Een van e plenaire lezingen op NWD 007 ging over e Black-Scholeformule; een formule waarmee e waare van optie op aanelen bepaal kan woren. De lezing wer oor velen al bijzoner ingewikkel ervaren, waarchijnlijk omat e gemiele NWD-bezoeker niet in optie noch in aanelen hanelt... Maar Wout e Goee herinnere zich at hij van iezelfe formule lemateriaal ha gemaakt incluief imulatie op e TI-8. Black-Schole op e TI-8 Vooraf Een jaar of wat geleen tuure ik team tuenten naar cholen om in vijfe en zee klaen VWO (WB) iet te vertellen over e bètatuie. Zo n team gebruikte an één of meer leuren om e wikunetuie wat meer bekenhei te geven en in het kaer aarvan ha ik wat preentatie gemaakt over recent wikunig onerzoek, want e meete leerlingen kennen alleen e jaren- of zelf eeuwenoue choolwikune en vragen zich verbijter af wat er in wikunig onerzoek nu eigenlijk precie gebeurt. Omat e wikuneleraar alle weet, i met betrekking tot wikune alle immer al lang beken? Leerlingen zijn trouwen niet e enigen ie geen beel hebben van een wikunig onerzoeker: toen een bekene wikunige jaren geleen op televiie al chaotheoreticu optra, moet hij van e regieur van het programma peré een witte ja ragen; immer al wetenchapper moet je er toch op zijn mint uitzien al een oort profeor Sickbock? En een wikunig onerzoeker i toch ook een wetenchapper? De arme man perte zijn koloale lijf in een geleene witte ja ie hem veel te klein wa en bevetige zooene voor e kijker met zijn uiterlijk het tereotiepe beel van e wat vreeme figuur uit e wetenchap. Toen ik op e NWD vrijagmiag Svetlana Borovkova hoore preken over optie en e Black-Scholeformule, herinnere ik mij at ik e han-out van zo n preentatie voor leerlingen over ie formule, amen met een programmaatje voor e GR, nog ergen op e computer moet hebben taan. In e begintij van e GR haen e leerlingen nog geen eigen rekenmachine, maar e promotieteam namen een koffer met circa vijftien exemplaren van e TI-8 mee en e leerlingen konen aar an, eventueel in tweetallen, mee werken. Ineraa hoefe ik alleen maar op mijn computer te zoeken en e gevonen Latexfile om te zetten in een Worocument, e formule in MathType te tikken en e plaatje uit het bij e tex-file behorene vi-ocument te kopiëren (ik ben niet zo hanig in het tekenen in Wor, u it ging aanzienlijk neller) om één en aner naar e Nieuwe Wikrant te turen. Het programma at ik voor het practicum met e GR (TI- 8) ha gemaakt, ha ik, zoal gezeg, ook nog. Ik heb het met hulp van een tuent-aitent ie werkt voor het webplatform van e RuG op e ite http://www.rug.nl/ wikune/informatievoor/ocenten/inex gezet, waar het egewent oor e liefhebber afgehaal kan woren. Jan Feitma i e naam van e aitent. Hij i al aarig ver met zijn wikunetuie gevorer en omat hij jaren bij mij in e kla heeft gezeten en ook nog een college bij mij heeft moeten lopen, heeft hij met veel plezier zijn oue wikuneocent volgen het expertmoel le gegeven en vertel hoe een en aner in zijn werk ging. Van enige zelfwerkzaamhei wa geen prake; ik mocht alleen mijn peroneelnummer en mijn wachtwoor intypen, om toegang te krijgen tot het bewerken van ie webite. De ret wer mij volkomen uit hanen genomen, ik hoefe alleen van tij tot tij intemmene geluien voort te brengen. Waar het om ging wa het volgene: De leerlingen konen een tijje een optiehanelpelletje tegen e Black- Scholeformule pelen, waarbij e aanelenkoer en e optiehanel woren geimuleer (zie figuur ): het betreft plaatje van het cherm van een TI-8 (gewoon van link naar recht te lezen; u e chermen op één rij komen, na een ruk op e ENTER-toet, achtereenvolgen