Voorkennis V-1a = 180 80 35 = 65 E = 360 90 90 10 = 78 J = 360 107 73 107 = 73 De tegenover elkaar liggende hoeken van deze vierhoek zijn gelijk, dus deze vierhoek is een parallellogram. V-a V-3a Figuur 1 is een gelijkzijdige driehoek. Figuur is een gelijkenige driehoek. Figuur 3 is een vierkant. Figuur 4 is een rehthoek. Figuur 5 is een ruit. Figuur 6 is een parallellogram. Figuur 7 is een vlieger. ls van een vierhoek de vier hoeken reht zijn, is de vierhoek een rehthoek. Dat geldt ook voor een vierkant. ls van een vierhoek ovendien de vier zijden even lang zijn, is de vierhoek een vierkant. Dat geldt niet voor een rehthoek. De hoeken vormen een F-figuur, omdat de lijnen m en n evenwijdig zijn. De hoeken vormen een Z-figuur. 1 = 3 want het zijn overstaande hoeken. V-4a Omdat K evenwijdig is aan N, vormen deze twee hoeken een Z-figuur. Omdat K evenwijdig is aan N, vormen deze twee hoeken een F-figuur. K = N 3 (zie opdraht ) 1 = (F-figuur) L zit in eide driehoeken Dus van de driehoeken KL en NL zijn de overeenkomstige hoeken even groot. De driehoeken zijn dan gelijkvormig. d De oppervlakte is (6 + 1) 1 : = 108 m. e KN = 18 m, NL = 1 m, dus de fator waarmee KL is vermenigvuldigd is 1 : 18 =. 3 De oppervlakte van NL is 108 48 f tan K = N dus tan = = KN K 1 6 K = tan 1 ( ) 63 ( ) = m. g N 3 = K dus N 3 = 63 N 1 = 90 dus N = 180 90 63 = 7 Omdat LN = N is L =. Verder is N 3 = 90, dus is = (180 90 ) : = 45. Dus is 1 = 180 45 7 = 108. 3 147
148 V-5a Je moet met 9: 6= 15, vermenigvuldigen. Overeenkomstige zijden zijn Q en L, QR en N, KR en KN en tot slot K en KL. De fator is 1,5. QR = 1 : 1,5 = 8 m KR = 15 : 1,5 = 10 m K = 5 : 1,5 = 3 1 m. 3 d = L, Q =, R = N en K = K e De lijnen L en Q vormen samen met de lijn KL een F-figuur, omdat de hoeken en L even groot zijn. V-6a Doordat DE evenwijdig is met zijn de hoeken D en even groot (F-figuur), evenals de hoeken E en (F-figuur). Hoek zit in eide driehoeken. Omdat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn, zijn de twee driehoeken gelijkvormig. Omdat E = 5 m en = 10 + 5 = 15 m is de vergrotingsfator is 15 : 5 = 3. = 3 4 = 1 m, dus D = 1 4 = 8 m. = 3 4,5 = 13,5 m. In de figuur zie je twee Z-figuren, waardoor de hoeken DE en E even groot zijn, evenals de hoeken ED en D. Hoek S is in eide driehoeken ook even groot (overstaande hoeken). Omdat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn, zijn de twee driehoeken gelijkvormig. d De fator is 4,5 : 13,5 = 1. 3 1a d a d e 11-1 Eigenshappen en definities De eigenshappen 1,, 4 en 6 horen ij een rehthoek. Een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden even lang zijn kan ook een parallellogram zijn (en een parallellogram is geen rehthoek). Nee, dat lukt niet. Eigenshap 1 geldt ook voor een vierkant. Eigenshap 6 geldt ook voor een ruit, een parallellogram en een vierkant. De eigenshappen 1,, 4 en 6 gelden ook voor een vierkant. De zijden van een vierkant zijn allemaal even lang. De diagonalen van een vierkant staan loodreht op elkaar. Een vierkant heeft alle eigenshappen van een rehthoek, maar een rehthoek heeft niet alle eigenshappen van een vierkant.
