WISKUNDE B VWO CONCEPTSYLLABUS CENTRAAL EAMEN 018 (BIJ HET NIEUWE EAMENPROGRAMMA) Versie concept t.b.v. veldraadpleging, februari 013
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) Inhoud Voorwoord 5 1 Inleiding 7 Het centraal eamen en het schooleamen 8.1 Verdeling van de eamenstof 8. Hulpmiddelen 8.3 Vakspecifieke regels correctievoorschrift 9 3 Specificaties van de globale eindtermen voor het CE 10 4 Voorbeeldopgaven 0 5 Algebraïsche vaardigheden 39 5.1 Specifieke en algemene algebraïsche vaardigheden 39 5. Algebraïsche vaardigheden, een overzicht 40 5.3 Voorbeeldvragen algebraïsche vaardigheden wiskunde B vwo 45 Bijlage 1 Eamenprogramma wiskunde B vwo 49 Bijlage Lijst van formules die in het eamen wordt opgenomen 5 Bijlage 3 Eamenwerkwoorden 53 pagina 3 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) Verantwoording: 013 College voor Eamens vwo, havo, vmbo, Utrecht. Alle rechten voorbehouden. Alles uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enige andere manier zonder voorafgaande toestemming van de uitgever. pagina 4 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) Voorwoord In januari 013 heeft de commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs (ctwo) een voorstel ingediend voor het vernieuwde eamenprogramma wiskunde B vwo. In het eamenprogramma zijn de eameneenheden aangewezen waarover het centraal eamen (CE) zich uitstrekt: het CE-deel van het eamenprogramma. Het College voor Eamens (CvE) geeft in een syllabus een toelichting op het CE-deel van het eamenprogramma. Behalve een beschrijving van de eameneisen voor een centraal eamen kan de syllabus verdere informatie over het centraal eamen bevatten, bijvoorbeeld over een of meer van de volgende onderwerpen: specificaties van eamenstof, begrippenlijsten, bekend veronderstelde onderdelen van domeinen of eameneenheden die verplicht zijn op het schooleamen, bekend veronderstelde voorkennis uit de onderbouw, bijzondere vormen van eaminering (zoals computereamens), voorbeeldopgaven, toelichting op de vraagstelling, toegestane hulpmiddelen. Ten aanzien van de syllabus is nog het volgende op te merken. De functie ervan is een leraar in staat te stellen zich een goed beeld te vormen van wat in het centraal eamen wel en niet gevraagd kan worden. Naar zijn aard is een syllabus dus niet een volledig gesloten en afgebakende beschrijving van alles wat op een eamen zou kunnen voorkomen. Het is mogelijk, al zal dat maar in beperkte mate voorkomen, dat op een centraal eamen ook iets aan de orde komt dat niet met zo veel woorden in deze syllabus staat, maar dat naar het algemeen gevoelen in het verlengde daarvan ligt. Een syllabus is zodoende een hulpmiddel voor degenen die anderen of zichzelf op een centraal eamen voorbereiden. Een syllabus kan ook behulpzaam zijn voor de producenten van leermiddelen en voor nascholingsinstanties. De syllabus is niet van belang voor het schooleamen. Daarvoor worden door de SLO handreikingen geproduceerd die niet in deze uitgave zijn opgenomen. Deze conceptsyllabus geldt voor het eamenjaar 018. 1 Dit concept leggen we voor aan het veld om te achterhalen of de syllabus duidelijk genoeg is, de benodigde informatie bevat ter voorbereiding op de centrale eamens en een adequate uitwerking geeft van het CEdeel van het eamenprogramma. De resultaten van deze veldraadpleging worden verwerkt in de definitieve syllabus die volgens planning gepubliceerd zal worden in het najaar van 013. Heeft u opmerkingen over deze syllabus, dan verwijs ik u naar de veldraadpleging. Aanmelden daarvoor kan via www.cve.nl in de periode 4 maart 013 tot en met 14 april 013. Daarna is de veldraadpleging gesloten. Drs. A. H. Gieske Projectmedewerker havo/vwo College voor Eamens 1 Definitief besluit hierover wordt gelijktijdig met het vaststellen van het eamenprogramma genomen. pagina 5 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) 1 Inleiding Deze conceptsyllabus geeft informatie ten behoeve van de voorbereiding op het centraal eamen wiskunde B vwo. De conceptsyllabus richt zich name op het nader specificeren van de globale eindtermen van het eamenprogramma (hoofdstuk 3). Bij de geformuleerde specificaties zijn voorbeeldopgaven opgenomen ter verduidelijking van de specificaties en om een indicatie te geven van het niveau dat van de kandidaten bij die specificaties wordt verwacht (hoofdstuk 4). Bij de specificaties is er vanuit gegaan dat de kandidaten bekend zijn met de algebraïsche vaardigheden (hoofdstuk 5) en eamenwerkwoorden (bijlage 3). Tevens treft u in deze conceptsyllabus een lijst aan van formules die in het centraal eamen worden opgenomen (bijlage ). De syllabuscommissie heeft bij het opstellen van deze specificaties de uitgangspunten van de vernieuwingscommissie ctwo en de uitvoerbaarheid van het programma als leidraad genomen. CTWO heeft de volgende uitgangspunten geformuleerd voor het eamenprogramma wiskunde B vwo: De doelgroep van dit vak wordt gevormd door leerlingen die het profiel NT volgen en leerlingen in de profielen EM en NG die wiskunde B kiezen in plaats van wiskunde A. Het vak bereidt voor op universitaire vervolgstudies met een eacte signatuur, zoals bètawetenschappen, technische wetenschappen en econometrie. Inhoudelijk ligt de nadruk op analyse en meetkunde, met ruime aandacht voor algebraïsche vaardigheden, formulevaardigheden, redeneren, bewijzen en toepassen in authentieke situaties. Wiskundige samenhang tussen de verschillende delen van een programma is om meerdere redenen van belang. Ten eerste suggereert een verbrokkeld programma ten onrechte dat de wiskunde zelf verbrokkeld is. Ten tweede biedt interne samenhang een handvat voor het lastige probleem van transfer binnen het vak zelf, door kennis en vaardigheden die in één situatie opgedaan zijn binnen een ander deelgebied van de wiskunde toe te passen. Ten slotte maken de dwarsverbanden een rijke collectie opgaven mogelijk waarmee het inzicht van de leerling beter te stimuleren en te toetsen is. De samenhang met andere eacte vakken, zoals wiskunde