Rijkswaterstaat Directie waterhuishouding en waterbeweging Fysische Afdeling ~ooftskade 1,2526 KA 's-gravenhage

Reststromen en resttransport in modelberekeningen G.C. van Dam nota FA 8402 Rijkswaterstaat Directie waterhuishouding en waterbeweging Fysische Afdeling ~ooftskade 1,2526 KA 's-gravenhage

FA 8402 Inhoud 3 Samenvatting 5 1. Lagrangiaanse en Eulerse waarnemingen 7 2. Eulerse reststroomsnelheid 8 3. Ee r st e 0 rd e - kor rek tie s 9 4. Lagrangiaanse reststroomsnelheid 10 5. Eulerse resttransportsnelheid 11 6. Transportberekeningen op basis van berekende snelheidsvelden 12 7. Vergelijkende berekeningen voor de zuidelijke Noordzee 13 8. Re sul t a ten 15 9. Diskussie; gemiddelde verplaatsingssnelheid 1 7 10. Berekening van een volledig veld 1 8 11. Het gedrag van watermassa's; dispersie 19 12. Slotbeschouwing 21 13. Literatuur 22 Figuren BI z,

- 5 - FA 8402 Reststromen en resttransport in modelberekeningen Bij berekeningen van advektieve transporten in getijgebieden op basis van gegeven snelheidsvelden doen zich geen fundamentele problemen voor zolang men het reststroombegrip buiten de deur houdt en uitgaat van het volledige tijdafhankelijke veld. In bepaalde gevallen is het werken met getijgemiddelde grootheden echter gewenst (rekentijden, geheugenbeslag) of noodzake1ijk~ het laatste bij voorbeeld als men een stationaire koncentratieverdeling wil berekenen met behulp van de tijdonafhankelijke diffusie-advektievergelijking. Daarbij heeft men een voldoend nauwkeurige benadering nodig van de restverplaatsingen. In het algemeen lukt dit niet wanneer men de restverplaatsingen benadert met gebruikmaking van de zogenoemde Eu1erse reststroomsnelheid of van de Eulerse resttransportsnelheid. In deze nota wordt dit geïllustreerd aan de hand van berekeningen voor de zuidelijke Noordzee. Aangegeven wordt langs welke weg een beter resultaat kan worden bereikt. Summary In calculations of advective transport in tidal regions on the basis of given velocity fields, no fundamental prob1ems are met as long as residua1 velocity concepts, are avoided and the complete time dependent velocity field 'is utilized. In certain cases an approach based upon tidal averages is desirable or required. The lat ter occurs when a stationary concen tra t ion d ist ri b u t ion ha s to be computed by mean s of the diffusion-advection equation in time independent form. In these cases a sufficiently accurate approximation of residual displacements is needed which is generally not acquired by applying so called Eulerian residual velocities or re s id u alt ran spo r t velo c itie s Th isis i11 u s tra ted b Y computations for the southern part of the North Sea. A procedure for obtaining better results is described.

FA. 8402-7 - 1. Laqrangiaanse en Eulerse waarnemingen Wanneer men een reststroombegrip wenst te hanteren dient men door zijn methode van waarneming, analyse of berekening op één of andere wijze de relatief snel veranderende komponenten van de stroming zien kwijt te raken om zicht te krijgen op de gezochte langere termijnbeweging. Daar het in feite gaat om de verplaatsing van watermassa's of daardoor meegevoerde zaken, zou men bij metingen het best gedurende langere tijd (d.w.z. lang t.o.v. de perioden van de "ongewenste" veranderlijke stroomkomponenten) watermassa' s kunnen volgen die door hun temperatuur, zoutgehalte, troebelheid of kleur duidelijk van hun omgeving te onderscheiden zijn, of die men door een zich zo veel mogelijk onder water bevindend drijflichaam heeft gemarkeerd. Deze vanwege hun direktheid zo aantrekkelijke methoden ondervinden in de praktijk bepaalde beperkingen en experimentele moeilijkheden. De "diffuse" merkers hebben het nadeel in de loop van de tijd een steeds grotere watermassa te gaan beslaan: het vaste drijflichaam vertegenwoordigt een vloeistofelement dat juist weer ongewenst klein is. verder hebben deze zogenaamde Lagrangiaanse experimenten het bezwaar dat ze grote hoeveelheden kostbare scheeptijd vragen met een relatief kleine opbrengst aan gegevens: het blijven steekproeven. De andere mogelijkheid van waarnemen is snelheidsmeting op een vaste lokatie, zogenaamde Eulerse meting. Weliswaar bestaat ook hier een steekproefkarakter, althans wat betreft de plaats, maar in de tijd kunnen hier zeer lange reeksen gerealiseerd worden. Verankerde onbemande stroommeters bestaan nog niet zo lang, maar in zee zijn op de zogenaamde lichtschepen reeds gedurende tientallen jaren frekwente stroommetingen (uurlijks of drieuurlijks) verricht en deze leveren ons de oudste uitgebreide waarnemingen waaruit iets omtrent "reststromen" in zee kan worden afgeleid. In vrij