tevoorchijn!) Natuurlijk ha ik het programma op e GR beveilig om te voorkomen at e rekenmachine volkomen in e war terugkwamen en tuk voor tuk gereet en weer gelaen moeten woren. Het informaticafreak - gehalte van e geïntereeere leerlingen wa namelijk nogal hoog en zij haen ientengevolge gewoonlijk razennel oor hoe je zo n programma moet eiten! Het praatje over e Black-Scholeformule wa een ucce. Dat je een formule, waarmee recentelijk e Nobelprij voor e Economie i gewonnen, vrijwel volleig kunt nappen met wat je in e bovenbouw van het VWO op at moment aan wikunige kenni in hui hebt en at je zelf, al je wat verer bent, met enige moeite zo n formule zelf zou kunnen afleien, i een echte eye-opener. Hier e output van het GR-programma: Nieuwe Wikrant 7-/ecember 007 5
Schole voor hun baanbreken werk op het gebie van e waarering van optie. Al ere naam hoort hier nog ie van Black bij, maar hij overlee twee jaar eerer. Hoogtepunt van hun theorie i e befaame Black-Schole(- Merton)formule voor e waare van een Europee call optie op een aaneel. Deze formule i at ln( K) + ( r + σ ) ( T t) ft (, ) = Φ --------------------------------------------------------------------- σ T t Bij OPTIEPRIJS? wacht e GR tot je een getal hebt ingevoer, hier 5. Daarna vervolgt het programma met IK DENK: 7.0 en vervolgen zie je na elke keer 'ENTER' e volgene chermpje verchijnen. Ke rt ( t) ln( K) + ( r σ ) ( T t) Φ --------------------------------------------------------------------- σ T t waarbij Φ e verelingfunctie van e tanaarnormale vereling i: Φ( z) z ---------- e x = x (e functie normalcf op e TI) π Weliwaar een inrukwekkene formule, maar in het volgene ga je nappen wat e ymbolen betekenen, een inruk krijgen hoe zo n formule tot tan komt en er ook nog wat mee werken. Daarbij komen geavanceere wikunige onerwerpen ter prake. fig. Black-Schole op e TI-8 Je ziet in it voorbeel at e optiehanel na een aantal keren pelen niet wintgeven bleek te zijn, maar at e Black-Scholeformule het wel beter ee an e natte vinger! De leerlingen kregen na e Powerpointpreentatie over het tukje wikunig onerzoek een han-out van at promopraatje (zoal we ie preentatie haen genoem), zoat e geïntereeere liefhebber een en aner nog een na kon lezen. Deze han-out van het promopraatje over e Black-Scholeformule i een tekt op toentertij leerlingniveau van een artikel beoel voor ocenten. Dat artikel van profeor Dehling i verchenen in Speeltuin van e wikune, een boekje at elke ocent zou moeten bezitten. De tekt van e han-out volgt hier: De wikune achter e Nobelprij voor Economie 997 Wat i een optie waar? Oorpronkelijke tekt van Herol Dehling. Inleiing In het najaar van 997 wer e Nobelprij voor Economie uitgereikt aan e Amerikaane hoogleraren Merton en Optie Het eenvouigte voorbeel van een optie i een Europee call optie op een bepaal aaneel, bijvoorbeel een aaneel Koninklijke Olie. Bij eze optie i vatgeleg e zogenaame trikeprij K en een uitoefenatum T. Op it tijtip T mag e houer van e optie an voor een berag K één aaneel Koninklijke Olie van e uitgever van e optie kopen. Sin e introuctie ervan in het jaar 97 heeft e hanel in optie een hoge vlucht genomen. Tegenwoorig wort veel meer in optie an in e onerliggene aanelen gehanel. Optie woren om uiteenlopene reenen gekocht. Een groep koper gebruikt optie om zich in te ekken tegen marktriico. Wie bijvoorbeel over een aantal maanen een zekere hoeveelhei ollar noig heeft, kan call optie op ollar aanchaffen en zo het riico van een koertijging van e ollar afkopen. Een tweee groep koper van optie i peculatief