11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool: Een parabool is een verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een lijn en een punt dat niet op een lijn ligt. Let op: Een parabool kun je dus op een meetkundige manier beschrijven, maar ook met behulp van een formule. Oorspronkelijk werd een parabool in de wiskunde meetkundig beschreven. Pas veel later is er hier een formule voor gekomen. 1

11.1 De parabool [1] Algemeen: De parabool is getekend in een assenstelsel. De top van de parabool is O(0, 0). Het brandpunt is F(½p, 0). De symmetrieas is y = 0. De richtlijn heeft de vergelijking x = -½p. Voor een punt P(x, y) op de parabool geldt: d(p, F) = d(p, l). ( x p) y x p 1 1 ( x p) y ( x p) 1 1 2 x px p y x px p y 2 1 2 1 2 4 4 2 2px Er geldt: De vergelijking van de parabool me brandpunt F(½p, 0) en richtlijn l:x = -½p is y 2 = 2px. 2

11.1 De parabool [2] Voorbeeld 1: Van de parabool y 2 = 6x is de top (0, 0), de richtlijn x = -1½, brandpunt (1½, 0) en de symmetrieas y = 0. Pas de translatie (-3, -4) toe. (y + 4) 2 = 6(x + 3) (y + 4) 2 = 6x + 18 (y + 4) 2 16 = 6x + 2 y 2 + 8y = 6x + 2 Deze parabool heeft een top (-3, -4), een richtlijn x = -4½, brandpunt (-1½, -4) en de symmetrieas (as van de parabool) y = -4. Dit is een liggende parabool met de opening naar rechts. 3

11.1 De parabool [2] Voorbeeld 2: Gegeven is de parabool y = ½x 2 + 2x 5. Bereken de coördinaten van het brandpunt F van de parabool en stel een vergelijking op van de richtlijn l. y = ½x 2 + 2x 5 2y = x 2 + 4x 10 2y = (x + 2) 2 4 10 (x + 2) 2 = 2y + 14 (x + 2) 2 = 2(y + 7) T.o.v. de parabool x 2 = 2y met brandpunt (0, ½) en richtlijn y = -½ vindt er nu een translatie (-2, -7) plaats. Deze parabool heeft het brandpunt F(-2, -6½) en richtlijn l:y = -7½ 4

11.1 De parabool [3] Algemeen 1: De lijn y = ax + b met a 0 raakt de parabool y 2 = 2px als het stelsel y ax b 2 y 2px één oplossing heeft. (ax + b) 2 = 2px [Vergelijking 1 invullen in vergelijking 2] a 2 x 2 + 2abx + b 2 = 2px a 2 x 2 + (2ab 2p)x + b 2 = 0 [Tweedegraads vergelijking] Bij raken geldt D = 0 (2ab 2p) 2 4a 2 b 2 = 0 4a 2 b 2 8abp + 4p 2 4a 2 b 2 = 0-8abp = -4p 2 2ab = p p b 2a De lijn k met richtingscoëfficiënt a die de parabool y 2 = 2px raakt heeft vergelijking p k : y ax 2a 5

11.1 De parabool [3] Algemeen 2: Stel de vergelijking op van de lijn k die de parabool y 2 = 2px raakt in het punt A(x A, y A ) met p > 0 en y A > 0. Stap 1: Het punt A ligt op de halve parabool: y 2 y 2px 2px Stap 2: Stel de vergelijking op van de lijn k. Stel hiervoor eerst de afgeleide functie op om de richtingscoëfficiënt te berekenen: y 2px met y = u en u = 2px. dy du y' du dx 1 p p 2p 2 u 2px y 6

11.1 De parabool [3] Algemeen 2: Stel de vergelijking op van de lijn k die de parabool y 2 = 2px raakt in het punt A(x A, y A ) met p > 0 en y A > 0. Stap 2: Stel de vergelijking op van de lijn k. Stel hiervoor eerst de afgeleide functie op om de richtingscoëfficiënt te berekenen: p k : y ya ( x x A) y p y ( x x A) y y A y y p( x x ) y 2 A A A y y px px 2px A A A A A y y px px A A Algemeen: De lijn door een punt van een parabool, die loodrecht staat op de raaklijn in dat punt, heet de normaal van de parabool in dat punt. 7

