Inhoud Continue wiskunde Introductie tot de cursus 1 Inleiding 7 2 Voorkennis 7 3 Het cursusmateriaal 8 4 Structuur, symbolen en taalgebruik 9 5 Computeralgebra 10 6 De cursus bestuderen 11 7 Studiebegeleiding 12 8 Het tentamen en de huiswerkopgaven 13 6
Introductie tot de cursus Introductie tot de cursus 1 Inleiding De continue wiskunde bevat een groot aantal verschillende onderwerpen. Welke onderwerpen nu precies wel of niet tot de continue wiskunde gerekend worden, daarover bestaat geen eenstemmigheid onder wiskundigen, maar de basisbegrippen worden in de cursus Continue wiskunde behandeld. Samen met de cursussen Discrete wiskunde A en B krijgt u zo een breed beeld van de wiskunde. Door de keuze van de onderwerpen vormen deze cursussen een basis voor een studie in de informatica of andere disciplines waar een zekere basiskennis wiskunde bekend wordt verondersteld. In deze introductie tot de cursus zetten we uiteen hoe het cursusmateriaal is samengesteld, hoe u de cursus kunt bestuderen en hoe u tentamen kunt doen. Een inhoudelijke introductie in de continue wiskunde vindt u in leereenheid 1. 2 Voorkennis Wiskundevoorkennis op havo/vwoniveau Voorkennismateriaal op de cursussite Bij twijfel overleggen met studiebegeleider of studiecentrum Om deze cursus met succes te kunnen bestuderen, wordt verondersteld dat u reeds enige voorkennis op het gebied van de wiskunde bezit. Enerzijds gaat het om het beheersen van concrete wiskundige vaardigheden, zoals het oplossen van vergelijkingen, anderzijds gaat het om algemene vaardigheden zoals abstraheren en redeneren. Hebt u havo met wiskunde, vwo met wiskunde of een andere opleiding van vergelijkbaar niveau afgerond tot en met het onderwerp differentiaalrekening, en is uw wiskundekennis nog redelijk paraat, dan kunt u ervan uitgaan dat uw voorkennis voldoende is om met de bestudering van deze cursus te kunnen beginnen. De differentiaalrekening wordt in deze cursus overigens vanaf het begin opgebouwd. Dit betekent dat u toch met deze cursus kunt beginnen als u dit onderwerp niet gehad hebt. U moet er dan wel rekening mee houden dat de bestudering ervan meer tijd gaat kosten. Met de voorkennistoets op de cursussite kunt u onderzoeken of uw voorkennis voldoende op peil is. Mocht u moeite hebben met deze toets, bestudeer dan eerst het voorkennismateriaal dat u ook van de cursussite kunt downloaden. Hierin vindt u alle belangrijke begrippen en technieken uitgelegd aan de hand van voorbeelden en veel oefenmateriaal om uw eigen vaardigheden weer op peil te brengen. Twijfelt u of uw voorkennis voldoende is, neem dan contact op met het studiecentrum of de landelijk studiebegeleider. Men kan u op het studiecentrum ook meer in het algemeen informeren over de kennis en vaardigheden die nodig zijn om cursussen bij de Open Universiteit te bestuderen. 7
Continue wiskunde 3 Het cursusmateriaal Blokken Samenhang tussen de blokken Deze cursus bevat een kennismaking met de continue wiskunde. De onderwerpen van de cursus zijn verdeeld over 5 blokken. In een inleidende eerste leereenheid geven we een karakterisering van de continue wiskunde. In tegenstelling tot de discrete wiskunde is de stof van de continue wiskunde sterk hiërarchisch geordend: om een onderwerp te kunnen bestuderen, moet eerst de kennis van een of meer andere onderwerpen bestudeerd zijn. In figuur 1 is de samenhang in kaart gebracht. blok 5 Kansrekening blok 4 Integraalrekening blok 3 Differentiaalrekening Computeralgebra blok 2 Limieten