AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options. 30 september 2010

Transcriptie

1 AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options 30 september

2 Agenda Huiswerk vorige keer Aandelen opties (H9) Optiestrategieën (H10) Vuistregels Volatility (H16) Binomiale boom (H11) 2

3 Optieprijs Welke variabelen bepalen de waarde van een optie? Aandeelprijs S Uitoefenprijs X Resterende looptijd t Rente r Dividend D Volatiliteit van de onderliggende waarde σ 3

4 Welke invloed hebben deze variabelen? Variabele Call Put Koers onderliggende waarde + Uitoefenprijs + Looptijd optie + + Rente + Dividend + Implied volatility + + 4

5 Put-Call Pariteit (zonder dividend) Beschouw volgende 2 portfolios: Portfolio A: Europese call (strike X) op een aandeel + bedrag in contanten X exp(-rt) Portfolio B: Europese put (strike X) op het aandeel + het aandeel zelf Beide portfolio s zijn waard max(st, X ) op expiratie van de opties Beiden zijn nu evenveel waard (arbitrage):!! c + X e-rt = p + S0 5

6 Early Exercise Amerikaanse opties kunnen voor expiratie uitgeoefend worden Amerikaanse call op aandeel dat dividend uitbetaalt Amerikaanse put die deep in-the-money is 6

7 Opgave 1 Beargumenteer wanneer een amerikaanse call voor dividendbetaling early exercise is. Vergelijk de situatie, waarin ge-exercised is met situatie waarin je de call houdt. Wat is het verschil? Wat volgt hieruit? Denk aan put-call pariteit 7

8 Wanneer Early Exercise? Amerikaanse call wordt uitgeoefend als Dividend > put + rente(strike) Amerikaanse put wordt uitgeoefend als rente(strike) > call rente(strike) is rente over de strike (uitoefenprijs) 8

9 Optie strategieën 9

10 Optie strategieën Opties + aandelen Combinatie van opties Straddle Strangle Butterfly 10

11 Alternatieve posities Positie in optie en onderliggende aandeel Positie in 2 of meer opties van het zelfde type (een spread) Combinatie: positie in een combinatie van calls & puts 11

12 Posities in optie & onderliggende aandeel Profit Profit X X S T S T Profit (a) Profit (b) X S T X S T (c) (d) 12

13 Combinaties Combineer opties (long en short) om gewenste strategie te krijgen Straddles Strangles Butterflies Etc. etc. 13

14 Straddle Profit X S T Combinatie van call en put met zelfde strike en looptijd 14

15 Straddle Koop call X=80 voor EUR 6 Koop put X=80 voor EUR 4.5 Bij expiratie: Als S=90: pay off = (call) = -0.5 Als S=60: pay off = (put) =

16 Strangle Profit X 1 X 2 S T Combinatie van call en put met dezelfde looptijd, maar verschillende strikes 16

17 Strangle Koop put X1= 80 voor EUR 4.5 Koop call X2= 85 voor EUR 3 Bij expiratie: Als S=100: pay off = (call) = 7.5 Als S=75: pay off = (put) =

18 Butterfly Spread met Calls Profit X 1 X 2 X 3 S T 18

19 Butterfly Spread met Puts Profit X 1 X 2 X 3 S T 19

20 Butterfly Koop Call strike 80 voor EUR 13 Koop Call strike 100 voor EUR 2.5 Verkoop 2 Calls strike 90 voor EUR 6 Betaal netto premie: EUR 3.5 Bij expiratie: Als S =105: (call80) (call100) - 2* [105-90] (call90) = EUR Als S = 85: (call 80) = EUR

21 Optiecombinaties Gebruik opties maakt portefeuille flexibel Heel veel pay-off profielen mogelijk Goed instrument om gewenst risico- rendement profiel van portefeuille te verkrijgen Reden: asymmetrie van optie pay-off 21

22 Opgave 2 Belegger wil optieconstructie waarbij hij profiteert van kleine daling en kleine stijging van AEX bij expiratie Nov 2008 zonder dat dit initieel geld kost. AEX op 380 Bedenk optieconstructie met calls en puts uit volgende sheet (aex Nov 08 optiesheet) Er zijn oneindig veel mogelijkheden Maak pay-off diagram van gekozen constructie Welke risico s heeft gekozen strategie? 22

