1 Opmerking. Indien je werkt met Windows 95, 98, 2000,,XP (niet met Linux) dan kun je alle formules met copy-paste vanuit dit pdf document (klik op T in de werkbalk bovenaan het pdf venster) overbrengen naar de LogicPalet. (Diegenen die met Linux werken kunnen op Toledo het bestand OEF-Logica.utxt downloaden en importeren in de LogicPalet.) Notatie. De oefeningen in deze bundel gebruiken alleen maar de volgende relatie-, functie-, en constante-identifiers: U, W, V, S: relatie-identifiers met één argument, P, R, K, L, M: relatie-identifiers met twee argumenten, T: relatie-identifier met drie argumenten, F, G, H: functie-identifiers met één argument, I, J : functie-identifiers met twee argumenten, De relatie-identifiers van de Tarski-pred-taal, a, b, c, d, e: constante-identifiers. Voor gebruik van AskSpass moet men dus de volgende declaraties toevoegen :,(U,1), (W,1), (V,1), (S,1), (P,2), (R,2), (K,2), (L,2), (M,2), (T,3) voor de relaties,,(f,1), (G,1), (H,2), (I,2), (J,2) voor de functies. De variabelen die we gebruiken zijn: x, y, z, u, v, w, r, s, t. 1. TARSKI-WERELDEN: Zie aparte bundel. 2. VAN INFORMEEL NAAR FORMEEL Oefening 1. Vertaal de volgende uitspraken naar een pred-taal met een relatiesymbool K, met twee argumenten, dat we interpreteren door de relatie kent op de verzameling van alle mensen. 1. Niemand kent iedereen. 2. Wie iemand kent, kent iedereen. 3. Wie zichzelf en alleen maar zichzelf kent, wordt door niemand anders gekend. Oefening 2. Vertaal de volgende uitspraken naar een geschikte pred-taal: 1. Sommige sterfelijken zijn mens. 2. Socrates is een mens. 3. Socrates is een sterfelijke. Is de derde uitspraak een logisch gevolg van de eerste twee beweringen? Is de vertaling (naar de pred-taal) van de derde uitspraak een logisch gevolg van de vertalingen van de eerste twee uitspraken? Oefening 3. Los dezelfde vragen op als in oefening 2, maar nu voor de volgende uitspraken: 1. Alle Leuvenaars zijn Belgen. 2. Alle Belgen zijn Europeanen. 3. Er bestaan Europeanen die Leuvenaars zijn.
2 Opgepast: 3 is geen logisch gevolg van 1 en 2, maar wel als men 1 vervangt door: Alle Leuvenaars zijn Belgen en er bestaat minstens één Leuvenaar. Oefening 4. Vertaal de volgende uitspraken naar een geschikte pred-taal: 1. Einstein is een Nobelprijswinnaar. 2. Dukas is niet geniaal. 3. Geleerden werken alleen maar samen met bescheiden mensen of met geleerden. 4. Nobelprijswinnaars zijn geleerden. 5. Einstein werkte samen met Dukas. 6. Alle geleerden waarmee Nobelprijswinnaars samenwerken zijn geniaal. 7. Dukas is bescheiden. Is de zevende uitspraak een logisch gevolg van de eerste zes uitspraken? Is de vertaling (naar de pred-taal) vande zevende uitspraak een logisch gevolg van de vertalingen van de eerste zes uitspraken? 