Het SIR-model voor griep in Nederland S.P. van Noort Universiteit Utrecht Rijksinstituut voor de Volksgezondheid en Milieu 5 november 2003 Via wiskundige modellen kan de verspreiding van een besmettelijke ziekte, zoals griep, voorspeld worden. Het meest gebruikte model hiervoor is het zogenaamde SIR-model, waarvan de basis hier zal worden toegelicht. 1 Inleiding Griep, officieel Influenza geheten, is een zeer besmettelijke ziekte. Een besmettelijke ziekte wil zeggen dat een persoon die ziek is, tijdens een bepaalde periode van zijn ziek zijn besmettelijk is, en de ziekte dan over kan dragen aan andere personen. Dit gebeurt bijvoorbeeld via zeer kleine druppeltjes (aeresolen) die een ziek persoon uitademt. Een besmettelijke ziekte kan een epidemie veroorzaken. In het begin van een epidemie, neemt het aantal zieken steeds sneller (exponentieel) toe, omdat meer zieken, weer nog meer nieuwe zieken veroorzaken. Indien een persoon ziek is geweest, en weer beter is geworden, is hij niet meer besmettelijk en kan hij ook niet meer opnieuw besmet worden. Zo n persoon is dan immuun. Als het aantal immune personen toeneemt, wordt de kans dat een persoon die besmettelijk is een vatbaar persoon tegenkomt, steeds kleiner. Dit remt de toename van nieuwe zieken, net zo lang tot de epidemie is uitgedoofd. 2 Het SIR-model 2.1 Vooraannames We negeren in dit model dat er ook mensen sterven en geboren worden. Voor de korte tijdschaal waarop een griep-epidemie plaatsvindt, een paar maanden, is dit een redelijke aanname. De populatiegrootte is dus constant, grootte N. Verder nemen we aan dat de contacten willekeurig plaatsvinden. Ook nemen we aan dat een persoon die besmet wordt, onmiddelijk besmettelijk is. 1
Dit zijn zeer simplificerende aannamen, die niet goed overeenkomen met de werkelijkheid, maar we zullen zien dat zo n simpel model het al heel aardig doet. Een persoon kan zich in drie verschillende toestanden bevinden. Hij kan vatbaar zijn, dat wil zeggen dat als hij een persoon tegenkomt die besmettelijk is, en het virus wordt overgedragen, hij ook daadwerkelijk besmet wordt. Het aantal vatbare personen wordt aangegeven door de letter S (van susceptibles). Een persoon kan ook besmettelijk zijn. Dit wil zeggen dat deze persoon andere vatbare personen kan besmetten. Het aantal besmettelijke personen wordt aangegeven door de letter I (van infectious). Een persoon kan ook immuun zijn, dan besmet deze persoon geen andere personen meer (dat wil nog niet zeggen dat hij daadwerkelijk beter is), maar hij kan ook niet meer door andere personen besmet worden. Het aantal immune personen wordt aangegeven door de letter R (van removed). Er zijn dus drie klassen individuën in dit model, S, I en R. Vandaar dat dit een SIR-model wordt genoemd. 2.2 Parameters Een besmettelijk persoon maakt gemiddeld β contacten per dag. Hierbij wordt een contact gezien als het overdragen van het virus op een ander persoon. Indien er nu I besmettelijke personen op een bepaalde dag zijn, maken deze tezamen βi contacten die tot besmetting kunnen leiden. Zo n contact leidt echter enkel tot een nieuw besmet persoon, indien de persoon met wie het contact wordt gemaakt vatbaar is. De kans dat een contact met een vatbaar persoon is, is het aantal vatbare personen gedeeld door het totaal aantal personen (S/N). Het totaal aantal besmettingen wat op een dag plaatsvindt is dus βis/n. Dit is dus het aantal vatbare personen wat per dag besmet wordt. Het aantal vatbare personen neemt dus af