D, NLT, natuurkunde, scheikunde en biologie, is een punt van aandacht. Het rapport van de werkgroep Afstemming Wiskunde-Natuurkunde bevat voor wat betreft de samenhang met natuurkunde een aantal concrete voorstellen. Gezien het karakter van wiskunde B is het gewenst dat conteten bijdragen aan de versterking van de inwendige structuur en samenhang van de verschillende onderdelen van het programma. Brede conteten, bijvoorbeeld uit natuurkunde (mechanica, optica) of techniek, die bijdragen aan een intuïtief denkmodel, verdienen de voorkeur. Geschikte conteten zijn aanleiding tot abstractie en tot de vorming van wiskundige concepten. Daarnaast kunnen conteten uit de wereld van wetenschap, techniek of beroepspraktijk bijdragen aan de realisatie van de zogeheten blik naar buiten, waar ctwo in haar visiedocument een lans voor breekt. De specificaties voor wiskunde B vwo in deze conceptsyllabus zijn opgesteld door de syllabuscommissie wiskunde B. Leden van deze commissie zijn: Juan Dominguez, Frank van den Heuvel, Marianne Lambrie, Alma Taal, Kees Rijke, Peter van Wijk (ctwo), Ruud Stolwijk (Cito), Jos Tolboom (secretaris, SLO) en Bert Zwaneveld (voorzitter, Open Universiteit) pagina 7 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) Het centraal eamen en het schooleamen.1 Verdeling van de eamenstof Het centraal eamen Het centraal eamen heeft betrekking op de domeinen B, C, D en E in combinatie met de vaardigheden uit domein A. Het CvE stelt het aantal en de tijdsduur van de zittingen van het centraal eamen vast. Na vaststelling van de definitieve syllabus zal een voorbeeldeamen beschikbaar worden gesteld. Daarnaast kunnen eerder afgenomen piloteamens een goed beeld geven van de te verwachten centrale eamens vanaf 018. Piloteamens zijn de eamens die op de pilotscholen van het nieuwe wiskunde B programma zijn/worden afgenomen. Deze eamens zijn geconstrueerd aan de hand van de werkversies van de syllabus bij het eperimentele eamenprogramma wiskunde B. De piloteamens zijn te vinden op www.cito.nl via Eamenkandidaten - Centrale Eamens Schriftelijke eamens havo/vwo. De werkversies van de syllabus (die ten grondslag liggen aan de piloteamens) zijn te vinden op www.cve.nl via Onderwerpen Centrale eamens VO Vakvernieuwingen Wiskunde havo/vwo. Het schooleamen Het schooleamen heeft tenminste betrekking op domein A en domein F; indien het bevoegd gezag daarvoor kiest: een of meer domeinen of subdomeinen waarop het centraal eamen betrekking heeft; indien het bevoegd gezag daarvoor kiest: andere vakonderdelen, die per kandidaat kunnen verschillen. In schema: Domein in CE moet in SE mag in SE A Vaardigheden B Formules, functies en grafieken C Differentiaal- en integraalrekening D Goniometrische functies E Meetkunde met coördinaten F Keuzeonderwerpen Een globale formulering van eindtermen van alle subdomeinen (het eamenprogramma) staat in bijlage 1. Van de (sub)domeinen die in het centraal eamen worden getoetst staat een gedetailleerdere beschrijving in hoofdstuk 3.. Hulpmiddelen In bijlage is een overzicht opgenomen van de formules die in het eamen worden opgenomen. De overige toegestane hulpmiddelen worden bekendgemaakt via www.eamenblad.nl. In februari 015 wordt een vooruitblik gegeven op de toegestane hulpmiddelen. pagina 8 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma).3 Vakspecifieke regels correctievoorschrift Significantie Pro memorie Basiskennis Het eamenprogramma bouwt voort op de veronderstelde basiskennis van de onderbouw vwo. pagina 9 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) 3 Specificaties van de globale eindtermen voor het CE Domein A: Vaardigheden Subdomein A1: Algemene vaardigheden De eindterm in dit subdomein heeft betrekking op vaardigheden die van belang zijn voor alle eamenvakken, de wiskunde in het bijzonder. 1 De kandidaat heeft kennis van de rol van wiskunde in de maatschappij, kan hierover gericht informatie verzamelen en de resultaten communiceren met anderen. De kandidaat kan 1.1 doelgericht informatie zoeken, beoordelen, selecteren en verwerken; 1. adequaat schriftelijk rapporteren over onderwerpen uit de wiskunde. Subdomein A: Profielpecifieke vaardigheden De eindterm in dit subdomein heeft betrekking op vaardigheden die van belang zijn voor de profielvakken waarin de kandidaat eamen doet, de wiskunde in het bijzonder. De kandidaat kan profielspecifieke probleemsituaties in wiskundige termen analyseren, oplossen en het resultaat naar het oorspronkelijke probleem terugvertalen. De kandidaat kan.1 een probleemsituatie in een wiskundige, natuurwetenschappelijke of maatschappelijke contet analyseren, gebruik makend van relevante begrippen en theorie vertalen in een vakspecifiek onderzoek, dat onderzoek uitvoeren, en uit de onderzoeksresultaten conclusies trekken;. een realistisch probleem in een contet analyseren, inperken tot een hanteerbaar probleem, vertalen naar een wiskundig model, modeluitkomsten genereren en interpreteren en het model toetsen en beoordelen;.3 met gegevens van wiskundige en natuurwetenschappelijke aard consistente redeneringen opzetten. Subdomein A3: Wiskundige vaardigheden De eindterm in dit subdomein heeft betrekking op vaardigheden die specifiek van belang zijn voor het programma wiskunde B vwo. 3 De kandidaat beheerst de bij het eamenprogramma passende wiskundige vaardigheden te weten modelleren en algebraïseren, ordenen en structureren, analytisch denken en probleemoplossen, formules manipuleren, abstraheren, en logisch redeneren en bewijzen en kan daarbij ICT functioneel gebruiken. De kandidaat 3.1 beheerst de rekenregels; 3. beheerst de specifieke algebraïsche vaardigheden; 3.3 heeft inzicht in wiskundige notaties en formules en kan daarmee kwalitatief redeneren; 3.4 kan wiskundige informatie ordenen en in probleemsituaties de wiskundige structuur onderkennen; 3.5 kan bij een gegeven probleemsituatie een model opstellen in wiskundige termen; 3.6 kan op basis van een gegeven probleemsituatie een schatting maken van de uitkomst zonder deze uitkomst eact te