BASISVAARDIGHEDEN. Wiskunde EEN MUST VOOR IEDERE HTO- STUDENT HTO. Derde druk

Transcriptie

1 BASISVAARDIGHEDEN Wiskunde HTO Derde druk EEN MUST VOOR IEDERE HTO- STUDENT

2

3 Basisvaardigheden wiskunde voor het HTO

4

5 Basisvaardigheden Basisvaardigheden wiskunde voor het HTO voor het HTO Douwe Jan Douwes Jaap Grasmeijer Noordhoff Uitgevers Groningen Houten

6 Ontwerp omslag: Rocket Industries, Groningen Eventuele op- en aanmerkingen over deze of andere uitgaven kunt u richten aan: Noordhoff Uitgevers bv, Afdeling Hoger Onderwijs, Antwoordnummer, 00 VB Groningen, info@noordhoff.nl Deze uitgave is gedrukt op FSC-papier. 0 / 0 Noordhoff Uitgevers bv Groningen/Houten, The Netherlands. Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel h Auteurswet dient men de daarvoor verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (postbus 00, 0 KB Hoofddorp, Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel Auteurswet ) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie, postbus 00, 0 KB Hoofddorp, All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher. ISBN (ebook) ISBN NUR

7 Voorwoord Ten opzichte van de vorige uitgaven van Basisvaardigheden wiskunde voor het HTO bevat deze derde druk hier en daar verduidelijkingen in de theorie, maar kent ze voornamelijk een aantal wijzigingen in de opgaven. De opbouw is verbeterd en er zijn opgaven toegevoegd. Dit leidt er hopelijk toe dat de waardering van dit boek nog hoger wordt. Met dit boek kun je zelfstandig je wiskundige vaardigheden op een peil brengen dat nodig is om een technische opleiding aan het HBO met succes te kunnen volgen. De leerstof van dit boek staat op het niveau van havo wiskunde B en bevat van dat programma vooral de onderdelen van de analyse. Studenten met een vooropleiding havo wiskunde B kunnen het boek gebruiken als een snelle opfriscursus wiskunde. Voor studenten met een vooropleiding mbo of een vergelijkbare andere opleiding biedt het boek een effectieve manier om de nodige wiskundekennis te verwerven. Je kunt beginnen met het maken van de instaptoets. Die vind je op de website. Met deze instaptoets krijg een beeld van je eigen wiskundige kwaliteiten. Aan het eind van de toets krijg je per hoofdstuk een overzicht van je vaardigheden. Zo kun je snel zien welke onderdelen je in elk geval nog moet bestuderen. In het boek vind je op de linkerpagina steeds een korte uitleg, meestal voorzien van enkele voorbeelden. Op de rechterpagina staan de bij die uitleg behorende opgaven. De antwoorden van deze opgaven staan achterin het boek. Als je ook wilt controleren of je de juiste aanpak hebt gevolgd, kun je dat doen aan de hand van de uitwerkingen op de website. Mocht je nog meer oefening willen hebben, dan kun je daarvoor de extra opgaven op de site gebruiken. Deze opgaven hebben dezelfde moeilijkheidsgraad als de opgaven in het boek en zijn soms voorzien van aanwijzingen voor de meest geschikte aanpak. Met de korte diagnostische toets die je van elk hoofdstuk op de site vindt, kun je nagaan of je het onderwerp voldoende beheerst. We wensen je veel plezier en succes bij het werken met dit boek. De auteurs: Douwe Jan Douwes en Jaap Grasmeijer

8 Inhoud Voorwoord Rekenen. Afronden 0. Schattend rekenen. Voorrangsregels. Breuken. Optellen en aftrekken van breuken. Vermenigvuldigen en delen van breuken 0 Machten. Positieve gehele exponenten. Negatieve gehele exponenten. Gebroken exponenten Haakjes. Haakjes wegwerken. Merkwaardige producten 0. Ontbinden in factoren Breuken met letters. Optellen en aftrekken. Vereenvoudigen. Vermenigvuldigen en delen. Toepassingen 0 Formules en grafieken. Een getal invullen. Formule tabel grafiek. Grafieken verschuiven. Grafieken uitrekken en in elkaar duwen. Grafieken spiegelen 0