met dit aantal, in formulevorm: ds dt = βi S N (1) Personen die besmettelijk zijn, raken na een bepaalde tijd hun besmettelijkheid kwijt. Indien personen gemiddeld a dagen besmettelijk zijn, verliezen van alle besmettelijke personen er elke dag ongeveer een deel α = 1/a hun besmettelijkheid. Er is dus een afname in het aantal besmettelijke personen per dag van αi. Het aantal immune personen neemt met dit aantal dus toe, in formuleform: dr dt = αi (2) Het aantal besmettelijke personen neemt nu toe met het aantal mensen dat besmet wordt en neemt af met het aantal mensen dat hun besmettelijkheid verliest, in formulevorm: di dt = βi S N αi (3) 2
Optellen van deze drie vergelijkingen (1),(2) en (3) levert inderdaad op dat het totaal aantal personen (S + I + R) niet verandert. 3 Basis reproductie getal: R 0 In een samenleving die enkel uit vatbare personen bestaat, dus S = N, zou één zieke β andere personen per dag besmetten. Een persoon is gemiddeld a = 1 dagen ziek, dus het totaal aantal α personen wat door één besmettelijk persoon wordt besmet, is β. Dit wordt het basis reproductie α getal gemoemd, de zogenaamde R 0 : R 0 = β α (4) 4 Griep in Nederland Voor de transmissie van griep kunnen voor Nederland de volgende parameters aangenomen worden. Het totale aantal personen in Nederland is ongeveer 16 miljoen, dus N = 16 10 6. Aan het begin van een griepseizoen, is ongeveer 50% van alle personen vatbaar, dus S = 8 10 6. Bij het begin van een griep-epidemie zijn er maar zeer weinig zieken, bijvoorbeeld 1 op de 10.000, dus I = 1600. Hieruit volgt dat R = 8 10 6. Een persoon die besmet wordt, is gemiddeld 5 dagen besmettelijk, dus a = 5 dagen en α = 0, 2 per dag. Het gemiddeld aantal contacten per dag per persoon welke tot een besmetting kunnen leiden is 0, 5, dus β = 0, 5 per dag. Met behulp van formule (4) volgt dat R 0 = β/α = 0, 5/0, 2 = 2, 5. In figuur 1 staat een plaatje van het aantal besmettelijke personen tijdens een epidemie uitgezet tegen de tijd, dat geldt voor het model van de differentiaalvergelijkingen (1)-(3), met bovenstaande parameters. 5 Recurrente betrekkingen Als we de tijd niet als een continue variabele beschouwen, maar in vaste stapjes opdelen, is het systeem ook met behulp van recurrente betrekkingen te benaderen. Een persoon is a = 1 dagen α besmettelijk. Als we tijdstappen van a dagen nemen, dan besmet elk besmettelijk persoon tijdens S één tijdstap R 0 personen. Aangezien één tijdstap precies de duur is van de besmettelijke periode, N worden ook alle besmettelijke personen immuun per tijdstap. Het SIR-model in formulevorm met behulp van recurrente betrekkingen wordt dan: 3
griepgevallen per 10,000 100 80 60 40 20 tijd in dagen 50 100 150 200 250 300 Figuur 1: Aantal besmettelijke personen uitgezet tegen de tijd, volgens het differentiaalvergelijkingen model (1)-(3) S t 1 I t = R 0 I t 1 N (5) S t = S t 1 I t (6) R t = R t 1 + I t 1 (7) Hierbij is I t het aantal besmettelijke personen op tijdstip t, S t het aantal vatbare personen op tijdstip t, en R t het aantal immune personen op tijdstip t. In figuur 2 staat een plaatje van het aantal besmettelijke personen tijdens een epidemie uitgezet tegen de tijd, dat geldt voor het model met de recurrente betrekkingen (5)-(7) en de parameters aangenomen voor griep in Nederland. 4
griepgevallen per 10,000 100 80 60 40 20 50 100 150 200 250 tijd in dagen Figuur 2: Aantal besmettelijke personen uitgezet tegen de tijd, volgens het recurrente betrekkingen model (5)-(7) 5