De bisectiemethode voor simplices

Transcriptie

1 De bisectiemethode voor simplices Matthijs Schukking 19 juli 2013 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Jan Brandts ABCD ABCE ABEF BCEF CEFH FHIJ EFHI Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting Langste-zijde bisectie deelt een n-simplex op in twee nieuwe n-simplices, door het midden van de langste zijde in deze simplex te verbinden met de overige hoekpunten. We onderzoeken hoeveel gelijkvormigheidsklassen van n-simplices er ontstaan wanneer we dit proces oneindig vaak herhalen. Deze vraag is relevant binnen de numerieke wiskunde, waar met behulp van de eindige elementen methode oplossingen van partiële differentiaalvergelijkingen benaderd worden, zie ook [10]. Hierbij wordt het domein van een functie getrianguleerd en vervolgens verfijnd. Deze verfijning kan middels de langstezijde bisectiemethode geschieden. In twee dimensies is gebleken dat welke driehoek we ook kiezen, deze onder de langste-zijde bisectiemethode uiteenvalt in een eindig aantal gelijkvormigheidsklassen, zie [2] en [3]. Dit impliceert convergentie van de benadering die de eindige elementen methode levert naar de exacte oplossing van de op te lossen vergelijking. Een bewijs van het feit dat iedere driehoek in eindig veel gelijkvormigheidsklassen uiteenvalt zal in deze scriptie behandeld worden. Of een willekeurige tetraëder onder de langste-zijde bisectiemethode in eindig veel gelijkvormigheidsklassen uiteenvalt, is een open vraagstuk binnen de wiskunde. Men kan ook naar de normaalvectoren op n-simplices kijken. Het blijkt dat wanneer twee n-simplices dezelfde normaalvectoren heeft, deze tevens gelijkvormig zijn. Wanneer een simplex uiteenvalt in eindig veel normaalvectorklassen, zal deze dus in het bijzonder ook uiteenvallen in eindig veel gelijkvormigheidsklassen. Dit kan wellicht gebruikt worden om een ander bewijs van de eindigheidsstelling in twee dimensies te leveren, die vervolgens naar hogere dimensies gegeneraliseerd kan worden. Titel: De bisectiemethode voor simplices Auteur: Matthijs Schukking, Begeleiding: dr. Jan Brandts Tweede beoordelaar: Prof. dr. R.P. Stevenson Einddatum: 19 juli 2013 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam 2

3 Inhoudsopgave 1. Inleiding 4 2. De langste-zijde bisectiemethode Inleide definities Enkele speciale gevallen van gelijkbenige driehoeken De centrale stelling Lemma s en bewijzen Toepassing: de eindige elementen methode Van driehoeken naar tetraëders Equivalentieklassen van normaalvectoren Bepalen van normaalvectoren De hoger-dimensionale driehoek: de tetraëder Bibliografie 39 Populaire samenvatting 40 A. Matlab 42 A.1. Bisectiemethode.m A.2. Gelijkvklassen.m A.3. Normaalvklassen.m A.4. Triangit.m

4 1. Inleiding Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen is de eindige elementen methode een veelgebruikte aanpak, zie ook [10]. Hierbij wordt het domein van een zekere functie getrianguleerd. Er zijn veel verschille manieren om deze triangulatie vervolgens te verfijnen. Om hierbij rekening te houden met de zijdelengtes van de driehoeken in de triangulatie is de langste-zijde bisectiemethode in het leven geroepen. Zoals de naam al doet vermoeden richt de langste-zijde bisectiemethode zich binnen een driehoek op de langste zijde. Als ABC een driehoek is met AB als langste zijde, levert bisectie op ABC de driehoeken ACD en BCD waar D het midden van de zijde AB is. Hierna gaan we op zoek naar de langste zijde binnen deze twee driehoeken. Bij de bisectiemethode vervolgen we dit proces oneindig lang. De vraag die nu rijst betreft het aantal verschille vormen driehoeken die we tegenkomen gedure dit proces. Het blijkt dat dit aantal, met welke driehoek we ook beginnen, eindig is. Dit aantal kan echter wel willekeurig groot zijn. De centrale stelling in deze scriptie betreft deze eindigheid. Deze is door zowel Synes [2] als Adler [3] onafhankelijk van elkaar bewezen. Voor we hiermee aan de slag kunnen, zullen we in Hoofdstuk 2 eerst de benodigde definities introduceren. Hiernaast zullen we aan de hand van enkele voorbeelden, te weten gelijkbenige driehoeken, de langste-zijde bisectiemethode bestuderen. Hoofdstuk 3 behandelt vervolgens bovengenoemde stelling. Het bewijs hiervan zullen we niet in een keer geven, maar over een aantal lemma s verdelen, aan de hand van een artikel van Claudio Gutierrez et al. [1]. Tevens zullen we in Sectie 3.2 de reeds genoemde eindige elementen methode zien terugkeren als toepassing waarin de langste-zijde bisectiemethode een rol speelt. In het laatste hoofdstuk, Hoofdstuk 4, bekijken we de langste-zijde bisectiemethode vanuit een andere invalshoek. In plaats van naar de vorm van een driehoek te kijken, zullen we nu naar de normaalvectoren op de driehoek kijken. Hiermee hopen we een nieuw bewijs van de centrale stelling te vinden die we naar hogere dimensies kunnen generaliseren. We zullen de methode dan ook op de 3-simplex, de tetraëder, definiëren. Dit blijkt niet zo triviaal als in twee dimensies. Met behulp van een aantal zelfgeschreven programma s in Matlab bekijken we van enkele voorbeelden in hoeveel normaalvector-klassen deze uiteenvallen. Of ook tetraëders in eindig veel verschille vormen uiteenvallen onder de langste-zijde bisectiemethode is vooralsnog een open probleem binnen de wiskunde. Tot slot wil ik mijn begeleider Jan Brandts bedanken voor zijn enthousiasme, het aandragen van dit onderwerp en het delen van zijn kennis. 4

5 2. De langste-zijde bisectiemethode In dit hoofdstuk zullen we de langste-zijde bisectiemethode behandelen. De kome sectie zal beginnen met enkele definities, waaronder de definitie van de methode zelf. Tussoor worden enkele eigenschappen van de methode opgemerkt. Aan het eind van deze sectie is de centrale stelling geformuleerd. Deze zullen we echter pas in het volge hoofdstuk nader bestuderen. In de tweede sectie van dit hoofdstuk wordt de langste-zijde bisectiemethode aan de hand van enkele relatief eenvoudige voorbeelden van gelijkbenige driehoeken geïllustreerd Inleide definities Aangezien we de langste-zijde bisectiemethode op driehoeken gaan toepassen, zullen we allereerst een driehoek moeten definiëren. Hierbij gebruiken we de convexiteit van een verzameling. Definitie 2.1. Een verzameling X R n heet convex wanneer (1 t)x + ty X geldt voor alle x, y X en alle t [0, 1]. Definitie 2.2. Laat A, B, C R 2. Het convexe omhulsel van deze drie punten, de kleinste convexe verzameling die zowel A, B als C bevat, heet de driehoek ABC. We introduceren nu twee equivalentierelaties op de verzameling van driehoeken in R 2. Definitie 2.3. Twee driehoeken ABC en DEF heten gelijkvormig wanneer twee hoeken in ABC in grootte overeenkomen met twee hoeken in DEF. Dit noteren we als ABC DEF. Als bovien geldt dat de zijdelengtes van beide driehoeken overeenkomen, heten deze congruent. Dit zullen we noteren als ABC DEF. De klasse van driehoeken die gelijkvormig zijn aan ABC noemen we de gelijkvormigheidsklasse van ABC. Aangezien gelijkvormige driehoeken drie gelijke hoeken bevatten is het duidelijk dat een equivalentierelatie op de verzameling van driehoeken in R 2 definieert. Ook is het duidelijk dat een equivalentierelatie op R 2 definieert. Voorbeeld 2.4. Figuur 2.1 hieronder toont enkele voorbeelden van gelijkvormige driehoeken. Wanneer we een driehoek transleren, vergroten of spiegelen, zal de verkregen driehoek gelijkvormig zijn aan de oorspronkelijke driehoek. Tevens zijn zowel de eerste en laatste driehoek als de middelste twee driehoeken congruent aan elkaar. 5

