Inleiding Digitale Techniek Week 3 Schakelalgebra, waarheidtabellen, Karnaugh, (de)mu Jee op den Brouw INLDIG/25-26
Schakelalgebra Schakelalgebra i de wikunde waarmee digitale chakelingen ontworpen kunnen worden. Het i gebaeerd op de Boole-algebra (Boole, 854) en i du ruim 5 jaar oud. Boole onderocht de wikunde van veramelingen. In 937 toonde Shannon* aan dat de tweewaardige Boole-algebra gebruikt kon worden bij het analeren en ontwerpen van contactchakelingen (relai). * A Smbolic Anali o Rela and Switching Circuit 2
Schakelalgebra De chakelalgebra betaat uit: Variabelen: a, Z, X, open,... Contanten:, Operatoren = (i gelijk aan). (AND) + (OR), (NOT, overbar) Haakje: ( ) o { } o [ ] 3
Schakelalgebra Bij peciicatie van digitale chakelingen wordt gebruik gemaakt van propoitie. Een propoitie i een bewering o uitpraak die alleen met waar o niet waar kan worden beantwoord. waar wordt weergegeven door en niet waar wordt weergegeven door. Dit ijn de waarheidwaarden van de chakelalgebra. 4
Schakelalgebra Een propoitie kan ijn: A: de temperatuur i hoger dan 25 C. Een andere i: B: het i droog. Het kan ijn dat het 3 C i en het i niet droog. A i dan gelijk aan en B i gelijk aan. 5
Schakelalgebra Zo kan gechreven worden A: de temperatuur i hoger dan 25 C. al A = (al de temperatuur i hoger dan 25 C) De andere: B: het i droog. al B = (al het regent) A en B worden logiche variabelen o kortweg variabelen genoemd. 6
Schakelalgebra De chakelalgebra i gebaeerd op de volgende rekenregel voor contanten: = + = = + = = + = = + = Daarnaat geldt: = al = al nb: dit ijn de aioma (niet te bewijen grondtelling) van de chakelalgebra. 7
Schakelalgebra Hoe wordt de volgende unctie uitgewerkt? a ( b c) Prioriteitvolgorde: Haakje NOT AND OR 8
9 Schakelalgebra Du: Eert uitwerken dan met de uitkomt van boven uitwerken ( ) daarna met de uitkomt van boven uitwerken ( ) Gegeven dat a=, b= en c= dan i de uitkomt ( c) b a c b c b ( c) b a a () ) ( c b a c b c
Opgaven Gegeven dat a=, b= en c=. Werk de volgende unctie uit. De waarde van d i niet gegeven. )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( a c d c b d c b a c b b a
Schakelalgebra Om de chakelalgebra enige meerwaarde te geven ijn er nog al wat theorema *): Commutatieve wetten Aociatieve wetten Ditributieve wetten ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( *) telling o uitpraak die a te leiden i met behulp van een verameling aioma` en reed eerder ageleide tellingen
Schakelalgebra Gelijkheidwetten Negatiewetten Moduluwetten 2
3 Schakelalgebra Aborptiewetten ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
Schakelalgebra De Morgan Subtitutie a b c d a b c d 4
Noot over NOT In boeken en computertalen worden verchillende varianten van NOT gebruikt. Overbar Prime Negation Bang! Voorbeelden ' ' ( ' ' )' ( ) 5
Waarheidtabel De meet baale weergave van een logiche unctie i de waarheidtabel. Gegeven i de algemene opbouw van een waarheidtabel, in dit geval voor drie variabelen. De rijen ijn volgen de normale binaire telcode oplopend genummerd. De variabelen t/m 7 ijn de bijbehorende unctiewaarden. 2 3 4 5 6 7 6
Waarheidtabel Elke regel levert een bijdrage aan de unctie. De eerte regel leet al volgt: al,, 2 3 De bijdrage van dee regel aan de unctie i: 4 5 6 De overige regel op vergelijkbare wije. 7 7
8 Minterm De unctie kan gechreven worden al: De termen t/m worden mintermen genoemd. Mintermen ijn producttermen waarin alle variabelen o een invere (maar niet beide tegelijkertijd) voorkomen. 7 6 5 4 3 2
9 Som van mintermen Mintermen worden doorgaan agekort door een m met een inde. Zo i de minterm die hoort bij gelijk aan m en gelijk aan m 7. De unctie kan du ook gechreven worden al: De vorm van dee unctie wordt de om van mintermen genoemd. Dit i één van de twee tandaardvormen. 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 m m m m m m m m
Standaardvorm Gegeven i de waarheidtabel recht. De unctie kan gechreven worden al: m m... m6 m7 O gewoon: m O nog neller: m3 m5 m6 m7 m(,3,5,6,7 ) 2