berekenen; pagina 10 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) 3.7 kan een oplossingsstrategie kiezen, deze correct toepassen en de gevonden oplossing controleren binnen de contet; 3.8 kan vakspecifieke taal interpreteren en gebruiken; 3.9 kan de correctheid van wiskundige redeneringen verifiëren; 3.10 kan eenvoudige wiskundige redeneringen correct onder woorden brengen; 3.11 kan bij het raadplegen van wiskundige informatie, bij het verkennen van wiskundige situaties, bij het geven van wiskundige redeneringen en bij het uitvoeren van wiskundige berekeningen gebruik maken van geschikte ICTmiddelen. Domein B Functies, grafieken en vergelijkingen Subdomein B1 Formules en functies 4 De kandidaat kan formules interpreteren en bewerken, bij een verband tussen twee variabelen een grafiek tekenen in een assenstelsel en bepalen of een gegeven formule herschreven kan worden als functievoorschrift. Parate kennis De kandidaat kent: de voorwaarden waaronder een verband een functie is. Reproductie De kandidaat kan: 4.1 de structuur van een formule analyseren; 4. een formule herschrijven tot een gelijkwaardige formule; 4.3 een formule indien mogelijk herleiden tot een functievoorschrift; 4.4 bij een verband tussen twee variabelen een grafiek tekenen. Productie De kandidaat kan: 4.5 formules combineren tot een nieuwe formule; 4.6 bij een verband, afhankelijk van de probleemstelling, bepalen welke variabele als onafhankelijk en welke als afhankelijk beschouwd wordt; 4.7 aan de hand van een formule uitspraken doen over de bijbehorende probleemsituatie. Subdomein B: Standaardfuncties 5 De kandidaat kan grafieken tekenen en herkennen van de volgende standaardfuncties: machtsfuncties met rationale eponenten, eponentiële functies, logaritmische functies, goniometrische functies en de absolute-waardefunctie. De kandidaat kan van deze standaardfuncties de karakteristieke eigenschappen benoemen en gebruiken. Parate kennis De kandidaat kent: de begrippen die karakteristieke eigenschappen van functies en hun grafieken beschrijven: domein, bereik, stijgen, dalen, toenemend en afnemend stijgen en dalen, etremen, minimum, maimum, buigpunt, snijpunt met de -as, snijpunt met de y-as, puntsymmetrie, lijnsymmetrie en asymptotisch gedrag; de grafieken en karakteristieke eigenschappen van machtsfuncties met rationale eponenten ( f ( ) ); p pagina 11 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) de grafieken en karakteristieke eigenschappen van eponentiële functies ( f ( ) a ) a en van logaritmische functies ( f ( ) lo g ), beide ook met grondtal e en in verband hiermee de begrippen grondtal en eponent; de grafieken en karakteristieke eigenschappen van goniometrische functies, te weten f ( ) sin, f ( ) co s en f ( ) tan, en in verband hiermee de begrippen radiaal, periode, amplitude en evenwichtsstand; de grafiek en karakteristieke eigenschappen van de absolute-waardefunctie ( f ( ) ); bij eponentiële groeiprocessen de begrippen beginwaarde, groeifactor, verdubbelingstijd en halveringstijd; het gebruik van machtsfuncties bij machtsverbanden; het begrip parameter. Reproductie De kandidaat kan: 5.1 van een standaardfunctie de grafiek tekenen en daarbij gebruik maken van de karakteristieke eigenschappen van de functie en haar grafiek; 5. bij de grafiek van een standaardfunctie het functievoorschrift opstellen; 5.3 de grafiek van een standaardfunctie beschrijven door de genoemde begrippen te hanteren. Productie De kandidaat kan: 5.4 de karakteristieke eigenschappen van een standaardfunctie en haar grafiek gebruiken bij het oplossen van problemen. Subdomein B3: Functies en grafieken 6 De kandidaat kan functievoorschriften opstellen, bewerken, combineren, de bijbehorende grafieken tekenen en aan de hand van een functievoorschrift zonder hulpmiddelen kwalitatieve uitspraken doen over de functie en haar grafiek. Parate kennis De kandidaat kent: de begrippen transformatie, translatie en lijnvermenigvuldiging; de begrippen som-, verschil-, product- en quotiëntfunctie; de begrippen samengestelde functie en ketting van functies. Reproductie De kandidaat kan: 6.1 op een grafiek een translatie en/of lijnvermenigvuldiging ten opzichte van - of y-as uitvoeren; 6. het functievoorschrift opstellen dat hoort bij een nieuwe grafiek die is ontstaan na transformatie van een gegeven grafiek; 6.3 de samenhang tussen de transformatie en de verandering van het bijbehorende functievoorschrift beschrijven en interpreteren; 6.4 functies samenstellen door middel van een ketting en het functievoorschrift opstellen van de samengestelde functie. pagina 1 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) Productie De kandidaat kan: 6.5 functievoorschriften combineren (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, samenstellen) en de bijbehorende grafiek beschrijven; 6.6 het gedrag van een samengestelde functie voorspellen vanuit de functies die gecombineerd worden; 6.7 voor functies en hun grafieken uitspraken doen over domein, bereik, stijgen, dalen, toenemend of afnemend stijgen of dalen, etremen, buigpunten, asymptoten, symmetrie, periode, amplitude, evenwichtsstand en de ligging van de snijpunten met de coördinaatassen; 6.8 een in een probleemsituatie beschreven verband vertalen in een passend functievoorschrift. Subdomein B4: Inverse functies 7 De kandidaat kan het begrip inverse functie hanteren en de inverse van een functie gebruiken bij het oplossen van problemen. Parate kennis De kandidaat kent: het begrip inverse functie; de voorwaarden waaronder een functie een inverse functie heeft. Reproductie De kandidaat kan: 7.1 van de machtsfuncties, de eponentiële functies en de logaritmische functies het functievoorschrift van de inverse functie opstellen; 7. van een functie de grafiek van de inverse functie tekenen en daarbij correct omgaan met de begrippen domein en bereik. Productie De kandidaat kan: 7.3 bij een samengestelde functie het functievoorschrift van de inverse functie opstellen; 7.4 de eigenschappen van de inverse functie en haar grafiek