- 8 - FA 8402 oude strc\,matlassen vinden we reeds reststroomqegevens, waarbij diverse lichtschepen expliciet als bron worden vermeld (lit. 3). Daarbij heeft men zich waarschijnlijk niet altijd gerealiseerd dat deze op Eulerse wijze verkregen gegevens in het algemeen een resultaat opleveren dat systematisch verschilt van dat van Lagrangiaanse waarnemingen. In vergelijking tot de voormelde Lagrangiaanse experimenten was de (extra) inspanning om de stroomgegevens van de lichtschepen te verkrijgen betrekkelijk gering; de lichtschepen en hun bemanningen waren nu eenmaal toch aanwezig. 2. Eulerse reststroomsnelheid Eulerse waarnemingen in een enkel punt geven alleen inlichtingen over de plaatselijke situatie; ze leveren de snelheid van passerende waterdeeitjes op het moment van passage en er kan dus in beginsel geen gemiddelde snelheid van een deeltje over een zekere periode uit worden afgeleid; het deeltje wordt immers maar op één moment in die periode geobserveerd. Het getal dat men vindt door de plaatselijke snelheid (qemeten aan steeds weer andere passerende waterdeeitjes) te middelen over zekere periode, is in het algemeen niet gelijk aan de gemiddelde snelheid van een waterdeeitje over die per iode. Toch worden plaatselij ke gemiddelden vaak wel ber e kend en zijn er ook benamingen voor. Men definieert als (tweedimensionale, c v q, vertikaal-gemiddelde) Eulerse reststroomsnelheid: t Uo (x, y, t) = f u (x, y,t) a r ( 1 ) T t-t De notatie is ontleend aan lito en 4. Dikwijls ziet men als grenzen voor de middeling ook t - T/2, t + T/2 (o.m.

- 9 - FA 8402 lito 9). De horizontale overstreping geeft de middeling over de vertikaal aan. T is een "geschikte" perio~e; de aldus gedefinieerde grootheid Uo is in het algemeen nog tijdafhankelijk. Hij is onafhankelijk van de tijd als de stroming strikt periodiek is met periode T, iets wat in een model wel te realiseren is en in deze nota dan ook aan de orde zal komen. De Eulerse reststroomsnelheid zou kunnen worden opgevat als "nulde orde-benadering" van de over T gemiddelde snelheid van het waterdeeltje dat precies op het moment t in (x, y) arriveert. Deze over T gemiddelde snelheid hangt in het algemeen nog af van t, ook bij zuivere periodiciteit over T: we komen hier later op terug (paragraaf 10). Wanneer in een omgeving van (x, y), zo groot dat gedurende I de periode T de passerende waterdeeltjes zich daar voortdurend binnen bevinden, het snelheidsveld op elk moment homogeen (uniform) is, bestaat er geen verschil in getalwaarde tussen de over T gemiddelde snelheid van de waterdeeitjes en de Eulerse reststroomsnelheid. De eerstgenoemde hangt dan ook niet meer van t af en is dus voor dit geval ondubbelzinnig gedefiniëerd. In werkelijkheid zal het snelheidsveld nergens zuiver uniform zijn, maar men zou zich kunnen voorstellen dat er gebieden zijn met zulke kleine snelheidsgradiënten, dat de verschillen tussen de genoemde snelheden te verwaarlozen zijn, m.a.w. dat de genoemde benadering in deze gebieden voldoet. 3. Eerste orde-korrekties Een volgende stap zou kunnen zijn, het verschil tussen Eulerse en deeltjes-gebonden restsnelheden te benaderen door een korrektie die alleen de lineaire verandering in rekening brengt van de Eulerse snelheid in x- en y- richting ofwel de ~'ste ord e~nm van een Tayloron tw ik ke I ing van de snel he id (/? I