3a 4a d 5a 6a 7a De diagonalen moeten loodreht op elkaar staan en één diagonaal moet de andere diagonaal middendoor delen. Dat klopt niet. De ewering geldt ook voor een parallellogram en een parallellogram is geen vlieger. ls je in de ewering opneemt dat aangrenzende zijden twee aan twee even lang zijn, klopt de ewering wel. Je legt daarmee niet vast dat alle zijden even lang zijn. Het kan dus ook een rehthoek zijn. Eigenshap legt niet vast dat de vier hoeken 90 zijn. Het kan dus ook een ruit zijn. Een vierhoek waarvan de vier zijden even lang zijn en loodreht op elkaar staan is een vierkant. Dat is de definitie van een parallellogram. Elke vierhoek waarvan de vier hoeken 90 zijn is een rehthoek. Frits heeft gelijk. ls van een vierhoek de diagonalen elkaar middendoor delen is de vierhoek een parallellogram. Een ruit heeft ook deze eigenshap, dus is een ruit ook een parallellogram. ij een ruit staan de diagonalen ehter ook nog loodreht op elkaar. Dat is ij een parallellogram niet altijd zo. Een parallellogram hoeft dus geen ruit te zijn. Definitie 1 hoort ij een gelijkenige driehoek. Definitie hoort ij een gelijkzijdige driehoek. Definitie 3 hoort ij een ruit. Een vierhoek waarvan de diagonalen loodreht op elkaar staan, elkaar middendoor delen en even lang zijn, is een vierkant. 11- ewijzen v v De hoek tussen de deellijnen is 90. - d De hoek is weer 90. e De hoek zal telkens 90 zijn. 149
150 8a Je mag verwahten dat die hoek 90 is. Dat geldt omdat de lijnen l en m deellijnen zijn en deellijnen delen de hoek preies middendoor. 1 + + 3 + 4 = 180 + + 3 + 3 = 180 dus ( + 3 ) = 180. d Uit opdraht volgt + 3 = 180 : = 90. Zonder de hoeken te meten he je eredeneerd dat 3 = 90. Dus geldt dat voor elke hoek in deze situatie. 9a ls een driehoek twee gelijke zijden heeft, zijn de hoeken tegenover die zijden gelijk. Door het spiegelen zijn ook de zijden KN en LN even lang als K en L. De vierhoek KLN heeft dus vier gelijke zijden en is daarmee een ruit. In een ruit zijn de tegenoverliggende zijden evenwijdig aan elkaar. Daardoor vormen de zijden K en LN samen met de lijn KL een Z-figuur. De hoeken in die Z-figuur zijn K 1 en L. Dus geldt K 1 = L. d Vanwege het spiegelen is L 1 = L. Omdat ook geldt K 1 = L (opdraht ) volgt hieruit K 1 = L 1. 10a Vanwege de evenwijdigheid van de tegenoverliggende zijden liggen de hoeken 1 en R 1 in een Z-figuur en zijn dus even groot. Hetzelfde geldt voor de hoeken en R. S // QR dus 1 = R 1 (Z-figuur) Q // SR dus = R (Z-figuur) 1 + = R 1 + R dus = R Q // RS dus Q 1 = S 1 (Z-figuur) QR // S dus Q = S (Z-figuur) Q 1 + Q = S 1 + S dus Q = S 11a d e 1a Het zijn de drie hoeken van. Omdat + + D = 180 (de drie hoeken van D) is 1 + + 1 + + + D = 180 + 180 = 360. Elke vierhoek kun je op deze manier verdelen in twee driehoeken. De vier hoeken van een vierhoek zijn dus altijd samen 180 = 360. E D De vijf hoeken van de vijfhoek DE zijn te verdelen in de hoeken van drie driehoeken. lle hoeken ij elkaar zijn dus 3 180 = 540. De n-hoek wordt in n driehoeken verdeeld. De n hoeken van de n-hoek zijn te verdelen in de hoeken van n driehoeken. De som van de hoeken is dus (n ) 180.