2 Materm De unctie kan gechreven worden al: De termen t/m worden matermen genoemd. Matermen ijn omtermen waarin alle variabelen o een invere (maar niet beide tegelijkertijd) voorkomen. 7 6 5 4 3 2
22 Product van matermen Matermen worden doorgaan agekort door een M met een inde. Zo i de materm die hoort bij gelijk aan M en gelijk aan M 7. De unctie kan du ook gechreven worden al: De vorm van dee unctie wordt de product van matermen genoemd. Dit i één van de twee tandaardvormen. 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 M M M M M M M M
Standaardvorm Gegeven i de waarheidtabel recht. De unctie kan gechreven worden al: O gewoon: O nog neller: M M... M M M 6 7 M2 M4 M(,2,4) 23
24 Verband minterm en materm Met behulp van de tellingen van De Morgan i aan te tonen dat mintermen en matermen aan elkaar verwant ijn. Al voorbeeld een unctie met twee variabelen: De inverie unctie kan eenvoudig gemaakt worden door alle unctiewaarden te inverteren: Natuurlijk geldt: 3 3 2 2 m m m m 3 3 2 2 m m m m
25 Verband minterm en materm Door De Morgan twee keer toe te paen krijgen we: Hieruit volgt dat: 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 M M M M m m m m m m m m m m m m 3 3... M m M m
Don t care Het kan ijn dat bepaalde unctiewaarden niet gepeciiceerd ijn. Zo n unctiewaarde heet don t care. Don t care komen voort uit het eit dat bepaalde uitgangwaarden niet intereant ijn. Don t care komen voort uit het eit dat bepaalde ingangcombinatie nooit voorkomen (can t happen). Don t care worden weergegeven door een (minu). Andere repreentatie:, d 26
Don t care Gegeven ondertaande waarheidtabel. De unctie wordt al volgt genoteerd: m( 2,3) d() Don t care betaan alleen bij de peciicatie van een unctie, niet bij de realiatie van een unctie. - Bij realiatie worden e omgeet in een o. 27
Opgaven Laat ien dat de regel klopt. Laat ien dat de regel klopt. Gegeven de unctie: ( ) Bepaal de mintermvorm van dee unctie. Bepaal de waarheidtabel van dee unctie. Gegeven een unctie van drie variabelen waarvoor geldt dat de unctie voor = en = don t care i en dat de unctie een geet al = terwijl =. Gee de waarheidtabel. 28
Vereenvoudigen Het i mogelijk om met behulp van de chakelalgebra unctie te bewerken. Meetal wordt geocht naar de eenvoudigte vorm, de vorm die het minte aantal operatie en variabelen bevat. Maar het kan ook ijn de vorm wordt geocht die het eenvoudigt abeeldbaar i op poorten o tranitoren op IC. Voor alnog wordt de eerte deinitie gehanteerd. 29
3 Vereenvoudigen Al voorbeeld wordt de volgende unctie vereenvoudigd: De unctie Commutatieve wet Ditributieve wet Negatiewet Moduluwet Commutatieve wet Aborbtiewet ( )
3 Vereenvoudigen Door een etra term toe te voegen gaat het makkelijker: De unctie Gelijkheidwet Commutatieve wet Ditributieve wet Negatiewet Moduluwet Commutatieve wet ) ( ) (
Karnaughdiagrammen Het vereenvoudigen van chakelunctie i een latige beigheid. Het vereit kenni van alle wetten en regel. Er moet veel ervaring worden opgedaan (lee: oeenen). Een limmere methode i het gebruik van Karnaughdiagrammen. In dee lide wordt gebruik gemaakt van de amerikaane variant (er i ook een variant die in nederlande boeken wordt gebruikt). 32
Karnaughdiagrammen Oorpronkelijk bedacht door Veitch (952), later verbeterd door Karnaugh (953). Het i een viueel hulpmiddel om unctie te vereenvoudigen. Het i een graiche voortelling van een waarheidtabel, verwant aan Venn-diagrammen. Gebaeerd op de veel gebruikte vereenvoudigingen: ( term) ( term) ( term) ( term) term term Levert een om van producten op. 33
Twee variabelen Recht i gegeven de waarheidtabel en het Karnaughdiagram voor twee variabelen. Het Karnaughdiagram betaat uit hokje, één voor elke unctiewaarde. Horiontaal worden de waarden van a bij de hokje gechreven (rode ovaal). a b 2 3 a b Vertikaal worden de waarden van b bij de hokje gechreven (blauwe ovaal). 2 3 34
