Fundamentele begrippen in de financiële wiskunde

Fundamentele begrippen in de financiële wiskunde Peter Spreij Leve de Wiskunde!, 8 april 2011

Inhoud Doel 1 Doel 2 3 Arbitrage Replicatie, hedging 4 5 6 Peter Spreij Financiële Wiskunde 1/ 60

FTAPs Doel Stelling (FTAP1) Een markt is arbitragevrij als en alleen als er een equivalente martingaalmaat bestaat. Stelling (FTAP2) Een arbitragevrije markt is volledig als en alleen als er een unieke martingaalmaat bestaat. Peter Spreij Financiële Wiskunde 3/ 60

Opties Doel Een (Europese) optie is het recht (maar niet de plicht) om op een vastgesteld tijdstip in de toekomst een gespecificeerde financiële transactie te verrichten. Een Europese call optie (ECO) is het recht om op een vastgesteld tijdstip in de toekomst een aandeel van een zeker fonds te kopen tegen een nu vastgelegde prijs. Peter Spreij Financiële Wiskunde 5/ 60

Probleemstelling Een aandeel heeft nu een (bekende) prijs S 0 = 100 en morgen een onbekende prijs S 1. De optie De optiehouder heeft het recht om morgen een aandeel te kopen voor 120 euro. Meneer Koper wil een optie kopen, mevrouw Seller wil zo n optie verkopen. Vraag: wat is de eerlijke, objectieve prijs die vandaag voor de optie gerekend moet worden? Peter Spreij Financiële Wiskunde 6/ 60

Mevrouw Seller is optimistisch Het gedrag van het aandeel volgens mevrouw Seller: S 0 = 100 180 met kans 2 3 S 1 = 60 met kans 1 3 De verwachte prijs ES 1 = 180 2 3 + 60 1 3 mevrouw Seller. = 140 volgens Peter Spreij Financiële Wiskunde 7/ 60

Meneer Koper is gereserveerd Het gedrag van het aandeel volgens meneer Koper: S 0 = 100 180 met kans 1 3 S 1 = 60 met kans 2 3 De verwachte prijs ES 1 = 100 volgens meneer Koper. Peter Spreij Financiële Wiskunde 8/ 60

De optie Doel Waarde van de optie morgen 60 als S 1 = 180 C = (S 1 120) + = 0 als S 1 = 60 Verwachte optiewaarden 40 volgens mevrouw Seller EC = 20 volgens meneer Koper Peter Spreij Financiële Wiskunde 9/ 60

Conflict? Doel Vuistregel: De objectieve prijs voor deelname aan een kansspel is de verwachte waarde (uitbetaling). Probleem: Hier zijn twee verschillende verwachtingen in het spel. Vraag Bestaat er (toch) een handelsprijs, of zelfs een objectieve prijs voor de optie? Peter Spreij Financiële Wiskunde 10/ 60

Terug naar het aandeel Voor het aandeel vonden we 140 volgens mevrouw Seller ES 1 = 100 volgens meneer Koper Wat zou nu de objectieve prijs van het aandeel zijn? Aandeelprijs vandaag S 0, de geldende marktprijs, onafhankelijk van subjectieve percepties van de markt. Peter Spreij Financiële Wiskunde 11/ 60

Over de prijs van een ECO Belangrijk: een ECO is een optie in termen van een ander financieel product (aandeel). Een ECO is dus een afgeleid product, een derivaat, met het aandeel als onderliggend product. De waarde (prijs) van zo n optie nu, zou gerelateerd moeten zijn aan de waarde van het aandeel nu. Vraag: hoe? Peter Spreij Financiële Wiskunde 12/ 60

Inhoud Doel Arbitrage Replicatie, hedging 1 Doel 2 3 Arbitrage Replicatie, hedging 4 5 6 Peter Spreij Financiële Wiskunde 13/ 60