- 10 - FA 8402 als funktie van de plaats. Wanneer men zich baseert op waarnemingen zou deze korrektie in beginsel kunnen worden ontleend aan simultane waarneming met drie stroommeters op een geschikte onderlinge afstand (lit. 5 en 9). Deze eerste orde-korrektie kan men in de literatuur aantreffen als getijgemiddelde Stokes-drift maar ook als Stokes-drift zonder meer. 4. Lagrangiaanse reststroomsnelheid Soms wordt als Lagrangiaanse reststroomsnelheid gedefiniëerd de som van Eulerse reststroomsnelheid en gemiddelde Stokesdrift (in de zin van een eerste orde-korrektie). Dikwijls wordt ook onder de Lagrangiaanse reststroomsnelheid de "echte" gemiddelde snelheid verstaan, zoals men die zou vinden bij een ideale Lagrangiaanse stroommeting Daarbij realiseert men zich misschien niet altijd dat dit, ook bij een zuiver periodieke stroming, geen éénduidig begrip per lokatie is. Ook wanneer het experiment volledig reproduceerbaar zou zijn, vindt men alleen hetzelfde resultaat als men niet alleen op dezelfde positie, maar ook op hetzelfde moment in des troom c y kiu sst art 0 f e ind ig t. Om tot een één d u id ig be - grip te komen zouden de deeltjes-gebonden gemiddelde snelheden voor het punt (x, y) op hun beurt nog over alle mogelijke vertrek- of aankomsttijdstippen t (vergelijk formule (1» binnen T gemiddeld moeten worden. Daarbij zou men het beste (reeds bij formule (1) genoemde) symmetrische middeling rond t kunnen hanteren (grenzen t - T/2, t + T/2), zodat t noch vertrek- noch aankomsttijdstip is en ware aan te duiden als tijdstip van passage. De aldus gedefiniëerde (gemiddelde) restsnelheid in (x, y) heeft, vooral door de tweede middeling, iets betrekkelijks

- 11 - FA 8402 waardoer het begrip kontrasteert met het gebruikelijke, ~ één deelt~e gebonden begrip "Lagrangiaanse snelheid". De eigenaardige komplikaties bij het begrip reststroomsnelheid hebben meer te maken met de aan reststromen inherente tijdmiddeling dan met "het Euler-Lagrange-probleem". Dit blijkt heel duidelijk wanneer we ons op basis van een tweedimensionaal stromingsmodel met het berekenen van advektieve verplaatsingen gaan bezig houden. 5. Eulerse resttransportsnelheid Eerst noemen we nog een begrip dat bekend staat als de Eulerse resttransportsnelheid en dat voor een periodieke stroming met periode T als volgt gedefiniëerd wordt: Uo (x,y,t) = U(X,Y,T) {H(X,y) + T { H (x, y) + 1;0 (x, y, t )} ( 2 ) Hierin is H(x,y) de waterdiepte (bodemligging) ten opzichte van een horizontaal vlak (z=o) en 1; (x,y,t) de stand van het wateroppervlak ten opzichte van dit vlak. 1; 0 is het gemiddelde van van 1; over T: analoog aan uo (formule (1» worden l;o en Uo onafhankelij k van t als de stromin g st rik t per i0die kis met per i0de T. De not a tie is wee r ontleend aan lito en 4: ook voor 00 treft men elders in de literatuur andere integratiegrenzen aan, met name (o.a. lito 9) t - T/2, t + T/2. Wanneer men de Eulerse resttransportsnelheid vermindert met de Eulerse reststroomsnelheid, blijft een verschilterm over die het karakter heeft van een Stokes-drift (zie o.m. lito 1). Dit is niet zo verwonderlijk, aangezien het toegevoegde informatie-element, de waterstand als funktie van de tijd, door de kontinuïteitsvergelij king is aan de

- 12 - FA 8402 eerste ~fgeleide van de (transport)snelheid naar de plaats: ar; + v (h u) = 0 at (h = H + r; ) ( 3 ) Bij de Eulerse resttransportsnelheid zou men daarom kunnen spreken van een eerste orde-benadering van de gewenste "restsnelheid". ~. Transportberekeningen op basis van berekende snelheidsvelden :F.r wordt uitgegaan van het resultaat van een tweedimensionaal cyklisch snelheidsveld, periode T, dat verkregen is met een 2DH (tweedimensionaal horizontaal) waterbewegingsmodel door dit model met een periodiek stel randvoorwaarden voldoende lang te laten rekenen voor het instellen van een periodiek evenwicht. De cyklische uitvoer van de laatste rekenperiode T wordt voor een voldoend aantal tijdniveau's in een geheugen opgeslagen (snelheden ux(x, y, t) en uy(x, y,t), waterdiepten H (x, y) en waterstanden 1: (x, y, t), alles op een rechthoekig rooster met maaswijdte 6x = 6y) Snelheden in willekeurige punten en op willekeurige tijdstippen in de cyklus worden met een interpolatie-methode benaderd. Om met het aldus gedefiniëerde in ruimte en tijd kontinue veld u (x, y, t) deeltjesbanen te berekenen, moet een numeriek benaderingsschema worden gebruikt, bij voorbeeld het eenvoudige expliciete schema: x (t + dt) = x (t) + u (x (t» dt ( 4 ) x - (x, y» Daarbij wordt een fout gemaakt die in een Euler-Lagrangeterminologie zou kunnen worden beschreven, maar waarvan be-

