Rationale punten op elliptische krommen

Rationale punten op elliptische krommen Anne Barten 6 juli 2015 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. S. R. Dahmen Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

Samenvatting In deze scriptie, geleid door het boek van Silverman en Tate [5], wordt eerst het projectieve vlak gedefinieerd en worden krommen in het projectieve vlak bekeken. Ook worden enkele stellingen over het doorsnijden van krommen in het projectieve vlak geformuleerd. Vervolgens wordt bewezen dat de verzameling van rationale punten op een elliptische kromme een groep vormen met een meetkundige groepsbewerking. Daarna volgt het belangrijkste deel van de scriptie; het bewijs van een speciaal geval van de stelling van Mordell. We bewijzen de stelling alleen in het geval dat de elliptische kromme een rationaal 2-torsie punt heeft. Het bewijs wordt gegeven door vier lemma s. Deze vier lemma s worden bewezen en er wordt bewezen dat de vier lemma s de stelling van Mordell bewijzen. Tot slot bekijken we nog een aantal voorbeelden voor het uitrekenen van de groep van rationale punten. Titel: Rationale punten op elliptische krommen Auteur: Anne Barten, anne.barten@student.uva.nl, 10462279 Begeleiding: dr. S. R. Dahmen Tweede beoordelaar: dr. H. B. Posthuma Einddatum: 6 juli 2015 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math 2

Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Projectieve meetkunde 5 2.1 Het projectieve vlak............................. 5 2.1.1 De algebraïsche definitie....................... 5 2.1.2 De meetkundige definitie....................... 6 2.1.3 Equivalentie.............................. 8 2.2 Krommen in het projectieve vlak...................... 9 2.2.1 Doorsnijding van projectieve krommen............... 10 3 Rationale punten op elliptische krommen 15 3.1 Elliptische krommen............................. 15 3.2 De groep van rationale punten........................ 17 4 De stelling van Mordell 28 4.1 De hoogte van een punt........................... 29 4.2 De vier lemma s................................ 29 4.3 De bewijzen van de vier lemma s...................... 33 4.3.1 Bewijs van Lemma 4.4........................ 33 4.3.2 Bewijs van Lemma 4.6........................ 34 4.3.3 Bewijs van Lemma 4.7........................ 38 4.3.4 Bewijs van Lemma 4.9........................ 41 5 Het berekenen van C(Q) 52 5.1 De rang van C(Q).............................. 52 5.2 Voorbeelden.................................. 53 6 Conclusie 61 7 Populaire samenvatting 62 Bibliografie 64 3

1 Inleiding In deze scriptie wordt, zoals de titel al doet vermoeden, gekeken naar het onderwerp rationale punten op elliptische krommen. Om de rationale punten op elliptische krommen te bestuderen hebben we verschillende deelgebieden van de wiskunde nodig, waaronder algebra, analyse, meetkunde en getaltheorie. De overlap van al deze deelgebieden binnen de wiskunde is de reden dat dit onderwerp mij zo aanspreekt. In de bachelorfase hebben we een heleboel vakken in de richting van algebra, analyse, stochastiek enzovoort. Alleen bij al deze vakken is het verband tussen de verschillende vakken vaak ver te zoeken. Om nu naar een onderwerp te kijken waarin al deze gebieden worden gecombineerd, leek mij een mooie afsluiting van de bachelorfase. Toen ik een onderwerp moest kiezen voor mijn bachelorscriptie wist ik meteen dat ik een onderwerp uit de algebra wilde. Algebra vakken hebben altijd mijn interesse gehad en zo kwam het dat ik het vak getaltheorie had gekozen. Bij getaltheorie vond ik Diophantische vergelijkingen, vooral de Diophantische meetkunde, een interessant onderwerp, waarin ik mijzelf verder wilde verdiepen. Met dit idee ben ik afgestapt op Sander Dahmen, tevens de docent van het vak getaltheorie, met de vraag of hij mij wilde begeleiden bij mijn bachelorscriptie. Zelf had ik geen idee van alle kanten die ik op zou kunnen met Diophantische meetkunde en na een gesprek met Sander Dahmen kwamen we uit op het onderwerp rationale punten op elliptische krommen. Het doel van deze scriptie is om erachter te komen wat de rationale punten op een elliptische krommen zijn. Hoe kunnen we deze punten beschrijven? Om dit te kunnen doen zullen we ons uiteindelijk beperken tot een speciale vorm van elliptische krommen. Verder worden bij dit onderwerp mooie bewijstechnieken gebruikt en ook de resultaten zijn af en toe verrassend. De bewijstechnieken zijn zo mooi, omdat het geen rechttoe rechtaan bewijzen zijn. Deze bewijzen maken gebruik van de verschillende deelgebieden van de wiskunde en geven je een hele andere kijk op het bewijzen van stellingen. Op het gebied van elliptische krommen wordt ook nu nog steeds veel onderzoek gedaan. Mijn onderwerp houdt verband met het Birch en Swinnerton-Dyer vermoeden. Dit vermoeden gaat over het vinden van rationale punten op abelse variëteiten, ofwel gegeneraliseerde elliptische krommen. Nu gaan we in deze scriptie niet zo ver. We zullen ons beperken tot elliptische krommen. Rest mij tot slot nog een aantal mensen te bedanken. Allereerst mijn begeleider, Sander Dahmen, die mij rustig mijn eigen gang heeft laten gaan. Mij nooit heeft opgejaagd, waardoor ik mijzelf verder kon ontplooien op het gebied van elliptische krommen. Ook wil ik hem bedanken voor zijn feedback op mijn ingeleverde werk, waaraan ik veel heb gehad. Tot slot wil ik mijn medestudenten bedanken waarmee ik heb gesproken over mijn onderwerp en zo tot nieuwe inzichten ben gekomen. Veel lees plezier! 4

2 Projectieve meetkunde Voordat we naar rationale punten op elliptische krommen kunnen gaan kijken, zullen we moeten beginnen met de basis. Daarom zal in dit hoofdstuk het projectieve vlak worden gedefinieerd en worden krommen in het projectieve vlak beschreven. Ook zullen enkele stellingen worden gedefinieerd die van belang zijn om de rationale punten op elliptische krommen te kunnen bestuderen. 2.1 Het projectieve vlak Het projectieve vlak kunnen we op twee manieren definiëren. We kunnen het projectieve vlak op een meetkundige manier en op een algebraïsche manier definiëren. Daarna willen we laten zien dat deze twee definities equivalent zijn. 2.1.1 De algebraïsche definitie Voordat we de precieze algebraïsche definitie van het projectieve vlak geven, bekijken we eerst een voorbeeld om een idee te krijgen van de opbouw van de definitie. Laat N Z >0 en bekijk de volgende vergelijking [5, p.220] x N + y N = 1. (2.1) Voor deze vergelijking zoeken we de oplossingen (x, y), waarbij x en y rationale getallen zijn. Stel dat we zo n oplossing hebben gevonden. Dan weten we dat we x en y kunnen schrijven als x = a/c en y = b/d, waarbij a, b, c en d gehele getallen zijn. We mogen zonder verlies van algemeenheid aannemen dat de breuken zover mogelijk vereenvoudigd zijn en zowel c als d positief zijn. Het substitueren van deze x en y in vergelijking (2.1) geeft x N + y N = 1 a N c N + bn d N = 1 a N + bn c N d N = cn a N d N + b N c N = c N d N. Hieruit volgt dat c N a N d N. We hadden gezegd dat de breuken zover mogelijk vereenvoudigd waren. Dit houdt in dat de grootste gemeenschappelijke deler van a en c gelijk is aan 1. Dus kunnen we concluderen dat c N d N en dus c d. Ook geldt dat d N b N c N. De 5

