Den Dolech 2, 5612 AZ Eindhoven Postbus 513, 5600 MB Eindhoven www.tue.nl Auteur Wouter van der Heide & Thomas Beekenkamp ID (resp.): 0739052 & 0743557 Begeleider: J.A.C. Resing Opdrachtgever: M. Boon Faculteit: W&I Vakcode: 2WH03 Datum Februari 2012 - Juni 2012 Milieustraat Where innovation starts
Inhoudsopgave Titel Milieustraat 1 Inleiding............................. 3 1.1 Probleemstelling.................... 3 1.2 Situatieschets...................... 3 2 Modelkeuze........................... 4 2.1 Model voor de poort.................. 4 2.2 Model voor het terrein................. 5 3 Data-analyse.......................... 8 3.1 Databewerking..................... 8 3.2 Bepalen van het aankomstproces.......... 9 3.3 Bepalen van de drukte................. 9 3.4 Verdeling van de bedieningstijd............ 11 3.5 Maximale aantal bezoekers c............. 11 3.6 Relatie tussen drukte en bedieningstijd....... 12 3.7 Gegevens per deel................... 13 4 Simulatie model voor de poort................. 17 4.1 Werking......................... 17 4.2 Controle......................... 17 4.3 Resultaten....................... 18 5 Simulatie model voor terrein.................. 20 5.1 Werking......................... 20 5.2 Huidige situatie..................... 21 5.3 Resultaten....................... 22 6 Conclusie............................ 26 6.1 Betere spreiding over de dag............. 26 6.2 Langere openingstijden................ 27 6.3 Capaciteit van de hal.................. 27 6.4 Voorrang geven..................... 27 7 Bijlage.............................. 29 7.1 Definitie Poisson proces................ 29 Where innovation starts
Inhoudsopgave Titel Milieustraat 7.2 M/M/c model...................... 30 7.3 Schatten parameters gammaverdeling........ 32 7.4 Lijst van variabelen................... 32 7.5 English Summary................... 33 English Summary.......................... 33 Bibliografie.............................. 34 Where innovation starts
1 Inleiding 1.1 Probleemstelling De milieustraat aan de Lodewijkstraat is de grootste milieustraat in Eindhoven. Op drukke dagen staat er een lange wachtrij voor de poort en ook op het terrein is het druk. Door de lange wachtrijen daalt de klanttevredenheid en sommige ongeduldige klanten kunnen hierdoor de neiging hebben om hun afval in verkeerde containers te dumpen. Bovendien staat de rij voor de poort op een doorgaande weg, wat gevaarlijke situaties oplevert. De gemeente wil graag weten hoe die wachtrijen verminderd kunnen worden. Daarnaast is de gemeente geïnteresseerd in verschillen in de drukte op verschillende dagen en tijdstippen. De opbouw van het verslag ziet er als volgt uit: Na een korte situatieschets volgt hoofdstuk 2 waarin de modelkeuze wordt toegelicht. Er wordt gekozen voor twee modellen. De modellen zijn gebaseerd op data, die geanalyseerd wordt in hoofdstuk 3. Bovendien worden in dat hoofdstuk ook interessante gegevens over de milieustraat getoond. De simulatie en resultaten van het eerste model staan in de hoofdstuk 4. Daarna volgen de simulatie en de resultaten van het tweede model in hoofdstuk 5. Aan het einde van het verslag staat in hoofdstuk 6 de conclusie met aanbevelingen om de milieustraat te verbeteren. Voor de meer wiskundig georiënteerde lezer zijn een aantal wiskundige afleidingen te vinden in bijlage 7. In de bijlage is ook een lijst van variabelen te vinden, en de Engelse samenvatting. 1.2 Situatieschets Klanten van de milieustraat rijden met hun auto vol afval naar de Lodewijkstraat. Als ze pech hebben, staat er al in die straat een rij voor de poort van de milieustraat. Zodra de klant vooraan de rij bij de poort komt, wordt zijn stadspas gecontroleerd. Alleen inwoners van Eindhoven mogen namelijk gratis afval wegbrengen. Op het terrein parkeert de klant zijn auto naast de juiste container. Daar gooit hij zijn afval in. Als de klant meerdere soorten afval bij zich heeft, parkeert hij ook nog bij andere containers. Als het te druk is op het terrein, kan het voorkomen dat mensen op elkaar moeten wachten tot er een parkeerplek vrijkomt. Er zijn dus twee plekken waar klanten moeten wachten: voor de poort en op het terrein. De rij voor de poort staat op de openbare weg en belemmert het doorgaande verkeer. De rijen op het terrein zorgen voor gefrustreerde mensen en auto s die elkaar blokkeren. Beide types rijen willen we zo kort mogelijk maken. De rij voor de poort kan verkort worden door meer mensen het terrein op te sturen. De keerzijde daarvan is dat er langere rijen op het terrein ontstaan. Er moet dus ook een goede balans gevonden worden tussen de rijen voor de poort en op het terrein. 3 Milieustraat
2 Modelkeuze De totale wachttijd van bezoekers wordt bepaald door de wachttijd voor de poort en de wachttijd op het terrein. Er is dus inzicht nodig in het ontstaan van beide types rijen om de totale wachttijd te verminderen. In dit project is ervoor gekozen voor allebei de types rijen een model te maken. Met beide modellen samen is te voorspellen welke invloed maatregelen op de wachttijd zullen hebben. Het model voor de poort is eenvoudig van opzet, want het gebruikt geen details over de indeling van de milieustraat. Voor het model voor rijen op het terrein zijn meer details nodig die het model complexer maken. 2.1 Model voor de poort Op het terrein van de milieustraat mag het niet te druk worden. Ten eerste is er niet genoeg ruimte voor alle klanten en ten tweede levert een overvolle milieustraat gevaarlijke situaties op. Op een terrein met voetgangers, auto s, brandbaar afval en diepe containers gaat veiligheid voor alles. Daarom is er een slagboom bij de ingang. Een medewerker laat alleen nieuwe klanten het terrein op als het niet te druk is. In de praktijk gaat het om een maximaal aantal bezoekers c. Op drukke momenten staat er voor de slagboom bij de poort een rij. De rij voor de poort wordt langer als er een nieuwe klant aankomt en korter als iemand van het terrein weggaat. Er is dus een beschrijving nodig van het proces van aankomsten en het tempo waarin de milieustraat klanten helpt. De aankomsten worden gemodelleerd volgens een Poissonproces. Onder de aanname dat bezoekers onafhankelijk van elkaar langskomen en geen voorkeur hebben voor een bepaald