Inhoud. Introductie tot de cursus

Transcriptie

1 Inhoud Introductie tot de cursus 1 Inleiding 7 2 Het cursusmateriaal 7 3 Structuur, symbolen en taalgebruik 8 4 Voorkennis 9 5 De cursus bestuderen 9 6 Studiebegeleiding 11 7 Het tentamen 12 6

2 Introductie tot de cursus 1 Inleiding Voor u ligt de cursus Discrete wiskunde A. Samen met de cursus Discrete wiskunde B vormt deze cursus een inleiding in de discrete wiskunde. We hopen dat u deze inleiding met veel plezier zult bestuderen. De discrete wiskunde omvat veel verschillende onderwerpen. Welke onderwerpen precies wel of niet tot de discrete wiskunde gerekend moeten worden, daarover bestaat geen eenstemmigheid onder wiskundigen, maar de belangrijkste onderdelen worden in deze inleiding behandeld. Samen met Continue wiskunde geeft deze inleiding een breed beeld van de wiskunde. De gekozen onderwerpen vormen een basis voor een verdere studie in de wiskunde of andere disciplines waar een zekere basiskennis wiskunde als bekend wordt verondersteld. In deze introductie tot de cursus zetten we uiteen hoe het cursusmateriaal is samengesteld, hoe u de cursus kunt bestuderen en hoe u tentamen kunt doen. Een inhoudelijke introductie in de discrete wiskunde vindt u in leereenheid 1. 2 Het cursusmateriaal Blokken Samenhang tussen de blokken en leereenheden Deze inleiding in de discrete wiskunde is gesplitst in twee cursussen Discrete wiskunde A en Discrete wiskunde B, die ieder afzonderlijk besteld en bestudeerd kunnen worden en waarover afzonderlijk tentamen kan worden gedaan. Hoewel het daarmee twee afzonderlijke cursussen zijn geworden, vormen de twee samen één inleiding in de discrete wiskunde. Deze introductie heeft dan ook betrekking op beide cursussen, terwijl de epiloog aan het einde van Discrete wiskunde B een bespiegeling geeft over beide cursussen. De reden van de splitsing is vooral van didactische aard: op dit inleidende niveau moet het tentamen niet over al te veel stof gaan. Deze inleiding in de discrete wiskunde bestaat uit negen blokken. Blokken 1 t/m 4 vormen cursus A, blokken 5 t/m 9 vormen cursus B. In ieder blok (uitgezonderd blokken 1 en 9) wordt een apart onderwerp behandeld uit de discrete wiskunde. Het eerste blok geeft een karakterisering van de discrete wiskunde en behandelt enige wiskundige basiskennis die nodig is in de overige blokken. De zeven volgende blokken vormen de hoofdmoot van de studiestof. Het laatste blok schetst de verbanden tussen de verschillende onderwerpen die in de cursus aan bod zijn gekomen. Een aantal van de blokken is onafhankelijk van elkaar te bestuderen, zij het dat er voor ieder blok vanuit is gegaan dat u de inhoud van blok 1, en dan vooral leereenheid 2, beheerst. In Discrete wiskunde A zijn de blokken 2, 3 en 4 grotendeels onafhankelijk van elkaar te bestuderen. Het is dus mogelijk deze blokken in een andere volgorde te bestuderen. OUN 7

3 Discrete wiskunde A Blokken hebben zelfde structuur Casussen Leereenheden Intermezzo s Zelftoetsen Opgaveneenheid De blokken 2 t/m 8 zijn steeds volgens een zelfde structuur opgebouwd. Het eerste onderdeel van ieder blok is een casus, daarna volgen enkele leereenheden en als laatste volgt een opgaveneenheid. In de casussen komt u een probleem tegen dat te maken heeft met het onderwerp van het blok. Zonder eerst de theorie te bestuderen, wordt u uitgenodigd zelf wat te puzzelen en te proberen een oplossing voor dat probleem te vinden. Op die manier krijgt u een beter gevoel voor de problematiek waarvoor de theorie van het blok ontwikkeld is. Ook wordt u er door uitgedaagd zelf actief aan de gang te gaan, wat in het algemeen een voorwaarde is om succesvol wiskunde te kunnen bedrijven. Deze manier van behandelen van de stof wijkt nogal af van de traditionele manier waarin veelal eerst de theorie en daarna de toepassingen worden behandeld. Bij die traditionele manier wordt echter een belangrijk aspect van de wiskunde overgeslagen. Een probleem oplossen is vooral eerst eens wat proberen, er op verschillende manieren tegenaan kijken, varianten bestuderen en dergelijke. Een eventuele oplossing en zo mogelijk generalisaties kunnen daarna beter begrepen worden. De casussen vormen overigens geen leerstof van de cursus, dat wil zeggen: er worden op het tentamen geen vragen over gesteld. Wel wordt u ten zeerste aangeraden de casussen te bestuderen. Na de casus volgt in ieder blok een aantal leereenheden waarin de eigenlijke leerstof van het blok wordt behandeld. Binnen een leereenheid wordt op een meer traditionele wijze de stof behandeld. Na een introductie en de leerdoelen volgen de verschillende onderwerpen, afgewisseld door voorbeelden, toepassingen en opgaven. Hoe u de leerstof kunt bestuderen, komt in een volgende paragraaf aan bod. In de cursus zijn vele intermezzo s opgenomen. Deze zijn herkenbaar aan een kleiner lettertype en tweekoloms opbouw en zijn geen onderdeel van de tentamenstof. Zij dienen ter illustratie van de stof en geven allerhande toepassingen, interessante bijzonderheden of historische wetenswaardigheden. Een aantal van de intermezzo s heeft een titel. Deze intermezzo s met titel behandelen allemaal markante bijzonderheden uit de historie van de wiskunde en zijn geschreven door A.S. Haven. Iedere leereenheid wordt afgesloten met een zelftoets. Deze zelftoetsen bevatten opgaven, zoals die ook op het tentamen voor kunnen komen. U kunt er dus zelf mee nagaan of u de stof voldoende beheerst. Ieder blok wordt afgesloten met een opgaveneenheid. Anders dan de opgaven in de leereenheden, die betrekking hebben op de direct daarvoor behandelde theorie of op de theorie van de leereenheid, hebben de opgaven in de opgaveneenheden betrekking op het hele blok. Op die manier krijgt u een beter inzicht in de verbanden tussen de verschillende onderwerpen en krijgt u bovendien extra oefenstof aangeboden. 3 Structuur, symbolen en taalgebruik De tekst in deze cursus is opgebouwd uit vele onderdelen. Een leereenheid bevat steeds een introductie, leerdoelen, de leerkern met de eigenlijke leerstof, een samenvatting en een zelftoets. De leerkern bevat naast de gewone lopende tekst ook een groot aantal andere onderdelen, zoals opgaven, stellingen, bewijzen en voorbeelden. Steeds is in de kantlijn aangegeven wanneer zulke onderdelen beginnen. Vaak hebben die onderdelen een nummer, zodat er makkelijk naar verwezen kan worden. Ook vrijstaande formules hebben soms in de rechterkantlijn een nummer, zodat er makkelijk naar kan worden terugverwezen. 8 OUN

