EXACT PERIODE Q-test (herhaling) F-test t-test (hethaling) gepaarde t-test t-test voor gemiddelden. foutenberekening

Transcriptie

1 EXACT PERIODE 10.1 Q-test (herhaling) F-test t-test (hethaling) gepaarde t-test t-test voor gemiddelden foutenberekening

2 Q-test Eenzelfde bepaling is meerdere malen gedaan. Zit er een uitschieter (ook wel genoemd uitbijter) tussen de uitkomsten? Dit is te ontdekken door een Q-test te doen. tabel met Q-waarden aantal waarnemingen betrouwbaarheid 90% 95% 99% Werkwijze: 4 0,76 0,83 0,93 Je zet de waarden in volgorde. 5 0,64 0,7 0,8 Je kijkt welke waarde verdacht is, de hoogste of de laagste. 6 0,56 0,6 0,74 Je berekent Q uit de volgende formule: 7 0,51 0,57 0,68 8 0,47 0,5 0,63 Q 9 0,44 0,49 0,60 verdachte waarde naastliggende waarde 10 0,41 0,46 0,57 spreiding vergelijkt je uitkomst met de tabelwaarde. In de tabel staat de betrouwbaarheid. Dit is de betrouwbaarheid van de testuitkomst. Meestal nemen we 95% betrouwbaarheid. (zie tabel hieronder) Indien Qberekend >Qtabel, is (met de gekozen betrouwbaarheid) aangetoond dat de verdachte waarde een uitschieter is. J e

3 Voorbeeld: Een groep deelnemers bepaalt de concentratie NaOH van een oplossing. Ze vinden: Jan Karel Mieke Sjaak Evelien Wendy Roy Sharon 0,09 0,101 0,097 0,098 0,100 0,099 0,096 0,084 Zit er een uitschieter tussen deze waarden? Oplossing: In volgorde zetten: Sharon Jan Roy Mieke Sjaak Wendy Evelien Karel 0,084 0,09 0,096 0,097 0,098 0,099 0,100 0,101 De uitkomst van Sharon (0,084) is verdacht. We gaan Q berekenen: Verdachte waarde: 0,084 Naastliggende waarde: 0,09 Spreiding: 0,101-0,084 =0,017 Qberekend = 0,47 We kijken in de tabel bij 8 waarnemingen en 95% betrouwbaarheid Qtabel= 0,5 Conclusie: Qberekend < Qtabel er is dus NIET aangetoond dat de waarde van Sharon een uitschieter is.

4 opgaven: Ga uit van 95% betrouwbaarheid 1. Ga na of zich tussen de volgende waarden een uitschieter bevindt 7,1 7,11 7,10 7,1 7,10 7,11 7,10 7,11 7,1. Ga na of zich tussen de volgende waarden een uitschieter bevindt 7,1 7,11 7,10 7,1 7,10 7,16 7,10 7,11 7,1 3. Voor welke waarde van x is er nog net geen sprake van een uitbijter? (er zijn twee oplossingen, geef ze beide.) 7,1 7,11 7,10 x 7,10 7,11 7,10 7,11 7,1

5 De F-toets Het vergelijken van de precisie van twee groepen meetwaarden. Er zijn twee soorten F-toets, de eenzijdige en de tweezijdige. Door de vraagstelling goed te lezen kies je de juiste F-toets. eenzijdige F-toets: Aantonen dat groep A preciezer is dan groep B (andersom is niet aan de orde) tweezijdige F-toets: Aantonen dat er verschil in precisie is tussen groep A en groep B. Formule : Vrijheidsgraden: s1 aantal meetwaarden 1. F berekend s s: standaarddeviatie Let op: In de teller vul je de grootste s-waarde in, zodat F altijd groter dan 1 is. Vergeet niet te kwadrateren! recept: 1. Bereken van beide groepen de s-waarden (n-1-toets op je rekenmachine). Bereken F (Let op :Fberekend is altijd groter dan 1) 3. Bereken van beide groepen het aantal vrijheidsgraden 4. Kies tussen de eenzijdige of de tweezijdige F-tabel (let op hoe de vraag is geformuleerd) 5. Lees F-tabelwaarde af. Let op: horizontaal aantal vrijheidsgraden van de groep met de grootste s. verticaal aantal vrijheidsgraden van de groep met de kleinste s. 6. Als de berekende F-waarde boven de tabelwaarde ligt is er verschil in precisie aangetoond.

