HET KOPPEJAN I N C R E M E N T E E L M O D E L

Transcriptie

1 Samenvatting: Het Koppejan Incrementeel Model Een verbetering van een vertrouwd zettingsmodel Het bekendste zettingsmodel in Nederland is het Koppejan Model. Dit model geeft re d e l i j k e predicties, maar af en toe zijn er toch grote verschillen met de werkelijkheid. Dit heeft onder andere de volgende redenen: 1) De consolidatiegraad wordt onnauwkeurig berekend, 2) er wordt geen rekening gehouden met de consolidatiegraad bij de kruipberekening (dit leidt tot superpositiefouten bij stapsgewijze belastingen) en 3) er wordt geen rekening ge houden met de wateroverspanningen die door de kruip worden veroorzaakt. Deze problemen verdwijnen als het zettingsproces met kleine tijdstapjes (incrementeel) wordt berekend. Hiermee kunnen ook grote zettingen nauwkeurig worden beschreven. Deze incre m e n t e l e methode is eenvoudig in te bouwen in eindige elementen programma's. Als voorbeeld kan van internet ( tudelft.nl/public/vanbaars/settlement.html) software worden gedownload om zelf met Koppejan Incre m e n t e e l in Plaxis 8.1 te rekenen. HET KOPPEJAN I N C R E M E N T E E L M O D E L EEN VERBETERING VAN EEN V E RTROUWD ZETTINGSMODEL Dr. ir. S. van Baars, Universitair Docent, Technische Universiteit Delft Inleiding De bodemopbouw van een groot deel van Nederland wordt, als land in een rivierendelta, gekenmerkt door een afwisseling van verschillende soorten zettingsgevoelige lagen. Vooral de klei- en veenlagen kunnen bij belasten grote zettingen laten zien die, vanwege consolidatie en kruipeffecten, sterk tijdsafhankelijk zijn. Het is daarom niet verwonderlijk dat juist in Nederland veel ervaring is opgedaan met zettingen en zettingsmodellen. Het bekendste zettingsmodel in Nederland is het Koppejan model. Het Klassieke Koppejan Model geeft redelijke predicties, maar af en toe zijn er toch grote verschillen met de werkelijkheid. Dit artikel laat zien waardoor deze verschillen zouden kunnen ontstaan en hoe dit wellicht met een iets aangepast model, het Koppejan Incrementeel Model, grotendeels opgelost kan worden. Koppejan Klassiek Theorie Volgens het Klassieke Koppejan Model is de zetting, of eigenlijk de rek van een grondlaag afhankelijk van de verticale korrelspanning σ v na belasten en consolidatie en is de rek te beschrijven met: met: σ v = de initiële verticale korre l s p a n n i n g Deze formule van Koppejan (1948) bestaat uit drie onderdelen. Ten eerste de consolidatiegraad U, ten tweede de tijdsafhankelijkheid, inclusief de samendrukkingsconstanten C p en C s en ten derde de spanningafhankelijkheid. Deze logaritmische spanningsafhankelijkheid (met een natuurlijke logaritme) is voorgesteld door Terzaghi (192) en is internationaal bekend en aanvaard. Dit betekent echter wel dat de elasticiteitsmodulus van de grond geen constante is, maar (lineair) spanningsafhankelijk is. Het tweede deel is voorgesteld door Keverling Buisman (1936). Het viel 14 Geotechniek januari 23

2 hem op dat bij een eenmalige belasting in een oedometerapparaat de zetting logaritmisch met de tijd toenam. Hij gebruikte echter een 1-log, zodat, in de formule van Koppejan, twee verschillende soorten logaritmen voorkomen. Het eerste deel van de formule is de consolidatiegraad. Deze is afhankelijk van de snelheid van consolideren en dus van de doorlatenheid k, de afstroomafstand h, de tijd t en de stijfheid van de grond. Als die stijfheid een constante zou zijn, dan geldt voor de consolidatiegraad: moeten worden opgeteld. In dit geval worden de verschillende stappen meestal gesuperponeerd: Een andere reden om verschillende stappen bij elkaar op te tellen is het verschil van de grondstijfheid vóór de grensspanning en na de grensspanning. (De grensspanning is de maximale ooit voorgekomen