9 Lijnen. Eerstegraadsvergelijkingen oplossen. Eerstegraadsongelijkheden oplossen. Vergelijking van een lijn. Vergelijking van een lijn opstellen. Twee vergelijkingen met twee onbekenden 0 Tweedegraadsfuncties. Tweedegraadsvergelijkingen. De abc-formule. Tweedegraadsfuncties. Snijpunten van parabolen uitrekenen Breuken van functies. De grafiek van y = x 0. Breuken van lineaire functies. Breuken van lineaire functies omkeren. Breuken van andere functies Machtsfuncties. Positieve gehele exponenten. Negatieve gehele exponenten 0. Wortelfuncties. Wortelvergelijkingen. Inverse functies 0 Exponentiële en logaritmische functies 0. Exponentiële functies 0. De inverse van exponentiële functies 0 0. Logaritmische functies 0. Rekenregels voor logaritmen 0. Het grondtal 0 en het grondtal e

10 Goniometrie. Goniometrie in de rechthoekige driehoek. Graden en radialen 00. De eenheidscirkel 0. Grafieken van goniometrische functies 0. Eigenschappen van sinus, cosinus en tangens 0. Amplitude, periode, frequentie en evenwichtsstand 0. Basisvergelijkingen goniometrie 0. De sinusregel. De cosinusregel Differentiëren. Raaklijnen aan een grafiek. Grafieken van rico s: f'(x). Afgeleiden van standaardfuncties 0. Som- en productregel. Kettingregel. De afgeleide van een quotiënt van functies. Stijgen, dalen, extreme waarden. Toepassingen 0 Integreren. Oppervlakte benaderen met rechthoeken. Primitieve functie. Bepaalde integraal en oppervlakte. Toepassingen Vectoren. Definitie en notatie 0. Rekenen met vectoren. Lengte van een vector. Inwendig product. Toepassing inproduct. Uitwendig product 0. Eigenschappen en toepassing uitproduct Antwoorden Trefwoorden

11

12 Rekenen. Afronden Bij het schatten van grootheden (lengte, gewicht, tijdsduur, ) gebruik je getallen, die een benadering zijn van de werkelijke waarde en die handig zijn om te onthouden of om mee te rekenen. Dit zijn afgeronde getallen. In 00 had Nederland, miljoen inwoners. De lengte van mijn straat is ongeveer 00 meter. Bij afronden geef je altijd aan op welke decimaal (honderdtallen, tientallen, helen, tienden, honderdsten) je afrondt. Bij meetgetallen (dat zijn uitkomsten van metingen) geef je altijd de maateenheid waarin je werkt. uur, minuten, seconden wordt uur minuten als je op minuten afrondt. gram wordt kg als je op kilogrammen afrondt. afronden op tientallen. Op de getallenlijn ligt tussen 0 en 0. Het dichtsbijliggende tiental is 0. interval Afspraak Bij afronden kies je het getal op de getallenlijn dat het dichtst ligt bij het af te ronden getal. Als het getal precies midden tussen de afrondingswaarden ligt, kies je de grootste waarde. Je kijkt altijd maar één decimaal verder dan het aantal decimalen waarop je wilt afronden. 0 0, afronden op tienden geeft,, afronden op tienden geeft, (je kijkt alleen maar naar de ),,0,,0 0

13 Opgaven a Rond af op eurocenten:, 0,0 0,0, b Rond af op hele euro s:, 0,0 0,0, c Rond af op honderdtallen: 0 0 d Rond af op duizendtallen: 0 0 e Rond af op een geheel getal:,,,,0 f Rond af op tienden:, 0,,0 0,0 g Rond de volgende tijdstippen af op een half uur:.0 u 0. u. u. u a Van welk van de drie getallen 00,, 0 is, miljoen de afronding? b 0, is de afronding van een getal op tienden. Noem een paar getallen die dat geweest kunnen zijn. c 00 is de afronding van een getal op honderdtallen. Teken het interval waarbinnen die getallen liggen. d Doe hetzelfde als het getal op tientallen afgerond was geweest. Op paaszaterdag, paaszondag en Tweede Paasdag 00 bezochten, en mensen de Keukenhof. a Schat hoeveel er dat in totaal zijn geweest (afronden op duizendtallen). b Wat zou je als aantal per dag noemen? Dirk behaalde de volgende cijfers voor zijn proefwerken:,,,,,,,,,. Zijn docent geeft alleen hele cijfers op het rapport. Welk cijfer krijgt Dirk op zijn rapport? Maak de volgende opgaven met een rekenmachine, maar schat vooraf de uitkomsten. a, 0, b 0,0 0, c, :, Van drie rapportcijfers is het op tienden afgeronde gemiddelde,. Welke cijfers kunnen dat geweest zijn? Op de website kun je verder oefenen.

