Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden op helen. Als je de hoek niet weet, gebruik dan shift. GR: Mode Degree VB.1 Bereken B, zijde AB en EF. tan B = AC = 6 sin 37 = 11 cos 19 = EF AB 11 AB 15 11 B = 9 AB = = 18,8 EF = 15 cos 19 = 14,18 sin 37 tan 1 (6: 11) Vb. Gegeven is de rechthoekige driehoek ABC met BC = 1, AD = 8 en BDA = 75. Bereken BCA Opl. sin D = AB AD sin 75 = AB 8 AB = 8 sin 75 = 7,77.. (doorrekenen met ans) tan C = AB BC = 7,77. 1 C = 3,8 (tan 1 (7,77 1)) Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen 1
In elke ABC geldt de sinusregel: a sin α = Theorie B: De sinusregel en cosinusregel b sin β = c sin γ Gegeven is ABC met b = 10, β = 66 en γ= 73. Bereken a en c in één decimaal nauwkeurig. a sin α = b sin β = c sin γ α = 180 66 73 = 41 a = 10 = c sin 41 sin 66 sin 73 a = c = 10 sin 41 sin 66 10 sin 73 sin 66 = 7, = 10,5 De sinusregel in stomphoekige driehoeken Als twee hoeken samen 180 zijn, dan zijn de sinussen van deze hoeken gelijk. α 1 + α = 180 sin α 1 = sin α Als sin α = 0,9 dan α = 64 v α = 180 64 = 116 In elke ABC geldt de cosinusregel: a = b + c bc cos α b = a + c ac cos β c = a + b ab cos γ (Als je de sinusregel niet kunt gebruiken, gebruik dan de cosinusregel) Gegeven is ABC met a = 6, b = 8 en c = 9 Bereken β in graden nauwkeurig. b = a + c ac cos β 8 = 6 + 9 6 9 cos β 64 = 117 108 cos β 108 cos β = 53 cos β = 53 108 β = 61 (cos 1 (53: 108)) Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen
Theorie C: Gelijkvormige driehoeken Vierhoek ABCD is een paralellogram Bereken CD. 1. ECD ~ EFA. ECD EC = X CD =? ED = 9 EFA EF = X FA = 3 EA = 4 3. CD = 3 9 4 = 6,75 Vb. Zie de snavelfiguur. Bereken AC. Evaluation version - Prohibited use in classroom D? C 5 3 A F B 4 E Evaluation version - Prohibited use in classroom Opl. Als het gevraagde lijnstuk niet te berekenen is, noem deze dan x 1. ABC ~ DEC. ABC AB = X BC = 7 AC =? DEC DE = X EC = 3 DC = 11 E 3 <? C D 7 Stel AC = x, dan is DC = 11 x 3. 7(11 x) = 3x 77 7x = 3x 10x = 77 x = 7,7 A < B Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen 3
Theorie D: Bijzondere rechthoekige driehoeken 3 1 CD = 1 + = 3 PR = 1 + 1 = Tabel van exacte waarden Hoek 0 30 45 60 90 Sinus 0 Cosinus 1 Tangens 0 1 1 1 3 1 1 3 1 1 0 1 3 3 1 3 - Gegeven is ABC met AB = 10, hoek A = 45 en hoek B = 30. Bereken exact de oppervlakte van ABC. Schets met hoogtelijn CD. Noem CD = x AD = x BD = x 3 met schets of tan 60 = BD/x, 3 = BD/x, BD = x 3 AB = x + x 3 = 10 x(1 + 3) = 10 10 10 1 3 10 10 3 10 10 3 x = 5 3 5 1 3 1 3 1 3 1 3 OPP ABC = ½ 10 ( 5 3 5 ) = 5 3 5 Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen 4
Bepaal in één decimaal nauwkeurig de hoek tussen de lijnen x y = 10 en 4x + 3y = 5 Theorie E: De hoek tussen twee lijnen Voor α geldt : tan(α) = 1 = α = 63,4.. Voor β geldt : tan(β) = 4 β = 53,1.. 3 φ = α β = 63,4.. 53,1.. = 116,56.. De gevraagde hoek = φ = 180 116,56.. = 63,4 Afspraken: rck = tan (α) en rcm = tan (β) met -90 α,β 90 φ= α β met 0 φ 90 Extra: RC = y x = y B y A x B x A Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen 5
