De grafische rekenmachine in de les wetenschappen -

Transcriptie

1 De grafische rekenmachine in de les wetenschappen - Vraagstukken oplossen Hans Bekaert

2 Inhoud De grafische rekenmachine in de les wetenschappen... 1 Inhoud... 2 Een eerste kennismaking... 3 De toetsen... 3 Enkele bijzonder toetsen... 4 Het contrast instellen... 4 Speciale instellingen... 4 Elementaire berekeningen... 4 Variabelen... 5 Recursie... 6 Werken met tabellen...7 Ingeven van de tabel... 7 Berekenen van het volume... 7 Bepalen van de massadichtheid... 8 De gemiddelde waarde bepalen... 9 Oefening: de wet van Boyle-Mariotte... 9 Overige bewerkingen met lijsten Grafische voorstellingen Oefening: Werken met functies Oefening: Toepassing met integralen Oplossen van een stelsel Wetten van Kirchhoff

3 Een eerste kennismaking De toetsen Het toetsenbord van de TI-83/84 Plus bestaat uit vier onderdelen: grafiektoetsen: voor de interactieve grafische functies van de TI-83/84 Plus bewerktoetsen: voor het wijzigen en bewerken van uitdrukkingen en waarden geavanceerde functietoetsen: voor geavanceerde functies van de TI-83/84 Plus wetenschappelijke berekeningstoetsen: voor wetenschappelijke berekeningen met de standaardfuncties van de rekenmachine Een toets op de TI-83/84 Plus heeft meestal meerdere functies: eerste functie op de toets in het wit tweede functie links boven de toets in het geel / Blauw y [e] = het getal e derde functie rechts boven de toets in het groen ƒ [R] = de variabele R Op dit rekentoestel mag je slechts één toets tegelijk indrukken. Grafiektoetsen Bewerktoetsen Geavanceerde functietoetsen Berekeningstoetsen 3

4 Enkele bijzonder toetsen É AAN of UIT zetten van het toestel Í Invoer bevestigen z Instellen van de juiste mode (vb. graden of radialen) Een regel of scherm wissen { Een karakter wissen Het contrast instellen Na het drukken op ON verschijnt het basisscherm. Om het contrast in te stellen gebruik je de pijltoetsen }: na het indrukken van y hou je de toets } ingedrukt om het beeld donkerder te maken. Je drukt om het beeld lichter te maken. Speciale instellingen Allerlei speciale instellingen, kun je regelen via het modescherm. Je activeert dit scherm via de z-knop. Bijvoorbeeld: het aantal cijfers dat de rekenmachine toont (FLOAT of 0, 1, 2, ) werken met graden of radialen werken met gewone functievoorschriften of parametervergelijkingen Een keuze maak je door met de cursor naar de optie te gaan en op Í te drukken. Het scherm verlaten doe je, zoals steeds, met y5. Elementaire berekeningen Het uitvoeren van berekeningen met de TI-83/84 Plus gebeurt op een analoge manier als bij de meeste wetenschappelijke rekentoestellen. Voor het uitvoeren van de berekeningen hieronder afgebeeld, druk je op de toetsen in de volgorde zoals je ze op het basisscherm terugvindt. Het uitvoeren van een bewerking (of een commando) start na het drukken op Í. Het resultaat verschijnt rechts op het scherm. 4

5 Bijzondere aandacht verdient het minteken. Om een verschil te bekomen druk je op ¹. Het tegengestelde geef je aan met Ì. Gebruik je de verkeerde toets, dan krijg je een foutmelding. QUIT betekent de bewerking onderbreken. GO TO betekent terugkeren naar de plaats waar de fout is gebeurd. Voor de verbetering, druk je dus op 2 en nadien op Ì. Neem je een voorbeeld met een vierkantswortel, dan merk je dat na het drukken op y [ ] het eerste haakje automatisch wordt geplaatst. Het sluiten van de haakjes is niet noodzakelijk maar aan te raden. Variabelen Je kunt het scherm leegmaken door op te drukken. Als de cursor links staat, wordt het hele basisscherm gewist en anders enkel de regel waarop de cursor zich bevindt. Het toekennen van de waarde 50 aan de variabele A doe je als volgt: 50 ƒ A 5

