In zijn artikel genaamd The Problem

Transcriptie

1 Quantum random walks Over de jaren heen heeft de klassieke random walk een belangrijke rol gespeeld in vele takken van zowel de fundamentele als de toegepaste wetenschap. Dit artikel gaat over zijn moderne broertje: de quantum random walk. Beschreven worden zowel zijn fundamentele eigenschappen, als mogelijke implementaties in verschillende systemen. Kevin van Hoogdalem 384 Kevin van Hoogdalem studeerde Technische Natuurkunde aan de TU Delft, waar hij in 008 afstudeerde op het onderwerp Implementation of the quantum-walk step operator in lateral quantum dots. Sinds 008 is hij werkzaam als promovendus aan de Universiteit van Basel, waar hij momenteel onderzoek doet naar transport van magnetische momenten in ééndimensionale spin chains, waarbij hij gebruik maakt van een hydrodynamische beschrijving. In zijn artikel genaamd The Problem of the Random Walk [] introduceerde K. Pearson in 905 de term random walk door zich de volgende vraag te stellen: beschouw een man, startend op een positie O, die in een rechte lijn een afstand l aflegt, zich vervolgens over een willekeurige hoek draait, en dan dezelfde afstand l aflegt. Laat hem dit proces n maal herhalen, met mogelijk steeds een andere hoek. Wat is dan de waarschijnlijkheid om de man na deze n stappen op een gegeven afstand r van zijn startpunt te vinden? Uiteraard was Pearson niet direct geïnteresseerd in de besluiteloze man. Hij wilde de oplossing gebruiken voor een biometrisch probleem. Interessant genoeg, en ter illustratie van de brede toepasbaarheid van de random walk, werd de oplossing hem aangedragen door Lord Rayleigh, die hem wees op een oplossing uit de akoestiek. In hetzelfde jaar ontdekte Einstein de waarschijnlijk meest bekende natuurkundige toepassing van de random walk, namelijk in de verklaring van Brownse beweging. En dit is nog slechts het topje van de ijsberg: talrijke toepassingen van de random walker zijn onder andere te vinden in de economie, scheikunde, genetica en biologie. Vanuit het perspectief van dit artikel is de meest interessante toepassing echter die in computeralgoritmes. Het moge duidelijk zijn dat de random walk al een lange en rijke geschiedenis achter de rug heeft. En nu, in een tijdperk waarin quantum computing een volwassen onderzoeksgebied geworden is, lijkt het erop dat dit werkpaard van de wetenschap, in aangepaste vorm weliswaar, opnieuw een grote rol kan gaan spelen. Quantum computation Om te zien waarom dit het geval is, is het van belang om eerst een kijkje te nemen in de keuken van het onderzoek naar quantum computation []. In dit vakgebied houdt men zich bezig met het ontwerpen van een quantumcomputer, die gebruik moet gaan maken van wetten van de quantummechanica om bepaalde taken die op een klassieke computer ondoenlijk zijn, omdat het te veel tijd zou kosten om ze uit te voeren, toch mogelijk te maken. De sleutelconcepten die dit mogelijk moeten maken zijn het superpositieprincipe en verstrengeling. De versnelling van de algoritmes wordt mogelijk gemaakt doordat met behulp van deze quantummechanische principes sommige berekeningen in principe in hoge mate parallel uitgevoerd kunnen worden. Eén van de theoretische uitdagingen in het vakgebied is dat er op dit moment nog maar weinig algoritmes zijn die ook daadwerkelijk de kracht van de quantummechanica kunnen toepassen. Het bekendst is Shors algoritme [3], dat gebruikt kan worden om een getal te ontbinden in zijn priemfactoren. De ontbinding in priemgetallen is zeer belangrijk in cryptografie. Een tweede bekend algoritme is bedacht door Grover[4]. Dit algoritme is in staat om, kwadratisch sneller dan zijn klassieke analogon, ingangen te vinden in een niet gesorteerde database. Verder is er ook nog een aantal minder bekende algoritmes. Het beperkte aantal bekende algoritmes is een belangrijke reden voor de interesse in quantum random walks. Aangezien de hedendaagse algoritmes voor klassieke computers vaak gebaseerd zijn op de klassieke random walk, is de hoop dat het quantummechanische equivalent, de quantum random walk, een goede kandidaat is voor de ontwikkeling van algoritmes voor de quantumcomputer. Overigens blijft het niet alleen bij hoop, want in 003 bijvoorbeeld is een voorstel gedaan voor een algoritme gebaseerd op de quantum random walk [5]. De quantum random walk In 993 introduceerden Aharonov, Davidovich en Zagury de term quantum random walk (QRW) [6]. Hoewel het voorstel enigszins in vorm verschilt van hedendaagse implementaties, dient het als een goede introductie. Aharonov beschouwde een elektron Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde november 009