11.1 De parabool [3] Voorbeeld 1: Gegeven is de parabool y 2 = -10x. Stel de vergelijking op van de lijn k met richtingscoëfficiënt ½ die de parabool raakt. a = ½ (gegeven) y 2 = 2px geeft p = -5 Met behulp van k : y ax p 2a krijg je de gevraagde vergelijking 5 k : y x x 5 1 1 2 1 2 2 2 Voorbeeld 2: Gegeven is de parabool y 2 = - 10x. Stel de vergelijking op van de lijn l die de parabool raakt in het punt 3 A( 1,4) 5 Met behulp van y y px px A A krijg je 4y = -5x 5 4y = -5x + 8 l: 5x + 4y = 8 3 1 5 8

11.1 De parabool [3] Voorbeeld 3: Gegeven is de parabool y 2 = - 10x. Stel de vergelijking op van de lijn n die de parabool loodrecht snijdt in het punt B( 8, 9) 1 5 Met behulp van y y px px A A krijg je de raaklijn m: 9 y 5x 5 8 m: 9 y 5x 41 m: y x 4 5 5 9 9 1 5 Voor de lijn n die hier loodrecht op staat geldt: [Gebruik hierbij dat de richtingscoëfficiënten van de lijnen m en n het product -1 moeten hebben.] n: y x c 9 5 n:5 y 9x c n: 9x 5 y c Invullen van het gegeven punt B( 8, 9) 1 5 geeft: 4 n:9x 5 y 118 5 9

11.1 De parabool [4] Algemeen: Raken de lijnen k en l door het punt P(x P, y P ), de parabool y 2 = 2px in de punten A en B, dan is De lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de parabool; Het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de parabool; een vergelijking van de lijn AB: y y px px A In het geval van de parabool (y y T ) 2 = 2p(x x T ) en een punt P(x P, y P ) buiten de parabool geldt voor de poollijn de volgende vergelijking: (y P y T )(y y T ) = p(x x T ) + p(x P x T ). A 10

11.1 De parabool [4] Voorbeeld: Gegeven is de parabool y 2 = 4x. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt P(-2, 1) die de parabool raken. Stap 1: Gebruik de volgende vergelijking om de poollijn op te stellen: 1 y = 2x 2 2 y = 2x 4 y y px px P P Stap 2: Bepaal de snijpunten van de poollijn met de gegeven parabool. (2x 4) 2 = 4x [Invullen poollijn in parabool] 4x 2 16x + 16 = 4x 4x 2 20x + 16 = 0 x 2-5x + 4 = 0 (x 1)(x 4) = 0 x = 1 x = 4 Hieruit volgen de snijpunten (1, -2) en (4, 4) 11

11.1 De parabool [4] Voorbeeld: Gegeven is de parabool y 2 = 4x. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt P(-2, 1) die de parabool raken. Stap 3: Stel de vergelijkingen van de beide raaklijnen op: y 2 = 2px geeft p = 2 Raaklijn in het punt (1, -2) met behulp van y y px px A A -2y = 2x + 2 1 y = -x 1 Raaklijn in het punt (4, 4) met behulp van y y px px A A 4y = 2x + 2 4 y = ½x + 2 12

11.2 De ellips [1] Algemeen: Een ellips is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een cirkel en een punt BINNEN de cirkel. In het plaatje hiernaast geldt: Het punt M is het middelpunt van de ellips. De punten M en F 2 zijn de brandpunten van de ellips. De cirkel is de richtcirkel van de ellips. Er geldt: d(p, c) = PV = MV MP = r d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = r d(p, F 1 ) en dus d(p, F 2 ) + d(p, F 1 ) = r. Samengevat: Een ellips is de verzameling van alle punten P waarvoor geldt d(p, F 2 ) + d(p, F 1 ) = constant. De punten F 1 en F 2 zijn de brandpunten van de ellips. 13

