Hemelverschijnselen nabij de horizon naar Minnaert en Wegener, Bernoulli en Hamilton Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen
Samenvatting i. Inleiding ii. Wiskundige achtergrond geometrische optica iii. Atmosferische optica iv. Glad brekingsindex-profiel lichtstraal als geodeet M.G.J. Minnaert, De Natuurkunde van t Vrije Veld. Vols. 1, 2 and 3, Vijfde Editie, ThiemeMeulenhoff 1996; The Nature of Light & Colour in the Open Air. Dover 1954
Inleiding Alfred Wegener (1880-1930) Marcel Minnaert (1893-1970) - Plaat-tectoniek, continental drift - Sterrenkunde, Sonnenborgh - Utrecht A.L. Wegener, Über die Ursache der Zerrbilder bei Sonnenuntergängen. Beiträge zur Physik der freien Atmosphäre. Strasbourg, 4 (1912) 26-34 A.L. Wegener, Optik der Atmosphäre. In: Müller Pouillet, Lehrbuch der Physik, 2nd Edn., Viewig & Son, Braunschweig (1928) 266-289
Een laagstaande zon Specola Vaticana, Castel Gandolfo Voor meer materiaal zie ook http://www.keesfloor.nl/artikelen/meteorol/zon/floor.html Kees Floor, De vorm van de zonneschijf bij lage zonnestand, computersimulaties en waarnemingen. Meteorologica maart en april 1999
Atmosfeer met warme laag Minnaert s weergave van een Wegener-sector met bovenspiegeling in onderrand warme laag blinde strook in de zon (Beperkte) onderstelling van rotatie-symmetrisch brekingsindex-profiel n = n(r) Ideeën gaan terug op Kepler 1604
Commentaar I Straal aarde: 6400 km Hoogte atmosfeer: ca. 11 km boven aarde Hoogte waarnemer W : 10 à 15 m boven aarde Diameter zon: 32 = 0.5 0 Brekingsindex-profiel normaliter monotoon 1 Temperatuur-inversie discontinuïteiten. Hoe?? Fysica lastig. Voldoend goede waarnemingen ook niet voorhanden... Verschijnselen redden: invers probleem! Gezocht verklarend brekingsindex-profiel Geschikte hoogte bij één discontinuïteit: H 80 m
Theoretische zonsondergang met blinde strook Blinde strook
Theoretiche zondsondergang met blinde zone (komt vaak voor) Blinde zone
Theoretische luchtspiegelingen van verdwijnend zeilschip Luchtspiegelingen
wiskundige achtergrond geometriche optica
Principe van Fermat Lichtstralen volgen paden van de kortste tijd Optisch medium: verticaal vlak Horizontale lagen in laag j constante voortplantingssnelheid v j lichtstraal rechte lijn Op grenslijnen breking of kaatsing
Breking en kaatsing Brekingsindex n j = 1/v j ; Fermat impliceert: A n 1 = 1/ν 1 B n 1 = 1/ν 1 s 1 A b s 2 s 1 α β c b α x C a x c x C β a x s 2 n 2 = 1/ν 2 B n 2 = 1/ν 2 B Links: kaatsing β = α (Hero van Alexandrië) Rechts: breking n 1 sin α = n 2 sin β (Snellius)
Bewijs Per definitie van snelheid: waarbij de (Euclidische) afstand aangeeft t AC = n 1 A C en t CB = n 2 C B Laat x = x C de positie van C aangeven. Met Pythagoras A C = x 2 + b 2, C B = (a x) 2 + c 2 Differentieer t AC en t CB m.b.t. x : d dx t AC (x) = n 1 x x 2 + b 2 = n 1 sin α d dx t AC (x) = n 2 (a x) (a x) 2 + c 2 = n 2 sin β : d dx (t AC + t CB )(x) = 0 n 1 sin α = n 2 sin β
Commentaar II Extremum is minimum (tweede afgeleide positief) Als grenslijn gladde kromme, dan analoog: α en β t.o.v. normaal van de raaklijn In kromme geval minimum alleen locaal, globaal kunnen caustieken optreden (denk aan brandpunten ellips...) G.W. Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis. Acta Eruditorum 1684. In: D.J. Struik, A source book in mathematics 1200 1800. Harvard University Press 1969, 271-281
