A2: Het spectrum van een signaal

A2: Het spectrum van een signaal Doelen: Leren gebruikmaken van het labjournaal (ASI, 2.1) Begrip van de relatie tussen de tijds- en frequentierepresentatie Weergeven van het spectrum van een signaal op de digitale oscilloscoop met behulp van de FFT-optie Begrijpen van aliasing en de (ongewenste) effecten ervan Begrijpen van de eigenschappen van de condensator Naar keuze: meten en interpreteren van de frequentierespons van een RC-schakeling, of meten en interpreteren van de staprespons van een RC-schakeling Bepalen van de parasitaire capaciteit van een circuit (optioneel) Het spectrum De signalen die je tot nu toe op de oscilloscoop hebt bekeken zijn spanningen V (t) als functie van de tijd. Het is echter mogelijk de tijdsafhankelijke signalen waar we het over hebben ook op een andere manier te interpreteren. Het blijkt namelijk binnen ruime grenzen mogelijk om signalen op te bouwen uit periodieke cosinusvormige signalen met verschillende hoekfrequentie ω 1 : A(ω) cos(ωt + φ(ω)) (2.1) Door aan te geven wat de amplitude A(ω) en fase φ(ω) van al die periodieke signalen is wordt het signaal volledig bepaald. Als voorbeeld tonen we in Fig. 2.1 de opbouw van een periodieke zaagtandspanning. De (wiskundige) Fouriertheorie beschrijft hoe je een tijdsafhankelijk signaal omrekent naar een signaal opgebouwd uit (co)sinusvormige componenten. De opbouw van een signaal in periodieke componenten appelleert aan een intuïtieve (zintuiglijke) interpretatie. Neem de werking van het menselijk oor: door de vorm van het trillingsgevoelige membraan worden zenuwen op verschillende posities in het binnenoor door verschillende geluidsfrequenties geactiveerd. In de muziek is het heel gewoon om van een muzikale toon te zeggen dat hij bestaat uit een grondtoon en een aantal boventonen. In wezen is dit precies hetzelfde als het benoemen van de in het signaal voorkomende frequenties. De representatie in periodieke componenten wordt in veel gebieden van de natuurkunde (optica, akoestiek, mechanica, kwantummechanica en dus ook elektronica) toegepast. Een grafiek met horizontaal de frequentie ω en verticaal de amplitude A(ω) (het amplitudespectrum) en fase φ(ω) (het fasespectrum) van een sinusvormige component met frequentie ω heet het spectrum 1 De hoekfrequentie ω is gelijk aan 2πf met f de natuurlijke frequentie. De eenheid van ω is rad/s, die van f is 1/s = Hz. Er wordt vaak gebruik gemaakt van de hoekfrequentie om de altijd aanwezige factor 2π in te verstoppen. In dit practicum kom je ze allebei tegen. 23

A(ω) φ(ω) = + + + +... Figuur 2.1: Opbouw van een periodieke (zaagtand)spanning in het tijdsdomein (links) uit cosinusvormige componenten volgens Vgl. (2.1) met elk een eigen amplitude A(ω) en fase φ(ω). van het signaal. Men zegt dat het signaal nu wordt weergegeven in het frequentiedomein in plaats van (normaliter) in het tijddomein. In beide gevallen gaat het dus om dezelfde informatie maar op twee verschillende manieren weergegeven. In Fig. 2.2 zie je voorbeelden van spectra van een paar tot de verbeelding sprekende signalen die volgens Vgl. (2.1) ontbonden zijn 2. Fast Fourier Transform (FFT) De numerieke berekening van een spectrum door middel van een Fouriertransformatie vereist zoveel rekenwerk dat het lang niet mogelijk was de berekening real time uit te voeren. Maar in 1965 werd de Fast Fourier Transform (FFT) gepubliceerd, een algoritme (rekenmethode) waardoor voor bemonsterde data de benodigde rekentijd drastisch werd beperkt (overigens was de basis voor dit algoritme al in 1805 gelegd door Gauss). Sindsdien is de Fouriertransformatie een veel gebruikte methode in de signaalverwerking. De oscilloscoop bezit de mogelijkheid om zo n FFT uit te voeren. Je kunt dan het amplitudespectrum van het gemeten signaal weergeven (de fase niet). De FFT-weergave zit verstopt onder de knop Math Menu. Opdracht: de druktoetstelefoon We zullen het spectrum en de mogelijkheden van de oscilloscoop verkennen aan de hand van klassieke analoge druktoetstelefoons. Bij het indrukken van één van de toetsen (het kiezen van een nummer) wordt een toon gegenereerd die specifiek is voor die bepaalde toets. Men heeft er bewust voor gekozen om een toon niet uit één simpel sinusvormig signaal te laten bestaan, maar uit de som van twéé sinusvormige signalen. Dit beperkt de kand dat bijvoorbeeld een fluitend iemand in de buurt van de telefoon zorgt voor een foutief nummer bij het kiezen! 2 Een periodiek signaal met frequentie ω 0 blijkt alleen componenten te hebben met discrete frequenties nω 0, waardoor we in dit geval over een discreet spectrum spreken. Een niet-periodiek signaal heeft een continu spectrum. In dit practicum kijken we vooral naar periodieke signalen. Zie het notebook Fourierreeks.nb voor een voorzichtige wiskundige aanloop. De Fourieranalyse en Fouriertransformatie worden verantwoord en in meer detail behandeld in het tweede jaar van de studie. 24

25 a) b) c) d) Figuur 2.2: Veel voorkomende signalen (links) en hun spectrum (amplitude en fase). a) Sinus met frequentie ω 0 = 1 rad/s. b) Driehoeksspanning met periode 1 (ω = 2π rad/s). c) Driehoekspanning van b) maar nu met andere faserelatie van sinusvormige componenten. d) Niet-periodiek signaal: de sinus van a), maar nu afgekapt bij ±1 periode. In het laatste geval zie je dat het spectrum continu is geworden. Dat heeft ook gevolgen voor de amplitude, die dan ook anders is.