2 Verdeling van de random walk Om het verschil in gedrag tussen de klassieke en de quantum random walk te verduidelijken zullen we hier de meest eenvoudige versie van de random walk bestuderen: een deeltje dat zich in een ééndimensionale discrete ruimte beweegt, en op discrete tijdstippen verplaatst wordt. De klassieke random walk kan dan eenvoudig beschreven worden op de volgende manier: op ieder veelvoud van het tijdstip t verplaatst het deeltje zich met waarschijnlijkheid p naar rechts, en met waarschijnlijkheid -p naar links. De waarschijnlijkheid dat het deeltje op tijdstip T = nt k stappen naar rechts en n-k stappen naar links heeft gedaan, geschreven als P(k,T ), is dan gegeven door de binomiale verdeling: P (k, T) = ( n k ) p n ( p) n k De beschrijving van de quantum random walk is enigszins meer gecompliceerd. De Hilbert-ruimte bestaat nu uit het product van de positieruimte H p, bestaande uit de mogelijke posities { i } waar het deeltje zich kan bevinden, en de muntruimte H C, opgespannen door twee basisvectoren {, }. De munttoestand bepaalt de translatierichting van het deeltje middels de volgende operatie: Ŝ = i i + i + i i Laat het deeltje nu op tijdstip t=0 beschreven worden door: 0 Vanuit deze toestand kan er geen random walk worden uitgevoerd, het deeltje zou domweg in één richting bewegen. Daarom moet de munt eerst geïnitialiseerd worden. In principe voldoet iedere unitaire transformatie, maar laat ons voor de Hadamard gate Ĉ H kiezen: Ĉ H = ˆ ( Hier is = (, 0) T en = (0, ) T. Na het uitvoeren van deze initialisatie en de daaropvolgende translatie Ŝ is de golffunctie dan gegeven door: ) ( ) Dit geeft een waarschijnlijkheidsverdeling analoog aan de klassieke random walk. Voor het uitvoeren van de volgende stap dient de muntruimte echter gereïnitializeerd te worden. Na het uitvoeren van deze operatie en een nieuwe translatie ziet de golffunctie er als volgt uit: [ + 0 ( )+ Als we dit proces nogmaals herhalen wordt de golffunctie: [ / ] ( ) 3 Deze uitdrukking is reeds significant verschillend van wat verwacht wordt voor de klassieke walk, dit is met name te zien aan de asymmetrie van de verdeling. Dit verschil is nog duidelijker na meerdere stappen, zie figuur hieronder. ] 385 De linkerfiguur geeft de waarschijnlijkheidsverdeling voor de quantum random walk (oranje) en de gewogen klassieke random walk (blauw) na honderd stappen. De begintoestand van de quantum random walk is / 0 ( + i ). De rechterfiguur laat zien dat de evolutie zeer afhankelijk is van de begintoestand van de munt. De oranje curve geeft de evolutie voor de munt in de begintoestand 0, de blauwe curve voor de begintoestand 0, opnieuw na honderd stappen. november 009 Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde

3 386 Figuur Schematische weergave van een quantumdot in een DEG. De quantumdot is weergegeven door de ronde regio tussen de gates (vrij naar [0]). Martijn van Roovert Figuur Kop of munt: in de klassieke ééndimensionale random walk wordt de verplaatsingsrichting van de walker bepaald door het resultaat van een muntworp. beschreven door een golffunctie met een gegeven eindige afmeting. Het verschil met de klassieke random walk is dat het elektron een interne vrijheidsgraad heeft, namelijk de spin-/ van het elektron. De z-component van de spin dient als munt voor de random walker. Het voorstel is om het deeltje middels het volgende principe te laten evolueren: als het elektron zich in de spin-up toestand bevindt, verplaatst het zich een afstand l naar rechts. Als het in de spin-down toestand is, verplaatst het zich over een