tijdstip, is het aankomstproces een Poissonproces. In de bijlage 7.1 is de precieze definitie te vinden. Het Poissonproces heeft een parameter λ, de aankomstintensiteit. Dit is het gemiddelde aantal mensen dat per minuut arriveert. De aanname dat mensen geen voorkeur hebben voor een bepaald tijdstip is redelijk op een korte tijdschaal. Het zal niemand iets uitmaken of ze om 16.10u of 16.15u aankomen. Over een hele dag zal de aankomstintensiteit wel variëren. Om dit eerste model zo eenvoudig mogelijk te houden wordt toch een constante aankomstintensiteit gebruikt. In sectie 3.2 wordt nagegaan dat het aankomstproces zich gedraagt als een Poissonproces. De tijd die iemand op het terrein van de milieustraat doorbrengt, noemen we de bedieningstijd. Van de bedieningstijd is een verdeling nodig, die aangeeft wat de gemiddelde bedieningstijd is, wat de spreiding is, etc. Die verdeling wordt aangegeven met G. Er komen dus bezoekers aan volgens een Poissonproces en de milieustraat kan maximaal c mensen tegelijk helpen met een bedieningstijd volgens verdeling G. Dit wordt een M/G/c rij genoemd. Als de bedieningstijd bij benadering exponentieel verdeeld zou zijn, was het een M/M/c model. Over dat model is theoretisch veel bekend, en dus kunnen we het gebruiken om te vergelijken met het model voor de milieustraat. In de bijlage, sectie 7.2, worden resultaten voor het M/M/c model afgeleid. Die gegevens vormen ook een goede controle voor de simulatie. Komen de resultaten van de simulatie overeen met de theorie? 4 Milieustraat
Figuur 1: Plattegrond van de milieustraat aan de Lodewijkstraat INGANG Figuur 2: Diverse delen van de milieustraat 1. 2 3. 4. Figuur 3: Model abstract weergegeven 2.2 Model voor het terrein Klanten van de milieustraat hebben vaak meerdere types afval bij zich. Ze parkeren bijvoorbeeld eerst bij het hout en leveren daarna nog elektronica in. De volgorde van inleveren wordt bepaald door de rijrichting in de milieustraat. Op de plattegrond van figuur 1 is met rode pijlen die rijrichting aangegeven. Als een klant niet direct bij een container terecht kan, wacht hij tot er iemand weggaat. Op het terrein zelf kunnen dus ook rijen ontstaan. Het 5 Milieustraat
model voor het terrein beschrijft die rijen. In het model zal niet gekeken worden naar welke individuele containers een klant gaat, maar eerder welke delen van de milieustraat de klant bezoekt. Door informatie over individuele containers te combineren, wordt de informatie over een deel wat betrouwbaarder. Gegevens zijn dan gebaseerd op meer mensen. Bovendien zijn knelpunten ook al te zien als de milieustraat in delen wordt bekeken. Meer detail is niet nodig. Er zijn verschillende delen (groepen containers) te onderscheiden op basis van de ligging van de containers. We onderscheiden: 1. Hal (Brandbaar, hout, metaal, tapijt, dakleer, matrassen) 2. Puin (Schoon en vuil) 3. Groen (Tuinafval en grond) 4. Rest (Gips, elektronica, papier, asbest, klein gevaarlijk afval, flessen, etc.) Klanten bezoeken de verschillende delen altijd in de volgorde hierboven (hal, puin, groen, rest), dus in de rijrichting aangegeven met de rode pijlen op de plattegrond. Elk deel heeft een beperkt aantal parkeerplekken. Een klant kan afval dumpen binnen een deel als hij een parkeerplek heeft, anders moet hij wachten tot er een plek vrij komt. In het model is het niet toegestaan om te parkeren in een ander deel en een stuk te lopen naar de juiste container. Die situatie is in werkelijkheid ook onwenselijk, want klanten die op de verkeerde plek parkeren blokkeren weer anderen. Door een maximum aantal klanten op het terrein probeert de gemeente dit tegen te gaan. Het model is weergegeven in figuur 3 met een keten van multi-servers. Elke server stelt een deel van de milieustraat voor die zo veel mensen kan helpen als er parkeerplekken zijn. Elk deel heeft zijn eigen bedieningstijd. Omdat elk deel uit verschillende losse containers bestaat, waar we weinig informatie over hebben, is de verdeling van de bedieningstijd in elk deel niet goed te bepalen. Daarom kiezen we voor elk deel een exponentieel verdeelde bedieningstijd. In totaal zijn er vijf rijen: één voor de poort en één voor elk deel. We nemen aan dat er voor elk deel voldoende plek is voor een rij. Op de plattegrond is bijvoorbeeld voldoende rijruimte voor de hal te zien. Gelukkig kunnen de rijen op het terrein niet te lang worden, want er is nog steeds een maximum van c = 17 mensen op het terrein. De medewerker aan de poort zorgt hiervoor. Het aantal bezoekers varieert nogal over de dag, zoals beschreven in sectie 3.3. Dit wordt meegenomen in het model door elk tijdvak van een uur een andere aankomstintensiteit te nemen. Zo varieert de drukte over de dag. Omdat op zaterdag de meeste problemen met drukte zijn, gebruiken we het profiel van een zaterdag in het model. Op zaterdag is de milieustraat open van 10.00u-17.00u. Aan het einde van de dag sluit de milieustraat weer. Bezoekers weten dat, dus ze zullen niet na sluitingstijd nog langskomen. In ons model nemen we aan dat de rij voor de poort nog wordt weggewerkt bij sluitingstijd, maar dat er geen nieuwe aankomsten meer zijn. Het alternatief is de slagboom abrupt dichtdoen bij sluitingstijd en mensen die nog stonden te wachten weigeren. Onze keuze zorgt ervoor dat de gemiddelde rijlengte iets lager uitvalt. 6 Milieustraat
Na sluitingstijd is de rij immers korter dan gemiddeld. Toch denken we dat onze optie het meest op de praktijk lijkt. Het model gebruikt de volgende parameters: Aankomstintensiteit λ voor elk tijdvak van een uur. Tijd nodig voor de toelatingsprocedure aan de poort. Gemiddelde bedieningstijd voor elk van de vier delen (hal, puin, groen en rest). Het aantal parkeerplekken in elk deel. Maximaal aantal mensen op het terrein c. Dit tweede model is gedetailleerder dan het eerste. De aankomstintensiteit is variabel en er zijn verschillende groepen klanten met andere bestemmingen. Bovendien zijn klanten langer op het terrein als het druk is, omdat ze moeten wachten. Theoretisch is het lastig om dit model te analyseren, dus zal een simulatie gebruikt worden. 7 Milieustraat