De figuur hiernaast is een ellips. 11.2 De ellips [1] Het lijnstuk AB heet de lange as van de ellips en heeft een lengte van 2a en is een symmetrieas; Het lijnstuk CD heet de korte as van de ellips en heeft een lengte van 2b en is een symmetrieas; De punten A, B, C en D zijn de toppen van de ellips; Het snijpunt M van de symmetrieassen het het middelpunt van de ellips; De brandpuntsafstand F 1 F 2 heeft lengte 2c; Er geldt d(c, F 1 ) = d(c, F 2 ). Hieruit volgt vanwege eigenschap brandpunten: d(c, F 1 ) + d(c, F 2 ) = d(a, F 1 ) + d(a, F 2 ) 2CF 1 = a c + a + c = 2a CF 1 = a Met behulp van de stelling van Pythagoras volgt nu: a 2 = b 2 + c 2. 14

De vergelijking van een ellips met toppen 11.2 De ellips [1] A(-a, 0), B(a, 0), C(0, b) en D(0, -b) is x a y b 1 In het geval a 2 > b 2 zijn de coördinaten van de brandpunten (-c, 0) en (c, 0). Er geldt dan c 2 = a 2 b 2. In het geval a 2 < b 2 zijn de coördinaten van de brandpunten (0, -c) en (0, c). Er geldt dan c 2 = b 2 a 2. 15

11.2 De ellips [2] Voorbeeld: Gegeven is de ellips x 2 + 10y 2 4x 60y + 84 = 0 Geef de coördinaten van de toppen, brandpunten en het middelpunt en de vergelijkingen van de symmetrieassen: Stap 1: Herschrijf de vergelijking van de ellips m.b.v. kwadraatafsplitsen x 2 + 10y 2 4x 60y + 84 = 0 x 2 4x + 10(y 2 6y) + 84 = 0 (x 2) 2 4 + 10((y 3) 2 9) + 84 = 0 [Kwadraatafsplitsen] (x 2) 2 4 + 10(y 3) 2 90 + 84= 0 (x 2) 2 + 10(y 3) 2 = 10 De translatie (2, 3) is toegepast t.o.v. de ellips x 2 + 10y 2 = 10 x y 10 1 1 16

11.2 De ellips [2] Voorbeeld: Gegeven is de ellips x 2 + 10y 2 4x 60y + 84 = 0 Geef de coördinaten van de toppen, brandpunten en het middelpunt en de vergelijkingen van de symmetrieassen: Stap 2: Geef de bovenstaande zaken van de ellips: De coördinaten van de toppen zijn (- 10, 0), ( 10, 0), (0, -1) en (0, 1). De coördinaten van de brandpunten volgen met: a 2 = 10, b 2 = 1 en c 2 = a 2 b 2 = 10 1 = 9 dus de brandpunten zijn (-3, 0) en (3, 0). Het middelpunt is (0, 0). x y 10 1 1 De symmetrieassen zijn de x-as (y = 0) en de y-as (x = 0). 17

11.2 De ellips [2] Voorbeeld: Gegeven is de ellips x 2 + 10y 2 4x 60y + 84 = 0 Geef de coördinaten van de toppen, brandpunten en het middelpunt en de vergelijkingen van de symmetrieassen: Stap 3: Toepassen van de translatie geeft de bovenstaande zaken voor de ellips x 2 + 10y 2 4x 60y + 84 = 0 De coördinaten van de toppen zijn (2-10, 3), (2 + 10, 3), (2, 2) en (2, 4). De coördinaten van de brandpunten zijn (-1, 3) en (5, 3). Het middelpunt is (2, 3). De symmetrieassen zijn y = 3 en de x = 2. 18

11.2 De ellips [3] Algemeen: De lijn k die de ellips x Ax yay k : 1 a 2 b 2 x a y b 1 raakt in A(x A, y A ) heeft vergelijking Let op: Als de vergelijking van de ellips gegeven is in de vorm b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 is de vergelijking van de raaklijn k, die de ellips raakt in A(x A, y A ) gelijk aan b 2 x A x + a 2 y A y= a 2 b 2 [Alles is met a 2 b 2 vermenigvuldigd] 19

