Universiteit Twente Faculteit Construerende Technische Wetenschappen Opleidingen Werktuigbouwkunde & Industrieel Ontwerpen Kenmerk: CTW.3/TM-573 ONDERDEEL : Statica DATUM : 5 november 03 TIJD : 3:45 5:30 TOETS De toets bestaat uit twee opgaven. De maimale waarderingscijfers van de opgaven zijn gelijk. Lees de vragen goed door. Aan de aanpak wordt meer waarde toegekend dan aan de uitkomst; volg de Systematische Probleem Aanpak bij alle opgaven, geef zoveel mogelijk ook de vergelijking in symbolen vóór het oplossen. VLS-en en grafieken worden beoordeeld op duidelijkheid, compleetheid en correctheid. Gebruik waar aangegeven de antwoordbladen. Het gebruik van een grafische rekenmachine is toegestaan. De toets is een geloten boek toets. Schrijf op elk blad duidelijk je naam en studentnummer. Vraag Gegeven de starre balk in figuur. Op het gedeelte A D werkt een verdeelde belasting waarvoor geldt: ( ) w() = w 0 +3w0 L L w() = kwartcirkelboog: w( = L ) = w 0,w( = L ) = w 0 w() = driehoek: w( = L ) = w 0,w( = L 3 ) = 0 L = L L 3 = 3 L L 5 = L L = L L 4 = L L 6 = L (De dichtheid van pijlen is geen indicatie van de grootte!) R = L A = 0 A y = 3.46w 0 L G y = 0.84w 0 L In het punt D werkt een moment ter grootte van w 0 L Nm, in het punt E een kracht ter grootte 3w 0 LN en tussen F en G werkt een verdeelde belasting met grootte w 0 N/m. Alle belastingen werken in de richting zoals aangegeven in de figuur. y + θ + w() + R A w 0 L B C D E F G 3w 0 L w 0 L L L 3 L 4 L 5 L 6 Figuur : Opgave. a. Gebruik de tabellen op het antwoord papier. Bewijs dat de grootte en de locatie van het aangrijpingspunt van de resulterende kracht van de verdeelde belasting tussen A D gelijk zijn aan : ( F R = 6 π )w 0 L = 5.979w 0 L R = 3 4 3 4 π 4 6 π L =.8L 4 b. Bepaal de dwarskracht V() en het buigend moment M() voor 6 L < 8 L. c. Complementeer de V en M lijn zoals gegeven in de antwoordgrafieken voor het deel D-G van de balk. Ondersteun je antwoord met de benodigde formule s. De coördinaat van het massamiddelpunt van een kwart cirkel in het positieve kwadrant is = 4r, met = 0 in het centrum 3π van de cirkelboog
Vraag Een blok met een massa m wordt op een helling geplaatst, zoals in figuur weergegeven. Een tweede blok met massa m wordt tegen de verticale wand gedrukt. Beide massa s zijn verbonden met starre staaf, die met wrijvingsloze scharnieren aan de massa s is verbonden (een Two Force Member dus). y m m ϕ H h() θ L L Figuur : Opgave h() = H 3H L + H L 3 3 h () = dh() d = 6H L 3 6H L = tanθ Beantwoord de volgende vragen, waarbij de verbindingsstaaf níet aanwezig is: L 4m H m m kg µ static 0.4 µ kinematic 0.3 ϕ πrad a. Maak op het antwoordblad een VLS van het blok met massa m. Kies een handig assenstelsel. b. Stel de evenwichtsvergelijkingen op voor dit VLS. c. Zal het blok uit zichzelf van de helling glijden? Motiveer waarom. d. Hoe groot is de werkelijk optredende wrijvingskracht? Voor de overige vragen is de verbindingsstaaf wél aanwezig. Gezocht wordt naar de maimale massa m : e. Maak op het antwoordblad een VLS van elk van beide blokken. Kies handige assenstelsels. f. Stel de evenwichtsvergelijkingen op voor beide VLS-en. Bonusvraag: g. Bewijs dat voor de maimale massa van m geldt: m,ma = m (µcosθ +sinθ)(µcosϕ+sinϕ) (µcos(θ +ϕ)+sin(θ +ϕ))
Tabel : Vraag symbolen. Tabel : Vraag getalwaarden.
- - 3 0 0 3 4 5 6 7 8 9 L Figuur 3: Dwarskracht V(). V() wl
- 4 3 0 0 3 4 5 6 7 8 9 L Figuur 4: Dwarskracht M(). M() wl
Figuur 5: VLS vraag a.
Figuur 6: VLS vraag e-.
Figuur 7: VLS vraag e-.