3. REKENEN MET LOGISCHE EQUIVALENTIES Oefening 0. Hoe gebruik je AskSpass om na te gaan of twee formules (die vrije variabelen bevatten) logisch equivalent zijn? Oefening 1. Breng in prenex normaalvorm: 1. ( x)p(x,x) ( x)( y)p(x,y) (Oefl. 119) 2. ( x)p(x,y) ( x)k(x,x) (Oefl. 118) 3. ( x)u(x) ( ( x)w(x) ( x)s(x) ) (Oefl. 304) 4. ( x)( y)p(x,y) ( z)t(x,y,z) (Oefl. 305) Verifieer met AskSpass of jouw antwoorden logisch equivalent zijn met de opgegeven formules. Oefening 2. Breng de volgende formule in prenex normaalvorm zodanig dat bovendien de deelformule achter de kwantoren in disjunctieve normaalvorm is (Oefl. 308): ( x)( y)p(x, y) ( z)t(x, y, z) Verifieer met AskSpass of jouw antwoord logisch equivalent is met de opgegeven formule. Oefening 3. Breng de volgende formule in prenex normaalvorm zodanig dat bovendien de deelformule achter de kwantoren in conjunctieve normaalvorm is (Oefl. 308a): ( ( y)p(x, y) ( x)( z)t(x, y, z) ) Verifieer met AskSpass of jouw antwoord logisch equivalent is met de opgegeven formule. Oefening 4. Toon aan dat de volgende formules logisch waar zijn door rekenen met logische equivalenties en/of gebruik te maken van gekende logisch ware formules. Indien je twijfelt over de geldigheid van een equivalentie, verifieer die dan met AskSpass. 1. ( x)( ( x)u(x) U(x) ) (0efl. 115) 2. ( x)( P(x,y) ( x)p(x,x) ) ( x)( ( x)p(x,y) P(x,x) ) (Oefl. 202) 3. ( y)( ( x)p(x,y) ( x)k(x,y) ) ( y)( ( y)( x)p(x,y) ( x)k(x,y) ) (Oefl. 203) 4. ( x)( z)( y)( ( y)t(x,y,z) ( x)( z)t(x,y,z) ) (Oefl. 209)
3 4. AL DAN NIET LOGISCH WAAR EN MODELLEN Oefening 1. Al dan niet logisch waar? (Oefl 201) ( x)(( y)p(x,y) ( y)r(x,y)) ( y)(( x)( y)p(x,y) ( x)r(x,y)) Oefening 2. Al dan niet logisch waar? (Oefl 204) ( x)(( x)p(x,y) P(x,x)) ( x)(p(x,y) ( x)p(x,x)) Oefening 3. Al dan niet logisch waar? (Oefl 501) ( x)( y)( (U(x) U(y)) (U(y) U(x)) ) (( x)u(x) ( x) U(x)) Oefening 4. Is de volgende bewering waar of vals? (Oefl 504b) Voor elke structuur D geldt: voor elke bedeling s voor D geldt: D, s ( x)r(x,y) P(x,y) als en slechts als voor elke bedeling s voor D geldt: D, s ( x) (R(x,y) P(x,y)). Oefening 5. Al dan niet logisch waar? (Oefl 206) ( x)( y)(p(x,y) R(x,y)) (( y) ( x)p(x,y) ( x)( y)r(x,y)) Oefening 6. Heeft de theorie T bestaande uit de volgende 4 zinnen een model? (Oefl 405) ( y)( z)p(y,z) ( y)(u(y) ( z)p(z,y)) ( y)u(y) ( y) P(y,y) Oefening 7. Heeft de theorie T bestaande uit de volgende 4 zinnen al dan niet een model? (Oefl 513) ( x)( (U(x) V(x)) ( x)w(x) ) ( x)(w(x) V(x)) ( x)(u(x) V(x)) ( y)( x)( ( V(y) V(x) ) ( V(x) V(y) V(y) V(x) ) ) Opgepast: In de laatste formule zijn haakjes weggelaten op grond van de voorrangsregels. Oefening 8. Leg uit hoe je AskSpass kunt gebruiken om na te gaan of het antwoord op elk van de oefeningen 1 tot en met 7, ja of nee is. Belangrijke hint: Probeer wanneer je een tegenvoorbeeld (of een model) moet construeren eerst een structuur met weinig elementen te vinden. Dikwijls lukt dat met minder dan 10 elementen en dan kan je zelf met de tool DecaWorld van de LogicPalet de correctheid van je tegenvoorbeeld (of model) verifiëren.