3 Data-analyse In dit hoofdstuk wordt de beschikbare data geanalyseerd. De meeste gegevens die we nodig hadden waren uit de data af te leiden. Soms is data bewerkt of hebben we gegevens geschat. In dat geval merken we op wat we hebben gedaan en waarom we die keuze gemaakt hebben. De data-analyse is gericht op het vinden van de parameters voor de modellen en het tonen van interessante gegevens. 3.1 Databewerking Van de gemeente Eindhoven is data beschikbaar over de eerste drie maanden van 2010. Gedurende die periode is bij de inrit en uitrit bijgehouden op welke datum en tijd iemand het terrein op- of afreed en wat het stadspasnummer van die persoon was. Het stadspasnummer is een uniek nummer voor elke inwoner van Eindhoven, zodat verschillende mensen uit elkaar te houden zijn. Een klein deel van de data ziet er bijvoorbeeld als volgt uit: Tijd Station Identificatie 9-3-2010 16:39 Inrit 40186343 (Gemeente Eindhoven) 3-3-2010 14:55 Uitrit 40188557 (Gemeente Eindhoven) 4-3-2010 13:38 Inrit 40188586 (Gemeente Eindhoven) Figuur 4: gedeelte uit beschikbare data In theorie kan bij elk ID-nummer gezocht worden wanneer die persoon het terrein opreed en wanneer hij er weer afreed. De tijd daartussen is de tijd dat die persoon op het terrein was. Helaas is de data niet helemaal compleet, daarom zijn de volgende bewerkingen toegepast: Van een persoon is alleen een inrit geregistreerd regel verwijderd Van een persoon is alleen een uitrit geregistreerd regel verwijderd Iemand rijdt binnen twee minuten meerdere keren het terrein op duplicaten verwijderd Iemand rijdt binnen twee minuten meerdere keren het terrein af duplicaten verwijderd Tussen inrit en uitrit zit meer dan twee uur regels verwijderd Op 8 en 15 januari werden alleen inritten geregistreerd dagen in hun geheel verwijderd Op 27 maart kon gratis compost afgehaald worden gegevens zijn behouden, maar dit is een opvallend drukke dag Hierna waren van de 31474 regels data nog 29606 regels over. Van 29606 = 14803 mensen 2 is dus bekend wat hun verblijftijd (bedieningstijd) op het terrein was. Met die gegevens kan een verdeling van de bedieningstijden vastgesteld worden. Bovendien kwamen er naar 8 Milieustraat
schatting 14803 + (31474-29606) = 16671 bezoekers in de eerste drie maanden van 2010. Die schatting is erop gebaseerd dat elke verwijderde regel bij één bezoeker hoorde en dat het nauwelijks voorkwam dat mensen helemaal niet geregistreerd werden. Door het aantal volledig geregistreerde bezoekers per dag met 16671 1.125 te vermenigvuldigen, wordt dus 14803 een schatting verkregen voor het werkelijke aantal bezoekers op die dag. 3.2 Bepalen van het aankomstproces Om te bepalen of de aankomsten echt een Poisson proces vormen, kunnen we volgens Stelling 1 op pagina 29 testen of de tussenaankomsttijden exponentieel verdeeld zijn. Een Kolmogorov-Smirnov test gebruikt het verschil tussen de empirische verdelingsfunctie en de verdelingsfunctie van de exponentiële verdeling (in dit geval) om te testen of de waardes uit een exponentiële verdeling komen. Als het verschil groot is komen de waarden waarschijnlijk niet uit een exponentiële verdeling. Vaak wordt een zogenaamde p-waarde gerapporteerd. Als deze kleiner is dan 0.05 wordt de nulhypothese, "de waarden komen uit een exponentiële verdeling", verworpen. Van 422 mensen is op 1 oktober 2011 bijgehouden op welk moment ze aansloten in de rij. Dat levert 421 tussenaankomsttijden om een Kolmogorov-Smirnov test op uit te voeren. Met deze data geeft de test een p-waarde van 0.29, dus op grond van deze test kunnen de waarden best exponentieel verdeeld zijn. Zo n hoge p-waarde is een sterke aanwijzing dat de aankomsten inderdaad een Poisson proces vormen. Als van meer mensen de aankomsttijden bekend waren, zou de test betrouwbaarder worden. 3.3 Bepalen van de drukte De drukte bij de milieustraat wordt uitgedrukt in het gemiddelde aantal klanten dat per minuut arriveert, de aankomstintensiteit. Op een korte tijdschaal is die aankomstintensiteit constant te veronderstellen. Maar over een hele dag zullen er wel drukkere en minder drukke periodes zijn. Uit de data is te halen op welke dagen en welke tijdstippen het het drukste is. De openingstijden van de milieustraat verschillen per dag. Op maandag, woensdag en vrijdag is men open van 13.00u-19.00u, op dinsdag en donderdag van 13.00u-17.00u en op zaterdag van 10.00u-17.00u. Door het aantal bezoekers op een dag te delen door het aantal minuten dat men open was is de aankomstintensiteit te berekenen. In figuur 5 is te zien dat het op zaterdag het drukste is. Op dinsdag en donderdag, als de milieustraat maar vier uur open is, willen ook nog veel mensen langskomen. Op die dagen is het drukker dan op andere doordeweekse dagen als er langere openingstijden zijn. Op welke tijdstippen komen de meeste mensen langs? Dat zal van dag tot dag verschillen. Ter illustratie hebben we de drukte op een vrij rustige woensdagmiddag (10 februari 2010) en een drukke zaterdag (20 maart 2010) bestudeerd. Per uur is [aantal bezoekers] 1.125 gedeeld door 60 minuten, gebruikt om de aankomstintensiteit te schatten. De resultaten staan in figuren 6 en 7. Op beide dagen is het eerste openingsuur het drukste. In de praktijk staat er al een rij voordat de milieustraat geopend is. Tijdens het eerste uur wordt die groep weggewerkt. Na dat eerste uur is het heel wat minder druk. In de loop van de dag stijgt de drukte naar een 9 Milieustraat
Figuur 5: Geschatte gemiddelde aankomstintensiteit per dag van de week in de eerste 3 maanden van 2010 Figuur 6: Geschatte gemiddelde aankomstintensiteit op woensdag 10-2-2010 piek (rond 15.30 uur op woensdag en 13.30 uur op zaterdag) om daarna weer wat te dalen richting sluitingstijd. Tijdens het laatste uur op woensdag 10 februari kwamen er maar 5 klanten. Bij het vaststellen van de openingstijden kan daar rekening mee worden gehouden. Een extra uur op zaterdag zal misschien meer bezoekers trekken dan een extra uur op woensdag. 10 Milieustraat