6 Figuur 2.1.: Gelijkvormige en congruente driehoeken. Opmerking. Twee driehoeken zijn equivalent onder dan en slechts dan als de zijdelengtes van beide driehoeken zich met eenzelfde factor ten opzichte van elkaar verhouden. Wanneer deze factor gelijk aan één is, zijn de twee driehoeken congruent. Congruentie impliceert dus gelijkvormigheid. De omgekeerde implicatie is echter niet van toepassing. Definitie 2.5. Zij ABC een driehoek, waarbij AB BC AC. Een langstezijde bisectie van ABC is het opsplitsen van deze driehoek in de driehoeken ACD en BCD, waar D het middelpunt van een langste zijde AB is. De oppervlakte van de oorspronkelijke driehoek wordt in twee gelijke delen verdeeld onder langste-zijde bisectie. Dit is een direct gevolg van het feit dat we een zijde van de driehoek doormidden delen, immers er geldt dat oppervlakte = basis 1 2 hoogte. Voorbeeld 2.6. Figuur 2.2 toont een voorbeeld van een langste-zijde bisectie. Figuur 2.2.: Langste-zijde bisectie op de zijde AB uit ABC in ACD en BCD. Wanneer AB = BC, dan levert langste-zijde bisectie van de zijde AB van ABC gelijkvormige driehoeken aan de driehoeken die langste-zijde bisectie van de zijde BC in ABC levert en deze zijn zelfs congruent. Figuur 2.3 illustreert dit. Analoog geldt eenzelfde uitspraak voor gelijkzijdige driehoeken. We kunnen het begrip bisectie vervolgens ook definiëren op een verzameling driehoeken. Definitie 2.7. Zij T = {T 1,..., T n } een eindige verzameling van driehoeken. Laat T i T een driehoek zijn met een langste zijde binnen T. Bij de langste-zijde bisectie van T ontstaat de verzameling driehoeken T = {T 1,..., T i 1, Ti 1, Ti 2, T i+1,..., T n }, waar Ti 1 en Ti 2 de driehoeken zijn die ontstaan bij de langste-zijde bisectie van T i. 6

7 Figuur 2.3.: Bisectie van een gelijkbenige driehoek. Opmerking. Er kunnen meerdere langste zijden voorkomen in T. In Figuur 2.3 is geïllustreerd dat de driehoeken die ontstaan bij bisectie van een van de langste zijden gelijkvormig zijn aan de driehoeken die ontstaan bij bisectie van een andere langste zijde. Aangezien we het proces oneindig lang zullen herhalen passen we bisectie op alle langste zijden toe en heeft de keuzevolgorde van een van deze langste zijden geen invloed op het uiteindelijke resultaat. Aan de hand van de langste-zijde bisectie kunnen we nu de langste-zijde bisectiemethode definiëren. Definitie 2.8. Zij ABC een driehoek. Laat T 0 := ABC. Laat nu inductief T n+1 de verzameling driehoeken zijn die wordt verkregen door langste-zijde bisectie op T n toe te passen. Dit zullen we ook wel een stap van de langste-zijde bisectiemethode noemen. De langste-zijde bisectiemethode op een driehoek ABC levert nu T := n T n. Voorbeeld 2.9. Figuur 2.4 toont een voorbeeld van vijf stappen van de langste-zijde bisectiemethode op een driehoek. In de laatste twee stappen, van 5 a en 5 b naar 6, is bovenstaande opmerking geïllustreerd. Een toepassing waarbij de langste-zijde bisectiemethode een rol speelt is de eindige elementen methode, zie ook Sectie 3.2. Dit is een methode om de oplossing van een partiële differentiaalvergelijking te bepalen. Hij maakt gebruik van triangulaties van een domein. Om deze reden zullen we nu een triangulatie definiëren evenals een variant van de langste-zijde bisectiemethode die de eigenschappen van een triangulatie in acht neemt. Definitie Zij T een eindige verzameling van driehoeken, welke een paarsgewijs disjunct inwige hebben. Zij tevens G R 2 een gebied. Dan heet T een triangulatie van G wanneer T = G Elke zijde van een driehoek T ligt ofwel op de rand van G ofwel op een zijde van een driehoek T. Oftewel: T moet G bedekken en aan de face-to-face eigenschap voldoen. 7

8 Figuur 2.4.: Vijf stappen van de langste-zijde bisectiemethode. Voorbeeld Alle figuren in Figuur 2.4 op 5 a en 5 b na zijn voorbeelden van triangulaties. In de plaatjes 5 a en 5 b is echter niet aan de face-to-face eigenschap voldaan. We kunnen nu ook bisectie op een triangulatie definiëren. Hierbij willen we dat de face-to-face eigenschap van een triangulatie in stand gehouden wordt, dus dit levert een aangepaste definitie ten opzichte van Definitie 2.7. Definitie Zij T een triangulatie van een gebied G R n. Laat ABC een driehoek zijn met langste zijde AB in T. Als AB op de rand van G ligt, dan geeft de langstezijde bisectie van T de triangulatie T met hierin alle driehoeken uit T en de driehoeken die ontstaan bij de langste-zijde bisectie van ABC, minus ABC zelf. Wanneer AB niet op de rand van G ligt, volgt dat er een driehoek ABD T \ ABC bestaat. De langste-zijde bisectie van T geeft in dit geval de triangulatie T met hierin alle driehoeken uit T en de driehoeken uit de langste-zijde bisectie van ABC en ABD, minus deze driehoeken zelf. In het vervolg zullen we de langste-zijde bisectie kortweg bisectie noemen. Evenzo verwijzen we naar de langste-zijde bisectiemethode als de bisectiemethode. Voorbeeld Figuur 2.5 toont twee iteraties van bisectie op een begintriangulatie T van een vierkant. Figuur 2.5.: Twee stappen van de bisectiemethode op een triangulatie. 8