afstand l naar links. Hierbij is l veel kleiner dan de breedte van de golffunctie. Het elektron wordt nu in een spinsuperpositie gebracht. Dan wordt de verplaatsing uitgevoerd. Na het uitvoeren van de verplaatsing wordt de spin van het deeltje gemeten, en daarmee is de positie van het elektron bepaald. Zolang de meting langs de z-as gedaan wordt, is er niets bijzonders aan de hand, en krijgen we de verdeling van de klassieke random walk. Echter, zodra de meting langs een andere as, zeg de x-as, wordt gedaan, vindt er interferentie plaats tussen beide realisaties van de translatie. Door de meetas slim te kiezen, kan men beide componenten van de golffunctie dusdanig laten interfereren dat er een kleine waarschijnlijkheid is om het deeltje over een afstand veel groter dan l te verplaatsen, iets wat in de klassieke random walk onmogelijk is. Als voorbeeld van een recenter voorstel beschouwen we opnieuw een elektron met een golffunctie gecentreerd rond een positie x. De spin speelt opnieuw de rol van de munt. In tegenstelling tot het oorspronkelijke artikel van Aharonov is de afmeting van de golffunctie niet van belang, er wordt alleen aangenomen dat er geen overlap is tussen golffuncties gecentreerd rond verschillende posities. Een enkele stap in de QRW bestaat dan uit twee opeenvolgende unitaire operaties. De eerste operatie is het equivalent van het opgooien van een munt om te bepalen in welke richting de walker zich verplaatst: door een rotatie in de spinruimte wordt de spin, ofwel de munt, in een superpositie gebracht. Vervolgens wordt de spinafhankelijke verplaatsing uitgevoerd (dit is de zogenoemde stapoperatie). Aangezien er nu geen overlap is tussen de golffuncties van de verschillend verplaatste delen van het elektron krijgen we, als we na iedere verplaatsing een positiemeting zouden uitvoeren, precies de verdeling van de klassieke random walk. Echter, als we de beide operaties herhalen zonder de meting uit te voeren wordt het gedrag van de random walker wezenlijk anders. Zoals uitgelegd in het kader wordt dit veroorzaakt door interferentie tussen de verschillende quantummechanische paden die de random walker aflegt. Door de unitaire rotatie in de spinruimte kan de walker zowel destructief als constructief interfereren. Dit leidt tot het bizarre gedrag waar de interesse in de quantum random walk uit voortgekomen is. Experimentele vooruitgang Een interessante stap voorwaarts in de richting van een bruikbare implementatie van de QRW is kortgeleden gemaakt door een onderzoeksgroep in Bonn [7]. Hierbij speelt een lasergekoeld cesiumatoom in een ééndimensionaal optisch rooster de rol van de walker. De twee munt-toestanden zijn middels de hyperfijnstructuur van het cesiumatoom gescheiden. Door de atomen te bestralen met microgolven kan een atoom coherent tussen de beide munt-toestanden heen en weer gedreven worden; op deze manier zijn de experimentatoren in staat om bepaalde operaties, bijvoorbeeld de Hadamard gate (zie kader), te implementeren. In het experiment is het ook mogelijk om de atomen toestandsafhankelijk te verplaatsen. Dit gebeurt door te profiteren van het feit dat de beide munt-toestanden verschillend aan gepolariseerd licht koppelen. Zo is het mogelijk om een aantal stappen van de QRW coherent uit te voeren. Interessant is dat dit experiment ons ook iets leert over een ander aspect van de QRW; namelijk, naarmate meer stappen worden uitgevoerd gaat de quantummechanische verdeling over naar een klassieke, binomiale verdeling. Door verschillende soorten ruis toe te voegen aan het systeem kan dit ons meer leren over het precieze verband tussen ruis en decoherentie (het verlies van de fase van de toestand van het atoom). Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde november 009