Figuur 7: Geschatte gemiddelde aankomstintensiteit op zaterdag 20-3-2010 3.4 Verdeling van de bedieningstijd De totale tijd die mensen doorbrengen op het terrein van de milieustraat (dus zonder wachten voor de poort) noemen we de bedieningstijd van de milieustraat. De verdeling van de bedieningstijden, G, is uitgezet in het histogram van figuur 8. Dit is gebaseerd op de tijd dat 14803 mensen op de milieustraat waren in de eerste 3 maanden van 2010. De gemiddelde bedieningstijd was 14.26 minuten en de standaardafwijking was 9.60 minuten. Als deze verdeling bij benadering een bekende kansverdeling zou zijn, kon er een theoretische analyse uitgevoerd worden. De vorm van de verdeling en de te lage standaardafwijking wijzen erop dat het geen exponentiële verdeling is. Toch een exponentiële verdeling gebruiken zou betekenen dat de bedieningstijden verder uit elkaar liggen. Meer variatie zorgt voor langere wachttijden, en dus overschat het model dan de problemen. Ook de Erlang-2 verdeling en de gammaverdeling (zie bijlage 7.3 voor bepaling parameters) wijken te veel af. Met verdeling G komen korte bedieningstijden relatief vaker voor dan met de andere twee verdelingen. Met een Kolmogorov-Smirnov test hebben we deze verdelingen vergeleken met G, en ze weken inderdaad te veel af om geschikt te zijn voor een nauwkeurig model. 3.5 Maximale aantal bezoekers c De milieustraat kent een toelatingsbeleid om te voorkomen dat het te druk wordt op het terrein. Als er c klanten op het terrein zijn, wordt de poort gesloten. Volgens de opdrachtgever gebeurt dit bij 17 bezoekers. Die waarde gebruiken we vanaf nu dan ook voor c. Uit de data van de gemeente kan het aantal mensen op het terrein ook afgeleid worden, steeds 1 meer bij een inrit en 1 minder bij een uitrit. De grens van 17 bleek daar ook uit als een veelgebruikte grens. Eind maart werden soms wel 30 mensen tegelijk het terrein op gelaten. Blijkbaar ziet degene aan de poort bij grote drukte geen andere keus dan meer mensen toelaten. Die situatie moet voorkomen worden, want te grote drukte op het terrein leidt tot irritatie en chaos. 11 Milieustraat
Kansverdeling bedieningstijd Dichtheid 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0 20 40 60 80 100 Bedieningstijd in minuten Figuur 8: Kansverdeling bedieningstijd in de eerste 3 maanden van 2010 Als de poort eenmaal gesloten is, gaat die pas weer open als er mensen van het terrein af zijn. In de praktijk wacht men soms tot er 4 auto s af zijn voordat de poort weer open gaat. Wiskundig gezien is er geen enkele reden om dat te doen. Als er 17 mensen tegelijk op het terrein kunnen, moet je weer aanvullen zodra er ook maar één persoon weggaat. Dat gebeurt dan ook in ons model. Voor degene bij de slagboom is het misschien makkelijker om even in zijn hokje te blijven zitten, maar voor de doorstroming is het beter om de milieustraat zo vol mogelijk te houden als er een rij staat. 3.6 Relatie tussen drukte en bedieningstijd Klanten klagen als het druk is niet alleen over de rij voor de poort, maar ook over de drukte bij de containers. Elke klant wil zo dichtbij mogelijk parkeren. Als er al iemand voor jouw container staat, moet je wachten tot je erbij kunt. De bedieningstijd op een druk terrein zou dus langer kunnen zijn dan de bedieningstijd als er niemand anders is. Voor de milieustraat aan de Lodewijkstraat hebben we de relatie tussen drukte en bedieningstijd onderzocht. De drukte is gemeten aan het aantal mensen dat op het terrein was op het moment van inrijden, inclusief de bezoeker zelf. In figuur 9 is dit weergegeven. Inderdaad stijgt de tijd die klanten op het terrein doorbrengen als er meer anderen voor hen op het terrein zijn. Tot ongeveer 8 bezoekers is de bedieningstijd redelijk constant, iets 12 Milieustraat
Figuur 9: Relatie tussen drukte en bedieningstijd minder dan 11 minuten. Tussen 8 en 15 klanten op het terrein begint de bedieningstijd op te lopen. Waarschijnlijk kan men niet direct terecht bij de juiste container, en moet er gewacht worden tot er plek vrij is. De bedieningstijd van een klant hangt dus sterk af van het aantal mensen op het terrein. Dat effect willen we ook zien in het model. Bij meer dan 15 mensen op het terrein blijft de gemiddelde bedieningstijd constant rond 16 of 17 minuten. Misschien lopen de wachttijden dan zo op, dat mensen bereid zijn ergens anders op het terrein te parkeren en naar hun container te lopen. Het toelaten van meer dan 17 mensen is bovendien uitzonderlijk, dus misschien worden mensen dan wel extra aangemoedigd om op te schieten. In het model zijn deze effecten niet opgenomen. Opvallend is dat mensen die een leeg terrein aantreffen, dus maar 1 bezoeker inclusief henzelf, een langere bedieningstijd hebben dan bezoekers die een paar mensen voor hen aantreffen. Dat zou kunnen komen doordat mensen met veel afval vaker vooraan in de rij staan, nog voordat de milieustraat open is. Er is te zien dat op rustige momenten klanten gemiddeld 10.6 minuten op het terrein zijn. Dat is de tijd die nodig is om afval weg te gooien en de tijd voor de toegangsprocedure en rijden over het terrein. 3.7 Gegevens per deel Om het terrein te modelleren, zijn er gegevens over de verschillende delen nodig. Hoeveel klanten bezoeken elk deel, hoe lang doen ze erover en hoeveel parkeerplekken zijn er in elk deel? De beschikbare data is wat gedetailleerder dan we nodig hebben voor het model. Daarom gebruiken we bijvoorbeeld data van meerdere individuele containers om de bedieningstijd in een deel van de de milieustraat te bepalen. Bijkomend voordeel is dat de parameters voor het model dan gebaseerd zijn op meer klanten. Over het algemeen is een gemiddelde over 100 klanten betrouwbaarder dan over 5 klanten. 13 Milieustraat