4 Introductie tot de cursus «markeert einde voorbeeld markeert einde bewijs Begrippen in de kantlijn Wiskundesymbolen Wiskundetaal Van bepaalde onderdelen is het wenselijk het einde duidelijk te markeren. Zo wordt het einde van een voorbeeld aangegeven met het teken «in de rechter kantlijn. Als voorbeelden in de loop van de tekst worden behandeld, dan wordt het einde niet afzonderlijk aangegeven. Ook het einde van een bewijs wordt met een symbool aangegeven, namelijk. Op plaatsen waar een nieuw begrip wordt behandeld of waar een begrip in een nieuwe context wordt behandeld, staat dit begrip ook in de meest linkse kantlijn. Dit vergemakkelijkt het opzoeken als u later nog eens de precieze betekenis na wilt lezen. Al deze begrippen zijn bovendien opgenomen in de registers, achterin de cursusboeken. In de wiskunde worden voorts veel symbolen gebruikt, zoals bijvoorbeeld en. Al deze symbolen hebben een precies vastgelegde betekenis, wat de wiskunde een eigen taal geeft. Een lijst van die symbolen met hun betekenis vindt u in de bijlage. Er komen niet alleen bijzondere symbolen in de wiskunde voor, soms is ook het taalgebruik nogal speciaal. Zulke speciale uitdrukkingen hebben een eigen betekenis en worden gebruikt om zo nauwkeurig mogelijk aan te geven wat de bedoeling is. Met een uitdrukking als zij n een element van de natuurlijke getallen, wordt bedoeld dat er een verhandeling zal volgen over de natuurlijk getallen, uiteengezet aan de hand van een willekeurig element van die verzameling, dat voorlopig maar n genoemd wordt, maar waar in principe ieder natuurlijk getal voor ingevuld mag worden. Regelmatig zal van zulke speciale uitdrukkingen in de cursus gebruik worden gemaakt. Gaandeweg leert u vanzelf met deze formuleringen omgaan en maakt u zich daarmee de wiskundetaal eigen. 4 Voorkennis Wiskundevoorkennis op havo/vwo-niveau Maak de voorkennis toets! Om deze cursus met succes te kunnen bestuderen, moet u enige voorkennis op het gebied van de wiskunde bezitten. Enerzijds gaat het om het beheersen van concrete wiskundige vaardigheden, zoals het oplossen van vergelijkingen, anderzijds gaat het om algemene vaardigheden zoals abstraheren en redeneren. Heeft u havo met wiskunde, vwo met wiskunde of een andere opleiding van vergelijkbaar niveau afgerond en is uw wiskundekennis nog redelijk paraat, dan kunt u ervan uitgaan dat uw voorkennis voldoende is om met de bestudering van deze cursus te kunnen beginnen. Twijfelt u of uw voorkennis voldoende is, dan kunt u gebruik maken van de voorkennis toets die te vinden is op Op studienet vindt u ook een link naar deze voorkennistoets. Na het maken van deze toets krijgt u zo nodig advies hoe u uw voorkennis bij kunt spijkeren. 5 De cursus bestuderen Cursus bedoeld voor zelfstudie. Deze cursus is gemaakt voor zelfstudie. Dat wil zeggen dat het in principe mogelijk is deze cursus helemaal zelfstandig te bestuderen en dat u zich zonder hulp van anderen kunt voorbereiden op het tentamen. Om voor zelfstudie geschikt te zijn, zijn de teksten zeer uitgebreid en wordt aan veel details van de theorie aandacht besteed. In de kantlijn worden bovendien vaak studeeraanwijzingen gegeven, dat zijn korte opmerkingen die het belangrijkste uit de betreffende alinea aanstippen. U heeft al een aantal van zulke aanwijzingen gezien. OUN 9

5 Discrete wiskunde A Cursus van voor naar achter doorwerken. Leerdoelen geven aan wat u moet weten en kunnen. Bij bekende onderwerpen direct zelftoets maken. Tijdens bestudering regelmatig opgaven maken. Tenzij er voor u specifieke redenen zijn daarvan af te wijken, bevelen we u aan bij een eerste bestudering de cursus van voor naar achter door te werken. U komt dan vanzelf afwisselend wat meer theoretische en wat meer praktische onderwerpen tegen. Zoals al eerder vermeld, kunt u er ook voor kiezen de blokken in een andere volgorde te bestuderen. Bestudeert u wel eerst blok 1 en dan vooral leereenheid 2, want daarin worden begrippen behandeld die in de hele cursus steeds terugkomen. Aan het begin van iedere leereenheid zijn na de introductie steeds leerdoelen opgenomen. Deze beschrijven zo precies mogelijk wat u na het bestuderen van de leereenheid moet weten en kunnen. Bij een eerste lezing van die leerdoelen zult u veel onbekende begrippen zien, die gaat u immers nog leren. Maar tijdens de bestudering van de leereenheid kunt u steeds bij de leerdoelen lezen wat u met deze begrippen moet: hoeft u ze alleen maar te kennen, of moet u ze ook toe kunnen passen, bewijzen of gebruiken. Sommige onderwerpen van de cursus zullen u wellicht bekend voorkomen of heeft u in een ander verband al eens eerder bestudeerd. U kunt dan de betreffende leereenheden doorlezen en nagaan of alles u al bekend is. U kunt ook direct de zelftoetsopgaven aan het einde van de leereenheid maken en op die manier vaststellen of u de stof al dan niet beheerst of nog geheel of gedeeltelijk moet bestuderen. In het geval dat u de zelftoetsopgaven al goed kon maken, is het toch nog verstandig de leereenheid globaal door te nemen en aandacht te besteden aan definities, notaties en dergelijke. Die kunnen immers van boek tot boek nogal eens verschillen (binnen deze cursus is een en ander natuurlijk wel consistent). Tijdens de bestudering van de cursus komt u zeer frequent opgaven tegen, zowel tijdens de behandeling van de stof in de paragrafen, als aan het einde van de paragrafen en in de opgaveneenheden. De opgaven tussendoor zijn bedoeld om direct te oefenen met wat is behandeld en u zo in staat te stellen de stof beter op te nemen. Het is zeer aan te bevelen al die opgaven te maken op het moment dat u ze tegenkomt. De opgaven aan het einde van de paragraaf zijn bedoeld om verder te oefenen met de stof. Maakt u een aantal van die opgaven als u de paragraaf heeft bestudeerd en bewaart u een paar van die opgaven voor als u zich voorbereidt op het tentamen. Hoewel u zeker niet alle opgaven bij een eerste bestudering van de stof hoeft te maken, is het niet verstandig alle opgaven over te slaan. Door het maken van opgaven zult u beter de mogelijkheden en onmogelijkheden van de wiskunde leren kennen en allerlei aspecten ontdekken die anders onopgemerkt zouden blijven. Wiskunde is wat dat betreft vooral een doe-vak. Naast de opgaven in de leerkern van iedere leereenheid vindt u ook opgaven in de zelftoets aan het einde van iedere leereenheid en in de opgaveneenheden aan het einde van ieder blok. Maakt u de zelftoetsopgaven nadat u een leereenheid heeft bestudeerd, om vast te stellen of u de stof op een voldoende niveau beheerst. Maakt u wat van de opgaven uit de opgaveneenheid als u een blok heeft bestudeerd, maar bewaar er ook een aantal als tentamenvoorbereiding. 10 OUN