Arbitrage Replicatie, hedging Een eenvoudige (wiskundige) markt Nu (t = 0) heeft het aandeel een bekende prijs S 0 > 0. In de toekomst (t = 1) heeft het aandeel een onbekende prijs S 1. Model van de binaire markt Twee mogelijkheden: S 0 u met kans p u = P(Z 1 = u) S 1 = S 0 Z 1 = S 0 d met kans p d = P(Z 1 = d) en u > d > 0, p u, p d > 0, p u + p d = 1. NB: p u, p d kunnen subjectieve kansen zijn, of de werkelijke. Peter Spreij Financiële Wiskunde 14/ 60

Portefeuilles Doel Arbitrage Replicatie, hedging Op de markt is het aandeel te koop, maar je kunt ook sparen. Koop x aandelen en zet y euro op de bank, dan is (x, y) een portefeuille met waarde (prijs) V 0 op t = 0 gegeven door V 0 = xs 0 + y. NB: x, y R, dus x < 0 of y < 0 (lenen) is toegestaan. Peter Spreij Financiële Wiskunde 15/ 60

Arbitrage Replicatie, hedging De waarde van de portefeuille op t = 1 Twee mogelijkheden: V 1 = xs 1 + y = { xs0 u + y xs 0 d + y Toch heeft de portefeuille op t = 0 de objectieve waarde V 0 = xs 0 + y. Peter Spreij Financiële Wiskunde 16/ 60

Arbitrage Doel Arbitrage Replicatie, hedging Een portefeuille heet een arbitragemogelijkheid als die nooit verlies oplevert, maar misschien winst. Preciezer: Arbitragemogelijkheid Een portefeuille heet een arbitragemogelijkheid als P(V 0 = 0) = 1, P(V 1 0) = 1 en P(V 1 > 0) > 0 Arbitragevrije markt Een markt heet arbitragevrij als er geen arbitragemogelijkheden bestaan, dus als voor elke portefeuille met P(V 0 = 0) = 1 en P(V 1 0) = 1 geldt P(V 1 = 0) = 1. Peter Spreij Financiële Wiskunde 17/ 60

Arbitrage Replicatie, hedging Intermezzo: equivalente kansmaten We beschouwen een eindige verzameling Ω = {ω 1,..., ω n } met een kansmaat P, p i = P(ω i ) 0 en p 1 + p n = 1. Daarnaast is er ook een kansmaat Q, q i = Q(ω i ) 0 en q 1 + q n = 1. Equivalentie P en Q heten equivalent als voor alle i geldt p i > 0 q i > 0. We schrijven P Q. Alternatief P en Q zijn equivalent als voor elke gebeurtenis E geldt P(E) > 0 (= 0, = 1) Q(E) > 0 (= 0, = 1). Peter Spreij Financiële Wiskunde 18/ 60

Arbitrage Replicatie, hedging EMM voor algemeen model S 1 = S 0 Z 1 Equivalente martingaalmaat Een kansmaat Q P heet equivalente martingaalmaat als geldt E Q S 1 = S 0, ofwel E Q Z 1 = 1. NB: Er kunnen oneindig veel EMMs bestaan, maar altijd geldt E Q S 1 = S 0. Voor elke portefeuille (x, y) en voor elke EMM Q geldt altijd E Q V 1 = E Q (xs 1 + y) = xs 0 + y = V 0. Peter Spreij Financiële Wiskunde 19/ 60

Arbitrage Replicatie, hedging Bestaat een EMM voor de binaire markt? In het binaire model is P zodanig dat p u = P(Z 1 = u) > 0 en p d = P(Z 1 = d) > 0. Elke andere aan P equivalente kansmaat Q moet voldoen aan q u = Q(Z 1 = u) > 0 en q d = Q(Z 1 = d) > 0. Er geldt E Q S 1 = S 0 als E Q Z 1 = 1, en dus uq u + dq d = 1 q u + q d = 1. Oplossen geeft q u = 1 d u d, q d = u 1 u d. Vraag Zijn dit kansen, zijn q u, q d > 0? Peter Spreij Financiële Wiskunde 20/ 60

EMM voor de binaire markt Arbitrage Replicatie, hedging Stelling Er bestaat een EMM Q als en alleen als d < 1 < u. NB: we hebben zelfs gezien dat er dan maar één zo n Q is. Peter Spreij Financiële Wiskunde 21/ 60