interpreteren in een gegeven probleemsituatie. Subdomein B5: Vergelijkingen en ongelijkheden 8 De kandidaat kan vergelijkingen en ongelijkheden algebraïsch oplossen. Parate kennis De kandidaat kent: de begrippen lineaire en eerstegraads vergelijking; de begrippen kwadratische en tweedegraads vergelijking; het begrip stelsel van vergelijkingen; het onderscheid tussen algebraïsch (eact) oplossen en andere oplossingsmethoden; de abc-formule. Reproductie De kandidaat kan: 8.1 een vergelijking die te herleiden is tot een lineaire vergelijking oplossen; 8. een vergelijking die te herleiden is tot een kwadratische vergelijking oplossen; 8.3 vergelijkingen en ongelijkheden oplossen van de vorm g a sin c ; c o s c ; ta n c, lo g c; a c ; c ; c ; pagina 13 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) 8.4 een vergelijking oplossen van het type f ( ) g ( ) waarbij f en g standaardfuncties zijn; 8.5 een ongelijkheid oplossen van het type f ( ) g ( ), f ( ) g ( ) of f ( ) g ( ), f ( ) g ( ) waarbij f en g standaardfuncties zijn. 8.6 stelsels van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden oplossen. Productie De kandidaat kan: 8.7 een vergelijking dan wel een ongelijkheid opstellen aan de hand van een gegeven probleemsituatie, de vergelijking of ongelijkheid oplossen en de oplossingen van deze vergelijking of ongelijkheid interpreteren; 8.8 een vergelijking met een parameter oplossen en de oplossing schrijven als functie van de parameter; 8.9 een ongelijkheid van de vorm f ( ) c, f ( ) c of f ( ) c, f ( ) c, waarbij f een samengestelde functie, zoals bedoeld in 6.4, is oplossen. Subdomein B6: Asymptoten en limietgedrag van functies 9 De kandidaat kan het asymptotisch gedrag van functies bepalen en dit met limietberekening aantonen. Parate kennis De kandidaat kent: het begrip limiet in verband met het gedrag van een functie; de begrippen linker- en rechterlimiet; het begrip perforatie; de begrippen horizontale, verticale en scheve asymptoot van de grafiek van een functie. Reproductie De kandidaat kan: 9.1 asymptoten van de grafieken van standaardfuncties bepalen; Productie De kandidaat kan: 9. met behulp van limieten onderzoek doen naar horizontale, verticale en scheve asymptoten van grafieken van functies; 9.3 onderzoek doen naar linker- en rechterlimieten en naar perforaties. Domein C: Differentiaal- en integraalrekening Subdomein C1: Afgeleide functies 10 De kandidaat kan de eerste en tweede afgeleide van een functie begripsmatig hanteren en gebruiken om die functie te onderzoeken en de eerste en tweede afgeleide gebruiken in toepassingen. Parate kennis De kandidaat kent: de gangbare notaties voor afgeleide en tweede afgeleide van een functie, zoals: d y d f ( ) d s f '( ),,,, f ''( ). d d d t pagina 14 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) Reproductie De kandidaat kan: 10.1 de afgeleide gebruiken om de helling van de raaklijn aan een grafiek te berekenen; 10. de afgeleide gebruiken voor het bestuderen van stijgen of dalen van functiewaarden; 10.3 de afgeleide gebruiken om etremen te berekenen; 10.4 de grafiek van de afgeleide schetsen in geval de functie is gegeven door een grafiek; 10.5 de grafiek van de functie schetsen als de grafiek van de afgeleide is gegeven; 10.6 de tweede afgeleide gebruiken voor het bestuderen van toenemend of afnemend stijgen of dalen van functiewaarden; 10.7 de tweede afgeleide gebruiken om buigpunten te berekenen. Productie De kandidaat kan: 10.8 het verband aangeven tussen de afgeleide van een functie f en van een functie g waarvan de grafiek door een translatie of lijnvermenigvuldiging uit die van f is ontstaan; 10.8 gebruik maken van de relatie tussen afgeleide en raaklijn in de contet van een probleem; 10.9 een optimaliseringsprobleem vertalen in een formule en dit probleem vervolgens met behulp van de afgeleide functie of numeriek-grafisch oplossen. Subdomein C: Technieken voor differentiëren 11 De kandidaat kan de eerste en tweede afgeleide van functies bepalen met behulp van de regels voor het differentiëren en daarbij algebraïsche technieken gebruiken. Parate kennis De kandidaat kent: de afgeleide van de standaardfuncties Reproductie De kandidaat kan: 11.1 bij het bepalen van de afgeleide gebruik maken van de afgeleide van de standaardfuncties; 11. bij het bepalen van de afgeleide van eponentiële en logaritmische functies het getal e en de natuurlijke logaritme gebruiken; 11.3 voor het bepalen van de afgeleide de som-, verschil-, product-, quotiënt- en kettingregel gebruiken; 11.4 het verband aangeven tussen de afgeleide van een functie f ( ) en die van f ( ) c, f ( c ), c f ( ) en f ( c ). Productie De kandidaat kan: 11.4 een combinatie van som-, verschil-, product- en/of quotiëntregel gebruiken bij het bepalen van een afgeleide; 11.5 de kettingregel gebruiken in combinatie met de som-, verschil-, product- en/of quotiëntregel bij het bepalen van een afgeleide; pagina 15 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) Subdomein C3: Integraalrekening 1 De kandidaat kan in geschikte toepassingen een bepaalde integraal opstellen en eact berekenen. Parate kennis De kandidaat kent: de begrippen integrand, primitieve functie en bepaalde integraal; de notatie f ( )d ; b a de hoofdstelling van de integraalrekening: f ( )d F ( b ) F ( a ), waarbij F een primitieve functie van f is. Reproductie De kandidaat kan: 1.1 een bepaalde integraal eact berekenen in het geval de integrand de gedaante f ( ) c, f ( c ), c f ( ) of f ( c ) heeft, waarbij f een machtsfunctie, een eponentiële functie, de functie sinus of de functie cosinus is, in het geval dat de integrand de som van twee of meer van deze functies is; 1. een bepaalde integraal benaderen met behulp van ICT; 1.3 controleren of een gegeven functie F een primitieve is van een functie f. b a Productie De kandidaat kan: 1.4 voor de berekening van de oppervlakte van een vlakdeel een bepaalde integraal opstellen; 1.5 voor de berekening van de inhoud van een omwentelingslichaam dat ontstaat door een vlakdeel te