korrelspanning). In dit geval worden de verschillende fasen ook gesuperponeerd: Dit is te benaderen met: (U <,) of (U >,) Hierin is de verticale consolidatiecoëfficiënt c v niet alleen afhankelijk van de doorlatendheid en volumieke gewicht van water, maar ook van de stijfheid: Vooral de stijfheid, maar ook de doorlatendheid zijn spanningsafhankelijk. Ook al middelen deze twee effecten elkaar enigszins uit, de consolidatiecoëfficiënt blijft sterk afhankelijk van de spanning en is dus bij grote spanningsveranderingen verre van constant. Het rekenen met een consolidatiegraad moet dus worden afgeraden. Het consolidatieproces in een oedometerapparaat verloopt tamelijk snel omdat het grondplakje een kleine afstroomafstand heeft. De uiteindelijke korrelspanning is hier al na 1 of 2 dagen aanwezig. Maar bij dikke grondlagen is deze korrelspanning door het traag wegconsolideren van de waterspanning pas veel later aanwezig. De kruip wordt hierdoor behoorlijk vertraagd. Hier houdt Koppejan geen rekening mee. Bovendien houdt de formule van Koppejan geen re k e n i n g met de extra wateroverspanning ten gevolge van de kru i p. K ruip ontstaat door een langzaam verlies van stijfheid in het korrelskelet, waardoor er een extra watero v e r s p a n n i n g ontstaat. Dit effect is niet meegenomen in de analytische oplossing van de consolidatiegraad U die hierboven bes c h reven staat. Superpositie Bij de bouw van een ophoging wordt vaak gebruik gemaakt van meerdere ophoogslagen. Meestal omdat het in één keer ophogen stabiliteitsproblemen van de taluds oplevert, soms ook omdat men met een tijdelijke (extra) overhoogte werkt om de restzettingen te beperken. De verschillende ophoogslagen veroorzaken verschillende rekken die bij elkaar (Let op de verschillende stijfheden C p/s vóór en C p/s na de grensspanning.) Als de nieuwe belastingstap wordt aangebracht terwijl de oude belasting niet volledig is geconsolideerd, hetgeen meestal het geval is, levert deze superpositiemethode naast de eerder genoemde problemen nog een nieuw probleem op. De tijd t in de kruiptermen loopt vanaf het moment van de ophoogslag, terwijl de verticale korrelspanning, waarmee gerekend wordt, nog niet aanwezig is. Superpositie leidt dus tot een overschatting van de kruiprek. Koppejan Incrementeel Theorie De eerder genoemde problemen kunnen worden voorkomen door het gehele zettingsproces inclusief consolidatie zowel in tijd als over de hoogte van de grondlaag met kleine stappen (incrementeel) door te rekenen. Het eenvoudigst is om ten eerste niet uit te gaan van een rek, maar van een reksnelheid (afgeleide naar de tijd) en ten tweede om de reksnelheid te splitsen in een primair deel en een secundair deel. De zettingen worden dan met de primaire en secundaire reksnelheden en (kruip) beschreven volgens: De primaire reksnelheid volgt direct uit differentieren, maar de genoemde secundaire reksnelheid wordt pas verkregen na het substitueren van de secundaire rek om de tijd t te elimineren en na het substitueren van de primaire rek om de spanningen te elimineren. De gebruikte logaritmische functie van de secundaire rek is alleen geldig voor een constante belasting in een oedometer januari 23 Geotechniek

3 ( = ). Er valt uit deze relatie dus niet te zeggen op welke wijze de secundaire reksnelheid afhangt van de spanningssnelheid, maar de aanname waarop de superpositie regel van Klassieke Koppejan formule is gehanteerd dat kruip alleen afhankelijk is van en niet van (net als plastisch bezwijken) lijkt een redelijke aanname. Op t = (begin van belasten) zijn de rekken ε p en ε s beide nog nul. De primaire reksnelheid omdat, maar de secundaire rek snelheid, omdat niet afhangt van en is nog nul. Dit volgt ook uit de vergelijking van de secundaire reksnelheid: Er geldt