bezig en geïntereeer in het feit at je bij optie met een relatief kleine inzet grote winten kunt maken bijvoorbeel met een call optie al e aanelenkoer behoorlijk tijgt. Hier taat natuurlijk tegenover at je een groot riico loopt at e optie volleig waareloo wort al e aanelenkoer oner e uitoefenprij aalt. Veel terker an bij beleggingen in aanelen loop je u bij beleggingen in optie een for riico om je hele inleg kwijt te raken. Ieere optie geeft e houer een recht maar geen verplichting. Omgekeer legt het aan e uitgever een verplichting op waar geen recht tegenover taat. Het ligt u voor e han at e koper van een optie aarvoor een zeker berag zal moeten betalen. Maar wat zou een reelij- 6 Black-Schole op e TI-8
ke prij zijn? Met precie eze vraag hebben Black, Schole en Merton zich beziggehouen. Waarom zal op e optiemarkt alleen e hier berekene prij gelen en geen anere? Dit heeft te maken met het iee at er op een perfecte markt geen arbitragegelegen- De waare van een Europee call optie valt vrij gemakkelijk te bepalen op e uitoefenag T. Al je e waare van het aaneel op tijtip t noteert met (t), an betaan er op e uitoefenag twee mogelijkheen, namelijk T ( ) K of T ( ) > K. In het eerte geval i op het uitoefentijtip e prij van het aaneel op e beur kleiner an e trikeprij en u zou e houer wel gek zijn om zijn optie uit te oefenen. Daarmee wort in at geval e waare van e optie 0. In het tweee geval i het vertanig om e optie uit te oefenen. De houer van e optie zal u voor het berag K het aaneel kopen. Al hij it aaneel irect weer voor (T) op e beur verkoopt, heeft hij een wint van S T K gemaakt en at i u e waare van e optie op ag T. Samengevat: e waare van een Europee call optie op e uitoefenatum T kun je weergeven met e functie f T ( ) = max(, 0 K) al e koer van het aaneel op tijtip T gelijk i aan voor e waare van een Europee call optie op het uitoefentijtip T. De eentiële vraag van e optietheorie i nu: Wat i e waare van e optie op een willekeurig tijtip t < T? Binair één-perioe moel Zoal vaak bij grote wetenchappelijke ontekkingen, zit ook bij e Black-Schole-Mertontheorie e eentie in een heel eenvouige geachte; je moet er alleen maar op komen! Deze geachte valt ree bij een heel impel moel voor e ontwikkeling van aanelenprijzen in een gegeven perioe uit te leggen. Eert een getallenvoorbeel: 45 fig. Voorbeel van een één-perioe binair moel Bekijk een perioe met lengte, tuen e tijtippen t =0 en t =. Stel at e waare van een aaneel aan het begin van e perioe 45 i en at er lecht twee mogelijke cenario tuen nu en het eine van e perioe kunnen optreen, namelijk at e prij aalt naar 40 of at e prij tijgt naar 60. Kijk nu naar een Europee call optie met trikeprij K = 50. Je hebt eerer gezien at e waare van eze optie aan het eine van e perioe, u op het tijtip t =, gelijk aan 0 of 0 i, al naar gelang e aanelenkoer naar 40 aalt of naar 60 tijgt. Maar wat i e waare van e optie nu, at wil zeggen op tijtip t = 0? Stel je in e plaat van e uitgever van e optie. Je bent 60 0 0 40 oor e verkoop van e optie een verplichting aangegaan en moet om aan ie verplichting te kunnen voloen aan het eine van e perioe het berag 0 of 0 ter bechikking hebben, afhankelijk van e ontwikkeling van e aanelenkoer. De eentiële geachte achter e theorie van Black, Schole en Merton i nu e volgene: aan het begin van e perioe tel je een aanelenportefeuille amen waarvan e waare aan het eine van e perioe gelijk moet zijn aan e waare van e optie, onafhankelijk van e koerontwikkeling van het aaneel. Dan heb je aan het eine van e perioe precie genoeg om e