6 opgaven: 1. Twee studenten hebben de ph van hetzelfde monster gemeten. student 1. 7,1 7, 1 7,3 1 7,1 0 7, 6 student 6,9 7, ,1 0 6,9 0 Ga na of er verschil in precisie aantoonbaar is.. Een spectrofotometer wordt vergeleken met een nieuw type. Beide meten de transmissie van hetzelfde monster een aantal maal. oude nieuwe type type Ga na of je kunt aantonen dat het nieuwe type preciezer is dan het oude. 3. De uitkomsten van Hb-bepalingen van twee laboratoria worden vergeleken. lab 1: 8,1 8, 8,3 8,0 lab : 8,3 8,1 9, 8,1 8, a. Bevat de groep uitkomsten van lab een uitschieter? Zo ja, verwijder deze. (zie pagina 5) b. Ga na of er verschil in precisie aantoonbaar is tussen lab1 en lab.

7 4. Welke uitspraken over de F-toets zijn waar? a. Bij de F-toets gaat het om het vergelijken van precisies b. De waarde van F kan niet negatief zijn. c. De waarde van F kan niet kleiner dan 1 zijn. d. Bij een eenzijdige F-toets heb je geen vermoeden vooraf. e. Het aantal vrijheidsgraden is altijd één meer dan het aantal waarnemingen. 5. Bij een eerdere les heb je gegevens ontvangen van vijf apparaten. Hierop staat onder andere: apparaat 1 apparaat Ga na of je verschil in precisie kunt aantonen tussen apparaat 1 en apparaat gem: std dev:

8 Q bij opgave 3: verdachte waarde naastliggende waarde spreiding tabel met Q-waarden aantal waarnemingen betrouwbaarheid 90% 95% 99% 4 0,76 0,83 0,93 5 0,64 0,7 0,8 6 0,56 0,6 0,74 7 0,51 0,57 0,68 8 0,47 0,5 0,63 9 0,44 0,49 0, ,41 0,46 0,57

9

10 vrijheidsgraden t t-test herhaling. x n 1. hoe bereken t berekend je het aantal s vrijheidsgraden?. Voor de betrouwbaarheid wordt meestal 95% genomen. Wat betekent die 95%? 3. Van een olie uit een gedumpt vat wordt vier maal het zwavelgehalte (mg/l) bepaald: 90% 95% 99% ,051 0,055 0,049 0,05 Kan deze olie afkomstig zijn uit opslagplaats van olie waarvan het zwavelgehalte. precies bekend is: 0,057 mg/l? Geef t berekend, ttabel en de conclusie. (gebruik 95% betrouwbaarheid)

11 Hieronder zie je de meetresultaten van twee analisten (A en B). Analist A Analist B Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist B. Zo ja, verwijder deze.. Ga na of je kan dat aantonen of er verschil in precisie is tussen de analisten. 3. Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 15,4? 4. Komen de gemiddelden van analist A en B met elkaar overeen? formules: Alle testen komen nog eens langs in de volgende opgave. Exact periode 6. De gepaarde t-test s n x t berekend Q verdachte waarde naastliggende waarde spreiding ) ( 1) ( n n s x x t n n s n s n s n s n s x x t F s s 1

12 De gepaarde t-test De gepaarde t-test gebruik je als er door twee analisten ( of met twee methodes) aan een serie verschillende monsters is gemeten. Het is dan niet toegestaan de t-test voor gemiddelden te gebruiken omdat we hier met verschillende monsters hebben te maken die niet gemiddeld mogen worden. Ook het bepalen van de standaarddeviatie zou onzinnig zijn. Je berekent dan per monster de verschillen tussen de uitkomsten van beide methodes. Met deze verschillen voer je een t-test uit; zo n verschil is dan x. Het gemiddelde kan nu negatief zijn. Van de verschillen bereken je ook de standaarddeviatie s. De formule. In de ideale situatie is er (gemiddeld) geen verschil. In de oorspronkelijke t-formule neem je voor dus 0. De formule wordt dan: t berekend x s n t berekend x n Gepaarde t-test s Het aantal vrijheidsgraden is het aantal meetparen min 1. Indien de berekende t-waarde groter is dan de tabel waarde, dan is aangetoond dat de uitkomsten verschillend zijn. Vrijheidsgraden t 90% 95% 99%