- 13 - FA 8402 kend is dat hij, ook gekumuleerd over een groot aantal tijdstappen, w'llekeurig klein gemaakt kan worden door dt voldoende klein te nemen. Wanneer we aldus dit punt hebben teruggebracht tot een rekentechnische kwestie, is het duidelijk dat hier geen feitelijk onderscheid tussen Eulerse en Lagrangiaanse snelheden aan de orde is, wat overeenkomt met de algemene konstatering dat de (momentane) snelheid van een deeltje (Lagrangiaanse snelheid zo men wil) gelijk is aan de Eulerse snelheid op de plaats waarop het zich op het beschouwde ogenblik bevindt. Wanneer men afhankelijk is van metingen schiet men met deze konstatering niet zo veel op, daar men i.h.a. slechts over (Eulerse) snelheidsmetingen in enkele punten beschikt. Het aardige van een wiskundig waterbewegingsmodel is dat men een "meting" heeft in elk willekeurig punt. 7. Vergelijkende berekeningen voor de zuidelijke Noordzee Bij berekeningen op basis van gegeven snelheidsvelden doet zich geen Euler-Lagrange-probleem voor, zolang men het reststroombegrip maar buiten de deur houdt en uitgaat van het volledige tijdafhankelijke veld. In bepaalde gevallen is het werken met getijgemiddelde grootheden echter gewenst (rekentijden, geheugenbeslag) of noodzakelijk. Het laatste bijvoorbeeld als men een stationaire koncentratieverdeling wil berekenen met behulp van de tijdonafhankelijke diffusie-advektievergelijking. Daarom is door het berekenen van de banen van een aantal deeltjes op basis van de uitkomsten van een numeriek waterbewegingsmodel van de zuidelijke Noordzee, nagegaan in hoeverre restverplaatsingen benaderd kunnen worden met verzijn afkomstig van bere schillende "reststroom"-koncepten. De gebruikte (getij)stroomgegevens keningen met het programma ESTFLO van het Waterloopkundig Laboratorium met een bepaalde schematisatie van de zuidelijke Noordzee (figuur 1) op een rechthoekig rooster met maas-

- '4 - FA 8402 wijdte ten behoeve van de berekening van de waterbeweging van (t:, x = t:, y =) 10 000 m. De desbetreffende berekeningen van de waterbeweging waren reeds uitgevoerd als onderdeel van de studie beschreven in lito 4 door H. Gerritsen. Voor nadere bijzonderheden over het programma en de gebruikte rekenschema's zij verwezen naar het rapport van Gerritsen. Alle berekeningen van de waterbeweging in dat kader werden uitgevoerd met getij randvoorwaarden die alleen het M2-getij en hogere harmonischen bevatten: daarnaast werden alleen konstante invloeden, waaronder eventueel een stationair windveld opgelegd, zodat na een aantal M2-perioden rekenen, de uitvoer cyklisch werd met een periode gelijk aan die van het M2-getij, welke periode was afgerond op 45000 sekonden. De getijberekeningen werden uitgevoerd met 200 tijdstappen per M2-periode: het cyklische gedeelte van de uitvoer (voor alle rekenpunten) werd op 100 tijdniveau's, dus met een onderlinge afstand van 450 sekonden, opgeslagen om voor verschillende doeleinden te kunnen worden gebruikt. Zodoende kon er ook voor de onderhavige studie van geprofiteerd worden. uit de cyklische uitvoer werden tevens door expliciet middelen over de cyklus, Eulerse reststroomsnelheden (zie paragraaf 2) en Eulerse resttransportsnelheden (zie paragraaf 5) berekend, welke eveneens voor alle rekenpunten werden bewaard. Dit zijn de restsnelheden die in de volgende paragrafen nader zullen worden beschouwd. uit de studie van Gerritsen blijkt dat een meer rechtstreekse methode om restsnelheden te berekenen (lit. 6) geen betrouwbare resultaten oplevert: in elk geval zijn geen uitkomsten van deze methode in de hier gerapporteerde studie onderzocht. De wel bekeken restsnelheden zijn goed gedefini~erde begrippen waarbij, zoals uit het voorafgaande en uit de e a nq e h a a Ld e literatuur b1ijk t, ook 0 P th e0 re t isc heg ron den iet ska n wo rden ge zeg d over hun rol in de kontekst van transportverschijnselen.

