Interactief, probleemgeoriënteerd reken-wiskundeonderwijs Frans van Galen & Barbara van Amerom FIsme, Universiteit Utrecht Project TienVeertien Workshop Panamaconferentie, 21 januari 2009
Waarom is een spekkie zoeter dan een Mars? Als voorbeeld van een goede reken-wiskundeles bespreken we een les over de vraag waarom een spekkie zoeter is dan een Mars. De leerkracht, Wim, staat al heel wat jaren in bovenbouwgroepen en is zeer ervaren. Het kost hem weinig moeite om leerlingen te laten doen wat hij wil dat ze doen. Over het algemeen is er veel aandacht in de klas. Het is de 14e les die we bij hem op video hebben opgenomen. In totaal zijn er 19 lessen opgenomen. We kiezen de les omdat het probleem tot zinvolle discussies leidde. In die discussies kwam uitgebreid aan de orde dat verhoudingen meer zeggen dan alleen de hoeveelheid suiker, en ook werd duidelijk dat je op allerlei verschillende manieren kunt rekenen als je verhoudingen wilt vergelijken. Het probleem was een aangepaste versie van een opgave uit het Tal-bovenbouwproject (www.fi.uu.nl/tal). Wim had van de begeleidster een uitgebreide lesbeschrijving gekregen. Wim begint de les met te vragen naar de tussendoortjes die de leerlingen net gegeten hebben. Hij wijst er op dat je op de verpakking kunt lezen wat er in zit. Hij schrijft daarna op het bord dat er in een Mars 14 gram suiker zit en in een spekkie 6 gram en legt de klas het volgende probleem voor: in een spekkie zit minder suiker en toch smaakt een spekkie zoeter, hoe kan dat? De leerlingen overleggen een paar minuten in groepjes. Een leerling van ieder groepje schrijft op het bord welke vraag of opmerking ze hebben. Wim leest voor wat op het bord staat: - Zitten er ook andere dingen in? - Hoe groot is de Mars? - Hoeveel weegt een spekkie, of hoeveel weegt een mars? - In het groepje zijn we het niet eens met elkaar. Volgens mij ligt het ook aan de grootte. - Ligt eraan hoe groot de mars of het spekkie is. - Hoeveel weegt een spekkie? - Hoe groot is een spekkie? Ook over deze lijst laat Wim weer even in groepjes overleggen. Welke gegevens heb je nodig?, vraagt hij. In het klassikale gesprek daarna maakt hij eerst een uitstapje naar een vraag die al eerder aan de orde is geweest: Wat is zwaarder, een kilo lood of een kilo veren? De klas is het erover eens dat ook bij de Mars en het spekkie de grootte er niet toe doet, maar het gewicht wel. Wim schrijft op dat een hele Mars 40 gram weegt en een spekkie 12 gram. De leerlingen hebben nu alle gegevens die ze nodig hebben en buigen zich in groepjes weer over de vraag waarom een spekkie zoeter smaakt. Na 5 minuten beginnen kinderen namens hun groepje op het bord te schrijven wat ze ontdekt hebben. Weer 5 minuten later start Wim een klassikaal gesprek. Project TienVeertien, Panamaconferentie 2009 p. 2
figuur 1. De oplossing van het groepje van Temmy. Een van groepjes heeft op het bord een spekkie getekend waarvan de helft gearceerd is - suiker staat er bij - en een mars die voor minder dan de helft is gearceerd (zie figuur 1). Temmy uit dat groepje mag een leerling in de klas aanwijzen die moet proberen uit te leggen hoe haar groepje geredeneerd heeft. Sebastiaan krijgt de beurt: Dit is het spekkie, en dit is de Mars. Er staan streepjes in, dat is suiker. Twee kanten zie je. De helft van het spekkie is alleen maar suiker. Hier (in de Mars) is het voor een vierde deel alleen maar suiker. Temmy is het ermee eens, maar zegt