1. In figuur 1 zie je gegevens over de aardgasbaten in Nederland gedurende de periode 1985-1994. Je ziet zowel een staafdiagram als een frequentiepolygoon. Aardgasbaten figuur 1 (a) In welk jaar is de relatieve afname van de aardgasbaten het grootst vergeleken met het jaar ervoor? Hoeveel procent is die afname? (b) Hoeveel was het BNP (BNP: Bruto Nationaal Produkt) in 1991? (c) Was het aandeel van de aardgasbaten in het BNP begin 1987 ongeveer 4 %? Leg uit! 2. De Gasunie maakt bij het afzetten van gas onderscheid tussen export, energiecentrales, industrie en distributiebedrijven. Zie de tabel. Afzet Gasunie in miljarden m 3 jaar export energie- industrie distributie- totaal centrales bedrijven 1986 32 8 12 22 74 1988 30 8 12 20 70 1990 36 7 13 21 77 1992 42 8 13 24 87 1994 40 8 13 25 86 1996 50 6 15 28 99 (a) Teken een frequentiepolygoon bij de totale gasafzet. Kies op de vertikale as een geschikte eenheid en gebruik een scheurlijn. ( Langs de vertikale staat niet 0, etc. maar bijvoorbeeld 60, etc. Er is een gedeelte afgescheurd. ) (b) Teken bij 1996 een cirkeldiagram (c) Teken bij de tabel een vlakdiagram 1
3. Zie de tabel. Schatting van de gasreserves in triljoenen m 3 (1 triljoen = 10 18 ) jaar Oost Midden West Afrika Overig totaal Europa Oosten Europa bedrijven 1969 12 8,5 7 5 17,5 50 1994 58,5 48 10,5 6 27 150 (a) Maak een cirkeldiagram bij de gegevens van 1969. Neem als straal 2 cm. (b) Teken een cirkeldiagram bij de gegevens van 1994. Neem weer 2 cm als straal. Omdat de cirkeldiagrammen in de vragen (a) en (b) even groot zijn, kun je het verschil in de totalen niet meer herkennen. Dit lukt wel door het cirkeldiagram bij 1994 groter te tekenen dan bij 1969. Daarbij is de oppervlakte van een cirkeldiagram een maat voor de totale gasreserve. We zeggen dat we de cirkeldiagrammen opvatten als oppervlaktediagrammen. Omdat de totale gasreserve in 1994 drie keer zo groot is als in 1969 moet de oppervlakte van het cirkeldiagram bij 1994 drie keer de oppervlakte van het cirkeldiagram bij 1969 zijn. (c) Volgt hieruit dat de straal van het cirkeldiagram bij 1994 drie keer zo groot moet zijn als de straal bij het cirkeldiagram bij 1969? 4. (a) Bij de plaatsen Doetinchem en Maastricht zijn twee cirkeldiagrammen getekend waarin de leeftijdsopbouw van de bevolking is verwerkt. De stralen zijn r D = 1, 5 cm en r M = 2, 5 cm. Doetinchem heeft 42000 inwoners. Hoeveel inwoners heeft Maastricht? (b) Ook bij de plaatsen Putten (21000 inwoners) en Enschede (147000 inwoners) worden cirkeldiagrammen getekend. De straal van het cirkeldiagram bij Putten is 2 cm. Bereken in mm nauwkeurig de straal van het cirkeldiagram bij Enschede. 5. Zie figuur 2. Europeanen gebruiken relatief veel alternatieve energie figuur 2 2
(a) Licht het opschrift toe. (b) Bij 2 hoort de voormalige Sovjet-Unie met een energieverbruik van 900 miljoen ton olieequivalent in 1996. Licht toe dat het energieverbruik in Europa ongeveer 1800 miljoen ton olie-equivalent is. Hoeveel daarvan is niet-fossiele energie? (c) Geeft het energieverbruik in de andere regio s. 6. In figuur 3 zie je een pictogram, ook beelddiagram genoemd. In een advertentie van het Engelse dagblad The Times werd vermeld dat het blad 2244500 lezers had. Dat was meer dan de andere vier kranten samen. figuur 3 (a) Hoe kun je aantallen lezers terugvinden in de grootte van de auto s? (b) Lever kritiek op deze advertentie. 7. Figuur 4 gaat over het aantal inwoners dat fietst in enkele landen. figuur 4 (a) Hoeveel fietsen zijn er in Spanje? 3