6 Introductie tot de cursus Uitwerkingen achterin cursusboek Raadpleeg eventueel aanwijzingen. Rekenmachine Aanvullend materiaal op studienet. Als u een opgave gemaakt heeft, kunt u nagaan of uw uitwerking goed is, door bij de uitwerkingen van de opgaven te kijken, die steeds achterin het cursusboek zijn opgenomen. Vaak zijn opgaven op verschillende manieren uit te werken, dus een afwijkende uitwerking wil nog niet zeggen dat de uwe fout is. Lukt het u niet een opgave te maken, of weet u niet hoe u het aan moet pakken, dan is bij veel opgaven een aanwijzing beschikbaar, een hint die u een stukje op weg helpt. Bij de opgaven die een aanwijzing hebben is dat aangegeven bij het nummer, bijvoorbeeld OPGAVE 2.11 (Aanw). De aanwijzingen staan vóór de uitwerkingen achterin het cursusboek. Komt u ook daarmee niet verder, raadpleeg dan de uitwerking van de opgave, maar bestudeer die zorgvuldig, zodat u er baat bij heeft bij het maken van volgende opgaven. Soms is het handig om bij het maken van de opgaven een rekenmachine te gebruiken. Dit is natuurlijk toegestaan en ook op het tentamen mag een rekenmachine worden gebruikt. Op studienet vindt u aanvullend materiaal dat u kan helpen bij het bestuderen van de stof. Over een aantal onderwerpen zijn er korte video-colleges. Er zijn links naar applets waar u vaardigheden extra kunt oefenen en naar een logicatool die u traint in het herschrijven van logische formules. 6 Studiebegeleiding Begeleidingsbijeenkomsten Telefonisch spreekuur Huiswerkopgaven Hoewel de cursus ontworpen is voor zelfstudie, kan het zijn dat u behoefte heeft aan begeleiding, eens over de stof wilt praten met collegastudenten en docenten. Het kan ook zijn dat u met problemen zit waar u zelf niet uitkomt. Door de Open Universiteit wordt daarvoor op een paar manieren begeleiding bij deze cursus aangeboden. U kunt daar desgewenst gebruik van maken. Het kan zijn dat er in uw studiecentrum begeleidingsbijeenkomsten worden georganiseerd waarin u met een groep studenten en een studiebegeleider nader op de stof ingaat, gezamenlijke problemen behandelt, extra opgaven maakt, enzovoort. Daarnaast kunt u een beroep doen op uw studiebegeleider tijdens een wekelijks telefonisch spreekuur. Veelal kunnen eventuele problemen dan direct worden opgelost. Als dat niet lukt, kunt u afspraken maken hoe er dan wel uit te komen. Via de Studienetpagina s bij deze cursus hebt u toegang tot aanvullingen en errata, interessante internetlinks en de elektronische discussiegroep. Bij deze cursus kunt u ook huiswerkopgaven maken. Door deze op gezette tijden in te sturen, kunt u uw studie beter plannen en krijgt u een directe terugkoppeling op uw studieactiviteiten. Neem voor precieze informatie over de studiebegeleiding contact op met uw studiecentrum, of kijk in het blad Modulair of op de betreffende webpagina s van Studienet. OUN 11

7 Discrete wiskunde A 7 Het tentamen Tentamenopgaven zoals in zelftoets en opgaveneenheden Uitwerkingen zoals in opgaveneenheden U kunt deze cursus afsluiten door deel te nemen aan het tentamen. Het tentamen wordt verschillende malen per jaar afgenomen in uw studiecentrum. Raadpleeg voor de precieze data Modulair of vraag het na op het studiecentrum. De tentamenopgaven zijn van een zelfde niveau en stijl als de zelftoetsopgaven en de opgaven in de opgaveneenheden aan het eind van de blokken. U kunt die opgaven dan ook goed gebruiken als tentamenvoorbereiding. Alleen antwoorden op de opgaven van het tentamen zijn niet voldoende. Alle antwoorden moeten vergezeld gaan van een zorgvuldige uitwerking of toelichting. Alleen dan kunt u punten verdienen voor uw tentamencijfer. Uw uitwerkingen moeten een zelfde stijl en gedetailleerdheid hebben als de uitwerkingen van de opgaven in de opgaveneenheden. Het gebruik van een rekenmachine is op het tentamen toegestaan. Tot slot Het cursusteam vond het een enorme uitdaging om deze cursus zo goed mogelijk te maken. Enerzijds om een zo goed mogelijke keuze te maken van de wiskundige onderwerpen en de diepgang waarmee die worden behandeld, anderzijds om de onderwerpen zodanig te behandelen dat iedereen er zelfstandig mee uit de voeten kan. We hopen dan ook dat u de cursus met veel plezier zult bestuderen en met succes tentamen zult doen. Aan de totstandkoming van deze cursus heeft een groot aantal personen bijgedragen. Het cursusteam en de discipline- en programmaleider zijn uiteindelijk verantwoordelijk voor de inhoud, maar voor hun bijdragen in verschillende vorm willen we ook de volgende personen hartelijk danken: Henk Aarts, Hub Augustus, Enrico van Barneveld, Jan Beumers, Paul Bezembinder, Hanneke Bonekamp, Gosse Bouma, Arjan van Dijk, Hans van Ditmarsch, Cecile Dupont-Eyssen, Jan van Eijck, Edwin Freekenhorst, Irma van Gorkum-van Diepen, Ronald Gossieau, Jan te Hennepe, Soezie van den Heuvel, Marco Huysmans, Maria Kampermann, Jan van Maanen, Kees van Rijsbergen, Huub Salden, Erik Tjong Kim Sang, Henk Schaake, Ben Steltman, Willy Vaes, Leendert van Wingerden. 12 OUN

8 Inhoud leereenheid 1 Wat is discrete wiskunde? Introductie 15 Leerkern Routes van a naar b Routes en getallen Discrete wiskunde door de eeuwen heen 24 Samenvatting 28 14

9 Leereenheid 1 Wat is discrete wiskunde? I N T R O D U C T I E Als we in een stad van één punt naar een ander punt willen, kunnen we ons afvragen hoeveel verschillende routes er zijn. FIGUUR 1.1 Op hoeveel manieren kunnen we langs de grijze blokken van a naar b? Misschien zijn er elf verschillende routes, misschien zijn er twaalf. Door uitproberen, of op wat voor manier dan ook, kan vastgesteld worden hoeveel verschillende routes er zijn. Ook al weet u misschien nog niet precies hoeveel het er zijn, wel is zeker dat het aantal mogelijke routes een geheel aantal is. Tien en een half is in dit verband geen zinnig antwoord. Problemen waarbij het gaat om het een of het ander, en waar daartussenin geen betekenis heeft, hebben een zogenaamd discreet karakter. In de Van Dale wordt de betekenis van discreet in dit verband omschreven als los van elkaar staand, niet aaneensluitend. De deelgebieden van de wiskunde die behulpzaam zijn bij het oplossen van zulke problemen, behoren tot de discrete wiskunde. OUN 15