Les 1 Aant. 10.1 Afstanden en hoeken Theorie A: De zijde x hoogte-methode OPP = 1 zijde bijbehorende hoogte OPP ABC = 1 AB CF = 1 BC AD AB CF = BC AD Dus. zijde x bijbehorende hoogte = andere zijde x bijbehorende hoogte Bereken exact de lengte van HP. DF = 10 + 5 = 15 DH x FH = DF x HP 5 x 10 = 15 x HP HP = 50 = 50 15 = 5 5 = 5 15 15 5 EXTRA: Vaak moet je eerst hulplijnen tekenen, bijvoorbeeld de zijde van driehoek en/of de bijbehorende hoogte(s). Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen 6
Les Aant. 10.1 Afstanden en hoeken Theorie B: De sinus en cosinusregel De sinusregel: a b c sin sin sin De cosinusregels: a = b + c bc cos b = a + c ac cos c = a + b ab cosγ POWERPOINT Aant. 10. Vergelijkingen in de meetkunde Theorie A: Vergelijkingen en bijzondere driehoeken 3 1 CD = 1 + = 3 PR = 1 + 1 = Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen 7
De omtrek van vierhoek ABCD is 30 met EBCD is een vierkant en A = 60. Bereken exact AB. Stel BE = x, dan is BE = BC = CD = DE = x AE = x 3 = x 3 3 3 = 1 3 x 3 AD = 1 3 x 3 = 3 x 3 Omtrek ABCD = 1 x 3 + x + x + x + x 3 = 30 3 3 3x + x 3 = 30 x(3 + 3) = 30 x = 30 3+ 3 AB = AD + BE = 1 3 x 3 + x = 1 3 30 3+ 3 = 10(3+ 3) 3+ 3 = 10 30 3 + = 10 3 + 30 = 30+10 3 3+ 3 3+ 3 3+ 3 3+ 3 Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen 8
Les 3 Aant. 10. Vergelijkingen in de meetkunde Theorie B: Vergelijkingen en de stelling van Pythagoras Gegeven is een cirkel met straal 8. De punten A, B en C liggen op de cirkel zo, dat AC = BC en verder is de hoogte CD twee keer de lengte van AB. Bereken exacte de lengte van AB. Stel AD = x AB = x CD = 4x Teken middelpunt en straal AM CM = AM = 8 DM = 4x 8 Stelling van Pythagoras in driehoek ADM AD + DM = AM x + (4x 8) = 8 x + 16x 64x + 64 = 64 17x 64x = 0 x(17x 64) = 0 x = 0 v 17x 64 = 0 17x = 64 x = 64 17 AB = 64 = 18 = 7 9 17 17 17 Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen 9
Les 4 Aant. 10.3 Lijnen in een assenstelsel Theorie A: Onderlinge ligging van lijnen Bij de lijnen k: ax + by = c en l: px + qy = r geldt: - 0 snijpunten als ze evenwijdig zijn: a = b c of RCk = RCl (zonder verhouding c:r) p q r - 1 snijpunt: a of RCk RCl p b q - Oneindig veel snijpunten als ze samenvallen: a = b = c of RCk = RCl (met verhouding c:r) p q r Gegeven zijn de lijnen x + py = 10 en 5x + 3y = q Voor welke waarde van p en q zijn/hebben de lijnen : a. Evenwijdig b. Gelijk / Samenvallen c. Een snijpunt a. = p 5 3 10 5 q Dus als p = 1 1 en q 5 5 b. = p = 10 5 3 q Dus als p = 1 1 en q = 5 5 5p = 6 p = 1 1 5 q 50 q 5 c. p 5 3 Dus als p 1 1 en q mag elk getal zijn. 5 Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen 10
Les 5 Aant. 10.3 Theorie B: Lijnen, hoeken en afstanden = Herhaling H7 - De hoek φ tussen twee lijnen kun je berekenen door: rck = tan (α) en rcm = tan (β) met -90 α,β 90 en φ = α β met 0 φ 90 - De afstand tussen de punten A= (xa, ya, en B=(xb, yb) kun je berekenen met de formule : d(a, B) = (x B x A ) + (y B y A ) (Pythagoras) - Het midden van de punten A en B is M = ( x A+x B, y A+y B ) - Twee lijnen k en m staan loodrecht op elkaar als rck rcm = -1. - d(a, k) = { De afstand van punt A tot lijn k } = d(a,a`) Gegeven is de vierhoek ABCD met A(1,3), B(4,0), C(5,) en D(3,5). Zie de figuur. a. Bereken (AC,BD) b. Bereken d(c,ad) a. rc AC = y = 1 x 4 tan(α) = 1 4 rc BD = y = 5 x 1 tan(β) = 5 α = 14,036.. β = 78,69.. φ = α β = 14,036.. 