(b) In Mexico zijn ongeveer zeven miljoen fietsen. Hoeveel inwoners heeft Mexico? (c) Geef de verhouding van het aantal fietsen in Italië tot dat in Zuid-Korea. Zorg dat in een verhouding één van de getallen 1 is. Dus niet 7 : 25, maar 1 : 3,6 en niet 38 : 14 maar 2,7 : 1. (d) Geef de verhouding van het aantal fietsen per persoon in China tot dat in Zuid-Korea. 8. In de statistiek werkt men vaak met indexcijfers. Indexcijfers zijn in feite percentages. Eén van de waarnemingsgetallen stel je 100. Daarna druk je de de andere waarnemingsgetallen daarin uit. We lichten dit toe aan de hand van de volgende tabel. Buitenlandse vakantiebestemmingen van de Nederlander in de periode van 1 maart t/m 31 augustus 1998 land Frankrijk Spanje Duitsland België Italië aantal( 1000) 1560 990 740 550 460 We kennen aan Duitsland het indexcijfer 100 toe. Notatie: Duitsland = 100. Het indexcijfer van Spanje is dan 900 100 134. 740 (a) Bereken de indexcijfers van de andere landen in gehelen nauwkeurig. (b) Stel Spanje = 100. Bereken de indexcijfers voor Frankrijk, Duitsland en Italië. 9. In figuur 5 staan gegevens over de diefstal van auto s in Nederland. figuur 5 (a) In 1980 waren er 13 duizend autodiefstallen in Nederland. Hoeveel waren er in 1992? (b) Hoeveel van de gestolen auto s in 1996 werden weer teruggevonden? (c) In welke van de aangegeven perioden van vier jaar is de toename van de autodiefstal relatief het grootst geweest? En in welke periode absoluut het grootst? (d) Waarom zijn de volgende twee uitspraken beide te verdedigen? - Vergeleken met 1980 gaat het in 1984 beter met het terugvinden van gestolen auto s. 4
- Vergeleken met 1980 gaat het in 1984 slechter met het terugvinden van gestolen auto s. (e) In 1994 was het terugvindpercentage 63. Er werden toen 22,2 duizend auto s teruggevonden. Bereken het indexcijfer van het aantal gestolen auto s in 1994 bij het basisjaar 1988 = 100. 10. Bij een onderzoek naar de gezondheid van het personeel van een bedrijf is van 80 volwassen mannen onder andere de lengte bepaald. Dit leverde de volgende tabel op Lengte volwassen mannen in cm 175 173 196 183 178 181 172 187 181 181 185 180 187 182 180 176 184 182 178 191 161 182 189 177 176 180 176 184 188 185 180 185 171 170 176 169 172 169 182 174 176 188 176 174 185 189 187 172 196 194 178 176 185 181 193 187 197 178 179 181 175 190 181 185 178 164 178 202 188 167 171 165 178 170 182 177 182 180 191 183 Er zijn verschillende manieren om orde in deze tabel te scheppen. (a) Je kunt een steel-bladdiagram maken. Van het waarnemingsgetal 175 is 17 de stam : het aantal tientallen, 5 het blad : het aantal eenheden. Maak het steel-bladdiagram hiernaast af. Rangschik daarna de bladeren steeds van klein naar groot. (b) Je kunt ook een frequentietabel maken waarin je van elk waarnemingsgetal de frequentie vermeldt. Waarom is een frequentietabel hier niet zo zinvol? Om een goed overzicht te krijgen van de verdeling van de 80 lengten heb je een steelbladdiagram gemaakt. Een andere, veel gebruikte methode is het verdelen van de lengte in groepen. Deze groepen heten klassen. Vervolgens ga je turven hoeveel waarnemingsgetallen tot elke klasse behoren. - Maak de klassen even breed. Geef ze dus dezelfde klassenbreedte. - Neem het aantal klassen niet te klein, maar ook niet te groot. Kies voor 6 10 klassen. De kleinste lengte in bovenstaande tabel is 161 cm en de grootste is 202 cm. Het verschil is 202 161 = 41 Omdat 41 41 7 en 4 is de klassenbreedte 5 een geschikte 6 10 keuze. Een verstandige klassenindeling is 160 < 165, 165 < 170, 200 < 205. Met 160 < 165 geven we aan dat de linkergrens wel tot het interval behoort maar de rechtergrens niet. Met de intervalnotatie kun je voor de klasse 160 < 165 schrijven [160, 165. 5