13 oefenopdrachten gepaarde t-test t berekend x s n 1 Er zijn twee methodes om %alcohol te meten. Ze worden op 6 verschillende drankjes toegepast. Monsternummer Methode 1 Methode 1 13, 13,0 14,8 14,6 3 10, 10,3 4 11,1 10,8 5 7,6 7,6 6 6, 5,9 Is er verschil aantoonbaar tussen methode 1 en methode? Men wil weten of twee analisten dezelfde resultaten leveren. Men geeft beiden drie verschillende monsters. Monster analist1 analist 1 4,67 4,74 45,78 51,56 3 1,41 1,56 a. Ga m.b.v. een significantietest na of de analisten verschillende resultaten geven. b. Is aan deze gegevens te zien wie van deze analisten het meest precies is? Verklaar je antwoord.

14 3. Op verschillende plaatsen in Zeeland wordt Het Na-gehalte van water gemeten (Veerse Meer; Oosterschelde) Er worden twee methodes gebruikt. 1. Aas. Ves Is er verschil aantoonbaar tussen de meetmethodes? Vrijheidsgraden lokatie AAS VES Kamperland 0,04 0,0 Veere 0,03 0,01 De Piet 0,015 0,015 Zilveren 0,0 0,00 Schor Wolfaartsdijk 0,01 0,01 Kattendijke 0,031 0,09 Zierikzee 0,044 0,041 90% 95% 99% t

15 De t-test voor gemiddelden Bij de t-test voor gemiddelden wordt onderzocht of de gemiddelden van twee groepen waarnemingen met elkaar in overeenstemming zijn. Zo kan bijvoorbeeld geconstateerd worden dat twee monsters uit een zelfde container komen. Het gaat dus niet om de vergelijking van een gemiddelde met een standaardwaarde, zoals bij de gewone t-test. Er zijn twee mogelijkheden. a. De standaarddeviaties mogen worden samengesteld Je mag de standaarddeviaties alleen samenstellen als uit een (tweezijdige) F-toets blijkt dat er geen verschil in precisie is aangetoond tussen groep 1 en groep. Samengestelde s berekenen: s ( n 1 1) s1 ( n 1) s n n 1 t berekenen : x1 x t 1 1 s n n 1 aantal vrijheidsgraden : n n 1 t berekend vergelijken met t tabel. Net als bij een gewone t-test is er verschil aangetoond als t berekend > t tabel

16 b. De standaarddeviaties mogen niet worden samengesteld Je mag de standaarddeviaties niet samenstellen als uit een (tweezijdige) F-toets blijkt dat er verschil in precisie is aangetoond tussen groep 1 en groep. t berekenen: t x x 1 s1 s n n 1 aantal vrijheidsgraden: n1 1 n 1 is het aantal van de groep met de grootste s. t berekend vergelijken met t tabel. Net als bij een gewone t-test is er verschil aangetoond als t berekend > t tabel

17 oefenopdrachten 1. Op zee wordt een olievlek aangetroffen. Men verdenkt een tanker van illegaal olielozen. Uit de vlek en uit de tanker worden oliemonsters genomen. Hiervan bepaalt men het zwavelgehalte. Men vindt: S-gehalte (%) vlek S-gehalte (%) tanker 0,101 0,10 0,108 0,13 0,10 0,140 0,110 0,119 0,16 Bepaal of er overeenstemming is tussen de gemiddelden.. Het loodgehalte in vervuilde grond wordt met twee methodes bepaald. Ga na of de methodes hetzelfde gemiddelde opleveren. methode 1 methode 0,01 0,03 0,01 0,014 0,0 0,018 0,01 3. Hieronder zie je ph waarden van oplossingen uit twee bekerglazen. Kunnen de oplossingen uit het zelfde vat komen? Bekerglas1 5,14 5,14 5,13 5,13 5,14 Bekerglas 5,16 5,15 5,16 5,16 5,16 5,14 5,15