11.2 De ellips [3] Voorbeeld 1: Gegeven is de ellips 2x 2 + 3y 2 = 44 en het punt A(4, 2) op de ellips. Stel een vergelijking op van de lijn n die de ellips loodrecht snijdt in A. Stap 1: Stel de lijn k op die de ellips raakt in A. Met behulp van b 2 x A x + a 2 y A y= a 2 b 2 volgt 2 4x + 3 2y = 44 8x + 6y = 44 Dus k: 4x + 3y = 22 Stap 2: Stel de lijn n op die de ellips loodrecht raakt in A. N staat loodrecht op k, dus geldt: n : 3x 4y = c Invullen van A(4, 2) geeft n : 3x 4y = 4 20

Voorbeeld 2: De lijn k: 2x +3y = 16 raakt de ellips Bereken a 2. 11.2 De ellips [3] x y a 16 Stap 1: Stel een alternatieve vergelijking voor de raaklijn op. x y 1 16x a y 16a 2 a 16 Stel dat het raakpunt A(x A, y A ) is. Dit geeft de raaklijn 16x A x + a 2 y A y= 16a 2 Deze raaklijn valt samen met k: 2x +3y = 16. Stap 2: Bepaal de coördinaten van het raakpunt. 2 1 16x A a ya 16a Er geldt: 2 3 16 Uit a ya 16a volgt y A = 3. 3 16 Invullen in 2x + 3y = 16 geeft x = 3½ en dus het raakpunt A(3½, 3). 21

Voorbeeld 2: De lijn k: 2x +3y = 16 raakt de ellips Bereken a 2. Stap 3: Bereken de waarde van a 2. 16x A 16a 2 16 1 16 3 a 2 2 a 28 2 11.2 De ellips [3] x y a 16 2 1 22

11.2 De ellips [4] Algemeen: Raken de lijnen k en l door het punt P(x P, y P ) en de ellips x a y b 1 in de punten A en B dan is: De lijn AB de poollijn van B t.o.v. de ellips; Het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de ellips; xpx ypy een vergelijking van de lijn AB: 1 a b Let op: Als de vergelijking van de ellips gegeven is in de vorm b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 is de vergelijking van de poollijn gelijk aan b 2 x P x + a 2 y P y= a 2 b 2 [Alles is met a 2 b 2 vermenigvuldigd] 23

Algemeen: Bij de ellips ( x x ) ( y y ) a b M M P(x P, y P ) buiten de ellips, dan wordt de vergelijking van de poollijn Een alternatieve schrijfwijze is: 11.2 De ellips [4] 1 ( xp xm )( x xm ) ( yp ym )( y ym ) 1 a b b ( x x )( x x ) a ( y y ) a b P M M P M en een punt 24

11.2 De ellips [4] Voorbeeld: Gegeven is de ellips x 2 + 6y 2 = 40 Stel de vergelijkingen op van de lijnen door het punt A(7, 1) die de ellips raken. Stap 1: Stel de poollijn van A ten opzichte van de ellips op. Dit is 7x + 6y = 40 Stap 2: Los het nu ontstane stelsel van vergelijkingen op Herschrijven van de vergelijking van de poollijn geeft 6y = 40 7x. Dit kan ingevuld worden in de vergelijking van de ellips om de raaklijnen te vinden. 25

11.2 De ellips [4] Voorbeeld: Gegeven is de ellips x 2 + 6y 2 = 40 Stel de vergelijkingen op van de lijnen door het punt A(7, 1) die de ellips raken. Stap 2: 6x 2 + (-7x + 40) 2 = 240 6x 2 + 49x 2 560x + 1600 = 240 55x 2 560x + 1360 = 0 11x 2 112x + 272 = 0 D = 576, dus D = 24 112 24 112 24 x 4 x 22 Invullen van x = 4 geeft het raakpunt (4, 2) 68 Invullen van x = geeft het raakpunt, 68 11 11 68 6 11 11 26

11.2 De ellips [4] Voorbeeld: Gegeven is de ellips x 2 + 6y 2 = 40 Stel de vergelijkingen op van de lijnen door het punt A(7, 1) die de ellips raken. Stap 3: Stel de vergelijkingen van de gevraagde raaklijnen op: De raaklijn in (4, 2) is: 4x + 6 2y = 40 x + 3y = 10 De raaklijn in 68 6 11 11, 68 6 11 11 is: x 6 y 40 17x 9 y 110 27

