BEWERKINGEN B0 Doelstellingen Deze doelstellingen zijn bedoeld voor de studenten kleuteronderwijs Arteveldehogeschool. Ze geven een beeld van wat verwacht wordt voor het examen. Toch is het ook voor anderen een handig overzicht van termen en activiteiten rond dit onderwerp. Je moet in staat zijn om volgende begrippen uit te leggen in eigen woorden, te herkennen in beschreven contexten of observaties van kinderen en te illustreren met (eigen) voorbeelden: realistisch rekenonderwijs rekentaal hoofdbewerkingen splitsen van hoeveelheden, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen termen, som, aftrektal, aftrekker, verschil, vermenigvuldigtal, vermenigvuldiger, product, deeltal, deler, quotiënt, rest optellen en aftrekken met/zonder brug verdelingsdeling, verhoudingsverdeling statisch en dynamisch rekenen cuisinaire rekenstaafjes, M.A.B.- materiaal, rekendoos, rekenrek, rekenmannetje vierstructuur, vijfstructuur linken te leggen tussen: schema rekenvoorwaarden en bewerkingen. uit te leggen en toepassen: hoe getallen en bewerkingen in het eerste leerjaar worden opgebouwd. waarom splitsen van hoeveelheden een voorbereiding is voor breuken en verhoudingen. waarom meer niet altijd hetzelfde is als plus. de doelen uit het leerplan wiskunde (VVKBaO) uit domein bewerkingen (van toepassing op kleuters) te begrijpen, te linken aan bovenstaande inhouden en activiteiten/observaties bij kleuters.
B1 Inleiding In dit deel behandelen we het domein bewerkingen (zie leerplan wiskunde). Realistisch rekenonderwijs Bij het rekenen vertrekken we in de basisschool steeds van realistische situaties (zoek online meer op realistisch wiskundeonderwijs Freudenthal ). Het is van uitermate belang dat kinderen wiskunde ervaren in reële, dagdagelijkse situaties. Pas dan wordt overgeschakeld naar meer abstracte, schematische oefeningen. Uit eigen observaties: Kinderen uit het derde leerjaar kregen als opdracht tijdens de wiskundeles om bussen te bestellen voor een klasuitstap. Er waren 75 kinderen. In elke bus is er plaats voor 50 kinderen. Als hen gevraagd werd hoeveel bussen er besteld moesten worden, antwoordden ze 1.5 bus. De kinderen maakten van het vraagstuk een wiskundige opgave (hoeveel keer kan 50 in 75), maar vergaten hun resultaat om te zetten naar een realistisch antwoord. Rekentaal Daarnaast moet men er van bewust zijn dat wiskunde ook veel specifieke taal inhoudt. Het geheel van termen en begrippen i.v.m. getallen en bewerkingen op getallen noemt men rekentaal. Bijvoorbeeld: Veel, weinig, hoeveel, te veel, meer, minder, duiden een hoeveelheid of een vergelijking tussen hoeveelheden. Bijdoen, afnemen, verliezen, kopen, winnen, verdelen, duiden op handelingen die met de hoeveelheden verricht worden. Taalzwakke kinderen kunnen bijgevolg ook problemen hebben met wiskunde. Niet omdat ze rekenzwak zijn, maar de nodige begrippen niet beheersen. Sommige kinderen blijken in hun eigen moedertaal duidelijk betere rekenaars dan in het Nederlands. Het is dus essentieel om kinderen in de kleuterklas veel concrete rekenervaring op te laten doen en een uitgebreide rekentaal te helpen ontwikkelen. Opbouw getallen en bewerkingen in het eerste leerjaar We bekijken in de volgende rubrieken de soorten hoofdbewerkingen en enkele rekenmaterialen uit het eerste leerjaar. Het optellen en aftrekken wordt in het eerste leerjaar als volgt opgebouwd, samen met het aanbrengen van de verschillende getallen tot 20: 1 t.e.m. 9 10
10 t.e.m. 19 Brug over 10 20 Het werken met tientallen en eenheden wordt pas grondig in tweede leerjaar uitgediept. B2 Soorten bewerkingen In deze rubriek overlopen we bewerkingen die ook al in de kleuterklas via concrete handelingen en met concreet materiaal uitgevoerd kunnen worden. Splitsen van hoeveelheden (deel- geheel) Optellen (zonder brug brug over tien) Aftrekken (zonder brug brug over tien) Vermeningvuldigen Delen B2.1 Splitsen van hoeveelheden In de kleuterklas kan het splitsen van hoeveelheden tot en met 10 ingeoefend worden. De grondslag van het splitsen (deel geheel) komt ook terug bij breuken en verhoudingen. Typische oefeningen in het eerste leerjaar: Bekijk zeker de video s op de blog WIKO! B2.2 Optellen Bewerking: het optellen, de optelling.