(c) Deze frequentieverdeling kan op de volgende manieren grafisch worden weergegeven. Zoek uit hoe deze twee grafische weergaven heten. 11. (a) Maak bij de lengten van de 80 mannen uit opgave 10 nog een keer een frequentieverdeling, nu in klassen met klassenbreedte 15. Neem als eerste klasse 160 < 175. (b) Teken een histogram en een frequentiepolygoon bij deze klassenindeling. (c) Geef een nadeel van een te klein aantal klassen. (d) Geef een nadeel van een te groot aantal klassen. 12. Op een gevaarlijk kruispunt is een jaar lang bijgehouden wat de leeftijd is van de bij de ongelukken betrokken personen. Leeftijd Zie het steel-bladdiagram hiernaast. 0 6 6 7 9 1 2 2 2 3 5 6 7 7 7 8 2 0 3 3 7 8 3 5 7 7 4 8 9 9 9 5 0 0 6 2 2 2 3 5 6 7 5 8 8 3 4 9 1 6
(a) Maak een frequentieverdeling. Neem als klassen 0-19, 20-39,... en bereken van elke klasse de relatieve frequentie. relatieve frequentie = frequentie totale frequentie 100% (b) Teken een relatieve-frequentiepolygoon bij de klassenindeling. (c) Het steel-bladdiagram is op te vatten als een bijzonder frequentiepolygoon. Wat zijn de klassen? 13. Er wordt 60 keer met vijf dobbelstenen gegooid en telkens wordt de som van de ogenaantallen genoteerd. Het resultaat is: 15 17 22 16 23 20 24 20 16 21 22 16 18 16 21 14 11 14 23 12 22 20 18 17 18 16 15 18 14 18 22 17 23 21 19 17 20 23 26 17 17 24 18 15 15 12 20 20 18 14 22 17 15 12 13 14 25 18 7 18 (a) Maak een relatieve-frequentieverdeling. Neem als klassen 5-7, 8-10, 11-13,... (b) Geef de klassengrenzen van de eerste klasse en geef de klassenbreedte bij deze frequentieverdeling. (c) Teken een histogram bij de relatieve frequentieverdeling. Zet op de horizontale as eerst de klassen uit door de klassengrenzen aan te geven. 14. Bij een warenhuis wordt nagegaan hoeveel klanten per minuut binnenkomen. aantal klanten per minuut 12 13 14 15 16 17 18 frequentie 7 9 11 14 8 6 2 (a) Teken bij deze frequentietabel een histogram Omdat je hier te maken hebt met klassenbreedte 1, zet je op de horizontale as niet de klassengrenzen,..., maar midden onder elk staafje het waarnemingagetal. (b) Hoe lang duurde de telling? (c) Hoeveel klanten kwamen er tijdens de telling binnen? Het is gebruikelijk een histogram op te vatten als een oppervlaktediagram. De opppervlakte van elke staaf is dan een maat voor de frequentie van de bijbehorende klasse. Tot nu toe hadden we hier niet mee te maken want de klassen waren steeds even breed. Bij niet even brede klassen gebruiken we het begrip frequentiedichtheid. frequentiedichtheid van een klasse = frequentie van de klasse klassenbreedte Door boven elke klasse de frequentiedichtheid uit te zetten, ontstaat het gewenste histogram (zie figuur 6). bruto-jaarinkomen frequentie klassenbreedte frequentiedichtheid 1000 1000 per 1000 0 < 20 10 20 0,5 20 < 40 12 20 0,6 40 < 50 9 10 0,9 50 < 60 7 10 0,7 60 < 85 9 25 0,36 85 < 100 3 15 0,2 7
figuur 6 15. Aan de leerlingen van een klas is gevraagd hoeveel minuten ze onderweg zijn van huis naar school. Zie de klassenindeling hieronder. tijd in minuten frequentie 0 < 5 8 5 < 10 12 10 < 20 4 20 < 45 6 Bereken van alle klassen de frequentiedichtheid en teken het histogram. 16. In een flat is van elke bewoner de leeftijd genoteerd. Zie de klassenindeling. leeftijd frequentie 0 < 10 8 10 < 20 12 20 < 30 6 30 < 50 25 50 < 75 14 75 < 100 8 figuur 7 In figuur 7 zie je een histogram bij deze frequentieverdeling. 8
De frequentiedichtheid per 10 jaar van de klasse 75 < 100 is gelijk aan 8 80 10 = 25 25. Als eenheid van klassenbreedte is hier 10 jaar genomen. Teken bij de frequentieverdeling een histogram waarbij je de eenheid van klassenbreedte 5 jaar neemt. Zet bij de vertikale as frequentiedichtheid per 5 jaar. 17. De tabel hieronder geeft informatie over de bruto-maandlonen bij de firma Aalten. bruto maandloon frequentie 1000 < 1500 60 1500 < 2250 150 2250 < 3250 180 3250 < 4500 200 4500 < 6000 120 6000 < 10000 100 (a) Neem 500 gulden als eenheid van klassenbreedte. Hoeveel is dan de frequentiedichtheid per 500 gulden van de klasse 1500 < 2250? En van de klasse 6000 < 10000? (b) Teken het bijbehorende histogram. Zet bij de vertikale as frequentiedichtheid per 500 gulden. (c) Het histogram in figuur 8 gaat over de vrouwelijke werknemers bij de firma Aalten. Bruto-maandloon van de vrouwen bij Aalten figuur 8 (d) Hoeveel vrouwen verdienen meer dan 6000 gulden per maand? (e) Hoeveel vrouwen werken er bij de firma Aalten? (f) In welke inkomensklassen zijn de vrouwen ondervertegenwoordigd? Hieronder zie je een frequentieverdeling van de leeftijden van de werknemers van de firma Berkeloord. 9