en continuïteit blok 1 Rijen en reeksen FIGUUR 1 Samenhang tussen de verschillende blokken Blokken hebben zelfde structuur Casussen Alle blokken zijn steeds volgens een zelfde structuur opgebouwd. Het eerste onderdeel van ieder blok is een introductie waarin aan de hand van een of meer voorbeelden aangegeven wordt wat u in dat blok te wachten staat. Vervolgens worden in drie leereenheden de begrippen en methoden behandeld. Na bestudering van deze leereenheden is het de bedoeling dat u eerst de bijbehorende leereenheid over computeralgebra doorwerkt. Deze is in een apart cursusdeel opgenomen. Daarna volgt een casus waarin de stof van de drie leereenheden wordt toegepast. Een opgaveneenheid vormt de afsluiting van een blok. In de casussen krijgt u een of meer situaties voorgelegd die te maken hebben met het onderwerp van het blok. Nadat u de theorie bestudeerd hebt, wordt die in een praktijkvoorbeeld geïllustreerd. Tevens wordt u uitgenodigd aan een aantal problemen uit die situatie te werken. Op die manier krijgt u een beter gevoel voor de problematiek waarvoor de theorie van het blok ontwikkeld is. De onderwerpen uit deze casussen hebben zoveel mogelijk betrekking op informatica, zodat u ziet hoe continue wiskunde hier wordt gebruikt. Ook wordt u er door uitgedaagd zelf actief aan de gang te gaan, hetgeen in het algemeen een voorwaarde is om succesvol wiskunde te kunnen bedrijven. De casussen vormen overigens geen leerstof van de cursus, in die zin, dat er op het tentamen geen vragen over gesteld worden. Wel wordt u ten zeerste aangeraden de casussen te bestuderen. Ook is het mogelijk dat in de huiswerkopgaven wordt verwezen naar de casussen. 8
Introductie tot de cursus Leereenheden Computeralgebra Opgaveneenheden Zelf proeftentamen samenstellen Na de introductie volgen in ieder blok drie leereenheden die de eigenlijke leerstof van het blok behandelen. Na een introductie en de leerdoelen volgen in een aantal paragrafen de verschillende onderwerpen, afgewisseld door voorbeelden, toepassingen en opgaven. Ook zijn er intermezzo s in de leereenheden opgenomen. Deze intermezzo s zijn geen leerstof, maar geven wat achtergrondinformatie, bijvoorbeeld toepassingen of historische ontwikkelingen, zodat u de behandelde wiskunde in een bredere context kunt plaatsen. Iedere leereenheid wordt afgesloten met een zelftoets. Deze zelftoetsen bevatten opgaven zoals die ook op het tentamen voor zouden kunnen komen. U kunt er dus zelf mee nagaan of u de stof voldoende beheerst. Bij elk blok hoort een practicum computeralgebra. In paragraaf 5 staat dit nader beschreven. Elk blok wordt afgesloten met een opgaveneenheid. Op die manier krijgt u een beter inzicht in de verbanden tussen de verschillende onderwerpen en krijgt u bovendien extra oefenstof aangeboden. De opgaven van de opgaveneenheid zijn opgaven zoals die ook op het tentamen voor zouden kunnen komen. U kunt ze dus goed als tentamenvoorbereiding gebruiken. U hoeft niet al deze opgaven te maken bij een eerste bestudering van de cursus. Bewaar ook een aantal opgaven om aan het eind van de cursus een eigen proeftentamen samen te stellen. De uitwerkingen van deze opgaven zijn in een stijl zoals die van u verwacht wordt bij de huiswerkopgaven. U kunt daarmee dus goed nagaan of uw uitwerkingen voldoende gedetailleerd zijn. 4 Structuur, symbolen en taalgebruik Einde voorbeeld «Einde bewijs q Begrippen in de marge Wiskundesymbolen De tekst in deze cursus is opgebouwd uit vele onderdelen. Een