4 5. WAARHEIDSBOMEN EN WinKE-BEWIJZEN Oefening 1. Geef een WinKE-bewijs voor de logische waarheid van de volgende zin: (Oefl. 404) ( ( x)( y)(p(x,y) P(y,y)) ) Oefening 2. Toon aan met een WinKE-bewijs dat de zin onder de streep een logisch gevolg is van de zinnen boven de streep. (Oefl. 401) ( x)( U(x) (W(x) S(x)) ) ( ( x)(u(x) S(x)) ) ( x)(u(x) W(x)) Oefening 3. Geef een WinKE bewijs van de zin onder de streep uit de zinnen erboven. (Oefl. 602) Opgepast c is een constantesymbool. ( x)( ( y)( U(y) P(x,y)) W(x) ) ( x)p(x,c) U(c) ( x)( y)(w(x) P(x,y)) Oefening 4. Toon aan met een WinKE-bewijs dat de bewering Ducas is bescheiden een logisch gevolg is van de volgende beweringen: 1. Einstein is een Nobelprijswinnaar. 2. Dukas is niet geniaal. 3. Geleerden werken alleen maar samen met bescheiden mensen of met geleerden. 4. Nobelprijswinnaars zijn geleerden. 5. Einstein werkte samen met Dukas. 6. Alle geleerden waarmee Nobelprijswinnaars samenwerken zijn geniaal. Oefening 5. Geef een WinKE-bewijs van de zin onder de streep uit de zinnen erboven. (Oefl. 753a). ( x)( y)( z)( (P(x,y) P(y,z)) P(x,z) ) ( x)( y)(p(x,y) P(y,x)) ( y)( ( x)p(x,y) ( z)p(z,z) ) Oefening 6. Toon aan met een WinKE-bewijs dat de zin onder de streep een logisch gevolg is van de zinnen boven de streep. Opgepast c is een constantesymbool. (Oefl. 761) ( x)( U(x) W(x)) ( x)( W(x) S(x)) ( x) S(x) ( x)s(x) S(c) ( x)u(x)
5 Oefening 7. Gebruik een waarheidsboom als inspiratiebron om een model te vinden van de theorie bestaande uit de volgende drie zinnen. (Oefl. 406) ( x)( (U(x) W(x)) ( y)s(y) ) ( x)(s(x) W(x)) ( x)(u(x) W(x)) Oefening 8. Gebruik een waarheidsboom als inspiratiebron om een tegenvoorbeeld te vinden dat aantoont dat de formule ( P(x,y) ( u)p(u,u) ) ( ( u)p(u,y) P(z,z) ) niet logisch waar is. Opgepast, in een waarheidsboom mogen alleen maar zinnen voorkomen. Beschouw daarom de volgende zin ( x)( y)( z)( (P(x,y) ( u)p(u,u)) (( u)p(u,y) P(z,z)) ). Verklaar uw werkwijze! (Oefl. 901) Oefening 9. Hoe gebruik je AskSpass om na te gaan of een gegeven zin A een logisch gevolg is van drie gegeven zinnen B, C, en D? Opmerking. De opgaven over WinKE-bewijzen die niet in de oefeningenzittingen zelf worden behandeld moet je thuis oplossen. Gebruik daarbij de software-tool WinKE met de juiste opties zoals uitgelegd in de cursustekst: De instelling mode = assistant is noodzakelijk: dan kan je zelf zonder typewerk een correct bewijs construeren door op de knoppen van de WinKE-regels te klikken. De opgave importeer je in WinKE door met de LogicPalet de gegeven opgave in Unicode-syntax te vertalen naar WinKE-syntax en dit vervolgens door copy-paste over te brengen naar het venster dat ontstaat door te klikken op problem > new in WinKE. Je kan de opgaven ook importeren in WinKE door met WinKE het bestand WinKEopgaven1.ke te openen. Dat bestand vind je op Toledo. Het is heel belangrijk ook oefening 4 van de herhalingsoefeningen op te lossen.