Resultaat voor de binaire markt Arbitrage Replicatie, hedging Stelling Equivalent zijn 1. De markt is arbitragevrij. 2. Er bestaat een EMM Q (m.a.w. d < 1 < u). Bewijs (1 2): Stel geen EMM, bijvoorbeeld d 1. Kies x = 1, y = S 0, dan V 0 = xs 0 + y = 0 en { S0 (d 1) 0 V 1 = xs 1 + y = S 1 S 0 = S 0 (u 1) > 0. Dus P(V 1 > 0) = p u > 0: Arbitrage. Tegenspraak! Peter Spreij Financiële Wiskunde 22/ 60

Vervolg Doel Arbitrage Replicatie, hedging Stelling Equivalent zijn 1. De markt is arbitragevrij. 2. Er bestaat een EMM Q (m.a.w. d < 1 < u). Bewijs (2 1): Zij Q een EMM, en veronderstel een portefeuille met P(V 0 = 0) = 1 en P(V 1 0) = 1. Is P(V 1 = 0) = 1? Dan ook Q(V 0 = 0) = 1 en Q(V 1 0) = 1. Vanwege Q een EMM, is E Q V 1 = V 0 = 0, dus Q(V 1 = 0) = 1. Maar dan P(V 1 = 0) = 1, en dus is er geen arbitragemogelijkheid. Peter Spreij Financiële Wiskunde 23/ 60

Bereikbare derivaten Doel Arbitrage Replicatie, hedging Bereikbaarheid Een contract (met uitbetaling) C heet bereikbaar als er een portefeuille (x, y) bestaat zodanig dat V 1 = xs 1 + y = C. In dat geval heet (x, y) een hedge-portefeuille. Als de markt arbitragevrij is, dan is V 0 = E Q V 1 = E Q C de objectieve, arbitragevrije prijs van een bereikbaar contract C. Peter Spreij Financiële Wiskunde 24/ 60

Hedge-portefeuille voor ECO? Arbitrage Replicatie, hedging Probleem: vind x en y zodanig dat: C = (S 1 K) + = xs 1 + y, waar x, y R, niet afhankelijk zijn van de uitkomst van S 1. Als zulke x, y bestaan, hebben we een hedge-portefeuille, waarvan de waarde op t = 1 hetzelfde is als de waarde van de optie C. Peter Spreij Financiële Wiskunde 25/ 60

Bepalen van de hedge-portefeuille Arbitrage Replicatie, hedging We willen Twee gevallen: (S 1 K) + = xs 1 + y. (S 0 u K) + = xs 0 u + y (S 0 d K) + = xs 0 d + y, twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden. Peter Spreij Financiële Wiskunde 26/ 60

Bepalen van de hedge-portefeuille Arbitrage Replicatie, hedging Oplossing x = (S 0u K) + (S 0 d K) + S 0 (u d) y = u(s 0d K) + d(s 0 u K) + u d Peter Spreij Financiële Wiskunde 27/ 60

Arbitrage Replicatie, hedging Waarde V 0 van de hedge-portefeuille Met de gevonden waarden voor x en y bepalen we V 0 = xs 0 + y: V 0 = 1 d u d (S 0u K) + + u 1 u d (S 0d K) + = q u (S 0 u K) + + q d (S 0 d K) +. Belangrijke observatie V 0 = E Q (S 1 K) + = E Q C. Peter Spreij Financiële Wiskunde 28/ 60

Volledigheid Doel Arbitrage Replicatie, hedging Binaire markt: Met soortgelijke berekeningen kan elk derivaat C = f (S 1 ) gerepliceerd worden: Er bestaat een portefeuille (x, y) zodanig dat f (S 1 ) = xs 1 + y, ongeacht welke waarde S 1 aanneemt. is volledig: elk derivaat kan gerepliceerd worden (een derivaat f (S 1 ) voegt niets toe aan alle denkbare portefeuilles). Volledige markt (algemeen) Een markt heet volledig, indien voor elke claim een hedge-portefeuille bestaat. Peter Spreij Financiële Wiskunde 29/ 60