14 Rekenen. Schattend rekenen Bij schattend rekenen bereken je wat ongeveer de uitkomst is van een berekening. Je rekent met gemakkelijke en afgeronde getallen. Door schattend te rekenen kun je goed controleren of je geen fouten hebt gemaakt bij het intoetsen van je rekenmachine. is iets minder dan 0 0 = 000. Je koopt pakken melk à 0,. Heb je aan,- euro genoeg? 0, =,0 =,00. Je hebt dus niet genoeg aan,- Een auto kost plus % btw. De btw is ongeveer 0% van 000, dat is 000. Je schat de uitkomst vooraf op ongeveer 000. Daarna reken je het precies uit met een rekenmachine. Je toetst in 0,0 en je schrijft op (op een decimaal afgerond),. Dat klopt niet, want 0,0 0 = 0, =,. Voor schattend rekenen moet je de volgende basisvaardigheden beheersen: vlot kunnen optellen en aftrekken met hele getallen onder 00; de tafels van vermenigvuldiging kennen, zowel heen als terug; vlot kunnen rekenen met nullen (0, 00 = ). 0 0 = 00 : 000 : 0 = 00 : = 00 0,, 0,0 = : 0 = 0 Schattend rekenen gebruik je ook wanneer je niet exact hoeft of kunt rekenen. De e druk van dit boek kostte in 00,. De laatste exemplaren liggen nu voor, in de uitverkoop. Hoeveel is de korting? De korting is iets meer dan 0%, want, =,0. Zondagavond keek,% van de Nederlanders ouder dan jaar naar het uurjournaal. Om hoeveel mensen gaat het dan?,% is ongeveer een zesde deel. Er zijn miljoen Nederlanders. Daarvan is ongeveer miljoen ouder dan jaar. Er keken dus ongeveer = miljoen mensen naar het journaal.

15 Opgaven Kies snel het goede antwoord door eerst te schatten. a + = A 0 B C 0 b = A B C c 0 = A 0 B C 0 d : = A B C Kies snel het beste antwoord door eerst te schatten. a + = A 0000 B 000 C 000 b = A 00 B 00 C 00 c 0 = A 000 B 000 C 000 d : = A B C 0 Schat de uitkomsten. a + b c d : e, : f % van 00 g een vijfde van h, i j 000 : 0 Deze vraagstukken zijn met de rekenmachine uitgerekend. Van welke antwoorden kun je direct zien dat ze fout zijn? a,, =, c : = b 0, +, =, d, +, 0, =, Maak de volgende opgaven met de rekenmachine, maar schat eerst de uitkomsten. a, + 0,, c 0 : 0, b 0,, d, : 0, Op een kassabon staan de volgende bedragen:,,0,, Hoeveel moet je ongeveer betalen? 00 mijl komt overeen met kilometer. Iemand rijdt mijl. Hoeveel kilometer is dat ongeveer? Kan de volgende bewering waar zijn? Johan is vrachtwagenchauffeur en beweert dat hij vorig jaar km heeft gereden. Op de website kun je verder oefenen.

16 Rekenen. Voorrangsregels In een rekenopgave met verschillende bewerkingen gelden de volgende regels: Optellen en aftrekken doe je in de gegeven volgorde. Vermenigvuldigen en delen doe je ook in de gegeven volgorde. Komen de bewerkingen door elkaar voor dan gaan vermenigvuldigen en delen voor optellen en aftrekken. + = + = : = = 0 + = 0 + = Je kunt door haakjes te zetten afwijken van de voorrangsregels. Wat tussen haakjes staat, moet je eerst uitrekenen. (Vergelijk de volgende voorbeelden met de voorbeelden, en.) ( + ) = = : ( ) = : 0 = 0, (0 + ) = = 0 De situatie bepaalt hoe een rekenformule opgeschreven moet worden. Gebruik indien nodig haakjes. Een taxi heeft als startbedrag,0 en daarna,0 per kilometer. Voor kilometer betaal je dus,0 +,0 =,0 euro. 0 meisjes en jongens krijgen ieder schriften. Dat zijn (0 + ) = = 0 schriften.

17 Opgaven ( + ) : = Een gymlokaal is, meter bij meter. Er wordt een nieuwe kunststofvloer ingelegd van 00,- per vierkante meter. Hoeveel kost dat? Wat is de rest van de deling 0 :? Een wielrenner rijdt over één ronde min. en sec. Hij rijdt als een robot met constante snelheid. Hoe lang doet hij over 0 ronden? De trein van. uit Den Helder komt om. in Nijmegen aan. Hoe lang duurt deze reis? = a, +, = b (0,) : (,) = c : = d 0,0 : = e + = a ( ) = b (, +,) :, = c, +, :, = d = a = b = f : = g, + 0, 0, 0, +, = h (0 000 ) = i = j : : = e = :? f 0, : = g 0, + 0, = h :? = c = d : = a 0, : 0,0 = b ( : : ) = ( termen). Bereken de som. Bedenk twee verschillende delingen waar, uitkomt. Van welke twee opvolgende hele getallen is het product 0? Op de website kun je verder oefenen.