6 6. LOGISCHE GEVOLGEN EN MODELLEN (zonder WinKE) Maak waar mogelijk gebruik van de tool DecaWorld!!! Oefening 1. Is zin (4) al dan niet een logisch gevolg van de zinnen (1), (2) en (3)? (Oefl. 403) Let op: In deze oefening zijn er meerdere haakjes weggelaten op grond van de voorrangsregels! (1) ( x)( V(x) U(x) W(x) S(x) ) (2) ( x)(v(x) W(x)) (3) ( x)( S(x) V(x) W(x) ) (4) ( x)(v(x) U(x)) Oefening 2. Is zin (3) al dan niet een logisch gevolg van zinnen (1) en (2)? (Opgepast: c en d zijn constantesymbolen.) (Oefl. 601) (1) ( x)(v(x) ( y)(u(y) P(x, y))) (2) ( x)(u(x) ( y)( (V(y) W(y)) P(y, x) )) (3) ( x)u(x) ( x) W(x) Oefening 3. Is zin (3) al dan niet een logisch gevolg van zinnen (1) en (2)? (Oefl. 413) (1) ( z) ( ( y) z = G(y) ( y)(z=g(y) G(z) = y) ) (2) G(d) = G(c) d=c (3) G(G(c)) = c Oefening 4. Is zin (3) al dan niet een logisch gevolg van zinnen (1) en (2)? (Opgepast: c is een constantesymbool.) (Oefl. 417) (1) ( y) G(y) = c (2) ( y)( z) y z (3) ( z)( y)( (P(y, z) ( y)( z)g(z) = y ) P(y, y) ) Oefening 5. Is zin (4) al dan niet een logisch gevolg van zinnen (1), (2) en (3)? (Oefl. 603) (1) ( y)(u(y) V(y)) (2) ( y)(w(y) S(y)) (3) ( y)u(y) ( y) S(y) (4) ( y)(v(y) W(y)) Oefening 6. Heeft de theorie T bestaande uit volgende zinnen al dan niet een model? (Oefl. 520) (1) ( x)( y)(f(x) = F(y) x = y) (2) ( y)( z) F(z) y (3) ( y)( z)(f(y) = z G(z) = y) Oefening 7. Heeft de theorie T bestaande uit volgende zinnen al dan niet een model? (Let op: c en d zijn constantesymbolen.) (Oefl. 511) (1) ( y)( z)( P(d, y) S(y) W(z) ( x) U(x) ) (2) ( x)( S(x) U(x) W(x) x c P(d, x) ) (3) ( x)(p(d, x) S(x) S(x) x = c) (4) ( x)( c d ( S(x) U(x) W(x) ) )
7 7. HERHALINGSOEFENINGEN Belangrijke hint: Probeer wanneer je een tegenvoorbeeld (of een model) moet construeren eerst een structuur met weinig elementen te vinden. Dikwijls lukt dat met minder dan 10 elementen en dan kan je zelf met de tool DecaWorld van de LogicPalet de correctheid van je tegenvoorbeeld (of model) verifiëren. Oefening 1. Al dan niet logisch waar? Zo ja, bewijs. Zo neen, illustreer dit in een geschikte structuur. Verifiëer daarna jouw antwoord (ja of neen) met AskSpass, en indien mogelijk met DecaWorld. Oefl. 101: ( x)(p(x,x) K(x,y)) ( ( x)p(x,x) ( x)k(x,y) ) Oefl. 105: Oefl. 106: ( x)p(x,x) ( x)( y)p(x,y) ( z)p(y,z) ( z)p(z,z) Oefl. 107: ( ( z)p(y,z) ( z)p(z,z) ) Oefl. 111: (( y)( z)(p(y,z) P(z,y)) ( y)( z)p(y,z)) ( y)( z)( t)(y z z t y t) Oefl. 202: ( x)( P(x,y) ( x)p(x,x) ) ( x)( ( x)p(x,y) P(x,x) ) Oefl. 203: ( y)( ( x)p(x,y) ( x)k(x,y) ) ( y)( ( y)( x)p(x,y) ( x)k(x,y) ) Oefl. 205: ( x)( P(x,y) ( x)p(x,x) ) ( x)( ( x)p(x,y) P(x,x) ) Oefl. 208: ( x)( y)(p(x,y) K(x,y)) ( ( y)( x)p(x,y) ( x)( y) K(x,y) ) Oefl. 210: ( x)( y)(p(x,y) K(x,y)) ( ( x)( y)p(x,y) ( x)( y)k(x,y) ) Oefl. 