Bewerkingsteken: + (plus). Onderdelen: 4 + 3 = 7 (termen = som) Eerst handelen, daarna noteren. De handeling komt neer op samen nemen, bijdoen, vermeerderen. Optellen zonder brug: Merk op: 11 + 3 is ook een optelling zonder brug (binnen eenzelfde tiental). Optellen met brug Er wordt eerst aangevuld tot 10 (9 + 1) en dan gekeken hoeveel er over blijven (4). Met brug betekent dus over het tiental heen optellen. Let op: meer is niet altijd hetzelfde als plus! Marie heeft 5 snoepjes. Bram heeft 2 snoepjes meer dan Marie. Hoeveel snoepjes heeft Bram?
Bram heeft 5 snoepjes. Marie heeft 2 snoepjes. Hoeveel snoepjes meer heeft Bram? B2.3 Aftrekken Bewerking: het aftrekken, de aftrekking. Bewerkingsteken: - (min). Onderdelen: 7 2 = 5 (aftrektal aftrekker = verschil) Eerst handelen, dan noteren. De handeling komt overeen met weg nemen, weg doen, verminderen,. Aftrekken zonder brug: Merk op: 18 5 is ook een aftrekking zonder brug (binnen eenzelfde tiental). Aftrekken met brug: Met brug betekent over het tiental heen aftrekken. Er worden in de praktijk twee methoden gebruikt. Ofwel wordt de aftrekker opgesplitst tot het tiental (12 2 3 = 7), ofwel wordt de aftrekker van het tiental afgetrokken en de overblijvende eenheden opgeteld met de rest (10 5 = 5 + 2 = 7). We hebben zelf een voorkeur voor de eerste methode. B2.4 Vermenigvuldigen Vermenigvuldigen wordt beschouwd als herhaald optellen. Bewerking: het vermenigvuldigen, de vermenigvuldiging. Bewerkingsteken: x (maal). Delen: 2 x 4 = 8 (vermenigvuldiger x vermenigvuldigtal = product) De vermenigvuldiger duidt aan hoeveel keer men een groepje met evenveel
elementen neemt. Het vermenigvuldigtal duidt aan hoeveel elementen er in elk (gelijk) groepje zit. B2.5 Delen Bewerking: het delen, de deling. Bewerkingsteken: : (gedeeld door). Delen: 8 : 2 = 4 (deeltal : deler = quotiënt) 9 : 2 = 4, rest 1 NIET: 9 : 2 = 4 + 1 Verdelingsdeling: Het totaal wordt (via de één- één- relatie) verdeeld in een vooraf gekend aantal groepen (met elk evenveel elementen). De deler duidt hier het aantal (vooraf gekende) groepjes aan. Het quotiënt geeft aan hoeveel elementen er in elk groepje zitten. B.v. verdeel acht in twee gelijke groepen (8 : 2 = 4) Verhoudingsdeling: Men weet vooraf hoeveel elementen er in elk (gelijk) groepje moet zitten (wordt uitgedrukt door de deler). Er wordt gezocht naar het aantal groepjes dat men kan vormen (aangeduid door het quotiënt). B.v. hoeveel keer gaat drie in zes (6 : 3 = 2) B3 Statische en dynamische bewerkingen Aharoni (2009) legt een subtiel verschil in de betekenis van optellen: Er zijn eigenlijk twee soorten optellingen: een dynamische en een statische. In een dynamische optelling ontstaat er een verandering in de situatie: 3 vogels zitten in een boom, 2 komen erbij. Hoeveel vogels zitten er nu? In een statische optelling worden verschillende soorten gegroepeerd: in een vaas staan 3 rode en 2 gele bloemen. Hoeveel bloemen staan er in de vaas? Bij aftrekken is dat verschil eveneens mogelijk. Kinderen blijken volgens Aharoni (2009) moeilijkheden te hebben bij statische aftrekkingen. Dynamische aftrekking: er liggen 5 appelen in de mand, we halen er 2 uit. Hoeveel appels zitten er nog in de mand?
