ECHNISCHE UNIVERSIEI EINDHOVEN Faculteit echnische Natuurkunde Examen Mechanica voor N en Wsk (3AA4) maandag 3 maart 6 van 9.-. uur Dit tentamen bestaat uit de opgaven t/m. Bij dit tentamen behoeft geen rekenmachine gebruikt te worden. Grafische rekenmachines, gewone rekenmachines en Notebooks mogen niet gebruikt worden. Vermeld zowel op de presentiekaart als op het aanwezige doorslagpapier naast de gangbare gegevens zoals uw naam, adres etc. in de rechterbovenhoek ook of u natuurkunde (N), wiskunde (Wsk), of de combinatie studeert (N/Wsk). Maak uw werk bij voorkeur op het doorslagpapier. Lever het origineel in en neem de doorslag mee naar huis, zodat u aan de hand daarvan uw eigen werk kunt beoordelen via de na afloop van het tentamen uit te reiken antwoorden. De uitslag wordt bekendgemaakt op dinsdag 8 maart 6 op het publicatiebord van de studentenadministratie. Indien u het cijfer wilt bespreken, dient u de eigen beoordeling mee te brengen. z.o.z.
. a. Bereken de arbeid verricht door de kracht F = x yî + (x + 4y)ĵ bij een beweging over elk van de volgende twee paden (zie figuur): pad : van (, ) naar (, ) over de curve y = x ; pad : van (, ) in een rechte lijn naar (, ) en vandaar via een rechte lijn verder naar (, ). Kan uit een vergelijking van de antwoorden geconcludeerd worden dat de kracht conservatief is? Licht het antwoord toe. y pad pad x b. Een deeltje met massa m beweegt in een twee-dimensionale ruimte onder invloed van een potentiële energie gegeven door U = U (x +y +x(y +)) waarin U een positieve constante is. Bereken de kracht op het deeltje als functie van x en y, en vind de maximale snelheid van het deeltje als het een totale mechanische energie E heeft. c. Vanuit de oorsprong O van het coördinatenstelsel wordt op tijdstip t = een kogel afgeschoten onder een een hoek van 4 o met de horizontaal (zie figuur). De beginsnelheid van de kogel is v. De ruimte is afgesloten door een driehoekig dak waarvan de top ligt op (x =, y = a) en de voetpunten V op (x = ±a, y = ) (zie figuur). Hierin is a een positieve constante. De valversnelling is g. Bereken het tijdstip waarop de kogel bij gegeven v het dak raakt en bereken de minimale waarde van v waarvoor het dak geraakt kan worden. V -a dak y a v 4 o a g V x. wee blokken A en B zijn verbonden door een touw dat over een massaloze en wrijvingsloze katrol K is geslagen (zie figuur). Op de katrol wordt een externe kracht F uitgeoefend die verticaal naar boven is gericht. De massa van blok A is m A, die van blok B is m B. De valversnelling is g. a. eken voor de blokken A en B en voor de katrol K apart een vrij lichaamsdiagram (free-body diagram) en verklaar de voor de krachten gebruikte symbolen. b. Laat zien dat het verband tussen de grootte a A, a B en a K van de versnellingen die de drie voorwerpen A, B en K ondergaan wordt gegeven door a A = a K a B. Hint: beschouw de lengte van het touw. c. Druk de grootte van de versnelling van de katrol K uit in F, m A, m B en g. K A F B g
3. a. Een open wagon met massa M rijdt met snelheid V zonder enige wrijving op een perfect horizontale spoorbaan als het op tijdstip t = begint te regenen. De regendruppels vallen met constante snelheid v onder een hoek α met de verticaal omlaag. De hoeveelheid regenwater die zich in de wagon heeft verzameld is rechtevenredig met de tijd; op tijdstip t = is de massa van dit verzamelde water gelijk aan m. Bereken de snelheid van de wagon als functie van de tijd nadat het is begonnen te regenen. Geef hierbij aan op welke wet het antwoord is gebaseerd, en ook waarom die wet in dit geval geldig is. Geef tenslotte een redenatie die de gevonden snelheid in de limiet t aannemelijk maakt. b. Een andere wagon, uitgerust met een grote vloeistoftank ter lengte L, staat in het begin stil op een rangeerterrein (zie figuur). De tank is in twee gelijke stukken verdeeld door middel van een verticale scheidingswand; de horizontale positie van de scheidingswand in de beginsituatie noemen we x =. In het begin is alleen de linkerhelft van de tank gevuld met water. Op tijdstip t = wordt een klep K onderin de tank opengezet waardoor de twee helften van de tank met elkaar worden verbonden. De massa van het water in de linkerhelft van de tank m(t) neemt daardoor af volgens de formule m(t) = m ( + e t/ ) waarin m en positieve constanten zijn. De massa van een lege tankwagon is M. Wrijving mag worden verwaarloosd. L water leeg K x Bereken de verplaatsing van de wagon als functie van de tijd na het openzetten van klep K. Geef aan op welk principe de berekening is gebaseerd. 3
