Eindige. Automaten. zie dictaatje 4.2 ch.12 Languages, Automata, Grammars 12.5 finite state automata. Dertiende college

Transcriptie

1 Eindige 2 Automaten Dertiende college zie dictaatje 4.2 ch.2 Languages, Automata, Grammars 2.5 finite state automata

2 toestand-actie-diagrammen Eindige automaten zijn voorbeelden van zgn. toestand-actie-diagrammen. Vanuit een toestand raak je via een actie in een andere toestand. Eindig omdat er slechts eindig veel mogelijke toestanden en acties zijn. De diagrammen zijn handig om systemen te analyseren en/of te modelleren. We formaliseren het gedrag van een systeem als de bijbehorende taal van actie-reeksen. Eerst voorbeelden. 2

3 voorbeelden de state-transition diagrams van DiTe zijn technisch anders maar hebben een gelijke onderliggende filosofie. bij Algoritmiek kun je problemen/puzzels modelleren door de mogelijke toestanden te inventariseren. Dit kan helpen bij het vinden van een oplossing. abstracte beschrijving van het gedrag van bijvoorbeeld- (de controller van) een automatische deur, lift, vaatwasser,. syntax-diagrammen voor stukjes programmeertaal hebben ook toestanden en overgangen. eindige automaten voor het herkennen/ van een formele taal: er zijn accepterende toestanden. 3

4 4 digitale technieken (Stefanov)

5 kool, geit, wolf kgw+ *kgw+ bg kw+g kw+g w+kg *kw+g b bk kw+g* w+kg* gw+k bw bg k+wg k+wg* *gw+k kg+w bg bw 5 g+kw g+kw *kg+w ++kgw *g+kw *: boer met boot bk bg b g+kw* +kgw* algoritmiek

6 LOGIC BOAT oplossing *kgw+ bg kw+g* b *kw+g w+kg* bw bg bk b bg k+wg* *kg+w *g+kw *gw+k g+kw* +kgw* 6

7 Propositiones ad Acuendos Juvenes Alcuinus van York (York ~735 - Tours 84) XVIII. PROPOSITIO DE HOMINE ET CAPRA ET LVPO. Homo quidam debebat ultra fluvium transferre lupum, capram, et fasciculum cauli. Et non potuit aliam nauem inuenire, nisi quae duos tantum ex ipsis ferre ualebat. Praeceptum itaque ei fuerat, ut omnia haec ultra illaesa omnino transferret. Dicat, qui potest, quomodo eis illaesis transire potuit? Solutio Simili namque tenore ducerem prius capram et dimitterem foris lupum et caulum. Tum deinde uenirem, lupumque transferrem: lupoque foris misso capram naui receptam ultra reducerem; capramque foris missam caulum transueherem ultra; atque iterum remigassem, capramque assumptam ultra duxissem. Sicque faciendo facta erit remigatio salubris, absque uoragine lacerationis. 7

8 automatische deur Automatic door controller 8

9 getal syntax diagram + - cijf cijf e + - cijf +,,,9,,,9,,,9 e {+,-, } {,,,9} + ({ } { } {,,,9} + ) ({ } {e} {+,-, } {,,,9} + ) 9 Programmeermethoden

10 eindige automaat Finite automaton Eindige automaat q q 2 A begintoestand eindtoestand / accepterende toestand Transitietabel: q q q 2 q 2 q q 2

11 taal herkennen Finite automaton Eindige automaat q q 2 A : q q 2 q 2 q q 2 wel : q q q 2 q q niet L(A) = { w {,}* w eindigt op }

12 representatie als gerichte graaf knopen ~ toestanden pijlen met labels ~ acties begin- en eindtoestanden eindige automaat up up 2 dn dn Model van een lift 3

13 definitie een eindige automaat is een vijf-tupel A = (Q,,E,q in,f) waarbij Q een eindige verzameling toestanden een alfabet E Q Q verzameling takken (pijlen) q in Q de begintoestand F Q de eindtoestanden up dn up 2 dn Q = {,,2 } = { up,dn } E = { (,up,), (,up,2), (2,dn,), (,dn,) } q in = F = { 2 } 4

14 gedrag A = (Q,,E,q in,f) wandeling : afwisselend knopen (toestanden) en pijlen (takken) p (p,a,p ) p (p,a 2,p 2 ) p n- (p n-,a n,p n ) p n met label van die wandeling: a a 2 a n up up up dn dn up 2 2 dn dn 5

15 gedrag: taal A = (Q,,E,q in,f) eindige automaat de taal van A, genoteerd L(A), is { x * x is een label van een wandeling van q in naar een toestand in F } up up up dn dn up 2 geen eindtoestand geen begintoestand 2 up dn up up 2 6 dn dn up dn dn up?? loopt vast

16 L(A) reeds gezien q 2 eindtoestand /accepterende toestand q q 2 A : q q 2 q 2 q q 2 wel : q q q 2 q q niet L(A) = { w {,}* w eindigt op } 7

17 taal herkennen, q q q 2 : wel : niet λ: wel A Wat is L(A)? 8

18 L(A), q q q 2 begintoestand : wel : niet λ: wel A Wat is L(A)? L(A) = { w {,}* w bevat geen subwoord } Schrijf L(A) m.b.v. vereniging, concatenatie en ster 9

19 suffix algoritmisch vs. beschrijvend A B C D E algoritme deterministisch 2, A B C D E beschrijving niet-deterministisch

20 > on the fly algoritme > steeds van bewandeld prefix weten of dat zèlf tot de taal behoort > geen keuze & niet vastlopen algoritmisch definitie een eindige automaat A = (Q,,E,q in,f) heet deterministisch als voor elke toestand p Q en elke letter a er precies één tak (p,a,q) E is. A B C D E 22,