Twee variabelen Elk hokje vertegenwoordigt du een amentelling van a en b (minterm). Horiontaal en vertikaal geplaatte hokje verchillen precie in één variabele. De unctie van a en b: a b 2 3 a b a b m(2,3) m(,3) a b m(,) m(,2) 2 3 35
Voorbeeld met twee variabelen Recht i een waarheidtabel van een unctie gegeven. (Dit i natuurlijk de unctie van een OR). Het invullen gaat al volgt. Begin bij en werk door naar 3. Het reultaat i een -patroon. a b a b 36
Voorbeeld met twee variabelen Nu kunnen a en b gevonden worden. Omrand de -en die bij a horen. a b Omrand de -en die bij b horen. De unctie i a b Merk op dat één unctiewaarde (minterm) twee keer omrand i. 37
Karnaughdiagrammen Hieronder i een waarheidtabel en een Karnaughdiagram gegeven voor drie variabelen. a b c ab c 2 3 4 5 6 7 2 6 4 3 7 5 38
Karnaughdiagrammen Het gebieden van a en b wordt nu uitgebreid en komt een nieuwe variabele c bij. Let ook op de verdeling van de unctiewaarden. ab c 2 6 4 3 7 5 Het rode gebied i waar a logich i. Het groene gebied i waar b logich i. Het blauwe gebied i waar c logich i. 39
Karnaughdiagrammen Het invullen gaat eenvoudig. Voor unctiewaarden t/m 3 i dat hetelde al bij twee variabelen. Functiewaarden 4 t/m 7 moeten gepiegeld worden ingevuld. ab c 2 6 4 3 7 5 Merk op dat de linkerrand (, ) vatit aan de rechterrand ( 4, 5 ). Dit i een van de eigenaardigheden van Karnaughdiagrammen. (, (, 4 5 ) b c ) b c 4
Karnaughdiagrammen Hiernaat i een Karnaughdiagram gegeven voor een unctie. ab c De bij 3 wordt omringd met nullen, het kan alleen amen genomen worden met 7. De bij 5 wordt omringd met nullen, het kan alleen amen genomen worden met 7. De bij 6 wordt omringd met nullen, het kan alleen amen genomen worden met 7. 4
Karnaughdiagrammen De omranding i al volgt: De groene omranding levert a b ab c De blauwe omranding levert a c De rode omranding levert b c De totale unctie i a b a c b c 42
Karnaughdiagrammen Gegeven het Karnaughdiagram De rode omranding levert a b ab c De groene omranding levert b c De blauwe omranding levert a c De totale unctie i a b a c b c 43
Karnaughdiagrammen Gegeven hetelde Karnaughdiagram De rode omranding levert a c ab c De groene omranding levert a b De blauwe omranding levert b c De totale unctie i a b a c b c 44
Karnaughdiagrammen Du dee twee oploingen geven beide de eenvoudigte unctie. Het geheel kan al volgt genoteerd worden: ab c a b a b a c a c c c b b ab c In de praktijk wordt één van de twee unctie gekoen. 45
Opgaven Probeer el op te loen: ab c ab c ab c 46
Opgaven Gegeven de unctie,, a, b, c 2,, m(,,2,6) m(,3,5,6,7) m(,3,7) d(,2) Stel de Karnaughdiagrammen op en gee de unctie. Teken de bijbehorende chakelingen met NOT, AND en OR. Ontwerp een majorit gate. Dit i een chakeling met drie ingangen en één uitgang. De uitgang i al de meerderheid van de ingangen i, ander i de uitgang. 47
Karnaughdiagrammen Hiernaat i een Karnaughdiagram voor vier variabelen gegeven. a b c d ab cd 2 3 4 2 8 4 5 5 3 9 6 7 8 3 7 5 9 2 6 4 2 3 4 48 5
Karnaughdiagrammen Let op dat de bovenrand vat it aan de onderrand en dat de linkerrand vat it aan de rechterrand (het i eigenlijk een toru). ab cd 4 2 8 5 3 9 Hieruit volgt dat de hoekpunten aan elkaar vatitten. 3 2 7 6 5 4 Du: (, 2, 8, ) a b c d a b c d a b c d a b c d ( a c a c a c a c) b d b d 49
Karnaughdiagrammen Gegeven het Karnaughdiagram aan de rechterkant. ab cd Voor het uitwerken van de unctie ijn vier termen nodig. De unctie i: c d a b c a b c a b c 5
Voorbeeld Een BCD-cijer wordt weergegeven met vier bit. Tien combinatie worden gebruikt, e combinatie niet. We willen nu een unctie bepalen die aangeet dat het BCD-cijer de waarde 9 heet. De unctie MOET een logiche geven al combinatie (minterm 9) wordt aangeboden. Aangeien de combinatie t/m niet voorkomen, kunnen dee ingevuld worden al don t care. De unctie in canonieke vorm i: i9 m(9) d(,,2,3,4,5) 5
Voorbeeld Gegeven het Karnaughdiagram voor de i-9-detector aan de rechterkant. 3 2 i9 Er i lecht één, omringd door don t care. - De unctie i logich waar 3 i logich en i logich du: - - - i9 3 - - 52
