EXAM AE2-914: VIBRATIONS OF AEROSPACE STRUCTURES June 17, 2008, Time: 14:00 17:00 The exam is written both in English and in Dutch Please choose the version you find the most convenient Do not forget to write down your name and student identification number on all pages handed in Write down on the first page of your elaboration whether you have made and handed in the practical exercises for the course, and in which year (2004, 2005, 2006, 2007 or 2008) If this information is missing, the possible bonus that you can earn with these exercises can not be awarded TENTAMEN AE2-914: TRILLINGEN VAN LUCHTVAARTCONSTRUCTIES 17 juni, 2008, Tijd: 14:00 17:00 De examenopgaven zijn geschreven in zowel het Engels als het Nederlands Kies de versie die jou het meest ligt Vergeet niet je naam en studienummer te vermelden op alle pagina s die je inlevert Geef op de eerste pagina van je uitwerking aan of je de praktische oefening voor de cursus gemaakt en ingeleverd hebt, en in welk jaar je dit gedaan hebt (2004, 2005, 2006, 2007 of 2008) Indien deze informatie ontbreekt, dan kan de eventuele bonus die je met deze oefening kunt verdienen niet worden toegekend 1
2
Delft University of Technology, Faculty of Aerospace Engineering Exam AE2-914: Vibrations of Aerospace Structures Date: June 17, 2008, Time: 14:00 17:00 Question 1 (25 points) Figure 1 shows a system composed of two masses M, a massless, rigid beam of length 2L, a dashpot c and a rotational spring k r (at point A) The rotation A about point A remains small ( 0 A ( t) / 2 ), and is measured with respect to the static equilibrium position of the system a) Construct the free-body diagram of the system, and derive the equations of motion * * * about point A in the form J A c A k A 0, thus determining the expressions for the effective mass moment of inertia J*, the effective damping c* and the effective stiffness k* b) Derive an expression for the free response A (t), assuming the system is underdamped Subsequently, continue the derivation of the free response by accounting for the initial conditions A ( 0) 0 and A ( 0) 0 c) The exponential decay of the response amplitude is set by the damping c How long does it take before the response amplitude has decayed to 0 / 2? In other words, derive an expression for the time it takes to reach this stage Figure 1: A system is composed of two masses M, a massless, rigid beam of length 2L, a dashpot c and a rotational spring k r 3
Question 2 (25 points) Figure 2 shows a system composed of a mass M and three different springs, k 1, k 2 and k 3 The system is subjected to a harmonic base excitation x2( t) a) Construct the free-body diagram of the system, and derive the equation of motion in terms of the vertical degree-of-freedom x 1( t) b) Derive the steady-state response x1 ss ( t) due to the base excitation x2( t) ss c) Sketch the frequency-response function x ( ), thereby clearly indicating possible asymptotes, as well as the values for 0 and ˆ 1 Figure 2: A compound system of a mass M and three different springs k 1, k 2 and k 3 The system is subjected to a harmonic base excitation x2( t) 4
Question 3 (20 points) Figure 3 shows a basic model of a biker, nicknamed Captain America, who rides his bike on a horizontal terrain that contains a rectangular bump of width w and height ˆx 2 The overall mass of Captain America and his bike is M, their horizontal velocity is v, and the spring stiffness of the bike is k At time t=0 the bike rides over the bump a) Derive the equation of motion in terms of the vertical degree-of-freedom x 1 (t), which thus also contains the expression for the bump loading b) Derive the response x 1 (t) due to the bump loading using the Laplace Transform method Figure 3: A biker with mass M and stiffness k rides his bike with a velocity v on a horizontal terrain containing a rectangular bump of width w and height ˆx 2 5
Question 4 (20 points) Figure 4 shows a compound system of a car with mass M, a pendulum with mass M and length 2L, and two springs with stiffness k The horizontal movement of the car is x(t), and the rotation of the pendulum is (t) It may be assumed that this rotation remains small, 0 ( t ) / 2 The gravity acceleration is g The pendulum is subjected to a harmonic force F( t) a) Draw the free-body diagram, and derive the equations of motion of the system Formulate the equations of motion in matrix-vector format b) Derive the steady-state responses x ss ss (t) and (t) due to the harmonic loading F( t) Figure 4: A system is composed of a car with mass M, a pendulum with mass M and length 2L, and two springs with stiffness k The pendulum is subjected to a harmonic force F( t) 6