21 gedrag: taal A = (Q,,E,q in,f) eindige automaat de taal van A, genoteerd L(A), is { x * x is een label van een wandeling van q in naar een toestand in F } als A deterministisch is, is de wandeling behorend bij label x uniek. 23

22 enige voorbeelden Talen over {,} ) woorden die beginnen met, gevolgd door nul of meer enen: {} {} * 2) aantal -en is een drievoud 3) strings met substring 4) {,, } * tentamen fi2 x {,} * val(x) N: waarde als binair getal val(λ)=, val()=3 24 5) val(x) is een drievoud zie dictaat fi

23 aantal -en is een drievoud 25 We maken die automaten op het bord; hier de uiteindelijke antwoorden van 2), 4) en 5)

24 {,, }* niet deterministisch 26

25 {,, }* g, deterministisch inclusief garbage toestand 27

26 val(w) is een drievoud toestand na lezen van w {,}* v=val(w) N modulo 3 recept w w w w (input) string {,}* v 2v 2 2 v 2v+ 2 2 waarde N waarde (mod 3) toestand 28

27 val(x) is een drievoud toestand na lezen van w val(w) modulo 3 uitgewerkt 2 29

28 correctheid toestand eigenschap woord Eigenschap: toestand na lezen van w is i val(w) = i modulo 3 Dus in de eindtoestand geldt: x is drievoud 2 3 Basis: w = λ ok Inductiestap: stel dat het klopt voor w val(w) w w w val(w) val(w) (3) 2.= (3) 2.+= (3) (3) 2 2.=2 (3) 2.+= (3) 2 (3) = (3) 2.2+=2 (3) i.a. toestand waarde

29 correctheid formuleer een invariant een relatie tussen (eigenschappen van) woord en bereikte toestand in automaat bewijs dat die relatie behouden blijft 2 w w toestand val 2 2*=2 inductie 3

30 eindige automaat A = (Q,,E,q in,f) E Q Q éénstapsrelatie E* Q * Q meerstapsrelatie: meerstapsrelatie basis (p,,p) E* voor elke p Q. inductiestap als (p,w,q) E* en (q,a,r) E dan (p,wa,r) E* up up dn 2 dn up dn dn up 2 E E* (,,) (,up,2) (,up,2) (2,dn,) (,up dn,) (,dn,) (,up dn dn,) (,up,) (,up dn dn up,) 32

31 basis (p,,p) E* voor elke p Q. inductiestap als (p,w,q) E* en (q,a,r) E dan (p,wa,r) E* lemma takken rijgen (p,w,q) E* precies als er een wandeling bestaat van p naar q met label w. up up dn 2 dn up dn dn up 2 E E* (,,) (,up,2) (,up,2) (2,dn,) (,up dn,) (,dn,) (,up dn dn,) (,up,) (,up dn dn up,) 33

32 gedrag: taal { x * x is een label van een wandeling van q in naar een toestand in F } Opmerking: als A deterministisch is, is de wandeling behorend bij label x uniek. A = (Q,,E,q in,f) eindige automaat de taal van A, genoteerd L(A), is { x * (q in,x,q) E* voor een toestand q in F } q δ(q in,x) notatie FI2 34

33 representeerbare talen Een taal K heet representeerbaar als er een eindige automaat is met L(A) = K voorbeelden: - {} {} * - drievoud aantal -en - {,,} * - suffix - substring - x met val(x) drievoud 35

34 representeerbare talen een taal K heet representeerbaar als er een eindige automaat is met L(A) = K eindig veel toestanden niet elke taal is representeerbaar stelling K = { a n b n n } is niet representeerbaar stel wél N toestanden a a a b b b 36 N takken: hier een toestand dubbel

35 Stelling 2.2 Een taal K over een alfabet Σ is regulier dan en slechts dan als er een deterministische eindige automaat A bestaat zodat K = L(A) Opmerking: in Schaum 2.5 zijn de finite state automata per definitie deterministisch, vanwege eis (5) aldaar: er bestaat een functie die voor elke gegeven toestand q en letter s uit Σ de vervolgtoestand oplevert Kleene 37

36 Stelling (dictaatje H4.2) (niet) deterministisch Uit een niet-deterministische eindige automaat kan een deterministische eindige automaat worden geconstrueerd voor dezelfde taal. Zie Fundamentele informatica 2 38

37 bekende familie stelling Dezelfde familie van talen wordt gedefinieerd door reguliere expressies * regulier representeerbaar eindige automaten deterministische eindige automaten NFA Regular expressions DFA 39 zie FI2 formele talen

38 chomsky hierarchie automaten eindige stapel lineair begrensd Turing machine taalfamilies regulier context-vrij context-gevoelig recursief recursief opsombaar grammatica s rechtslineair context-vrij context-gevoelig type 4 zie FI2 FI3

39 { a n b n c n n } Turing machine 4 # a a a a a b b b b b c c c c c # tape. mark a 2. move to b s mark b 3. move to c s mark c 4. if another c 5. then back to a s goto. else back to a s 6. check marks stop 2 a/a,r a/a,r b/b,r 3 ok b/b,r c/c,r a/a,r b/b,r c/c,r a/a,l c/c,l b/b,l b/b,l a/a,l c/c,l #/#,L c/c,l b/b,l

40 (werk)college Laatste college volgende week: dinsdag december, in zaal DS (Huygens) hertentamen FI maart 28 Werkcollege deze week vrijdag 7 december, in Snelliuszalen 42, 45 Laatste werkcollege volgende week vrijdag 4 december, in Snelliuszalen 42, 45 Vragenuur?