9 Probleemstelling en geschiedenis We zullen ons in het volge hoofdstuk wijden aan het bewijzen van onderstaande stelling. Stelling De bisectiemethode toegepast op een willekeurige driehoek ABC levert eindig veel gelijkvormigheidsklassen. Bovenstaande stelling is door zowel Stynes [2] als Adler [3] onafhankelijk van elkaar bewezen. In beide gevallen wordt echter geen grens voor het aantal gelijkvormigheidsklassen aangegeven. De eerste stappen richting succes werden geboekt door Rosenberg en Stenger [4], die lieten zien dat onder bisectie van een driehoek ABC de kleinste hoek in de ontstane driehoeken niet kleiner dan 1 ABC wordt, waar ABC de kleinste 2 hoek in ABC is. Hierna toonde Kearfott [5] een grens aan voor de diameter van een driehoek onder bisectie, i.e. de langste zijde van een geconstrueerde driehoek. Stynes [6] verbeterde deze grens voor bepaalde driehoeken. Uiteindelijk levert Gutierrez et al. [1] een schematisch overzicht van de beke resultaten van de bisectiemethode met aanscherpingen en aanvullingen hierop. Dit artikel zullen we in het volge hoofdstuk vaker tegenkomen. Hier zullen we echter ook zien dat in het artikel een onjuiste claim gemaakt wordt. Deze zal dan ook gecorrigeerd worden Enkele speciale gevallen van gelijkbenige driehoeken In deze paragraaf zullen we enkele voorbeelden van bisecties op een gelijkbenige driehoek tegenkomen. Deze illustreren zowel de bisectiemethode als de manier van het bewijzen dat twee driehoeken gelijkvormig zijn. Voorbeeld Zij ABC een gelijkbenige, rechthoekige driehoek. Figuur 2.6 hieronder toont de bisectie van ABC. Deze levert wederom twee gelijkbenige, rechthoekige driehoeken, die gelijkvormig zijn aan ABC. De bisectiemethode levert in dit geval een enkele gelijkvormigheidsklasse. In het rechterplaatje van Figuur 2.6 wordt de bisectiemethode op ABC in een graaf weergegeven. Er loopt een pijl van een 1 naar 2 wanneer bij de bisectie van 1 een driehoek gelijkvormig aan 2 ontstaat. Er zullen dus altijd twee uitgaande pijlen lopen van iedere driehoek in de graaf, mogelijk naar dezelfde driehoek. In dit voorbeeld is er sprake van één enkele gelijkvormigheidsklasse, dus zullen er alleen pijlen van ABC naar zichzelf lopen. Opmerking. Er bestaat geen driehoek die onder de bisectiemethode uiteenvalt in twee gelijkvormigheidsklassen. Het bewijs wordt als uitdaging aan de lezer overgelaten. Voorbeeld In het algemeen geldt dat gelijkbenige driehoeken ABC waarbij AD CD AC of CD AD AC en CE CD in drie gelijkvormigheidsklassen uiteen vallen, op die uit Voorbeeld 2.15 na. Hierbij is D het midden van de zijde AB en E het midden van de zijde BC. Zij ABC een gelijkbenige driehoek 9

10 ABC Figuur 2.6.: Bisectie van een gelijkbenige, rechthoekige driehoek. met AD CD AC, zie ook het linkerplaatje in Figuur 2.7. Bisectie op AB van ABC levert ACD en BCD, welke gelijkvormig aan elkaar zijn. Aangezien ADC de grootste hoek in ACD is, volgt dat AC de langste zijde in ACD is. Bisectie op ACD levert dus de weergegeven driehoeken ADF en CDF. Er geldt nu, aangezien D het midden van zijde AB is en F het midden van AC, dat DF BC en dus dat ADF ABC. Bisectie op CDF levert CF G DF G. Er volgt dat CF G ACD. We kunnen dus concluderen dat de bisectiemethode op ABC drie gelijkvormigheidsklassen oplevert: die voorgebracht door ABC, BCD en CDF. ABC ACD CDF Figuur 2.7.: Bisectie van de gelijkbenige driehoek ABC, met AD CD AC. Zij nu ABC een gelijkbenige driehoek met CD AD AC en CE CD, zie ook Figuur 2.8. Bisectie op ABC levert weer ACD BCD. Gelijkvormigheid volgt uit het feit dat ABC gelijkbenig is. Driehoek ACD valt vervolgens, aangezien AC hier de langste zijde is, uiteen in ADF ABC en CDF. De gelijkvormigheid ADF ABC volgt uit het feit dat DF BC. Driehoek ADF is dus ook gelijkbenig. Oftewel DF = AF = CF. Er volgt dat CDF nog uiteenvalt in CF G DF G. Deze twee zijn gelijkvormig, aangezien CDF gelijkbenig is. We kunnen dus ook in dit geval concluderen dat ABC in drie gelijkvormigheidsklassen 10

11 uiteenvalt: die voortgebracht door ABC, ACD en CDF. Deze aanpak lijkt sterk op de aanpak van ABC hierboven. Als we de zijde CD nog korter maken, zal de driehoek in meer gelijkvormigheidsklassen uiteenvallen. Dit komt door het feit dat CD in dat geval niet meer de langste zijde van CDF is. Bisectie van CDF zal nu in het algemeen nieuwe gelijkvormigheidsklassen opleveren. Figuur 2.8.: Bisectie van de gelijkbenige driehoek ABC. We kunnen ons vervolgens afvragen wat er met de overige gelijkbenige driehoeken, waarbij AB = 1, gebeurt onder de bisectiemethode. Onderstaande Figuur 2.9 toont het aantal gelijkvormigheidsklassen voor elke keuze van CD tussen 0 en 3 2. Figuur 2.9.: Aantal gelijkvormigheidsklassen van gelijkbenige driehoeken. Dit figuur is met behulp van Matlab gemaakt. Het zelfgeschreven programma Gelijkvklassen.m bepaalt voor de ingevoerde driehoek in welke klassen deze uiteenvalt, zie ook Appix A.2. Met behulp van Matlab zelf kan dit aantal nu tegen de lengte CD uiteengezet worden. Merk op dat bij CD = 0.5 de grafiek van drie gelijkvormigheidsklassen naar één gelijkvormigheidsklasse springt, aangezien dit een rechthoekige 11

12 gelijkbenige driehoek vormt als in Voorbeeld 2.6. Ook valt het op dat er steeds meer gelijkvormigheidsklassen gevormd worden naarmate we CD dichter bij 0 kiezen. Deze groei lijkt exponentieel. Figuur 2.10 hieronder toont eenzelfde plot, nu op logaritmische schaal. Deze laat inderdaad zien dat naarmate CD naar 0 convergeert, de groei van het aantal gelijkvormigheidsklassen exponentieel is. Figuur 2.10.: Logaritmische plot van Figuur 2.9. Voorbeeld Wanneer A = (0, 0), B = (1, 0) en C = ( 1, 3 ), dan geldt dat ABC 5 5 in 7 gelijkvormigheidsklassen uiteenvalt onder de bisectiemethode. Bisectie op ABC levert allereerst ACD en BCD, zie ook Figuur Vervolgens passen we bisectie op de zijde BC in BCD toe en verkrijgen BDE ABC en CDE. Aangezien CD de langste zijde in ACD is, levert bisectie op ACD de driehoeken ACG en ADG. Hierna passen we bisectie op CDE toe, wat DEG en CEG BCD levert. Bisectie op ACG levert nu CF G ACD en AF G. Aangezien DE AC, volgt dat DEG CF G ACD. Vervolgens levert bisectie op ADG de driehoeken AGH en DGH ACD. Aangezien GH AC en F G AB, volgt dat AF G AGH. Bisectie van AF G levert de driehoeken AF I ACG en F GI ADG. Laatstgenoemde gelijkvormigheid kan worden ingezien door ook op AGH bisectie toe te passen en te concluderen dat F GI AHI ADG. We kunnen dus concluderen dat ABC uiteenvalt in de gelijkvormigheidsklassen voortgebracht door ABC, ACD, BCD, CDE, ACG, ADG en AF G. Opmerking. De graaf in Figuur 2.11 verschaft ons niet enkel informatie over driehoek ABC, maar ook over de overige driehoeken. We weten nu bijvoorbeeld ook dat ACD in 4 gelijkvormigheidsklassen uiteenvalt onder de bisectiemethode, aangezien deze in een cykel van lengte vier ligt, waar geen pijlen uitwijzen. 12