- 15 - FA 8402 Het hiet gerapporteerde onderzoek is alleen uitgevoerd voor de snelheidsvelden verkregen c.q. afgeleid uit een berekening zonder wind; de desbetreffende getijberekening kan in het kader van de in lito 4 gerapporteerde serie kortweg worden aangeduid als berekening nr. 16. Het feit dat geen windinvloed aanwezig is, vormt in het kader van onze studie geen wezenlijke beperking, evenmin als de vereenvoudiging van de getij randvoorwaarde en eventuele onvolmaaktheden in de schematiser ing van het zeegebied, daar het slechts gaat om onderlinge vergelijking van enkele begrippen en rekenmethoden. Het feit dat het gebruikte waterbewegingsmodel globaal een goede beschrijving van het bekende Noordzeegetij oplever t, zo als in 1it. 4 ge de m 0 n st ree rd wo rd t aa n de ha nd van lijnen van gelijke fase en gelijk hoog water, verhoogt wel de praktische relevantie van de verkregen resultaten in het kader van modellering van transportverschijnselen in de zuidelijke Noordzee; in het volgende blijkt dat bepaalde effekten in het ene zeegedeelte geprononceerder zijn dan in het andere. 8. Resultaten Allereerst zijn voor een aantal vaste vertrekpunten "banenn (in feite netto-verplaatsingen) van waterdeeitjes (in de literatuur wel aangeduid als "driftbanen") berekend met een looptijd van 180 (M2-)perioden. In de figuren 2 tot en met 5 zijn deze banen voor 29 van deze vertrekpunten weergegeven. In figuur 2 en 3 vindt men de resultaten verkregen met het volledige tijdafhankelijke snelheidsveld. Ook hier zijn alleen de netto-verplaatsingen over gehele veelvouden van T aangegeven, hoewel het in dit geval natuurlijk mogelijk is de baan in veel groter detail weer te geven. In figuur 6 is dit gedaan voor een gedeelte van de baan met startpunt nr. 23.

- 16 - FA 8402 Voor de figuren 2 en 3 is het tijdstip van vertrek voor de 29 deeltjes per figuur hetzelfde. Maar wanneer we dit tijdstip voor figuur 2 het tijdstip to noemen (zeg het tijdstip van hoogwater in zeker punt A van het gebied), dan is voor de berekening van figuur 3 het tijdstip to + T/2 gekozen. Hiermee krijgt men een indruk van de invloed die de plaatselijke fase van het getij heeft op de verplaatsingen in periodes T. uit de figuren blijkt dat deze invloed vaak wel goed zichtbaar is (zie met name het noordwestelijk deel van de figuren 2 en 3), maar steeds betrekkelijk gering is, zeker wanneer we de verschillen vergelijken met de afwijkingen die ontstaan bij gebruik van getijgemiddelde grootheden (figuur 4 en 5). De berekeningen op basis van het volledige tijdafhankelijke snelheidsveld zijn uitgevoerd met het eenvoudige expliciete schema (4) en met een tijdstap van 450 sekonden. Verdubbeling tot 900 sekonden levert nog geen zichtbare verschillen op~ bij een tijdstap van leoo sekonden ontstaat hier en daar een kleine afwijking. Oe gebruikte tijdstap is dus ruimschoots voldoende klein. Zekerheidshalve zijn de korresponderende berekeningen met "restvelden" (figuur 4 en 5) met dezelfde kleine tijdstap uitgevoerd. voor iedere baan is het totale aantal tijdstappen dus 18 000. Een tijdstap korrespondeert per deeltje globaal met 10-3 se konden rekentijd (UNIVAC 1100). Aanvankelijk kwam daar bij de berekeningen met het tijdafhankelijke veld een veelvoud van deze tijd bij in de vorm van "I-a", doordat alleen de aktuele tijdniveau's zich in het werkgeheugen bevonden en na iedere tijdstap een volledig snelheidsveld door een volgend werd vervangen. Toen dit bleek te kunnen worden opgelost door de gehele verzameling van de 50 gebruikte tijdniveau's (*) naar het werkge- (*) de onderlinge afstand tussen de tijdniveaus' s van het gebruikte veranderlijke snelheidsveld was bij deze berekeningen dus twee maal zo groot als de tijdstap van de transportberekening: de (lineaire) interpolatieprocedure in de tijd (zie blz. 12) werd dus daadwerkelijk gebruikt.

