Vlaamse Wiskunde Olympiade 990-99: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een offiiële foreign oordinator voor de welekende AHSME-ompetitie (Amerian High Shool Mathematis Examination - USA en Canada) De 0 meerkeuzevragen van de tweede ronde van VWO zijn een vertaling van de AHSME vragen Ook het quoteringssysteem van AHSME wordt overgenomen Dit werkt als volgt: 0 punten voor een foutief antwoord, punten voor een lano antwoord en punten voor een orret antwoord De voorziene antwoordduur is 90 minuten De prolemen Als we voor elk drietal vershillende getallen a, en a,, definiëren als dan is,, gelijk aan a,, = + a (C) 4 = 7 0,4 (C) + (4 ) = (C) 4 Welke van de volgende driehoeken kan niet estaan? (C) Een sherphoekige gelijkenige driehoek Een rehthoekige gelijkenige driehoek Een stomphoekige rehthoekige driehoek Een ongelijkzijdige rehthoekige driehoek Een stomphoekige ongelijkzijdige driehoek 0 Committee on the Amerian Mathematis Competitions, Mathematial Assoiation of Ameria, 99
De figuur toont een veelhoek in de vorm van een pijl In deze veelhoek zijn de hoeken in de hoekpunten a,, d, e en f rehte hoeken; verder is = fg =, d = fe = 0, de = 0 en a = ag De oppervlakte van deze veelhoek wordt het est enaderd door 88 9 (C) 94 97 00 a f g 0 0 d 0 e 6 Als x 0, dan is x x x = x x x 4 x (C) 8 x 8 x 8 x 7 7 Als x = a a +, a en 0, dan is a = x x + x + x (C) x x x + x 8 Vloeistof X mengt zih niet met water Tenzij gehinderd, spreidt zij zih op het wateroppervlak uit en vormt ze een shijfvormige (irkelvormige) film van 0, m dikte Een rehthoekige doos met afmetingen 6 m, m en m wordt gevuld met vloeistof X Daarna laat men de inhoud van deze doos op een groot wateroppervlak uitstromen Wat zal de straal zijn, uitgedrukt in m, van de shijfvormige film die zih zal vormen? 6 6 (C) 60 6 60 9 Van tijd t = 0 tot tijd t = groeide een evolking aan met i%, en van tijd t = tot tijd t = groeide die evolking aan met j% Met hoeveel % groeide die evolking dan aan van tijd t = 0 tot tijd t =? (i + j)% ij% (C) (i + ij)% (i + j + ij )% 00 i + j (i + j + 00 )% 0 Het punt p ligt op afstand 9 van het middelpunt van een irkel met straal Hoeveel vershillende koorden van deze irkel evatten p en heen een geheel getal als lengte? (C) 4 9
Jan en Els lopen 0 kilometer Ze starten op een zelfde punt, lopen eerst kilometer naar de top van een heuvel en keren dan langs dezelfde weg naar hun startpunt terug Jan start met een voorsprong van 0 minuten en loopt met een snelheid van km/uur ergopwaarts en met een snelheid van 0 km/uur ergafwaarts Els loopt met een snelheid van 6 km/uur ergopwaarts en met een snelheid van km/uur ergafwaarts Hoever zijn zij van de top van de heuvel wanneer zij elkaar al lopende in tegengestelde rihtingen ontmoeten? 4 km 7 km (C) 7 0 km 7 km 8 9 km De maatgetallen (in graden) van de innenhoeken van een onvexe zeshoek vormen een rekenkundige rij van positieve gehele getallen Stel dat de grootste van die hoeken m meet Wat is dan de grootst mogelijke waarde van m? 6 67 (C) 70 7 79 In een wedren tussen de drie paarden X, Y en Z zijn ex-aequo s niet mogelijk In de weddenshappen staat de kans dat X niet wint -tegen- genoteerd en de kans dat Y niet wint staat -tegen- genoteerd Hoe staat de kans dat Z niet wint dan genoteerd? ( de kans dat H niet wint staat p-tegen-q genoteerd, etekent dat de kans dat H wint q gelijk is aan p + q ) -tegen-0 -tegen-6 (C) 8-tegen- 7-tegen- 0-tegen- 4 Als x de derdemaht is van een strikt positief geheel getal en d is het aantal strikt positieve gehele getallen die deler zijn van x, dan kan d gelijk zijn aan 00 0 (C) 0 0 04 Rond een irkelvormige tafel staan preies 60 stoelen Aan deze tafel zijn N personen aangezeten op zo n wijze dat de volgende persoon die gaat zitten, zeker naast iemand moet aanzitten Geef de kleinst mogelijke waarde van N 0 (C) 0 40 8