Technische Universiteit Delft, Faculteit Luchtvaart- en Ruimtevaarttechniek Tentamen AE2-914: Trillingen van luchtvaartconstructies Datum: 17 juni, 2008, Tijd: 14:00 17:00 Vraag 1 (25 punten) Figuur 1 laat een systeem zien dat is samengesteld uit twee massa s M, een massaloze, oneindig-stijve balk met lengte 2L, een demper c, en een rotatieveer k r (ter plaatse van punt A) De rotatie A om punt A blijft klein ( 0 A ( t) / 2 ), en is gemeten met betrekkking tot de statische evenwichtstoestand van het systeem a) Construeer het vrije-lichaamsdiagram van het systeem, en leid de * * * bewegingsvergelijking om punt A af in de vorm J A c A k A 0, waarbij dus de uitdrukkingen voor de effectieve massatraagheid J*, de effectieve demping c* en de effectieve stijfheid k* moeten worden bepaald b) Leid de uitdrukking af voor de vrije trilling A (t), aannemende dat het systeem ondergedempt is Werk vervolgens de uitdrukking voor de vrije trilling verder uit door de begincondities A ( 0) 0 en A ( 0) 0 in rekening te brengen c) De exponentiële afname van de amplitude van de respons wordt bepaald door de demping c Hoe lang duurt het voordat de amplitude van de respons is afgenomen tot 0 / 2? Met andere woorden, leid een uitdrukking af voor de tijd die nodig is om dit stadium te bereiken Figuur 1: Een systeem is samengesteld uit twee massa s M, een massaloze, oneindigstijve balk met lengte 2L, een demper c en een rotatieveer k r 7
Vraag 2 (25 punten) Figuur 2 laat een systeem zien dat is samengesteld uit een massa M en drie verschillende veren, k 1, k 2 and k 3 Het systeem is onderworpen aan een harmonische basis-exctitatie x2( t) a) Construeer het vrije-lichaamsdiagram van het systeem en leid de bewegingsvergelijking af in termen van de verticale vrijheidsgraad x 1( t) b) Leid de steady-state responsie x1 ss ( t) x2( t) af ten gevolge van de basis-excitatie ss c) Schets de frequency-responsie-functie x ( ), waarbij duidelijk eventuele asymptoten alswel de waarden voor 0 en moeten worden aangegeven ˆ 1 Figuur 2: Een samengesteld systeem van een massa M en drie veren k 1, k 2 en k 3 Het systeem is onderworpen aan een harmonische basisexcitatie x2( t) 8
Vraag 3 (20 punten) Figuur 3 laat een eenvoudig model zien van een motorrijder, bijgenaamd Captain America, die met zijn motor over een horizontaal terrein rijdt met daarin een rechthoekige hobbel met breedte w en hoogte ˆx 2 De algehele massa van Captain America en zijn motor is M, hun horizontale snelheid is v, en de veerstijfheid van de motor is k Op tijdstip t=0 rijdt de motor over de hobbel a) Leid de bewegingsvergelijking af in termen van de verticale vrijheidsgraad x 1 (t), met daarin dus ook de uitdrukking voor de belasting ten gevolge van de hobbel b) Leid de responsie x 1 (t) af ten gevolge van de belasting door de hobbel Gebruik hiervoor de Laplace Transformatie-methode Figuur 3: Een motorrijder met massa M en stijfheid k rijdt zijn motor met een snelheid v over een horizontal terrein met daarin een rechthoekige hobbel met breedte w en hoogte ˆx 2 9
Vraag 4 (20 punten) Figuur 4 laat een samengesteld systeem zien van een wagentje met massa M, een slinger met massa M en lengte 2L, en twee veren met stijfheid k De horizontale beweging van het wagentje is x(t), en de rotatie van de slinger is (t) Het mag worden aangenomen dat deze rotatie klein blijft, 0 ( t ) / 2 De gravitatieversnelling is g De slinger wordt onderworpen aan een harmonische belasting F( t) a) Schets het vrije-lichaamsdiagram, en leid de bewegingsvergelijkingen van het systeem af Formuleer de bewegingsvergelijkingen in matrix-vector-formaat b) Leid de steady-state responsies x ss ss (t) en (t) af die optreden ten gevolge van de harmonische belasting F( t) Figuur 4: Een systeem is samengesteld uit een wagentje met massa M, een slinger met massa M en lengte 2L, en twee veren met stijfheid k De slinger is onderworpen aan een harmonische belasting F( t) 10