Sluit de telefoon aan op de Delta-gelijkspanningsbron en stel deze in op 6 V. De telefoon werkt nu maar is niet aangesloten op het telefoonnet (dus je kunt er niet mee bellen). Luister bij de hoorn naar de tonen die bij het indrukken van de verschillende toetsen gegenereerd worden. Vervang de telefoonhoorn door een kabel met een telefoonplug aan de ene en een BNC (coaxiale) plug aan de andere kant en sluit de BNC plug aan op CH1 van de oscilloscoop. Verbind de aarde van de Delta-voeding met de randaarde van de oscilloscoop op CH2 met een banaanstekker en verloopstuk. Deze gezamenlijke aardig elimineert ruisfrequenties die je meting anders erg verstoren. Druk nu op een willekeurige toets, houd hem ingedrukt en zorg ervoor dat je een goed beeld te zien krijgt. Druk vervolgens op de knop Run/Stop om het beeld te bevriezen. Probeer de periode van het signaal te bepalen. Lukt dit? Probeer ook een paar andere telefoontoetsen uit (eerst weer op Run/Stop drukken) en merk op dat de beelden heel verschillend zijn. Het is moeilijk om nu te zien dat het signaal bestaat uit de som van twee sinusvormige signalen, laat staan om de frequentie van deze twee sinusvormige signalen te bepalen. Druk nu op de knop Math Menu. Druk vervolgens op de tweede menukeuzeknop (zijkant scherm) van boven zodat FFT CH1 geselecteerd wordt (gebruik bij de TDS1002 en de TDS 1001B de bovenste knop om FFT te kiezen en kies bij de tweede knop van boven CH1). Het beeld op het oscilloscoopscherm verandert totaal. Was op het oscilloscoopscherm tot nu toe een grafiek te zien van de spanning V (t) tegen de tijd, nu wordt een grafiek van de amplitude A(f ) uitgezet tegen de frequentie f in Hz. Deze grafiek is het amplitudespectrum van het signaal. Op de verticale as is de amplitude geijkt in decibels (db). De decibel is een relatieve eenheid; de amplitude wordt vergeleken met een andere (referentie)amplitude. Het verschil in decibels tussen twee amplitudes A 1 en A 2 is als volgt gedefinieerd: aantal db = 20 10 log A 1 A 2. (2.2) Op het oscilloscoopscherm komt 0 db overeen met de amplitude van een sinus waarvan V RMS = 1 V (zie Vgl. (1.3)). Druk weer op een toets van de telefoon, blijf drukken, en draai aan de knop Sec/Div totdat je bemonstert met 5 ks/s. Als het goed is zie je duidelijk twee pieken op het scherm. Druk nu weer op de knop Run/Stop om het beeld te bevriezen. De twee pieken op het scherm tonen aan dat het signaal op CH1 van de oscilloscoop is opgebouwd uit twee sinusvormige signalen. De frequentie van deze signalen kan nu wél goed bepaald worden. Druk op de knop Cursor en vervolgens op de bovenste menukeuzeknop tot het Type Frequency geselecteerd is. Druk zo nodig op menukeuzeknop Source tot Math is geselecteerd. Zet nu cursor 1 op de ene piek en cursor 2 op de andere. De frequenties zijn nu eenvoudig af te lezen. Meet de frequenties van alle telefoontoetsen en ontdek het systeem er achter! Rapporteer dit alles in je labjournaal en laat aftekenen door de assistent. Driehoek- en blokspanning Elk nummer van de druktoetstelefoon is dus samengesteld uit twee sinussen, die in het spectrum te zien zijn als scherpe pieken bij de frequenties van de sinus. De Fouriertheorie zegt dat het mogelijk is om 26