10 Discrete wiskunde A Er zijn ook situaties waar er tussenin wel betekenis heeft. De lengte van een straat kan 975 meter of 976 meter zijn, maar kan natuurlijk ook 975,4 of 975,369, of wat voor tussenliggende lengte dan ook zijn. Al die tussenliggende lengtes hebben daarbij betekenis en vormen een continu geheel. In zulke situaties spreken we dan ook van een continu karakter van de problemen. En de wiskunde die daarbij kan helpen wordt wel de continue wiskunde genoemd. In deze leereenheid wordt een onderwerp behandeld dat tot de discrete wiskunde behoort. Stapsgewijs wordt het opgelost en door de manier waarop dat gebeurt, krijgt u een beeld hoe discrete wiskunde daarbij behulpzaam kan zijn. Ook wordt de discrete wiskunde in een historisch perspectief geplaatst, waaruit blijkt dat het al een zeer oud vakgebied is, maar tevens nog volop nieuwe ontwikkelingen doormaakt. Tegenwoordig wordt de discrete wiskunde gebruikt bij het oplossen van tal van problemen, vooral binnen de informatica. Die toepassingen binnen de informatica komen ten dele voort uit het discrete karakter van computers, die in de kern immers alleen met nullen of enen kunnen werken. Maar ook in andere vakgebieden wordt de discrete wiskunde gebruikt. En daarnaast is de discrete wiskunde op zichzelf een interessant vakgebied waarin zich voortdurend nieuwe vragen aandienen. Vele wiskundigen verspreid over de hele wereld zijn dan ook op dit gebied actief. LEERDOELEN Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u een eerste indruk heeft van de aard, methoden en historie van de discrete wiskunde. Studeeraanwijzing Omdat deze leereenheid vooral duidelijk wil maken wat discrete wiskunde nu eigenlijk is, heeft de stof vooral een informatief karakter. De leerstof is dan ook geen tentamenstof. Toch raden we u aan deze leereenheid met gepaste aandacht door te nemen. U zult daar in het vervolg van de cursus zeker baat bij hebben. LEERKERN 1.1 Routes van a naar b Allereerst gaan we het probleem uit de introductie eens wat nader onderzoeken. Daarin wordt gevraagd hoeveel routes er in figuur 1.1 zijn van a naar b. OPGAVE 1.1 (Aanw) a Hoeveel verschillende routes kunt u in figuur 1.1 vinden die van a naar b gaan? b Welke veronderstellingen heeft u gemaakt om het aantal routes te bepalen? c Kunt u ook andere eisen stellen aan de routes die u mee wilt tellen in het aantal mogelijk routes van a naar b? 16 OUN

11 Leereenheid 1 Wat is Discrete wiskunde? Uit opgave 1.1 blijkt direct dat we de vraag hoeveel routes zijn er van a naar b niet zomaar kunnen beantwoorden. We zullen eerst precies aan moeten geven wat we bedoelen met een route van a naar b. Bedoelen we routes die zo kort mogelijk zijn, tellen we ook routes mee die met een omweg gaan of desnoods een paar keer door dezelfde straat? Pas nadat we precies hebben vastgelegd wat we willen tellen, kunnen we ook daadwerkelijk gaan tellen. We hebben dus begrippen nodig die precies aangeven wat we bedoelen. We zouden bijvoorbeeld het aantal routes kunnen tellen die via zo weinig mogelijk stukken straat gaan. Met een stuk straat bedoelen we dan een gedeelte van een straat tussen twee kruispunten. Dit is immers anders dan een gehele straat, die na een kruispunt ook nog door kan lopen. Voor een stuk straat geven we daarom eerst een definitie die de betekenis precies vastlegt. Daarna zullen we ook nog moeten definiëren wat we met een route bedoelen. Stuk straat DEFINITIE 1.1 Een stuk straat in de plattegrond uit figuur 1.1 is een zo klein mogelijk deel van een straat tussen twee kruispunten, splitsingen of hoeken. Het doet nogal overdreven aan om een formele definitie te geven voor een stuk straat. Binnen de wiskunde speelt dit begrip verder geen enkele rol. Toch doen we dat hier wel, om de werkwijze van de discrete wiskunde te illustreren. In een plattegrond staat veel meer informatie dan we nodig hebben om het aantal mogelijke routes van a naar b te bepalen. Er staat ook op aangegeven waar bepaalde gebouwen zich bevinden, of straten krom lopen, of recht zijn, of éénrichtingsverkeer hebben, waar de buslijnen en haltes zijn, enzovoort. Al die informatie is niet nodig als we alleen maar na willen gaan hoeveel routes er zijn van a naar b. We kunnen daarom op basis van figuur 1.1 een nieuwe figuur maken, waarbij we definitie 1.1 gebruiken en waar zo veel mogelijk overbodige informatie uit is weggelaten. Het resultaat is dan figuur 1.2, waarin de kruispunten, splitsingen en hoeken met kleine cirkeltjes zijn aangegeven en de stukken straat met lijnen daartussen. FIGUUR 1.2 Abstracte weergave van de plattegrond in figuur 1.1 We hebben nu gedefinieerd wat stukken straat zijn en in figuur 1.2 aangegeven hoe deze ten opzichte van elkaar liggen. De volgende stap is definiëren wat we met een route van a naar b bedoelen. OPGAVE 1.2 a Geef een definitie voor een route van a naar b. b Als iemand de weg van a naar b vraagt, bedoelt diegene dan een route zoals gedefinieerd onder a? c Geef een definitie voor een kortste route van a naar b. Als dit dezelfde definitie is als in onderdeel a, beantwoord onderdeel a dan opnieuw en geef een algemenere definitie. OUN 17