4 Figuur 3 Evolutie van de waarschijnlijkheid om het elektron in de oorspronkelijke dot te vinden voor verschillende sterktes van de koppeling tussen de energieniveaus van het elektron en de ladingsfluctuaties. De linkerfiguur geeft de waarschijnlijkheid voor de spinup-component, de rechterfiguur voor de spin-down-component. Door de tunnelbarrière te openen op t=0 en te sluiten op t=3,5 ns kan de spin-up-component naar de naastliggende dot verplaatst worden, terwijl de spin-down-component in de oorspronkelijke dot blijft. Quantum random walks in quantumdots Recent hebben we het eerste voorstel gedaan voor een realisatie van de basiseenheid van de QRW, namelijk de zogenoemde stapoperator, in een rij van quantumdots [8]. Quantumdots zijn eilandjes in een tweedimensionaal elektronengas dat zich in een gelaagde halfgeleiderstructuur bestaande uit, in ons model, GaAs en AlGaAs bevindt, waarin het mogelijk is om een discreet aantal elektronen te vangen. De dots zijn door tunnelbarrières aan elkaar gekoppeld, zodat transport tussen verschillende dots mogelijk is. Deze tunnelbarrières kunnen naar wens elektrisch geopend en gesloten worden. Systemen van quantum dots gelden als een prominente kandidaat voor de realisatie van een quantumcomputer [9], waardoor een implementatie van de quantum random walk in dit systeem een zeer interessante vooruitgang zou zijn. In ons voorstel wordt de random walk uitgevoerd door een enkel elektron in een rij van gekoppelde quantumdots [0]. De rol van de munt wordt, net als in het voorstel van Aharonov, gespeeld door de spintoestand van het elektron. De walk komt op het volgende neer: laat het elektron zich oorspronkelijk in één van de dots bevinden. Als het elektron zich in de spin-up toestand bevindt, doet het gedurende de stapoperatie een stap naar de rechts gelegen dot. Echter, als het in de spin-down toestand is, verplaatst het zich naar de links gelegen dot. Door het elektron in een coherente superpositie van spin up en spin down te brengen is het dan mogelijk een stap van de QRW uit te voeren. Dit eerste is experimenteel reeds mogelijk met een techniek genaamd Elektron Spin Resonance []. Ons voorstel richt zich op het tweede gedeelte dat benodigd is voor de QRW, namelijk de spinafhankelijke verplaatsing van het elektron door de tunnelbarrières. Het is nu voldoende een rij van drie dots te bekijken. Laat het elektron zich oorspronkelijk in de middelste dot bevinden. De spinafhankelijke verplaatsing kan gerealiseerd worden door lokale manipulatie van de Zeemanopsplitsing in de middelste dot. Immers, de frequentie waarmee het elektron tussen twee dots heen en weer tunnelt als de tunnelbarrière geopend is, is afhankelijk van het energieverschil tussen de energieniveaus in de beide dots. Dus als de twee niveaus in resonantie zijn, zal het elektron met een hogere frequentie tussen de twee dots heen-en-weer tunnelen. Door de Zeemanopsplitsing in de middelste dot te vergroten, is het nu mogelijk om bijvoorbeeld de spin-up-niveaus in resonantie en de spin-down-niveaus uit resonantie te brengen, zodat de spin-up component met een hogere frequentie tussen de beide dots tunnelt. Door nu de tunnelbarrière tussen de middelste- en de rechterdot te openen, en dan te sluiten op het moment dat de spin-up component zich in de rechterdot bevindt, terwijl de spin-down component zich in de middelste dot bevindt, is het mogelijk om alleen de spin-up component te verplaatsen. Hetzelfde kan gedaan worden voor de spin-down component, maar dan met de linkerdot in plaats van de rechterdot. Om de Zeemanopsplitsing te manipuleren, gebruiken we een combinatie van elektrische en magnetische velden. Het onderliggende mechanisme dat we hier gebruiken is de spin-baankoppeling. In de aanwezigheid van spin-baan-koppeling leidt een aangelegd elektrisch veld tot een effectief magnetisch veld, en daarmee tot een grotere Zeemanopslitsing. Dit is het equivalent van hyperfijnopsplitsing in atomen, waar een bewegend elektron in het elektrische veld van de atoomkern een effectief magnetisch veld in zijn ruststelsel ondervindt. In tweedimensionaal GaAs kan het interne elektrische veld dat tot spin-baankoppeling leidt, veroorzaakt worden door de gebroken inversiesymmetrie van het bulk kristal (de zogenoemde Dresselhaus-koppeling ) of door het effect van de ruimtelijke beperking tot twee dimensies (de zogenoemde Rashba-koppeling ). Een van de moeilijkheden voor een dergelijke implementatie is het feit dat het elektron hinder ondervindt van ladingfluctuaties in zijn omgeving, waardoor decoherentie van de elektrontoestand plaatsvindt. Echter, het blijkt dat het systeem robuust genoeg is om ook in de aanwezigheid van decoherentie de spinafhankelijke verplaatsing uit te voeren (zie figuur 3). Dit geeft hoop dat we de QRW kunnen uitvoeren in dit systeem, hetgeen opnieuw een veelbelovende stap zou zijn in de ontwikkeling van het interessante fenomeen dat random walk heet. 387 november 009 Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde

5 Referenties K. Pearson, The Problem of the Random Walk, Nature 7, 394 (905). Zie M.A. Nielsen en I.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 000 voor een uitgebreide introductie. 3 P. W. Shor, Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer, SIAM J.Sci. Statist.Comput. 6, 484 (997). 4 L. K. Grover, A fast quantum mechanical algorithm for database search, Proceedings, 8th Annual ACM Symposium on the Theory of Computing (STOC), May 996, pagina s N. Shenvi, J. Kempe en K.B. Whaley, Quantum random-walk search algorithm, Phys. Rev. A 67, (003). 6 Y. Aharonov, L. Davidovich en N. Zagury, Quantum random walks. PRA 48, 687 (993) 7 M. Karski et al., Quantum Walk in Position space with Single optically Trapped Atoms, Science 35, 74 (009). 8 K.A. van Hoogdalem en M. Blaauboer, Implementation of the quantum-walk step operator in lateral quantum dots, Phys. Rev. B 80, 5309 (009). 9 D. Loss en D. P. DiVicenzo, Quantum computation with quantum dots, Phys. Rev. A 57, 0 (998). 0 Voor een recente introductie tot elektronen in quantum dots zie L. P. Kouwenhoven, J. R. Petta, S. Tarucha en L.M.K. Vandersypen, Spins in few-electron quantum dots, Rev. Mod. Phys. 79, 7 (007). F.H.L. Koppens, C. Buizert, K.J. Tielrooij, I.T. Vink, K.C. Nowack, T. Meunier, L.P. Kouwenhoven en L.M.K. Vandersypen, Driven coherent oscillations of a single electron spin in a quantum dot, Nature 44, 966 (006), en K.C. Nowack, F.H.L. Koppens, Yu. V. Nazarov en L.M.K. Vandersypen, Coherent Control of a Single Electron Spin with Electric Fields, Science 38, 430 (007). Een ultrakoude elektronenbron voor 388 ultrasnelle processen In 958 werd voor de eerste keer de driedimensionale atoomstructuur van een macromolecuul bepaald met behulp van röntgenkristallografie, in dit geval de structuur van het eiwit myoglobine []. Röntgenkristallografie, gebruikmakend van de heldere röntgenbundels in grote synchrotronfaciliteiten, is nog steeds de belangrijkste methode om de structuur van macromoleculen te onderzoeken. Tot nu toe is de structuur van ongeveer eiwitmoleculen te vinden in de Protein Data Base []. Gabriel Taban Eiwitten spelen een essentiële rol in alle levende organismen. Om goed te kunnen functioneren, moeten ze zichzelf na de eiwitsynthese in de juiste vorm vouwen. Soms gaat er iets mis in het vouwproces, wat kan leiden tot klontering van eiwitmoleculen. Ziektes als BSE (gekkekoeienziekte) en Alzheimer [3] worden toegeschreven aan klontering van eiwitmoleculen in de hersenen. Om tot een betere behandeling van dergelijke ziektes te komen, wil men heel graag inzicht krijgen in de precieze werking van het proces van eiwitvouwing. Helaas is de kennis tot nu toe bijna volledig beperkt tot statische evenwichtsstructuren. Dat komt omdat tot voor kort de snelste analysetechnieken vele ordes van grootte te traag waren om de razendsnelle beweging van atomen in een molecuul tijdschalen van typisch 00 fs (= 0-3 s) te kunnen volgen. Ons begrip van dynamische processen in grote moleculen is daarom heel beperkt. Dit verandert nu met de ontwikkeling van nieuwe röntgen- en elektronentechnieken die gebruik maken van femtoseconde laserpulsen. Voorbeelden van structuurverandering die op hele korte tijdschalen gevolgd worden zijn onder andere gepresenteerd door Schotte et al. [4] (00 ps resolutie röntgenmeting van CO -photolyse in myoglobine) en Siwick et al. [5] (300 fs resolutie elektronenmeting van smelten van aluminium). Het probleem Helaas zijn zowel röntgen- als elektronen-analysetechnieken erg des- Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde november 009