Regel Karnaughdiagrammen Regel voor het oploen van Karnaughdiagrammen: Zo weinig mogelijke groepen -en maken. Zo groot mogelijke groepen -en maken. Altijd groepen -en bij elkaar nemen in machten van 2 (, 2, 4, 8, etc). Groepen moeten alleen rechthoeken en vierkanten vormen. Groepen mogen elkaar overlappen. 53
Regel Karnaughdiagrammen Echter: Begin met ielige ééntje (-en die omringd worden door -en). En: Diagonaal geplaatte -en kunnen niet amengenomen worden (EXOR!). Don t care kunnen meegenomen worden in de omrandingen al de chakelunctie hierdoor eenvoudiger wordt. Geen groepen met alleen don t care! 54
Opgaven Probeer el: ab cd 2 3 4 A - - - - - - 55
Opgaven Probeer el: ab cd 2 3 4 A - - - - 56
Multipleer Een multipleer i een digitale component die data op één van de dataingangen doorgeet aan de data-uitgang onder beturing van één o meerdere beturingingangen. Dee component wordt gebruikt wanneer verchillende bronnen data kunnen leveren aan één doel. De multipleer komt voor in onder andere microproceor en router. Aan bod komen een 2-, een 4- en een 8 multipleer. Multipleer pelen een belangrijke rol bij Shannon-decompoitie. 57
Multipleer Eert de 2-multipleer. Hiernaat i de waarheidtabel gegeven. De uitgang volgt i al = en volgt i al =. Invullen in een Karnaughdiagram en unctie uitwerken: i i i i i i 58
Multipleer Het chema van de 2-multipleer i i & & i i MUX 2 59
Multipleer Een 2-multipleer heet drie ingangen: één beturingingang en twee data-ingangen. Een 4- multipleer heet twee beturingingangen en vier dataingangen. Een 8- multipleer heet drie beturingingangen en acht dataingangen. Het optellen van een waarheidtabel voor een 4- en een 8- multipleer levert veel problemen op. 6
Multipleer De tructuur van een multipleer i echter erg eenvoudig. Handiger i om een unctietabel op te tellen. Hierin worden niet de uitgangen in -en en -en bechreven, maar komt de unctie te taan: De unctie wordt: i i i 2 i 3 i i i2 i3 6
Multipleer Het chema van een 4 multipleer i i i 2 MUX 4 i 3 i & i & & i 2 & i 3 62
Multipleer Slimmer i de regelmatige tructuur van de 4-multipleer te gebruiken: i mu 2 i mu 2 i i i 2 mu 2 i 2 i 3 i 3 63
Multipleer Recht i de unctietabel van een 8- multipleer, hieronder het chema met 2- multipleer. 2 i i i i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i 7 mu 2 mu 2 mu 2 mu 2 mu 2 mu 2 mu 2 2 i i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i 7 64
Multipleer Een multipleer kan gebruikt worden om een logiche chakeling te maken (denk aan de om van mintermen). a b c S 2 8 mu 3 4 5 6 7 2 S a b c 65
Opgaven Gegeven twee 4 multipleer. Dee worden aangeloten volgen ondertaand chema. Bepaal de waarheidtabellen. X X X X 3 mu 4 S X X 3 mu 4 C Y Z Y Z 66
Demultipleer Een demultipleer i het omgekeerde van een multipleer. Bij het aanbieden van een binaire codecombinatie wordt eact één uitgang actie. Het decodeert mintermen. & & out out out out out out 2 3 S S S S S S S S in in in in & out 2 in & out 3 67
Literatuur Fundamental o Digital Logic with VHDL Deign 3 rd Ed, S. Brown e.a. Contemporar Logic Deign 2nd Ed, R.H. Kat e.a. Digitale Techniek Deel I, 5 e druk, A.P. Thijen e.a. Shannon originele thei (met Shannon-decompoitie): http://www.c.virginia.edu/~robin/shannon_ms_thei.pd Regel voor uitwerken Karnaughdiagrammen: http://www.ee.urre.ac.uk/project/labview/minimiation/karrule.html 68
Alternatieve vorm Er i een alternatieve vorm mogelijk. De coderingen aan de randen worden dan vervangen door trepen met de bijbehorende variabele. Waar een treep taat i de bijbehorende variablele in de minterm. Het ontbreken van een treep geet aan waar de bijbehorende variabele i in de minterm. Dee vorm komt voor in veel nederlandtalige boeken. 2 3 2 3 69
Alternatieve vorm Hieronder ijn de Karnaughdiagrammen gegeven voor drie en vier variabelen. 5 4 5 4 2 3 7 6 2 3 7 6 5 4 w 8 9 3 2 7
Opgaven Probeer el op te loen: 7
De Haage Hogechool, Delt +3-5-2663 J.E.J.opdenBrouw@hh.nl www.dehaagehogechool.nl