4. In een achtbaan wordt bij punt S op een hoogte h een karretje met massa m in de baan gezet (zie figuur). Het karretje rolt met verwaarloosbare beginsnelheid zonder wrijving naar beneden en komt vervolgens bij punt P in een looping met straal R terecht. In de looping ondervindt het karretje een constante wrijvingskracht ter grootte f w. Op het hoogste punt in de looping blijkt dat het karretje een normaalkracht van de looping ondervindt die wat betreft grootte en richting gelijk is aan de zwaartekracht. De valversnelling is g. S g h R P Q v x a. Bereken vanaf welke hoogte h het karretje is losgelaten. Om het karretje tot stilstand te brengen wordt vanaf punt Q (zie figuur) een parachute geopend, waardoor het karretje naast de constante wrijvingskracht f w ook nog een luchtwrijvingskracht ter grootte Cv ondervindt, waarbij v de snelheid van het karretje is en C een constante. b. Als gegeven is dat het karretje bij Q een snelheid v heeft, bereken dan de tijd die het karretje nodig heeft om vanaf punt Q tot stilstand te komen.. Mavis bevindt zich aan boord van een ruimteschip dat t.o.v. Stanley met een snelheid van 4 c in de positieve x-richting beweegt, waarin c de lichtsnelheid is. Op het moment dat Mavis Stanley passeert, zetten beiden hun klokken op nul. Op datzelfde moment wordt vanaf Mavis ruimteschip een raket gelanceerd die in Mavis coördinatenstelsel met een snelheid ter grootte 3 c in de negatieve x-richting beweegt. De raket is uitgerust met een ontstekingsmechanisme dat de raket laat ontploffen op een tijd τ na lancering, gemeten door een klok aan boord van de raket. a. Bereken de tijd en de positie waarop de raket ontploft in Mavis coördinatenstelsel, en bereken de snelheid van de raket in Stanley s coördinatenstelsel. Nog voordat de raket ontploft neemt Stanley waar dat in zijn stelsel op een zeker tijdstip t = t de voorkant van de raket zich bevindt op positie x = x en de achterkant op x = x + L. b. Bereken de ruimte-tijd coördinaten van voor- en achterkant van de raket in Mavis stelsel die corresponderen met Stanley s waarnemingen. Geef aan waarom deze twee waarnemingen in Stanley s stelsel wel een meting van de lengte van de raket vormen, maar in Mavis stelsel niet. Bereken tenslotte de lengte van de raket in Mavis stelsel. 4
FORMULEBLAD MECHANICA Uitwendig product: A B = (A y B z A z B y )î + (A zb x A x B z )ĵ + (A xb y A y B x )ˆk Rotatie: rot F = F = ( F z y F y z ) î + ( F x z F z x ) ĵ + ( F y x F x y ) ˆk Goniometrische formules: Cosinusregel: a = b + c bc cos α Sinusregel: sin α a = sin β b = sin γ c sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β sin α sin β sin 3 o = cos 6 o =, sin 4o = cos 4 o =, sin 6 o = cos 3 o = 3 Speciale relativiteitstheorie: t = γ t, l = l /γ, γ = u /c x = γ(x ut), y = y, z = z, t = γ(t ux c ) v = v u, v = uv/c v +u +uv /c p = γm v, E = K + mc = γmc, E = (mc ) + (pc)
B E O O R D E L I N G S F O R M U L I E R van het tentamen Mechanica (3AA4) van 3 maart 6 In principe is het cijfer gelijk aan het totaal gedeeld door 7,. Voor een goede berekening die berust op een principieel fout uitgangspunt worden geen punten gegeven. De voorlopige cijfers zullen uiterlijk dinsdag 8 maart 6 bekend gemaakt worden, evenals de bonus en de data voor het bespreken. Indien u gebruik wilt maken van het bespreken dan dient u dit formulier ingevuld mee te brengen voor het onderhoud met de corrector. Naam: Identiteitsnr.: Groep: e behalen oegekend door oegekend door Vraagstuk: punten: corrector: student:. a) 6...... c) 6...... 8....... a) 6...... c) 6...... 8...... 3. a) 6............ 4. a) 6............. a) 6............ otaal te behalen punten: 7 Behaald:... Behaald:... 6