13 ABC BCD ACD CDE ACG ADG AFG Figuur 2.11.: Driehoek ABC valt uiteen in zeven gelijkvormigheidsklassen. Standaard methoden In de voorbeelden uit deze sectie is gebruik gemaakt van een drietal manieren om aan te tonen dat twee driehoeken gelijkvormig zijn: 1. het zogeheten snavelfiguur. Hierbij delen beide driehoeken een punt en lopen de zijden tussen de overige twee punten in beide driehoeken evenwijdig aan elkaar. Dit is bijvoorbeeld het geval in Voorbeeld 2.16, waaruit geconcludeerd wordt dat ADF ABC, zie ook Figuur wanneer twee driehoeken een zijde delen en de overige zijden evenwijdig zijn. Dit is het geval in Voorbeeld 2.17, waar geconcludeerd wordt dat AF G AGH, zie ook Figuur wanneer een zijde van de eerste driehoek op een zijde van de tweede driehoek ligt en de overige zijden evenwijdig zijn. Ook deze manier is teruggekomen in Voorbeeld 2.17, waar DEG ACD, zie ook Figuur Deze drie manieren om gelijkvormigheid van driehoeken te concluderen zullen we in het volge hoofdstuk veelvuldig terug zien komen. 13

14 3. De centrale stelling In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat driehoeken in het algemeen niet in eenzelfde aantal gelijkvormigheidsklassen uiteenvallen onder de bisectiemethode. Er geldt zelfs dat we voor elke N N een driehoek ABC kunnen aanwijzen zodanig dat het aantal gevormde gelijkvormigheidsklassen minstens N is. Neem namelijk een willekeurige driehoek ABC, waarbij AB BC AC. Laat nu D 1 := A + 2 AB B en verbind D 1 met B en C. Laat nu D 2 := A + 2 AD 1 B en verbind deze ook met de punten B en C. Herhaal dit proces N stappen en verkrijg ACD N, zie ook Figuur 3.1. De bisectiemethode op deze driehoek levert in ieder geval alle driehoeken ACD i, aangezien ACD i de grootste hoek is in ACD i, voor alle i {1,..., N}. Merk nu op dat voor i j de driehoeken ACD i en ACD j niet in dezelfde gelijkvormigheidsklasse zitten. Dit impliceert dat het aantal gevormde gelijkvormigheidsklassen minstens gelijk aan N is. Figuur 3.1.: Constructie van ACD N die in minstens N klassen uiteenvalt. In dit hoofdstuk staat de volge stelling, die ook in het vorige hoofdstuk al even genoemd werd, centraal. Stelling 3.1. De bisectiemethode toegepast op een willekeurige driehoek ABC levert eindig veel gelijkvormigheidsklassen. Zoals hierboven geïllustreerd is kan dit aantal gelijkvormigheidsklassen willekeurig groot zijn. Om deze reden zullen we wel wat werk moeten leveren om een bewijs van deze stelling te verkrijgen. In de kome paragraaf werken we aan de hand van enkele lemma s toe naar een bewijs Lemma s en bewijzen We zullen er voortaan vanuit gaan dat ABC voldoet aan AB BC AC. Zonder verlies van algemeenheid, aangezien we naar gelijkvormigheidsklassen kijken, mogen we aannemen dat AB = 1. Hieruit volgt dat C binnen de cirkel C(B, 1) met 14

15 straal 1 rond B moet liggen. De eis AB BC impliceert dat C links van de lijn x = 1 AB ligt. Figuur 3.2 toont verschille gebieden waar we het derde hoekpunt 2 C kunnen kiezen. Hierin zijn tevens delen van de cirkels C(A, 1), C(B, 1), C(N, 1), 2 3 C(D, 1) getek, waar D het middelpunt van zijde AB is en N = A + 1 AB B. Ook 2 3 is de loodlijn op AB in het punt M, het midden van zijde AD, getek. In de voorbeelden uit Sectie 2.2 zijn driehoeken uit enkele van deze gebieden langsgekomen. We begonnen met driehoeken waarbij het punt C op de loodlijn op D ligt. Wanneer C zowel op de rand van gebied I als gebied VI ligt, is er sprake van een gelijkbenige, rechthoekige driehoek. Zoals we in Voorbeeld 2.15 gezien hebben valt deze onder de bisectiemethode uiteen in één klasse. Hierna bekeken we in Voorbeeld 2.16 een gelijkbenige driehoek waarbij C in gebied I ligt. Deze valt uiteen in vier gelijkvormigheidsklassen. Hetzelfde resultaat geldt wanneer we het punt C langs de lijn verplaatsten naar gebied VI. Verder afdalen richting het punt D gaf Figuur 2.9. Tot slot kwamen we in Voorbeeld 2.17 een gelijkbenige driehoek uit gebied II tegen, waarbij C op de linkerrand van dit gebied lag. Deze driehoek viel uiteen in zeven gelijkvormigheidsklassen. Voor grote N zal de driehoek ACD N uit de inleiding van dit hoofdstuk in gebied III of IV liggen. Voor deze gebieden, evenals gebied V, zal de centrale stelling lastiger te bewijzen zijn. We zullen daarom beginnen met een lemma betreffe de driehoeken waarbij C in gebied I ligt. Allereerst introduceren we een schrijfwijze. Figuur 3.2.: Opdeling keuzemogelijkheden hoekpunt C. Definitie 3.2. Voor een driehoek ABC definiëren we N ( ABC) als het aantal gelijkvormigheidsklassen, die worden gevormd bij de bisectiemethode op ABC. Onderstaande lemma s zijn geïnspireerd door een artikel van Claudio Gutierrez et al. [1]. We zullen er in het vervolg vanuit gaan dat E het midden van zijde BC, F het midden van zijde AC en G het midden van zijde CD is, zie ook Figuur 3.3 ter illustratie. 15

16 Lemma 3.3. [1] Veronderstel dat het punt C in gebied I ligt. Dan geldt N ( ABC) 4. Bewijs. Aangezien C in gebied I ligt geldt dat AD CD AC. Per aanname is AB de langste zijde van ABC, dus bisectie van deze driehoek levert de driehoeken ACD en BCD, zie Figuur 3.3. Er geldt nu dat BD = AD CD AC BC. Vervolgens wordt BC dus doormidden gedeeld, dit levert de driehoeken BDE en CDE. Het is nu duidelijk dat BDE ABC. Deze kunnen we verder dus buiten beschouwing laten. Aangezien CED 90, volgt dat CD de langste zijde in CDE is. Aangezien AC CD AD, volgt dat we nu AC doormidden delen. Dit levert ADF en CDF. Er geldt dat CDF CDE, aangezien DF CE en DE CF. Hiernaast geldt ook dat ADF ABC. Nu rest ons nog uit te zoeken wat er gebeurt met CDE onder bisectie. Hierboven merkten we al op dat CD de langste zijde binnen deze driehoek is. Doormidden delen van CD levert CEG en DEG. Het is duidelijk dat CEG BCD. Verder geldt dat DEG CF G ACD. Er geldt nu dat de bisectiemethode op ABC hoogstens vier verschille gelijkvormigheidsklassen oplevert, namelijk de klassen voorgebracht door ABC, ACD, BCD en CDE. ABC ACD BCD CDE Figuur 3.3.: Bisecties van ABC in gebied I. Uit Voorbeeld 2.15 volgt dat de ongelijkheid uit Lemma 3.3 ook zeker strict kan zijn. Onderstaand lemma, betreffe gebied II, is wederom geïnspireerd door het artikel [1]. In dit artikel wordt echter ten onrechte geclaimd dat de ongelijkheid N ( ABC) 5 geldt. De driehoek in Voorbeeld 2.17 ligt in gebied II en valt in meer dan 5, namelijk 7, gelijkvormigheidsklassen uiteen. Om deze reden is onderstaand lemma, inclusief bewijs, een gecorrigeerde vorm dan dat in [1]. 16