Een iets ingewikkeldere markt Model: S 0 u met kans p u = P(Z 1 = u) > 0 S 1 = S 0 Z 1 = S 0 m met kans p m = P(Z 1 = m) > 0 S 0 d met kans p d = P(Z 1 = d) > 0 en u > m > d, p u, p m, p d > 0, p u + p m + p d = 1. Peter Spreij Financiële Wiskunde 31/ 60

Equivalente martingaalmaat Vraag: bestaat er een EMM? Zoja, dan zou moeten gelden q u, q m, q d > 0, E Q Z 1 = 1: q u u + q m m + q d d = 1. Met m = tu + (1 t)d vinden we (q u + q m t)u + (q d + q m (1 t))d = 1, ofwel, 1 is een echte convexe combinatie van u en d, dus d < 1 < u. Peter Spreij Financiële Wiskunde 32/ 60

Stelling De markt met drie mogelijkheden is arbitragevrij als en alleen als er een equivalente martingaalmarkt bestaat, en dat is zo a.e.a.a. d < 1 < u. Geen uniciteit van Q Het stelsel q u u + q m m + q d d = 1 q u + q m + q d = 1 heeft oneindig veel positieve oplossingen q u, q m, q d. Peter Spreij Financiële Wiskunde 33/ 60

Hedgen van de ECO? Voor een hedge-portefeuille (x, y) geldt xs 1 + y = (S 1 K) +, dus xs 0 u + y = (S 0 u K) + xs 0 m + y = (S 0 m K) + xs 0 d + y = (S 0 d K) +. Dit kan alleen als t(s 0 u K) + + (1 t)(s 0 d K) + = (S 0 m K) +, en dit is niet waar als S 0 d < K < S 0 u. Peter Spreij Financiële Wiskunde 34/ 60

Conclusies onder de voorwaarde d < 1 < u De markt met drie mogelijkheden is arbitragevrij, er bestaan oneindig veel EMMs, en er bestaan derivaten die niet gehedged kunnen worden: de markt is niet volledig. Dit alles suggereert voor een willekeurig één-periode model Stelling (FTAPs) Een markt is arbitragevrij als en alleen als er een EMM bestaat. Een arbitragevrije markt is volledig als en alleen er een unieke EMM bestaat. Peter Spreij Financiële Wiskunde 35/ 60

Een nieuwe markt met drie mogelijkheden We nemen drie tijdstippen, t = 0, 1, 2. Model: S t = S t 1 Z t, t = 1, 2 met Z t {u, d} en alle kansen hieronder positief. Dan S 0 u 2 met kans p uu S S 2 = 0 ud met kans p ud S 0 du met kans p du S 0 d 2 met kans p dd. Merk op dat het aandeel op t = 2 drie waarden aanneemt. Peter Spreij Financiële Wiskunde 37/ 60

Eigenschappen van de nieuwe markt Stelling De markt met het binaire twee-periodenmodel is arbitragevrij en volledig. Vraag: waarom is nu elk derivaat te hedgen, terwijl dat in de (vorige) ternaire markt niet kan? Peter Spreij Financiële Wiskunde 38/ 60

Meer-perioden model algemener Meer perioden: t {0, 1,..., T }, T is de tijdshorizon. Algemeen model S t = S t 1 Z t, 1 t T. Er volgt S T = S 0 Z 1 Z T. Binaire markt Z t {u, d} en P zodanig dat P(Z 1 = z 1,..., Z T = z T ) > 0 voor alle (z 1,..., z T ) {u, d} T. Peter Spreij Financiële Wiskunde 39/ 60

Zelffinancierende portefeuilles Portefeuilles Een portefeuille is nu een stochastisch proces (x t, y t ), 0 t T, waarbij x t, y t van S 0,..., S t 1 mag afhangen, maar niet van S u met u t. De waarde op tijdstip t is V t = x t S t + y t. Zelffinancierende portefeuilles Een portefeuille heet zelffinancierend als de budgetvergelijking voor herschikking opgaat : V t 1 = x t 1 S t 1 + y t 1 = x t S t 1 + y t, 1 t T. Peter Spreij Financiële Wiskunde 40/ 60