wentelen om de -as of de y-as een bepaalde integraal opstellen; 1.6 de uitkomst van een bepaalde integraal interpreteren; 1.7 F ( ) f ( t )d t interpreteren als de definitie van een functie. a Domein D: Goniometrische functies Subdomein D1: Goniometrische functies en vergelijkingen 13 De kandidaat kan bij periodieke verschijnselen formules opstellen en bewerken, de bijbehorende grafieken tekenen, vergelijkingen oplossen en hierbij de periodiciteit met inzicht gebruiken. Parate kennis De kandidaat kent: het sinusmodel in de vormen cos f d a b c = sin f d a b c ; de eacte waarden van sin, co s en tan waarbij een veelvoud van is; en 1 6 π of 1 4 π pagina 16 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) de symmetrie eigenschappen s in ( ) s in, c o s ( ) c o s, tan ( ) tan, 1 1 co s sin ( ) en sin co s( ) ; Reproductie De kandidaat kan: 13.1 bij een periodiek verschijnsel een sinusmodel opstellen, de bijbehorende sinusoïde tekenen, berekeningen uitvoeren aan dit model en de resultaten terugvertalen naar het periodieke verschijnsel; 13. vergelijkingen oplossen van het type sin f sin g en cos f cos g en tan f ( ) tan g ( ), waarbij f en g lineaire functies van zijn en hierbij periodiciteit en symmetrie gebruiken voor het vinden van alle oplossingen; 13.3 ongelijkheden oplossen van het type sin f ( ) c, sin f < c, sin f > c, sin f ( ) c co s f ( ) c, co s f < c, c o s f > c, c o s f ( ) c tan f ( ) c, tan f < c, ta n f > c, ta n f ( ) c waarbij f en g lineaire functies zijn; Productie De kandidaat kan: 13.4 een harmonische trilling opvatten als een sinusoïde, er een passend functievoorschrift voor opstellen en de begrippen frequentie en trillingstijd daarbij correct hanteren; 13.5 de som- en verschilformules en de verdubbelingsformules gebruiken bij het herleiden van formules en het oplossen van vergelijkingen; 13.6 de formules sin co s 1 en sin tan gebruiken bij het herleiden van co s formules en het oplossen van vergelijkingen. Domein E: Meetkunde met coördinaten Subdomein E1: Meetkundige vaardigheden 14 De kandidaat kan eigenschappen van meetkundige objecten onderzoeken en bewijzen en kan daarbij gebruik maken van meetkundige en algebraïsche technieken en van ICT. Parate kennis De kandidaat kent: de stelling van Pythagoras; het begrip gelijkvormigheid; goniometrische verhoudingen; de sinus- en cosinusregel; de stelling van Thales 3 en de omgekeerde stelling van Thales 4 ; de eigenschap dat een raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de verbindingslijn van het middelpunt van de cirkel en het raakpunt. 3 Van een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel. 4 Van een driehoek ABC waarvan AC de middellijn is van de omgeschreven cirkel, is hoek B recht. pagina 17 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) Reproductie De kandidaat kan: 14.1 stellingen uit de vlakke meetkunde gebruiken om eigenschappen van figuren te onderzoeken en te bewijzen; 14. gebruik maken van het verband tussen een figuur en de bijhorende algebraïsche voorstelling. Productie De kandidaat kan: 14.3 van een beschreven meetkundig probleem een tekening maken met daarin verwerkt de relevante gegevens; 14.4 meetkundige en algebraïsche methoden en technieken gebruiken bij het oplossen van meetkundige problemen. Subdomein E: Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde 15 De kandidaat kan aard en ligging van cirkels, lijnen en andere daarvoor geschikte figuren onderzoeken met behulp van algebraïsche voorstellingen, kan in een gegeven of zelfgekozen coördinatenstelsel algebraïsche voorstellingen van figuren opstellen en kan algebraïsche voorstellingen gebruiken om meetkundige problemen op te lossen. Parate kennis De kandidaat kent: de vergelijking van een lijn in de vorm y m n en in de vorm a b y c ; de begrippen richtingscoëfficiënt en loodlijn; de eigenschap dat het product van de richtingscoëfficiënten van twee loodrecht op elkaar staande lijnen gelijk is aan 1 en omgekeerd; de begrippen stelsel van twee vergelijkingen, strijdig stelsel en afhankelijk stelsel; van een cirkel een vergelijking in de vorm y a b y c 0 ; ( a ) ( y b ) r en in de vorm het begrip parametervoorstelling van een lijn en een cirkel; het begrip afstand van twee figuren als de kleinste lengte van een lijnstuk dat een punt van de ene figuur verbindt met een punt van de andere figuur. Reproductie De kandidaat kan: 15.1 de afstand van twee punten en de hoek tussen twee lijnen berekenen; 15. de vergelijking van de loodlijn op een lijn opstellen; 15.3 de coördinaten van snijpunten van lijnen en cirkels berekenen; 15.4 de oplosbaarheid van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in verband brengen met de onderlinge ligging van rechte lijnen in het platte vlak; 15.6 uit de vergelijking van een cirkel de straal van de cirkel en de coördinaten van het middelpunt afleiden; 15.7 vanuit een parametervoorstelling van een lijn of cirkel een vergelijking opstellen en vanuit een gegeven vergelijking van een lijn of cirkel een parametervoorstelling opstellen;. 15.8 de vergelijking van een raaklijn met gegeven richting aan een cirkel opstellen; 15.9 de vergelijking van een raaklijn door een gegeven punt (op of buiten de cirkel) aan een cirkel opstellen; 15.10 de afstand tussen punten, lijnen en cirkels berekenen; 15.11 het verband leggen tussen een transformatie van een figuur en een substitutie in de bijhorende vergelijking of parametervoorstelling. pagina 18 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) Productie De kandidaat kan: 15.1 algebraïsche voorstellingen gebruiken als weergave van een meetkundige figuur; 15.13 bij twee figuren algebraïsch onderbouwde uitspraken doen over de onderlinge ligging wat betreft snijden, raken en loodrechte stand. Subdomein E3 : Vectoren en inproduct 16 De kandidaat kan met behulp van de begrippen afstand, vector en inproduct eigenschappen van figuren in het vlak afleiden en bewijzen. Parate kennis De kandidaat kent: het begrip vector als grootheid met lengte en richting en als getallenpaar, notatie: a a ; a y de begrippen lengte, richtingshoek, kentallen en componenten van een vector; het begrip inproduct (of inwendig product) van twee vectoren als a b a b a b a b co s ; y y het begrip vectorvoorstelling van een lijn. Reproductie De kandidaat kan: 16.1 rekenen en redeneren met vectoren die beschreven zijn door grootte en richting of door middel van kentallen; 16. vectoren ontbinden in componenten, scalair vermenigvuldigen, bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken, zowel meetkundig als met behulp van berekening; 16.3 het inproduct gebruiken voor de berekening van hoeken en afstanden. Productie De kandidaat kan: 16.4 de baan van een bewegend punt beschrijven met tijdsafhankelijke vectoren en afgeleiden; 16.5 snelheid en versnelling van een bewegend punt berekenen; 16.6 de raaklijn opstellen aan de baan van een bewegend punt; 16.7 berekeningen met zwaartepunten uitvoeren met behulp van vectoren. Subdomein E4: Toepassingen 17 De kandidaat kan de aangegeven technieken toepassen in geschikte natuurwetenschappelijke en technische situaties. pagina 19 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) 4 Voorbeeldopgaven De onderstaande opgaven zijn illustratief en indicatief, maar zeker niet uitputtend. De afgenomen piloteamens bieden een nader beeld van de invulling van het gewenste eindniveau. De piloteamens zijn te vinden op www.cito.nl via Eamenkandidaten - Centrale Eamens Schriftelijke eamens havo/vwo. Domein B Functies, grafieken en vergelijkingen Subdomein B1 Formules en functies Subdomein B1 4.1 4. 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Opgave 1 Opgave Opgave 3 opgave 4 1. Gegeven is het volgende verband tussen a en b: 4 a b ab 0. a. Schrijf a als functie van b en teken de grafiek. b. T 8 b 4. Toon aan dat T een eerstegraadsfunctie van a is. e 1. De functie f is gegeven door f ( ). e 1 Toon aan dat het functievoorschrift van f te schrijven is als f ( ) 1. e 1 3. Gegeven is het volgende verband tussen en y: y 4. a. Teken de grafiek bij dit verband. b. Kan dit verband herschreven worden als een functievoorschrift? c. Dezelfde vragen voor y 4 en voor y 4. 4. Teken de grafieken bij de volgende verbanden: a. + 4y = 6 b. + 4y = 6 c. + y = 8 Subdomein B Standaardfuncties Subdomein B Opgave 5 5.1 5. 5.3 5.4 5.5 Opgave 6 opgave 7 opgave 8 opgave 9 pagina 0 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) 5. Beschrijf de karakteristieke eigenschappen (domein, bereik, etremen, snijpunten van de grafiek met de - en y-as, symmetrie van de grafiek en eventuele asymptoten van de grafiek) van de functies gegeven door: a. f ( ) 0, 5 b. 3 f ( ) c. f ( ) lo g ( ) d. f ( ) ta n ( ) e. f ( ) 6. In de twee figuren zijn de grafieken van vier standaardfuncties getekend: f, g, h en k. Stel bij elk van deze functies het bijbehorende functievoorschrift op. 7. De functie f is gegeven door is. f ( ) 1. Toon aan dat dit een stijgende functie e 1 8. De functie f is gegeven door f ( ) 10 6 s in. Bepaal het bereik van deze functie. 9. In de nucleaire geneeskunde worden verschillende radioactieve stoffen gebruikt. De radioactiviteit van deze stoffen neemt eponentieel af. De stof Iridium-19 heeft een groeifactor van 0,9907 per dag. a. Hoeveel procent van de oorspronkelijke radioactiviteit van Iridium-19 is er na een jaar over? b. Na hoeveel dagen is er nog 80% van de oorspronkelijke radioactiviteit van Iridium- 19 over? De stof Kobalt-60 heeft een halveringstijd van 5,7 jaar. c. Stel een formule op voor de radioactiviteit R van Kobalt-60 als functie van de tijd t (t in jaren). Neem als beginwaarde 100. pagina 1 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) Subdomein B3 Functies en grafieken Subdomein B3 opgave 10 opgave 11 opgave 1 opgave 13 6.1 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 opgave 14 opgave 15 opgave 16 10. De functie f is gegeven door f ( ) 4. a. Teken de grafiek. b. Verschuif de grafiek van f 5 naar rechts en omhoog. Teken de nieuwe grafiek en stel daarbij het functievoorschrift op. c. Vermenigvuldig de grafiek van f t.o.v. de y-as met. Teken de nieuwe grafiek en stel daarbij het functievoorschrift op. d. Spiegel de grafiek van f in de y-as. Teken de nieuwe grafiek en stel daarbij het functievoorschrift op. 1 11. De functie f is gegeven door f ( ). e 1 Toon aan dat de grafiek van f symmetrisch is t.o.v. de y-as. 1. De functie f is gegeven door f ( ) 1. De grafiek van deze functie is e 1 puntsymmetrisch t.o.v. een punt dat op de -as ligt. Bewijs dat. 13. In de figuur hieronder zie je de grafiek van een functie f. a. Stel het functievoorschrift van f op. Het gedeelte van de grafiek dat onder de -as ligt, wordt gespiegeld in de -as. Zo ontstaat (samen met het gedeelte dat niet gespiegeld wordt) de grafiek van een functie g. b. Stel het functievoorschrift van g op. pagina van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) 14. Hiernaast zie je de grafiek van de derdegraadsfunctie f gegeven door 1 f ( ) ( ) ( 1). De functie g is gedefinieerd door g ( ) 1. f ( ) a. Beredeneer welke asymptoten de grafiek van g heeft. b. Beredeneer welke toppen de grafiek van g heeft. c. Beredeneer hoe de plaats van de snijpunten van de grafieken van f en g gevonden kan worden. d. Schets in deze figuur met behulp van de resultaten van de vragen a, b en c de grafiek van g. 15. Supermarkt Timmer en De Jong gaat bij het nieuwe filiaal in Hardinveld een parkeerterrein aanleggen van 1000 m. Het terrein wordt rechthoekig. Aan de kant van de ingang komt een afrastering met stenen paaltjes. De aanleg hiervan kost 150,- per meter. De ingang zelf is 6 meter breed en kost 3.000,-. Aan de andere drie kanten van het terrein komt een hekwerk dat 100,- per meter kost. Het bestraten van het terrein kost 80,- per m. De totale kosten (in euro) voor de aanleg noemen we K. De lengte en breedte en y zijn in meter. Zie voor de betekenis van en de y de tekening. a. Toon aan dat K = 96 350 als = 5. b. De formule voor de kostenfunctie K kan geschreven worden in de vorm K a b c Bereken a, b en c.. Hierin zijn a, b en c constanten. 