dat het bij de Mars wel een beetje meer was, omdat het iets meer dan 10 gram moest zijn. Alle leerlingen lijken de aanpak van het groepje te begrijpen. Dit is heel duidelijk zegt Wim. figuur 2, verhoudingstabellen op bord. De groepjes die daarna aan de beurt komen hebben steeds twee verhoudingstabellen gemaakt. Wim benadrukt dat je daar ook steeds in moet zetten waar het over gaat - suiker en gewicht - want dat heeft niet iedereen gedaan. Verschillende groepjes hebben omgerekend naar 120 gram gewicht. Project TienVeertien, Panamaconferentie 2009 p. 3
suiker 14 42 suiker 6 60 gewicht 40 120 gewicht 12 120 Het groepje van Yarick heeft een gezamenlijk gewicht gevonden door 40 en 12 met elkaar te vermenigvuldigen. De 220 voor 40 x 6 in zijn tabel is een rekenfout. suiker 14 168 suiker 6 220 gewicht 40 480 gewicht 12 480 Wim sluit de discussie af door te concluderen dat er in een spekkie naar verhouding meer suiker zit, en dat je dat pas weet wanneer je het gewicht gelijk hebt gemaakt. Oplossen en bespreken van het probleem heeft iets meer dan een half uur geduurd. Wim schrijft hierna de gegevens van een vergelijkbaar probleem op. Het gaat om de zoetheid van drie repen: Happers reep 40 gram 12 gram suiker Crispy Choc 25 gram 5 grams suiker Graanfruit 20 gram 8 gram suiker De leerlingen werken in groepjes aan dit probleem. De bespreking ervan wordt uitgesteld tot de volgdende les. Project TienVeertien, Panamaconferentie 2009 p. 4
Lessenserie Oppervlakte, groep 6/7 Oppervlakte is voor kinderen een lastig begrip. Wanneer hen gevraagd wordt om een oppervlakte te berekenen hebben ze wel 'lengte maal breedte' paraat, maar waarom dat een oppervlakte oplevert kunnen ze niet uitleggen. Vaak geloven ze ook dat je alleen maar van rechthoekige vormen de oppervlakte kunt uitrekenen, want hoe kan er oppervlakte zijn zonder een lengte en een breedte? Er zijn een aantal redenen waarom leerlingen zoveel moeite hebben met oppervlakte. Op de eerste plaats komen oppervlakte-berekeningen in het dagelijks leven niet veel voor en we gebruiken ook het woord 'oppervlakte' niet vaak. We zeggen eerder dat iets 'groot' is, waarbij uit de context maar moet blijken of we lengte, oppervlakte of inhoud bedoelen. De andere reden is dat de rekenmethoden betrekkelijk snel gaan. Al gauw ligt de nadruk inderdaad op het rekenen met lengte en breedte, alsof het werken met oppervlaktematen vanzelfsprekend is. In feite moeten leerlingen heel wat leren. We kunnen die kennis als volgt samenvatten: - Oppervlakte heeft betrekking op de grootte van een vlak. - In principe kun je meten met allerlei zelfgekozen maten, maar als je oppervlaktes met elkaar wilt vergelijken is het natuurlijk wel belangrijk dat je steeds dezelfde maat gebruikt. - Het gaat daarbij om de vraag hoe vaak de maat past op het totale vlak. Een consequentie daarvan is dat je een vorm moet kiezen die steeds aansluit. Met rondjes kun je oppervlakte niet goed meten. - Bij het berekenen hoeveel maal een maat past kunnen we gebruik maken van vermenigvuldigen. - Het is handig om met een vierkante maat te werken, want dan ligt de maat vast via één lengte en ontstaan er bovendien nooit problemen door het in verschillende richtingen leggen van de maat. - Het is handig om te werken met standaardmaten en daarvoor sluiten we aan bij het systeem van de lengtematen. - Net als bij het meten van lengte in standaard lengtematen (mm, cm, dm, m, enzovoort), kunnen we oppervlaktes in de ene standaardmaat eenvoudig omrekenen naar een andere standaardmaat. - Daarbij moet je je echter realiseren dat als de lengte en breedte van een vlak 2 keer zo groot wordt, de oppervlakte niet ook simpelweg 2 keer zo groot wordt. Voorlopige serie lessen Les 1: Wat is oppervlakte eigenlijk? De les is bedoeld om helder te krijgen wat oppervlakte is. Via deze les inventariseert u ook wat de leerlingen al weten. Project TienVeertien, Panamaconferentie 2009 p. 5
