn rekenmachine en het snijpunt berekenen: y 1 = x en die ander is dat ook y 2 = x. Even kijken wat er gebeurt. Twee dezelfde lijnen, ja.. Dan neem ik trein met 650 km en 300 euro. y 1 = x en y 2 = x. Ik kom er niet uit. Ik weet wat ik moet doen maar het klopt niet. Ik loop vast Stimulated recall interview Ria: Ik moest berekenen hoe veel cm van de bal boven het wateroppervlak uitsteekt als 3 deel van het 4 volume zich onder water bevindt. Ik wilde eerst de inhoud van de bal weten, het volume. Daar heb ik 3 4 deel van genomen. Toen heb ik dat als x gebruikt in de formule van W. Maar ik wist niet of het boven water of onder water uitkwam. Onderzoeker: Waar liep je precies vast? Ria: Ik liep vast toen ik 3 deel van het volume had genomen. 4 Onderzoeker: Wat denk je nodig te hebben om dit vraagstuk wel op te kunnen lossen? 84

85 Ria: Euhmm Waar voor.. Euhm.. Ja, ik denk x. Of het antwoord x is, dus 3 deel van het volume, of 4 dat x is. Want W is het volume van het deel dat onder water is. Als ik dat volume weet, dan weet je V voor de andere formule, en dan kan ik weer d berekenen. Dan is d het antwoord van de vraag. Onderzoeker: Denk je te weten verder te kunnen of heb je een hulpmiddel nodig? Ria: Ik heb een hulpmiddel nodig. Onderzoeker: hulpmiddel maak een schets van de situatie en zet alle bekende gegevens daarin. Vervolg opgave 1 Ria: maakt schets. 3 deel is onder water, dus 1 deel boven water. Afstand van de 4 4 onderkant van de bal tot het water, o, dat is x. W is het volume van het deel van de bal wat onder water is. Dus dit deel is W. V is het volume van de bal in liters. V = 4 π 3 (2 2 )3 = 4,19. Dit is het volume van de hele bal. 3 deel is onder 4 water. Dan moet ik daar dus 1 van nemen, boven water.. 4 Ik loop vast Onderzoeker: Wat denk je nodig te hebben om verder te kunnen? Ria: Ik begrijp niet wat W is en x. Dus ik heb x nodig. Onderzoeker: Hulpmiddel 3 deel is onder water, dat is 3,14, dat is W. W is dus 3,14. Denk je dat je 4 hiermee verder kunt? Ria: Ja, ik denk het wel. Vervolg opgave 1 Ria: Want ik wil nu x weten. Dan weet ik hoeveel cm onder water is. Dan 2 dm min x, dan weet ik wat boven water uitsteekt. 3,14 = 0,00105x 2 (30 x) y 1 = 3,14 y 2 = 0,00105x 2 (30 x) Nu moet ik mijn WINDOW instellen. Xmax moet groot zijn, 50. Optie intersect geeft y = 3,14 en x = 25,3. Dus x is 25,3 cm. Dus dan doe je.. Euhm Optie intersect nu aan de andere kant. x = 13,4. Dan 20 13,4 = 6,6 en dat is dus wat boven water uitsteekt in cm. Onderzoeker: Je hebt als tip de schets gekregen en daarna wat 3,14 betekende. Heb je daar iets aan gehad? Ria: Ja hierdoor kon ik x berekenen en door de schets wist ik dat x onder water lag. Door de formule kon ik juist x berekenen en dat van 20cm afhalen. 85