grootste gemeenschappelijke deler van b en d is gelijk aan 1. Dus kunnen we concluderen dat d N c N en dus d c. Hieruit volgt dat c = ±d en omdat we hadden aangenomen dat zowel c als d positief is, volgt nu dat c = d. Dus elke oplossing (x, y) is van de vorm x = a/c en y = b/c. Dit geeft een oplossing in gehele getallen (a, b, c) voor de homogene vergelijking [5, p.220] X N + Y N = Z N. (2.2) Omgedraaid geldt ook dat elke oplossing voor vergelijking (2.2) in gehele getallen (a, b, c), met c ongelijk aan nul, een rationale oplossing (a/c, b/c) geeft voor vergelijking (2.1). Al kunnen verschillende oplossingen in gehele getallen voor vergelijking (2.2) leiden tot dezelfde oplossing in rationale getallen voor vergelijking (2.1). Veronderstel dat (a, b, c) een oplossing is in gehele getallen voor vergelijking (2.2) dan geldt voor een geheel getal t dat (ta, tb, tc) ook een oplossing is voor de vergelijking (2.2). Deze twee drietallen geven dezelfde rationale oplossing voor vergelijking (2.1). Voor de algebraïsche definitie van het projectieve vlak definiëren we de volgende equivalentierelatie [3, p.12]. Laat k een lichaam [3, p.1] zijn en a, b, c, d k dan geldt dat [a, b, c] [a, b, c ] als er een t k ongelijk nul is zodanig dat a = ta, b = tb en c = tc, [5, p.221]. We definiëren nu het projectieve vlak als de verzameling van alle equivalentieklassen [3, p.12], maar we sluiten [0, 0, 0] uit. We krijgen dan de volgende algebraïsche definitie voor het projectieve vlak [5, p.221] P 2 = {[a, b, c] : a, b, c k niet allemaal nul}/. We hebben nu het projectieve vlak gedefinieerd. In het projectieve vlak kunnen we een lijn als volgt definiëren. Een lijn is de oplossingsverzameling van een vergelijking van de vorm [5, p.222] αx + βy + γz = 0, (2.3) waarbij α, β, γ k niet allemaal gelijk zijn aan nul. 2.1.2 De meetkundige definitie Over het Euclidische vlak, ook wel affiene vlak genoemd, weten we een heleboel. Onder andere weten we dat twee verschillende punten een unieke lijn definiëren, namelijk de lijn die door deze twee punten gaat. Andersom weten we dat twee verschillende lijnen een uniek punt definiëren, namelijk het snijpunt van deze twee lijnen, tenzij deze lijnen parallel zijn. Ook weten we dat elke lijn in het affiene vlak parallel is aan een unieke lijn door de oorsprong. De lijnen door de oorsprong worden gegeven door de vergelijking αx = βy, waarbij α, β k niet beide gelijk zijn aan nul. De richtingscoëfficiënt van deze lijn wordt gegeven door rico = [β, α]. We zagen dat in het affiene vlak onderscheid gemaakt moet worden tussen parallelle lijnen en niet-parallelle lijnen als het gaat om het aantal snijpunten van twee lijnen. Vanuit praktisch oogpunt is het handig om dit onderscheid niet te hoeven maken. We 6

willen dus dat parallelle lijnen ook snijden, maar dit gebeurt in het affiene vlak niet. Daarom voegen we aan het affiene vlak de gevraagde punten toe. Dit houdt in dat we voor elke richtingscoëfficiënt in het affiene vlak een punt toevoegen. We definiëren nu het projectieve vlak als [5, p.222] P 2 = A 2 { de verzameling van alle richtingscoëfficiënten in A 2 }, waarbij A 2 het affiene vlak is. De verzameling van alle richtingscoëfficiënten in A 2 noemen we de punten in het oneindige. We weten dat twee lijnen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben dan en slechts dan als deze twee lijnen parallel zijn. In het projectieve vlak houdt dit in dat twee parallelle lijnen, waarbij de lijnen element zijn van het affiene vlak, snijden in het punt in het oneindige overeenkomstig met de richtingscoëfficiënt van de lijnen. Dit gaat tegen onze intuïtie in over parallel, maar we kunnen dit als volgt voor ons zien. Bekijk eens een spoorrails, zoals in Figuur 2.1. Figuur 2.1: Snijpunt in het oneindige De rails loopt parallel, maar als je ver genoeg weg kijkt, lijkt het net of de twee zijden van de rails snijden in het oneindige. Voor het projectieve vlak geldt dus dat twee lijnen elkaar altijd snijden in één punt. We hoeven dus geen onderscheid meer te maken tussen parallelle lijnen en niet-parallelle lijnen. Bekijken we de definitie van de lijn in het projectieve vlak nu nog eens. Een lijn wordt gegeven door een vergelijking van de vorm αx + βy + γz = 0, waarbij α, β, γ k niet allemaal gelijk zijn aan nul. We willen nu weten welke punten zich bevinden in het oneindige, dus wanneer Z = 0. Als Z = 0 dan geldt dat αx+βy = 0. Het punt dat aan deze vergelijking voldoet is [ β, α]. Dit punt is precies de richtingscoëfficiënt van de lijn αx = βy, welke parallel loopt aan de lijn αx+βy+γ = 0. Dus kunnen we concluderen dat [ β, α] de richtingscoëfficiënt is van het affiene gedeelte van de lijn die gegeven wordt door αx + βy + γz = 0, waarbij α, β, γ k niet allemaal gelijk aan nul. Hieruit volgt dat een lijn in het projectieve vlak gegeven wordt door de affiene lijn verenigd met het punt in het oneindige. Dit punt in het oneindige komt overeen met de richtingscoëfficiënt van de lijn. 7

Tot slot definiëren we de lijn op het oneindige, genoteerd met P 1, als de verzameling van alle richtingscoëfficiënten. We kunnen onze definitie van het projectieve vlak nu als volgt schrijven P 2 = A 2 { de verzameling van alle richtingscoëfficiënten in A 2 } = A 2 P 1. 2.1.3 Equivalentie We hebben nu een algebraïsche defintie en een meetkundige definitie van het projectieve vlak. Nu rest ons alleen nog aan te tonen dat deze twee definities equivalent zijn in de zin dat er een bijectie bestaat tussen de twee gedefinieerde projectieve vlakken en dat onder deze bijectie lijnen in het projectieve vlak volgens de algebraïsche definitie overeenkomen met lijnen in het projectieve vlak volgens de meetkundige definitie. Laat a, b, c k dan definiëren we de volgende afbeeldingen [5, p.224]. {( a f : P 2 A 2 P 1 c met [a, b, c], c) b A 2 als c 0, [a, b] P 1 als c = 0. en g : A 2 P 1 P 2 met A 2 (x, y) [x, y, 1] en P 1 [a, b] [a, b, 0]. Hierbij is P 2 het projectieve vlak volgens de algebraïsche definitie en A 2 P 1 het projectieve vlak volgens de meetkundige definitie. We willen nu nagaan dat g een injectieve afbeelding is, g f = Id a en dat f g = Id m, waarbij Id a de identiteit is op het projectieve vlak volgens de algebraïsche definitie en Id m de identiteit is op het projectieve vlak volgens de meetkundige definitie. Om aan te tonen dat g een injectieve afbeelding is, merken we op dat per definitie van de functie g, we elk punt (x, y) A 2 op een uniek punt [x, y, 1] afbeelden. Daarnaast merken we op dat we [a, b] P 1 op een uniek punt [a, b, 0] afbeelden. Dus we kunnen direct concluderen dat g een injectieve afbeelding is. Voor het aantonen van g f = Id a onderscheiden we twee gevallen. Als c 0. Als c = 0. (( a (g f)([a, b, c]) = g c, b )) [ a = c c, b ] c, 1 = [a, b, c]. (2.4) (g f)([a, b, c]) = g ([a, b]) = [a, b, 0] = [a, b, c]. (2.5) Het combineren van vergelijking (2.4) en vergelijking (2.5) geeft dat g f = Id a. 8