Grenshoek n 2 n 1 α β n 2 α g β = π/2 n 1 n 2 n 1 α β Licht komt van beneden. Neem aan dat n 1 > n 2, dan overgang breking kaatsing via grenshoek α g = arcsin(n 2 /n 1 ) Links: α < α g : breking volgens Snellius Midden: α = α g : straal verlaat onderste laag via raaklijn Rechts: α > α g : kaatsing volgens Hero In de discrete theorie is dit een discontinuïteit
Meer lagen... Snellius: n j sin α j = n j+1 sin α j Euclidische meetkunde: α j = α j+1 behoudswet: n j sin α j = n j+1 sin α j+1 inclinatie α met de verticaal (ook in limiet) behouden grootheid S = n sin α
... en voor de ronde aarde α 1 α 1 α 2 α 2 α 3 n 1 α 3 n 2 r 1 r 2 r 3 n 3 n 4 Snellius: n j sin α j = n j+1 sin α j Sinusregel: sin α j r j+1 = sin(π α j+1) r j behoudswet: n j r j sin α j = n j+1 r j+1 sin α j+1 inclinatie α met de verticaal (ook in limiet) behouden grootheid C = nr sin α
Commentaar III Platte aarde n = n(y), ronde aarde n = n(r) Waarde S = S 0 en C = C 0 bepalen vorm lichtstraal door sin α = dx dy S 0 n(y) en dx dy = ± tan α S = ± 0 n 2 (y) S 0 2, etc. en zo sin α = dϕ dr C 0 rn(r) en r dϕ dr = ± tan α C = ± 0 r r 2 n 2 (r) C 0 2, etc. Voortplantingssnelheden 1/n(y) en 1/n(r)
Intermezzo I Platte aarde met n(y) = 1/(2gy) voor y < 0 brachistochroon volgens Johann Bernoulli: cycloïde als lichtstraal met rolhoek θ = 2α π, straal ϱ = 1/(4S 2 0g) H.W. Broer, Bernoulli s lichtstraal-oplossing van het brachistochrone probleem door de ogen van Hamilton. Nieuw Archief voor Wiskunde 5th series, 14(2) (2013) 98-107
Intermezzo II y x Geodeten Poincare bovenhalfvlak lichtstralen, brekingsindex-profiel n(y) = 1/y via z 7 eiz bovenhalfvlak eenheidsschijf Escher
Twee helden Johann Bernoulli Henri Poincaré (1667-1748) (1854-1912)
atmosferische optica
Kritieke cirkel k α g warm earth R H gezichtsstraal = omgekeerde lichtstraal grenshoek α g = arcsin(n 2 /n 1 ), waarbij n 1 > n 2 : gezichtsstraal vertrekt rakend aan grenslijn kritieke cirkel (straal R + k) omhult alle gezichtsstralen die onder grenshoek α g bij warme laag aankomen
Kijk- en uittreerichting warm θ W β W α β β + θ γ earth δ θ Inclinaties β W, α en β en de hoek β + θ Kijkrichting δ = 1π β 2 W en uittreerichting γ = 1 2π (β + θ) Realistisch is dat δ en γ dichtbij 0 liggen...
Wegener-sector C B W A B C D ε D H k R earth E M 0 1.0003 1.0002 γ 0.4 0.8 n 1.0001 1 1.2 0.9999 0 1 2 3 4 r R 0.5 0.25 0 0.25 0.5 δ Wegener-sector, brekingsindex-profiel en transitie-diagram
... uitvergroot... C B W A B C D ε D H earth E k R M
Symmetrie Wegener-sector Stelling De Wegener sector is symmetrisch ten opzichte van de horizontale kijkrichting. Bewijs: We tonen aan dat horizontale kijkrichting W C bisectrice is van hoek BW D Gebruik dat binnen- en buiten-bisectrice van BW D onderling loodrecht zijn Symmetrie: MW is bisectrice van hoek D W D MW C C C C is bisectrice van BW D
Mogelijke stralenbundels... Links: als boven, Wegener sector met k > 0. Blinde strook mogelijk: zie eerste zonsondergang hierboven Rechts: idem met k < 0 Blinde zone mogelijk: zie tweede zonsondergang hierboven NB: gezichtsstralen in Wegener-sector blijven binnen atmosfeer binnen sector alleen aardse luchtspiegelingen
... nog een paar... Als voorheen, maar nu met zowel bovenspiegeling in rand warme laag als onderspiegeling in warme laag (boven hete woestijn, heet wegdek), in spiegelend meer of ijsvlakte
... en... Stralenbundels buiten Wegener-sector met links: k > 0 zonder onderspiegeling midden: k > 0 met onderspiegeling rechts: k < 0 met onderspiegeling Sommige bundels komen van buiten atmosfeer & onder horizon ook hemelse luchtspiegelingen mogelijk