Uitwerking vraag Vraag a De verdeelde belasting is op te delen in 4 gebieden: I functie w() = w 0 ( L) +3w0 L voor: 0 < L II Rechthoek met breedte L, hoogte w( = L ) = w 0 voor L < 3L III Kwartcirkel met radius R, negatieve bijdrage, voor L < 3L IV Driehoek met breedte L 3, hoogte w 0, voor 3L < 4 L In de tabel: De totale kracht van elk deel: F i De locatie van het aangrijpingspunt ten opzichte van eigen referentie punt van elk deel: i De afstand van het eigen referentie punt naar het globale referentie punt: d i Het statisch moment van elk deel: F i i i en d i kunnen ook gecombineerd worden tot variabele (meestal ook i genoemd). Merk op dat voor de cirkelboog geldt dat de straal R gelijk is aan L én aan w 0. I L =0 Tabel 3: Vraag symbolen. F i i d i F i ( i +d i ) L ( w 0 ( L) +3w0 L d =0 = L =0 w 0 ( L) +3w0 L ) d w 0 3 L +3w 0 L d II L w 0 L L 5w 0L III - π 4 R 4R 3π 3L 3 R3 3 4 πr L 3 IV 4 w 0L L 3L 8 w 0L Tabel 4: Vraag getalwaarden. F i i +d i F i ( i +d i ) I 3 3 4 5 II 5 III 4 π 3 4 3π 3 4 π + 3 3 IV 4 ( 6 4) π w0 L 7 5 8 Geef aan dat de locatie van het aangrijpingspunt berekend wordt met: ( 3 4 3 4 π) w 0 L R = N F i i i= () N F i i=
Vraag b De VLS van de balk, waarbij deze tussen F en G doorgesneden is, is weergegeven in figuur 8. y + θ + + w() A A A y w 0 w 0 L E F B C D 3w 0 L M FG () N FG () V FG () Figuur 8: VLS van de balk, met een doorsnijding tussen F en G De evenwichtsvergelijkingen (merk op dat reeds gegeven is dat A = 0 en er dus geen normaalkrachten zijn): Fy = 0 : A y F R +F E w 0 ( 6 L ) V FG () = 0 () ( M. = 0 : A y +F R ( R )+M D F E 5 )+ L ( w 0 6 ) L +M FG () = 0 (3) Hieruit is af te leiden: V FG () = 3.46w 0 L 5.30w 0 L+3w 0 L w 0 +6 w 0L = 7.66w 0 L w 0 (4) M FG () = 9.05w 0 L +7.66w 0 L w 0 (5) Vraag c De VLS en van de balk, waarbij deze tussen D en E en tussen E en F doorgesneden is, zijn weergegeven in figuur 9 en figuur 0. y + θ + + w() A A A y w 0 L B C D M DE () N DE () V DE () Figuur 9: VLS van de balk, met een doorsnijding tussen D en E
y + θ + w() + A A A y w 0 L B C D 3w 0 L E M EF () N EF () V EF () Figuur 0: VLS van de balk, met een doorsnijding tussen E en F De evenwichtsvergelijkingen voor de VLS van figuur 9: Fy = 0 : A y F R V DE () = 0 (6) M. = 0 : A y +F R ( R )+M D +M DE () = 0 (7) Hieruit is af te leiden: V DE () = 3.46w 0 L 5.30w 0 L =.84w 0 L (8) M DE () = 8.60w 0 L.84w 0 L (9) De evenwichtsvergelijkingen voor de VLS van figuur 0: Fy = 0 : A y F R +F E V EF () = 0 (0) M. = 0 : A y +F R ( R )+M D F E ( 5 L )+M EF () = 0 () Hieruit is af te leiden: V EF () = 3.46w 0 L 5.30w 0 L+3w 0 L =.6w 0 L () M EF () = 7.90w 0 L +.6w 0 L (3) Om de grafiek te tekenen wordt op een aantal strategische punten berekend wat de dwarskracht en het moment zijn: Dit geeft de volgende grafiek: Tabel 5: Waardes van de dwarskracht en het buigend moment. Gebied V() M() DE =4 L -.84w 0L 0.3w 0 L =5 L -.84w 0L -.5w 0 L EF =5 L.6w 0L -.5w 0 L =6 L.6w 0L -0.36w 0 L FG =6 L.6w 0L -0.36w 0 L =7 L 0.6w 0L 0.30w 0 L =8 L -0.84w 0L -0.04w 0 L
3 4 3 V () w0l M() w0l 0 0 0 3 4 5 6 7 8 9 L Figuur : Dwarskracht V() (rode lijn) en buigend moment M() (groene lijn) voor de gehele balk.