16. (Naar eamen VWO Wiskunde B1 001) Een chauffeur moet met een vrachtwagen een traject van 100 km rijden. Zijn firma wil weten bij welke snelheid v (in km/uur) de totale vervoerskosten T (in euro) het laagst zijn. De vrachtwagen verbruikt bij een snelheid van 60 km/uur voor elke kilometer ½ liter brandstof. Bij toename van de snelheid neemt het verbruik eponentieel toe: bij elke toename van de snelheid v met 10 km/uur stijgt het verbruik per kilometer met 10%. Het arbeidsloon van de chauffeur is 45 euro per uur. De brandstofkosten zijn 1,50 euro per liter. De totale vervoerskosten T bestaan uit brandstofkosten en het arbeidsloon van de chauffeur. pagina 3 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) a. Toon aan dat de totale vervoerskosten T over het traject van 100 km bij een snelheid van 80 km/uur 147 euro bedragen. b. Stel een formule op die T geeft als functie van de snelheid v. Subdomein B4 B4 inverse functies 7.1 7. 7.3 opgave 17 opgave 18 17. Stel de functievoorschriften op van de inverse functie van: a. c. 5 y 4 ( 3) 1 0 b. y 1 0 0 0, 9 5 y 40 ( 0) d. 0 3 y 5 lo g ( 1) e 1 18. De functie f is gegeven door f ( ). e 1 a. Toon aan dat f een inverse functie heeft b. Stel het functievoorschrift op van deze inverse functie. Subdomein B5 Vergelijkingen en ongelijkheden Subdomein B5 opgave 19 opgave 0 8.1 8. 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 opgave 1 opgave opgave 3 opgave 4 19. Los eact op: a. ( 6 ) ( 1) ( 3)( ) b. 1 1 4 3 0 c. 3e e 1 0 d. 3 lo g ( ) lo g (7 ) a 6 1 5 0. Gegeven is de vergelijking: 1 5 5 5. Bereken algebraïsch de eacte waarde van a. a pagina 4 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) 1. De functies f en g zijn gegeven door f ( ) 4 1 en 1 g ( ). Hiernaast zijn in één figuur de grafieken van f en g getekend Los eact op: f ( ) g ( ).. De functies f en g zijn gegeven door f ( ) 1 ln ( ) en g ( ) ln (6 ). Hiernaast zijn in één figuur de grafieken van f en g getekend Los eact op: f ( ) g ( ). 3. De lijnen l en m zijn gegeven door de vergelijkingen l : 3 y 1 0 en m : 3 p y 7. Hierin is p een constante. a. De lijnen l en m snijden elkaar in een punt met -coördinaat 8. Bereken p. b. De lijnen l en m zijn evenwijdig. Bereken p. 4. Gegeven is het stelsel vergelijkingen: y 100 en y 0, 7 5 p, met p een constante. a. Neem p = 0 en los het stelsel op. b. Voor welke waarden van de parameter p heeft het stelsel precies één oplossing? Subdomein B6 Asymptoten en limietgedrag Subdomein B6 opgave 5 opgave 6 opgave 7 opgave 8 9.1 9. 9.3 opgave 9 5. De functie f is gegeven door f ( ) 3 1 6. 4 Maak een schets van de grafiek van f en geef daarin duidelijk de asymptoten aan. pagina 5 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) 6. Voor elke waarde van p is de functie f p gegeven door De grafiek van de functie f p f p ( ) 3. p heeft een, twee of drie horizontale of verticale asymptoten. Onderzoek voor elke waarde van de parameter p hoeveel horizontale en verticale asymptoten er zijn. 7. Voor elke waarde van a is de functie f gegeven door a Er zijn twee waarden van a waarbij de grafiek van f a f a ( ) 5 6. a een perforatie heeft. Bereken die waarden van a en bepaal de coördinaten van de bijbehorende perforaties in de grafiek. 8. Deze opgave gaat over de functie f gegeven door 1 f ( ) e. a. Bereken (indien mogelijk) de linker- en de rechterlimiet van f in = 0. b. Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van f? c. Schets de grafiek van f. d. Stel het functievoorschrift op van de inverse functie van f. 9. Beredeneer welke asymptoten de grafiek van de functie f heeft, als f is gegeven door: a. 4 f ( ) 7 5 c. b. 8 f ( ) d. f ( ) lo g 1 80 f ( ). 5 (0, 9 ) Domein C Differentiaal- en integraalrekening Subdomein C1 Afgeleide functies Subdomein C1 opgave 1 10.1 10. 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 opgave opgave 3 opgave 4 opgave5 opgave 6 opgave 7 opgave 8 opgave 9 opgave 10 pagina 6 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) Illustratie van 10.8 (in een wiskundige contet) 1. In een coördinatenstelsel is een rechthoek OABC gegeven. De oppervlakte van deze rechthoek is 7. Punt B ligt op een kromme K, punt A ligt op de positieve -as en punt C op de positieve y-as. Zie de tekening. a. Toon aan dat de kromme K wordt gegeven door de vergelijking: y 7. De raaklijn aan K in punt B snijdt de -as in punt D en de y-as in punt E. b. Toon aan dat de oppervlakte van driehoek ODE niet afhangt van de positie van punt B op K. Illustratie van 10.1. Het punt P is een willekeurig punt op de grafiek van y. De -coördinaat van punt P is p. Toon aan dat de raaklijn in P aan de grafiek de y- as snijdt in het punt (0, p ). Illustratie van 10.7, 10.8 en 11. 3. De functies f en g a zijn gegeven door f ( ) ln ( ) en g ( ) a, waarbij a een a positief geheel getal is. Zie de tekening hiernaast. Druk de minimale verticale afstand tussen de grafieken van f en g uit in a. Illustratie van 10.5 4. Hiernaast staat de grafiek van y. Bereken de eacte coördinaten van de buigpunten van de grafiek. a e Illustratie van 10.3, 11., 11.5 en 10.5 5. De functie f is gegeven door f ( ) ln ( ) ln ( ). a. Bereken de eacte waarden van de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de -as. b. Bereken de eacte waarde van het minimum van f. c. Bereken de tweede afgeleide van de functie f en geef de eacte coördinaten van het buigpunt van de grafiek van f. Illustratie van 10.7 en 10.3 (toepassing) pagina 7 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) 6. Op de marketingafdeling van een snoepfabriek wordt de prijs van een rol pepermunt bepaald. De afzet q van deze pepermuntrollen hangt als volgt samen met de prijs p: p 0 0 0 0 q 1 0 0 0 0 (q is het verkochte aantal rollen, p de prijs in euro per rol). De kosten K (in euro) kunnen berekend worden met de formule K 0, 7 5 ( 50 q). De opbrengst R wordt berekend met de formule R p q en de winst W (in euro) wordt berekend met W R K. K a. Bereken bij een prijs van 1 euro per rol de afzet q, de opbrengst R, de kosten en de winst W. b. Stel een formule op voor de winst W als functie van de prijs p. c. Bereken met behulp van differentiëren in eurocent nauwkeurig welke prijs de fabrikant de grootste winst oplevert. Subdomein C Technieken voor differentiëren Subdomein C 11.1 11. 