6 Vorig jaar namen 00 leerlingen van het Eeuwfeestinstituut deel aan de Vlaamse Wiskunde Olympiade Hun gemiddelde sore was 00 Het aantal niet-zesdejaars dat deelnam was 0% groter dan het aantal zesdejaars en de gemiddelde sore van de zesdejaars was 0% hoger dan die van de niet-zesdejaars Wat was de gemiddelde sore van de zesdejaars 00, (C) 0 0 7 Een strikt positief geheel getal N noemt men een palindroom als het gelijk is aan het getal dat men ekomt door de volgorde van zijn ijfers om te keren Is het ovendien een priemgetal, dan noemt men het een priempalindroom Het jaartal 99 is het enige in deze eeuw dat de volgende twee eigenshappen heeft: (a) het is een palindroom () het ontindt zih als produkt van een priempalindroom met twee ijfers en een priempalindroom met drie ijfers Hoeveel jaartallen in het millenium van het jaar 000 tot het jaar 000 ( met inegrip van 99) heen deze twee eigenshappen? (C) 4 8 Als S staat voor de verzameling van de punten z in het omplexe vlak waarvoor (+4i)z een reëel getal is, dan is S een rehthoekige driehoek een irkel (C) een hyperool een rehte een paraool 9 Driehoek a heeft een rehte hoek in a = en = 4 Driehoek ad heeft een rehte hoek in a en verder is ad = De punten en d liggen aan vershillende kanten van de rehte a De rehte door d en evenwijdig met de rehte a snijdt de rehte in het punt e Als de d = m, waar m en n onderling ondeelare strikt positieve gehele n getallen zijn, dan is m + n = a d e 8 (C) 4 6 4
0 De som van alle reële getallen x waarvoor ( x 4) + (4 x ) = (4 x + x 6) is gelijk aan / (C) / 7/ x Als f( x ) = x voor alle x 0, en als 0 < θ <, dan is f(se θ) gelijk aan sin θ os θ (C) tg θ otg θ ose θ Twee irkels raken elkaar uitwendig De rehten pa en pa zijn gemeenshappelijke raaklijnen van eide irkels, waarij a en a op de kleinere irkel en en op de grotere irkel liggen Bepaal de oppervlakte van de kleinere irkel als je weet dat pa = a = 4,44 (C),6 8 4 a p a Als ad een ( ) vierkant is, e het midden van [a], f het midden van [], [af] en [de] elkaar snijden in i en [d] en [af] elkaar snijden in h, dan is de oppervlakte van de vierhoek eih gelijk aan a e i d (C) 7 h 8 f 4 De grafiek, G, van y = log 0 x wordt over een hoek van 90 in tegenwijzerzin geroteerd rond de oorsprong Zo ekomt men een nieuwe grafiek G Welke van de volgende vergelijkingen is een vergelijking voor G? y = log 0 ( x + 90 ) y = 9 logx 0 (C) y = x + y = 0 x y = 0 x
Zij T n = + + + + n en P n = T T T T T 4 T 4 T n T n Welke van de volgende waarden enadert dan het est P 99? voor n =,, 4,,0, (C),6,9, 6 Een strikt positief geheel getal met n ijfers noemt men snoezig als zijn ijfers een hershikking van de verzameling {,,, n} zijn en als zijn eerste k ijfers telkens een getal vormen dat deelaar is door k (voor k =,,, n) Zo is ijvooreeld een snoezig getal van ijfers, want deelt, deelt en deelt Hoeveel snoezige getallen van 6 ijfers zijn er? 0 (C) 4 7 Als x + x + x x = 0 dan is x + x 4 + x + x 4,0 0 (C),00 6, 400 8 In een urne zitten om te eginnen 00 zwarte en 00 witte knikkers Men neemt nu telkens knikkers uit die urne weg en vervangt ze met knikkers uit een afzonderlijke voorraad, volgens het volgende patroon: WEGGENOMEN KNIKKERS - WORDEN VERVANGEN DOOR zwarte - zwarte zwarte, witte - zwarte, witte zwarte, witte - witte witte - zwarte, witte Welke van de onderstaande knikker-verzamelingen kan op het einde, wanneer men de proedure hieroven vershillende keren heeft toegepast, de inhoud uitmaken van de urne? zwarte knikkers witte knikkers (C) zwarte knikker zwarte knikker en witte knikker witte knikker 6
9 Een gelijkzijdige driehoek a werd geplooid zó dat hoekpunt a op het punt a van lijnstuk [] terehtgekomen is Als a = en a =, dan is de lengte van de vouwlijn [pq] gelijk aan 8 8 7 + (C) 0 a p a q 0 Voor een verzameling V noteren we V voor het aantal elementen van V en n(v ) voor het aantal deelverzamelingen van V (de lege verzameling en V zelf inegrepen) Stel nu dat A, B en C verzamelingen zijn waarvoor n + n + n(c) = n(a B C) en A = B = 00, wat is dan de kleinst mogelijke waarde van A B C? 96 97 (C) 98 99 00 7