Uitwerking vraag Vraag a De VLS is gegeven in figuur. F n y F w F z = m g θ Figuur : VLS van het blok met massa m. Vraag b De evenwichts vergelijkingen luiden: F = 0 : F w +F z sinθ = 0 (4) Fy = 0 : F n F z cosθ = 0 (5) Vraag c Invullen van = L in de gegeven formule voor de helling van de lijn (en daarmee de tangens van θ): 6H L 3 ( ) L 6H ( 6 L L = 4 6 ) H L = 3 4 = 3 = tanθ (6) 8 Om uit zichzelf te blijven staan is dus een wrijvingscoëfficiënt µ static nodig van tenminste 3 8 is µ static = 0.4: het blok blijft uit zichzelf staan. = 0.375. Gegeven Hetzelfde is uit de evenwichtsvergelijkingen te halen: Verder geldt: F w = F z sinθ (7) F n = F z cosθ (8) µ = F w = F z sinθ F n F z cosθ = F zsinθ = tanθ = 0.375 (9) F z cosθ Zie verder de eerder getrokken conclusie. De hoek θ is gelijk aan: ( ) 3 θ = arctan = 0.55 o 8 Met de evenwichtsvergelijkingen kan ook berekend worden wat de maimale wrijvingskracht is die op mag treden: Fw ma µ s F n = µ s F z cosθ = 0.4 9.8 cos0.55 o 3.674N (0) Uit de evenwichtsvergelijkingen volgt ook de waarde voor de wrijvingskracht, aangenomen dat het blok blijft liggen: F w = F z sinθ = 9.8sin0.55 o 3.44N () Omdat de wrijvingskracht kleiner is dan de wrijvingskracht die maimaal op kan treden, is de aanname dat het blok blijft staan geldig.
Vraag d De werkelijk optredende wrijvingskracht is: F w = F z sinθ = 9.8 sin ( arctan 3 ) = 3.44N () 8 Dit geldt in de situatie dat het blok blijft staan (zoals gebleken hier het geval). Mocht echter in c de verkeerde conclusie getrokken zijn, dan moet ook hier een ander antwoord gegeven worden. Als het blok beweegt, dan zal de daadwerkelijk optredende wrijvingskracht immers gelijk zijn aan de maimale wrijvingskracht, die tijdens bewegen op kan treden: Fw ma µ k F z cosθ = 0.3 9.8 cos0.55 o.756n (3) Vraag e De VLS-en zijn gegeven in figuur 3. y F n, F A y ϕ F n, F A ϕ Fw, F w, F z, = m g θ F z, = m g Figuur 3: VLS-en van (a): het blok met massa m en (b): het blok met massa m, met staaf. Merk op dat beide VLS-en een eigen coordinatenstelsel hebben. Vraag f De evenwichtsvergelijkingen van het blok met massa m : F = 0 : F w, +F z, sinθ F A cos(θ +ϕ) = 0 (4) Fy = 0 : F n, F z, cosθ +F A sin(θ+ϕ) = 0 (5) De evenwichtsvergelijkingen van het blok met massa m : F = 0 : F n, +F A cosϕ = 0 (6) Fy = 0 : F w, F z, +F A sinϕ = 0 (7) Vraag g Het doel van de bonus vraag was om zo de oplossing te kunnen geven. Gebruik: µ F w F n (8) Herschrijf de vergelijking tot uitdrukking voor F w, en F n, : F w, = F z, sinθ+f A cos(θ +ϕ) (9) F n, = F z, cosθ F A sin(θ +ϕ) (30)
Nu volgt met vergelijking 8: µ(f z, cosθ F A sin(θ +ϕ)) = F z, sinθ +F A cos(θ+ϕ) (3) Herschikken levert: F A = F z, (µcosθ +sinθ) µsin(θ+ϕ)+cos(θ+ϕ) Herschrijf de vergelijking tot uitdrukking voor F w, en F n, : (3) F n, = F A cosϕ (33) F w, = F z, F A sinϕ = 0 (34) Nu volgt met vergelijking 8: µ(f A cosϕ) = F z, F A sinϕ (35) Herschikken levert: Vergelijkingen 3 en 36 samen geven: F A = F z, µcosϕ+sinϕ (36) F z, µcosϕ+sinϕ = F z, (µcosθ +sinθ) µsin(θ +ϕ)+cos(θ +ϕ) (37) Waarmee, na herschikking, het te bewijzen verband aangetoond kan worden: m,ma = m (µcosθ +sinθ)(µcosϕ+sinϕ) (µcos(θ +ϕ)+sin(θ +ϕ)) (38)