Equivalente eigenschap Notatie: S t = S t S t 1, V t = V t V t 1. (x t, y t ) is zelffinancierend als en alleen als V t = x t S t, 1 t T. Veranderingen in de waarden van de portefeuille worden dus alleen veroorzaakt door veranderen in de prijs van het aandeel. Peter Spreij Financiële Wiskunde 41/ 60

Derivaten Doel Een derivaat C is een contract waarvan de uitbetaling (waarde) op tijdstip T afhangt van S 0,..., S T. Voorbeelden: C = (S T K) + (Europese call) C = max{s 0,..., S T }. Centrale vraagstelling: wat is de waarde van een derivaat op een tijdstip t < T, i.h.b. op t = 0? Peter Spreij Financiële Wiskunde 42/ 60

Arbitrage Doel Arbitragemogelijkheid Een arbitragemogelijkheid is een zelffinancierende portfeuille met eindwaarde V T = x T S T + y T die voldoet aan P(V T 0) = 1 en P(V T > 0) > 0, terwijl de beginwaarde V 0 = 0. EMM Een equivalente martingaalmaat is een kansmaat Q die equivalent is aan P, terwijl (S t ) een Q-martingaal is, d.w.z. E Q [S t S 0,..., S t 1 ] = S t 1, 1 t T. Peter Spreij Financiële Wiskunde 43/ 60

Herschikken Doel (S t ) is een Q-martingaal als en alleen als E Q [ S t S 0,..., S t 1 ] = 0, en ook als en alleen als E Q [Z t S 0,..., S t 1 ] = 1. Peter Spreij Financiële Wiskunde 44/ 60

Meer martingalen Stelling Als (x t, y t ) zelf-financierend is met waardeproces (V t ) en Q een EMM, dan is ook (V t ) een Q-martingaal. Immers, E Q [ V t S 0,..., S t 1 ] = E Q [x t S t S 0,..., S t 1 ] = x t E Q [ S t S 0,..., S t 1 ] = 0. Peter Spreij Financiële Wiskunde 45/ 60

EMM voor de binaire markt Stelling In de meer-perioden binaire markt bestaat een EMM als en alleen als d < 1 < u. In dat geval is de EMM uniek. Omdat voor iedere t moet gelden E Q [Z t Z 1,..., Z t 1 ] = 1, dus volgt u Q[Z t = u Z 1,..., Z t 1 ] + d Q[Z t = d Z 1,..., Z t 1 ] = 1 Q[Z t = u Z 1,..., Z t 1 ] = 1 d u d. Bovendien zijn Z 1,..., Z T onafhankelijk onder Q. Peter Spreij Financiële Wiskunde 46/ 60

Eigenschappen van de meer-perioden binaire markt Stelling In de meer-perioden binaire markt zijn equivalent: (i) d < 1 < u. (ii) De markt is arbitragevrij. (iii) Er bestaat een equivalente martingaalmaat. (iv) Er bestaat een unieke equivalente martingaalmaat. (v) De markt is volledig. In het bijzonder hebben we (ii) (iii) en (iv) (v): FTAPs! Peter Spreij Financiële Wiskunde 47/ 60

Zwaarder geschut Als het meer-perioden model niet binair is, maar met willekeurige Z 1,..., Z T, is arbitragevrij zijn van de markt (nog steeds) equivalent met het bestaan van een EMM Q. Om het bestaan van Q te bewijzen, heb je onder meer de stelling van Hahn-Banach nodig, wegens het oneindig-dimensionale karakter van dit probleem. Peter Spreij Financiële Wiskunde 48/ 60

Continue tijd Doel Voor een model in continue tijd veronderstellen we t [0, T ] en we schrijven S(t) voor de waarde van het aandeel op een tijdstip t. Zo n model kan geconstrueerd worden door een groot aantal discrete-tijdmodellen aan elkaar te plakken, en dan een limiet te nemen. Peter Spreij Financiële Wiskunde 50/ 60