-, 7 - FA 8402 heugen te halen (**), werd de genoemde eigenlijke rekentijd bepalend voor de benodigde machinetijd. Voor de berekening van de verplaatsingen afgebeeld in de figuren 4 en 5 werd respektievelijk gebruik gemaakt van het uit het tijdafhankelijke snelheidsveld "nr. 16" afgeleide Eulerse reststroomsnelheids- en resttransportsnelheidsveld, zoals door het WL berekend en toegeleverd. In ( reststroomsnelheid een "nulde-orde-benadering" en met de Eulerse resttransportsnelheid een soort van eerste-orde-be- o nadering van de restverplaatsingen wordt verkregen. Te v~ het voorgaande is reeds uiteengezet dat met de Eulerse wachten is dus, dat de resultaten berekend met de eerste in het alg emee nee n 9 rot ere a fwij kin 9 van de" war e ver p Ia a t sin - ~ ç.,s' ~ ~ ~ gen" zullen opleveren dan de resultaten berekend met de tweede grootheid. Deze algemene verwachting wordt door de figuren 4 en 5 bevestigd. Incidenteel is het uiteraard wel eens omgekeerd. Door het bestaan van hogere-orde-effekten kan een nulde-orde-benadering wel eens beter uitvallen dan een eerste-orde-benadering. 9. Diskussie: gemiddelde verplaatsingssnelheid Het woord "ware verplaatsingen" in de vorige paragraaf is tussen a anh e Ld nq st e ken s geplaatst vanwege het feit dat de bedoelde verplaatsingen nog lichtelijk afhankelijk zijn van de getijfase, hetgeen door de verschillen tussen de figuren 2 en 3 geillustreerd werd. Hoewel door middeling over alle fasen een éénduidig begrip restverplaatsing gedefiniëerd kan worden, aan te duiden als gemiddelde restverplaatsing (per cyklus en per lokatie), en men hieruit door differentiatie (**) Hierbij moest wel gebruik gemaakt worden van het zgn. nmulti-banking".

- 18 - FA. 8402 WQW~ Ib ~~~ \ ~~cl: ) \,. een snelhe~j kan afleiden, aan te duiden als gemiddelde verplaatsingssnelheid, blijft er als gevolg van deze paragraaf genoemde feiten een element aanwezig: we spreken over nulde- en eerste-orde-benaderingen zonder dat precies wordt aangegeven waarvan. Er is echter in de praktijk, met name van de waterkwaliteitsmodellering, nu eenmaal duidelijk behoefte aan een éénduidig begrip waarmee verplaatsingen van waterdeeltjes op termijnen langer dan die van een getijperiode enerzijds zo nauwkeurig mogelijk kunnen worden berekend, maar waarbij anderzijds informatie over bewegingen binnen die getijperiode buiten beschouwing kan blijven. De zojuist voorgestelde gemiddelde verplaatsingssnelheid lijkt op dit moment de beste manier om aan de genoemde behoefte te voldoen. Met opzet is in de voorlopige naamgeving het woord Langrangiaans vermeden, hoewel dit in een eerste koncept wel gehanteerd werd. Zoals in het voorafgaande al werd opgemerkt ligt de essentie van de onderhavige problematiek in de tijdmiddeling van snelheden zoals bij de gebruikelijke reststroombegrippen toegepast en kan men hoogstens nog van een Euler-Langrange-probleem spreken bij de numerieke procedures, waar door verkleining van de tijdstap of toepassing van hogere- rde-schema's tot elk gewenst minimum kan worden 10. Berekening van een volledig veld Het berekenen van een volledig veld van deze gemiddelde verplaatsings-snelheden stuit niet op ernstige praktische bezwaren. Een dergelijke berekening voor één enkele fase en voor elk punt van het 10 km-rooster van het model waarvan in het voorgaande sprake was, vergt een reken inspanning die van dezelfde orde van grootte is als die welke nodig was voor de zojuist besproken figuren 2 tot en met 5. voor een middeling over diverse fasen lijkt, gezien de zwakke fase-afhankelijk

- 19 - Fl\ 8402 1..D Ilheld, voor de -~over twee fasen meeste praktische doeleinden een middeling (zoals die van de figuren 2 en 3) eigenlijk voldoende, zodat de reken-inspanning slechts zou verdubbelen. Stelt men hogere eisen dan levert een verdere verdubbeling (fasen met een onderling tijdsverschil T/4) nog geen praktische bezwaren op. De reken-inspanning die gemoeid was met de totstandkoming van de figuren 7 tot en met 10 (welke in paragraaf 11 worden toegelicht) waren reeds groter dan voor laatstgenoemde optie nodig zou zijn. Men zou kunnen denken aan het berekenen van de verplaatsing vanuit elk roosterpunt over een klein aantal perioden T "met de tijd mee" en "tegen de tijd in", c.q. "stroomopwaarts" en "stroomafwaarts". Met één of twee perioden in beide richtingen is met een verstandig rekenschema waarschijnlijk al een zeer nauwkeurige schatting van de afgeleide na~r de tijd te krijgen van de (in feite denkbeeldige) baan die door de posities gaat waarvan het beschouwde roosterpunt de middelste is. 11. Het gedrag van watermassa's7 dispersie De toegevoegde figuren 7 tot en met 10 beogen een aanschouwelijk nog wat duidelijker beeld te geven van de (rest)verplaatsingen van watermassa's en van de afwijkende patronen die met de "nulde en eerste orde-benaderingen" van de restsnelheden worden verkregen. Ook hier zijn er verschillen wanneer we de water schijven in een andere fase van het getij doch van precies dezelfde plaats laten vertrekken (figuren 7 en 8). Maar het is hier duidelijk te zien dat deze verschillen klein zijn ten opzichte van de afwijkingen die ontstaan bij gebruik van 'EuIerse reststroom- en resttrensportsne1heden. Ook met deze figuren verkrijgt men slechts een beperkt beeld, onder meer doordat slechts op een v r ij klein aantal lokaties met een zuivere cirkel wordt gestart, zodat de beelden op verschillende afstanden niet volledig vergelijk-

