Exact Periode 6.1. Juist & Precies Testen

Transcriptie

1 Juist & Precies Testen

2 Exact periode 6.1 Juist en Precies Gemiddelde Standaarddeviatie (=Standaard Afwijking) Betrouwbaarheidsinterval Dixon s Q-test Student s t-test F-test 2

3 Juist: gemiddeld klopt de uitkomst met wat het moet zijn. Precies: Als we de meting herhalen komt er (bijna) hetzelfde uit. Vijf schietschijven A B C D E A B C D E JUIST NIET JUIST PRECIES NIET PRECIES Opmerkingen 3

4 Vijf apparaten M.b.v. vijf apparaten wordt een aantal maal de ph van een HCl-oplossing bepaald. De werkelijke waarde bedraagt: 4,33. Welk apparaten zijn Juist en/of Precies? apparaat1 apparaat2 apparaat3 apparaat4 apparaat5 3,77 4,23 4,89 3,84 4,27 4,21 6,38 5,50 4,33 7,20 4,47 5,86 5,57 4,65 4,90 4,10 5,61 4,51 4,51 4,28 4,27 x = Gemiddelde: σ = Standaarddeviatie: 4

5 Dixon s Q-test Eenzelfde bepaling is meerdere malen gedaan. Zit er een uitschieter (ook wel genoemd uitbijter) tussen de uitkomsten? Dit is te ontdekken door een Q-test te doen. Werkwijze: Je zet de waarden in volgorde. Je kijkt welke waarde verdacht is, de hoogste of de laagste. Je berekent Q uit de volgende formule: Verdachte waarde naastliggende waarde Q Berekend = spreidingsbreedte Je vergelijkt je uitkomst met de tabelwaarde. In de tabel staat de betrouwbaarheid. Dit is de betrouwbaarheid van de testuitkomst. Meestal nemen we 95% betrouwbaarheid. (zie tabel hiernaast) Indien Qberekend >Qtabel, is (met de gekozen betrouwbaarheid) aangetoond dat de verdachte waarde een uitschieter is. Tabel Dixon's Q-waarden Aantal waarnemingen 90% 95% 99% 3 0,94 0,97 0,99 4 0,77 0,83 0,93 5 0,64 0,71 0,82 6 0,56 0,63 0,74 7 0,51 0,57 0,68 8 0,47 0,53 0,63 9 0,44 0,49 0, ,41 0,47 0, ,39 0,44 0, ,38 0,43 0, ,36 0,41 0, ,35 0,40 0, ,34 0,38 0, ,33 0,37 0, ,32 0,37 0, ,31 0,36 0, ,31 0,35 0, ,30 0,34 0,43 5

6 Voorbeeld: Een groep deelnemers bepaalt de concentratie NaOH van een oplossing. Ze vinden: Jan Karel Mieke Sjaak Evelien Wendy Roy Sharon 0,092 0,101 0,097 0,098 0,100 0,099 0,096 0,084 Zit er een uitschieter tussen deze waarden? Oplossing: In volgorde zetten: Sharon Jan Roy Mieke Sjaak Wendy Evelien Karel 0,084 0,092 0,096 0,097 0,098 0,099 0,100 0,101 6

7 De uitkomst van Sharon (0,084) is verdacht. We gaan Q berekenen: Verdachte waarde: 0,084 Naastliggende waarde: 0,092 Spreiding: 0,101-0,084 =0,017 Qberekend = 0,47 We kijken in de tabel bij 8 waarnemingen en 95% betrouwbaarheid Qtabel= 0,53 Conclusie: Qberekend < Qtabel er is dus NIET aangetoond dat de waarde van Sharon een uitschieter is. 7

8 Opgaven: Ga uit van 95% betrouwbaarheid 1. Ga na of zich tussen de volgende waarden een uitschieter bevindt 7,12 7,11 7,10 7,21 7,10 7,11 7,10 7,11 7,12 2. Ga na of zich tussen de volgende waarden een uitschieter bevindt 7,12 7,11 7,10 7,21 7,10 7,16 7,10 7,11 7,12 3. Voor welke waarde van x is er nog net geen sprake van een uitbijter? (er zijn twee oplossingen, geef ze beide.) 7,12 7,11 7,10 x 7,10 7,11 7,10 7,11 7,12 8

9 De student s t-test 1. Doel van de t-test. Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde (x ) afwijkt van de "werkelijke waarde" of de algemeen geaccepteerde waarde: µ ( spreek uit: mu). Voorbeelden zijn: het testen van een meetmethode m.b.v. een gecertificeerde standaard, nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt. De t-test komt overeen met de vraag of de "werkelijke waarde" binnen het 95 % betrouwbaarheidsinterval ligt: t σ x ± n 9

10 2. Het uitvoeren van de t-test Eerst wordt t berekend met de formule: vrijheidsgraden t-waarde t Berekend = x μ n σ Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel. (zie rechts) Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is, is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout. Als t berekend groter is dan t tabel, dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen de gemiddelde waarde x en de werkelijke waarde μ. 90% 95% 99%