Statische aftrekking: er zijn 6 kindjes op het verjaardagsfeest, waarvan 2 jongens. Hoeveel meisjes zijn er op het feest? Bij vermenigvuldigen en delen wordt het onderscheid niet gemaakt. B4 Rekenmaterialen Hieronder lijsten we enkele veelvoorkomende rekenmaterialen op in het eerste leerjaar. In de kleuterklas stimuleren we vooral het werken met concreet materiaal en de kinderen zelf. In verdere abstractie kunnen onderstaande materialen een ondersteuning bieden. Ook in het eerste leerjaar kan (moet) nog gewerkt worden met alledaags concreet materiaal (kinderen zelf, kastanjes, blokjes, ). We kiezen wel voor discontinue hoeveelheden. (Cuisenaire) rekenstaafjes Er zijn twee bedenkingen te formuleren bij het gebruik van dit materiaal: o Kinderen memoriseren kleuren en rekenen met kleuren: b.v. een rood staafje en een groen staafje vormen samen dezelfde lengte van een geel staafje. Dat lijkt ons een brug te ver o Deze staafjes (zie foto) zijn geen discontinue hoeveelheden. Er zijn geen aparte eenheden zichtbaar. Bij recentere versies van de rekenstaafjes zijn er soms wel lichte gleufjes zichtbaar die de eenheden apart aanduiden. Zo kan een kleuter tellen en vaststellen dat het gele staafje het getal 5 voorstelt. M.A.B. materiaal Het materiaal bestaat uit eenheden (1), staafjes (10), vierkanten (100) en kubussen (1000). Dit materiaal wordt vooral vanaf het tweede leerjaar ingezet voor grotere rekensommen: b.v. 231 + 122. Rekenrek (of ook nog telraam genoemd) Het is de bedoeling dat de kralen van rechts naar links wordt verschoven. Er wordt enkelsporig of dubbelsporig gewerkt met discontinue hoeveelheden (kralen) in een vijfstructuur (eenheden per 5 gegroepeerd zie kleuren) bij rekenen tot 20. Rekendoos Dit materiaal heeft een vierstructuur (zie kwadraatbeeld) met discontinue hoeveelheden (blauwe en rode kubusjes) en wordt gebruikt voor het rekenen tot 20. Rekenmannetje Deze methode wordt minder frequent gebruikt. Het hoofdje stelt de hoeveelheid 4 voor en elk been telt drie eenheden.
B5 Bronnen Aharoni, R. (2009). Kinderen leren rekenen. Amsterdam: Boom. Janssens, I. (2006). Wiskundige initiatie voor kleuters: Getallen. Mechelen: Wolters Plantyn. Van Keymeulen, G. (2010-2011). Eerste leerjaar: aanvankelijk rekenen [cursus]. Gent: Arteveldehogeschool Bachelor in het onderwijs Lager onderwijs Vlaams Verbond van het Katholiek Basisonderwijs. (1998). Wiskunde Leerplan. Brussel : Centrale Raad van het Katholiek Lager- en Kleuteronderwijs. B6 Oefeningen Zie blog