17 Lemma 3.4. Veronderstel dat het punt C in gebied II ligt. Dan geldt N ( ABC) 7. Bewijs. Aangezien C in gebied II ligt geldt dat AD AC CD. Laat C de reflectie van C zijn in de middelloodlijn op AD, zie ook Figuur 3.4 hieronder. Er geldt dat ABC voldoet aan de voorwaarden van Lemma 3.3. Aangezien ACD AC D, volgt dat ACD in hoogstens vier gelijkvormigheidsklassen uiteenvalt onder bisectie. Nu rest ons nog het aantal klassen te vinden waar BCD in uiteenvalt onder bisectie. Analoog aan het bewijs van Lemma 3.3 volgt dat BCD uiteenvalt in BDE, welke gelijkvormig is aan ABC, en CDE. Aangezien CD de langste zijde is in CDE valt deze driehoek vervolgens uiteen in CEG en DEG. Er geldt nu dat CEG BCD en dat DEG ACD. Hieruit volgt dat BCD in hoogstens drie nieuwe gelijkvormigheidsklassen uiteenvalt, namelijk die voortgebracht door BCD, CDE en ABC. We kunnen dus concluderen dat N ( ABC) 7 geldt. Figuur 3.4.: De driehoeken ABC en ABC uit Lemma 3.4. Voor we de driehoeken in gebied III behandelen, zien we een algemeen resultaat in de kome propositie. Propositie 3.5. [1] Zij ABC een driehoek zijn waarbij AB BC AC. Dan geldt dat BCD 1 2 DBC. Bewijs. Laat H het midden van zijde AC zijn. Aangezien AB BC AC, volgt dat de middellijn op AC minstens zo lang is als die op AB, zie ook Figuur 3.5. Er volgt nu dat BG = 2 BH 2 CD = CG. Hiermee volgt dat BCD CBG. 3 3 Het feit dat BC AB impliceert nu dat CBG 1 DBC (waar gelijkheid geldt 2 wanneer BC = AB ). We kunnen dus concluderen dat BCD 1 DBC. 2 Figuur 3.5.: Bijlage Propositie 3.5, waar BCD 1 DBC geldt. 2 17

18 Deze propositie zal terugkomen in het volge lemma, betreffe de driehoeken in gebied III. Lemma 3.6. (Gebied III)[1] Veronderstel dat C in gebied III ligt. Dan volgt dat ( ) log N ( ABC) 3 π 6 ABC log ( 3 2 Bewijs. Aangezien C in gebied III ligt geldt dat AC AD CD. De driehoek ABC valt uiteen in ACD en BCD. Analoog aan het bewijs van Lemma 3.3 volgt dat BCD uiteenvalt in de klassen voortgebracht door ABC, BCD, CDE en ACD. Dan rest ons de vraag in hoeveel klassen ACD uiteenvalt. Merk op dat BAC 90. Aangezien CD AD AC, geldt dat DAC = BAC de grootste hoek in ADC is. Evenzo volgt dat ADC de kleinste hoek in ACD is. Met behulp van Propositie 3.5 verkrijgen we BCD 1 DBC. Er 2 volgt dat BDC ABC. Hiermee kunnen we concluderen dat 2 ADC 3 ABC, zie ook Figuur ) + 7. Figuur 3.6.: Bijlage Lemma 3.6, waar ADC minstens anderhalf maal ABC is. Er geldt dat ACD met CD als langste zijde in gebied I, II of III ligt, aangezien DAC 90 de grootste hoek in ACD is. Stel nu dat ACD in gebied I of II ligt, dan geldt het lemma met behulp van Lemma 3.3 en Lemma 3.4. Stel nu dat ACD in gebied III ligt. We kunnen nu op dezelfde manier als hierboven concluderen dat ACD uiteenvalt in 4 verschille gelijkvormigheidsklassen, waaronder een nieuwe driehoek A 1 D 1 C 1 met A 1 D 1 C 1 3 ADC 3 3 ABC, waar A1 D 1 C 1 de kleinste hoek in A 1 C 1 D 1 is. Dit proces kunnen we herhalen. Vind nu de kleinste k N zodat ( ) 3 k 2 ABC π. 6 Voor deze k geldt dat de driehoek A k D k C k in gebied I of gebied II ligt, aangezien de grooste hoek ten hoogste 90 graden blijft. Dit wil zeggen dat k log ( ) π 6 ABC log ( ). 3 2 π log( 6 ABC ) De keuze k := voldoet. Er geldt nu dat de bisectiemethode in het uiterste log( 3 2) geval 3 k verschille gelijkvormigheidsklassen heeft gevormd. De laatste driehoek 18

19 A k C k D k zal, met behulp van Lemma 3.3 en Lemma 3.4, in maximaal 7 klassen uiteenvallen. Dit levert het gewenste resultaat. Het kome lemma, betreffe gebied VI, is eveneens geïnspireerd door [1]. Hierin wordt echter aangetoond dat ACD in gebied I ligt en wordt verder geen expliciete bovengrens voor N ( ABC) gegeven. Lemma 3.7. Veronderstel dat het punt C in gebied VI ligt. Dan geldt N ( ABC) 4. Bewijs. Aangezien C in gebied VI ligt, geldt dat CD AD AC en dat CE CD. Allereerst delen we de zijde AB doormidden. Dit levert de driehoeken ACD en BCD, zie ook Figuur 3.7. ABC ACD BCD CDE Figuur 3.7.: Bisectie van ABC in Lemma 3.7 en Lemma 3.8. Aangezien er nu geldt dat BC AC AD = BD CD volgt dat we vervolgens zijde BC doormidden delen. Dit levert BDE ABC en CDE. Merk nu op dat aangezien AC AD CD, er volgt dat AC de langste zijde in ACD is. Er geldt nu dat CE = 1 BC 1 AC = DE. Samen 2 2 met het feit dat CD CE volgt dat CD de langste zijde in CDE is. Het feit dat AC CD impliceert dat we nu bisectie op ACD zullen toepassen. Dit levert CDF CDE en ADF ABC. Nu rest ons nog uit te zoeken wat er met CDF CDE gebeurt onder bisectie. Zoals hierboven aangetoond is CD de langste zijde in beide driehoeken. Hieruit volgt dat bisectie CEG BCD en DEG CF G ACD geeft. We kunnen dus conluderen dat de bisectiemethode op ABC hoogstens vier gelijkvormigheidsklassen oplevert, namelijk die voortgebracht door ABC, ACD, BCD en CDE. Het kome lemma is weer geïnspireerd door [1]. Het onderstaande bewijs is een flinke uitbreiding van het bewijs in dat artikel. 19