211: ( y)( x)(p(y,x) P(x,x)) Oefl. 215: ( ( y)( z)p(y,z) ( z)k(z,z) ) ( ( z)( y)p(y,z) ( z)k(z,z) ) Oefl. 217: (P(x,y) ( x)p(x,x)) ( ( x)p(x,y) P(z,z) ) Oefl. 114: ( x)(u(x) ( y)w(y)) ( x)( y)(u(x) W(y)) Oefl. 116: ( t)(u(t) W(t)) ( ( t)u(t) ( t)w(t) ) Oefl. 117: Oefl. 207: ( x)( y)(u(x) W(y)) ( y)( x)(u(x) W(y)) ( x)(u(x) ( x)u(x)) Oefl. 212: ( t)( U(t) ( x)(t = x U(x)) ) Oefl. 213: ( t)( U(t) ( x)(t = x U(x)) ) Oefl. 214: Oefl. 216: Oefl. 315: ( x)( y)(u(x) W(y)) ( y)( x)(u(x) W(y)) (( t)u(t) ( t)w(t)) ( t)(u(t) W(t)) (( y)r(y,y) ( y)u(y)) (( y)r(y,y) ( y)( y)u(y)) Oefl. 402: (( t)v(t) ( t)v(t)) ( ( t)( x)(v(t) V(x)) ) Oefening 2. Bestaat er al dan niet een model voor de gegeven theorie? Zo ja, geef expliciet een model. Zo neen, bewijs dat er geen model bestaat. Verifiëer daarna jouw antwoord (ja of neen) met AskSpass, en indien mogelijk met DecaWorld. 1. (Oefl. 310) Bestaat er een model voor de theorie bestaande uit de drie volgende zinnen? ( t)u(t) ( t)w(t) ( t)u(t) ( t)s(t) ( ( t)w(t) ( t)s(t) ) 2. (Oefl. 311) Bestaat er een model voor de theorie bestaande uit de drie volgende zinnen? ( x)( y)(p(x,y) K(x,y)) ( x)( y)p(x,y) ( x)( y) K(x,y)
8 3. (Oefl. 314) Bestaat er een model voor de theorie bestaande uit de drie volgende zinnen? ( y)( z)p(y,z) ( y)( z)k(y,z) ( y)( z)( P(y,z) K(y,z) ) 4. (Oefl. 410) Bestaat er een model voor de theorie bestaande uit de volgende zin? ( y)( x)( U(y) (U(x) (( x)( y)r(x,y) ( y)( x)r(x,y))) ) Oefening 3. Al dan niet een logisch gevolg? Zo ja, bewijs. Zo neen, illustreer dit in een geschikte structuur. Verifiëer daarna jouw antwoord (ja of neen) met AskSpass, en indien mogelijk met DecaWorld. 1. (Oefl. 317) Is de tweede zin een logisch gevolg van de eerste? ( t)( x)( U(x) x = t ) ( x)(u(x) W(x)) ( x)(u(x) W(x)) 2. (Oefl. 316) Is de derde zin een logisch gevolg van de eerste twee zinnen? ( y)(u(y) ( z)( t)r(z,t)) ( z)( t) R(z,t) ( y)u(y) 3. (Oefl. 752) Is de derde zin een logisch gevolg van de eerste twee zinnen? ( x)( W(x) ( y)(u(y) P(x,y)) ) ( x)( S(x) ( y)((w(y) S(y)) P(y,x)) ) ( x)( S(x) ( x)u(x) ) 4. (Oefl. 756b) Is de derde zin een logisch gevolg van de eerste twee zinnen? (Let op: c is een constantesymbool.) ( x)( S(x) ( y)((s(y) P(y,c)) R(x,y)) ) ( x)(s(x) P(x,c)) ( x)(s(x) R(x,x)) 5. (Oefl. 907) Is de derde zin een logisch gevolg van de eerste twee zinnen? ( x)( y) P(y,x) ( x)( y)( (P(x,y) S(x)) P(y,x) ) ( x)( y)( P(y,x) S(y)) Oefening 4. Geef een WinKe-bewijs voor elk van de volgende opgaven. Gebruik daarbij de software-tool WinKE met de juiste opties zoals uitgelegd in de cursustekst: De instelling mode = assistant is noodzakelijk: dan kan je zelf zonder typewerk een correct bewijs construeren door op de knoppen van de WinKE-regels te klikken. De opgave importeer je in WinKE door met de LogicPalet de gegeven opgave in Unicode-syntax te vertalen naar WinKE-syntax en dit vervolgens door copy-paste over te brengen naar het venster dat ontstaat door te klikken op problem > new in WinKE. Je kan de opgaven ook importeren in WinKE door met WinKE het bestand WinKEopgaven2.ke te openen. Dat bestand vind je op Toledo. 