12 Discrete wiskunde A Uit opgave 1.2 volgt dat we ook duidelijk moeten definiëren wat we bedoelen als we het hebben over de routes van a naar b. In principe kunnen we omweggetjes maken, of niet de kortste route nemen, dat levert immers allemaal routes op die van a naar b leiden. Maar iemand die zo snel mogelijk van a naar b wil, zal alleen maar geïnteresseerd zijn in een zo kort mogelijke route. Om vast te leggen wat we precies bedoelen, stellen we daarom de volgende definitie op. Kortste route DEFINITIE 1.2 Vraag kan nu ondubbelzinnig worden gesteld. Kortste routes gaan alleen naar rechts en naar boven. Een kortste route van a naar b in figuur 1.2 is een minimum aantal aansluitende stukken straat, startend in a en eindigend in b. Omdat in figuur 1.2 de stukken straat allemaal even lang zijn, is definitie 1.2 een bruikbare. Waren de stukken straat verschillend van lengte, dan hadden we voor een andere definitie moeten kiezen en rekening moeten houden met alle lengtes van de stukken straat. Nu is dat niet nodig en kunnen we eindelijk proberen de vraag te beantwoorden die we nu ondubbelzinnig kunnen stellen: hoeveel verschillende kortste routes zijn er van a naar b? Hoewel we nog niet vast kunnen stellen hoeveel kortste routes er zijn van a naar b, kunnen we wel zien dat die routes allemaal via 7 stukken straat moeten gaan. Hoe we immers ook gaan in figuur 1.2, we zullen altijd 4 keer naar rechts moeten en 3 keer naar boven. Routes die ook een keer naar links of naar beneden gaan, zijn niet zo kort mogelijk en behoren dus niet tot de kortste routes die we willen tellen. Maar hoe tellen we nu op een handige manier het aantal routes dat uit 7 stukken straat bestaat? OPGAVE 1.3 Probeer vast te stellen hoeveel mogelijke kortste routes van a naar b er zijn, door ze alle na te gaan. Wellicht heeft u in opgave 1.3 het goede antwoord gevonden. Maar zeer waarschijnlijk heeft u ook gemerkt dat het vrij lastig is om alle verschillende mogelijkheden uit elkaar te houden en ook nog zeker te weten dat u geen mogelijkheid vergeten bent. Om tot een handige én systematische manier van het tellen te komen, kunnen we gebruik maken van de volgende constatering. Alle kortste routes die in b aankomen, komen ofwel van onder, ofwel van links. Maar dat betekent direct dat het aantal verschillende routes dat in b aankomt gelijk is aan het aantal dat in c aankomt plus het aantal dat in d aankomt. Zie figuur 1.3. FIGUUR 1.3 Het aantal manieren om in b aan te komen is gelijk aan het aantal manieren om in c aan te komen plus het aantal manieren om in d aan te komen. 18 OUN

13 Leereenheid 1 Wat is Discrete wiskunde? Wat voor punt b geldt, geldt ook weer voor punt c, en ook voor punt d. Het aantal mogelijke kortste routes dat in een punt aankomt, is steeds gelijk aan de som van het aantal dat in het punt links ervan aankomt en het aantal dat in het punt eronder aankomt. Maar dit geldt natuurlijk voor alle punten. U zult direct hierna zien dat daarmee een eigenschap ontdekt is om het totaal aantal kortste routes van a naar b op systematische wijze te kunnen bepalen. Deze eigenschap is dermate van belang voor het oplossen van dit probleem, dat we dat in een aparte stelling formuleren. STELLING 1.1 Zij x een punt in figuur 1.2. Het aantal kortste routes van a naar x is dan gelijk aan de som van het aantal kortste routes naar het punt links van x en het aantal kortste routes naar het punt onder x. Als er geen punt links van x is, dan is het aantal kortste routes naar x gelijk aan het aantal kortste routes naar het punt onder x. En als er geen punt onder x is, dan is het aantal kortste routes naar x gelijk aan het aantal kortste routes naar het punt links van x. In het stukje tekst voor stelling 1.1 hebben we de stelling aannemelijk gemaakt en gemeld dat de stelling natuurlijk geldt voor alle punten. Maar dit is nog geen bewijs dat de stelling waar is. Om zeker van onze zaak te zijn, zullen we deze dan ook moeten bewijzen. Een bewijs is daarbij een redenering (soms ook een berekening) om onszelf of anderen te overtuigen van de juistheid van de stelling. Om duidelijk aan te geven waar het bewijs eindigt, markeren we dit met een blokje. Bewijs van stelling 1.1 We hebben gezien dat de kortste routes van a naar een willekeurig punt x in figuur 1.2 uitsluitend stukken straat bevatten die naar rechts of naar boven gaan. Alle kortste routes van a naar x lopen dus ofwel via het punt links van x ofwel via het punt onder x. Alle routes die van links bij x komen, zijn anders dan de routes die van onder bij x komen. Het totaal aantal kortste routes van a naar x is dus gelijk aan het aantal kortste routes naar het punt links van x plus het aantal kortste routes naar het punt onder x. Als er geen punt links van x is, dan komen alle kortste routes via het punt onder x en is het aantal kortste routes naar x dus precies gelijk aan het aantal kortste routes naar het punt onder x. Op soortgelijke wijze gaat het bewijs als er geen punt onder x is. Hiermee is het bewijs geleverd. We kunnen nu de stelling gebruiken om op een systematische manier het aantal kortste routes van a naar b te bepalen. Daartoe bepalen we ook de aantallen naar de tussenliggende punten, want als we die kennen, kunnen we immers met behulp van de stelling de aantallen voor steeds volgende punten bepalen. De punten op een afstand van één stuk straat We kijken eerst naar de punten die via één stuk straat vanaf a zijn te bereiken en beginnen met het punt rechts van a. In dat punt kunnen we maar op één manier aankomen (via het straatstuk dat van links komt), dus is het aantal kortste routes naar dit punt gelijk aan 1. Ook in het punt boven a kunnen we maar op één manier aankomen, dus ook het aantal mogelijke routes naar dit punt is 1. De aantallen zijn bij de punten in figuur 1.4 genoteerd. OUN 19

14 Discrete wiskunde A FIGUUR 1.4 Het aantal verschillende kortste routes naar de tussenliggende punten De punten op twee stukken straat afstand We bekijken nu de punten die twee straatstukken van a vandaan liggen. Twee keer naar rechts gaan kan maar op één manier, dus daar komt ook weer een 1, net als bij het kruispunt twee keer naar boven. Bij een punt via één keer naar rechts, één keer naar boven wordt het interessanter. Daar kunnen we van links of van onder komen. Volgens stelling 1.1 mogen we nu de aantallen van de punten links en onder bij elkaar optellen, en dat geeft 2, zodat we 2 verschillende kortste routes hebben naar het punt via één naar rechts, één naar boven. OPGAVE 1.4 Vul nu figuur 1.4 verder in door bij ieder punt het aantal verschillende kortste routes naar dat punt te noteren en gebruik daarbij stelling 1.1. Werk daarbij van linksonder naar rechtsboven. Is het antwoord wat u nu vindt, gelijk aan dat wat u gevonden had bij opgave 1.1a en opgave 1.3? Is de oplossing in de praktijk bruikbaar? De methode Methode ook in andere gevallen bruikbaar Met het antwoord van opgave 1.4 lijkt de oorspronkelijk gestelde vraag, hoeveel verschillende routes er in figuur 1.1 van a naar b waren, opgelost. Om het antwoord te vinden, hebben we gebruik gemaakt van de schema-tische weergave in figuur 1.2. Een nadere beschouwing zal nu nog uit moeten wijzen of het antwoord ook werkelijk bruikbaar is. Om het antwoord te kunnen bepalen, werd bijvoorbeeld verondersteld dat alle stukken straat even lang waren. Was dit ook werkelijk zo, en zo niet, vallen er dan misschien een paar routes af? Of misschien waren er wel stukken straat opgebroken, of gold er een rijverbod, enzovoort. Een interpretatie van het wiskundige antwoord in termen van het oorspronkelijke probleem, is in dit geval de laatste stap in de oplossing van het probleem. De methode om het probleem op te lossen, bestaat eruit dat voor alle punten, werkend van linksonder naar rechtsboven, de som wordt bepaald van de getallen die horen bij de punten links en onder dat punt. Als het startpunt linksonder een 1 krijgt, en als een 0 wordt genomen als er geen stuk straat links of onder is, dan volgen met het voorschrift vanzelf de aantallen verschillende kortste routes naar ieder punt. De methode gaf een oplossing voor het concrete probleem in deze paragraaf, maar zij is natuurlijk ook bruikbaar bij soortgelijke plattegronden met een ander stratenpatroon. Voorwaarde is dat er een soortgelijk ruitjespatroon in herkenbaar is en dat het aantal verschillende routes van linksonder naar rechtsboven bepaald moet worden. Zitten er schuine straten bij, moeten er routes tussen andere tweetallen punten bepaald worden, dan zal het model en de methode aangepast 20 OUN