Elk deel heeft zijn eigen gemiddelde bedieningstijd. Zo duurt grond storten gemiddeld langer dan het inleveren van flessen. Van de meeste individuele containers is een gemiddelde bedieningstijd bekend. Met een gewogen gemiddelde is dan de bedieningstijd voor een heel deel te berekenen. Containers die klanten vaker bezoeken krijgen een hogere weging. Verder kan het zijn dat een klant meerdere types afval in hetzelfde deel wegbrengt. In figuur 10 staan de volgende gegevens: per deel de gewogen gemiddelde bedieningstijd voor één container, het aantal containers binnen dat deel dat gemiddeld bezocht wordt en de gemiddelde tijd die een klant in dat deel doorbrengt. tijd per container (min) bezochte containers gemiddelde bedieningstijd (min) hal 3.38 1.65 5.56 puin 5.63 1.22 6.88 groen 9.07 1.00 9.07 rest 2.12 1.41 3.00 Figuur 10: bedieningstijd in diverse delen van de milieustraat Klanten doen dus gemiddeld langer over het wegbrengen van groenafval dan over het wegbrengen van al hun spullen uit de categorie rest. Geen van de klanten had zowel groenafval als grond bij zich, dus in de categorie groen bezocht iedereen maar één container. Klanten van de hal moeten vaak meerdere types afval in de hal wegbrengen (bijvoorbeeld brandbaar en hout), gemiddeld gaat een klant in de hal naar 1.65 containers. Veel mensen hebben types afval bij zich die in verschillende delen weggebracht moeten worden. Ze gaan langs de delen in de volgorde hal, puin, groen, rest. Van 271 mensen weten we precies wat ze bij zich hadden en dus in welke delen ze moesten zijn. Die informatie is te vinden in figuren 11 en 12. Combinatie Percentage alleen 1 26.94 % alleen 2 5.54 % alleen 3 10.33 % alleen 4 7.75 % 1+2 7.38 % 1+3 1.48 % 1+4 30.26 % 2+3 1.48 % 2+4 0.37 % 3+4 1.85 % 1+2+3 0.37 % 1+2+4 4.06 % 1+3+4 1.48 % 2+3+4 0.37 % 1+2+3+4 0.37 % Figuur 11: Waar moesten klanten afval wegbrengen? 14 Milieustraat
Bijna drie op de vier mensen bezoeken de hal. Veel mensen hebben spullen voor de hal en nog afval van het type rest bij zich. Ook mensen met alleen de hal als bestemming komen veel voor. Het aantal parkeerplekken per deel, ofwel het aantal klanten dat tegelijk afval weg kan gooien in een gedeelte, hebben we bepaald op basis van de expertise van de opdrachtgever, de ruimte op de plattegrond en door een bezoek aan de milieustraat zelf. Bij de delen puin, groen en rest is het aantal plekken respectievelijk 4, 3 en 3. In de hal is er veel ruimte, maar die kan in de praktijk niet volledig benut worden. Vaak blokkeren auto s elkaar op de smalle oprit naar de hal. Bovendien komen in de hal relatief veel auto s met aanhangers, die veel plek innemen. Blokkeringen en grote auto s komen niet voor in ons model. Om de problemen in de hal toch mee te nemen, kiezen we ervoor het aantal plekken in de hal te beperken tot 6 en de gemiddelde bedieningstijd te verhogen naar 7.00 minuten. Figuur 12: Waar moesten klanten afval wegbrengen? Nu bekend is in welke delen mensen moeten zijn en hoe lang ze gemiddeld in elk deel zijn, kan ook een totale bedieningstijd voor het terrein berekend worden. Die is 9.4 minuten. In figuur 9 zagen we al dat op een rustig terrein de klant ongeveer 10.6 minuten nodig heeft. Blijkbaar kost de controle bij de poort en het rijden over de milieustraat ongeveer 1.2 minuten. Als het terrein drukker is, komt er ook nog de tijd bij om te wachten op een parkeerplek. Zo kan de gemiddelde bedieningstijd voor de milieustraat oplopen naar meer dan 14 minuten. Om knelpunten te vinden kan de bezettingsgraad uitgerekend worden. De bezettingsgraad 15 Milieustraat
is een getal tussen 0 en 1 dat aangeeft hoe druk het in een deel is. Een bezettingsgraad van bijna 1 geeft aan dat er bijna net zo veel mensen aankomen als het deel aankan. Dan ontstaan er rijen. De bezettingsgraad wordt berekend met ρ = λ, ofwel de aankomstintensiteit cµ maal de gemiddelde bedieningstijd gedeeld door het aantal parkeerplekken. Hal Puin Groen Rest Percentage bezoekt dit deel 72.36 % 19.97 % 17.76 % 46.53 % Aankomstintensiteit λ 0.7960 0.2197 0.1954 0.5118 Bedieningstijd 1 µ 7.00 6.88 9.07 3.00 Parkeerplekken c 6 4 3 3 Bezettingsgraad ρ 0.93 0.38 0.59 0.51 Figuur 13: Bezettingsgraad voor de verschillende delen, met λ = 1.1 De hal heeft de hoogste bezettingsgraad, dicht bij 1, wat aangeeft dat de hal een knelpunt zal vormen. De gebruikte aankomstintensiteit van 1.1 is maar een gemiddelde over de dag. Op drukke momenten, zoals zaterdag tussen 13.00u en 14.00u, zal de aankomstintensiteit hoger liggen. De bezettingsgraad van de hal kan dan groter worden dan 1. Dat betekent dat er meer mensen aankomen dan de hal kan verwerken. Het gevolg is een groeiende rij die pas verdwijnt als het weer rustiger wordt. 16 Milieustraat
4 Simulatie model voor de poort In dit hoofdstuk wordt de simulatie voor het eenvoudige model voor de poort beschreven. De hele milieustraat is in dit model een grote multiserver met verdeling G. Met de data-analyse kon geen goede benadering voor die verdeling gevonden worden, dus een theoretische analyse aan de hand van het M/G/c model wordt lastig. In plaats daarvan richten we ons op een simulatie van dit model. Dit is een computerprogramma waarin de M/G/c wachtrij wordt gesimuleerd. De computer kiest op basis van de parameters van het model willekeurig aankomsttijden en bedieningstijden van klanten. De wachtrij wordt zo nagebootst en er kunnen gemakkelijk allerlei statistieken worden bijgehouden. 4.1 Werking De simulatie is geschreven als een zogenaamde discrete event simulation. Dit wil zeggen dat de tijd in de simulatie niet continu verloopt, maar er wordt van event naar event gesprongen. Bij dit model is er sprake van twee events. Allereerst is er een aankomstevent. Bij dit event komt een klant het systeem binnen. Als niet alle servers bezet zijn wordt de klant meteen in bediening genomen, anders sluit de klant aan in de wachtrij. Het tweede event is het vertrekevent. Bij dit event is de bediening van een klant afgerond en verlaat hij het systeem. Bij dit event komt er dus een server vrij. In het geval dat er klanten staan te wachten wordt de server meteen weer in gebruik genomen, als er geen wachtrij is zal de server moeten wachten op een klant. Aan het begin van de simulatie zijn alle servers onbezet en is er geen wachtrij. Er vindt als eerst een aankomstevent plaats, daarna volgen de verschillende events elkaar op. De volgorde van deze events wordt bepaald door de aankomsttijden en de bedieningstijden die de computer kiest. Aankomsttijden worden exponentieel gekozen op basis van de parameter λ, de bedieningstijden worden getrokken op basis van de empirische verdeling van de beschikbare data. Uit de data kunnen we bijvoorbeeld zien dat 41.9% van de klanten een bedieningstijd heeft kleiner of gelijk aan 10 minuten. In de simulatie wordt dus ook met kans 0.419 een bedieningstijd kleiner of gelijk aan 10 minuten gekozen. Op deze manier worden dus bedieningstijden gekozen in overeenstemming met de beschikbare data. De simulatie wordt na een bepaalde gesimuleerde tijd stopgezet. 4.2 Controle Er is geen data beschikbaar over de lengte van de wachtrij bij de milieustraat op verschillende tijden. Dus we kunnen op die manier niet controleren of de simulatie goed werkt. In plaats daarvan zullen we een kleine aanpassing maken in de simulatie: de bedieningstijden worden nu niet uit de empirische verdeling getrokken, maar uit een exponentiële verdeling getrokken. Hierdoor wordt de theoretische analyse eenvoudig (zie 7.2) en kunnen we aan de hand van die analyse de simulatie controleren. We kiezen de gemiddelde bedieningstijd 1 µ =1, en stellen de bezettingsgraad ρ = λ µc gelijk aan 0.9. Bij verschillende waarden van c zal de waarde van λ dus ook verschillen. We voeren de simulatie uit voor verschillende waarden van c, en vinden de betrouwbaarheidsintervallen 17 Milieustraat