18 Foutenberekeningen

19 Leerdoelen : Na deze lesbrief kan je - relatieve fouten berekenen - absolute fouten berekenen in samengestelde grootheden -bij optellen en aftrekken -bij vermenigvuldigen en delen - bij machtsverheffen -waarde en absolute fout afronden

20 1. Inleiding. Bij het doen van een meting zal je uitkomst een bepaalde onnauwkeurigheid hebben. Deze onnauwkeurigheid wordt ook wel de absolute fout genoemd. Voorbeeld 1 De lengte van een voorwerp kan je met een liniaal meten. De absolute fout is in dat geval 1 mm. Als grootheden uit andere grootheden worden berekend moet je ook de absolute fout in het eindresultaat kunnen bepalen. Voorbeeld Oppervlakte bereken je met Oppervlakte = lengte * breedte Hoe je de absolute fout in de oppervlakte berekent leer je in onderdeel 5

21 . De absolute fout De onnauwkeurigheid van een meting, ook wel genoemd de absolute fout, geeft aan hoeveel de gemeten waarde kan afwijken. De absolute fout heeft dezelfde eenheid als de bijbehorende grootheid. Opdracht 1. Voorbeeld 3 Stel : je meet een lengte met een liniaal en de waarde is 1 mm, de absolute fout is 1 mm. Je schrijft dan Lengte = 1 ±1 mm. De gemeten uitkomst ligt tussen de 0 en mm. Meet van de onderstaande vierhoek de zijden en de diagonalen met een liniaal. Geef bij iedere uitkomst ook de absolute fout. AB = ± mm BC = CD = DA = AC = BD = A D C B

22 Opdracht Iemand meet de lichaamstemperatuur met een koortsthermometer. Uitkomst 37,8ºC en de absolute fout is 0,ºC. Tussen welke twee waarden ligt de lichaamstemperatuur? Antwoord: Opdracht 3 Iemand bepaald de massa van een blokje op een bovenweger : m = 10,45 ± 0,0 g Hoeveel bedraagt de absolute fout van deze meting? Antwoord:

23 3. De KOW-methode De KOW-methode is een manier om fouten samen te stellen. Het is een afkorting van Kwadrateren, optellen en worteltrekken. Voorbeeld 4 We gaan uit van twee getallen: 4,0 en 7,0. Opgeteld via de KOW methode krijg je: 4,0 7,0 65 8,1

24 4. Grootheden optellen of aftrekken. Grootheden kunnen berekend worden uit andere grootheden door middel van optellen of aftrekken. Voorbeeld 5. De omtrek van een vierkant = AB+BC+CD+DA Een temperatuurverschil = t eind - t begin massa vloeistof = massa glas vol - massa glas leeg De absolute fout in het resultaat van de optelling (of van het aftrekken) bepaal je dan met : Regel 1 Bij optellen en aftrekken van grootheden moet je de absolute fouten volgens de KOWmethode samenstellen om de absolute fout in het resultaat te krijgen. Opdracht 4. Voorbeeld 6. Iemand wil de massa van een hoeveelheid vloeistof bepalen. Hij bepaalt de massa van een leeg bekerglas: 151,04±0,0g. Hij doet de vloeistof in het bekerglas 83,81 ± 0,0g. Fouten samenstellen: 0,0 0,0 De massa van de vloeistof is dan 13,77 ± 0,08 g a. Bereken de omtrek van de vierhoek op de vorige pagina, bereken ook de absolute fout in de omtrek. Omtrek = ± cm b. Tussen welke twee waarden ligt de omtrek? Tussen cm en cm.