15 Leereenheid 1 Wat is Discrete wiskunde? moeten worden. Zolang dat niet het geval is, kan de methode voor veel concrete problemen gebruikt worden. In de volgende paragraaf zullen we zien dat er interessante aspecten aan te ontdekken zijn. Concrete toepassingen vinden dit soort methoden overigens ook bij het ontwerpen van chips, zoals in figuur 1.5, waarin routes tussen vele verschillende punten moeten worden gevonden. Aan allerlei voorwaarden moet bij het ontwerpen van zulke onderdelen voor computers worden voldaan om een goed functionerend geheel te krijgen. FIGUUR 1.5 Met behulp van geavanceerde methoden worden chips ontworpen Model Wat hebben we tot nu toe gedaan? Begrippen nauwkeurig definiëren en vraag opnieuw stellen Eigenschappen onderzoeken en methoden ontwikkelen We kijken nu nog eens terug naar wat we in deze paragraaf hebben gedaan. Allereerst werd er een vraag gesteld naar het aantal mogelijke routes tussen twee plaatsen in een stad. Om die vraag te kunnen beantwoorden, moest eerst preciezer aangegeven worden wat er werd bedoeld en tevens kon allerlei beschikbare, maar niet relevante informatie achterwege worden gelaten. We hebben dat gedaan door begrippen waar we gebruik van wilden maken, nauwkeurig te definiëren en de vraag met behulp van die begrippen opnieuw te stellen. Daarmee werd als het ware een model gemaakt van de werkelijkheid. Dat model bevat precies die informatie die we nodig denken te hebben om het probleem op te kunnen lossen. Deze stap, een model maken van de werkelijkheid of van een probleem wat we op willen lossen, is in het algemeen de eerste stap die gezet wordt om een concrete vraag te kunnen beantwoorden. Het is niet altijd bij voorbaat duidelijk welke dingen in het model meegenomen moeten worden en soms zal dan ook blijken dat het model aangepast moet worden. Ook kan het zijn dat er later andere vragen gesteld worden, die niet met het ontwikkelde model beantwoord kunnen worden. Het model zal daaraan dan aangepast moeten worden. De volgende stap was een eigenschap en een methode ontdekken waarmee de gestelde vraag kon worden beantwoord. De eigenschap werd in een stelling geformuleerd en de geldigheid ervan in een afzonderlijk bewijs geleverd. Met de eigenschap kon een methode worden ontwikkeld om het probleem op te lossen. We zouden dit deel van de activiteiten om het probleem op te lossen de belangrijkste wiskundige activiteit kunnen noemen: zoeken naar manieren om gestelde problemen op te lossen en bewijzen dat de gevonden manieren het gewenste antwoord opleveren. OUN 21

16 Discrete wiskunde A De ontwikkelde methode bleek ook nog toepasbaar op andere soortgelijke problemen. En dat is natuurlijk waar we vaak op hopen te komen: een oplossingsmethode voor een probleem vinden waarmee we ook weer andere problemen op kunnen lossen. Op die manier krijgen we een aantal wiskundige gereedschappen in handen die in allerlei situaties van nut kunnen zijn. Modeloplossing toetsen op bruikbaarheid in de praktijk Als laatste stap moest nog gekeken worden wat de in het model gevonden oplossing voor de oorspronkelijk gestelde praktische vraag betekende. Kon de modeloplossing ook in de praktijk worden gebruikt, of kwamen er dan toch nog aspecten naar voren die niet in het model waren meegenomen, zodat de oplossing nog aangepast moest worden? OPGAVE 1.5 (Aanw) Beschrijf een methode om het aantal kortste routes van a naar b te bepalen in figuur 1.6 en bepaal dit aantal routes. FIGUUR Routes en getallen In de vorige paragraaf hebben we bekeken hoe we het aantal verschillende routes tussen twee punten in een willekeurige plattegrond kunnen vaststellen. Soms is een plattegrond zeer regelmatig, bijvoorbeeld in delen van New York. Door het regelmatige patroon valt er ook een mooie regelmaat in de getallen te ontdekken. En de getallen die dan naar voren komen, blijken op veel meer plaatsen in de wiskunde een belangrijke rol te spelen! Een regelmatig patroon is weergegeven in figuur 1.7b. Daarin is weer het aantal verschillende routes vanuit het startpunt linksonder naar de overige punten bepaald. De methode van de vorige paragraaf is daarbij gevolgd, door bij ieder punt de som te schrijven van de getallen links en onder dat punt, terwijl linksonder een 1 is gezet en een 0 is gebruikt als er geen getal links of onder staat. OPGAVE 1.6 a Voeg bovenaan en aan de rechterkant nog een rij en een kolom getallen toe in figuur 1.7b. b Een rij en een kolom in figuur 1.7b op gelijke afstand van het punt linksonder hebben steeds dezelfde getallen. Als het patroon verder gevuld wordt, zal dat dan steeds zo blijven? c Waarom komt het verschijnsel zoals genoemd in onderdeel b niet voor in figuur 1.2? 22 OUN

17 Leereenheid 1 Wat is Discrete wiskunde? FIGUUR 1.7 Regelmatige patronen en de aantallen kortste routes Pascal Driehoek van Pascal Het getallenschema in figuur 1.7b is al heel lang bekend. Pascal ( ) gebruikte dit schema al, maar zette het op zijn kant met de 1 die we tot nu toe linksonder hebben gezet, bovenaan. Langs de schuine zijkanten komen dan allemaal enen te staan. Verder werd het schema in een driehoeksvorm gepresenteerd en daarom wordt het ook wel de driehoek van Pascal genoemd, zie figuur 1.8a. FIGUUR 1.8 De driehoek van Pascal, met onze getallen en in een Chinese versie uit 1303 OPGAVE 1.7 a Hoe kan een rij nieuwe getallen in de driehoek van Pascal berekend worden als de rij erboven bekend is? b Voeg twee nieuwe rijen aan de driehoek van Pascal in figuur 1.8a toe. Hoewel het getallenschema ondertussen algemeen bekend is als de driehoek van Pascal, kwam het al eerder voor in China. Waarschijnlijk werd het daar al rond 1100 gebruikt. Een mooi plaatje ervan is gevonden in een boek uit 1303, zie figuur 1.8b. Dit plaatje siert menig wiskundeboek. Er is bovendien mooi in te zien hoe de getallen met andere dan de door ons gebruikte symbolen worden weergegeven. OUN 23