bovendien behoud van water dus de toename van de rek in de tijd is gelijk aan de hoeveelheid water die wegstroomt uit een klein plakje grond: Samen met Darcy levert dit: Het belangrijkste voordeel van de incrementele methode is dat de tijd t volledig uit de oplossing van de reksnelheden is verdwenen, hetgeen ook wetenschappelijk juist is. De grond weet immers niet hoe laat het is. De grond weet wel wat zijn rektoestand is. Het is dus logisch dat de secundaire reksnelheid (de kruipsnelheid) alleen afhankelijk is van de volgende drie punten: 1. De primaire rek (en dus de spanning). 2. De verhouding tussen de reeds opgetreden secundaire rek en de primaire rek. 3. En de verhouding tussen de primaire en secundaire zettingscoëfficiënten. De oplossing van de reksnelheid geeft ook inzicht in de spanningsafhankelijkheid van de consolidatiecoëfficiënt C v. Als we omwille van het voorbeeld de kruip verwaarlozen dan geldt: De stijfheid E oed is dus lineair afhankelijk van de spanning. Dit betekent dat de consolidatiecoëfficiënt alleen constant kan zijn als de doorlatendheid k omgekeerd evenredig is met diezelfde spanning. Aangezien dit verre van correct is, is de klassieke methode voor het berekenen van de consolidatiegraad erg onnauwkeurig en moet derhalve worden afgeraden. De consolidatie wordt daarom bij Koppejan- Incrementeel, op dezelfde wijze als bij eindige elementen programma s, opgelost met Darcy door de verandering van de waterspanning p over een klein stukje van de hoogte z uit te rekenen (zie bijvoorbeeld Verruijt (1987)): Een verandering van de waterspanning zorgt dus voor een verandering van de korrelspanningen en daardoor ook van de rek. Deze oplossing modelleert nauwkeurig de consolidatie. Koppejan Incrementeel versus oedometerproeven De incrementele oplossing is vergeleken met oedometerproeven (Den Haan, 1994) op Oostvaardersplassenklei (figuur 1) en op Zegveldse Houtveen (figuur 2). (Met dank aan dr. ir. E. den Haan voor de proefresultaten). De verticale belasting op de klei loopt vanaf 2 naar 12, 22, 42 en 81 kpa. De belasting op het veen loopt vanaf 22 naar 34, 68 13, 27, 63, 12 en 241 kpa. Wat opvalt is dat bij zeer grote spanningsveranderingen en zelfs nog bij een constante doorlatendheid k de beschrijving van Koppejan Incrementeel zeer nauwkeurig is voor rekken tot 3%. De originele proeven van Den Haan bevatten ook nog enkele belastingstappen, bij een lagere belasting, dan hier wordt vermeld. Deze zeer lage belastingstappen zijn hier niet gebruikt omdat al deze stappen tezamen tot een erg grote rek leiden ( > 3%) die niet meer met een lineaire-rek methode zoals Koppejan berekend moet worden, maar met natuurlijke-rek methode (bijvoorbeeld updated mesh ). De waarden van de gebruikte parameters staan in tabel 1. De drainagehoogte h is de halve monsterhoogte H bij de eerst berekende belastingstap (tweezijdige drainage). De proeven van figuur 1 en 2 duren slechts enkele dagen, zoals helaas gebruikelijk is bij oedometerproeven, waardoor de kruiptak nog nauwelijks ontwikkeld is. Daarom is er ook nog een langdurende proef nagerekend. Figuur 1 Figuur 2 Figuur 3 Figuur 4 Figuur Figuur 6 1 /C p 1/ (C s. log(1)) h = 1 / 2 H k [-] [-] [ m ] [ m / d ],,, 819 2, E - 6, 17, 18, 887 1, E -, 1, 37, 798 3, E - 7, 1, 1 2 1, E - 3, 1, 1 2 2, E -, 22, 22, 887 1, E - Tabel 1: Invoerparameters bij de grafieken 16 Geotechniek januari 23