leereenheid bevat steeds een introductie, leerdoelen, de leerkern met de eigenlijke leerstof, een samenvatting en een zelftoets. De leerkern bevat naast de gewone lopende tekst ook een groot aantal andere onderdelen, zoals opgaven, stellingen, bewijzen en voorbeelden. Steeds is in de marge aangegeven wanneer dergelijke onderdelen beginnen. Vaak hebben die onderdelen een nummer, zodat er makkelijk naar verwezen kan worden. Van een aantal onderdelen is het wenselijk het einde duidelijk te markeren. Zo wordt het einde van een voorbeeld aangegeven met een dubbel kleiner-dan-teken in de rechter marge. Als voorbeelden in de loop van de tekst worden behandeld, dan wordt het einde niet afzonderlijk aangegeven. Het einde van een bewijs wordt met een blokje aangegeven. Op plaatsen waar een nieuw begrip wordt behandeld of waar een begrip in een nieuwe context wordt behandeld, staat dit begrip ook in de meest linkse marge. Dit vergemakkelijkt het opzoeken als u later nog eens de precieze betekenis na wilt lezen. Al deze begrippen zijn bovendien opgenomen in de registers achterin de cursusdelen. In de wiskunde wordt voorts een groot aantal symbolen gebruikt, zoals bijvoorbeeld en. Al deze symbolen hebben een precies vastgelegde betekenis, hetgeen de wiskunde een eigen taal geeft. Een lijst van die symbolen met hun betekenis vindt u achterin de deel 1. 9
Continue wiskunde Wiskundetaal Er komen niet alleen bijzondere symbolen in de wiskunde voor, soms is ook het taalgebruik nogal speciaal. Dergelijke speciale uitdrukkingen hebben een eigen betekenis en worden gebruikt om zo nauwkeurig mogelijk aan te geven wat de bedoeling is. Met een uitdrukking als: Zij n een element van de verzameling N van de natuurlijke getallen wordt bedoeld dat er een verhandeling zal volgen over de natuurlijk getallen, uiteengezet aan de hand van een willekeurig element van die verzameling, dat voorlopig maar n genoemd wordt, maar waar in principe ieder natuurlijk getal voor ingevuld mag worden. Regelmatig zal van dergelijke speciale uitdrukkingen in de cursus gebruik worden gemaakt. Gaandeweg leert u vanzelf met deze formuleringen omgaan en maakt u zich daarmee de wiskundetaal eigen. 5 Computeralgebra Computeralgebraleereenheden Opbouw computeralgebraopdrachten Bij elk blok van deze cursus hoort een leereenheid met computeralgebra. Het is de bedoeling dat u na bestudering van de reguliere leereenheden eerst de computeralgebraleereenheid doorwerkt. Deze leereenheden bevatten geen nieuwe leerstof, maar opdrachten die in het algemeen ingewikkelder zijn dan de opgaven die u tot dan toe bent tegengekomen. In principe kunt u ze met de hand oplossen, maar ze kosten dan veel tijd of zijn erg bewerkelijk. Er bestaan softwarepakketten die in staat zijn om symbolische manipulaties op formules uit te voeren. Dergelijke pakketten heten computeralgebrapakketten. Tot de bekende pakketten behoren Maxima, Derive, Maple en Mathematica. Voor deze cursus is gekozen voor Maxima. Om u de mogelijkheden en beperkingen van dergelijke pakketten enigszins te leren, naast het gemak dat u ervan hebt voor langdurige berekeningen, dient u per blok een aantal opgaven met Maxima te maken. Daarnaast is een doel van de practicumleereenheden dat u een kritische houding ontwikkelt ten aanzien van dergelijke computeralgebrapakketten, met name dat u leert de uitvoer kritisch te beoordelen en dat u ervaart dat zij alleen problemen kunnen oplossen die zijn ingevoerd op een wijze die volledig aansluit