18 Discrete wiskunde A Rijtjes Codes Ga dit zelf na! Alle getallen in de driehoek van Pascal geven het aantal manieren weer om bij dat getal te komen als we bovenaan beginnen en van getal tot getal steeds schuin links of rechts naar beneden springen. De routes die gevolgd worden zouden we ook weer kunnen geven met rijtjes letters L en R, waarbij iedere keer een L geschreven wordt als er schuin links naar beneden wordt gesprongen en een R als er schuin rechts naar beneden wordt gesprongen. Een route LRRLR komt dus bij het getal 10 uit. Alle rijtjes met twee keer een L en drie keer een R komen bij ditzelfde getal uit en dat betekent dus dat er precies 10 verschillende rijtjes zijn met twee keer een L en drie keer een R. Nu zijn rijtjes met letters L en R misschien niet zo interessant, maar als ze door 0 en 1 worden vervangen, komen we uit bij rijtjes of codes, zoals die veelvuldig in computers gebruikt worden. Met behulp van de driehoek van Pascal kan dan vervolgens antwoord gegeven worden op vragen zoals hoeveel verschillende codes met 7 cijfers zijn er, waarin precies 5 keer een 1 en 2 keer een 0 voorkomt? OPGAVE 1.8 (Aanw) a Hoeveel verschillende codes met 7 cijfers zijn er, waarin precies 5 keer een 1 en 2 keer een 0 voorkomt? b Kunt u de symmetrie in de driehoek van Pascal verklaren aan de hand van de rijtjes met L-en en R-en die de routes naar de getallen weergeven? Omdat de getallen uit de driehoek van Pascal veelvuldig worden gebruikt, zou het handig zijn formules te hebben waarmee ze direct kunnen worden berekend, zonder dat de hele driehoek steeds opnieuw uitgerekend hoeft te worden. Zulke formules bestaan en in de leereenheid over kansrekening in Discrete wiskunde B zal er nog uitgebreid op worden teruggekomen. In deze paragraaf hebben we gezien dat de methode die in de vorige paragraaf werd opgesteld, mooie resultaten geeft, als ze wordt toegepast op een regelmatig patroon. Daarin viel een nieuwe structuur te ontdekken, die toepasbaar bleek in andere situaties. Zo n ontwikkeling is karakteristiek voor de wiskunde en de discrete wiskunde in het bijzonder. Vanuit praktische problemen worden vragen gesteld die aanleiding geven tot de ontwikkeling van theorieën. Die theorieën geven antwoorden op de gestelde vragen, maar zijn vaak in andere omstandigheden weer toepasbaar. Het werk van wiskundigen weerspiegelt deze aspecten. Soms wordt er onderzoek gedaan om hele concrete problemen op te lossen, maar soms worden er ook theorieën verder ontwikkeld, zonder dat daarbij direct duidelijk is waar ze nog wel eens goed voor kunnen zijn. 1.3 Discrete wiskunde door de eeuwen heen We zouden kunnen zeggen dat de eerste wiskunde die er was, discrete wiskunde was. De ontwikkeling van de verschillende talstelsels en de manieren waarop de getallen gerepresenteerd worden, laten dit zien. 24 OUN

19 Leereenheid 1 Wat is Discrete wiskunde? Babyloniërs Euclides Fermat Getaltheorie Het vermoeden van Fermat De natuurlijke getallen waren de eerste getallen in de ontwikkeling van de menselijke kennis. Maar de natuurlijke getallen zijn bij uitstek discreet van karakter. Van 1 gaan we naar 2 en dan naar 3, enzovoort, en daar tussenin zit niets. De natuurlijke getallen vormen dan ook bij veel onderwerpen uit de discrete wiskunde de basis waarop verschillende theorieën worden ontwikkeld. Op vele manieren zijn de natuurlijke getallen door de eeuwen heen weergegeven. Een van de oudste bekende systemen is het 60-tallig stelsel van de Babyloniërs, dat ontstond rond 3000 voor Christus en in gebruik bleef tot het begin van onze jaartelling. In leereenheid 3 wordt nader op dit systeem ingegaan. De sporen van het talstelsel van de Babyloniërs komen we nog dagelijks tegen. Ons tientallige stelsel werkt op soortgelijke wijze en ook de tijdsindeling van een uur in minuten en seconden en de verdeling van een cirkelgraad in minuten en seconden vinden hun oorsprong in het toen gebruikte systeem. De structuur van de getallenverzamelingen wordt bestudeerd in de getaltheorie. Leereenheid 3 van deze cursus is daaraan gewijd. De getaltheorie stamt al van ver voor het begin van onze jaartelling. Een hoogtepunt in de ontwikkeling is een reeks boeken, de Elementen genoemd, geschreven door Euclides, rond 300 voor Christus. Ook met betrekking tot andere onderwerpen, bijvoorbeeld de meetkunde, bevatten deze boeken vele mooie en diepzinnige verhandelingen die het denken tot op de dag van vandaag beïnvloeden. Op de Bijbel na is de Elementen het boek dat in de Westerse wereld het meest is gereproduceerd en bestudeerd. Belangrijk voor de wiskunde was vooral de strenge logische opbouw die gevolgd werd. Gebaseerd op veronderstellingen (axioma s en postulaten) werden precieze definities gehanteerd om wetmatigheden in de vorm van stellingen af te leiden. Op vele plaatsen in deze cursus zal op soortgelijke wijze de wiskunde worden behandeld. Getaltheorie is eeuwenlang een mooi wiskundig vak geweest zonder al te veel toepassingen. Het was Fermat ( ) die waarschijnlijk één van de meest intrigerende uitspraken deed op het gebied van de getaltheorie. Hij beweerde dat hij een eenvoudig bewijs had voor de stelling dat het niet mogelijk is drie gehele positieve getallen x, y en z te vinden die voor n 3 voldoen aan: x n + y n = z n De kantlijn van het boek dat hij op dat moment aan het bestuderen was, was te klein voor het bewijs, zodat hij het er niet bij kon schrijven. Of Fermat werkelijk een bewijs had, zal altijd wel onduidelijk blijven, maar in de daarop volgende eeuwen hebben vele wiskundigen hun tanden stuk gebeten op het vinden van een bewijs. Pas in 1995 publiceerde Wiles een volledig bewijs van de stelling. Tegelijkertijd ontwikkelden wiskundigen wel grote gebieden van de getaltheorie. Veel van de resultaten daarvan zijn tegenwoordig toepasbaar binnen de informatica. OUN 25