(bijna) élk signaal te ontbinden in sinusvormige signalen. Periodieke signalen in het bijzonder leiden altijd tot pieken in het (amplitude)spectrum, m.a.w. discrete waarden voor de sinusvormige componenten waaruit een signaal is opgebouwd (zogenaamde fouriercomponenten). Ter illustratie bekijken we twee periodieke signalen die niet geheel toevallig door de Instek toongenerator worden geleverd. Voor een driehoekvormig signaal V dr (t) als in Fig. 2.2 b) met frequentie f 0, amplitude A en een positieve nuldoorgang op t = 0 kan theoretisch afgeleid worden dat deze wordt opgebouwd uit een oneindig aantal sinusvormige componenten met (oneven) frequenties van f 0, 3f 0, 5f 0, 7f 0,... : V dr (t) = 8A ( 1 π 2 1 2 sin(1 2πf 0t) 1 3 2 sin(3 2πf 0t) + 1 5 2 sin(5 2πf 0t) (2.3) 1 ) 7 2 sin(7 2πf 0t) +.... (2.4) Dit is dus een reeks sinussen waarvan de amplitude afneemt bij toenemende frequentie. Men noemt f 0 de grondfrequentie van het signaal. Sinusvormige signalen met frequenties 2f 0, 3f 0, 4f 0,... worden in het algemeen harmonischen genoemd. Voor een blokpuls V bl (t) onder dezelfde voorwaarden is de reeks gelijk aan V bl (t) = 4A ( 1 π 1 sin(1 2πf 0t) + 1 3 sin(3 2πf 0t) + 1 5 sin(5 2πf 0t) (2.5) + 1 ) 7 sin(7 2πf 0t) +.... (2.6) De amplitude voor de blokpuls valt dus minder snel af dan die voor de driehoekspanning 3. Opdracht: Signalen in het frequentiedomein Zet naar keuze een driehoek- of blokspanning met f 0 150 Hz signaal op CH1 van de oscilloscoop. Tip: kies de amplitude zo dat het signaal in het tijdsdomein het grootste deel van het scherm beslaat, maar niet buiten het bereik gaat. Bekijk vervolgens het spectrum van het signaal in het frequentiedomein. Zorg er met Sec/Div voor dat de bemonsteringsfrequentie gelijk is aan 2.50 ks/s. Meet de grondfrequentie en de frequentie van de eerste drie harmonischen. Klopt de uitkomst met de theorie? Meet de sterkte van de eerste vier fouriercomponenten en vergelijk de uitkomst met Vgl. (2.4). Houd rekening met de db-schaal van de amplitude op de oscilloscoop. Rapporteer dit in je labjournaal en laat aftekenen door de assistent. Bemonstering en aliasing In onderdeel A1 is digitalisatie van signalen behandeld. De afwijking (bitruis) die door kwantisatie veroorzaakt wordt, is toen besproken. We hebben zojuist gezien dat een signaal ook geïnterpreteerd kan worden door middel van zijn spectrum, de amplitude en fase waarmee periodieke componenten in het signaal voorkomen. Met deze kennis kunnen ook (nadelige) effecten van bemonstering, een tweede stap bij digitalisatie, begrepen worden. 3 In het notebook Fourierreeks.nb op Blackboard kun je meer informatie vinden over deze reeksontwikkelingen. 27

Bemonstering (Fig. 1.3), oftewel het bepalen van de signaalsterkte op regelmatige tijdintervallen, leidt tot een verlies van informatie bij hoge frequenties: je zult immers snelle variaties die zich tussen de bemonstertijden afspelen niet goed waarnemen. Dit zou niet zo erg zijn, ware het niet dat die informatie niet verdwijnt, maar de amplitude bij andere, lagere frequenties beïnvloedt. Het volgende experiment laat dit duidelijk zien. Opdracht: aliasing Sluit op CH1 van de oscilloscoop een sinusvormig signaal met een frequentie van ca. 150 Hz uit de toongenerator aan. Kies de amplitude zo dat het signaal in het tijdsdomein het grootste deel van het scherm beslaat. Maak vervolgens met de knop Math Menu het signaal weer zichtbaar in het frequentiedomein. Gebruik de knop Sec/Div om de horizontale schaal van de oscilloscoop te zetten op 125 Hz/div. De bemonsterfrequentie is dan 2.50 ks/s. Meet met behulp van Cursor de frequentie van het signaal. Verhoog de frequentie van de sinus totdat de piek aan de rechterkant van het oscilloscoopscherm staat. Bepaal de frequentie die het signaal dan heeft. Bereken ook het aantal monsters per periode wat in dit geval genomen wordt. Verhoog nu langzaam de frequentie nog verder en beschrijf wat er gebeurt met de piek op het scherm. Stel de frequentie van de sinus in op 1500 Hz. Doe dit door het signaal te bekijken in het tijdsdomein en dan de frequentie te meten (gebruik Cursor of Measure ). Bekijk het signaal vervolgens in het frequentiedomein, waarbij de oscilloscoop weer wordt ingesteld op 2.50 ks/s. Meet nu de frequentie van de piek. De foutieve frequentie die je nu meet is de zogenaamde aliasfrequentie. Controleer dat tussen de aliasfrequentie f a en de werkelijke frequentie f het volgende verband bestaat: f a = f s Round[f /f s ] f, met f s de bemonsteringsfrequentie. Met Round[f /f s ] wordt de afronding van f /f s naar het dichtstbij gelegen gehele getal bedoeld. Plot eventueel deze functie in Mathematica voor een grafische illustratie van het verwachte gedrag (tip: gebruik het commando Round). Wat gebeurt er met de piek als de frequentie zo groot wordt dat deze bij de linkerrand van het scherm aankomt? Het zal duidelijk zijn dat bij een te lage bemonsteringsfrequentie het oorspronkelijke signaal niet goed kan worden gerepresenteerd. Met een samplefrequentie f s kun je frequenties tot f s /2 goed weergeven (het zogenaamde bemonsteringstheorema). Wanneer er tóch frequenties groter dan f s /2 in je signaal voorkomen, is er sprake van undersampling. De informatie bij frequenties > f s /2 wordt dan bij frequenties < f s /2 weergegeven (dit noemt men aliasing), met allerlei consequenties voor interpretatie en kwaliteit tot gevolg. Een voorbeeld hiervan is te zien in Fig. 2.3; in feite de situatie waar je in het vorige experiment aan hebt gemeten. Een zeer belangrijke vraag bij het digitaliseren van signalen is dan ook met welke frequentie er minimaal bemonsterd moet worden. In een eerder experiment heb je een driehoekspanning van ongeveer 150 Hz bemeten. Met welke frequentie zou je dit signaal bemonsteren om aliasing te voorkomen? Beargumenteer je antwoord. In de praktijk wordt aliasing voorkomen door het toepassen van een zogenaamd anti-aliasfilter. Dit komt neer op het blokkeren van alle frequenties die mogelijk bij bemonstering voor aliasing zouden kunnen zorgen. Wat zou de maximale doorlaatfrequentie moeten zijn van een anti-alias filter voor muziek bemonsterd met een frequentie van 6000 Hz? 28