bij het pakket. Op het tentamen wordt uw vaardigheid om met behulp van Maxima problemen op te lossen niet afzonderlijk getoetst, maar in de huiswerkopgaven zult u wel opgaven tegenkomen die u met Maxima op moet lossen. Computeralgebrapakketten kunnen overigens naast symbolische manipulaties ook op numeriek-wiskundige wijze problemen oplossen. In computeralgebraleereenheden zit de volgende opbouw. Steeds wordt u een beperkt aantal nieuwe mogelijkheden van het pakket geleerd. Deze hebt u nodig voor de opdrachten die u vervolgens moet maken. Deze opdrachten volgen de leerstof van de drie eraan voorafgaande leereenheden. Met de opdrachten worden verschillende doelen nagestreefd. Sommige opdrachten zijn bedoeld om duidelijk te maken dat de klasse van oplosbare problemen echt groter wordt als gebruik wordt gemaakt van computeralgebra: veel en/of ingewikkeld rekenwerk hoeft niet langer een onoverkomelijk probleem te zijn. Andere opdrachten zijn bedoeld om het inzicht in de leerstof te vergroten. Met behulp van een computer kan bijvoorbeeld snel een aantal verschillende situaties bekeken worden. Weer andere opdrachten hebben als doel het ontwikkelen van een kritische houding ten aanzien van computeruitvoer. Er zijn situaties waarin Maxima (maar dat geldt ook voor andere pakketten) aantoonbaar een verkeerd antwoord levert. En ten slotte zijn er natuurlijk ook routineopdrachten, bedoeld om enige vaardigheid in het omgaan met Maxima te verkrijgen. 10
Introductie tot de cursus In de casus aan het eind van elk blok komen ook opdrachten voor. U moet daar zelf beoordelen of u die met de hand of met de computer oplost. Terugkoppeling computeralgebra Bij de terugkoppelingen op de practicumopdrachten wordt ook ingegaan op de wijze waarop het pakket aan het werk gezet kan worden en op de problemen die het pakket met de verwerking kan hebben. Wij raden u aan de computeralgebraleereenheden te bestuderen en de opdrachten uit te voeren aan het eind van het blok waar ze bijhoren, voordat u de casus bestudeert. 6 De cursus bestuderen Cursus bedoeld voor zelfstudie Cursus van voor naar achter doorwerken Leerdoelen geven aan wat u moet weten en kunnen Bewijzen (met sterretje) Deze cursus is gemaakt voor zelfstudie. Dat wil zeggen dat het in principe mogelijk is om deze cursus helemaal zelfstandig te bestuderen en om zonder hulp van anderen het tentamen voor te bereiden. In de cursus leert u enerzijds de theorie van de behandelde wiskunde, meestal geformuleerd in de vorm van definities en stellingen, en anderzijds praktische vaardigheden in het oplossen van problemen. Die praktische vaardigheden betreffen zowel het oplossen van problemen met de hand als met het computeralgebrapakket. Om voor zelfstudie geschikt te zijn, zijn de teksten zeer uitgebreid en wordt aan veel details van de theorie aandacht besteed. In de marge worden bovendien vaak studeeraanwijzingen gegeven, dat zijn korte opmerkingen die het belangrijkste uit de betreffende alinea aanstippen. U hebt reeds een aantal van dergelijke aanwijzingen gezien. Tenzij er voor u specifieke redenen zijn daarvan af te wijken, bevelen we u aan om bij een eerste bestudering de cursus van voor tot achter door te werken. U komt dan vanzelf afwisselend wat meer theoretische en wat meer praktische onderwerpen tegen. Aan het begin van iedere leereenheid zijn na de introductie steeds leerdoelen opgenomen. Ze beschrijven zo precies mogelijk wat u moet weten en kunnen. Bij een eerste lezing van die leerdoelen