20 Discrete wiskunde A Euler Gauss Aristoteles Leibniz Babbage Boole Vergelijkingen oplossen Logica Grafentheorie Zo spelen priemgetallen bijvoorbeeld een cruciale rol bij het beveiligen van computersystemen en communicatie. Eén van de resultaten die daarbij gebruikt wordt, is de zogenaamde stelling van Euler. Euler ( ) was één van de productiefste wiskundigen aller tijden en bewees zijn stelling in een tijd dat zoiets als computers of rekenmachines onvoorstelbaar waren. De beschikking over getallen maakte in de verre oudheid ontwikkelingen van handel mogelijk. Problemen die zich daarbij voordeden stimuleerden de ontwikkeling van de wiskunde. Zo moesten eenvoudige vergelijkingen opgelost kunnen worden die handelden over onderwerpen als de grondstoffen voor brood en bier, het voederen van dieren en het bewaren van graan. Toen al gebruikte men onbekenden in de vergelijkingen, zoals we ook nu nog een x als de onbekende kiezen, waarvan de waarde moest worden bepaald. Soortgelijke vergelijkingen spelen ook nu nog een uiterst belangrijke rol in talloze problemen die wiskundig opgelost moeten worden. Soms gaat het daarbij om duizenden onbekenden met duizenden vergelijkingen. Hoewel zulke problemen zoveel berekeningen vergen dat ze slechts met krachtige moderne computers zijn aan te pakken, is de theorie hoe dat moet in grote lijnen door Gauss ( ) ontwikkeld. Zijn methode en het oplossen van lineaire vergelijkingen in het algemeen komen aan bod in het blok over lineaire algebra in Discrete wiskunde B. Ook de logica, waarmee geprobeerd wordt redeneringen formeel weer te geven, heeft al een zeer lange geschiedenis. Hoogtepunten in de ontwikkeling worden bereikt door Aristoteles in de vierde eeuw voor Christus, rond 1200 in de periode van de Scholastiek en vanaf 1700 met Leibniz. Grote vooruitgang werd geboekt aan het eind van de negentiende en het begin van de twintigste eeuw. De logica heeft belangrijk bijgedragen aan een formele basis voor de wiskunde. Daarnaast vindt zij nu vele toepassingen in de informatica en zijn wiskundige bewijzen veelal in logische schema s onder te brengen. In blok 4 van deze cursus wordt daarom nader op de logica en bewijsmethoden ingegaan. Vele pogingen zijn ondernomen om formele redeneringen op een of andere manier automatisch uit te laten voeren. Dit leidde tot de ontwikkeling van zogenaamde redeneermachines. Een bekend voorbeeld is de redeneermachine van Babbage uit de negentiende eeuw. Deze vormde een eerste experiment uit een reeks die later tot de ontwikkeling van de computers uit onze tijd zou leiden. Vele onderdelen van moderne computers werken overeenkomstig regels zoals die indertijd door Boole zijn opgesteld. In een leereenheid over Boole-algebra s in Discrete wiskunde B komen deze regels nader aan bod. Niet alle onderdelen van de wiskunde hebben een even lange historie als de tot nu toe genoemde. De grafentheorie, waarin structuren worden bestudeerd gevormd door punten en lijnen daartussen (zoals bijvoorbeeld het kortste-routeprobleem in de eerste paragraaf van deze leereenheid), ontwikkelde zich vanaf de zeventiende eeuw. Veel zaken bleken goed gerepresenteerd te kunnen worden met grafen: wegen tussen steden, relaties tussen personen en dergelijke. De grafentheorie werd daardoor een nuttig hulpmiddel om problemen in zulke situaties te kunnen bestuderen en op te lossen en komt aan bod in blok OUN

21 Leereenheid 1 Wat is Discrete wiskunde? Laplace Cantor Russell Waarschijnlijkheidsrekening Verzamelingenleer Onderwerpen uit de continue wiskunde worden niet in deze cursus behandeld. Een ander onderwerp van de discrete wiskunde is de waarschijnlijkheidsrekening die haar oorsprong vond in ongeveer dezelfde tijd als de grafentheorie. De waarschijnlijkheidsrekening, zoals die ook nu nog wordt uitgeoefend, is voor een groot deel ontwikkeld door Laplace ( ). In zijn Essai philosophique des probabilités worden kansen berekend door uit te gaan van gebeurtenissen die met gelijke onzekerheid op zullen treden en door van die gebeurtenissen na te gaan welke gunstig zijn voor de te berekenen kans. Zo n aanpak wordt ook gevolgd in het blok over kansrekening in Discrete wiskunde B, waarbij gebruik wordt gemaakt van de resultaten uit de eveneens behandelde combinatoriek. Alle onderwerpen die tot nu toe genoemd zijn, lijken zich nogal onafhankelijk van elkaar te hebben ontwikkeld. Tot op zekere hoogte is dat ook zo. Het was eigenlijk pas aan het einde van de negentiende eeuw dat werd onderkend dat de meeste wiskundige onderwerpen een gezamenlijke basis hebben in de verzamelingenleer. De ontwikkeling van de verzamelingenleer, waaraan Cantor ( ) en Russell ( ) belangrijk bijdroegen, ging niet zonder slag of stoot. Er kwamen fundamentele problemen naar voren die pas in de tientallen jaren daarna afdoende werden opgelost. Ook de logica kwam daarbij in een nieuw daglicht te staan. Veel onderwerpen uit de discrete wiskunde maken direct en expliciet gebruik van resultaten uit de verzamelingenleer. Vandaar dat in de tweede leereenheid van dit blok een aantal basisbegrippen wordt behandeld die voorkennis zijn voor de overige blokken. Daarnaast wordt in blok 3 en in het blok Structuren op verzamelingen in Discrete wiskunde B nog dieper ingegaan op vele aspecten en toepassingen van de verzamelingen en de structuren die in verschillende verzamelingen zijn te ontdekken. De verzamelingenleer is daarmee een centraal onderwerp in de discrete wiskunde. Hier sluiten we dit overzicht af van enkele onderwerpen van de discrete wiskunde door de eeuwen heen. We hopen dat het u een, zij het beknopt, beeld heeft gegeven van de lange geschiedenis van de discrete wiskunde, maar ook van de vele toepassingen en ontwikkelingen die zij tot op de dag van vandaag heeft. Niet vermeld hier zijn de onderwerpen uit de continue wiskunde. Daartoe kunnen onderwerpen gerekend worden als de functies op de reële getallen, zoals de logaritmische, exponentiële en goniometrische functies, de differentiaal- en integraalrekening, differentiaalvergelijkingen, enzovoort. Deze onderwerpen zijn vooral tot ontwikkeling gekomen vanaf de zeventiende eeuw, gestimuleerd door ontdekkingen in de sterrenkunde en met grote gevolgen voor de ontwikkelingen in wetenschap, techniek en samenleving. In andere cursussen van de Open Universiteit wordt aandacht besteed aan deze onderwerpen uit de continue wiskunde. OUN 27