1. (Oefl. 903) Geef een WinKE-bewijs van de zin ( x)(s(x) W(x)) uit de verzameling bestaande uit de volgende zinnen:
9 ( x)( U(x) ( y)(w(y) R(x,y)) ) ( x)( U(x) ( y)(s(y) R(x,y)) ) ( x)u(x) 2. (Oefl. 905) Geef een WinKE-bewijs voor het niet bestaan van een model voor de theorie bestaande uit de volgende zinnen: ( x)( y)( (U(y) W(y)) (U(x) W(x)) ) ( x)(u(x) V(x)) ( x)u(x) ( x)(u(x) W(x)) 3. (Oefl. 906) Geef een WinKE-bewijs van de zin ( x)(w(x) S(x)) uit de verzameling bestaande uit de volgende zinnen: ( x)( U(x) ( y)(w(y) R(x,y)) ) ( x)( U(x) S(x) ( y)(r(x,y) S(y)) ) 4. (Oefl. 909) Geef een WinKE-bewijs van de zin ( x)(u(x) S(x)) uit de verzameling bestaande uit de volgende zinnen: ( x)( y)( (U(x) W(y)) R(x,y) ) ( x)( y)( (W(y) R(x,y)) S(x) ) Oefening 5. Beantwoord de volgende vragen met ja of neen, en verklaar jouw antwoord uitvoerig (door het geven van een bewijs of door het construeren van een geschikte structuur). Verifiëer daarna jouw antwoord (ja of neen) met AskSpass (dit is steeds mogelijk, waarom?). 1. (Oefl. 312) Voor elke structuur D met signatuur <1,1> bestaat er een bedeling s zodat D, s ( x)( y)(u(x) W(y)) (U(x) W(y)) 2. (Oefl. 313) Voor elke structuur D met signatuur <1,1> bestaat er een bedeling s zodat D, s ( x)( y)(u(x) W(y)) ( x)(u(x) W(y)) 3. (Oefl. 407) Waar of vals? In elke structuur met signatuur <1,2>, waarin U geïnterpreteerd wordt door een verzameling met precies één element, geldt: ( x)(u(x) ( y)r(x,y)) ( y)( x)(u(x) R(x,y)) (Om te verifiëren met AskSpass vertaal je de bewering U geldt voor precies één element naar de pred-taal, en ga je na of de gegeven zin daarvan een logisch gevolg is!) Oefening 6. 1. (Oefl. 307) Zij L de pred-taal met signatuur <1,2>, en relatiesymbolen U en R. Zij A de zin ( y)u(y) ( t)( y)(u(y) R(y,t)) ( z)( y)( U(z) (U(y) R(y,z)) ) Bestaat er een deelverzameling V van de verzameling der rationale getallen Q zodat de zin A waar is in de structuur < Q; V, >? Antwoord met ja of neen, en verklaar jouw antwoord uitvoerig.
10 2. (Oefl. 302) Bepaal alle bedelingen s voor de structuur < N; <; +,. > der natuurlijke getallen waarvoor geldt dat N, s ( y)( z)( t)( x)( y z y t y x z t z x t x x+y+z+t < u ) 3. (Oefl. 301) Geef een voorbeeld van een formule A die voldoet aan de volgende drie voorwaarden: 1/ A is niet logisch waar, 2/ ( x)a is niet logisch waar, 3/ ( x)( y)a is logisch waar. Verifieer jouw antwoord met AskSpass.