6 Na het toekennen van een waarde aan een variabele wordt een waarde automatisch gebruikt in de uitdrukkingen waarin de variabele voorkomt. Variabelen die als waarde een reëel of complex getal bevatten, kunnen enkel benoemd worden met letters A, B, C,, Z, q Recursie Met de ANS-toets (last answer) is het mogelijk recursieve bewerkingen uit te voeren. We illustreren dit met een voorbeeld. Veronderstel dat de temperatuur van een metaal 1200 K bedraagt en je warmt dit metaal op zodat na elke minuut de temperatuur 3% stijgt. Hoe evolueert de temperatuur van dit metaal? Tik vanuit het basisscherm de starttemperatuur 1200 in en druk op Í. Tik Ãy ANS * 0.03 Merk op dat na het intikken van à automatisch ANS op het scherm verschijnt. Herhaaldelijk op Í drukken geeft de oplossing. Een vorige invoer kan je oproepen met y [ENTRY]. 6

7 Werken met tabellen We meten voor enkele blokjes hout de lengte, de breedte en de dikte. We meten ook de massa van de blokjes. We zoeken de massadichtheid van het materiaal. Lengte (cm) Breedte (cm) Dikte (cm) Volume (cm³) Massa (g) 1 10,1 1,4 2,1 18,7 2 14,9 1,4 2,2 28,9 3 20,2 1,4 1,9 33,8 4 25,1 1,4 2,1 46,5 Massadichtheid (g/cm³) Ingeven van de tabel We gaan de meetwaarden ingeven in een tabel in de grafische rekenmachine. 1. Maak op het rekentoestel de bovenstaande tabel na. We geven elke kolom een letter (Lengte=L, Breedte=B, Dikte=D, Volume=V, Massa=M). De rekenmachine laat enkel hoofdletters toe. Druk op en kies voor 5:SetUpEditor Geef achter SetUpEditor de kolomtitels, gescheiden door een komma op. Maak voor de letters telkens gebruik van de ƒ-toets: L,B,D,V,M Bevestig met Í. Er verschijn Done. 2. Roep de tabel op op je scherm: 1:Edit 3. Vul de kolommen voor de lengte, de breedte, de dikte en de massa aan: de kolom met het volume hoef je nog niet in te vullen. Die waarden gaan we dadelijk automatisch laten berekenen. Het corrigeren van een cel gebeurt door de cursor op de betreffende cel te plaatsen en een correcte waarde in te geven. Een cel kan gewist worden met de {-toets. Het invoegen van een cel gebeurt met y INS. Een nieuwe cel krijgt automatisch de waarde 0. Door deze tabel in te vullen heb je lijsten aangemaakt op de rekenmachine. De naam van de lijst komt overeen met de letter bovenaan de kolom. Er zijn dus vijf lijsten gemaakt. Vier van deze lijsten hebben nu al inhoud gekregen. De lijst van het volume is nog leeg. Berekenen van het volume We gaan met behulp van de grafische rekenmachine het volume automatisch berekenen. 4. Noteer hier de juiste formule voor het volume:.. 5. Ga met de cursor op de kolomtitel staan van het volume V. 7