23 AEX Oct 2004 optiesheet 23

24 Vuistregels Handig om uit je hoofd indicatie van optiewaarde te berekenen Market makers gebruikten op de vloer vuistregels om snel te handelen Ook voor uitkomsten optiewaarden uit modellen handig om gevoel te krijgen of waarden in de richting zijn 24

25 Vuistregels: waardering (forward) at-the-money Vuistregel waardering forward atm-optie: 0,4 σ " T (%) (basisformule) Vb. 5-jaars (FORWARD) atm optie, zowel call als put, volatility 10% Waarde: 0,4 * 10 * " 5 9% van de onderliggende waarde Forward atm niveau is spotkoers plus rente minus dividend(yield) 25

26 Vuistregels: waardering (forward) at-the-money Waarde (fw) atm optie: 0,4 σ " T (%) Lineair verband waarde en volatility: Vb. Vol 20% ipv 10%!waarde 18% ipv 9% Verband looptijd en waarde: Looptijd (forward) atm optie 4 jaar ipv 1 jaar: Waarde " 4 * 9% = 18% 26

27 Opgave 3 Bepaal waarde AEX dec straddle Volatility 17% Looptijd 3 maanden Rente en dividend effecten verwaarloosbaar Maak pay-off diagram voor bovenstaande straddle Geef break-even niveaus van AEX op derde vrijdag in dec 2004 aan 27

28 Bloomberg AEX dec 2004 scherm 28

29 Volatiliteit Hist. vol Theorie Black & Scholes Optieprijs Implied vol Black & Scholes Optieprijs Praktijk Historische vol is standaarddeviatie van aandeelrendementen, implied vol wordt afgeleid uit verhandelde optieprijzen 29

30 Volatiliteit Beweeglijkheid onderliggende waarde Hoe beweeglijker het aandeel, hoe hoger de volatiliteit Historische vs implied volatility Hoe hoger de implied volatility, hoe meer een optie waard is Oorzaak: asymmetrie van de pay-off 30

31 Volatility-effect opties Hoe beweeglijker het aandeel, hoe breder de kansverdeling, hoe meer een call of put waard is 31

32 Historische volatiliteit versus Implied vol. Historische volatiliteit is vaak lager dan Implied Volatility Redenen voor verschil als gevolg van B&S aannames Liquiditeit; hedging niet perfect => extra kosten Markten in praktijk niet-normaal => crashes in praktijk vaker dan de normale verdeling voorspelt Volatiliteit niet constant Dus implied is een correctie voor model- aannames die in de praktijk niet werken 32

33 Marktpremie Veel kleine bewegingen omhoog, vaak met afnemende volatiliteit Heftige correcties omlaag met exploderende volatiliteit 33

34 Implied volatility Gevolg van imperfecties B&S en markt: verschillende implied volatilities voor verschillende looptijden (termijnstructuur) en verschillende niveaus (skew) 34

35 T ermijnstructuur Implied volatility Looptijd Langere looptijden convergeren naar Gem. Hist. Vol. 35

36 Skew Implied volatility Strike Lagere strikes hebben hogere implied volatility 36

37 Binomiale boom 37

38 Binomiaal Model Rente 0% Wat is de prijs van de optie? 70% kans Aandelenprijs = $22 Aandelenprijs = $20 30% kans Aandelenprijs = $18 38

39 Binomiaal Model De aandelen prijs is $20 Over 3 maanden is de aandelenprijs $22 of $18 Aandelenprijs = $22 Aandelenprijs = $20 Aandelenprijs = $18 39

40 Call Optie Een 3-maands call optie op een aandeel heeft de strike 21. Aandeelprijs = $20 Optie Priis =? Aandeelprijs = $22 Optie Prijs = $1 Aandeelprijs = $18 Optie Prijs = $0 40

41 Risicoloze Portefeuille Portefeuille :#long Δ aandelen short 1 call optie# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 22! 1 # # # # # # # # # # # # # # # 18! Portefeuille is risicoloos als 22Δ 1 = 18Δ Dus Δ =

42 Portefeuille waarderen De risicoloze portefeuille is: long 0.25 aandelen short 1 call optie De waarde van de portefeuille over 3 maanden # 22* = 4.50 De waarde van de portefeuille vandaag 4.5e 0.12*0.25 =

43 Waarde Optie De portefeuille long 0.25 shares short 1 option is waard De aandelen zijn waard 0.25*20 = De waarde van de optie is dus =