zult u vele onbekende begrippen zien, die gaat u immers nog bestuderen. Maar tijdens de bestudering van de leereenheid kunt u steeds bij de leerdoelen lezen wat u met deze begrippen moet: hoeft u ze alleen maar te kennen, of moet u ze ook toe kunnen passen, bewijzen of gebruiken. De bewijzen van de stellingen in deze cursus vallen uiteen in bewijzen zonder sterretje en bewijzen met sterretje. De bewijzen zonder sterretje moet u kennen; ze zijn ofwel eenvoudig, ofwel ze bevatten elementen die u moet kennen omdat ze ook van belang zijn buiten het specifieke bewijs van de stelling. De bewijzen met sterretje hoeft u niet te kennen en daar worden op het tentamen dan ook geen vragen over gesteld. Voor een goed begrip van de stof raden we u aan om ze minstens eenmaal door te nemen en te doorgronden. Een aantal van de bewijzen met sterretje is per blok in een aparte bijlage op de cursussite geplaatst. Het zijn vaak nogal technische bewijzen die voor de volledigheid zijn opgenomen, zodat een geïnteresseerde er kennis van kan nemen. Deze bewijzen zijn weliswaar noodzakelijk in de theoretische opbouw van de continue wiskunde, maar ze vallen buiten de stof en zijn dus niet meegeteld in de studielast. 11
Continue wiskunde Bij bekende onderwerpen direct zelftoets maken Opgaven Tijdens bestudering regelmatig opgaven maken Terugkoppeling met uitwerkingen achterin blok Raadpleeg eventueel aanwijzingen Sommige onderwerpen van de cursus zullen u wellicht bekend voorkomen of hebt u in een ander verband al eens eerder bestudeerd. U kunt dan de betreffende leereenheden doorlezen en nagaan of alles u reeds bekend is. U kunt ook direct de zelftoetsopgaven aan het einde van de leereenheid maken en op die manier vaststellen of u de stof al dan niet beheerst of nog geheel of gedeeltelijk moet bestuderen. In het geval dat u de zelftoetsopgaven reeds goed kon maken, is het toch nog verstandig de leereenheid globaal door te nemen en aandacht te besteden aan definities, notaties en dergelijke. Die kunnen immers van boek tot boek nogal eens verschillen (binnen deze cursus is een en ander natuurlijk wel consistent). Tijdens de bestudering van de cursus komt u zeer frequent opgaven tegen, zowel tijdens de behandeling van de stof in de paragrafen, als aan het einde van de paragrafen en in de opgaveneenheid. De opgaven tussendoor zijn bedoeld om direct te oefenen met hetgeen is behandeld en u zo in staat te stellen de stof beter op te nemen. Hoewel u zeker niet alle opgaven bij een eerste bestudering van de stof hoeft te maken, is het niet verstandig alle opgaven over te slaan. Door het maken van opgaven zult u beter de mogelijkheden en onmogelijkheden van de wiskunde leren kennen en allerlei aspecten ontdekken die anders onopgemerkt zouden blijven. Wiskunde is wat dat betreft vooral een doe-vak. Maak ook alle zelftoetsopgaven nadat u een leereenheid hebt bestudeerd om vast te stellen of u de stof op een voldoende niveau beheerst. Maak een aantal van de opgaven uit de opgaveneenheid als extra oefening of als onderdeel van uw tentamenvoorbereiding. Als u een opgave gemaakt hebt, kunt u nagaan of uw uitwerking goed is, door bij de uitwerkingen van de opgaven te kijken, die steeds aan het eind van het blok zijn opgenomen. Vaak zijn opgaven op verschillende manieren uit te werken, dus een afwijkende uitwerking wil nog niet zeggen dat die fout is. Het uiteindelijke antwoord moet natuurlijk wel hetzelfde zijn. Lukt het u niet een opgave te maken, of weet u niet hoe u het aan moet pakken, dan is bij een aantal opgaven een aanwijzing beschikbaar, wat als het ware een hint is die u een stukje op weg helpt. Bij de opgaven die een aanwijzing hebben, is dat aangegeven bij het nummer, bijvoorbeeld OPGAVE 2.11 (Aanw). De aanwijzingen staan vóór de uitwerkingen aan het eind van elk blok. Komt u ook daarmee niet verder, raadpleeg dan de uitwerking van de opgave, maar bestudeer die zorgvuldig, zodat u er baat bij hebt bij het maken van volgende opgaven. 