8 6. Om de formule in te tikken, mag je niet gewoon de letters L, B en D gebruiken. Je moet aangeven dat de berekening met de lijsten moet gebeuren. Geef de formule daarom als volgt in: Druk op y LIST en zoek L in de lijst, druk op Í Druk en druk y LIST en zoek B in de lijst, druk op Í Druk en druk y LIST en zoek D in de lijst, druk op Í Sluit de formule af met Í 7. Noteer de berekende waarden met een correct aantal cijfers in de bovenstaande tabel. Merk op dat de grafische rekenmachine geen rekening kan houden met beduidende cijfers. Wanneer je met lijsten werkt in een formule, dan zie je dat de naam van de lijst voorafgegaan wordt door een kleine L. Verlaat de STAT EDITOR met y5. Bepalen van de massadichtheid We maken nu een nieuwe tabel waarin we de massadichtheid gaan berekenen. 8. We maken nu een nieuwe tabel waarin we de massadichtheid gaan berekenen. Druk op en kies voor 5:SetUpEditor Geef achter SetUpEditor de kolomtitels op: V,M,RHO. Bevestig met Í. 9. Roep de tabel op via 1:Edit 10. Ga op de kolomtitel RHO staan en geef de formule m V voor de massadichtheid in. Laat de formule deze keer beginnen met een ã. Je vindt dit symbool bij de à toets. Gebruik voor M en V y List. Bevestig telkens met Í. Sluit ook af met Í. Door de formule vooraf te laten gaan door accenten, is de formule gekoppeld aan de inhoud van de kolommen V en M. Overschrijf je de waarden van de kolom V met waarden met een juist aantal beduidende cijfers, dan zal de waarde voor de dichtheid telkens herberekend worden. Overschrijf nu de gegevens in kolom V door de waarden die je in de tabel genoteerd hebt. Noteer daarna de gevonden dichtheid met een juist aantal beduidende cijfers in de tabel op de vorige bladzijde. Opmerking Een lijst die gekoppeld is aan andere lijsten herken je aan het zwarte blokje in de kolomtitel: om in deze kolom een waarde aan te passen, ga je op de betrokken waarde staan en druk je op Í. Je kunt de waarde nu aanpassen en bevestigen met Í. De koppeling aan de andere lijsten is nu opgeheven voor de volledige kolom. 8

9 De gemiddelde waarde bepalen We bekomen in de lijst RHO nu vier waarden voor de massadichtheid: van deze waarden willen we het gemiddelde berekenen. Je gaat als volgt te werk: Keer terug naar het hoofdscherm met y5. Druk eventueel om het scherm te wissen. Druk op y List en druk op ~ tot je in het MATHmenu terecht komt. Kies nu voor 3:mean( Vul de formule verder aan door in het y List-menu de lijst RHO op te zoeken. Druk Í om te bevestigen. De dichtheid van het hout is dus. Oefening: de wet van Boyle-Mariotte Met de druksensor van Vernier, kun je via de CBL2-interface op een heel efficiënte manier de relatie tussen druk en volume bij constante temperatuur opsporen. Je bekomt de volgende tabel: V (ml) p (kpa) 9 221, , , , , , , , , , , ,859 Opdrachten Maak een tabel met drie kolommen: eentje voor V, eentje voor p en eentje voor het product PV. Wis de inhoud van kolom V: ga op de kolomkop staan en druk op, gevolgd door Í. Vul de inhoud in voor kolom V, de inhoud voor kolom P is al ingevuld. Bereken nu het product van V en p in de derde kolom. Bepaal de gemiddelde waarde van dit product:. 9

10 Overige bewerkingen met lijsten Opmerking 1 De lijsten die we tot nu toe bekeken hebben via de STAT-editor, zijn in feite opgeslagen in een aparte geheugenplaats. Als je de lijst niet ziet staan in de STAT-editor betekent dit niet dat die lijst verdwenen is of de inhoud ervan verloren is. Je kunt de inhoud van een lijst altijd oproepen via het hoofdscherm. Ga naar het hoofdscherm van de grafische rekenmachine Druk op y List en kies de lijst D Bevestig met Í. Opmerking 2 Indien je het omslachtig vindt om te werken met lijsten waarvan je de naam zelf bepaalt, kun je ook werken met de standaardlijsten: L1, L2, L3, L4, L5 en L6. Deze lijsten kun je activeren door de cijfertoetsen À, Á, Â,, of te combineren met de y-toets. Om in de STAT-editor de standaardlijsten te zien staan, druk je in het STAT-menu optie 5:SetUpEditor zonder achtervoegsels. Opmerking 3 Om een lijst volledig te wissen, moet je ze echt uit het geheugen verwijderen (NU NIET DOEN!): Druk y MEM Kies optie 4:ClrAllLists om alle lijsten te wissen of kies optie 2: Mem Mgmt/Del om enkele lijsten te wissen In het geval van optie 2, kies je daarna optie 4:List Zoek nu de lijst die je wilt wissen op en druk op {. Opmerking 4 Om een lijst te hernoemen, moet je een nieuwe lijst definiëren met een nieuwe naam en de oude lijst daarin stoppen: dat kan via de STAT-editor door op de kolomkop met de nieuwe naam te gaan staan en een formule te maken met daarin enkel de naam van de oude lijst. dat kan via het basisscherm met behulp van de - toets De lijst met de naam RHO is nu gekopieerd naar de lijst met de naam DICH. 10