Tot slot tonen we aan dat f g = Id m. Hiervoor onderscheiden we ook weer twee gevallen. Als (x, y) A 2. Als [a, b] P 1. (f g)((x, y)) = f([x, y, 1]) = (x, y). (2.6) (f g)([a, b]) = f([a, b, 0]) = [a, b]. (2.7) Het combineren van vergelijking (2.6) en vergelijking (2.7) geeft dat f g = Id m. We hebben nu laten zien dat er een bijectie bestaat tussen de algebraïsche definitie van het projectieve vlak en de meetkundige definitie van het projectieve vlak. Om de equivalentie van de twee gedefinieerde projectieve vlakken compleet te maken, willen we nog laten zien dat de lijnen in beide projectieve vlakken overeenkomen. Laat L een lijn zijn die gegeven wordt door αx + βy + γz = 0, waarbij α, β, γ k. Elk punt [a, b, c] L, waarbij c 0, wordt door de afbeelding f afgebeeld op (a/c, b/c) op de lijn αx + βy + γ = 0 in A 2. En het punt [ β, α, 0] L wordt door de afbeelding f afgebeeld op [ β, α] P 1. We weten nu dat alle lijnen in de algebraïsche definitie overeenkomen met de lijnen in de meetkundige definitie, behalve voor de lijn Z = 0 P 2. Per definitie wordt deze lijn gestuurd naar de lijn in A 2 P 1 die bestaat uit alle punten in het oneindige. En hiermee kunnen we concluderen dat alle lijnen in de algebraïsche definitie overeenkomen met lijnen in de meetkundige definitie. En dus zijn de twee definities van het projectieve vlak equivalent. 2.2 Krommen in het projectieve vlak Nu we het projectieve vlak hebben gedefinieerd, en het al gehad hebben over lijnen in het projectieve vlak, willen we meer weten over krommen in het algemeen in het projectieve vlak. We willen weten hoe krommen gedefinieerd worden in het projectieve vlak en wat we kunnen zeggen over het aantal snijpunten van twee of meer krommen. We beperken ons tot de algebraïsche krommen en we laten vanaf nu k een algebraïsch afgesloten lichaam zijn [4, p.55]. Een voorbeeld van een algebraïsch afgesloten lichaam is het lichaam van de complexe getallen C. Een kromme in het affiene vlak wordt gedefinieerd als de oplossingsverzameling van de vergelijking f(x, y) = 0, waarbij f een niet-constant polynoom. Een voorbeeld daarvan is de kromme die wordt gegeven door de vergelijking x 2 + y 2 1 = 0. De reële oplossingsverzameling is de eenheidscirkel. Voor een kromme in het projectieve vlak hebben we polynomen in drie variabelen nodig. We gebruiken hiervoor zogenoemde homogene polynomen van graad d. Dat zijn polynomen die voldoen aan de volgende eigenschap [5, p.225] F (tx, ty, tz) = t d F (X, Y, Z). We definiëren een kromme in het projectieve vlak nu als de oplossingsverzameling van de vergelijking F (X, Y, Z) = 0, waarbij F een niet-constant en homogeen polynoom is. We hebben nu een definitie voor krommen in het projectieve vlak in homogene coördinaten. 9

Deze krommen bevinden zich in het projectieve vlak die we hebben gedefinieerd volgens de algebraïsche definitie. We gaan nu kijken hoe deze definitie van krommen zich verhoudt tot krommen in de meetkundige definitie van het projectieve vlak. Veronderstel dat C een kromme van graad d is, gegeven door een homogeen polynoom; C : F (X, Y, Z) = 0. Een punt [a, b, c] C, met c 0, wordt door de afbeelding f afgebeeld op ( a c, b ) A 2 A 2 P 1. (2.8) c Ook weten we dat F een homogeen polynoom is van graad d en combineren we dat met F (a, b, c) = 0, dan krijgen we de volgende vergelijking ( 0 = F (a, b, c) = F c a c, c b ) ( a c, c 1 = c d F c, b ) c, 1. (2.9) Als we vergelijking (2.8) en vergelijking (2.9) combineren, kunnen we een nieuw polynoom f(x, y) definiëren als f(x, y) = F (x, y, 1). We krijgen dan de volgende afbeelding [5, p.226] ( a h : {[a, b, c] C : c 0} {(x, y) A 2 : f(x, y) = 0} met [a, b, c] c, b ). c Tot slot kijken we naar de punten [a, b, 0] C. Deze punten voldoen aan de vergelijking F (X, Y, 0) = 0 en worden door de afbeelding f afgebeeld op [a, b] P 1 A 2 P 1. Zo n punt is precies de limiet van de raaklijnrichting aan de grafiek van f(x, y) = 0. We noemen f(x, y) = 0 het affiene deel van de projectieve kromme C. Nu we krommen hebben gedefinieerd, gaan we kijken naar de doorsnijding van krommen in het projectieve vlak. Wat kunnen we zeggen over het aantal snijpunten van twee of meer krommen? 2.2.1 Doorsnijding van projectieve krommen Eerst gaan we het aantal snijpunten van twee krommen in het projectieve vlak bekijken. Laat C een projectieve kromme zijn, gegeven door C : F (X, Y, Z) = 0, dan kunnen we F ontbinden in irreducibele polynomen, [4, p.31], F (X, Y, Z) = P 1 (X, Y, Z)P 2 (X, Y, Z) P n (X, Y, Z). Dan bestaan de irreducibele componenten van de kromme C uit de volgende krommen P 1 (X, Y, Z) = 0, P 2 (X, Y, Z) = 0,..., P n (X, Y, Z) = 0, 10

waarbij P i k[x, Y, Z], voor i = 1,..., n. We zeggen dat twee krommen C 1 en C 2 geen overeenkomstige componenten hebben als de irreducibele componenten van C 1 en C 2 verschillend zijn. Veronderstel nu dat we twee projectieve krommen C 1 en C 2 hebben die geen overeenkomstige componenten hebben. We gaan nu kijken naar de punten in C 1 C 2. We kunnen voor elk punt P C 1 C 2 de doorsnijdingsindex [5, p.249] geven. Van deze doorsnijdingsindex bekijken we een aantal eigenschappen. Voordat we dat kunnen doen, hebben we eerst de volgende definitie nodig [5, p.26]. Definitie 2.1 (Niet-singuliere kromme). Laat C een projectieve kromme zijn gegeven door F (X, Y, Z) = 0. We noemen een punt P C singulier als geldt dat F F (P ) = 0, X F (P ) = 0 en (P ) = 0. Y Z Als de kromme C geen singuliere punten heeft dan noemen we C een niet-singuliere kromme. Nu we weten wat een singulier punt is, en dus ook wat een niet-singulier punt is, kunnen we een aantal eigenschappen van de doorsnijdingsindex bekijken [5, p.237]. Eigenschappen (Doorsnijdingsindex). Laat C 1 en C 2 projectieve krommen zijn die geen overeenkomstige componenten hebben. Voor elk punt P C 1 C 2 schrijven we I(C 1 C 2, P ) voor de doorsnijdingsindex. De doorsnijdingsindex heeft de volgende eigenschappen 1. Als P C 1 C 2 dan geldt dat I(C 1 C 2, P ) = 0. 2. Als P C 1 C 2 en P een niet-singulier punt van C 1 en C 2 en de raaklijnrichting van C 1 en C 2 zijn verschillend dan geldt dat I(C 1 C 2, P ) = 1. We zeggen ook wel dat C 1 en C 2 transversaal doorsnijden in P. 3. Als P C 1 C 2 en C 1 en C 2 doorsnijden niet-transversaal in P dan geldt dat I(C 1 C 2, P ) 2. Laten we eens een paar voorbeelden bekijken bij deze eigenschappen van de doorsnijdingsindex. Voorbeeld 2.2. Bekijken we de volgende twee krommen A : F (X, Y, Z) = Y 2 Z + X 2 Z Z 3 = 0 en B : G(X, Y, Z) = 2XZ Z 2 Y Z = 0. Voor het gemak bekijken we alleen hun snijpunten in het affiene vlak, dus wanneer Z = 1. We krijgen dan de volgende twee krommen A : f(x, y) = y 2 + x 2 1 = 0 en B : g(x, y) = 2x 1 y = 0. Tekenen we de grafieken, zie Figuur 2.2a, dan zien we dat ze elkaar snijden in twee punten. 11