1.0 Spanning (V) 0.5 0.0-0.5-1.0 0 2 4 6 8 10 Tijd (s) Figuur 2.3: Aliasing. Wanneer wordt bemonsterd met een frequentie van 1 Hz (groene punten) wordt een sinusvormig signaal met frequentie f = 0.92 Hz waargenomen als een veel lagere frequentie. Er is duidelijk sprake van undersampling. Van een sinusvormig signaal moeten zeker meer dan twee monsters per periode worden genomen. Probeer ook te verklaren waarom muziek (mp3 s en CD s) standaard wordt bemonsterd met een frequentie f s = 44.1 khz. Tot slot kun je de effecten van een te lage bemonsteringsfrequentie voor een geluidsfragment horen middels het Mathematica-bestand aliasing.cdf op Blackboard. Beluister de effecten met een koptelefoon en gebruik zachte muziek, dan is het het best te horen. Open het Mathematica bestand aliasing.cdf. Doorloop de opdrachten in onderdeel 1. van het bestand om de effecten die je zojuist op de oscilloscoop hebt gezien voor een enkele frequentie te horen. Omschrijf de effecten in je labjournaal. In onderdeel 2. kun je ter illustratie beluisteren wat het effect is van het verlagen van de bemonsteringsfrequentie (ook wel downsampling genoemd) op een muziekstuk. Rapporteer dit alles in je labjournaal en laat aftekenen door de assistent. De RC-schakeling Een signaal kan dus beschreven worden als functie van de tijd, en equivalent met amplitude en fase als functie R van de frequentie. Naast een natuurlijke, intuïtieve interpretatie heeft een beschrijving in het frequentiedo- V i (t) mein nog een ander voordeel, dat te maken heeft met C V u(t) de beschrijving van een bepaalde klasse van signaalbewerking. ~ We introduceren dit onderwerp aan de hand van de zogenaamde RC-schakeling, Fig. 2.4. Deze figuur laat opnieuw een spanningsdeler-achtige opstelling zien, maar nu wordt de uitgangsspanning bepaald over een Figuur 2.4: RC-schakeling. condensator 4. Op een condensator kan lading worden opgeslagen. De hoeveelheid lading Q is evenredig 4 https://nl.wikipedia.org/wiki/condensator 29

met de spanning V C over de condensator: Q = CV C. (2.7) De waarde C is een evenredigheidsconstante die afhangt van grootte en vorm van de condensator en wordt de capaciteit genoemd. De eenheid van C is farad (F). Omdat de stroom I (t) gelijk is aan de verandering van de lading per tijdseenheid, vinden we voor de condensator dat I en V C gerelateerd zijn als I (t) = dq d t = C dv C d t. (2.8) In tegenstelling tot bij een weerstand zijn spanning en stroom bij een condensator dus niet rechtevenredig. Differentiaalvergelijking voor de RC-schakeling Om de RC-schakeling te beschrijven, komen we niet weg met een eenvoudige algebraïsche uitdrukking als Vgl. (1.2). In de kring geldt nog steeds: V i (t) = V C (t) +V R (t). (2.9) Omdat V C (t) = V u (t), V R (t) = I (t)r en I (t) door Vgl. (2.8) gegeven wordt, geldt V i (t) = V u (t) + RC dv u(t). (2.10) d t Dit is een eerste orde, niet-homogene, lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten 5. Bij een gegeven V i (t) levert de oplossing van deze differentiaalvergelijking de bijbehorende uitgangsspanning V u (t). Het oplossen van differentiaalvergelijking Vgl. (2.10) verloopt in twee stappen: eerst wordt de oplossing van de homogene vergelijking bepaald: 0 = V u (t) + RC dv u(t). De oplossing : d t (2.12) V u (t) = c 0 e t/rc = c 0 exp( t/rc ). (2.13) Hier wordt de constante c 0 vastgelegd door de randvoorwaarden. Merk op dat dit deel van de oplossing steeds kleiner wordt voor grotere t. Vervolgens zoek je naar een particuliere oplossing van de inhomogene vergelijking. Dit deel zal verschillen voor verschillende ingangsspanningen V i (t). De algemene oplossing is de som van beide oplossingen. Je bestudeert nu naar keuze de zogenaamde respons voor één van twee verschillende ingangsspanningen V i (t): een periodiek ingangssignaal of een spanningsstap. Bekijk het resultaat van een ander koppel dat de alternatieve opdracht heeft gemaakt voor lering en inzicht. In het Engels heet dit element capacitor. De naam condensator komt van het feit dat lading in vroeger tijd als een vloeistof werd gezien, die neer kan slaan op de condensatorplaten. 5 Bij de eerstejaars wiskundecolleges (WT of INFI) ben je een dergelijke vergelijking al tegengekomen in de vorm y(x) + a d y(x) d x = f (x). (2.11) Hier speelt V i (t) de rol van f (x), V u (t) die van y(x), en a = RC. De orde van de differentiaalvergelijking is de hoogste afgeleide die erin voorkomt, vandaar in dit geval eerste orde. 30