- 20 - FA 8402 baar zijn tengevolge van de voortdurende vervormingen. Deze vervormingen zijn overigens op zichzelf interessant en geven iets weer van de bijdrage van advektieve verplaatsingen op middelgrote schaal aan de totale dispersie. Deze totale dispersie is overigens op de gekozen schalen van tijd en ruimte zo aanzienlijk, dat men zich niet mag voorstellen dat de h ier z ic h tb a a r wo r den de ver v 0 rmin gen een ges ty lee rd be e Id van een werkelijk proces te zien geven. Om dit te verduidelijken is in figuur 11 voor één van de veranderende waterschijven van figuur 7 naast het oorspronkelijke beeld de totale dispersie van een 250-tal deeltjes weergegeven die bij de start regelmatig over het oppervlak binnen de cirkel zijn verdeeld. De berekening maakt gebruik van gegevens die verkregen zijn uit dispersieproeven met kunstmatige merkstoffen. Daarbij is aangenomen dat voor schalen groter dan enkele maaswijdten de advektieve effekten korrekt door het waterbewegingsmodel worden weergegeven1 een dergelijke aanname voor de (zeer) grote schalen is min of meer noodzakelijk omdat direkte waarnemingen van de dispersie op die schalen nog betrekkelijk spaarzaam en onnauwkeurig zijn. Toch is aan de hand van de laatstgenoemde en de daaraan voorafgaande illustraties wel duidelijk, dat ook bij een beperkte kennis van de stochastische en andere "subgrid"-bijdragen aan de totale dispersie, bij transportberekeningen op wat langere termijn de invloed van de restverplaatsingen op het totale resultaat zo belangrijk is dat de b e scjrouwd e "nulde en eerste orde-benaderingen" van het resttransport voor een gebied als de Noordzee in het algemeen ontoelaatbaar zijn. Daarbij maakt het niet uit met welk type transportmodel men werkt (eindige differenties, deeltjesmodel, superpositiemodel) Er is wel eens gesteld (lit.2) dat men in al deze gevallen Eulerse transporten nodig heeft, waarbij inderdaad gedoeld werd op transporten afgeleid van de Eulerse restsnelheden zoals ook in deze nota gebruikt. Dit inzicht is echter niet juist. Het komt mogelijk voort uit ver-

- 21 - FA 8402 warring met het "normale" geval dat men niet met gemiddelde maar met momentane snelheden te doen heeft (in feite de enige echte snelheden in strikt fysische zin) Daarvoor is er (zie paragraaf 6) volledige identiteit met de lokale Eu 1ers e sn e1hei den doe n z ic h bij een tra n spo rtb ere ken in g met gegeven snelheidsveld geen door tijdmiddeling veroorzaakte problemen voor. 12. Slotbeschouwing Afgezien van een iets algemenere inleiding beperkt deze nota zich tot het geval van een zuiver periodiek snelheidsveld. Niet aangeroerd is de problematiek van de bepaling van (langzaam) veranderende reststroomvelden onder invloed van de langere termijnwisselingen in het astronomische getij en van wisselende winden en andere meteorologische en klimatologische effekten. Wel kan worden opgemerkt dat door het feit dat men in het algemeen geen genoegen kan nemen met benaderingen op basis van lokale getijgemiddelde grootheden, de problematiek van de "veranderlijke reststromen" bepaald niet eenvoudiger wordt.

- 22 - FA 8402 13. Literat'lur 1. Alfrink, B.J., Inventarisatie van tweedimensionaal horizontaal getijgemiddelde wiskundige modellen (verslag literatuuronderzoek) Toegepast Onderzoek Waterstaat (TOW), rapport R 1469-I, Waterloopkundig Laboratorium, 1980. 2. Alfrink, B.J. & C.B. vreugdenhil, Residual currents. Ana- 1y sis 0 f mec h a nis ms a nd m0del typ es. re e ge pas ton der zo e k waterstaat, rapport R 1469-II, waterloopkundig Laboratorium,1981. 3. British Admiralty, Atlas of tides and tidal streams, British Islands and adjacent waters. Fourth Ed. 1946 with minor corrections to 15th May 1952. 4. Gerritsen, H., Residual currents. A comparison of two methods for the computation of residual currents with respect to their intrinsic properties and behaviour, and their feasibility for the computation of residual currents in the Southern half of the North Sea. Toegepast Onderzoek Waterstaat, rapport R 1469-III, Waterloopkundig Laboratorium, 1983. 5 Longuet Higgins, M. S, On the transport of mass by timevarying ocean currents. Deep-Sea Research,.l_!, 431, 1969. 6. Nihoul, J.C.J. & F.C. Ronday, The influence of the tidal stress on the residual circulation. Tellus, ll, 484, 1975. 7. Riepma, H.W., Stokes drift. In "Texel 1974", verslagen van een driedaagse werkbijeenkomst te Texel, november 1974. Raad van Overleg voor het fysisch-oceanografisch onderzoek van de Noordzee, MLTP 4: G.C. van Dam en M.P. visser red., ~WS, Den Haag/KNMI, De Bilt, 1977.