(a) Grafiek van A en B (b) Snijpunten Figuur 2.2: Doorsnijding van A en B De krommen A en B snijden elkaar in de punten P 1 = (0, 1) en P 2 = (4/5, 3/5), zie Figuur 2.2b. We moeten nu eerst nagaan of P 1 en P 2 niet-singuliere punten zijn van zowel de kromme A als de kromme B. Voor het punt P 1 geldt dat en f f (0, 1) = 2 0 = 0 en (0, 1) = 2 1 = 2 x y g g (0, 1) = 2 en (0, 1) = 1. x y Dus P 1 is een niet-singulier punt van kromme A en ook van kromme B. Op dezelfde manier kunnen we nagaan dat P 2 een niet-singulier punt is van zowel kromme A als kromme B. In Figuur 2.2 is duidelijk te zien dat in zowel P 1 als P 2 de twee krommen elkaar niettransversaal snijden. Er geldt dat I(A B, P 1 ) = 1 en I(A B, P 2 ) = 1. We zien dus dat eigenschap 2 van de doorsnijdingsindex klopt. We hebben net een voorbeeld bekeken waarbij de krommen elkaar niet-transversaal snijden. Laten we nog een voorbeeld bekijken, maar nu één waar de krommen elkaar transversaal snijden. Voorbeeld 2.3. Bekijken we de volgende twee krommen C : F (X, Y, Z) = X 2 Z+Y 2 Z Z 3 = 0 en D : G(X, Y, Z) = Y 2 Z+4Y Z 2 +X 2 Z+3Z 3 = 0. Voor het gemak bekijken we weer alleen de snijpunten in het affiene vlak, dus wanneer Z = 1. We hebben dan de volgende twee krommen C : f(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 en D : g(x, y) = y 2 + 4y + x 2 + 3 = 0. Als we de grafieken tekenen, zie Figuur 2.3a, dan zien we dat de krommen elkaar snijden in één punt. 12

(a) Grafiek van C en D (b) Snijpunt Figuur 2.3: Doorsnijding van C en D Het snijpunt kunnen we aflezen uit de grafiek en is P = (0, 1), zie Figuur 2.3b. In Figuur 2.3 is te zien dat de raaklijn van beide krommen in het punt P de horizontale lijn is, gegeven door de vergelijking y = 1. Er geldt dat I(C D, P ) = 4 > 2. We zien aan dit voorbeeld dat eigenschap 3 van de doorsnijdingsindex inderdaad klopt. Aan de hand van de eigenschappen van de doorsnijdingsindex kunnen we de volgende stelling geven [5, p.237]. Stelling 2.4 (Bezout s stelling). Laat C 1 en C 2 projectieve krommen zijn die geen overeenkomstige componenten hebben. Dan geldt dat P C 1 C 2 I(C 1 C 2, P ) = (deg(c 1 ))(deg(c 2 )), waarbij de som loopt over alle punten in C 1 C 2 met complexe coördinaten. In het bijzonder geldt dat als C 1 en C 2 krommen zijn met alleen transversale doorsnijdingen dan geldt dat #(C 1 C 2 ) = (deg(c 1 ))(deg(c 2 )). Tot slot hebben we in alle gevallen de ongelijkheid #(C 1 C 2 ) (deg(c 1 ))(deg(c 2 )). Voor een bewijs verwijzen we naar [2, p.42]. Naast dat we willen weten hoe het zit met het aantal snijpunten van twee projectieve krommen, willen we ook weten wat er gebeurt als we bijvoorbeeld drie projectieve krommen elkaar laten snijden. Wat kunnen we zeggen over het aantal snijpunten van deze krommen? Hiervoor bekijken we een speciaal geval, namelijk we veronderstellen dat er al twee projectieve krommen zijn die elkaar snijden in een bepaald aantal punten en gaan dan kijken wat er gebeurt met een projectieve kromme die door bijna alle snijpunten gaat. We hebben hiervoor de volgende stelling [5, p.237]. 13

Stelling 2.5 (Cayley-Bacharach). Veronderstel dat C 1 en C 2 projectieve krommen zijn die geen overeenkomstige componenten hebben en die respectievelijk graad d 1 en d 2 hebben. Veronderstel ook dat C 1 en C 2 snijden in d 1 d 2 verschillende punten. Laat D een projectieve kromme zijn van graad d 1 + d 2 3. Als D door alle punten van C 1 C 2 gaat op één na, dan moet D ook door het laatste punt van C 1 C 2 gaan. Voor een bewijs verwijzen we naar [2, p.47]. In het vervolg werken we met derdegraads polynomen en daarvoor is de volgende stelling, die een speciaal geval is van de vorige, belangrijk. Stelling 2.6 (Cayley-Bacharach voor derdegraads polynomen). Laat C 1 en C 2 derdegraads projectieve krommen zijn die geen overeenkomstige componenten hebben en veronderstel dat C 1 een gladde kromme is. Veronderstel dat D een andere derdegraads projectieve kromme is die door acht van de doosnijdingspunten van C 1 en C 2 gaat, waarbij multipliciteit is meegerekend. Dan gaat D ook door het negende doorsnijdingspunt van C 1 en C 2. We hebben nu een projectief vlak gedefinieerd aan de hand van twee definities, een algebraïsche definitie en een meetkundige definitie, en we hebben laten zien dat deze twee definities equivalent zijn. Daarna hebben we gekeken naar krommen in het projectieve vlak en hebben we gekeken naar doorsnijdingen van krommen in het projectieve vlak. 14