voor de gemiddelde wachttijd en de wachtkans in figuur 14. De betrouwbaarheidsintervallen zijn gebaseerd op 100 simulaties die ieder 10.000 minuten duren. c E[W ] 95%B.I.voor W W 95% B.I. voor W 1 9,00 [8,31 ; 9,08] 0,90 [0,895 ; 0,901] 2 4,26 [4,05 ; 4,30] 0,85 [0,848 ; 0,853] 5 1,53 [1,47 ; 1,53] 0,76 [0,759 ; 0,764] 10 0,67 [0,66 ; 0,68] 0,67 [0,667 ; 0,671] 20 0,28 [0,27 ; 0,28] 0,55 [0,547 ; 0,551] Figuur 14: Theoretische en gesimuleerde gemiddelde wachttijden en wachtkansen We zien dat de theoretische waarden bij alle geteste waarden van c in de betrouwbaarheidsintervallen liggen. Op basis van deze resultaten kunnen we zeggen dat de simulatie inderdaad goed werkt. 4.3 Resultaten We gebruiken c = 17, het aantal auto s dat tegelijkertijd op het terrein mag. We kijken voor verschillende waarden van λ wat er bij de simulatie gebeurd. Allereerst zien we dat voor λ groter of gelijk aan 1.2 het systeem niet stabiel is. De servers kunnen de toestroom van klanten dan niet aan. Dit komt omdat de bezettingsgraad ρ dan groter wordt dan 1: ρ = λe[w ] c = 1.2 14.26 17 > 1 (1) Lengte 12 10 8 6 4 2 Figuur 15: Wachtrij voor λ = 1.1 18 Milieustraat
Voor kleinere waarden van λ zien we wel een stabiel systeem. In figuur 15 is de wachtrij te zien bij λ = 1.1 en in figuur 16 bij λ = 0.9 voor een dag van zes uur. Lengte 12 10 8 6 4 2 Figuur 16: Wachtrij voor λ = 0.9 Bij beide aankomstintensiteiten is te zien dat het gedurende de dag lang vrij rustig, maar er kunnen grote pieken ontstaan. Bij de grotere waarden van λ zullen deze pieken uiteraard groter zijn. In figuur 17 zijn betrouwbaarheidsintervallen voor de gemiddelde wachttijd, de wachtkans en de gemiddelde conditionele wachtkans te zien. De conditionele wachtkans is als volgt gedefinieerd: P[W = w W > 0] (W de wachttijd afgerond op hele minuten, dus discreet), de betrouwbaarheidsintervallen zijn weer gebaseerd op 100 simulaties met elk een duur van 10.000 minuten. λ 95% B.I. voor E[W ] 95% B.I. voor W 95% B.I. voor E[W W > 0] 1,1 [4,96 ; 5,45] [0,64 ; 0,66] [7,62 ; 8,22] 1,0 [1,46 ; 1,57] [0,37 ; 0,39] [3,89 ; 4,08] 0,9 [0,47 ; 0,51] [0,18 ; 0,19] [2,54 ; 2,67] Figuur 17: Gesimuleerde waarden bij verschillende waarden van λ Uit de gevonden waarden blijkt dat een afname van λ met 0.1 al een groot effect heeft op de wachttijd, wachtkans en conditionele wachttijd. Bij λ = 0.9 zijn de resultaten nog gunstiger. 19 Milieustraat
5 Simulatie model voor terrein Het tweede model is een stuk gedetailleerd dan het eerste model. Deze simulatie bootst dit model na. Klanten komen aan volgens een Poisson proces met een intensiteit die variëert over de dag. Er is een maximaal aantal klanten op het terrein en er ontstaat een rij voor de poort als het terrein vol is. Klanten hebben tijd nodig om op het terrein toegelaten te worden en als ze eenmaal op het terrein zijn bezoeken ze een aantal van de vier gedeeltes waarin de milieustraat is opgedeeld. Tijdens de simulatie kunnen er weer allerlei statistieken bijgehouden worden. Allereerst is het van belang dat de simulatie de werkelijkheid goed weergeeft. Als dat bereikt is, kunnen we kleine aanpassingen aan de simulatie maken om er voor te zorgen dat de wachttijd van klanten wordt verminderd. Deze aanpassingen kunnen dan ook in de werkelijkheid worden toegepast. 5.1 Werking Ook deze simulatie is een discrete event simulation, de tijd loopt tijdens de simulatie dus niet continu, maar er wordt van event naar event gesprongen. Bij deze simulatie onderscheiden we zes verschillende events. Aankomstevent Bij dit event komt er een klant aan. Als er minder klanten op het terrein zijn dan het maximum en er is niemand in bediening bij de poort, kan deze klant meteen in bediening worden genomen bij de poort, anders sluit de klant aan in de rij bij de poort. Bij dit event wordt meteen bepaald welk afval de klant bij heeft. Dit wordt gekozen aan de hand van de percentages in tabel 11. Ook wordt er per gedeelte bepaald hoe lang de klant er over doet om zijn afval te dumpen. Vertrekevent bij de poort Bij dit event is een klant klaar met de bediening bij de poort. Deze klant zal nu naar een gedeelte van de milieustraat gaan op basis van het afval dat hij bij heeft. Als er een rij voor de poort staat, wordt de volgende klant bij de poort in bediening genomen. Vertrekevents bij de gedeeltes Als dit event wordt afgehandeld verlaat een klant een bepaald gedeelte van de milieustraat. Als de klant nog ander afval heeft behorend bij een ander gedeelte zal hij daar naar toe gaan, anders verlaat de klant het terrein. In dit laatste geval wordt er een nieuwe klant bij de poort in bediening genomen als er een rij bij de poort staat en er niemand bij de poort in bediening is. 20 Milieustraat