78,69.. = 64,65.. Dus (AC,BD) = 64,7 b. Formule lijn AD y = ax + b rc AC = y = = 1 y = x + b x A(1,3) 3 = 1 + b b = y = x + Formule loodrechte lijn (CC`) y = ax + b rc AD rc CC` = 1 1 rc CC` = 1 rc CC` = 1 C(5,) = -5 + b b = 7 y = -x + 7 y = -x + b Snijpunt van de lijnen x + = -x + 7 x = 5 y = 1 + = 41 x = 1 (1 ; 41 ) Afstand d(c, AD) = d(c, C ) = (5 1 ) + ( 4 1 ) = 6 1 4 + 61 4 = 11 = 5 = 5 = 1 Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen 11
Les 6 Aant. 10.4 Cirkels, raaklijnen en afstanden Theorie A: Cirkelvergelijkingen - Voor een cirkel met middelpunt M(a,b) geldt de vergelijking : ( x r a) ( y b) - - De afstand tussen de punten A en B = d(a, B) = (x B x A ) + (y B y A ) Stel een vergelijking op de cirkel c1 met middelpunt M(3,-1) die door punt P(5,7) gaat. ( x a) ( y b) r a = 3 en b = -1 r = d(m,p) = (5 3) + (7 1) = 68 dus c : ( x 3) ( y 1) 1 68 Vb. Gegeven x 1x y 0 0. a. Bereken de coördinaten van het middelpunt en de bijbehorende straal. Gegeven het punt A(1,) b. Ligt punt A binnen of buiten de cirkel? c. Bereken de afstand van punt A tot de cirkel. Opl. a. x 1x y 0 0 ( x 6) 36 y 0 0 ( x 6) ( x 6) y y 36 0 16 Middelpunt M = (-6,0) en r = 16 = 4 b. De afstand d(a, M) = (1 6) + ( 0) = 49 + 4 = 53 Omdat 53 > 4 ligt punt A buiten de cirkel c. Afstand tot de cirkel = 53 4 Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen 1
Les 7 Aant. 10.4 Theorie B: Cirkels en raaklijnen De straal r staat altijd loodrecht op de raaklijn k aan de cirkel. r k rc r rc k = 1 Het punt R(3,6) ligt op de cirkel ( x 4) ( y 5) 5 Stel een vergelijking op van de raaklijn k in punt R. 1. k : y = ax + b. RC =? Middelpunt M(4,5) en R(3,6) rc r = 6 5 = 1 = 1 3 4 1 rc r rc k = 1 1 rc k = 1 rc k = 1 y = 1 x + b = x + b 3. b =? R(3,6) 6 = 3 + b dus b = 3 Formule: Lijn k : y = x + 3 Vb. De lijn k : y = x + raakt de cirkel c met middelpunt M(4,5). Bepaal de vergelijking van de cirkel c. 1. Stel de formule op van de loodrechte lijn m. Lijn m door M lijn k RCm x RCk = -1 RCm x = -1 RCm = -½ y = -½x + b M(4,5) dus 5 = -½ 4 + b b = 7 m: y = -½x + 7. Bereken het snijpunt van de lijnen k en m. -½x + 7 = x + - ½x = -5 x = y = + = 6 R(,6) 3. De afstand tussen van punt M tot lijn k = straal. d(m, k) = d(m, R) = r = (4 ) + (5 6) = 4 + 1 = 5 4. Geef de vergelijking van cirkel c. ( x 4) ( y 5) ( 5) ( x 4) ( y 5) 5 Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen 13
Les 8 Aant. 10.4 Theorie C: Cirkels en afstanden Afstand tussen twee cirkels: d(c 1, c ) = d(m, N) r 1 r Op de lijn l: x + 6y = 4 ligt het punt M met xm = 3 en het punt N met xn = 8. De cirkel c1 met middelpunt M en de cirkel c met middelpunt N raken de x-as. Bereken exact de afstand tussen c1 en c. l: x + 6y = 18 xm = 3 3 + 6y = 4 ym = 3 cirkel c1: straal = 3 en M(3,3) xn = 8 8 + 6y = 4 yn = 1 1 3 cirkel c: straal = 1 1 3 en N(8, 1 1 3 ) d(m,n) = (8 3) + (1 1 3 3) = 5 + 7 9 = 7 7 9 = 1 3 50 = 1 3 10 d(c1,c) = 1 3 10 3 1 1 3 = 1 3 10 4 1 3 Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen 14