11.3 11.4 11.5 11.6 opgave 11 opgave 1 opgave 13 opgave 14 e 4 7. De functie f is gegeven door f ( ). e 4 Illustratie van 10. en 11.4 a. Toon met behulp van differentiëren aan dat f een stijgende functie is. Illustratie van 10.4 en 10.9 b. Bereken op algebraïsche wijze de maimale helling van een raaklijn aan de grafiek van f. Illustratie van 11.4 8. Voor elke waarde van p, met p en p, is de functie f gegeven door 3 f ( ). p p. s in ( ) Toon met behulp van de afgeleide functie aan dat de -coördinaten van de toppen 5 van de grafiek van f Illustratie van 10.7, 10,3 p niet van p afhangen. p 5 Dit begrip staat niet genoemd, maar is voorkennis uit de onderbouw. pagina 8 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) 9. Voor elke waarde van p is de functie f p gegeven door 5. f p ( ) 3. p a. Toon met behulp van differentiëren aan dat f etremen heeft bij en 10 b. Bereken voor welke waarde van p de functie Subdomein C3 Integraalrekening Subdomein C3 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 f een etreem heeft bij 0. p opgave 15 opgave 16 opgave 17 opgave 18 opgave 19 opgave 0 opgave 1 opgave opgave 3 opgave 4 1 10. De functie f is gegeven door f ( ). De lijnen a en 1, de -as en de grafiek van f sluiten een gebied V in. De oppervlakte van V noemen we V(a). De lijnen b en 1, de -as en de grafiek van f sluiten een gebied W in. De oppervlakte van W noemen we W(b). Zie de figuur. Hierin is a 1 en 0 b 1. W(b) a. Neem 3 b en bereken eact W ( b ). 4 V(a) b. Bereken eact voor welke a geldt: V ( a). 99 100 b 1 a c. Toon aan: als W ( b ) V ( a ) dan is 1 1 a b. pagina 9 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) De vlakdelen V en W worden gewenteld om de -as. De inhouden van de zo ontstane omwentelingslichamen noemen we I ( a ) en J ( b ). d. Toon aan: als J ( b ) = I ( a ) dan is 1 1 a b 3 3. Illustratie van 1.1. 1.3 en 1.4 11. (Naar eamen VWO B1, 005 tijdvak, vraag 14) De functie f is gegeven door f ( ) e. De lijn a snijdt de -as in P en de grafiek van f in S, de lijn a 1 snijdt de - as in Q en de grafiek van f in R. Het gebied begrensd door de grafiek van f en de lijnstukken PS, PQ en QR noemen we V. Het trapezium PQRS noemen we W. Zie de figuur hiernaast. o p p e r v la k te v a n W Toon aan dat de verhouding onafhankelijk is van a. o p p e r v la k te v a n V Illustratie van 1. 1. De functie f is gegeven door f ( ) e s i n ( ). a. Toon aan dat de functie F gegeven door een primitieve van f is. Illustratie van 1.5 13. Toon aan dat Illustratie van 1.1 en 1. 0 0, t 0, 0, 0,1 t e d t 0, 6 e 3 e 3. 14. De functie f is gegeven door f ( ) 4 3 e. Een primitieve functie F van f is van de vorm F ( ) a b c e. Bereken a, b en c. e F ( ) s i n ( ) c o s ( ) 1 pagina 30 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) Domein D Goniometrische functies Subdomein D1 Goniometrische functies en vergelijkingen Subdomein D1 opgave 1 opgave opgave 3 13.1 13. 13.3 13.4 13.5 13.6 opgave 4 opgave 5 opgave 6 opgave 7 opgave 8 opgave 9 opgave 10 Illustratie van 13.1 en 13. 1. Een punt P doorloopt met constante snelheid de cirkel met middelpunt O(0,0) en straal 4. Het punt P start daarbij in het punt (4,0) en beweegt vanaf dat punt naar boven. Na seconden is P voor de eerste maal in het punt 3,. Bereken na hoeveel seconden P voor de tweede keer in het punt, is. Illustratie van 13.1 en 13.. De punten P en Q voeren elk een harmonische trilling uit. Beide trillingen hebben verschillende amplitude en frequentie. Voor de uitwijking u P u P 1 1 t 6 6 5 sin ( ). van P uit de evenwichtsstand op tijdstip t geldt De trilling van punt Q heeft een keer zo grote amplitude, een 3 keer zo grote frequentie en u (0) 1 0. Q Geef een formule voor de uitwijking Los eact op : 3. Illustratie van 13.3 a) c o s ( ) 3 c o s ( ) 1 0 Illustratie van 13.3 en 13.5 b) 1 3 3 4 sin ( ) co s( ) Illustratie van 13.6 u van Q uit de evenwichtsstand op tijdstip t. Q c) 3 c o s ( ) s i n ( ) Illustratie van 13. 4. Op het domein [0, 40] is de functie f gegeven door f ( ) d a s in ( b ). Het bereik van deze functie is [ 6, ]. De grafiek van functie f bereikt op dit domein de evenwichtsstand precies zes keer. De zesde (en dus laatste) keer dat dit gebeurt, is bij = 40. Bereken alle mogelijke waarden van a, b en d. pagina 31 van 53
WISKUNDE B VWO Conceptsyllabus centraal eamen 018 Versie concept t.b.v. veldraadpleging februari 013 (bij het nieuwe eamenprogramma) Illustratie van 13.3 5. De functie f is gegeven door f ( ) 1 s in ( ) op [0, π]. Los eact op: f ( ) 0. Illustratie van 13.4 6. De functie f is gegeven door f ( ) s i n ( ). a) Toon aan dat de grafiek van f symmetrisch is in de y-as. b) Toon aan dat de grafiek van f symmetrisch is in de lijn Illustratie van 13.5 7. De functie f is gegeven door 1 π. f ( ) c o s ( ) c o s ( ) op het domein [0,]. a) Het functievoorschrift van f is te schrijven als f ( ) d a c o s ( b ). Bereken a, b en d. b) Het functievoorschrift van f is te schrijven als f ( ) p c o s ( ) q c o s ( ) r. Bereken p, q en r. Illustratie van 13.5 8. a) Het functievoorschrift van de functie f gegeven door f ( t ) c o s (3 t ) is te herschrijven tot 3 f ( t ) 4 c o s ( t ) 3 c o s ( t ). Toon dat aan. b) Ook het functievoorschrift van de functie g gegeven door g ( t ) c o s (6 t ) is te herschrijven zo, dat g een functie van c o s ( t ) is. Herschrijf g ( t ) zoals bedoeld. Illustratie van 13.5 1 1 3 3 9. De functie gegeven door y co s( t ) co s( t ) is te schrijven in de vorm y d a s in ( b ( c )). Bereken a, b, c en d. 10. Toon de correctheid van de volgende formules aan Illustratie van 13.6 a. b. s in ( ) c o s ( ) s in ( ) c o s ( ) 5 Illustratie van 13.6 ta n ( ) s in ( ) 4 ta n ( ) 1 s in ( ) Illustratie van 13.4 en 13.6 t a n ( ) 1 c. s i n ( ) s i n 1 t a n ( ) pagina 3 van 53