Opdracht (keuze, beoordeeld): Frequentierespons van een RC-schakeling Particuliere oplossing voor een periodieke ingangsspanning Omdat we geïnteresseerd zijn in de respons op een periodiek ingangssignaal gebruiken we voor het vinden van de particuliere oplossing V i (t) = v i cos(ωt) en proberen we als oplossing met onbekende coëfficiënten V u (t) = a sin(ωt) + b cos(ωt) op de uitgang 6. Invullen en uitwerken geeft v i cos(ωt) = aωrc cos(ωt) bωrc sin(ωt) + a sin(ωt) + b cosωt. (2.14) Vervolgens stellen we de sinus- en cosinustermen aan elkaar gelijk en delen de sinus en cosinus weg: v i = aωrc + b (cosinus) (2.15) 0 = bωrc + a (sinus) (2.16) We hebben nu dus twee vergelijkingen met twee onbekenden. De tweede vergelijking geeft a = bωrc. Dit invullen in de eerste vergelijking geeft v i = b(1 + (ωrc ) 2 ). (2.17) De totale probeeroplossing wordt dan V u (t) = v i (ωrc sin(ωt) + cos(ωt)). (2.18) 1 + (ωrc ) 2 Als we nu de term tussen haakjes in één term willen vatten, gebruiken we de goniometrische relatie cos(ωt + ϕ) = cos(ωt)cos(ϕ) sin(ωt)sin(ϕ) 7. Met andere woorden, als tanϕ(ω) sinϕ(ω) cosϕ(ω) = ωrc, oftewel (2.19) 1 ϕ(ω) = arctan( ωrc ), (2.20) dan kunnen we Vgl. (2.18) herschrijven tot V u (t) = v i cos(ωt + ϕ(ω)). (2.21) 1 + (ωrc ) 2 De volledige oplossing wordt dan V u (t) = v i 1 + (ωrc ) 2 cos(ωt + ϕ(ω)) + c 0 exp( t/rc ). (2.22) De constante c 0 kan worden bepaald wanneer de uitgangsspanning V u,0 op t = 0 bekend is. Laten we aannemen dat deze gelijk is aan 0 V, dan is c 0 = v i / 1 + (ωrc ) 2. 6 Het gebruik van sinussen en cosinussen is in dit soort gevallen vaak een vorm van zelfkastijding. Het probleem is veel eenvoudiger op te lossen met complexe e-machten e iωt. In het notebook RCschakeling.cdf op Blackboard gebruiken we die methode. In het cursusonderdeel DATA-M komt later het (numeriek en/of analytisch) oplossen van differentiaalvergelijkingen met Mathematica aan de orde. In RCschakeling.cdf vind je ook hiervan alvast een voorbeeld. 7 Hierbij moeten we er wel voor zorgen dat voldaan wordt aan de relatie sin 2 (ϕ) + cos 2 (ϕ) = 1. Dit gaat goed als sin(ϕ) = ωrc / 1 + (ωrc ) 2 en cos(ϕ) = 1/ 1 + (ωrc ) 2 31