11.3 De hyperbool [1] Algemeen: Een hyperbooltak is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een cirkel en een punt BUITEN de cirkel. Let op: Als het punt BINNEN de cirkel ligt, is er sprake van een ellips. In de figuur hiernaast geldt: d(p, c) = PV = MP MV = d(p, F 1 ) r. d(p, F 2 ) = d(p, F 1 ) r. d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = r. Als je dit een aantal keer herhaalt ontstaat één van de hyperbooltakken van de hyperbool. 28

11.3 De hyperbool [1] Algemeen: Een hyperbooltak is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een cirkel en een punt BUITEN de cirkel. Let op: Als het punt BINNEN de cirkel ligt, is er sprake van een ellips. De andere hyperbooltak ontstaat door de richtcirkel te nemen met middelpunt (brandpunt van de hyperbool) F 2 en straal r en dan hetzelfde te doen als bij de richtcirkel met middelpunt (brandpunt van de hyperbool) F 1 en straal r. Hiervoor geldt: d(p, F 2 ) d(p, F 1 ) = r. Algemeen: Voor alle punten P op een hyperbool geldt: d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = r 29

11.3 De hyperbool [1] Hiernaast is een hyperbool getekend: F 1 en F 2 zijn de brandpunten van de hyperbool; de lijn F 1 F 2 is de symmetrieas van de hyperbool; de punten A en B zijn de toppen van de hyperbool; De middelloodlijn van het lijnstuk F 1 F 2 is de andere symmetrieas van de hyperbool; Het snijpunt van de symmetrieassen is het middelpunt M; AB = 2a en F 1 F 2 (brandpuntsafstand) = 2c. Voor het punt B op de hyperbool geldt: d(b, F 1 ) d(b, F 2 ) = 2a + AF 1 BF 2 omdat AF 1 = BF 2 geldt er: d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a; 30

11.3 De hyperbool [1] Algemeen: De vergelijking van de hyperbool met toppen A(-a, 0) en B(a, 0) en x y brandpunten F 1 (-c, 0) en F 2 (c, 0) is 1. Daarbij is b 2 = c 2 a 2. a b 31

11.3 De hyperbool [1] Algemeen: De vergelijking van de hyperbool met toppen A(0, b) en B(0, -b) en brandpunten F 1 (0, c) en F 2 (0, -c) is x a y b 1 Daarbij is a 2 = c 2 b 2. 32

11.3 De hyperbool [2] In het plaatje hierboven is een hyperbool getekend (zwart) Deze parabool heeft twee (blauwe) scheve asymptoten. Dit zijn de lijnen b b y x en y x a a 33

x y 1 a b b x a y a b a y b x a b b y x b a 2 2 2 b b y x b y x b a a 11.3 De hyperbool [2] De vergelijkingen van de scheve asymptoten kunnen als volgt gevonden worden: Als x naar oneindig gaat valt de term b 2 als het ware weg. Hieruit volgt: b b y x y x a a b b y x y x a a 34

11.3 De hyperbool [3] Algemeen: De lijn k die de hyperbool x Ax yay k : 1 a 2 b 2 x a y b 1 raakt in A(x A, y A ) heeft vergelijking Algemeen: x y Raken de lijnen l en m door het punt P(x P, y P ) de hyperbool a b A en B dan is: de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de hyperbool; het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de hyperbool; 1 in de punten een vergelijking van de lijn AB: x x a y y b P P 1 35

11.3 De hyperbool [3] Voorbeeld 1: Gegeven is de hyperbool 2x 2 3y 2 = 20 en het punt A(4, 2) op de hyperbool. Stel een vergelijking op van de lijn n die de hyperbool loodrecht snijdt in A. Stap 1: Stel de vergelijking op van de lijn k die de hyperbool raakt in A. 2 4x 3 2y = 20 8x 6y = 20 k: 4x 3y = 10 36