11 Stellingen 13a Omdat lijn m evenwijdig is met vormen de hoeken Z-figuren. De drie hoeken vormen samen een gestrekte hoek, dus 180. Omdat 1 = en 3 = he je ij opdraht aangetoond dat + + = 180, dus dat de drie hoeken van een driehoek samen 180 zijn. 14a De hoeken D 1 en D vormen samen een gestrekte hoek, dus 180. Er geldt: D 1 + D = 180, dus D = 180 D 1 = 180 a. In D geldt + D 1 + 1 = 180. Omdat D 1 = 180 a is + 180 a + 1 = 180. Dus is + 1 = a. Uit D = D volgt dat = 1, dus is = a : = 1 a. 15 In KL is K = 180 L. In LN is = 180 L N. Omdat = N (= 90 ) geldt dus dat K =. 16a 17a Omdat de lijnen DE en evenwijdig zijn, vormen E 1 en een F-figuur. Omdat ED een parallellogram is, is DE =. Omdat ook geldt D =, is dus D = DE, en daaruit volgt weer dat E =. Volgens opdraht a is = E 1 1 en dus is =. Teken in vierhoek D punt E op met D DE = D. Omdat driehoek ED gelijkenig is, is = DE. aar dan is ook = DE en dus DE evenwijdig met. Omdat E en D ook evenwijdig zijn is vierhoek ED een parallellogram. Dus is ED = en daarmee ook D =. E De hoeken vormen een Z-figuur. 1 = en omdat 1 = E 3 is ook E 3 =. Omdat D = D 3 is ook D = E 1. Dan is ook D = E. Omdat E 3 en eide gelijk zijn aan 1, geldt E 3 = en daarmee ook = E. D + = E + E, en dus D + =. 11-4 De stelling van Thales 18a ijvooreeld de plaatsen 1,, 3, 4 en 5 : 1 3 4 5 lle punten waarvoor = 90 liggen op een irkel. 151
19a/d 15 N De middelloodlijn van snijdt in punt N en in punt. Lijn N is evenwijdig met. De driehoeken N en zijn gelijkvormig, want de overeenkomstige hoeken zijn gelijk. De vergrotingsfator is want = N. Dan geldt dus ook =. Hieruit volgt dat het midden is van. ligt op de middelloodlijn van, dus geldt =. In opdraht he je aangetoond dat =. heeft gelijke afstanden tot, en. Deze punten liggen dus op een irkel met middelpunt. d Zie opdraht a. e 4 N 3 De hoeken zijn telkens 90. 1 f Voor elk punt op de irkel met middellijn geldt = 90. 0a In driehoek geldt: = = r (de definitie van een irkel) dus = = a (in een gelijkenige driehoek zijn twee hoeken gelijk). In driehoek geldt: = = r (de definitie van een irkel) = = (driehoek is gelijkenig) = a + (volgt uit opdraht a en ) In is + + = 180. Dus is a + + a + = 180. Uit (a + ) = 180 volgt a + = 180 : = 90, dus is = 90.