Een gedeelte is zo gemodelleerd dat er maar een bepaald aantal mensen tegelijk afval kan dumpen. Als er meer klanten bij een gedeelte zijn wordt er een rij gevormd. Als een klant bij een gedeelte aankomt wordt dus gekeken of de klant meteen zijn afval kan dumpen of dat hij eerst in een rij terechtkomt. Eén simulatie heeft een gesimuleerde duur van zeven uur. Per uur variëert de aankomstintensiteit op basis van de variatie in figuur 7. Tijdens een aantal uren worden er dus meer aankomstevents aangemaakt dan tijdens andere uren. Aan het eind van de dag wordt de rij voor de poort nog weggewerkt, maar er zijn geen nieuwe aankomsten. Per simulatie worden allerlei statistieken bijgehouden, zoals de rijlengte bij de poort en per gedeeltes. Vervolgens kunnen we 10.000 simulaties uitvoeren waardoor we voor al deze statistieken betrouwbaarheidsintervallen kunnen opstellen. 5.2 Huidige situatie De belangrijkste test voor de simulatie is of de huidige situatie goed beschreven wordt. Uit de data halen we de parameters voor de simulatie gegeven in figuur 18. gemiddelde λ 1.1 Capaciteit c 17 Poorttijd 30 sec Parkeerplekken Hal 6 Puin 4 Groen 3 Rest 3 Bedieningstijd Hal 7.00 Puin 6.88 Groen 9.07 Rest 3.00 Figuur 18: Parameters van de simulatie voor de huidige situatie Met deze parameters hopen we op een goede weergave van de realiteit door de simulatie, de aankomstintensiteit λ is zo gekozen dat er een drukke dag wordt gesimuleerd. In het vervolg zijn er geen betrouwbaarheidsintervallen gegeven voor de gesimuleerde waarden, maar deze intervallen zijn klein genoeg om conclusies te kunnen trekken. We zien een gemiddelde wachttijd van 9.5 minuten voor de poort en een gemiddelde wachttijd van 3.94 minuten op het terrein. In figuur 19 staat de fractie van de tijd dat er een wachtrij van bepaalde grootte voor de poort stond. 36% procent van de tijd staat er dus geen rij en 8% van de tijd staat er een rij van 32 of meer auto s. Er zijn gegevens beschikbaar over de grootte van de wachtrij of de gemiddelde wachttijd, maar deze resultaten uit de simulatie lijken de realiteit goed te weergeven. Daarnaast kunnen we uit de simulatie de gemiddelde tijd op het terrein uitzetten tegen de drukte op het terrein. Dit is te zien in figuur 20. De vorm komt goed overeen met figuur 9 uit de data-analyse. Omdat we de tijd om rond te rijden over het terrein verwaarlozen, ligt 21 Milieustraat
Rijlengte Fractie van de tijd 0 0.36 1 0.07 2-3 0.07 4-7 0.09 8-15 0.14 16-31 0.16 32-63 0.08 64-127 0.00 Figuur 19: Fractie van tijd verschillende rijlengten de lijn bij de simulatie iets lager. De simulatie geeft dus het juiste verband tussen drukte en bedieningstijd weer. Figuur 20: Gemiddelde tijd op het terrein tegen de drukte 5.3 Resultaten Nu we een goede simulatie hebben voor het tweede model en de juiste waarden voor de parameters voor de huidige situatie, kunnen we kleine aanpassingen maken aan deze parameters om zo de wachtrijen en wachttijden te verkleinen. Verlaging van de aankomstintensiteit Als we de gemiddelde aankomstintensiteit λ verlagen van 1.1 naar 1.0 zien we een grote verbetering: de gemiddelde wachttijd voor de poort is geslonken naar 3.48 minuten en de 22 Milieustraat
wachttijd op het terrein naar 2.94 minuten, een verbetering van respectievelijk 6 en 1 minuut. Er heeft dus een grote verbetering plaats gevonden voor de poort, dit is ook te zien in de grootte van de wachtrij voor de poort in figuur 21. Rijlengte Fractie van de tijd 0 0.58 1 0.09 2-3 0.07 4-7 0.07 8-15 0.08 16-31 0.05 32-63 0.01 64-127 0.00 Figuur 21: Fractie van tijd verschillende rijlengten bij kleinere aankomstintensiteit Rijen langer dan 30 auto s komen nauwelijks nog voor en ook de gemiddelde rijlengte is flink minder. Geen variabele aankomstintensiteit De aankomstintensiteit varieert over de dag. Er is op een dag een piek waar veel mensen naar de milieustraat komen. Als we deze variatie weg nemen zien we een verbetering in de lengte van de wachtrijen. Deze resultaten zijn te zien in figuur 22. We zien een kleine verlaging van de lengte van de wachtrij. Rijlengte Fractie van de tijd 0 0.47 1 0.09 2-3 0.08 4-7 0.09 8-15 0.11 16-31 0.09 32-63 0.03 64-127 0.00 Figuur 22: Fractie van tijd verschillende rijlengten zonder variatie van aankomstintensiteit Vergroting van de capaciteit bij de hal De hal vormt het knelpunt in de milieustraat. Als we het aantal parkeerplekken bij de hal vergroten van zes naar zeven zodat meer mensen tegelijkertijd hun afval kunnen dumpen, zien we een groot afname van de rijlengte voor de poort en dus ook de gemiddelde wachttijd. Dit is weergeven in figuur 23. 23 Milieustraat
Rijlengte Fractie van de tijd 0 0.72 1 0.11 2-3 0.07 4-7 0.04 8-15 0.03 16-31 0.00 32-63 0.00 64-127 0.00 Figuur 23: Fractie van tijd verschillende rijlengten bij vergrote capaciteit van de hal Rijen langer dan drie auto s komen nog maar nauwelijks voor en rijen groter dan 15 auto s komen helemaal niet meer voor. De gemiddelde wachttijd voor de poort gaat naar 1.06 minuten en op het terrein naar 1.23 minuten. Vergroting van de capaciteit bij de hal brengt dus een enorme verbetering met zich mee. Twee poorten Uit het model blijkt dat de hal het knelpunt vormt. Bij de andere types afval staat zelden een rij. Ongeveer 28% van de mensen hoeft helemaal niet naar de hal. Zij staan lang in de rij terwijl ze eigenlijk allang geholpen konden worden. Daarom zouden die mensen voorrang kunnen krijgen. Mensen van midden uit de rij voorlaten is in de praktijk lastig en levert jaloerse mensen op. In plaats daarvan kunnen er ook twee poorten worden gemaakt: één voor de hal en één voor de overige delen van de milieustraat. Bezoekers voor de hal gaan in de rij staan voor hun eigen poort. Nadat ze klaar zijn in de hal, mogen ze direct door naar de andere delen van de milieustraat. Bezoekers die niet naar de hal hoeven, kunnen door een tweede poort naar binnen. Achter de tweede poort is het meestal rustig, dus zal voor de tweede poort een veel kortere rij staan. Beide poorten laten weer maximaal 17 mensen tegelijk op het terrein. Bovendien laat de poort voor de hal alleen mensen door als er een rij van 8 of minder auto s voor de hal staat. In figuur 24 wordt de rijlengte bekeken als er twee aparte poorten worden ingevoerd. De rijlengte is in dit scenario het aantal mensen dat op straat voor één van beide poorten staat. Verreweg de langste rij zal voor de poort bij de hal staan. Bij de andere poort is de doorstroming goed: gemiddeld hoeven mensen daar maar een halve minuut te wachten. Het is dus niet zo dat de rijen voor de twee poorten door elkaar heen lopen. De invoering van twee poorten heeft een zeer gunstig effect op de lengte van de rij op straat. Niet-hal klanten zijn immers uit de rijen op straat gehaald. Rijen van meer dan 32 auto s komen half zo vaak voor: 4% in plaats van 8% van de tijd voor. Rijen van een beheersbare lengte tussen 4 en 15 auto s komen wel iets vaker voor. Verder staat er wat vaker, ongeveer 40% van de tijd, helemaal geen rij. Er kunnen nu twee mensen tegelijk de toelatingsprocedure doorlopen, dus het is niet wonderlijk dat de hele doorstroming een beetje verbeterd is. Natuurlijk willen we ook weten wat er met de wachttijden van mensen gebeurt. Eerst stond 24 Milieustraat