3 Rationale punten op elliptische krommen In het vorige hoofdstuk hebben we het projectieve vlak gedefinieerd en naar krommen in het projectieve vlak gekeken. Vanaf nu gaan we ons beperken tot een bepaalde soort krommen, namelijk niet-singuliere krommen gegeven door F (X, Y, Z) = Y 2 Z X 3 ax 2 Z bxz 2 cz 3 = 0, waarbij a, b, c Q. Deze krommen noemen we elliptische krommen. 3.1 Elliptische krommen We definiëren het rationale punt O = [0, 1, 0]. We willen laten zien dat O een nietsingulier punt is van de kromme C die gegeven wordt door F (X, Y, Z) = Y 2 Z X 3 ax 2 Z bxz 2 cz 3 = 0, waarbij a, b, c Q. Dat O op de kromme C ligt, volgt door het punt in te vullen. Om te laten zien dat het een niet-singulier punt is leiden we af naar elke variabele. We krijgen dan F X O = 3 02 + 2a 0 0 + b 0 2 = 0, F Y O = 2 1 0 = 0 en F Z O = a 02 + 2b 0 0 + 3 0 2 1 2 = 1. Dus met Definitie 2.1 volgt dat O een niet-singulier punt is van de kromme C. We willen nu nog laten zien dat O het enige punt in het oneindige is voor elke elliptische kromme. We bekijken een elliptische kromme C, gegeven door C : Y 2 Z = X 3 + ax 2 Z + bxz 2 + cz 3, waarbij a, b, c Q. We willen nu weten in welke punten deze elliptische kromme de lijn in het oneindige, Z = 0, snijdt. Vullen we Z = 0 in dan vinden we meteen dat X = 0. Dit betekent dat de elliptische kromme de lijn Z = 0 snijdt in het punt in het oneindige, met multipliciteit drie, waar de verticale lijnen x = constante elkaar snijden. Dit is precies het punt O = [0, 1, 0]. We kunnen dus concluderen dat elke projectieve kromme van de vorm C : Y 2 Z = X 3 + ax 2 Z + bxz 2 + Z 3 bestaat uit het affiene stuk y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c verenigd met O. Nu we weten dat een elliptische kromme bestaat uit het affiene deel y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c verenigd met O moeten we ook weten wanneer de kromme y 2 + x 3 + ax 2 + bx + c niet-singulier is. Hiervoor hebben we het volgende lemma. 15

Lemma 3.1. Laat C een kromme zijn gegeven door g(x, y) = y 2 f(x) = 0, waarbij f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c en a, b, c Q. Dan is C een niet-singuliere kromme f(x) geen meervoudige nulpunten heeft. Bewijs. Veronderstel dat f(x) wel een meervoudig nulpunt heeft, namelijk het punt d C. Dan is er een functie h(x), waarvoor geldt dat h(d) 0, zodanig dat f(x) = (x d) k h(x), waarbij k = 2 of k = 3. De afgeleide functie van f(x) wordt gegeven door f (x) = k(x d) k 1 h(x) + (x d) k h (x). Voor het punt (d, 0) C geldt dat g x (d, 0) = f (d) = 0 en g (d, 0) = 2 0 = 0. y Hieruit volgt dat (d, 0) C een singulier punt is en dus is C een singuliere kromme. Veronderstel nu dat f(x) geen meervoudige nulpunten heeft, dan kunnen we f(x) schrijven als f(x) = (x d 1 )(x d 2 )(x d 3 ), waarbij d 1, d 2 en d 3 enkelvoudige nulpunten zijn van f(x). De afgeleide van f(x) wordt dan gegeven door f (x) = (x d 1 )(x d 2 ) + (x d 1 )(x d 3 ) + (x d 2 )(x d 3 ). We weten dat g (u, v) = 0 als v = 0. y Voor de kromme C zijn dit precies de punten (d 1, 0), (d 2, 0), (d 3, 0) C. Kijken we nu nog eens naar de vergelijking van f (x) dan zien we direct dat g x (d i, 0) 0 voor 1 i 3. Hieruit volgt dat elk punt van C een niet-singulier punt is en dus volgt dat C een niet-singuliere kromme is. Opmerking. Als f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c, waarbij a, b, c Q geen dubbele nulpunten bevat dan heeft f of drie reële nulpunten of één reëel nulpunt en twee complexe nulpunten. Opmerking. We kunnen elke elliptische krommen schrijven als de oplossingsverzameling van y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c, waarbij a, b, c Q verenigd met O. Vanaf nu zullen we een elliptische krommen definiëren als de oplossingsverzameling van y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c, waarbij a, b, c Q en het punt O hier stilzwijgend aan toevoegen. Nu we weten wanneer y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c, waarbij a, b, c Q, niet-singulier en singulier is, kunnen we een paar voorbeelden bekijken. Voorbeeld 3.2. We beginnen met twee krommen die beide singulier zijn. Namelijk de krommen gegeven door y 2 = x 3 3x 2 + 3x 1 en y 2 = x 3 + 3x 2. De reële punten zijn weergegeven in Figuur 3.1a en 3.1b. 16

(a) y 2 = x 3 3x 2 + 3x 1 (b) y 2 = x 3 + 3x 2 Figuur 3.1: Singuliere krommen We kunnen Lemma 3.1 gebruiken om te laten zien dat deze krommen singulier zijn. We kunnen namelijk schrijven y 2 = x 3 3x 2 + 3x 1 = (x 1) 3, dus x = 1 is een drievoudig nulpunt van f(x). Ook kunnen we schrijven y 2 = x 3 + 3x 2 = x 2 (x + 3), dus x = 0 is een tweevoudig nulpunt van f(x). Nu volgt met Lemma 3.1 dat deze twee krommen singulier zijn. We hebben een voorbeeld bekeken met singuliere krommen. Laten we ook nog een voorbeeld bekijken van niet-singuliere krommen. Voorbeeld 3.3. We bekijken de krommen gegeven door y 2 = x 3 3x en y 2 = x 3 x+1. De reële punten zijn weergegeven in Figuur 3.2a en 3.2b. (a) y 2 = x 3 3x (b) y 2 = x 3 x + 1 Figuur 3.2: Niet-singuliere krommen We kunnen nu schrijven y 2 = x 3 3x = x(x 3)(x + 3). We zien dat f(x) geen meervoudige nulpunten heeft. Ook kunnen we schrijven y 2 = x 3 x + 1 = (x a)(x b)(x b), waarbij a 1, 32 en b 0, 66 0, 56i en b 0, 66 + 0, 56i. We zien dus dat f(x) geen meervoudige nulpunten heeft. Er volgt dan met Lemma 3.1 dat deze twee krommen niet-singulier zijn. 3.2 De groep van rationale punten In de vorige paragraaf hebben we laten zien dat we elke elliptische kromme kunnen schrijven als het affiene deel van de kromme verenigd met O. We definiëren de volgende 17

groepsbewerking [5, p.18]. Definitie 3.4. Laat P en Q twee rationale punten zijn op een elliptische kromme C. Dan geldt dat P + Q gedefnieerd wordt door de volgende stappen. 1. Als P Q dan trekken we een lijn door P en Q. En als geldt dat P = Q dan nemen we de raaklijn aan C in het punt P. 2. Neem het derde snijpunt van de lijn met de kromme C en noem dit punt P Q. Dit derde snijpunt bestaat vanwege Stelling 2.4. 3. Trek nu een lijn door P Q en door het punt O en neem weer het derde snijpunt van deze lijn met de kromme C. Dit derde snijpunt bestaat vanwege Stelling 2.4. Dit punt noemen we P + Q. In de vorige paragraaf hebben we opgemerkt dat O het punt in het oneindige is waar alle lijnen van de vorm x = c snijden. Als we de groepsbewerking in het affiene vlak bekijken, dan komt de laatste stap neer op spiegelen in de x- as. We kunnen de groepsbewerking nu weergeven in Figuur 3.3. Figuur 3.3: Groepsbewerking We willen aantonen dat voor een elliptische kromme C : F (X, Y, Z) = 0, in het projectieve vlak, geldt dat C(Q) = {[ρ, σ, τ] P 2 : F (ρ, σ, τ) = 0 en ρ, σ, τ Q} een commutatieve groep is. Laten we eerst eens de precieze definitie van een commutatieve groep bekijken [3, p.18]. 18