Les 2: Meten met rechthoekige blaadjes De les is bedoeld om het handig tellen via vermenigvuldigen aan de orde te stellen. Het werken met rechthoekige blaadjes leidt waarschijnlijk tot conflictsituaties, omdat de blaadjes soms door leerlingen in verschillende richtingen worden neergelegd. Van hieruit kan de vraag worden gesteld wanneer je wel, en wanneer je niet mag vermenigvuldigen. Les 3: Allerlei maten In deze les gaat het om de vorm en om de grootte van mogelijke oppervlaktematen. De maat moet zo'n vorm hebben dat je er een aaneengesloten vlak mee kunt bedekken. Werken met een kleine maat heeft zowel voor- als nadelen. Les 4: Meten met een strook Leerlingen meten met een strook van blaadjes, in plaats van met losse blaadjes. Discussie: kun je het af met alleen de randen op te meten? Les 5: Standaardmaten In deze les wordt de stap gezet naar de standaardmaten. Les 6: Vergroten Lessen over het feit dat twee keer zo groot in lengte niet ook twee keer zo groot in oppervlakte is. De lesbeschrijvingen moeten nog op een aantal punten worden bijgesteld en zullen dan op internet worden gezet (www.rekenweb.nl, zie onder leraren ). Laat het ons weten als u een email wilt ontvangen wanneer ze gepubliceerd worden (f.vangalen@fi.uu.nl). Project TienVeertien, Panamaconferentie 2009 p. 6
Oppervlakteles groep 7 Dit is de derde les in een serie lessen rond oppervlakte.het gaat om de oppervlakte van vier tafeltjes samen. De leerkracht heeft steeds even hoge tafeltjes tegen elkaar aan geschoven. Tijdens de les worden de vier tafeltjes samen meestal de tafel genoemd. De leerlingen werken in een circuit. Op elke tafel ligt een stapel blaadjes van een bepaalde vorm waarmee de tafel moet worden opgemeten. Na een minuut of zeven gaat elk groepje meten met andere blaadjes. Er zijn grote en kleine vierkantjes, rechthoekige blaadjes, driehoekige blaadjes (helft van een vierkant) en ronde blaadjes. 00.00 Lkr: Wie weet nog wat we vorige week hebben gedaan? Ll: tafels opgemeten met papiertjes. Ll: we gingen werken aan oppervlakte. Lkr: We moesten de vier tafels zien als een hele tafel. Deden kinderen vorige week niet; die zeiden: op een tafel passen zoveel blaadjes, we hebben vier tafels, dus 4x zoveel. Dat wil ik nu niet hebben. Zie de tafels als een hele tafel. We gaan dat nu weer doen. Je gaat van elke tafel de oppervlakte met de blaadjes die er liggen opmeten. En dat moet je ook opschrijven. Een van jullie gaat dat doen. Waar loop je tegen aan? Wat kom je tegen? Wat zijn dingen die je opvallen? En een van jullie gaat dat ook vertellen. Bespreek even wie dat gaat opschrijven. Deel ik alvast de blaadjes uit. Circuit wordt verder toegelicht. 03.10 Groepjes gaan aan het werk. Leerkracht loopt rond. Als de groepjes klaar zijn leggen ze de blaadjes worden op een nette stapel. Daarna wisselen de groepjes van tafel. 11.18 Tweede ronde. Nu al blijkt dat er kinderen zijn die de maten van het papier vergelijken: net hadden we 35 blaadjes: deze past er 2 x in, dus nu is de oppervlakte 70 blaadjes. 18.50 Derde ronde. 26.45 Vierde ronde. Een van de groepjes komt op 70 blaadjes als de rechthoekige blaadjes in de ene richting worden gelegd, en op 75 als ze in de andere richting worden gelegd. Groepje komt er niet uit hoe dat toch kan. Ze gebruiken wel de keersom. Project TienVeertien, Panamaconferentie 2009 p. 7