11 Voorbeeld: Een referentiestandaard bevat 38,9 %(m/m) kwik. Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt, vindt men bij het meten van de standaard: 38,9 37,4 37,1 %(m/m) Geeft de methode een systematische fout? Het gemiddelde is: 37,8 %(m/m) De standaardafwijking: 0,964 %(m/m) Zou het verschil tussen x en µ op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout? Berekening van t geeft: t berekend 37,8 38,9 0, ,98 Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden: t = 4,30 ( 95 % betrouwbaarheid). Dus: t berekend< t tabel. Conclusie: het verschil tussen x en µ kan op toeval berusten, er is niet aangetoond dat er een systematische fout is. Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is, is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout. Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is! Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is. 11

12 3. Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen in het 95 % betrouwbaarheidsinterval. Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval : x ± t σ = 37,8 4,3 0,964/ 3 = 37,8 2,4 n De waarde voor is 38,9 %(m/m). Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval. 12

13 opgaven: 1. Van een monster is bekend dat het 0,123 %(m/m) zwavel bevat. Met nieuwe snelle methode om snel het zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald. De verkregen resultaten zijn: 0,112 0,118 0,115 0,119 %(m/m) S. Zijn de verkregen waarden significant te laag? 2. Van een monster is bekend dat het 35,10 % Mn bevat. Men analyseert het monster op twee verschillende methoden. Men vindt de volgende waarden. methode 1: 35,30 % 35,70 % 35,40 % methode 2: 35,02 % 35,02 % 35,01 % Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden? 13

14 3. Bij een sporter wordt bloed afgenomen. Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald Bepaal m.b.v. een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is. 4. Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie). De waarden staan hieronder. Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a? ,40 0,35 0,30 0,27 0,28 14

15 5. Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A). Analist A a. Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A. Zo ja, verwijder deze. b. Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 15,0? 15

16 De F-test Het vergelijken van de precisie van twee groepen meetwaarden. Bedoeling: Aantonen dat er verschil in precisie is tussen twee groepen meetwaarden. Vrijheidsgraden: aantal meetwaarden 1. Formule : F = σ 1 2 σ 2 2 σ: standaarddeviatie Let op: In de teller vul je de grootste σ-waarde in, zodat F altijd groter dan 1 is. Vergeet niet te kwadrateren! breuk teller noemer recept: 1. Bereken van beide groepen de σ-waarden ( n-1 of sx - toets op je rekenmachine) 2. Bereken F (Let op :Fberekend is altijd groter dan 1) 3. Bereken van beide groepen het aantal vrijheidsgraden 4. Lees F-tabelwaarde af. Let op: horizontaal aantal vrijheidsgraden van de groep met de grootste s. verticaal aantal vrijheidsgraden van de groep met de kleinste s. 5. Als de berekende F-waarde boven de tabelwaarde ligt is er verschil in precisie aangetoond. 16

17 Tabel F-waarden (95% betrouwbaarheid) Horizontaal Vrijheidsgraden teller (grootste σ) Verticaal Vrijheidsgraden noemer Vrijheidsgraden Teller ,79 799,50 864,16 899,58 921,85 937,11 948,22 956,66 963,28 968,63 984,87 993, , ,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,43 39,45 39, ,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 14,25 14,17 13, ,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 8,66 8,56 8, ,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,43 6,33 6,02 6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,27 5,17 4,85 7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 4,57 4,47 4,14 8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,10 4,00 3,67 9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 3,77 3,67 3, ,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 3,52 3,42 3, ,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 2,86 2,76 2, ,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 2,57 2,46 2,09 5,02 3,69 3,12 2,79 2,57 2,41 2,29 2,19 2,11 2,05 1,83 1,71 1,00 17

18 Opgaven: 1. Wat betekent een groep metingen is precies? 2. Een spectrofotometer wordt vergeleken met een nieuw type. Beide meten de transmissie van hetzelfde monster een aantal maal. oude type nieuwe type Ga na of je kunt aantonen dat er verschil in precisie is. 3. De uitkomsten van Hb-bepalingen van twee laboratoria worden vergeleken. lab 1: 8,1 8,2 8,3 8,0 lab 2: 8,3 8,1 9,2 8,1 8,2 a. Bevat de groep uitkomsten van lab 2 een uitschieter? zo ja, verwijder deze. b. Ga na of er verschil in precisie aantoonbaar is tussen lab1 en lab Welke uitspraken over de F-test zijn waar? a. Bij de F-test gaat het om het vergelijken van precisies b. De waarde van F kan niet negatief zijn. c. De waarde van F kan niet kleiner dan 1 zijn. d. Het aantal vrijheidsgraden is altijd één meer dan het aantal waarnemingen. 18

19 5. Bij een eerdere les heb je een blad ontvangen met gegevens van vijf apparaten. Hierop staat onder andere: apparaat1 apparaat x : σ: Ga na of je kunt aantonen er verschil in precisie is tussen apparaat1 en apparaat2 19