houer van e optie tevreen te tellen. Men zegt at eze portefeuille e optie upliceert en noemt het geheel een heging trategy. Door aanchaf van zo n uplicerene portefeuille ek je je in tegen het riico van e aangegane verplichting. Aan e aanchaf ervan zijn voor e uitgever koten verbonen en at i precie e waare van e optie. Stel at je alleen in aanelen of in gel kunt beleggen. Neem om e zaak nog eenvouiger te maken aan at e rente op gelleningen en op paarrekeningen 0 i het geval van poitieve rente i niet echt aner, maar zorgt wel voor latiger formule. Voor een beleggingtrategie moet je u kiezen voor het aantal aanelen (x) at je wilt houen en voor e hoeveelhei gel (y) ie je wilt lenen. Dan heb je aan het eine van e perioe in het geval van een alene koer 40x + y en in het anere geval 60x+ y. Voor een uplicatie van e optie moeten eze waaren gelijk zijn aan 0, repectievelijk 0 en at leit tot het volgene telel van twee eertegraa vergelijkingen met twee onbekenen: 60x+ y = 0 40x+ y = 0 De oploing van it telel i x = -- en y = 0. Je beleggingtrategie ziet er u al volgt uit: koop -- aaneel en leen 0. Ongeacht e koerontwikkeling van het aaneel heb je aan het eine van e perioe e waare van e optie: in het geval van een tijgene koer heeft je halve aaneel e waare 0, aarvan zijn 0 noig om e lening af te loen en blijven 0 over om e houer van e optie tevreen te tellen. In het geval van een alene koer, heb je 0 aan aanelen, it hele berag wort gebruikt ter afloing van e lening en vervolgen blijft er u niet over, maar at hoeft ook niet omat e optie nu e waare 0 heeft. De hier bechreven trategie kot in het begin gel: je koopt -- aaneel voor e prij van,50, aartoe leen je 0 bij e bank en je hebt u nog,50 extra noig. Dit berag zul je aan e koper voor e optie vragen en e waare van e optie i u aan het begin,50. Nieuwe Wikrant 7-/ecember 007 7
hei mag betaan, at wil zeggen een gelegenhei om zoner riico gel te verienen aner zou namelijk ieereen at kunnen oen en at zou e mogelijkhei om zeep helpen, immer waar moet it oor ieereen veriene gel an vanaan komen? Afwijkingen van e optieprij van e hier berekene,50 naar boven of beneen zullen een arbitragemogelijkhei openen. Stel namelijk at e prij hoger i an,50 nu i het voorelig om optie uit te geven. Voor,50 koop je e portefeuille ie e waare van e optie perfect reprouceert en an hou je nog gel over at je in eigen zak kunt teken! Omgekeer, al e prij van e optie beneen,50 ligt, wort het voorelig om optie te kopen. Je kunt an namelijk precie het omgekeere van e trategie van e uitgever oen en -- aaneel verkopen en 0 op je bankrekening zetten eze trategie levert je in het begin irect,50 op, meer an je voor e optie betaal hebt en u hou je weer iet over. Hoe tel je u e beginwaare van een optie vat? Kijk naar e einwaaren en naar e heging trategie ie noig i om geen riico te lopen. Binair één-perioe moel: algemene formule Wat in het voorgaane voor een getallenvoorbeel i geaan, kan zoner veel problemen ook algemeen. Neem nog tee e rente op e gelmarkt 0. Deze aanname maakt bij een eerte behaneling e formule eenvouiger. Aan e anere kant i het gemakkelijk om later naar het algemene geval over te gaan oor alle prijzen met e marktrente af te prijzen. Noteer met e huiige prij van het aaneel en met en u e twee mogelijke prijzen aan het ein van e perioe, waarbij < u. Van eze prijzen mag je verer aannemen at < < u, want aner zou er weer een arbitragemogelijkhei betaan. Stel je namelijk bijvoorbeel at en u beie groter zijn an, an i er een riicovrije trategie om gel te verienen: leen gel bij e bank en