32.00 Vijfde ronde. Een wiebelkont weet het voor eaar te krijgen camera en fototoestel omver te gooien. Hij schrikt er vreselijk van. Geen schade. Mooi om bij de rechthoeken te zien hoe een meisje Damian probeert te overtuigen van het feit dat hij de rechthoeken toch echt allemaal in een richting moet leggen. 36:00 Lkr. Ik wil even bij het groepje van Fayyaz beginnnen. Ll: wij hebben bij tafel één 35 van deze blaadjes. Lkr: Hoe noem je deze blaadjes? Ll: vierkanten. En wat ons opvalt is dat er geen leeg vak over is; dat het precies valt. Ll 2, zelfde groepje: En weet je wat mij is opgevallen? Die passen twee x in deze en die. Enz. Lkr: hebben jullie dat ook gecontroleerd? Ll: ja. Ll: en Nikki en Arthur hebben ook ontdekt dat je alleen de buitenkant hoeft te tellen om te weten wat de oppervlakte is. Lkr: En de buitenkant, daar bedoel je mee? Ll: ehhe, zeg maar ehh de omtrek. Lkr: wijst mbv bord aan wat de omtrek is. Ll: we hadden ook nog een ander maniertje. Je legt alleen hier deze rand en daar die rand helemaal vol en dan doe je die x die of andersom die x die en dan weet je het. Lkr: He, Arthur zegt.je hoeft dus niet alles vol te leggen met blaadjes. Je kunt ook de twee zijkanten volleggen en dan een keersom doen. Ll: juf, die blaadjes passen in die (Dit is erg fascinerend voor deze jongen; hij komt er regelmatig op terug, ook tijdens het werken in kleine groepjes.) Lkr: wie heeft dat ook ontdekt? Veel vingers. Lkr: wie heeft er nog wat anders ontdekt of iets wat dit groepje nog niet heeft verteld. Ll: met de rondjes dat kan niet; er blijft altijd ruimte over; zelfs als je gaat vouwen blijft er ruimte over. Lkr: dus de conclusie is met de rondjes.. Lln: kunnen we niks. (gelach) Lkr: met rondjes kun je geen oppervlakte berekenen, want je hebt altijd stukjes ruimte over en je weet niet hoeveel er in past. Dus als je oppervlakte wilt meten, moet het precies passen. Ll: handigste om met vierkantjes te doen, want dat past precies, maar niet met rondjes. Arthur: Maar misschien..als je alle rondjes naast elkaar legt heb je nog open plekken. Maar misschien als je dan gedeeld door iets doet, dat het dan toch nog kan. Project TienVeertien, Panamaconferentie 2009 p. 8
Lkr: Jij bedoelt waarschijnlijk, hoeveel rondjes zijn er overgebleven en hoeveel rondjes passen er in die stukjes, in zijn totaliteit. Maar met oppervlakte moet je heel precies.. kun je het dan nog steeds precies uitrekenen? Lln: nee Lkr: dus eigenlijk is de conclusie dat we met rondjes niet goed de oppervlakte kunnen uitrekenen. Ll: rondjes zijn dom. Lkr: en dan wil ik ook nog even kijken naar deze driehoekjes. Maakt het uit hoe je ze neerlegt? Ll: ja, want als je ze zo neerlegt, dan kom je niet goed uit; heb je een hele gekke vorm.als je het zo doet, past het wel. Lkr: dus je moet kijken hoe je ze neerlegt. Lkr:Arthur had net gezegd dat je alleen de buitenrand kon neerleggen. Kun je dat nu ook? Ll: alles moet wel in één richting gelegd worden. De leerkracht sluit de les af. Op naar de gym. Project TienVeertien, Panamaconferentie 2009 p. 9