1a S ligt op de irkel met middellijn dus S = 90 (is al ewezen in opdraht 0). QS = 90 want de hoeken ij S vormen samen een gestrekte hoek. Q < 90 Immers Q = QS en omdat de drie hoeken in SQ samen 180 zijn, en één hoek al 90 is, zijn eide andere hoeken in SQ kleiner dan 90. d Omdat T op de irkel ligt met middellijn is RT = T = 90. Dan is RT < 90 en dus R > 90, want R + RT = 180. e ls R uiten de irkel ligt is R < 90, als R innen de irkel ligt is R > 90. He je dus een punt R waarvoor R = 90, dan kan het punt niet uiten, maar ook niet innen de irkel liggen. R ligt dan dus op de irkel. a/ S Q R S ligt op de irkel met middellijn R dus is volgens de stelling van Thales SR = 90. Zo is ook QR = 90. ligt op de irkel met middellijn QS, dus is QS = 90. Zo is ook QRS = 90. Vierhoek QRS heeft vier rehte hoeken en is daarmee een rehthoek. 11-5 Hoeken in een irkel 3a Hij ziet zowel Roo en Sjoerd als Sjoerd en Theo onder een hoek van 360 : 6 = 60. Roo en Valentijn ziet hij onder een hoek van 60 = 10. Valentijn en Theo ziet hij ook onder een hoek van 10. unten die op een irkel liggen met gelijke onderlinge afstand zie je vanuit het middelpunt onder dezelfde hoek. d Uwe ziet Roo en Sjoerd onder een hoek van 30 (vind je door te meten). Valentijn ziet Roo en Sjoerd ook onder een hoek van 30. e De hoek waaronder de oah de twee sporters ziet is twee keer zo groot als de hoek waaronder Theo ze ziet. 4a KL = 90 ; KL = 45 ; KL = 45 en KL = 45. KL is de helft van KL. Ook KL en KL zijn de helft van KL. /d - e Ook nu geldt weer dat KL twee keer zo groot is als KL, KL en KL. f ls de punten, K en L op de irkel liggen met middelpunt, dan is KL twee keer zo groot als KL. 153
154 5a Driehoek K is gelijkenig, dus is K = K = 40. Dan is K = 180 40 = 100. Omdat de hoeken ij samen een gestrekte hoek vormen, is KL = 180 100 = 80. Driehoek K is gelijkenig dus is K = K = a. Dan is K = 180 a = 180 a. Omdat de hoeken ij samen een gestrekte hoek vormen, is KL = 180 (180 a) = a. 6a K α β N L snijdt de irkel in punt N. Dan is volgens opdraht 5: KN = KN dus is KN = a. Zo is ook LN =. Dan is KL = a + = (a +) = KL. 7 K L N? Te ewijzen is: KL = KL. ligt uiten KL. Teken de middellijn N. Noem KL = a en L =. Volgens opdraht 5 is LN = LN = en ook KN = K = (a + ) = a +. Verder is KN = KL + LN =? +. Hieruit volgt dat KL = a = KL.
8a = 65, = 100, = 115 en D = 80 - is de omtrekshoek en D is de middelpuntshoek die op de oog D staat, dus is D =. d ij de omtrekshoek hoort de middelpuntshoek D, maar dan uitenom gemeten, dus meer dan 180. e De twee middelpuntshoeken D zijn samen 360. en zijn elk de helft van één van de middelpuntshoeken dus samen de helft van 360. Dus is + = 180. 11-6 Gemengde opdrahten 9a Er kunnen snijpunten samenvallen. Of er kunnen lijnen evenwijdig zijn. Het aantal wordt dan minder. De vijfde lijn kan elk van de vier andere lijnen een keer snijden, er komen dus maximaal vier snijpunten ij. In totaal maximaal tien snijpunten. Elk van de 5 lijnen kan maximaal 4 andere lijnen snijden, dat zou 5 4 = 600 snijpunten opleveren. aar dan is elk snijpunt twee keer geteld, dus moet er nog gedeeld worden door. d De formule is aantal = n (n 1) :. e Elk van de n lijnen kan maximaal n 1 lijnen snijden. Omdat elk snijpunt dan twee keer geteld is, moet je nog delen door. 30 Vierhoek QRS verdeel je in de rehthoek TURS en de driehoeken TS en UQR. Omdat de hoeken T en U