Rijlengte Huidig Twee poorten 0 0.36 0.40 1 0.07 0.06 2-3 0.07 0.07 4-7 0.09 0.11 8-15 0.14 0.16 16-31 0.16 0.15 32-63 0.08 0.04 64-127 0.00 0.00 Figuur 24: Fractie van tijd verschillende rijlengten bij invoering twee poorten men gemiddeld negen en een halve minuut in de rij voor de poort. Mensen die naar de hal moeten, staan in het nieuwe scenario gemiddeld ongeveer 20 seconden langer in de rij. Maar mensen die niet naar de hal hoeven, krijgen in het nieuwe model voorrang. Hun gemiddelde wachttijd voor de poort daalt dramatisch naar ongeveer 30 seconden. De wachttijden op het terrein veranderen niet significant. Deze maatregel bevoordeelt dus de minderheid van de mensen die niet naar de hal hoeven. Zij hoeven nauwelijks nog te wachten. De meerderheid die wel naar de hal moet, heeft een iets langere wachttijd, maar op een wachttijd van 10 minuten maken 20 seconden niet zo veel meer uit. Bezoekers van de hal staan wel in een kortere rij, wat psychologisch gunstiger is. Extreem lange rijen op straat komen met twee poorten veel minder vaak voor. 25 Milieustraat
6 Conclusie Bij beide simulaties hebben we gezien wat de gevolgen zijn van veranderingen in de parameters. We kijken wat de beste aanpassingen van de parameters zijn voor vermindering van de wachtrijen en hoe deze aanpassing te realiseren zijn. 6.1 Betere spreiding over de dag Het aantal mensen dat per minuut arriveert wisselt nogal van dag tot dag en van uur tot uur. Op drukke momenten ontstaan er rijen, terwijl op rustige momenten veel ruimte over is. Als een deel van de mensen die op een druk moment komen voortaan een rustig moment uitkiezen, gaat de aankomstintensiteit op drukke momenten omlaag. Bij beide modellen hebben we gezien dat een verlaging van λ een grote verbetering in de wachttijden teweeg brengt. Daarnaast hebben we ook bij het tweede model een kleine verbetering gezien wanneer de aankomstintensiteit niet varieert over de dag. Een eenvoudige manier om een betere spreiding van de drukte te bereiken is drukke dagen en uren op de website vermelden. Hopelijk kiest een deel van de bezoekers dan een rustiger moment uit. Deze aanpak kan ten onder gaan aan zijn eigen succes: Als te veel mensen niet meer op de drukke zaterdag komen, wordt de melding op de website overbodig. Bovendien kunnen er nieuwe dagen en tijden ontstaan waarop het druk is, wat natuurlijk niet de bedoeling is. Voor deze maatregel moet meer bekend worden over hoe mensen reageren op een mededeling op een website. Figuur 25: Beeld van de webcam aan de Lodewijkstraat Een maatregel die al toegepast is, is het ophangen van een webcam bij de ingang. Mensen kunnen voor vertrek op de website kijken hoe lang de rij is. Als het naar hun zin te druk is, kunnen ze wat later gaan. Helaas hangt de webcam er wel maar zijn er geen beelden te zien 26 Milieustraat
op de website van de gemeente. Op een andere website is ook geen livestream, maar kan er wel een foto gemaakt worden van de situatie. De webcam kan helpen de aankomstintensiteit te verlagen en is wiskundig gezien dus een geschikte oplossing. Wel moet er ook rekening gehouden worden met privacy. Hoe laag kan λ op zijn best worden? Gedurende de 413 60 = 24780 minuten openingstijd arriveerden naar schatting 14803 1.125 16653 mensen. Als die zich allemaal over de hele periode gelijkmatig zouden verspreiden, zou gelden λ = 16653 0.67. Een nog lagere 24780 aankomstintensiteit kan alleen nog bereikt worden door langer open te zijn. 6.2 Langere openingstijden Langere openingstijden kunnen de aankomstintensiteit verlagen, omdat het totale aantal klanten over meer tijd verdeeld wordt. In de laatste uren op doordeweekse dagen komen vaak maar zo n 5 klanten per uur. Nog langer open zijn op zo n dag is dan niet rendabel. Op zaterdagochtend om 9.00 uur beginnen kan wel beter werken. Hopelijk vermindert dat de groep die al voor openingstijd gaat staan wachten en wordt zo de piek om 10.00 uur wat lager. Wij adviseren om alleen de openingstijden te verruimen op drukke dagen zoals zaterdag, en dan bij voorkeur eerder openen. Uit de groep die voor openingstijd al gaat wachten blijkt dat mensen liever eerder op de dag komen. 6.3 Capaciteit van de hal Bij het tweede model hebben we gezien dat een verhoging van de capaciteit van de hal de wachtrijen voor de poort sterk verkleint. Dit komt omdat de hal het grootste knelpunt in de milieustraat is. In de praktijk kan dit worden gerealiseerd door het plaatsen van extra containers voor de afvaltypes behorend bij de hal. Ook een verruiming van de hal zodat blokkades niet meer voorkomen zal gunstig zijn. Als deze blokkades minder vaak voorkomen zal de capaciteit van de hal beter worden benut wat dus ook leidt tot kleinere wachtrijen en tijden. 6.4 Voorrang geven Om de rijen op straat fors te verminderen, kunnen twee poorten gebruikt worden. Naast de bestaande poort komt dan een nieuwe poort voor bezoekers van de hal. Het eenrichtingsverkeer in de hal blijft, en het wordt verboden de hal in te rijden vanuit de rest van de milieustraat. Bezoekers voor de hal moeten dus door de nieuwe poort, anderen kunnen door de bestaande poort waar het rustiger is. De kosten voor deze maatregel bestaan uit de eenmalige kosten van het bouwen van een tweede poort, en de permanente kosten van een tweede poortmedewerker. Omdat er meestal al iemand bij de ingang van de hal staat, is een extra medewerker misschien niet nodig. Ook moet er een duidelijke bewegwijzering komen zodat klanten weten bij welke poort ze moeten zijn. Het gevolg van twee poorten is dat de rij op straat flink korter wordt. Met name rijen van meer dan 32 auto s, die grote problemen opleveren, komen half zo vaak voor. Ongeveer 28% van de klanten hoeft niet naar de hal. Zij hoeven met twee poorten bijna niet meer 27 Milieustraat
te wachten. De overige 78% van de mensen wacht ongeveer even lang, maar wel in een kortere rij. Zij hebben alleen een psychologisch voordeel. Deze maatregel kan problemen op straat verminderen en de gemiddelde wachttijd laten dalen, maar de voordelen komen wel bij een minderheid van de mensen terecht. Er zal een afweging gemaakt moeten worden of dat wenselijk is. 28 Milieustraat