20 Lemma 3.8. (Gebied IV en V) [1] Veronderstel dat het punt C in gebied IV of V ligt. Dan volgt dat N ( ABC) <. Bewijs. Aangezien C in gebied IV of V ligt geldt er dat AC AD en CD AD of respectievelijk dat AD AC en CD CE. Bisectie op ABC levert zoals gewoonlijk ACD en BCD. Stel nu dat CD CE. Dan volgt analoog aan het bewijs van Lemma 3.3 dat BCD uiteenvalt in de klassen voorgebracht door ABC, BCD en ACD. In dit geval moeten we ACD nog nader bestuderen. Stel nu dat CE CD. Evenals hierboven zal BCD uiteenvallen in CDE en BDE ABC. Echter geldt nu dat de bisectie van CDE niet langs de zijde CD zal verlopen, maar langs de zijde CE. In dit geval zullen we dus zowel ACD als CDE nader moeten bestuderen. We claimen dat in alle gevallen de grootste hoek van de driehoeken hoogstens gelijk aan ACB ABC is. In gebied IV, in het geval dat AD AC en AD CD, volgt er dat ACD de grootste hoek in ACD is. Er geldt dat CD AD = BD. Dit impliceert dat BCD CBD. Hieruit volgt dat ACD = ACB BCD ACB ABC, zie ook Figuur 3.7. Voor CDE maken we nu een gevalsonderscheiding. Stel dat CD CE geldt, dan volgt dat CDE uiteenvalt in CEG BCD en DEG ACD, zie weer Figuur 3.7. Stel nu dat CD CE. Analoog aan het bewijs van Lemma 3.7 volgt dat CE DE. De zijde CE is dus de langste in CDE. Er geldt nu dat CDE = ACD = ACB BCD ACB ABC, waar de eerste gelijkheid geldt aangezien CED = 180 BED = 180 ACB = BAC + ABC. De laatste ongelijkheid geldt wegens het feit dat CD AD = BD. In alle gevallen is de grootste hoek van de nog te onderzoeken driehoek kleiner of gelijk aan ACB ABC. In gebied V, in het geval dat AD AC en CD CE, volgt dat ACD uiteenvalt in ADF ABC en CDF CDE aangezien AC de langste zijde is in ACD en DE AC. We zullen enkel CDE verder bestuderen. In deze driehoek geldt nu dat CDE de grootste hoek vormt. Er volgt analoog aan hierboven dat CDE = ACD ACB ABC. Er geldt nu dus dat alle driehoeken welke we nog verder moeten bestuderen een grootste hoek kleiner of gelijk aan ACB ABC hebben. Dit zijn de driehoeken ACD in gebied IV, CDE in gebied IV als CD CE en CDE in gebied V. Vervolgens 20

21 claimen we dat ieder van deze driehoeken een kleinste hoek van minstens ABC heeft. In gebied IV geldt dat we in ACD hebben dat CAD = BAC ABC en dat ADC ABC, zie ook Figuur 3.7. In CDE in gebied IV geldt dat DCE ABC aangezien CD AD = BD. Ook geldt dat CED = BAC+ ABC ABC. In gebied V geldt in CDE dat DCE ABC aangezien CD BD. Tevens geldt dat CED = BAC+ ABC ABC. Hieruit volgt dat in alle nog te bisecteren driehoeken de kleinste hoek minstens ABC is. Mocht een van deze driehoeken nu in gebied I, II, III of VI beland zijn, volgt het lemma met behulp van Lemma 3.3, Lemma 3.4, Lemma 3.6 of Lemma 3.7. Zo niet, dan bevinden deze zich nog in gebied IV of V. Analoog aan de behandeling van ABC hierboven, volgt dat deze driehoeken uiteenvallen in nieuwe driehoeken. De verder te behandelen driehoeken, van de vorm A C D of C D E, zullen nu een grootste hoek kleiner dan of gelijk aan BAC 2 ABC hebben en een kleinste hoek van minstens ABC. Dit proces kunnen we k stappen herhalen. We zoeken nu de kleinste k zodat ACB k ABC 90. De keuze k := ACB 90 ABC voldoet. Aangezien nu geldt dat alle driehoeken zich in gebied I, II of III bevinden, volgt dat ABC in eindig veel gelijkvormigheidsklassen uiteenvalt, met behulp van Lemma 3.3, Lemma 3.4 en Lemma 3.6. Met bovenstaande lemma s op zak zijn we nu in staat de centrale stelling van dit hoofdstuk te bewijzen. Stelling 3.9. De bisectiemethode toegepast op een willekeurige driehoek ABC levert eindig veel gelijkvormigheidsklassen. Bewijs. Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat AC BC AB en dat AB = 1. Er volgt nu dat hoekpunt C in een van de gebieden I-VI uit Figuur 3.2 ligt. Lemma s 3.3, 3.4, 3.6, 3.7 en 3.8 voltooien het bewijs. In de volge paragraaf zien we een toepassing van de bisectiemethode. bovenstaande stelling ook nuttig blijken te zijn. Hierin zal 21

22 3.2. Toepassing: de eindige elementen methode In deze paragraaf zullen we de bekste toepassing van de bisectiemethode behandelen, de eindige elementen methode. De eindige elementen methode is een numerieke methode om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen. Een voorbeeld van zo n vergelijking is de Poissonvergelijking u = f op Ω u = 0 op Ω, waarbij Ω R 2. Het domein Ω wordt nu in driehoeken onderverdeeld, getrianguleerd. Hierbij moet uiteraard aan de eigenschappen van een triangulatie, zie Definitie 2.10, voldaan worden. Vervolgens wordt een continue stuksgewijs lineaire functie ten opzichte van deze triangulatie bepaald, die in bepaalde zin het beste aan bovenstaande vergelijking voldoet, zie bijvoorbeeld [10]. Deze functie is op elke driehoek uit de triangulatie lineair en continu op het gehele domein. Vervolgens kan men de triangulatie verfijnen, bijvoorbeeld met behulp van de langstezijde bisectiemethode. Door het domein steeds verder te verfijnen, zou men kunnen verwachten dat de gevonden benadering van de oplossing van de vergelijking naar de exacte oplossing convergeert. Een voldoe voorwaarde voor convergentie is dat 0 < K 1 l 2 geldt voor alle driehoeken uit de triangulatie en een zekere constante K 1, waarbij de oppervlakte van de bijbehore driehoek is en l de maximale zijdelengte. Zlámal en Zení sek bewezen dit onafhankelijk van elkaar [7] [8]. In het artikel van Adler werd ook naar bovenstaand quotiënt gekeken [3]. Stelling 3.9 zegt nu dat een triangulatie eindig veel verschille gelijkvormigheidsklassen bevat wanneer deze met behulp van de bisectiemethode verfijnd is. Deze eindigheid impliceert nu dat aan bovenstaande voorwaarde voldaan wordt. Hieruit volgt dat de eindige elementen methode naar de exacte oplossing convergeert, wanneer we de begintriangulatie met de bisectiemethode verfijnen. Voorbeeld Laat de functie f gegeven zijn door f : [0, 1] 2 R (x, y) sin(x) 2 cos(y) cos(x) 3 sin(y). We zoeken nu naar een oplossing u van bovenstaande Poissonvergelijking. Om deze met behulp van de eindige elementen methode te vinden hebben we een begintriangulatie van het eenheidsvierkant nodig. Zie Figuur 3.8 voor de gekozen triangulatie. De eindige elementen methode geeft nu een continue stuksgewijs lineaire functie u terug, zie weer Figuur 3.8. Wanneer we de triangulatie middels de bisectiemethode 50 maal verfijnen kunnen we weer een benadering van de exacte oplossing vinden. Merk op dat aangezien de triangulatie nu fijner is, de gevonden functie u een steeds betere benadering van de exacte oplossing wordt. Met 5000 stappen van de bisectiemethode is u haast een gladde functie zoals in het laatste plaatje zichtbaar is. 22

23 Figuur 3.8.: De benadering u op een begintriangulatie en verfijningen hiervan. Een variant op de langste-zijde bisectiemethode maakt gebruik van gewichtsfuncties, die elke zijde in een triangulatie van een gewicht voorziet [11]. De bisectie wordt hierbij toegepast op een zijde met het grootste gewicht. Het grote voordeel hiervan is dat het domein niet uniform hoeft te worden verfijnd. 23