ECHNISCHE UNIVERSIEI EINDHOVEN Faculteit echnische Natuurkunde Examen Mechanica voor N en Wsk (3AA4) maandag 3 maart 6 van 9.-. uur. a. Pad : W =, F d r =, x x dx+ (y+4y)dy = x +y = + = 6 Pad : W =, F d r =, x dx = ; W =, F d r = (+4y)dy =, (y + y ) = 6. W = W + W = 6. Dat de arbeid over pad gelijk is aan die over pad is niet genoeg om te concluderen dat de kracht conservatief is want daarvoor moet dit voor ieder pad gelden. b. F = U = (x + y + )U î (x + 4y)U ĵ. De kinetische energie is maximaal als de potentiële energie minimaal is, d.w.z. daar waar de kracht is. Dus oplossen x + y + = en x + 4y = ; dit levert (x, y) = (, ) en U(, ) = U. De maximale snelheid wordt (/m)(e + U ). c. Kogel voert paraboolbaan uit, dus x(t) = v t en y(t) = v t gt. Rechterzijde van het dak voldoet aan y = a x. Invullen van x(t) en y(t) geeft kwadratische vergelijking voor t. Oplossing is t = (v ± v ga)/g. Kleinste waarde van t is juist want dat is eerste snijpunt van baan met dak, dus minteken kiezen. eken van v ga moet positief, dus v > ga.. a. Free-body diagrams: F Verklaring symbolen: F is de gegeven kracht, A B de trekkracht van het touw, F z,a en F z,b de K a K a A a B Fz,a Fz,b zwaartekracht werkend op A resp. B, a K, a A en a B zijn de versnellingen van K, A en B. b. Noem de verticale positie van A, B en K respectievelijk y A, y B en y K. De lengte van het touw is dan L = (y K y A ) + (y K y B ). Omdat de lengte van het touw niet verandert volgt uit tweemaal differentiëren naar de tijd hiervan het gegeven verband tussen de versnellingen. c. weede wet van Newton toepassen op A,B en K afzonderlijk: A: m A g = m A a A a A = (/m A ) g B: m B g = m B a B a B = (/m B ) g K: F = = F/ Hieruit a A = (F/m A ) g en a B = (F/m B ) g. Dit combineren met het gegeven van onderdeel b: a K = (a A +a B )/ geeft a K = (F/4)(/m A +/m B ) g. 3. a. Antwoord gebaseerd op wet van behoud van impuls. Mag hier worden toegepast in horizontale richting omdat in die richting geen externe krachten werken. Op tijdstip t heeft zich een massa m(t) = mt/ verzameld. Impuls vóór: MV ± m(t)v sin α; na: (M + m(t))w(t). Daaruit w(t) = {MV ± (mvt/ ) sin α}/(m + mt/ ). eken ± hangt af van keuze α. Als t dan w v sin α: op den duur is de massa (en daarmee ook de impuls) van de lege wagon verwaarloosbaar t.o.v. die van het verzamelde water. otale impuls vóór wordt dan m(t)v sin α en totale massa wordt m(t), dus w wordt v sin α.
b. Principe: in horizontale richting geen externe krachten zodat massamiddelpunt wagon+water op zelfde horizontale positie blijft. Noem horizontale positie middelpunt wagon x(t); dan bevindt het water in linkerhelft tank zich op positie x L/4; voor rechterhelft is dat x + L/4. Massa van water in rechterhelft is m minus massa in linkerhelft. Als massamiddelpunt wagon+water niet verandert moet gelden Mx()+m (x() L/4) = Mx(t)+m(t)(x(t) L/4)+{m m(t)}(x(t)+l/4). Hieruit volgt x(t) = x() + (m L/4)(e t/ )/(m + M), zodat de verplaatsing x(t) = x(t) x() = (m L/4)(e t/ )/(m + M). 4. a. In : W niet = πrf w = U + K = mgr mgh + mv mv = {mg(h R) πrf w } combineren met netto kracht F = F n + F z = mg = mv /R. Daaruit h = 3R + πrf w /mg. b. Bewegingsvergelijking wordt m dv dt = f w Cv. Oplossen d.m.v. scheiden variabelen: = C dt ln v+f w/c dv v+f w /C m v +f w /C = Ct/m. Invullen v = levert t = m ln Cv +f w C f w.. a. ijd τ is eigentijd in het coördinatenstelsel van de raket, dat met snelheid v = 3c beweegt t.o.v. Mavis stelsel. In Mavis stelsel vindt ontploffing dus plaats op t M = γ v τ waarin γ v = / ( 9/) = ; de raket bevindt zich in haar stelsel 4 dan op positie x M = vt M = vγ v τ = 3 cτ. In Stanley s stelsel beweegt raket 4 met een snelheid w = (u v)/( uv/c ) = ( 4 3)c/( 3 4 ) = c in de 3 positieve x-richting (waarin u = 4 c de snelheid is van Mavis t.o.v. Stanley). b. Ruimte-tijd coördinaten van meting voor- en achterkant in Stanley s stelsel: G v = {t, x }, G a = {t, x + L}. Uit Lorentz-vergelijkingen volgt dat in Mavis stelsel G v = {t v = γ u (t ux /c ), x v = γ u (x ut )} en G a = {t a = γ u (t u(x + L)/c ), x a = γ u (x + L ut )} waarin γ u = / ( ( 4 ) ) =. 3 In Stanley s stelsel zijn bepaling voor en achterzijde gelijktijdig, wat voor juiste lengtebepaling nodig is, maar in Mavis stelsel niet. Lengte raket in Stanley s stelsel: L. Eigenlengte raket L wordt gemeten in stelsel raket, dus L = γ w L; Mavis meet dan L M = L /γ v = 3L/ = 3L. 4