11 Grafische voorstellingen De gegevens die je opslaat in een lijst, kun je grafisch voorstellen. We willen nu een grafiek maken van het verband tussen de druk en het volume. We gaan ervan uit dat de data van P en V uit de oefening op de wet van Boyle-Mariotte in de lijsten P en V zijn ingegeven. We gaan nu een grafische voorstelling maken van de druk als functie van het volume. Welke grootheid zet je op de X-as?. Welke grootheid zet je op de Y-as?. 1. Druk op y STAT PLOT 2. Kies plot 1 3. Zet de plot op ON: ga op ON staan en druk Í 4. Kies het eerste type 5. Kies bij X en Y de juiste lijst via y List 6. Kies het markeringssymbool. 7. Druk nu op q 9: ZoomStat. Je bekomt de grafiek. Je kunt de scherminstellingen nu verder verfijnen zodat je ook de assen op het scherm ziet staan. Druk hiervoor op p en pas de instellingen aan. Als je klaar bent, druk je op s om de grafiek te tekenen met de nieuwe vensterinstellingen. Met de TRACE-toets, krijg je meer informatie over de grafiek en kun je van meetpunt tot meetpunt gaan met de cursor. Oefening: We willen de stoltemperatuur van kaarsvet onderzoeken en doen daarom een experiment. We laten heet kaarsvet afkoelen en meten op de halve minuut de temperatuur. In je grafische rekenmachine vind je een lijst met de tijdsmeting (TIME) en een lijst met de temperatuursmeting (TEMP) Stel een tabel op zodat je de meetgegevens kunt bekijken Stel een plot in zodat je de grafiek kunt bekijken. Kies de beste vensterinstellingen. Bepaal de smelttemperatuur door aflezing voor de gebruikte stof. Druk y5 om naar het hoofdscherm terug te keren. 11

12 Werken met functies Om de wiskundige relatie tussen p en V bij de wet van Boyle-Mariotte op te sporen, willen we door de meetpunten een vloeiende lijn tekenen. We laten de rekenmachine die lijn voor ons berekenen en tekenen. We passen dus een regressie toe op de punten waarvan de coördinaten zijn opgenomen in de V en de P-lijst. We gaan als volgt te werk: 1. Druk op CALC 2. Kies A:PwrReg 3. Vul het voorschrift aan met V,P Druk op y LIST en zoek V in de lijst, druk op Í en zet een komma Druk op y LIST en zoek P in de lijst, druk op Í. Bevestig met Í. Op het scherm verschijnt het voorschrift van de gevonden rechte. Noteer het: We willen deze functie nu tekenen. Daartoe moeten we het voorschrift van de functie ingeven. Alvorens we dat doen, schakelen we alle plots die we hiervoor hebben ingesteld UIT. Ga naar het STAT-PLOT scherm en kies optie 4:PlotsOff en druk Í. Om de functie te tekenen, ga je als volgt te werk: Druk op o. Geef achter Y 1 het voorschrift in: gebruik om x in te geven. 12