4 In figuur 3 is de oedometerproef op Rotterdamse klei-veen weergegeven uit het boek Grondmechanica van Keverling Buisman (194) alsook de Koppejan Incrementeel benadering. De verticale belasting loopt van 7 kpa naar, 14 en 17 kpa. De eerste belastingstap van Keverling Buisman van 3 kpa naar 7 kpa is hier niet weergegeven omdat het spanningspad hiervan onder de grensspanning is terwijl de andere drie belastingstappen boven de grensspanning zijn. Twee zettingsparameters, een constante doorlatendheid en de laagdikte (bij 7 kpa) geven wederom een nette weergave. Koppejan: Klassiek versus Incrementeel Koppejan Incrementeel wordt voor goed-doorlatende grondlagen goed benaderd door de klassieke Koppejan Superpositie, al blijven tijdens de consolidatiefasen toch kleine verschillen zichtbaar omdat bij de incrementele methode automatisch de consolidatiesnelheid wordt aangepast aan de veranderde grondstijfheid, terwijl de superpositiemethode slechts met een constante consolidatieconstante c v rekent (figuur 4). Bij slecht-doorlatende grondlagen wordt direct duidelijk dat, zoals reeds eerder genoemd, de superpositie methode een duidelijke overschatting van de zettingen tijdens de consolidatiefase geeft (figuur ). Dit leidt tot een onderschatting van de restzetting, omdat de zetting op de lange termijn wel ongeveer correct is. Het rekenen met de superpositie methode moet derhalve worden afgeraden. Natuurlijke rek versus lineaire rek Voor grote rekken ( ) wordt de benadering met lineaire rekken te onnauwkeurig (zie figuur 2). Het gebruik van natuurlijke rekken wordt dan onontkoombaar aangezien de rekken niet gedefinieerd moeten worden als de verandering van de initiële laagdikte ( ), maar als een verandering van de werkelijke laagdikte ( ). In Koppejan Incrementeel wordt de lineaire rek die gebaseerd is op de initiële laagdikte (lineaire rek theorie) berekend met: Koppejan vs. Meting OVP-Klei Figuur 1: Koppejan Incrementeel versus Oostvaard e r s p l a s s e n k l e i. Koppejan vs. Meting Zegfeldse Houtveen Figuur 2: Koppejan Incrementeel versus Zegfeldse Houtveen. Koppejan vs. Meting KB-Klei-Veen Figuur 3: Koppejan Incrementeel versus Klei-Veen uit Rotterd a m. De lineaire rek gebaseerd op de werkelijke laagdikte (natuurlijke rek theorie of updated mesh ) wordt daarom berekend met: De grote zetting van de Zegveldse Houtveen (tot 67% rek) van figuur 2 kan met deze vergelijking veel beter worden beschreven zoals kan worden gezien in figuur 6. Het gebruik van de natuurlijke rek methode heeft invloed op de grootte van de zettingparameters (Den Haan, 1994) zoals kan worden gezien in tabel 1. De natuurlijke waarden van 1/C p/s van figuur 6 zijn groter dan de lineaire waarden Superpositie vs. Incrementeel Koppejan-Sup. Figuur 4: Koppejan:Superpositie versus Incrementeel bij goeddoorlatende gro n d. januari 23 Geotechniek 17

5 Superpositie vs. Incrementeel Koppejan Incr. Natuurlijke Rek versus Meting Time [d] Koppejan-Sup. Koppejan Incr. Nat. Rek Zegfeldse Houtveen Figuur : Koppejan: Superpositie versus Incrementeel bij slechtdoorlatende gro n d. Figuur 6: Koppejan Incrementeel: Natuurlijke rek methode versus meting. van figuur 2. De lineaire methode beschrijft figuur 2 nauwkeurig tot een natuurlijke rek van. In dit geval kan een goede schatting worden gevonden voor de verhouding tussen de natuurlijke en de lineaire parameters: voor: Verbetering en uitbreiding In de Koppejan Incrementeel Methode zijn een aantal punten sterk verbeterd ten opzichte van de Klassieke Koppejan Methode. Dit komt vooral door het incrementeel rekenen in combinatie met het berekenen van de consolidatie met Darc y. Toch blijven er nog punten voor verbetering over, bijvoorbeeld: 1. Doorlatendheid afhankelijk van de porositeit 2. Invloed 2-dimensionale belasting t.o.v. 1-dimensionale berekening De doorlatenheid is tamelijk afhankelijk van de grootte van de poriën en dus van de porositeit, de rek of de spanning. Het is dus zaak om de doorlatendheid te bepalen bij de relevante belastingen. Bij grote rekken en dus grote belastingv e r s c h i l l e n is het dus noodzakelijk om de spanningsafhankelijkheid van de doorlatendheid als formule mee te