Leeftijden werknemers klasse frequentie 20 < 25 2 25 < 30 4 30 < 35 9 35 < 40 5 40 < 45 3 45 < 50 1 Bij statische problemen krijg je regelmatig te maken met vragen als: Hoeveel van de werknemers zijn jonger dan 30 jaar? Het is dan handig om daarbij gebruik te maken van het begrip cumulatieve frequentie. De cumulatieve frequentie van de klasse 35 < 40 krijg je door de frequentie van deze klasse en al de voorafgaande klassen op te tellen. Dus de cumulatieve frequentie van de klasse 35 < 40 is 20.In de volgende tabel is de cumulatieve frequentie van elke klasse berekend. Ook is de relatieve cumulatieve frequentie vermeld, dus de cumulatieve frequentie in procenten. klasse frequentie cumulatieve relatieve cumulatieve frequentie frequentie 20 < 25 2 2 8,3 25 < 30 4 6 25,0 30 < 35 9 15 62,5 35 < 40 5 20 83,3 40 < 45 3 23 95,8 45 < 50 1 24 100 In figuur 9 is het bijbehorende cumulatieve frequentiepolygoon getekend. Kijk goed hoe dit polygoon getekend moet worden. Leeftijden werknemers figuur 9 10
18. in tegenstelling tot een (gewone) frequentiepolygoon is bij een cumulatieve frequentiepolygoon gekozen voor het uitzetten van de punten boven de rechtergrens van de klassen. Waarom denk je dat dit is gedaan? 19. Bij een bevolkingsonderzoek noteert men de lengte van een groep vrouwen. Zie de tabel. lengte in cm frequentie 155 < 160 538 160 < 165 1135 165 < 170 1218 170 < 175 941 175 < 180 657 180 < 185 83 (a) Bereken van elke klasse de cumulatieve frequentie en ook de relatieve cumulatieve frequentie. (b) Teken de relatieve cumulatieve frequentiepolygoon. 20. Bij een warenonderzoek heeft men in twee supermarkten hetzelfde pakket artikelen gekocht. Bij beide supermarkten is van elk artikel de prijs genoteerd. Het resultaat is verwerkt in figuur 10. figuur 10 (a) Uit hoeveel artikelen bestaat het pakket? In hoeveel prijsklassen heeft men de artikelen ingedeeld? (b) Hoeveel waarnemingsgetallen behoren bij supermarkt A tot de klasse 300 < 400? En hoeveel zijn dat er bij supermarkt B? (c) Van hoeveel artikelen in het pakket is bij supermarkt A de prijs minstens 3 gulden? En van hoeveel bij supermsrkt B? 11
(d) Welke van de twee supermarkten is het goedkoopst? Hoe kun je dat in figuur 10 zien? (e) Teken bij de verdeling van de prijzen van supermarkt A de relatieve frequentiepolygoon. 21. Een groep leerlingen heeft twee tests gemaakt. De resultaten van de behaalde aantallen zijn verwerkt in de cumulatieve frequentiepolygoon in figuur 11. figuur 11 (a) Hoeveel leerlingen maakten de tests? Wat weet je van het hoogste aantal punten dat werd behaald? (b) Hoeveel leerlingen haalden voor - test I minder dan 30 punten? - test II minstens 30 punten? - test I 20 of meer, maar minder dan 30 punten. (c) Welke test was volgens jou de eenvoudigste? Waarom? (d) Bekijk de 25 leerlingen die bij test I als beste uit de bus zijn gekomen. Hoeveel punten, schat je, scoorden deze leerlingen gemiddeld? Beantwoord dezelfde vraag voor de 25 beste leerlingen bij test II. (e) Verwerk de resultaten van test I in een histogram. (f) Verwerk de resultaten van test II in een frequentiepolygoon. 12
22. Maak een (mogelijke) schets van het histogram van een frequentieverdeling waarvan de cumulatieve frequentiepolygoon a afnemend stijgend is b constant stijgend is c drie horizontale stukken bevat d toenemend stijgend is 13