44 Hoe te arbitreren? Bank geeft optieprijs van 0.80 euro. Wat te doen? 1. Schrijf optie en incasseer 0.80 euro 2. Koop 0.25 aandelen, dus leen 4.2 euro 3. Na kwartaal Stijging 0.25*22= exp(r t)=-4.33 Aandelen Optie Aflossing Daling 0.25*18= exp(r t)= Risicoloze winst van 0.17 euro 44

45 Generalisatie Portefeuille met long $ aandelen en short 1 derivaat!s 0 f S 0 u! ƒ u De portefeuille is risicoloos als S0u$ ƒu =S0d$ ƒd S 0 d! ƒ d 45

46 Generalisatie Waarde op tijdstip T is # # # S0u Δ ƒu Waarde vandaag is # # # (S0u Δ ƒu )e rt Alternatieve manier waarde vandaag # # # S0Δ f Dus # # # ƒ = S0Δ (S0u Δ ƒu )e rt 46

47 Generalisatie Vervang Δ door p # # ƒ = [ p ƒu + (1 p )ƒd ]e rt # met 47

48 Risk-Neutral Valuation ƒ = [ p ƒu + (1 p )ƒd ]e -rt # De variabelen p and (1 p ) zijn de risicovrije kansen dat het aandeel omhoog of naar beneden gaat De waarde van het derivaat is de verwachte opbrengst in de risicovrije wereld S 0 ƒ S 0 u ƒ u S 0 d ƒ d 48

49 Voorbeeld Prijs onderliggende verandert na kwartaal met 10%!!!!!!!! S! 0 u =! 22!!!!!!!!!!! ƒ u = 1 S 0 =20 ƒ p (1 p ) S 0 d = 18 ƒ d = 0 p moet een risicovrije kans zijn dus (r=12%)# # 20e 0.12!0.25 = 22p + 18(1 p ); p = Of de formule 49

50 Waarde Optie S 0 ƒ S 0 u = 22 ƒ u = 1 S 0 d = 18 ƒ d = 0 De waarde van de optie is! e 0.12!0.25 [0.6523% %0] =

51 Samenvattend Maak een model van de onderliggende Stel portefeuille samen uit derivaat plus onderliggende die geen risico heeft Leid de prijs van het derivaat af Door arbitrage afgeleide prijs blijkt gelijk te zijn aan de verwachte prijs in een risiconeutrale wereld 51

52 Tekortkoming model Binomiale vertakking te simpele beschrijving economie. Oplossing: knoop binomiale takken aan elkaar tot binomiale boom. Meer tijdstappen -> fijnere verdeling aandeelprijs. Op ieder knooppunt hedge vaststellen. 52

53 Uitbreiding binomiale boom Bepaal hoeveelheid aandelen en opties t=0 t=0.5 t=1 53

54 Binomiale boom S 6 S 3 S 0 S 5 S 2 S 4 Achterwaarts waarderen derivaat. 54

55 Twee staps boom Elke tijdstap is 3 maanden Rente=12% Call optie met uitoefenprijs van 21 55

56 Waarde Call Optie A B C D E F Value at node B = e 0.12!0.25 (0.6523% %0) = Value at node A = e 0.12!0.25 (0.6523% %0)=

57 Vorm afhankelijk van spreiding Hoe groter de volatiliteit, hoe breder de binomiale boom 57

58 Van binomiaal naar lognormaal Verdeling boom na 10 stappen 58

59 Contact UglyDucklingSoftware.com 59

60 Uitwerking opgave 60

61 Opgave 1 Twee mogelijkheden Call aanhouden c=p+s-xe-rt (put-call parity) Aandeel (S) kopen voor strike prijs(x) en dividend (D) ontvangen S+D-X S+D-X > p+s-xe-rt D>p+(1-e-rt)X 61

62 Opgave 2 Voorbeeld van optieconstructie Koop 1 call dec 360 voor Verkoop 2 calls dec 380 voor 13.85=27.70 Koop 1 put dec 360 voor Verkoop 2 puts 340 voor 9.65 = Totaal ontvang je 5.95 Pay-off diagram: zie volgende slide 62

63 Opgave 2 - payoff diagram 63

64 Opgave 3 Waarde call = put = 0,4 σ " T (%) invullen 0,4*0,17* "0,25 = 3,4% Waarde call = put = 3,4% van 330 = 11,22 Waarde Straddle = 2*11,22 = 22,44 Break-even niveaus: ,44 = 352,44 en ,44 = 307,56 64