nemen in de berekening. Dit wordt ook door Den Haan (1994) en door anderen voorgesteld. Een ander belangrijk punt is de invloed van een 2-dimensionele belasting op de zetting. Bij een 1-D model zoals Koppejan wordt in eerste instantie de volledige belasting gedragen door de waterspanning. Bij het ophogen van dijken en weglichamen is dit niet correct. Ten eerste is er een spreiding van de belasting (die overigens wel met bijvoorbeeld met Boussinesq / Flamant in rekening kan worden gebracht). En ten tweede is de horizontale grondverplaatsing niet volledig beperkt, hetgeen een reductie van de waterspanning en dus een versnelling van het consolidatieproces oplevert. Dit fenomeen is ook bekend voor triaxiaalproeven waar volgens de theorie slechts 1/3-deel van de belasting door de waterspanning wordt opgenomen en voor biaxiaalproeven (plain-strain) waar slecht de helft van de belasting door de waterspanning wordt opgenomen. Bij een lijnbelasting (dijk, brugtoerit, e.d.) op slappe grond is het derhalve goed mogelijk dat 2% tot 2% van de belasting niet door de waterspanning wordt opgenomen, maar door de korrelspanning, zodat de consolidatie sneller verloopt en taluds stabieler zijn dan ingeschat met een 1-D consolidatiemodel. Hierbij moet wel vermeld worden dat de contractie ten gevolge van de schuifspanning in de grond een extra waterspanning kan genereren die dit proces gedeeltelijk of wellicht geheel te niet kan doen. Daarnaast ontstaat er bij een lijnbelasting ook een horizontale afstroming van waterspanningen. Bij 2-D modellen, zoals bijvoorbeeld bij het eindige elementen programma Plaxis (Brinkgreve en Vermeer (1998)), worden deze winstpunten automatisch meegenomen. Het zou daarom ook zeer waardevol zijn als het Koppejan Incrementeel Model in dergelijke geotechnische eindige elementen programma s wordt geïmplementeerd. Dit kan overigens uiterst eenvoudig. Het Soft Soil (Creep) Model (Vermeer en Neher (1999)) bezit reeds de volgende twee termen voor de primaire reksnelheid: (beter is eigenlijk A p i.p.v. C p ) Door de toevoeging van slechts de volgende twee kruiptermen: kan op een internationaal herkenbare manier, en volgens Koppejan Incrementeel, zeer eenvoudig en zeer nauwkeurig 18 Geotechniek januari 23

6 met kruip worden gerekend. Als voorbeeld kan van internet ( ent.html) software worden gedownload om zelf met Koppejan Incrementeel in Plaxis 8.1 te rekenen. Conclusie De Koppejan Incrementeel Methode geeft een nauwk e u r i g e re beschrijving van een 1-dimensionaal zettingsverloop dan de Klassieke Koppejan Methode. Dit komt door de incrementele benadering van zowel de zetting als de consolidatie, zowel in de tijd als over de hoogte van het grondmonster. Deze methode kan eenvoudig, en op een internationaal herkenbare manier, in Plaxis of een ander eindige elementen model worden geïmplementeerd. Literatuur Brinkgreve, R.B.J. en Vermeer, P.A. (1998). Plaxis Manual. Version 7, Balkema, pp Den Haan, E.J. (1994). Vertical compression of soils. Dissertation, ISBN Keverling Buisman, A.S. (1936). Results of long duration settlement tests, Proc. 1 st Int. Conf. Soil Mech. And Found. Eng., Cambridge Mass. No. F-7, pp Keverling Buisman, A.S. (194). Grondmechanica, Boek, heruitgave 1996, Balkema, fig. 7, p. 11. Koppejan, A.W. (1948). A formula combining the Terzaghi load compression relationship and the Buisman secular time effect. Proc. 2 nd Int. Conf. Soil Mech. And Found. Eng., Rotterdam, 3, pp Terzaghi, K. (192). Erdbaumechanik, Boek, Franz Deuticke, Vienna. Vermeer, P.A. and Neher, H.P. (1999). A soft soil model that account for creep. Beyond 2 in computational geotechnics, Balkema, pp Ve rruijt, A. (1987). Grondmechanica, C o l l e g e b o e k, Delftse Uitgevers Maatschappij, ISBN , pp. -63 januari 23 Geotechniek 19