18 Rekenen. Breuken Teller en noemer In de breuk heet de teller (het gedeelte boven de streep) en de noemer (het gedeelte onder de streep). Negatieve teller of noemer Een breuk kan op drie manieren een negatieve waarde krijgen: door een minteken voor de gehele breuk te zetten; door een minteken in de teller te zetten; door een minteken in de noemer te zetten. = = = =, maar let op:, er geldt wel = = Gelijkwaardige breuken De waarde van een breuk verandert niet, als je de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigt. De waarde van een breuk verandert niet, als je de teller en de noemer door hetzelfde getal deelt. Zo kun je breuken vereenvoudigen. Desnoods met een tussenstap. = (teller en noemer vermenigvuldigen met ) = (teller en noemer vermenigvuldigen met ) = = (teller en noemer vermenigvuldigen met ) = (teller en noemer delen door ) = (teller en noemer delen door ) 0 0 = = (teller en noemer eerst delen door en daarna door )

19 Opgaven Vul de ontbrekende getallen in. a = e = = = i = = b = = f = = j = = c = = g = = k = = d = = h = = l = = Vul de ontbrekende getallen in. a = = e = = i = = b = = f = = j = = c = = g = = k = = d = = h = = l 0 = = 0 Vereenvoudig door van de teller en de noemer zo klein mogelijke getallen te maken. a e i b f j 00 c g k d h l Vereenvoudig zo ver mogelijk. a e 0 i b f 0 j c 0 g 0 k d 0 h l Op de website kun je verder oefenen.

20 Rekenen. Optellen en aftrekken van breuken Gelijknamige breuken Breuken met dezelfde noemers heten gelijknamig. Gelijknamige breuken kun je bij elkaar optellen door de tellers op te tellen. De noemers veranderen niet. Gelijknamige breuken kun je van elkaar aftrekken door de tellers van elkaar af te trekken. De noemers veranderen niet. + = = = = = = = + = Breuken gelijknamig maken Soms moet je ongelijknamige breuken optellen of van elkaar aftrekken. Je maakt de breuken dan eerst gelijknamig. De eenvoudigste manier is om de noemers met elkaar te vermenigvuldigen. + = + = + = = = = = Gemeenschappelijke veelvouden Vaak kun je de nieuwe noemer wat zuiniger nemen. Je zoekt dan naar het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van beide noemers. Voorbeeld Om + uit te rekenen hoef je geen van de noemers te maken. Veelvouden van zijn: 0 Veelvouden van zijn: 0 Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van en is dus. Daarmee kun je en als volgt optellen: 0 + = + = + = =

21 Opgaven Bereken (schrijf het resultaat als één breuk). a + d + g + + b + + e + + h + + c + f + i + Bereken (schrijf het resultaat als één breuk). a d g b e h c f i Bereken (schrijf het resultaat als één breuk). a + e i + b f j + c + g 0 d h k l + + Bereken het kleinste gemeenschappelijke veelvoud. a en e en 0 i, en 0 b en f, en j, en c en g, en 0 k, en 0 d en h 0, en 0 l, en Bereken (gebruik de antwoorden van opgave ). a e + i b + f + + j c + g 0 k 0 d h l + Op de website kun je verder oefenen.

22 Rekenen. Vermenigvuldigen en delen van breuken Vermenigvuldigen van twee breuken Twee breuken met elkaar vermenigvuldigen betekent: vermenigvuldig de tellers met elkaar en vermenigvuldig ook de noemers met elkaar. = = 0 = = = 0 0 = = = Delen door een breuk Om T p te berekenen, kun je eerst de teller en de noemer allebei q vermenigvuldigen met q. Je krijgt dan T q p en dat is T q p. Dat betekent: delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk. Delen door is dus hetzelfde als vermenigvuldigen met. = = = = : : = = = (delen door is dus hetzelfde als vermenigvuldigen met ) : = = = 0

23 Opgaven Bereken. a c e g b d Bereken (en schrijf zo eenvoudig mogelijk). f h 0 a b c d e f g h Bereken (en schrijf zo eenvoudig mogelijk). a b 0 Bereken. a b 0 c d c d 0 e Bereken (en schrijf zo eenvoudig mogelijk). a b c d e f g f h e f g : g : h Bereken (en schrijf zo eenvoudig mogelijk). j 0 : h : k i : l 0 : a b c d e f g h i Op de website kun je verder oefenen.