13 Druk op s om de grafiek te bekijken. Indien de vensterinstellingen niet voldoen, moet je zelf de instellingen aanpassen. Met r krijg je meer info over de grafiek. Opmerking Je kunt de grafiek van een functie samen op het scherm zetten bij de grafiek van de meetpunten. Schakel de statistische plot met de juiste lijsten op ON en druk op de s-toets. Met de cursortoetsen } en verwissel je tussen de statistische plot en de functiegrafiek. Opmerking Je kunt het functievoorschrift ook rechtstreeks laten opnemen als functievariabele. Daartoe voeg je de naam van de functievariabele toe op het ogenblik dat je de regressie bepaalt. De functievariabel vind je onder knop VARS >Y-VARS > 1:function > 1:Y1. Bevestig met ENTER. Oefening: We bekijken een trilling van een massa aan een veer. In de lijst TIJD op je grafische rekenmachine staat de tijdsmeting, in de lijst F staat de kracht. Maak een plot van de kracht als functie van de tijd. Teken de meetwaarden en kies de beste vensterinstellingen. Zorg dat de mode van je rekenmachine in radialen staat. Doe een regressie op deze lijsten Teken het functievoorschrift samen met de meetpunten. 13

14 Toepassing met integralen Een komeet met een massa van 20 ton vliegt recht naar de aarde. Bereken de arbeid die door de gravitatiekracht verricht wordt om de komeet van op een afstand van km tot op het aardoppervlak te brengen. Oplossing De grootte van de gravitatiekracht op een komeet wordt gegeven door F g Gm.. m r a = 2 met G = 6, Nm²/kg² (de gravitatieconstante) m a = 5, kg (de massa van de aarde) Omdat de kracht niet constant is tijdens de verplaatsing, moet je de arbeid berekenen met de formule x = 2 W F dx x 1 gx, Kies je de x-as zoals op de figuur Dan wordt de integraal W 0km Gm. a. m = dx 2 ( r + x) 10000km = 7, = 7, a km N 1 dx 2 m² (6371 km+ x) 10000km N 1 dx 3 2 m² ( m+ x) 0m 14

15 We berekenen deze integraal met behulp van de grafische rekenmachine. Je gaat als volgt te werk: Geef de functie in. Kies vensterinstellingen zodat de grenzen van de integraal op het display vallen. Teken de grafiek via q 0:ZoomFit. Kies y / en kies 7: f(x)d(x) Geef de ondergrens en de bovengrens van de integraal in. Bevestig telkens met Í. De uitkomst verschijnt op het scherm. De gravitatiekracht levert dus een positieve arbeid van 7, J. Oefening Je rekt een veer uit over een afstand van 15 cm. De veer heeft een veerkonstante 20 N/m. Hoeveel energie krijgt de veer daardoor? 15

16 Oplossen van een stelsel Wetten van Kirchhoff Om de stroomsterkten in een ingewikkelder netwerk te berekenen, maakt men gebruik van de wetten van Kirchhoff. De stroomsterkte in elke afzonderlijke tak van de keten wordt met een ander subscript weergegeven. De wetten van Kirchhoff geven altijd aanleiding tot heel wat rekenwerk. De TI-83/84 Plustreedt ons hier te hulp. Stel dat de volgende drie vergelijkingen volgen uit een elektrisch schema: I1 = I2 + I I 4I + 5 = I I = 3 0 We geven eerst de uitgebreide coëfficiëntenmatrix in. Roep het matrix-menu op met y [MATRIX] > EDIT. Bevestig met Í. Definieer de dimensies van de matrix en voer de getallen in. Verlaat het matrix-menu met y [QUIT]. We maken de matrix nu rijcanoniek met het commando rref. Roep opnieuw het matrix menu op met y [MATRIX] > MATH. Kies in de lijst van functies voor B:RREF en druk Í. Voer als argument de matrix in met y [MATRIX] en Í. De oplossingen zijn nu rechtstreeks uit de rij-canonieke matrix af te lezen. Het minteken voor de tweede stroomsterkte wijst op een oorspronkelijk verkeerd gekozen stroomzin. 16