7 Studiebegeleiding Begeleidingsbijeenkomsten Hoewel de cursus ontworpen is voor zelfstudie, kan het zijn dat u behoefte hebt aan begeleiding en eens over de stof wilt praten met medestudenten en docenten. Het kan ook zijn dat u met een aantal problemen zit waar u zelf niet uit komt. Door de Open Universiteit wordt daarvoor op een paar manieren begeleiding bij deze cursus aangeboden. U kunt daar desgewenst gebruik van maken. Landelijk worden er eenmaal per jaar begeleidingsbijeenkomsten georganiseerd waarin u met een groep studenten en een studiebegeleider nader op de stof ingaat, gezamenlijk problemen behandelt, extra opgaven maakt, enzovoort. 12
Introductie tot de cursus Cursussite Telefonisch spreekuur Hebt u de beschikking over een internettoegang, dan kunt u de cursussite raadplegen voor aanvullingen, opdrachten en discussiegroepen bij de cursus. Ook kunt u zo uw vragen voorleggen aan medestudenten en de studiebegeleider, die overigens ook per e-mail bereikbaar is. Daarnaast kunt u een beroep doen op uw studiebegeleider tijdens een wekelijks telefonisch spreekuur. Veelal kunnen eventuele problemen dan direct worden opgelost en als dat niet lukt, kunt u afspraken maken hoe er dan wel uit te komen. Raadpleeg voor precieze informatie over de studiebegeleiding de cursussite of kijk in het blad Modulair. 8 Het tentamen en de huiswerkopgaven Huiswerkopgaven Uitwerkingen op huiswerkopgaven moeten zijn zoals in opgaveneenheden Kortantwoordvragen De huiswerkopgaven vormen een verplicht onderdeel van deze cursus. Na inleveren van de eerste serie ontvangt u deze gecorrigeerd terug en ontvangt u de tweede serie. Door het commentaar leert u de stof beter begrijpen. Ook krijgt u commentaar op de formulering van uw antwoorden, zodat u niet alleen leert opgaven te maken, maar ook om deze zodanig op te schrijven dat een ander ze kan begrijpen. Door de opgaven op gezette tijden in te sturen, kunt u uw studie beter plannen en krijgt u een directe terugkoppeling op uw studieactiviteiten. Alle antwoorden op de huiswerkopgaven moeten vergezeld gaan van een zorgvuldige uitwerking of toelichting. Uw uitwerkingen moeten een zelfde stijl en gedetailleerdheid hebben als de uitwerkingen van de opgaven in de opgaveneenheden. Als voorbereiding op de huiswerkopgaven en het tentamen kunt u gebruikmaken van deze opgaveneenheden. U kunt deze cursus afsluiten door de huiswerkopgaven te maken en deel te nemen aan het tentamen. Als u zowel voor de huiswerkopgaven als het tentamen een voldoende beoordeling hebt, ontvangt u een certificaat. Het eindcijfer is gelijk aan het op het tentamen behaalde cijfer. Het tentamen bestaat uit kortantwoordvragen. Dit zijn open vragen waarbij u, in tegenstelling tot de huiswerkopgaven, kunt volstaan met een kort antwoord. De uitwerking wordt niet apart beoordeeld. Het tentamen wordt verschillende malen per jaar afgenomen. Raadpleeg voor de inschrijving en de precieze data de cursussite, het blad Modulair of vraag het na op het studiecentrum. 13