beleg in aanelen! fig. Algemeen één-perioe binair moel De waare van e optie aan het eine van e perioe zal f en f u zijn, afhankelijk van e ontwikkeling van e prij van het aaneel (zie figuur ). Nu e beleggingportefeuille ie e claim upliceert, ongeacht e waareontwikkeling van het aaneel. Met x aanelen en met y geleen gel krijg je e vergelijkingen: u f u f x + y = f u x + y = f u Dit telel heeft e oploing f u f f x = --------------- u f en y =. u u --------------- u De waare f van e portefeuille op tijtip 0 en u, volgen e eerere reeneringen, e huiige waare van e optie, i an: f f f f x+ y --------------- f = = + f u u u --------------- = u u ------------ = f u + --------------- f u u De formule i met opzet in e vorm op e tweee regel gechreven: e huiige waare van e optie kun je nu herkennen al een gewogen gemiele van e toekomtige waaren. Stel namelijk u q --------------- = en q = ---------------. u u Merk op at 0 q en at q + q =, zoat q = q. Je ziet at e huiige waare van e optie juit het gewogen gemiele i van e toekomtige waaren met e gewichten q en q. Je kunt q en q opvatten al kanen en e laatte formule zegt an at e huiige waare van e optie e verwachte toekomtige waare bij gebruik van eze kanen i. Het zal uielijk zijn at het hier om techniche kanen gaat ie in elk geval niet irect iet te maken hebben met kanverelingen op e aanelenmarkt. Maar eze manier om e huiige waare al verwachtingwaare van toekomtige waaren uit te rukken maakt het nu mogelijk om e rijke techniek van e kanrekening te gaan gebruiken. De gewichten q en q hebben ook een bijzoner verban met e prijzen van het aaneel. Je kunt gemakkelijk narekenen at = q + ( q) u, u at e huiige koer van het aaneel gelijk i aan het met e gewichten q en q gewogen gemiele van e koeren aan het eine van e perioe. Al je eze gewichten weer al kanen opvat, an betekent it at e huiige koer gelijk i aan e verwachtingwaare van e koer aan het eine van eze perioe. Een kanmoel met eze eigenchap heet in e kanrekening ook wel een martingaal. In termen van kanbomen i een martingaal een boom met uanige gewichten at alle takken in balan zijn. Oorpronkelijk weren martingalen betueer al moellen voor eerlijke pelen, at wil zeggen pelen waarbij e verwachte uitkering in ieere rone gelijk i aan e inzet. De aarbij ontwikkele martingaal-theorie heeft inmiel ingang gevonen in 8 Black-Schole op e TI-8
bijna alle eelgebieen van e kanrekening. Je kunt tenlotte nog even kijken wat e algemene formule voor het concrete getallenvoorbeel van e vorige paragraaf oplevert. Om van e tak in figuur een martingaal te maken, moet je e gewichten q en q zo kiezen at 45 = q 60 + ( q)40, u moet q = -- en q = -- 4 4 zijn. De waare van e optie aan het begin van e perioe i e verwachting van e waaren aan het eine, met eze getallen al kanen en u f -- = 0 + -- 0 =, 50, zoal je 4 4 ook irect al gevonen ha. Even reumeren: hoe bepaal je e waare van een optie op tijtip t = 0? Kijk naar e waare van het aaneel op t = 0 en naar e beie mogelijke waaren op tijtip t =. Kie gewichten q en q lang e takken zo, at e beginwaare gelijk i aan het gewogen gemiele van e waaren bij e takken. De waare van e optie vin je oor ezelfe gewichten te gebruiken bij het wegen van e beie waaren van e optie op t =. Het i nu ook gemakkelijk om e bijbehorene heging trategie vat te leggen: e waareveranering Δf van e uplicerene portefeuille in een perioe kan alleen veroorzaakt woren oor een veranering in e aanelenkoer e waare van e belegging in contanten blijft namelijk onveraner. Al je x aanelen in portefeuille hebt en e aanelenkoer veranert met Δ, an veranert e waare van je portefeuille met Δf = x Δx. Hieruit volgt Δf x = ----- Δ De heging proceure ie je zo krijgt wort ook wel een elta-hege genoem. Kijk nog even naar het voorbeel uit e vorige paragraaf. Hier i Δf = 7, 5 en Δ = 5 en u Δf x = ----- = -- Δ Deze berekening krijg je lang e bovente tak, maar e anere tak levert hetzelfe reultaat. 