Constructie Doel Verdeel [0, T ] in stukjes ter lengte T /N (N groot) en beschouw binaire modellen met S(T ) = S N = S(0)Z 0 Z N, waarbij alle Z n {d N, u N }, met de bijzondere keuzen (σ > 0) d N = 1 σ T /N, u N = 1 + σ T /N. Voor de EMM Q geldt Q(Z n = u N ) = d N 1 u N d N = 1 2. Peter Spreij Financiële Wiskunde 51/ 60

Intermezzo: Binomiale verdeling Beschouw N worpen met een eerlijke munt, X is het aantal keren munt. Dan heeft X een Bin(N, 1 2 ) verdeling. Standaardiseer: W N = X 1 2 N. 1 4 N Dan is E Q W N = 0 en Var Q W N = 1. Centrale Limietstelling W N d W, met W standaard normaal N(0, 1) verdeeld. Peter Spreij Financiële Wiskunde 52/ 60

Op weg naar een limietmodel Herschrijf met X het aantal keren dat Z n = u N en N X het aantal keren dat Z n = d N. Dan S(T ) = S 0 u X N d N X N = S 0 u 1 2 (N+ NWN ) N d 1 2 (N NWN ) N en ln S(T ) N S(0) = 2 ln(u N ) W N + N d N 2 ln(u Nd N ). We gebruiken u N = 1 + σ T /N, d N = 1 σ T /N en ln(1 + x) = x 1 2 x 2 + voor x dicht bij nul. Peter Spreij Financiële Wiskunde 53/ 60

Wat asymptotiek onder de EMM Er komt ln S(T ) S(0) = σ T W N 1 2 σ2 T + d σ T W 1 2 σ2 T = σw (T ) 1 2 σ2 T, waarbij W (T ) een N(0, T ) verdeling heeft. Limietmodel voor S(T ) onder een EMM S(T ) = S(0) exp(σw (T ) 1 2 σ2 T ). Peter Spreij Financiële Wiskunde 54/ 60

Het model onder Q Het voorgaande hadden we ook voor elke 0 t T kunnen doen en dan S(t) = S(0) exp(σw (t) 1 2 σ2 t). Hier is, onder de EMM Q, W (t), 0 t T een Brownse beweging en S(t), 0 t T een martingaal. Peter Spreij Financiële Wiskunde 55/ 60

Benadering van de Brownse beweging met 100 stappen 1.5 1.0 0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.5 2.0 Figure: Paden van de benadering met 100 stappen (Carlo Kuiper) Peter Spreij Financiële Wiskunde 56/ 60

Benadering van de Brownse beweging met 1000 stappen 1.0 0.5 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.5 2.0 Figure: Paden van de benadering met 1000 stappen (Carlo Kuiper) Peter Spreij Financiële Wiskunde 57/ 60

De markt onder een fysieke maat Vraag: Q is equivalent..., maar met wat? Onder elke mogelijke echte kansmaat P geldt S(t) = S(0) exp(σw P (t) 1 t 2 σ2 t + a P (s) ds) 0 met W P een Brownse beweging onder P, en een zeker ander stochastisch proces a P. Onder P is S een semimartingaal en dit opent de weg naar veel algemenere modellen. Peter Spreij Financiële Wiskunde 58/ 60

Arbitrage en equivalente martingaalmaten algemeen NFLVR conditie (Arbitragevrije markt) C L + = {0}, waar C de afsluiting in de L -topologie van C, de convexe kegel (K 0 L 0 +) L, met K 0 de verzameling van h S met voorspelbare processen h waarvoor h S van beneden begrensd is. Stelling (FTAP1) Veronderstel dat S onder P een lokaal begrensde semimartingaal is. Dan bestaat er Q P onder welke S een lokale martingaal is als en alleen als NFVLR geldt. Peter Spreij Financiële Wiskunde 59/ 60

Dank voor jullie aandacht! Peter Spreij Financiële Wiskunde 60/ 60