Definitie 3.5 (Commutatieve groep). Een commutatieve groep is een verzameling G voorzien van een bewerking en een e G zodanig dat 1. (Gesloten) : G G G. 2. (Associativiteit) Voor iedere x, y, z G geldt (x y) z = x (y z). 3. (Eenheidselement) Voor iedere x G geldt x e = e x = x. 4. (Inverse element) Voor iedere x G is er een element x G zodat x x = x x = e. 5. (Commutatief) Voor iedere x, y G geldt dat x y = y x. Om aan te kunnen tonen dat C(Q) een commutatieve groep is, schrijven we onze verzameling eerst eenvoudiger op. Laat C een elliptische kromme zijn die in het projectieve vlak gegeven wordt door F (X, Y, Z) = 0 en in het affiene vlak gegeven wordt door y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c, waarbij a, b, c Q dan geldt dat C(Q) = {[ρ, σ, τ] P 2 : F (ρ, σ, τ) = 0 en ρ, σ, τ Q} = {(x, y) A 2 : y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c en x, y, a, b, c Q} {O}. Voordat we aantonen dat C(Q) een groep is onder de bewerking +, zoals gedefinieerd in Definitie 3.4, bekijken we eerst het volgende lemma. Lemma 3.6. De lijn y = λx+ν en de kromme C : y 2 = x 3 +ax 2 +bx+c met a, b, c Q snijden in precies drie punten, multipliciteiten meegerekend. Als twee van deze punten rationaal zijn, hierbij ook de multipliciteit meegerekend, dan is het derde punt ook een rationaal punt. Bewijs. Als eerste substitueren we y = λx + ν in de vergelijking voor de kromme C. We krijgen dan de volgende vergelijking (λx + ν) 2 = x 3 + ax 2 + bx + c. Herschrijven geeft 0 = x 3 + ax 2 + bx + c (λx + ν) 2. Nu is g(x) = x 3 + ax 2 + bx + c (λx + ν) 2 een derdegraadskromme in één variabele en daarom volgt met de hoofdstelling van de algebra dat g(x) drie nulpunten heeft in C, multipliciteiten meegerekend. Veronderstel dat (x 1, y 1 ) = P Q = (x 2, y 2 ) C(Q). Waarvoor geldt dat x 1 en x 2 twee snijputen zijn van de lijn y = λx + ν en de kromme C : y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c. We kunnen nu twee gevallen onderscheiden. x 1 = x 2. De lijn die door P en Q gaat is een verticale lijn. Deze lijn heeft het derde snijpunt met de kromme C in het punt O. We hebben aangenomen dat dit een rationaal punt is. 19

x 1 x 2. De lijn door de punten P en Q wordt gegeven door y = λx + ν, waarbij λ = (y 2 y 1 )/(x 2 x 1 ) en ν = y 1 λx 1. Substitueren we dit in de kromme voor C dan vinden we dat g(x) = x 3 + ax 2 + bx + c (λx + ν) 2. We weten dat we g(x) kunnen schrijven als g(x) = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ), waarbij x 1, x 2 en x 3 de drie nulpunten zijn van g(x). Als we de haakjes uitwerken en de coëfficiënten van x 2 met elkaar vergelijken dan vinden we dat Herschrijven geeft dat λ 2 a = x 1 + x 2 + x 3. (3.1) x 3 = a λ 2 x 1 x 2. We weten dat a, λ, x 1, x 2 Q en het verschil tussen rationale getallen is weer een rationaal getal en dus volgt dat x 3 ook rationaal is. Veronderstel dat (x 1, y 1 ) = P = Q C(Q). We kunnen ook hiervoor twee gevallen ondescheiden. y = 0. De raaklijn door het punt P = (x, 0) aan de grafiek van C is een verticale lijn. Deze lijn heeft het derde snijpunt met de kromme C in het punt O. We hebben aangenomen dat dit een rationaal punt is. y 0. We moeten eerst de raaklijn opstellen door het punt P = (x, y) aan de grafiek van C. Als we nu de raaklijn aan de kromme C in het P willen opstellen dan weten we door middel van impliciet differentiëren dat de helling van de raaklijn gegeven wordt door λ = f (x) 2y = 3x2 + 2ax + b. 2y Aangezien a, b, x, y Q volgt direct dat λ Q. De raaklijn in het punt P aan de grafiek van C wordt nu gegeven door y = λx+ν, waarbij λ = (3x 2 1+2ax 1 +b)/(2y 1 ) en ν = (2y 2 1 3x 3 1 2ax 2 1 bx 1 )(2y 2 1). We weten dat g(x) drie nulpunten heeft, waarvan in dit geval x 1 multipliciteit twee heeft, dus we kunnen schrijven g(x) = (x x 1 ) 2 (x x 2 ). Als we de haakjes uitwerken en de coëfficiënten van x 2 met elkaar vergelijken dan vinden we dat λ 2 a = 2x 1 + x 2. (3.2) Herschrijven geeft dat x 2 = a λ 2 2x 1. We weten dat a, λ, x 1 Q en het verschil tussen rationale getallen is weer een rationaal getal en dus volgt dat x 2 ook rationaal is. 20

We hebben nu voor alle mogelijke gevallen laten zien dat als twee snijpunten van de lijn y = λx + ν en de kromme C : y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c rationaal zijn het derde snijpunt ook rationaal is. Met de eenvoudige verzameling voor C(Q) en Lemma 3.6 gaan we laten zien dat C(Q) een commutatieve groep is door de vijf eigenschappen aan te tonen, zoals beschreven in Definitie 3.5. 1. Gesloten. Laat P en Q willekeurige elementen zijn van C(Q). We gaan nu aantonen dat P + Q weer een element is van C(Q). We volgen hiervoor het stappenplan, zoals beschreven in Definitie 3.4. Om aan te tonen dat P + Q weer een element is van C(Q) onderscheiden we de volgende gevallen. a) Veronderstel dat P = Q en P O. We nemen nu de raaklijn aan de kromme C in het punt P. Met Lemma 3.6 volgt dat het snijpunt van de raaklijn met de kromme C weer een rationaal punt is. We noemen dit snijpunt P P. Vervolgens spiegelen we P P in de x-as en vinden we P + P. Vanwege de symmetrie van C en het feit dat P P rationaal is volgt dat P + P C(Q). b) Veronderstel dat P = Q en P = O. We nemen nu de raaklijn aan de kromme C in het punt O. Deze lijn is de lijn in het oneindige. We nemen het snijpunt van deze lijn met de kromme C en vinden dat O O = O. Per definitie geldt dat O+O = O (O O) = O O = O. En dus volgt dat P + P C(Q). c) Veronderstel dat P Q en beide ongelijk aan O. Dan trekken we de lijn door P en Q dan volgt met Lemma 3.6 dat het derde snijpunt, P Q, van de lijn met de kromme C weer een rationaal punt is. Spiegelen in de x-as geeft dat P + Q C(Q), aangezien C symmetrisch is in de x-as. Als geldt dat P Q = O dan volgt dat P + Q = O O = O en dus ook een element van C(Q). d) Veronderstel tot slot dat P Q en Q = O. We trekken de lijn door P en O en nemen het derde snijpunt van de lijn met de kromme C. De lijn door P en O is verticaal en er volgt dat P O = P. Trekken we nu een lijn door P O en O dan zien we met hetzelfde argument als hierboven dat P + O = P en P C(Q) per aanname. We hebben nu alle gevallen gecontroleerd en er geldt dat de bewerking + op C(Q) gesloten is. 2. Associativiteit. Laat P, Q en R willekeurige elementen zijn van C(Q). We willen aantonen dat (P + Q) + R = P + (Q + R). Hiervoor is het voldoende om aan te tonen dat (P + Q) R = P (Q + R), want er geldt dan dat de lijn door O en (P + Q) R dezelfde is als de lijn door O en P (Q + R). Hiermee volgt dat het snijpunt met de kromme C dan ook gelijk is. 21