25 5. De relatieve fout Het woord relatief betekent in verhouding tot. Bij de relatieve fout gaat het erom hoe groot de absolute fout is in verhouding tot de waarde. Formule : absolute fout relatieve fout waarde De relatieve fout kan eventueel in procenten opgegeven worden. Voorbeeld 7 De massa van een vloeistof is 13,77 ± 0,04 g De relatieve fout in de massa is dan 0,04 4 relatieve fout 3, ,77

26 Opdracht 5. a. Iemand meet Lengte = 1 ±1 mm. Bereken de relatieve fout. Antwoord : b. Bereken de relatieve fout in de omtrek uit opdracht 4 Antwoord: Als je de relatieve fout weet kan je de absolute fout berekenen : Voorbeeld 8 absolute fout relatieve fout * waarde Een oppervlakte is 1,5 cm. De relatieve fout in het oppervlak is 3 %. De absolute fout is dan 0,03*1,5=0,4cm De oppervlakte is dan 1,5 ± 0,4 cm. Opdracht 6 Iemand heeft de dichtheid van een vloeistof bepaald met een relatieve fout van 0,0. De uitkomst was 1,33 g/cm 3. Bereken de absolute fout. Antwoord :

27 6. grootheden vermenigvuldigen en delen. Grootheden kunnen berekend worden uit andere grootheden door middel van vermenigvuldigen en delen. Voorbeeld 9. De oppervlakte van een rechthoek = AB*BC De snelheid van een voorwerp v = s/t De dichtheid van een stof ρ = m/v De relatieve fout in het resultaat van de vermenigvuldiging (of van de deling) bepaal je dan met : Regel Bij vermenigvuldigen en delen van grootheden moet je de relatieve fouten volgens de KOWmethode samenstellen om de relatieve fout in het resultaat te krijgen. Om overzichtelijk te werken maken we een tabel voor de berekening van de fout : Een foutenberekeningstabel. grootheid waarde absolute relatieve fout fout lengte 1,5 0, 0,016 breedte 8,5 0, 0,04 oppervlakte 106,5 3,1 0,09

28 7. Een uitgewerkt voorbeeld Een rechthoek heeft een lengte van 1,5 cm en een breedte van 8,5 cm. In beide afmetingen zit een absolute fout van 0, cm. Gevraagd wordt de oppervlakte en de absolute fout in de oppervlakte. Hieronder zie je de tabel met de gegevens ingevuld Foutenberekeningstabel grootheid waarde absolute relatieve fout fout lengte 1,5 0, breedte 8,5 0, oppervlakte Nu wordt de relatieve fout berekend volgens par 4. Bovendien berekenen we de oppervlakte (lengte * breedte) grootheid waarde absolute relatieve fout fout lengte 1,5 0, 0,016 breedte 8,5 0, 0,04 oppervlakte 106,5

29 Nu passen we regel toe grootheid waarde absolute relatieve fout fout lengte 1,5 0, 0,016 breedte 8,5 0, 0,04 oppervlakte 106,5 0,09 en tenslotte de formule die onder opdracht 5 staat : absolute fout relatieve fout * waarde grootheid waarde absolute relatieve fout fout lengte 1,5 0, 0,016 breedte 8,5 0, 0,04 oppervlakte 106,5 3,1 0,09 Het voorlopige resultaat is: De oppervlakte = 106,5 ± 3,1 cm

30 8. Afronden. Bij het afronden van de waarden en de fout moet je de volgende regel toepassen. Regel 3. Bij het afronden moet de absolute fout in één cijfer geschreven worden en de waarde moet worden afgerond in overeenstemming met de absolute fout. Toegepast op het voorbeeld (zie onderdeel 6) We hadden als voorlopig resultaat : Het oppervlakte = 106,5 ± 3,1 cm De absolute fout in één cijfer : 3,1 wordt 3 De waarde afronden overeenkomstig de fout betekent: De waarde mag niet meer decimalen hebben dan de fout. Dus hier : de fout heeft nul decimalen, de waarde moet ook zonder decimalen opgegeven worden : 106,5 wordt 106. Eindresultaat : De oppervlakte = 106 ± 3 cm

31 Opdracht 7 Iemand bepaalt het volume (V) van een blokje. Hij meet de lengte l, de breedte b en de hoogte h. Het volume wordt berekend met V = l. b. h resultaten Gevraagd wordt V en de absolute fout in V. Maak onderstaande tabel compleet en rond het resultaat af. Foutenberekeningstabel grootheid waarde absolute relatieve fout fout l (cm) 1,5 0,1 b (cm) 8,5 0,1 h (cm),4 0,1 V (cm 3 ) V = ± cm 3