eide reht zijn, vormen de twee driehoeken samen een driehoek met asis T + UQ en hoogte h. De oppervlakte van deze twee driehoeken samen is (T + UQ) h : of 0,5 h (T + UQ). De oppervlakte van rehthoek TURS is h SR. De totale oppervlakte is 0,5 h (T + UQ) + h SR of 0,5 h (T + UQ) + 0,5 h SR + 0,5 h SR of 0,5 h (T + UQ + SR + SR) of 0,5 h (T + UQ + TU + SR) want TU = SR, of 0,5 h (Q + SR) 31a De hoeken 1 en D 3 vormen een Z-figuur, dus is = D. Verder geldt 1 3 D + D = 180 want ze zijn samen een gestrekte hoek. Dus + D = 180. 3 1 De hoeken D en vormen samen een F-figuur, dus is D =. Verder geldt + 3 = 180 want ze zijn samen een gestrekte hoek. Dus geldt D + 3 = 180. 155
3a 33a 35a/ 156 De hoek met de stip is de helft van, de hoek met het open rondje de helft van D. Omdat + D= 180, zijn SD en SD samen de helft van 180, dus 90. Dan lijft er in driehoek SD voor S nog 90 over. Dus staan de deellijnen loodreht op elkaar. D k S T Q l Van vierhoek QST is S = 90, dat volgt uit opdraht a. Op dezelfde manier ewijs je dat = 90. Omdat + = 180, is Q + Q = 180 : = 90. Dus is Q = 180 90 = 90. Zo is ook T = 90. Dus is vierhoek QST een rehthoek. De hoek die de deellijn van hoek met S maakt is + 1. Omdat de deellijn loodreht staat op S geldt: + 1 = 90. Daaruit volgt = 90 1. S = 90 1 In S geldt: S = 180 ( S + S) S = 180 (90 1 + 90 1 ) S = 180 180 + 1 ( + ) S = 1 ( + ), dus is S het gemiddelde van en in. 34 Noem = α, dan is = (180 α) : oftewel = 90 1 α Dan is = 90 + = 90 + 90 1 α dus = 180 1. De loodlijn snijdt de koorde in het midden van. Zie opdraht a. De punten liggen op de irkel met middellijn. d Volgens de stelling van Thales geldt: ls = 90, dan ligt op de irkel met als middellijn. m n
T-1a Test jezelf Het is de definitie van een parallellogram. Een ruit is een figuur met vier even lange zijden. Een ruit is een figuur waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen en loodreht op elkaar staan. T- Omdat de hoeken ij R en de hoeken ij S gelijk zijn, zijn de hoeken en Q ook gelijk. Daarmee is SR gelijkvormig met QSR met fator 1. Hieruit volgt dat R = RQ en is dus QR gelijkenig. T-3a T-4a/ d FG = DG dus DFG = GDF FG = GE dus GFE = GEF Omdat DFG = GFE is dus GDF = GEF. DG = GE dus GDH = GEH. Dan is ook FDH = FEH. DHF is gelijkvormig met EFH dus DHF = EHF DHF + EHF = 180, dus DHF = 180 : = 90. D zijde 3 m = 3 = 4 = D 4 m 4 m kwadraat 9 16 + 5 3 m = 5 = 5 m. De straal is 5 : =,5 m. = 90, dus volgens de stelling van Thales ligt op een irkel met als middellijn. D = 90, is middellijn dus punt D ligt op de irkel. 157
158 T-5a HF = 90 HF is de helft van HF dus 0,5 90 = 45 HF = 45 want HF is de omtrekshoek die op dezelfde oog staat als de middelpuntshoek HF. d GE is de omtrekshoek die op dezelfde oog staat als E. E = 3 45 = 135 GE = 135 : = 67,5 T-6a De hoeken zijn 90 dus de hoeken zijn gelijk. De zijden zijn even lang dus met eenzelfde fator vermenigvuldigd. Nee, de zijden hoeven niet met dezelfde fator vermenigvuldigd te zijn. is gelijkvormig met QR en D is gelijkvormig met RS. De vliegers zijn dus gelijkvormig. T-7a KRL = 130 en KL = 50 Die hoeken zijn samen 130 + 50 =180. Er geldt KRL + KQL = 130 + 50 = 180. Het vermoeden is dat in een vierhoek met hoekpunten op een irkel de som van de overstaande hoeken 180 is. d/e Ja, het vermoeden gaat nu ook op. 1 Er geldt KL= en 1 = 1 1 1 dus KL+ KRL = + = 1 L 1 1 ( + ) = 360 = 180. 1 Q R 1 K