11.3 De hyperbool [3] Voorbeeld 1: Gegeven is de hyperbool 2x 2 3y 2 = 20 en het punt A(4, 2) op de hyperbool. Stel een vergelijking op van de lijn n die de hyperbool loodrecht snijdt in A. Stap 2: Stel de vergelijking op van de lijn n die de hyperbool loodrecht snijdt in A. Omdat lijn n loodrecht op lijn k staat geldt: n: 3x + 4y = c. n gaat door het punt A(4, 2). Invullen van het punt A in de lijn n geeft: n: 3x + 4y = 20. 37

11.3 De hyperbool [3] Voorbeeld 2: Gegeven is de hyperbool 2x 2 3y 2 = 20 en het punt A(4, 2) op de hyperbool. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt B(-10, 10) die de hyperbool raken. Stap 1: Met behulp van de vergelijking voor de poollijn kan deze worden opgesteld: 2-10x 3-10y = 20-2x + 3y = 2 Stap 2: Invullen van de gevonden vergelijking in de vergelijking van de hyperbool levert de beide raakpunten op bij deze poollijn. 2x 3y 2 3y 2x 2 2x 3y 20 6x 9 y 60 38

11.3 De hyperbool [3] Voorbeeld 2: Gegeven is de hyperbool 2x 2 3y 2 = 20 en het punt A(4, 2) op de hyperbool. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt B(-10, 10) die de hyperbool raken. Stap 2: Invullen van de gevonden vergelijking in de vergelijking van de hyperbool levert de beide raakpunten op bij deze poollijn. 6x 2 (2x + 2) 2 = 60 6x 2 (4x 2 + 8x + 4) = 60 6x 2 4x 2 8x 4 = 60 2x 2 8x 64 = 0 x 2-4x 32 = 0 (x +4)(x 8) = 0 x = -4 of x = 8 Invullen van x = -4 geeft het raakpunt (-4, -2). Invullen van x = 8 geeft het raakpunt (8, 6). 39

11.3 De hyperbool [3] Voorbeeld 2: Gegeven is de hyperbool 2x 2 3y 2 = 20 en het punt A(4, 2) op de hyperbool. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt B(-10, 10) die de hyperbool raken. Stap 3: Met behulp van de twee gevonden raakpunten, kunnen de raaklijnen opgesteld worden. De raaklijn in (-4, -2) is: 2-4x - 3-2y = 20 4x - 3y = -10 De raaklijn in (8, 6) is: 2 8x - 3 6y = 20 8x - 9y = 10 40

11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [1] Hierboven zijn een drietal kegelvlakken. De kegelsnede wordt steeds doorsneden door een vlak: Bij de eerste kegelsnede is de doorsnede (kegelsnede) een ellips; Bij de tweede kegelsnede is de doorsnede (kegelsnede) een parabool; Bij de derde kegelsnede is de doorsnede (kegelsnede) een hyperbool. De vorm van de doorsnede hangt af van de hoek van het vlak. 41

11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [1] Een kegelvlak ontstaat door het wentelen van de lijn l om de x-as. Hierdoor ontstaan twee kegels zonder grondvlak met de gemeenschappelijke top O. De tophoek van de kegel is 2α. Doorsneden van een vlak V met een kegelvlak heten kegelsneden. 42

11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [1] Neem aan dat het vlak V een hoek φ maakt met de x-as: φ = 90 en V gaat door O. Er ontstaat een puntcirkel als doorsnede; φ = 90 en V gaat niet door O. Er ontstaat een cirkel als doorsnede; φ > α en V gaat door O. Er ontstaat een puntcirkel als doorsnede; φ = α en V gaat door O. Er ontstaat een lijn als doorsnede; 0 < φ < α en V gaat door O. Er ontstaat een doorsnede van twee snijdende lijnen. 43

11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [1] Neem aan dat het vlak V een hoek φ maakt met de x-as: φ > α en V gaat niet door O. De doorsnede is een ellips; 0 < φ < α en V gaat niet door O. De doorsnede is een hyperbool; φ = α en V gaat niet door O. De doorsnede is een parabool. 44