Bij het gebruik van de schakeling zijn we vaak alleen geïnteresseerd in de zogenaamde stationaire oplossing, d.w.z. wanneer eventuele opstarteffecten verdwenen zijn. Je ziet dat het oplossingsdeel van de homogene vergelijking na enige tijd verdwenen is. De stationaire oplossing is dan Vgl. (2.21). Wanneer op de ingang van een RC-schakeling een cosinusvormige wisselspanning staat, is de uitgangsspanning dus een cosinus met gelijke frequentie maar met andere amplitude en fase. De twee grootheden die kenmerkend zijn voor het gedrag van de schakeling zijn de amplituderespons (of amplitudeoverdracht), dit is de (wortel van de) verhouding van de amplitudes van in- en uitgangsspanning, en de faserespons (of faseoverdracht), het faseverschil tussen beide spanningen. De amplituderespons G(ω) voor de RCschakeling is gelijk aan G(ω) = v u v i De faserepons is gelijk aan 1 = 1 + (ωrc ) 2. (2.23) ϕ(ω) = arctan( ωrc ). (2.24) Door het gebruik van een condensator in plaats van een weerstand wordt niet alleen de amplitude maar ook de fase van een signaal aangepast. Belangrijker is dat de doorlaat afhankelijk wordt van de frequentie ω. Zo n werking wordt ook wel filtering genoemd. De frequentiekarakteristiek Een grafiek waarin G(ω) is uitgezet tegen ω heet de amplitudekarakteristiek van de schakeling. Het is gebruikelijk om G(ω) in decibel (db) weer te geven, zie Vgl. (2.2), en een logaritmisch verdeelde frequentieas te gebruiken. Een grafiek met het faseverschil ϕ(ω) tegen ω noemt men wel de fasekarakteristiek van de schakeling. De twee grafieken samen noemt men de frequentiekarakteristiek. De frequentiekarakteristiek beschrijft dus de amplitude- en faseverandering voor elke periodieke ingangsspanning, maar bevat ook voldoende informatie om voor élk willekeurig ingangssignaal het uitgangssignaal te berekenen (zie de uitleg op p. 35). Als je de amplitude- en faserespons met een oscilloscoop wilt bepalen, kun je sinusvormige V i (t) en V u (t) op respectievelijk CH1 en CH2 zetten en voor elke ω de verhouding van amplitudes en het faseverschil bepalen, zie Fig. 2.5. Het tijdsverschil t tussen de maxima of nuldoorgangen van de V (t) i V (t) u t T Figuur 2.5: Sinusvormige ingangs- (stippellijn) en uitgangsspanning (lijn), met de grootheden die gemeten moeten worden voor een frequentiekarakteristiek. twee signalen is om te rekenen naar een faseverschil ϕ = 2π t/t (in radialen) of 360 t/t (graden), met T de periode. v i v u 32

We gaan dadelijk een RC-schakeling bouwen en de amplitudeoverdracht en het faseverschil als functie van de frequentie bepalen. Eerst is het interessant om te kijken naar de limiet van G(ω) en ϕ(ω) voor kleine en voor grote ω. Bepaal lim ω 0 G(ω) en lim ω G(ω). Verklaar waarom deze RC-schakeling wel wordt aangeduid met de term laagdoorlaatfilter (low pass filter). Een bijzonder punt van deze schakeling is het zogenaamde 3 db-punt. Laat zien dat een verwakking v u /v i = 1/ 2 overeenkomt met (ongeveer) 3 db, en dat dit punt ligt bij ω = 1/(RC ). Deze frequentie wordt wel de afkapfrequentie van deze schakeling genoemd. De waarde R C wordt wel de RC-constante genoemd. Bepaal ook lim ω 0 ϕ(ω) en lim ω ϕ(ω). Wat gebeurt er in de fasekarakteristiek bij ω = 1/(RC )? Je gaat nu de schakeling bouwen en analyseren. condensatoren en spoelen. Gebruik hiervoor het LCR-kastje met weerstanden, Bouw de schakeling van Fig. 2.4 met de oscilloscoop over de condensator aangesloten. Maak zelf een keuze voor de waarde van R en C. De oscilloscoop wordt gebruikt voor het meten van ingangsen uitgangssignaal. Meet R en C (stand met de twee streepjes) met de multimeter. Plot de theoretische amplitude- en faserespons op basis van de gemeten waarden 8. Meet voor een achttal frequenties de amplitude van in- en uitgangsspanning en bereken telkens de amplituderespons G(ω). Houd er bij het kiezen van de frequenties waarbij je meet rekening mee dat frequenties logaritmisch verdeeld worden uitgezet. Kies in het interessante gebied, dat is het gebied rond het 3 db-punt, de meeste meetpunten. Tip: gebruik Measure. Omdat de logaritmische plotfuncties geen onzekerheden toelaten, is het voor nu niet noodzakelijk deze te bepalen. Meet op het oscilloscoopscherm ook de faseverschilhoek ϕ als functie van de frequentie. Gebruik de Cursor -functie om het tijdverschil te bepalen. Is uit het schermbeeld op te maken of de uitgangsspanning in fase achter- of voorloopt op de ingangsspanning? Gebruik Mathematica om een grafiek van de amplituderespons en faserespons te maken volgens de gebruikelijke conventies. Leg nu de theoretische amplitude- en faserespons over de gemeten waarde door handmatig de waarde van RC te veranderen. Vermeld de RC-constanten door directe meting, uit de amplituderepsons en uit de faserespons in het labjournaal en bediscussieer kort je resultaten. Neem ook de grafieken in het labjournaal op. Het is nu eenvoudig om een hoogdoorlaatfilter te bouwen: verwissel R en C van plaats. Anders gezegd: neem de spanning over R als uitgangsspanning. In dat geval is: 1 G(ω) = 1 + ( ) 1 2 (2.25) ωrc ( ) 1 ϕ(ω) = arctan (2.26) ωrc Ga na dat dit inderdaad een filter is dat alleen hoge frequenties doorlaat. Waarom is dit te verwachten, gezien het feit dat de schakeling werkt als een spanningsdeler? 8 Je mag zelf kiezen of je G en ϕ uitzet tegen de frequentie f of tegen de hoekfrequentie ω, maar wees je bewust van de omrekeningsfactor! In het notebook logplot.cdf op Blackboard vind je meer informatie. 33