5, ----------- = --. 5 Het binaire één-perioemoel i natuurlijk geen realitich moel, zeker niet al het om een langere perioe gaat. Maar het i heel goe bruikbaar al bouwteen voor binaire bomen en met een voloene fijnmazige boom kom je al ichter bij e werkelijkhei, maar hoe krijg je een continu moel? En e vraag ie ook nog moet woren beantwoor i: hoe chat je toekomtige aanelenkoeren? Algemene binaire boom-moellen Een binaire boom moelleert e aanelenkoer geurene een aantal, zeg n, perioe. Binnen één perioe i het moel gewoon een binaire tak, at wil zeggen at er twee mogelijke ontwikkelingen van e aanelenkoer zijn. 45 / / 5 50 40 fig. 4 Voorbeel van een twee-perioen binair moel Met behulp van e technieken uit e vorige paragraaf kun je ook e waare van een optie in een binaire boom bepalen. Om te beginnen, bereken je e gewichten ie van e boom een martingaal maken (zie figuur 4). Nu kun je e waare van e optie op ieere plaat in e boom recurief berekenen, beginnen bij het uitoefentijtip n. Het einreultaat, e waare van e optie op tijtip t = 0, kun je ook irect in één keer uitrekenen, namelijk al verwachte optiewaare op tijtip n waarbij e verwachtingen met betrekking tot e kanen lang e takken van e boom genomen woren. Concreet betekent it at je ieer pa van t = 0 naar t = n volgt en aaraan al kan het prouct van e gewichten lang it pa toekent. Het met eze kanen gewogen gemiele van e mogelijke optiewaaren op tijtip n i an e beginwaare van e optie. In figuur 4 i eze proceure voor een twee-perioen boom uitgewerkt. Omcirkel vin je e aanelenprijzen van het moel. Vervolgen zijn e martingaal-gewichten bereken. Al voorbeel i een Europee call optie met trikeprij K = 45 genomen, waarvan e waare op tijtip t = gelijk i aan max( 0, S 45). Deze getallen taan boven e cirkel. Vanhieruit bereken je an recurief e optieprijzen in e voorafgaane tijtippen. De heging trategie in it voorbeel kun je weer met e eltaregel vinen. In e eerte perioe i 5 x = ----------------- = -- en u y = f x = 45 -- = 5. 50 45 5 5 -- De trategie betaat u uit het aanchaffen van 5 aaneel en het lenen van 5. De trategie in e tweee perioe hangt af van e koerontwikkeling in e eerte perioe: al e koer naar 50 omhooggegaan i, an wort 5 5 x = ----------------- = en y = 5 50 = 45 en in het anere 60 50 geval, u al e koer in e eerte perioe omlaaggegaan i, wort x = -- en y =. -- Je ziet hier u at e portefeuille aan het eine van ieere perioe aan e koerontwikkeling in e voorafgaane perioe aangepat moet woren. Zoiet heet an ook een ynamiche heging trategie. 5 60 0 45 4 49 0 7 Cox-Ro-Rubintein binomiaal moel Een bijzoner geval van e binaire boom i een binomiale boom waarbij e tappen naar boven en beneen bij ieere tak volgen eenzelfe verhouing gaan. Dit moel, in 979 voorgetel oor Cox, Ro en Rubintein, leent / / /4 /4 Nieuwe Wikrant 7-/ecember 007 9