24 4. Van driehoeken naar tetraëders De langste-zijde bisectiemethode kan uitgebreid worden naar drie en zelfs hogere dimensies. In dit hoofdstuk zullen we deze generalisatie tegenkomen. De vraag die rijst is of de stelling uit het vorige hoofdstuk ook in drie dimensies geldig is. Dit is vooralsnog een van de open problemen binnen de wiskunde. Het zou handig zijn wanneer we het bewijs van deze stelling naar drie dimensies kunnen generaliseren. Dit is echter niet mogelijk, aangezien deze veel eigenschappen gebruikt die in twee dimensies geldig zijn maar in hogere dimnesies simpelweg niet meer waar zijn. Daarom introduceren we in dit hoofdstuk een nieuwe equivalentierelatie die kijkt naar normaalvectoren op simplices. Het blijkt dat wanneer een simplex onder de bisectiemethode uiteenvalt in eindig veel klassen van deze nieuwe relatie, het aantal gelijkvormigheidsklassen ook eindig is. Het loont dus om een bewijs van het antecedent te vinden Equivalentieklassen van normaalvectoren Om deze equivalentierelatie te kunnen definiëren, zullen we eerst het begrip normaalvector introduceren. Definitie 4.1. Voor een vector x R n \ {0} heet y R n \ {0} een normaalvector op x wanneer x, y := n i=1 x iy i = 0. Evenzo heet y een normaalvector op E R n wanneer x, y = 0 voor alle x E. Voorbeeld 4.2. Zij ABC een driehoek. Dan kunnen we naar de normaalvectoren op de zijden van ABC kijken. Zie Figuur 4.1 voor een voorbeeld. Figuur 4.1.: De uitwige normaalvectoren op de zijden van een driehoek. 24

25 Elke zijde van ABC in bovenstaand voorbeeld heeft twee mogelijke normaalvectoren: een inwige en een uitwige. De uitwige normaalvectoren zijn in Figuur 4.1 getek. Propositie 4.3. Gegeven v 1, v 2, v 3 R 2 paarsgewijs lineair onafhankelijk. Beschouw alle driehoeken die deze drie vectoren als normaalvectoren op zijn zijden heeft. Dan geldt dat al deze driehoeken gelijkvormig aan elkaar zijn. Bewijs. Laat v i := {x x, v 1 = 0}, de lijn loodrecht op v i, voor i = 1, 2, 3. Laat ṽ i := span(v i ) voor i = 1, 2, 3. Zonder verlies van algemeenheid mogen we aannemen dat v 1 = span(e 1 ). Aangezien v 1 en v 2 lineair onafhankelijk zijn, volgt dat ṽ 1 en ṽ 2 elkaar ergens snijden. Zonder verlies van algemeenheid mogen we nu aannemen dat dit in de oorsprong is, zie ook Figuur 4.2. Figuur 4.2.: Drie normaalvectoren van een driehoek Er geldt dat zowel v 1 en v 3 als v 2 en v 3 lineair onafhankelijk zijn. Daarom zal ṽ 3 zowel ṽ 1 als ṽ 2 ergens snijden. Mocht hij beide in de oorsprong snijden, is er duidelijk geen sprake van een driehoek en geldt de claim. Stel nu dat hij beide niet in de oorsprong snijdt. Figuur 4.2 toont verschille mogelijkheden voor ṽ 3. Dit figuur laat ook duidelijk zien dat er één gelijkvormigheidsklasse van driehoeken mogelijk is, aangezien OBC OB C OD E ODE. We kunnen dus concluderen dat alle driehoeken met v 1, v 2 en v 3 als normaalvectoren op hun zijden tot dezelfde gelijkvormigheidsklasse behoren. Dit stelt ons in staat de volge equivalentierelatie te definiëren, die zwakker is dan. Definitie 4.4. We definiëren een equivalentierelatie norm op de verzameling van driehoeken door norm wanneer de lijnen opgespannen door de normaalvectoren op overeenkomen met deze van. De equivalentie-axioma s gelden trivialerwijs voor norm. inderdaad zwakker dan. Deze equivalentierelatie is 25

26 Gevolg 4.5. Als norm dan geldt in het bijzonder ook dat. Bewijs. Dit is een directe implicatie van Propositie 4.3. We zullen nu een aantal voorbeelden bestuderen waarin gekeken wordt naar het aantal equivalentieklassen onder norm die ontstaan bij het toepassen van de langste-zijde bisectiemethode op een begindriehoek. Voorbeeld 4.6. Bij het toepassen van de langste-zijde bisectiemethode valt de rechthoekige, gelijkbenige driehoek onder uiteen in één enkele gelijkvormigheidsklasse, zie ook Voorbeeld Onder norm valt hij echter uiteen in vier equivalentieklassen. Zij ABC namelijk een gelijkbenige, rechthoekige driehoek, zie ook Figuur 4.3. Bisectie van ABC op zijde BC levert ACD en ABD, welke beide andere klassen voortbrengen dan deze voorgebracht door ABC. Vervolgens levert bisectie op ABD de driehoeken ADE en BDE. Laatstgenoemde driehoek heeft duidelijk dezelfde normaalvectorrichtingen als ABC, oftewel BDE norm ABC. Bisectie op de zijde AC van ACD levert CDF norm ABC en ADF norm ADE. Nu rest ons nog uit te zoeken wat er met ADE gebeurt onder bisectie. Dit levert AEG norm ABD en DEG norm ACD. De laatste equivalentie volgt uit het feit dat EG CD, DE AC en DG AD. We kunnen nu dus concluderen dat ABC uiteenvalt in vier equivalentieklassen onder de bisectiemethode, deze voortgebracht door ABC, ABD, ACD en ADE. ABC ACD ABD ADE Figuur 4.3.: De driehoek ABC valt uiteen in vier norm -equivalentieklassen. Voorbeeld 4.7. Zij nu ABC een gelijkbenige driehoek waarbij zijde AB de langste zijde is en CD 1 BC, zie ook Figuur 4.4. Bisectie levert ACD en BCD. 2 Onder de equivalentierelatie zouden deze gelijkvormig zijn, onder norm zijn deze echter niet equivalent. Bisectie op ACD levert vervolgens ADE norm ABC en CDE. Laatstgenoemde is niet equivalent aan een eerder tegengekomen driehoek. Bisectie op BCD levert BDF norm ABC en CDF norm CDE. Er rest 26

27 ons nog uit te zoeken wat er met CDE gebeurt onder bisectie. Deze valt uiteen in CEG norm ACD en DEG norm BCD. We kunnen dus concluderen dat ook deze gelijkbenige driehoek uiteenvalt in 4 equivalentieklassen, deze voortgebracht door ABC, ACD, BCD en CDE. ABC ACD BCD CDE Figuur 4.4.: Ook deze driehoek ABC valt uiteen in vier norm -equivalentieklassen. Merk op dat in bovenstaande voorbeelden de driehoeken die equivalent zijn onder norm inderdaad tevens gelijkvormig aan elkander zijn. Stelling 4.8. Als de bisectiemethode op ABC eindig veel equivalentieklassen levert onder norm, dan levert de bisectiemethode op ABC in het bijzonder eindig veel gelijkvormigheidsklassen (i.e. equivalentieklassen onder ). Bewijs. Dit volgt direct uit Gevolg 4.5. We kunnen nu ook een zwakkere variant van Stelling 3.9 formuleren. Stelling 4.9. De bisectiemethode toegepast op een willekeurige driehoek ABC levert eindig veel equivalentieklassen onder norm. Als we Stelling 3.9 op een andere manier willen bewijzen is het dus voldoe om aan te tonen dat er eindig veel norm -equivalentieklassen ontstaan onder de bisectiemethode. In R 2 geldt bovenstaand resultaat, zie [1]. Hierin wordt echter gebruik gemaakt van Stelling Bepalen van normaalvectoren In deze sectie zullen we zien hoe normaalvectoren op een simplex in twee of meer dimensies eenvoudig bepaald kunnen worden. Ook zien we wat er met de normaalvectoren op een simplex gebeurt wanneer we hier bisectie op toepassen. Zij p 1 p 2 p 3 een driehoek, waarbij p i R 2 voor alle i {1, 2, 3}. Translatie van p 1 naar 0 levert een gelijkvormige driehoek 0 p 2 p 3, waar p 2 := p 2 p 1 en p 3 := p 3 p 1. Oplossen van het stelsel ( ) ( ) Q q1 ) 1 0 P = ( p2 p 3 = = I 0 1 q 2 27