Nova Zembla verschijnsel Nova-Zembla verschijnsel 1597, hier verklaard met landschapsafhankelijk brekingsindex-profiel S.Y. van der Werf, Het Nova Zembla Verschijnsel; geschiedenis van een luchtspiegeling. Historische Uitgeverij 2011 Voor wiskundige achtergrond van de geometrische optica, zie H.W. Broer, Hemelverschijnselen nabij de horizon, naar Minnaert en Wegener, Bernoulli en Hamilton. Epsilon Uitgaven 77 2013
glad brekingindex-profiel lichtstraal als geodeet
Van Fermat naar Hamilton W.R. Hamilton G. F. B. Riemann (1805-1865) (1826-1866) Voor kromme τ q(τ) beschouw snelheidsvector q = dq/dτ dan geldt dt = n(q(τ)) q(τ) dτ magic formula dit zet tijd om in afstand
Bewijs magic formula Volgens de Kettingregel geldt dus 1 n = dq dt = qdτ dt dt = n(q(τ)) q(τ) dτ
Variatierekening Minimaliseer (locaal) de integraal τ 2 τ 1 n(q(τ)) q(τ) dτ of, liever, I(q) := τ2 τ 1 1 2 n2 (q(τ)) q(τ) 2 dτ Lagrangiaan L(q, q) = 1 2 n2 (q) q 2 = (kinetische) energie Riemannse metriek G q ( q 1, q 2 ) = n 2 (q) q 1, q 2, (laatste haakjes van Euclidisch inproduct) Variatierekening met Lagrangiaan L lichtstralen zijn geodeten van de metriek G
Commentaar V Variatieprincipe in optica Principe van Hamilton (ook wel Principle of Least Action) = vertaling van Principe van Fermat Geodeten op rotatiesymmetrisch oppervlak Vier-dimensionale toestandsruimte met posities q = (ϕ, r) en snelheden q = ( ϕ, ṙ) Rotatiesymmetrie reductie tot (r, ṙ)-vlak bij vast impulsmoment p ϕ = rn 2 (r) ϕ (vergelijk reductie bij centraal krachtveld)
Gladde versie twee lagen π 2 10 0 8 W n M (r) 6 γ π 2 π 4 2 0 0 2 4 6 8 10 r 2π π 2 π 4 0 δ π 4 π 2 Stralenbundel Wegener-sector met gemodificeerd profiel n M (r) = rn(r) en transitiediagram Continue overgang stralenbundels binnen atmosfeer en ruimte
... als omwentelingsoppervlak Vaak isometrische inbedding mogelijk als omwentelingsoppervlak, hier Fles-model Breking, grenshoek en kaatsing in hals van fles Behoud van C = rn(r) sin α is nu juist Stelling van Clairaut
... en gereduceerd 0.06 1 1.0 0.05 0.5 0.5 0.04 V (r) 0.03 p r n(r) 0 pr n(r) 0.0 0.02 0.5 0.5 0.01 1 2 3 4 5 6 r 1 1 2 r W 3 4 5 6 r 1.0 1 2 3 4 5 6 r Effectieve potentiaal gereduceerd systeem Faseportret gereduceerd systeem: waarnemer op hoogte r = r W Wegener-sector gesloten integraalkrommen binnen lus Iso-energetische Poincaré-afbeelding storing met periodiek brekingsindex-profiel n = n(r) + εn(r, ϕ) chaos...
Reconstructie... Reconstructie naar 3-dimensionaal hyperoppervlak impulsmoment p ϕ = rn 2 (r) ϕ constant parameter de invariante tori bevatten de geodeten die gevangen zitten in de Wegener-sector
Caustieken Cuspoı dale caustiek Links: geometrisch optisch Centrum en rechts: golf-optische verfijningen
Frequentie-afhankelijkheid I: Rainbows
Frequentie-afhankelijkheid II: Groene flits Groene flits: breking frequentie-afhankelijk
Literatuur V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics. GTM 60, Springer 1978, 1989 J.H. de Boer, De Regenboog. Natuurkundige Voordrachten N.R. 56, 1978 H. Goldstein, Classical Mechanics 2nd ed. Addison Wesley 1950, 1980 H.H. Goldstine, A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 5, Springer 1980 W.R. Hamilton, Theory of systems of rays. Trans. Roy. Irish Academy 15 (1828) 69-174 J.A. van Maanen, Een Complexe Grootheid, leven en werk van Johann Bernoulli. 1667 1748. Epsilon Uitgaven 34 1995 L. Molenaar, De Rok van het Universum - Marcel Minnaert astrofysicus 1893-1970. Uitgeverij Balans 2003 F.W.J. Olver, D.W. Lozier, R.F. Boisvert, C.W. Clark, NIST Handbook of Mathematical Functions. NIST and Cambridge University Press 2010 M. Spivak, Differential Geometry, Vols. I, II, III. Publish or Perish 1970