Om (P +Q) R te krijgen trekken we eerst een lijn door P en Q en hebben dan het punt P Q. Vervolgens trekken we een lijn door P Q en O en dan hebben we het punt P +Q. Daarna trekken we een lijn door P +Q en R, om zo het punt (P +Q) R te krijgen. Hetzelfde doen we voor P (Q+R). Dit proces is getekend in Figuur 3.4. Figuur 3.4: Associativiteit We zien dat elk van de punten O, P, Q, R, P Q, P + Q, Q R en Q + R op zowel een gestreepte lijn ligt als op een doorgetrokken lijn. Bekijken we nu de gestippelde lijn door R en P + Q en de doorgetrokken lijn door P en Q + R dan zien we dat deze lijnen elkaar ook snijden. Als dit snijpunt op de kromme C ligt, dan is de groepsbewerking associatief. Elke gestippelde lijn wordt gerepresenteerd door een lineaire vergelijking. Als we al deze lineaire vergelijkingen met elkaar vermenigvuldigen krijgen we een vergelijking voor een derdegraads kromme. Hetzelfde kunnen we doen voor de doorgetrokken lijnen. Dan hebben we twee derdegraads krommen die beide door negen overeenkomstige punten gaan. De kromme C gaat al door acht van die punten. Nu volgt met Stelling 2.6, de stelling van Cayley- Bacharach, dat de kromme C ook door het negende punt moet gaan. Er volgt nu dat P (Q + R) = (P + Q) R en dus is de groepsbewerking associatief. 3. Eenheidselement. We hadden al verondersteld dat O het eenheidselement zou worden van C(Q). Dus laten we nagaan dat dit inderdaad zo is. We hebben aangetoond, bij het bewijs dat de groepsbewerking gesloten is, dat P + O = P en O + O = O. Aangezien de lijn door P en O dezelfde is als de lijn door O en P volgt dat O + P = O. Er volgt hiermee dat voor alle P C(Q) geldt dat P + O = O + P = P. Dus O is inderdaad het eenheidselement. 22

4. Inverse element. Laat P = (x, y) een element zijn van C(Q). Dan geldt dat P = (x, y), precies het punt P gespiegeld in de x-as. We gaan nu na dat P inderdaad het inverse element is. We trekken een lijn door P en P. Per constructie van P en P is dit een verticale lijn. Het derde snijpunt van de kromme C met de lijn is het punt O. Vervolgens trekken we een lijn door O en O. Dit is de lijn in het oneindige, deze lijn snijdt het punt O met multipliciteit drie en dus volgt dat P + P = O. Aangezien de lijn die we door P en P tekenen hetzelfde is als de lijn die we door P en P tekenen, geldt dat P + P = P + P = O. Bij het bewijs dat de groepsbewerking gesloten is, hebben we gezien dat O+O = O. Dus ieder element van C(Q) heeft een inverse element. 5. Commutatief. Voor alle P en Q die een element zijn van C(Q) geldt dat de lijn die we tekenen door P en Q hetzelfde is als de lijn die we tekenen door Q en P. Dus volgt direct dat P + Q = Q + P voor alle P en Q in C(Q). We hebben nu laten zien dat C(Q) aan alle vijf de eigenschappen van Definitie 3.5 voldoet. En dus is C(Q) een commutatieve groep. Nu we de groepsbewerking hebben gedefinieerd en hebben laten zien dat C(Q) een commutatieve groep is, bekijken we een aantal voorbeelden van deze groepsbewerking. Voorbeeld 3.7. We bekijken de kromme C : y 2 = x 3 2x. Figuur 3.5: y 2 = x 3 2x Als we naar Figuur 3.5 kijken dan zien we direct dat de volgende twee punten op de kromme C liggen. Dat zijn de punten P = ( 1, 1) en Q = (0, 0), deze zijn aangegeven met rood in Figuur 3.6. 23

Figuur 3.6: Punten P en Q We willen nu het punt P + Q berekenen. De eerste stap is om de lijn door P en Q te trekken. De richtingscoëfficiënt van de lijn wordt gegeven door λ = 1/ 1 = 1. Aangezien de lijn door de oorsprong gaat, wordt de lijn door P en Q gegeven door y = x, de blauwe lijn in Figuur 3.7. Figuur 3.7: y=-x We zijn nu opzoek naar het derde snijpunt van de lijn y = x en de kromme C : y 2 = x 3 2x. We substitueren de vergelijking y = x in de vergelijking van de kromme C en dan vinden we dat x 2 = x 3 2x. Herschrijven en ontbinden in factoren geeft 0 = x 3 x 2 2x = x(x + 1)(x 2) (3.3) Uit vergelijking (3.3) volgt dat de x-coördinaat van het derde snijpunt gelijk is aan 2. Uit y = x volgt dat het bijbehorende y-coördinaat gegeven wordt door 2. We vinden nu dat P Q = (2, 2), aangegeven met rood in Figuur 3.8. 24

Figuur 3.8: P Q Vervolgens spiegelen we het punt P Q in de x-as, zie hiervoor de groene stippellijn in Figuur 3.9a. (a) Spiegelen (b) P + Q Figuur 3.9: Laatste stap En daarmee vinden we dat het punt P + Q gegeven wordt door P + Q = (2, 2). Dit punt is met paars aangegeven in Figuur 3.9b. Dit was een voorbeeld waarbij we twee verschillende punten bij elkaar optellen. Laten we ook nog een voorbeeld bekijken waarin we een punt bij zichzelf optellen. Voorbeeld 3.8. We bekijken dezelfde kromme C : y 2 = x 3 2x als in het vorige voorbeeld, zie Figuur 3.10a. We nemen weer het punt P = ( 1, 1), aangegeven met rood in Figuur 3.10b. 25

(a) y 2 = x 3 2x (b) het punt P Figuur 3.10: Eerste stap We willen nu de raaklijn bepalen aan de kromme C in het punt P. Met impliciet differentiëren volgt dat de helling van de raaklijn gegeven wordt door λ = 3 ( 1)2 2 2 1 = 1 2. De raaklijn wordt gegeven door y = 0, 5x + b. We gebruiken het punt P om b te bepalen en vinden dat y = 0, 5x + 1, 5, de blauwe lijn in Figuur 3.11. Figuur 3.11: y = 1 2 x + 3 2 Voor het bepalen van het derde snijpunt maken we gebruiken van de algemene vorm van vergelijking (3.2). We krijgen dan dat x 3 = λ 2 a x 1 x 2 ( ) 2 1 = 0 + 1 + 1 2 = 9 4. Met de vergelijking y = 0, 5x + 1, 5 vinden we dat de bijbehorende y-coördinaat gegeven wordt door 21/8. Het punt P P = (9/4, 21/8) is aangegeven met rood in Figuur 3.12. 26

Figuur 3.12: P P Vervolgens spiegelen we het punt P P in de x-as, zie hiervoor de groene stippellijn in Figuur 3.13a. (a) Spiegelen (b) P + P Figuur 3.13: Laatste stap We vinden dan dat het punt 2P = P + P gegeven wordt door 2P = (9/4, 21/8), aangegeven met paars in Figuur 3.13b. We hebben in dit hoofdstuk de verzameling van rationale punten gedefinieerd voor een elliptische kromme C. Deze verzameling hebben we genoteerd met C(Q). Vervolgens hebben we laten zien dat C(Q) een commutatieve groep is. En tot slot hebben we een aantal voorbeelden bekeken van de groepsbewerking. 27