28 levert twee vectoren en q 1 is een normaalvector op p 3 en q 2 is een normaalvector op p 2. Aangezien p 2, q 1 = 1 > 0 volgt dat deze twee vectoren een scherpe hoek met elkaar maken. Beide normaalvectoren wijzen dus de driehoek in, zie ook Figuur 4.5. Er rest ons nu nog een normaalvector op de derde zijde van 0 p 2 p 3, de vector p 2 p 3, te vinden. Er geldt dat p 2 p 3, (q 1 + q 2 ) = p 2, q 1 + p 3, q 1 + p 3, q 2 p 2, q 2 = = 0. Hieruit volgt dat (q 1 + q 2 ) een normaalvector aan p 2 p 3 is, welke ook de driehoek in wijst. Voor tetraëders of hoger-dimensionale simplices geldt exact dezelfde constructie. Zij p 1 p 2 p 3 p 4 een tetraëder, zie Definitie 4.12 voor de definitie van een tetraëder. Oplossen van q 1 Q P = q 2 ( p ) p 3 p 4 = = I q levert drie normaalvectoren van 0 p 2 p 3 p 4, waar p i := p i p 1. De vierde normaalvector is analoog aan hierboven gelijk aan (q 1 + q 2 + q 3 ). Figuur 4.5.: Constructie normaalvectoren op een driehoek 0 p 2 p 3. Definitie Zij ABC een driehoek. Een lijnstuk vanuit punt A op (het verlengde van) zijde BC heet een hoogtelijn wanneer dit lijnstuk loodrecht op (het verlengde van) de zijde BC staat. De hoogte van de driehoek ABC ten opzichte van de basis BC is nu de lengte van de hoogtelijn vanuit A op BC. Voorbeeld Figuur 4.6 laat enkele driehoeken met bijbehore hoogtes zien. Figuur 4.6.: Voorbeelden van hoogtelijnen. 28

29 Laat nu p 1 p 2 p 3 een driehoek zijn met normaalvectoren q i op de zijde tegenover p i voor i {1, 2, 3}. Laat h i de hoogte van p 1 p 2 p 3 ten opzichte van de zijde tegenover p i. Dan geldt er dat h i = 1. We kunnen p q i 1p 2 p 3 transleren naar een gelijkvormige driehoek 0 p 2 p 3, waarbij p 2 op de x-as ligt, zie ook Figuur 4.5. De normaalvector q 3 is nu duidelijk van de vorm (0 y) voor zekere y R. Er volgt nu dat q 3, p 3 = y y 3 = 1 moet gelden, waar p 3 = (x 3 y 3 ). Hieruit volgt dat h 3 = y 3 = 1 = 1 y q 3. Bovenstaande redenatie kunnen we voor elk van de hoogtes herhalen, dus h i = 1 q i voor alle i {1, 2, 3}. We zullen nu bekijken wat er met de normaalvectoren van een driehoek gebeurt onder bisectie. Zij ABC een driehoek met AB BC AC. Bisectie van ABC levert ACD en BCD. De richtingen van de normaalvectoren op de zijden AC en BC veranderen niet. Ook is het duidelijk dat de normaalvectoren op AD en BD dezelfde richting hebben als deze op AB. De lengtes van deze normaalvectoren kunnen echter wel veranderd zijn. Ook zullen we de normaalvector op CD moeten construeren. Figuur 4.7.: Verandering van de normaalvectoren onder bisectie van ABC. Er geldt in ACD dat h C = q AD 1 waar q AD de normaalvector op zijde AD is. Aangezien deze hoogte gelijk is aan de hoogte h C in ABC, volgt dat de normaalvector op AD gelijk is aan de normaalvector op AB. Evenzo is de normaalvector op BD gelijk aan deze op AB. De oppervlakte van ACD en BCD zijn gelijk aan de helft van de oppervlakte van ABC. Aangezien de oppervlakte van ACD gelijk is aan 1 AC h 2 D, volgt dat h D gehalveerd is. Dit impliceert, wederom met de gelijkheid h D = q AC 1, dat de lengte van de normaalvector op AC in ACD tweemaal de lengte van de normaalvector op AC in ABC is. Hetzelfde geldt voor de normaalvector op BC in BCD, zie ook Figuur 4.7. Nu rest ons nog de normaalvector op de nieuwe zijde CD. Analoog aan de constructie van de derde normaalvector in een driehoek hierboven, geldt dat we de negatieve som van de andere twee normaalvectoren in de driehoeken ACD en BCD kunnen nemen om de normaalvector op CD in deze driehoeken te vinden. We kunnen wederom dezelfde uitspraken doen in het drie- of hoger-dimensionale geval. 29

30 4.3. De hoger-dimensionale driehoek: de tetraëder In deze paragraaf wordt de langste-zijde bisectiemethode op tetraëders gedefinieerd. We zullen zien dat dit minder triviaal is dan in het tweedimensionale geval. Op de verzameling tetraëders leggen we eveneens twee equivalentierelaties. In enkele voorbeelden zullen we de bisectiemethode uitgedeeld naar beide relaties op een tetraëder bestuderen. Definitie Laat A, B, C, D R 3. Het convexe omhulsel van deze vier punten heet de tetraëder ABCD. Voorbeeld Figuur 4.8 toont een voorbeeld van een tetraëder, de regelmatige tetraëder die zes gelijke ribben heeft en vier gelijkzijdige driehoeken als zijvlakken. Figuur 4.8.: De regelmatige tetraëder. Analoog aan Definitie 2.3 kunnen we een equivalentierelatie op de verzameling van tetraëders definiëren. Het is echter niet direct duidelijk of twee tetraëders gelijkvormig zijn wanneer hun zijdelengtes een factor verschillen, wat in twee dimensies het geval is. Voorbeeld Laat 1 de tetraëder zijn met hoekpunten A = (0, 0, 0), B = (1, 0, 0), C = ( ) ( ) 1 3 2, 2, en D = 2, 6,, 3 zie ook Figuur 4.9. Merk op dat 1 als grondvlak een gelijkzijdige driehoek heeft, waarvan de zijdenlengten gelijk aan 1 zijn. De overige ribben hebben lengte 2. Laat 2 de tetraëder zijn met hoekpunten A = (0, 0, 0), B = ( ) ( ) ( ) , 0, 0, C = 2, 2, 0 en D = 2, 6, 1 3, zie wederom Figuur 4.9. Ook deze tetraëder heeft een gelijkzijdig grondvlak, nu met zijdelengten gelijk aan 2. De overige ribben hebben lengte 1. De zijdelengten van 1 stemmen dus overeen met deze van 2. Het is echter gemakkelijk in te zien dat deze twee niet gelijkvormig zijn. 30