Bespreek je resultaten met de assistent. Opdracht (keuze, beoordeeld): Staprespons van een RC-schakeling Particuliere oplossing voor een spanningsstap In plaats van een periodieke ingangsspanning kun je elk willekeurig ander signaal aanbieden aan de RC-schakeling Fig. 2.4. Een vanuit de signaalverwerking belangrijk signaal is de stap, waarbij de ingangsspanning een sprong maakt en vervolgens constant blijft. Het doel van dit experiment is het onderzoeken van de zogenaamde staprespons van een RC-schakeling. Theoretisch komt dit neer op het oplossen van Vgl. (2.10), nu voor V i (t) = V 0 (de spanningsstap op t = 0). We proberen nu als particuliere oplossing op de uitgang V u (t) = av 0. Invullen van Vgl. (2.10) geeft dan V 0 = RC 0 + av 0. (2.27) Uiteraard geeft dit als oplossing a = 1. De totale oplossing (het homogene deel Vgl. (2.13) plus de zojuist gevonden particuliere oplossing) is dan V u (t) = V 0 + c 0 e t/rc. (2.28) Wanneer we nu als randvoorwaarde opleggen dat V u (t = 0) = 0, dan blijkt dat c 0 = V 0. De staprespons wordt dan 9 V u (t) = V 0 (1 e t/rc ). (2.29) Bouw de schakeling van Fig. 2.4 met de oscilloscoop over de condensator aangesloten. Maak zelf een keuze voor de waarde van R en C. Meet R en C (stand met de twee streepjes) met de multimeter. Plot de theoretische staprespons op basis van de gemeten waarden. Gebruik als ingangsspanning nu een blokvormige spanning uit de toongenerator. Zo wordt de ingang van de RC-schakeling beurtelings van een positieve en een even grote negatieve gelijkspanning voorzien. Regel de blokspanning af op een periode die ongeveer 10 keer zo groot is als de RC-constante. Je meet dus op deze manier de staprespons! Verklaar de vorm van het uitgangssignaal op het oscilloscoopscherm. Meet op de oscilloscoop met de cursor een achttal amplitudes als functie van de tijd. Bepaal de RC-constante uit de vervaltijd van de exponent (schat ook de nauwkeurigheid) en vergelijk deze met de waarde op basis van de direct gemeten waarden voor R en C. Hoe kun je aan de vorm van de staprespons zien dat de RC-schakeling op deze manier werkt als een laagdoorlaatfilter? Verhoog nu de frequentie van de wisselspanning en volg de verandering op het scherm (regel wanneer nodig de tijdbasis bij). Bij hoge frequenties gaat het uitgangssignaal op een driehoek lijken. De RC-schakeling gedraagt zich dan blijkbaar als een integrator (met een amplitude-schalingsfactor). Welke term in de differentiaalvergelijking Vgl. (2.10) mag dan blijkbaar verwaarloosd worden? Bekijk ook andere spanningsvormen (sinus, driehoek) en kijk of deze ook geïntegreerd worden. 9 Een oplossing is ook te vinden in het Mathematica-notebook RCSchakeling.cdf op Blackboard. 34

Verwissel nu R en C in de schakeling en bekijk de spanning over de weerstand op de oscilloscoop (je hoeft niets te meten). Hoe kun je aan de signaalvorm bij lage frequenties zien dat de schakeling zich nu gedraagt als hoogdoorlaatfilter (Hint: AC-stand oscilloscoop). Gedraagt de schakeling zich nu bij hoge frequenties als een differentiator? Probeer de respons voor deze schakeling te berekenen en toon aan dat deze overeenkomt met het gemeten signaal. Beschrijf alle waarnemingen in het labjournaal (bijv. met tekeningen) en geef uitleg, en laat beoordelen door de assistent. De beschrijving van systemen Schakelingen met basiselementen zoals weerstanden en condensatoren zijn voorbeelden van systemen: objecten met één of meer ingangen waaraan signalen worden toegevoerd. Een systeem kan één of meerdere uitgangen hebben. Schematisch wordt dit weergegeven in Fig. 2.6. We noemen een systeem lineair wanneer het uitgangssignaal van de som van afzonderlijke ingangssignalen gelijk is aan de som van de uitgangssignalen van de afzonderlijke ingangssignalen. Formeler: als een systeem bij ingangssignaal a 1 (t) een uitgangssignaal (respons) b 1 (t) oplevert (notatie a 1 (t) b 1 (t)), en bij ingangssignaal a 2 (t) een respons b 2 (t), dan geldt voor een willekeurige lineaire combinatie: αa 1 (t) + βa 2 (t) αb 1 (t) + βb 2 (t). De RC-schakeling is een voorbeeld van een lineair systeem. Een algemene eigenschap van een lineair systeem is dat het beschreven kan worden door een n e orde differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten. De werking van analoge elektronica (de kastjes die je her en der in het practicum gebruikt zitten er vol mee) is hiermee van tevoren theoretisch te beschrijven. Een mooie toepassing van elementaire wiskunde! a(t) v i cos( ωt) In Systeem RC Uit b(t) v i 2 1/2 (1 + ( ω R C) ) cos( ω t + ϕ) Figuur 2.6: Boven: algemeen systeem met in- en uitgangssignaal. Onder: in- en uitgang voor een RC-schakeling. Nut van de frequentierespons Aan de structuur van de oplossing voor de RC-schakeling kun je zien, dat een periodieke spanning op de ingang na enige tijd altijd leidt tot een periodieke functie op de uitgang. De schakeling kan alleen iets doen met de amplitude en de fase van het uitgangssignaal. Dit is eveneens een eigenschap van alle lineaire systemen. Het integrerende inzicht is nu het volgende: als de werking van een systeem voor puur periodieke signalen precies te voorspellen is, dan moet dit ook gelden voor algemene signalen die - zoals je aan het begin van A2 hebt geleerd - op te bouwen zijn uit periodieke componenten met elk een eigen amplitude en fase. Immers, als je een willekeurig ingangssignaal schrijft als de som van sinusvormige signalen en je weet van al die sinusvormige signalen wat het uitgangssignaal is, dan is vanwege de lineariteit van het systeem het uitgangssignaal gelijk aan de som van al deze afzonderlijke uitgangssignalen. Voor lineaire systemen is het daarom voldoende om de frequentierespons (de reactie op sinusvormige signalen) te weten. 35