11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [2] Algemeen: De algemene vergelijking van de tweede graad in x en y is: ax 2 + bxy + cy 2 + dz + ey + f = 0. Enkel situaties met b = 0 komen aan bod. Afhankelijk van de waarden van a, b, c, d, e en f kunnen kegelsneden zoals de hyperbool, ellips en parabool ontstaan. Voorbeeld 1: Onderzoek de kegelsnede x 2 + y 2 4x 8y 5 = 0 x 2 + y 2 4x 8y 5 = 0 x 2 4x + y 2 8y 5 = 0 (x 2) 2 4 + (y 4) 2 16 5 = 0 [kwadraatafsplitsen] (x 2) 2 + (y 4) 2 = 25 Dit is een cirkel met middelpunt (2, 4) en straal 5. 45

11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [2] Voorbeeld 2: Onderzoek de kegelsnede y 2 + 4x 6y + 17 = 0 y 2 + 4x 6y + 17 = 0 y 2 6y = -4x 17 (y 3) 2 9 = -4x 17 (y 3) 2 = -4x 8 (y 3) 2 = -4(x + 2) Dit is een parabool met top (-2, 3) want t.o.v. de parabool y 2 = -4x met top (0, 0) heeft een translatie (-2, 3) plaatsgevonden. Van y 2 = -4x is het brandpunt (-1, 0) want p = -2 en ½p = -1. Van de gegeven kegelsnede is het brandpunt F(-1-2, 0 + 3) = F(-3, 3). Er geldt: De vergelijking van de parabool met brandpunt F(½p, 0) en richtlijn l:x = -½p is y 2 = 2px. 46

11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [2] Voorbeeld 2: Onderzoek de kegelsnede 25x 2 16y 2-100x + 96y - 444 = 0 25x 2 16y 2-100x + 96y - 444 = 0 25x 2 100x 16y 2 + 96y 444 = 0 25(x 2 4x) 16(y 2 6y) 444 = 0 25((x 2) 2 4) 16((y 3) 2 9) 444 = 0 25(x 2) 2 100 16(y 3) 2 + 144 444 = 0 25(x -2) 2 16(y 3) 2 = 400 ( x 2) ( y 3) 16 25 1 Er is sprake van een hyperbool met middelpunt (2, 3). 47

11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [2] Voorbeeld 2: Onderzoek de kegelsnede 25x 2 16y 2-100x + 96y - 444 = 0 ( x 2) ( y 3) 16 25 1 Met a 2 = 16 en b 2 = 25. Middelpunt: Er is sprake van een hyperbool met middelpunt (2, 3). Toppen: x y De hyperbool 1 heeft toppen A(-4, 0) en B(4, 0) 16 25 Algemeen: De vergelijking van de hyperbool met toppen A(-a, 0) en B(a, 0) en brandpunten F 1 (-c, 0) en x y F 2 (c, 0) is 1. a b Daarbij is b 2 = c 2 a 2. De toppen van de gegeven kegelsnede zijn A(-4 + 2, 3) = A(-2, 3) en B(4 + 2, 3) = B(6, 3) 48

11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [2] Voorbeeld 2: Onderzoek de kegelsnede 25x 2 16y 2-100x + 96y - 444 = 0 ( x 2) ( y 3) 16 25 1 Brandpunt: c 2 = a 2 + b 2 = 16 + 25 = 41 De hyperbool x y 1 16 25 F 1 (- 41, 0) en F 2 ( 41, 0). Met a 2 = 16 en b 2 = 25. heeft als brandpunten Algemeen: De vergelijking van de hyperbool met toppen A(-a, 0) en B(a, 0) en brandpunten F 1 (-c, 0) en x y F 2 (c, 0) is 1. a b Daarbij is b 2 = c 2 a 2. De brandpunten van de gegeven kegelsnede zijn F 1 (2-41, 3) en F 2 (2 + 41, 3). 49

11.4 Vergelijkingen van de tweede graad [2] Voorbeeld 2: Onderzoek de kegelsnede 25x 2 16y 2-100x + 96y - 444 = 0 ( x 2) ( y 3) 16 25 1 Met a 2 = 16 en b 2 = 25. Asymptoten: x y De hyperbool 1 heeft als asymptoten 16 25 De gegeven kegelsnede heeft als asymptoten y 3 ( x 2) y x 5 5 1 4 4 2 y x en y x 5 5 4 4 y 3 ( x 2) y x 5 5 5 1 4 4 2 50