4 De stelling van Mordell In het vorige hoofdstuk hebben we op de verzameling van rationale punten op een elliptische kromme een commutatieve groepsstructuur gedefinieerd. Het doel van deze scriptie is om het bewijs van de stelling van Mordell te bestuderen. Deze zegt het volgende [5, p.22]. Stelling 4.1 (Mordell). Laat C een elliptische kromme zijn die gegeven wordt door de vergelijking C : y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c, waarbij a, b, c Q. Dan is de groep van rationale punten C(Q) een eindig voortgebrachte commutatieve groep [3, p.34]. Het is mogelijk om a, b, c Z te veronderstellen. Bekijken we namelijk de kromme C : (y ) 2 = (x ) 3 + a (x ) 2 + b x + c, waarbij a, b, c Q en veronderstellen we dat (x, y ) (λ 2 x, λ 3 y ) = (x, y), met λ Z, dan volgt dat y 2 λ = x3 6 λ + a x 2 + b x 6 λ 4 λ + 2 c. Vermenigvuldigen we zowel links als rechts van de gelijkheid met λ 6 dan vinden we dat y 2 = x 3 + a λ 2 x 2 + b λ 4 x + c λ 6. We kunnen λ Z altijd groot genoeg kiezen zodanig dat a = a λ 2, b = b λ 4, c = c λ 6 Z. We krijgen dan de kromme C : y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c, waarbij a, b, c Z. Dit geeft een isomorfisme [3, p.35] tussen C(Q) en C (Q). Als een kromme C gegeven wordt door y 2 = f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, waarbij a, b, c Z een rationaal 2-torsie punt heeft, dan mogen we zonder verlies van algemeenheid aannemen dat het rationale nulpunt van f(x) het punt x = 0 is. Stel namelijk dat x 0 het rationale nulpunt is. Dan kunnen we het punt (x 0, 0) C door middel van translatie verschuiven naar (0, 0). Een translatie geeft een isomorfisme van de groepsstructuur. Dit heeft als gevolg dat als C een rationaal 2-torsie punt heeft de kromme C gegeven wordt door C : y 2 = x 3 + ax 2 + bx, waarbij a, b Z. Wij zullen het bewijs van een speciaal geval van Stelling 4.1 bestuderen, namelijk het geval dat de elliptische kromme C een rationaal 2-torsie punt heeft [5, p.88]. 28

Stelling 4.2 (2-torsie Mordell). Laat C een elliptische kromme zijn die gegeven wordt door de vergelijking C : y 2 = x 3 + ax 2 + bx, waarbij a, b Z. Dan is de groep van rationale punten C(Q) een eindig voortgebrachte commutatieve groep. 4.1 De hoogte van een punt Voordat we de stelling van Mordell kunnen bestuderen, hebben we eerst de volgende definitie nodig [5, p.63]. Definitie 4.3 (Hoogte). Laat x = m/n een rationaal getal zijn met m, n Z en ggd(m, n) = 1. Dan definiëren we de hoogte H(x) als ( m ) H(x) = H = max{ m, n }. n Laat nu C een ellipitsche kromme zijn gegeven door y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c, waarbij a, b, c Z. Als (x, y) = P C(Q) dan definiëren we de hoogte van P als H(P ) = H(x). Voor het eenheidselement van C(Q) definiëren we de hoogte als H(O) = 1. Tot slot definiëren we, voor P C(Q), h(p ) = log(h(p )), omdat het eenvoudiger is om met optelling te werken dan met vermenigvuldiging. 4.2 De vier lemma s Nu we de hoogte van een punt hebben gedefinieerd, kunnen we Stelling 4.1 bewijzen door de volgende vier lemma s te bewijzen [5, p.64-65]. Wij zullen de eerste drie lemma s volledig bewijzen, maar het vierde lemma alleen voor elliptische krommen met een 2- torsie punt. Hierdoor krijgen we alleen een volledig bewijs voor Stelling 4.2. Lemma 4.4. Voor elk reëel getal M is de verzameling {P C(Q) : h(p ) M} eindig. Dit lemma zullen we illustreren aan de hand van een voorbeeld. Voorbeeld 4.5. We bekijken de kromme C gegeven door de vergelijking y 2 = x 3 5x, zie Figuur 4.1. 29

Figuur 4.1: y 2 = x 3 5x Veronderstel dat M = log(3). Dan volgt per definitie van de hoogte h dat H(P ) 3. We gaan nu uitzoeken welke punten P C(Q) voldoen aan deze hoogte. We kunnen de x-coördinaat van P schrijven als x = m/n met m, n Z en ggd(m, n) = 1. Kijken we naar de definitie van de hoogte H dan zien we dat m { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3} en n { 3, 2, 1, 1, 2, 3}. We kunnen nu alle mogelijkheden voor x bepalen zodanig dat H(P ) 3. De mogelijkheden voor x zijn aangegeven met groen in Figuur 4.2. Figuur 4.2: Alle mogelijkheden voor x In Figuur 4.2 is al te zien dat niet voor elke waarde van x er een y is zodanig dat het punt (x, y) op de kromme C ligt. Ook zien we dat er voor sommige waarden van x maar één of twee mogelijke y waarden. Alle rode punten in Figuur 4.3 zijn de punten Figuur 4.3: Alle punten P met H(P ) 3 30

P zodanig dat H(P ) 3. Dit zijn eindig veel punten. Per definitie geldt dat h(o) = 0 en dit punt zit dus ook in de verzameling punten met H(P ) 3. Als we dit ene punt toevoegen aan de eindige verzameling met punten P zodanig dat h(p ) log(3) dan is deze verzameling nog steeds eindig. Lemma 4.6. Laat P 0 C een willekeurig vast gekozen rationaal punt zijn. Dan bestaat er een constante κ 0, die afhangt van P 0, a, b, c, zodanig dat h(p + P 0 ) 2h(P ) + κ 0 voor alle P C(Q). Lemma 4.7. Er bestaat een constante κ, die afhangt van a, b, c, zodanig dat h(2p ) 4h(P ) κ voor alle P C(Q). Om een idee te krijgen bij dit lemma geven we een voorbeeld. Voorbeeld 4.8. Laten we nog eens naar de kromme C kijken die gegeven wordt door y 2 = x 3 5x. (a) y 2 = x 3 5x (b) Het punt P Figuur 4.4: De kromme C Als we naar Figuur 4.4a kijken dan zien we dat het punt P = ( 1, 2) op de kromme C ligt, zie Figuur 4.4b. Voor dit punt P gaan we 2P, 4P, 8P enzovoort berekenen en hun hoogte. Deze gevonden waarden zetten we in de volgende tabel. k 0 1 2 3 4 5 2 k P ( 1 : 2) ( 9; 3) ( 25921; 4172959) * * * 4 8 144 1728 h(2 k P ) 0 2, 197 10, 163 40, 652 162, 611 650, 521 We schrijven bij k = 3, 4, 5 een, omdat het getal te groot wordt. We zien dat 10,163 ongeveer vier keer zo groot is als 2,197 en dat 40,652 ongeveer vier keer zo groot is als 10,163 en dat 162,61 ongeveer vier keer zo groot is als 40,652 en ook dat 650,521 ongeveer vier keer zo groot is als 162,611. Lemma 4.9. De index [C(Q) : 2C(Q)] is eindig. Hierbij is 2C(Q) de ondergroep van C(Q) die bestaat uit punten die twee keer een ander punt zijn. We kunnen eenvoudig nagaan dat 2C(Q) inderdaad een ondergroep is. 31