32 9. Machtsverheffen Het komt ook voor dat een grootheid wordt berekend uit een andere grootheid door machtsverheffen. Voorbeelden: volume van een cilinder Vcilinder. d. h de warmteontwikkeling in een weerstand Q I. R. t 4 Regel 4 Bij machtsverheffen van grootheden moet je de relatieve fouten met de macht vermenigvuldigen om de relatieve fout in het resultaat te krijgen. Voorbeeld : Een vierkant heeft zijde z = 4, ± 0,1 cm. Het oppervlak van het vierkant en de absolute fout daarin vind je als volgt. Eerst bereken je de relatieve fout in z grootheid waarde absolute relatieve fout fout z (cm) 4, 0,1 0,04 A = z (cm) 17,64 Deze relatieve fout moet maal (want de macht is ) grootheid waarde absolute relatieve fout fout z (cm) 4, 0,1 0,04 A = z (cm) 17,64 0,048

33 Vervolgens bereken je de absolute fout met absolute fout relatieve fout * waarde grootheid waarde absolute relatieve fout fout z (cm) 4, 0,1 0,04 A = z (cm) 17,64 0,84 0,048 afronden A = 17,6 ± 0,8 cm

34 10. Oefenopdrachten. 1. Iemand meet de temperatuur van warm water. tw = 78 C. En ook van koud water tk = 11 C De absolute fout van de thermometer bedraagt 1 C. Bereken het temperatuurverschil tussen warm en koud water en de absolute fout hierin.. Rond de waarden en de absolute fouten op de juiste wijze af. 1,14 ± 0,6 51,67 ± 0, ± Twee weerstandswaarden zijn gegeven. R1 = 0 ± 5 Ω R = 470 ± 5 Ω Bereken de vervangingsweerstand bij een serieschakeling en de absolute fout in deze waarde. Formule : R R R serie 1

35 4. Een student wil de dichtheid van een steen meten. Hij bepaalt de massa, hij vindt massa = 351,09 ± 0,0 g Hij doet water in een maatcilinder en leest het volume af: Vwater = 156,0 ± 0,5 ml Hij doet de steen in het water en leest opnieuw het volume af: V steen + water = 61,5 ± 0,5 ml Hij berekent het volume van de steen met; V steen = V steen + water - V water De dichtheid van de steen berekent hij met; ρ steen = m steen / V steen Bereken de dichtheid van de steen en de absolute fout in de dichtheid van de steen. Vul daartoe de volgende tabel in en rond je resultaat op de juiste wijze af. resultaat : ρ steen = ± g/ml Grootheid m steen V steen + water V water V steen ρ steen waarde absolute fout relatieve fout

36 5. Een student wil de concentratie van een NaOH-oplossing bepalen. Hij weegt hiervoor 110,0 ± 0, mg oxaalzuurdihydraat af en titreert dit met 18,50 ±0,05 ml. NaOH-oplossing tot het omslagpunt. De Molmassa van oxaalzuurdihydraat bedraagt 16,07 g.mol -1 De formule voor het uitrekenen van de concentratie van een NaOH-oplossing luidt; m( Oxaalzuurdihydraat ) * c( NaOH) M * V ( NaOH) Oxaalzuurdihydraato Afgerond resultaat : c(naoh) = ± mol.l -1

37 11. Samenvatting foutenberekening relatieve fout absolute fout waarde absolute fout relatieve fout * waarde De KOW-methode is een manier om fouten samen te stellen. Het is een afkorting van Kwadrateren, optellen en worteltrekken. a b Regel 1 Bij optellen en aftrekken van grootheden moet je de absolute fouten volgens de KOWmethode samenstellen om de absolute fout in het resultaat te krijgen. Regel Bij vermenigvuldigen en delen van grootheden moet je de relatieve fouten volgens de KOWmethode samenstellen om de relatieve fout in het resultaat te krijgen. Regel 3. Bij het afronden moet de absolute fout in één cijfer geschreven worden en de waarde moet worden afgerond in overeenstemming met de absolute fout. Regel 4 Bij machtsverheffen van grootheden moet je de relatieve fouten met de macht vermenigvuldigen om de relatieve fout in het resultaat te krijgen.

38 Foutenberekeningstabel: grootheid waarde absolute fout relatieve fout