In Uit RC Figuur 2.7: Belangrijke responsies in de signaalverwerking: een sinusvormig signaal (boven), een impulsrespons (midden) en een staprespons (onder). Nut van de staprespons Een equivalente manier om een systeem te karakteriseren is via de impulsrespons. De impulsrespons geeft aan hoe een systeem reageert op een impuls, dat is een zéér kortdurend (theoretisch zelfs oneindig kort) sterk ingangssignaal. Omdat de frequentierespons de Fouriergetransformeerde van de impulsrespons is, volgt uit de impulsrespons de volledige frequentierespons. Het probleem is alleen dat een impulsvormig signaal in de praktijk (elektronisch) niet te realiseren is, alleen te benaderen. De staprespons is verwant aan de impulsrespons (uit de losse pols kun je zeggen dat de impulsrespons de afgeleide is van de staprespons) en is vaak wel goed te realiseren. In de theorie van de signaalverwerking wordt bewezen dat als de staprespons bekend is daaruit de impulsrespons volgt. Theoretisch geeft de staprespons net als de volledige frequentierespons dan ook alle mogelijke informatie over een lineair systeem. 36

Optionele opdrachten week 2 Opdracht (bonus): Parasitaire capaciteit van een schakeling In onderdeel A1 heb je de eindige inwendige weerstand van een oscilloscoop bepaald. Wanneer deze waarde klein wordt ten opzichte van het object waarover je het signaal wilt meten, zullen verstorende effecten optreden die gevolgen hebben voor de meting van signalen. Verstorende effecten zullen ook optreden wanneer je in rekening gaat brengen dat de oscilloscoop, en vele andere onderdelen van je schakeling (kabels, elementen), ook een kleine capacitieve werking hebben. Op veel R 1 plaatsen is namelijk sprake van geleiders die vlak bij elkaar liggen, maar wel een verschillende (netto) lading dragen. In een willekeurige opstelling heb je al gauw een tiental pf te pakken. De zogenaamde parasitaire capaciteit van een (deel van een) schakeling wordt gemodelleerd parallel aan het element waarover de spanning wordt gemeten. Het ~ Vi C p R 2 V effect ervan is dat een schakeling effectief een laagdoorlaatschakeling Figuur 2.8: Spanningsdeler met parasitaire capaciteit wordt. Welke afkapfrequentie je C p. krijgt, hangt af van de grootte van de capaciteit en de elementen in de schakeling. Parasitaire capaciteit is één van de redenen van de beperkte bandbreedte van kabelverbindingen (de hoeveelheid frequenties die je tegelijkertijd door een kabel kunt sturen) en de eindige frequentie die je door een (analoog) circuit kunt sturen. We krijgen er geen genoeg van: bouw een spanningsdeler met weerstanden R 1 = R 2 = 100 kω en sluit de oscilloscoop aan over R 2. Zie Fig. 2.8, waarin ook de parasitaire capaciteit C p van de bekabeling rondom R 2 en de oscilloscoop is weergegeven. Gebruik zo kort mogelijke kabels tussen de bron en R 1 en R 1 en de aftakking naar de oscilloscoop; in dat geval is de capaciteit parallel aan R 1 te verwaarlozen. Zoek in de specificaties de capaciteit van een oscilloscoop. Zoek ook (bijvoorbeeld op internet) de capaciteit van coaxkabel. Maak dan een schatting van C p. Je kunt afleiden dat voor Fig. 2.8 de stationaire oplossing V u (t) voor een (complexe) wisselspanning v i exp(iωt) (zie het notebook RCschakeling.nb) gelijk is aan V u (t) = v i R 2 (R 1 + R 2 ) + iωr 1 R 2 C p exp(iωt). (2.30) Dit is het equivalent van Vgl. (2.18) voor deze schakeling. Bepaal de amplituderespons G(ω) voor het geval dat R 1 = R 2 = R. Wat zijn de limieten lim ω 0 G(ω) en lim ω G(ω)? Bepaal met behulp van een sinusvormige ingangsspanning de amplituderespons van je schakeling, en ga in het bijzonder op zoek naar het 3 db-punt. Welke waarde voor C p kun je hieruit afleiden? Bekijk het effect van de parasitaire capaciteit op een blok- en driehoekspanning, en verklaar je waarnemingen. 37

Kijk of je met een langere coaxkabel tussen weerstand R 2 en het aardpunt een lagere afkapfrequentie meet. Kun je een afschatting maken van de capaciteit per meter van de coaxkabel? 38