- 23 - FA 8402 8. Spanhoff, R., stelling 5, proefschrift, R.U. Groningen, 1984 9. Zimmerman, J.T.F., On the Euler-Lagrange transformation and the Stokes' drift in the presence of oscillatory and residual currents. Deep-Sea Research, 26A, 505, 1979.

- 25 - FA 8402 20 M-U-X 30 i0 >-<SI IM > > I I Z 0 Z <SI>- MI <SI N <SI N 30 i0 M-U-X 50 60 Fig. 1. Schematisatie (met dieptelijnen) van ESTFLO (lit. 4),zoals o.m. gebruikt bij de berekening (nr. 16) waarvan de uitvoer ten grondslag ligt aan de transportberekeningen van het onderhavige onderzoek

FA 8402 F ig. 2 St Snelh een: d art op to Geti' )stroom Looptijd: 180 getijperioden F ig. 3 Snelheden: Getijstroom Start op to + T 2 Looptijd: 180 getijperioden st a r t po s t t'les als fig. 2

FA 8402 F ig. 4 Snelheden: Eulerse reststroomsnelheden Looptijd 180 getijperioden Startposities als fig. 2 F ig. 5 Snelheden: Eulerse resttransportsnelheden x: ~o.sr~~ --, Looptijd: 180 getijperioden Startposities als fig. 2

- 28 - FA 8402.. ~ '< ()\t \J"'f \ I;)Q,h~ I. ttl v Q/y)... ~i ll.li.p{... ""oef \ ~I~ rtl)l)~~ \W~ ~~!t ~ ~- 4~1 \'\ol v~luls~~b ur... Fig. 6. Baan in detail Snelheden: Getijstroom Start op to startpositie overeenkomstig nr. 23 uit fig. 2

- 29 - FA 8402 Fig. 8a Als fig. 8 (zie volgende blz.) maar zonder verbindingslijnen tussen afzonderlijke deeltjes

FA 8402 F ig. 7 Snelheden: Start op to Getijstroom Looptijd 240 getijperioden Vv\À.~~ \w)cl~ t:;,,~wm W.lJ,J.k ~~ k ~ Co \J.Vvl~ ~U/l~ bpi[fv~t~ po~l.~u" 1 D of~rtm~db. ;:. \0 f:: ~" loo-= 44,. 000 ~ F ig. 8 Snelheden: Start op to + T 2 Getijstroom Looptijd: 240 getijperioden startposities als fig. 7 ~'\~ ~(Á MA.~~ gto~~ to

FA 8402 F ig. 9 Snelheden: Eulerse rest~ stroomsnelheden Looptijd 240 getijperioden Startposities als fig. 7-17 Fig. 10 Snelheden: Eulerse rest- transportsnel heden Looptijd: 240 getijperioden Startposities als fig. 7

FA 8402 Fig. 7a. Berekening met volledig snelheidsveld (getijstroom, zonder wind, stroomberekening nr. 16) Fig. 9a. Berekening met Eulerse restsnelheid Fig. 10a. Berekening met Eulerse resttransportsnelheid.' " I.. _.#~ Fig. 7a, 9a en 10a. Geheel analoog aan figuur 7, 9 en 10 (240 getijperioden, uitvoer na elke 20 perioden), maar met startposities op 18 cirkels in het noordwestelijke deel van het modelgebied en zonder verbindingslijnen tussen de afzonderlijke deeltjes. De restverplaatsingen zijn hier i.h.a. klein in vergelijking met het zuidoostelijke gebied. Oe (relatieve) verschillen tussen de resultaten van de drie berekeningswijzen zijn echter wederom opvallend en op sommige plaatsen aanzienlijk groter dan in het zuidoostelijke gebied.

- 33 - FA 8402 -Ó» '~:. : ;:,*:,,:'.. 2201...:.... "_.. ;~7:: 1 ~0 0 :T.. -," ".. '. : ~;:601 ~~,: 20T Fig. '1. Snelheden: Getijstroom + ftrandomft-beweging

ontwerp studiedienst hoorn