zich vooral voor e limietovergang al je e boom tee fijner laat woren. fig. 5 Binomiale boom volgen het Cox-Ro-Rubintein moel In het binomiale moel heb je in ieere perioe twee mogelijkheen voor e ontwikkeling van e aanelenprij: eze kan van naar u tijgen of naar alen. De factoren u en zijn voor alle takken hetzelfe en voloen aan < < u, want aner zou er een mogelijkhei voor arbitrage zijn. De boom ie je op eze takken opbouwt recombineert, at wil zeggen at takken weer amenkomen, maar at maakt voor e verere analye weinig uit (zie figuur 5). Om e waare van een optie in het binomiale moel te kunnen berekenen, heb je e gewichten q en - q noig ie van e boom een martingaal maken. Daarvoor moet q u + ( q) = gelen, of ook qu + ( q) =. Dit heeft al oploing: u q = ----------- en q = ----------- u u Merk op at je overal in e boom ezelfe gewichten q en q tegenkomt; it wort natuurlijk oor e bijzonere tructuur van e binomiale boom veroorzaakt. De waare van een optie kan vervolgen recurief bereken woren, beginnen met e waare f T ( ) op het uitoefentijtip T. Door nu gebruik te maken van een aantal reultaten uit e kanrekening, oner meer het benaeren van kanverelingen met een normale vereling, i op eze manier e Black-Scholeformule voor t = 0 en r = 0 vinen. Een continu moel voor e koerontwikkeling van een aaneel in het tijinterval [0, T] krijg je oor it interval in tee kleinere perioe van lengte Δt op te pliten en zo een rij van binomiale bomen met tee ichtere vertakkingen te contrueren. Het continue moel i e limiet van it proce al je Δt naar 0 laat gaan. Al je e perioe tee korter laat woren, zullen ook e groeifactoren u en aangepat moeten woren. Al eze contant zouen zijn, exploeert namelijk het hele prijproce en aar komt geen zinnige limiet uit tevoorchijn. De prijtappen zullen kleiner woren al Δt afneemt. Door nu eze moelparameter litig te kiezen, kun je ervoor zorgen at er niet mi gaat bij e limietovergang. Het blijkt at e keuze = a Δt en u = + b Δt het oet. Let wel even op: e rie parameter a, b en q zijn niet onafhankelijk van elkaar, want q i een functie van u en en u van a en b. Precie zit e zaak al volgt in elkaar: q ----------- -------------------------- a Δt a = = = ----------- u ( a + b) Δt a + b b en u q = -----------. a + b De groothei σ uit e Black-Scholeformule taat voor ab en heet e volatiliteit van e aanelenprij. Deze geeft grofweg weer hoe grillig e aanelenkoer in e tij verloopt. Hoe groter a en b, hoe groter e bewegingen op e aanelenmarkt. Je hebt nu e wel eenvouigte toegang tot e waarering van Europee optie gezien. Ook in e praktijk gebruikt men veelal boommoellen, bijvoorbeel om prijzen voor ingewikkele optie numeriek te bepalen. Kijk nu nog een naar e Black-Scholeformule: f(t, )i e waare van e optie op tijtip t, terwijl e aaneelkoer op at moment i. Je krijgt eze waare al volgt: vermenigvulig e huiige koer met een kan Φ, ie afhangt van en e trikeprij K, e marktrente r, e volatiliteit σ en e reterene looptij T t. De volatiliteit moet je chatten uit het verloop van e koer van het aaneel in het recente verleen. Vervolgen verminer je it getal met e trikeprij K, vermenigvulig met een factor ie afhangt van e marktrente r en e reterene looptij T t en met een kan Φ ie van ezelfe grootheen afhangt al e eerte, maar wat kleiner i. Noten Wout e Goee Faculteit Wikune en Natuurwetenchappen, Univeriteit Groningen [] Prof. Dr. Herol Dehling Ruhr-Univerität Bochum, 44780 Bochum, Deutchlan. [] Dehling, H. (999). De wikune achter e Nobelprij voor Economie 997. In: B. e Smit, J. Top (re.) Speeltuin van e wikune. Diemen: Veen Magazine. Literatuur Black, F. & M. Schole (97). The pricing of Option an Corporate Liabilitie. Journal of Political Economy 8, 67-659. Cox, J.C., S.A. Ro & M. Rubintein (979). Option Pricing: A Simplifie Approach. Journal of Financial Economic 7, 9-6. Hull, J.C. (997). Option, Future an Other Derivative. Prentice Hall International. 0 Black-Schole op e TI-8